Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1

ČÁST 7

Příklad 1 Pomocí l‘Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity.

a) lim→

b) lim→

c) lim→

e) lim→

d) lim→

f) lim→

g) lim→

h) lim→

i) lim→

j) lim→

k) lim→

!"#

$ %

&

l) lim→ ' − cotg -.

Poznámka

/ /

Všechny limity uvedené v zadání vedou k výrazu typu , nebo . K jejich výpočtu je tedy možné použít l‘Hôpitalovo pravidlo. V některých případech budeme toto pravidlo používat i vícekrát. Některé z následujících příkladů působí při řešení poměrně brutálním dojmem, nevyžadují však žádné zvláštní znalosti. Důležité je udržet nit výpočtu a příslušný pořádek. V některých případech je pro zjednodušení situace využit vzorec pro sinus či cosinus dvojnásobného úhlu. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃

1


ČÁST 7

Budeme počítat limitu: lim→ . Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit dosazením.

Řešení 1a

K výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo.

1 1 − cos −1 tg - − -′ tg - − 1 − cos lim = lim = lim cos = lim cos - = lim → - − sin → - − sin -′ → 1 − cos → 1 − cos → cos - 1 − cos - 1 − cos -1 + cos - 1 + cos - 1 + 1 2 = lim = = =2 →

→

cos - 1 − cos - cos 1 1

= lim

Příklad lze samozřejmě řešit i jinak. Po uplatnění l‘Hôpitalova pravidla jsme dostali opět výraz typu . 1 1 ' − 1. ′ tg - − -′ tg - − −2 cos - ∙ − sin - -−1 cos cos lim = lim = lim = lim = lim → - − sin → - − sin -′ → 1 − cos → 1 − cos -′ →

sin -

V tom případě je možné l‘Hôpitalovo pravidlo uplatnit znovu.

= lim 2 cos - = 2 →

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Budeme počítat limitu: lim→

Řešení 1b

.

Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit

dosazením. K výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo.

1 1 12cos - − cos 4- 3∙4 − 12 3 tg 4- − 12 tg cos 4cos - = lim cos 4- ∙ cos lim = lim → 3 sin 4- − 12 sin → 3 ∙ 4 cos 4- − 12 cos → 12cos 4- − cos -

cos - − cos 4-cos - + cos 4- −cos 4- − cos -cos - + cos 4- cos 4- ∙ cos cos 4- ∙ cos = lim = lim →

→

cos 4- − cos cos 4- − cos −cos - + cos 4- −1 + 1 −2 = lim = = = −2 → cos 4- ∙ cos 1∙1 1


Řešení 1c

dosazením spolu se znalostí vztahu lim→ = 1. K výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo. V rámci . Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit

1 cos cotg - + - '− . − 0 − - cotg - − 1′ - cotg - − 1 sin - sin sin lim = lim = lim = lim →

→

→

→

- ′ - 22sin - ∙ cos - − sin - ∙ cos - − -′ sin - ∙ cos - − sin = lim = lim = lim = →

→

→

2- sin -′ 22- sin -

pokračujícího výpočtu ho použijeme ještě několikrát.

∀∃

2


ČÁST 7

cos 2- − 1′ cos - − sin - − 1 cos 2- − 1 = lim = lim → 2 sin - + 2-2 sin - cos → 2 sin - + 2- sin 2→ 2 sin - + 2- sin 2-′

= lim

− 2sin 2- − 0 − 2sin 2= lim → 2 ∙ 2 sin - cos - + 2 sin 2- + 2 ∙ 2- cos 2→ 2 sin 2- + 2 sin 2- + 4x cos 2− sin 2-′ − 2sin 2− sin 2= lim = lim = lim → 4 sin 2- + 4- cos 2→ 2 sin 2- + 2- cos 2→ 2 sin 2- + 2- cos 2-′ = lim

− 2cos 2− 2cos 2= lim → 2 ∙ 2 cos 2- + 2 cos 2- − 2 ∙ 2- sin 2→ 6 cos 2- − 4- sin 2− 2cos2 ∙ 0 − 2cos0 −2 ∙ 1 −2 −2 = = = = = 6 cos2 ∙ 0 − 4 ∙ 0 sin2 ∙ 0 6 cos0 − 0 sin0 6 ∙ 1 − 0 ∙ 0 6 − 0 6 = lim =−

1 3


Řešení 1d

. Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit

dosazením. K výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo. V tomto případě budeme toto pravidlo používat

se hyperbolický cosinus převede hned na začátku na tvar podle definice cosh - = e + e /2.

opakovaně tak dlouho, dokud se nezbavíme výrazu typu . Úloha se dá řešit i jiným způsobem a to tak, že lim

→

cosh - + cos - − 2′ sinh - − sin -′ cosh - + cos - − 2 sinh - − sin - − 0 = lim = lim = lim →

→

→

′ 4- ′ 4cosh - − cos -′ cosh - − cos = lim →

→

12- ′ 12-

= lim

sinh - + sin -′ sinh - + sin cosh - + cos 2 1 = lim = lim = = →

→

→

24-′ 2424 24 12

= lim

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1e

Budeme počítat limitu: lim→

A



- − 2B + - + 2 C- − 2B + - + 2D′ B + - − 2B + 1 + 0 = lim = lim →

→

→

- ′ - 3- lim

- − 1B + 1 C- − 1B + 1D′ B + - − 1B + 0 -B = lim = lim = lim →

→

→

→ 63- ′ 3- 6-

= lim

B 1 = → 6 6

= lim

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃

3


Řešení 1f


ČÁST 7

!"#


dosazením. K výpočtu použijeme opakovaně l‘Hôpitalovo pravidlo. Úloha není obtížná, ale vyžaduje velkou pozornost a zachování výpočetního pořádku.

E − E CE − E D′ E ln E − a ln E cos ln E CE − E cos -D = lim = lim = lim →

→

→

→

- ′ - 3- 3- lim

= lim ln E ∙ →

= lim ln E ∙ →

= lim ln E ∙ →

= lim ln E ∙ →

= lim ln E →

= lim ln E →

= ln E ∙

E − E cos CE − E cos -D′ = lim ln E ∙ →

3- ′ 3- E ln E − E ln E ∙ cos - ∙ cos - + E sin 3 ∙ 2-

E ln E − E ln E ∙ cos - + E sin 6-

Cln E CE − E ∙ cos -D + E sin -D′ 6-′

ln E CE ln E − E ln E ∙ cos - ∙ cos - + E 2sin - cos -D + E ln E cos - sin - + E cos 6 ln E CE ln E − E ln E ∙ cos - + E 2 cos - sin -D + E ln E cos - sin - + E cos 6

ln E CE ln E − E ln E ∙ cos 0 + E 2 cos 0 sin 0D + E ln E cos 0 sin 0 + E cos 0 6

ln E E ∙ ln E − E ∙ ln E ∙ 1 + E ∙ 2 ∙ 1 ∙ 0 + E ∙ ln E∙ 1 ∙ 0 + E ∙ 1 6 ln E 1 ∙ ln E − 1 ∙ ln E ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 0 + 1 ∙ ln E∙ 1 ∙ 0 + 1 ∙ 1 = ln E ∙ 6 ln E ln E − ln E + 0 + 0 + 1 ln E 0 + 0 + 0 + 1 0 ∙ ln E + 0 + 1 = ln E ∙ = ln E ∙ = ln E ∙ 6 6 6 0+0+1 1 ln E = ln E ∙ = ln E ∙ = 6 6 6 = ln E ∙


Řešení 1g


dosazením. K výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo. V tomto případě budeme toto pravidlo používat

opakovaně tak dlouho, dokud se nezbavíme výrazu typu . Opět je velmi důležitá velká míra pečlivosti.

cossin - − cos -′ cossin - − cos − sinsin - cos - + sin = lim = lim →

→

→

- ′ 4- − sinsin - cos - + sin -′ − cossin - cos - + sinsin - sin - + cos = lim = lim →

→

4- ′ 12- lim

∀∃

4


ČÁST 7

− cossin - cos - + sinsin - sin - + cos -′ →

12- ′

= lim

sinsin - cos - + cossin -2 cos - sin - + cossin - cos - sin - + sinsin - cos - − sin →

24-

= lim

sinsin - cos - + 3cossin - cos - sin - + sinsin - cos - − sin →

24-

= lim

sinsin - cos - + 3cossin - cos - sin - + sinsin - cos - − sin -′ →

24-′

= lim

cossin - cos - − sinsin - 3cos - sin - − 3 sinsin - cos - sin - + 3 cossin -cos - − sin - − cos →

24

= lim =

cossin 0 cos 0 − sinsin 0 3cos 0 sin 0 − 3 sinsin 0 cos 0 sin 0 + 3 cossin 0cos 0 − sin 0 − cos 0 24

cos 0 ∙ 1 − sin 0 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 0 − 3 sin 0 ∙ 1 ∙ 0 + 3 cos 0 ∙ 1 − 0 − 1 24 1∙ 1 − 0 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 0 − 3 ∙ 0 ∙ 1 ∙ 0 + 3 ∙ 1∙ 1 − 0 − 1 1 − 0 − 0 + 3 − 1 1 = = = 24 8 24 =

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1h


. $

Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit dosazením.


B - − CB $ − -D′ CB $ − -D′ lim = lim = lim = lim 1 → ln - − - + 1 → ln - − - + 1′ → → −1

$

1 'ln - + - - . − 1

B $ ln - + 1 − 1 CB $ ln - + 1 − 1D′ = lim → → - − 1′ - − 1

= lim

1 −1 -

1 B $ ln - + 1ln - + 1 + B $ − 0 = lim → −- 1 1 B ∙$ ln 1 + 1ln 1 + 1 + B ∙$ − 0 B ∙ 0 + 10 + 1 + B∙ − 0 1 1 = = −1 −1 =

B ∙ 1 ∙ 1 + B ∙ 1 − 0 B + B 1 + 1 = = = −2 −1 −1 −1

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1i

Budeme počítat limitu: lim→H

%


∀∃

. Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit dosazením.

5

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 lim

→

ČÁST 7

E − - ′ E − a ln E − E= lim = lim → → - − E′ -−E 1 ln = E ln E − E = E E − 1

= E ln E − EE

= E ln E − E ∙ E

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1j Budeme počítat limitu:

& lim→


dosazením. K výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo. cos - − lim →

-

B

= lim

→

= lim

→

= lim

→

= lim

→

Icos - −

B J′

- ′

I− sin - + -B 4- ′

2x − sin - − B '− 2 . − sin - + -B = lim = lim →

→

4- 4-

J′

I− cos - + B − - B J ′ 12- ′

Isin - − 3-B

+ -B J ′

24-′

− cos - + B − - B = lim →

12-

cos - − 3B + 3- B + 3- B − - B = lim →

24

sin - − -B − 2-B + - B = lim →

24-

cos - − 3B + 6- B − - B cos 0 − 3B + 6 ∙ 0 B − 0 B = lim = →

24 24 =

1 − 3B + 6 ∙ 0 B − 0 B 1 − 3 ∙ 1 + 6 ∙ 0 ∙ 1 − 0 ∙ 1 1 − 3 −2 1 = = = =− 24 24 24 24 12

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1k


.

Tato limita vede k výrazu typu , jak lze snadno ověřit


B sin - − -1 + - CB sin - − -1 + -D′ B sin - + B cos - − 1 + - − = lim = lim →

→

→

- ′ - 3- B sin - + B cos - − 1 − 2-′ B sin - + B cos - − 1 − 2= lim = lim →

→

3- ′ 3 B sin - + B cos - + B cos - − B sin - − 0 − 2 2B cos - − 2 = lim = lim →

→

3 ∙ 23 ∙ 2lim

∀∃

6


ČÁST 7

2B cos - − 2′ 2B cos - − 2B sin - − 0 2B cos - − 2B sin = lim = lim →

→

→

3 ∙ 2-′ 3∙2 6 2B cos 0 − 2B sin 0 2 ∙ 1 ∙ 1 − 2 ∙ 1 ∙ 0 2 − 0 2 1 = = = = = 6 6 6 3 6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… = lim

Budeme počítat limitu: lim→ ' − cotg -.. Tuto limitu nejprve převedeme na výraz typu . K dalšímu

Řešení 1l

-cos 1 1 1 1 cos 1 sin − lim K − cotg -L = lim K − L = lim K L → - → - → - - sin sin - sin sin - − -cos -′ sin - − -cos cos - − cos - + - sin = lim = lim = lim →

→

→ 2- sin - + - cos x - sin -′ - sin -

výpočtu použijeme l‘Hôpitalovo pravidlo.

- sin sin - + - cos = lim → 2- sin - + - cos x → 2sin - + 2- cos - + 2- cos - − - sin sin - + - cos -′ sin - + - cos = lim = lim → 2sin - + 4- cos - − - sin → 2sin - + 4- cos - − - sin -′ = lim

cos - + cos - − - sin + 4 cos - − 4- sin - − 2- sin - − - cos 2 ∙ cos 0 − 0 ∙ sin 0 2 cos - − - sin = lim = → 6 cos - − 6- sin - − - cos 6 ∙ cos 0 − 6 ∙ 0 ∙ sin 0 − 0 ∙ cos 0 2∙1−0∙0 2−0 2 1 = = = = 6∙1−6∙0∙0−0∙1 6−0−0 6 3 = lim

→ 2 cos -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

7


ČÁST 7

Nalezněte body, kde se rovinné křivky dané funkcemi f a g protínají. Vypočtěte, pod jakým úhlem se zde protnou. Určete rovnice tečen a normál ke každé z křivek v těchto bodech. a) N- = - ; P- = - b) N- = - + - − 4- ; P- = -

Příklad 2

c) N- = -B ; P- = 5-B

d) N- = R|-| ; P- = - e) N- = 2|| − 2 ; P- = 4 − 2 || f) N- = T-U sin 2V- ; P- = cos 2VPoznámka Body, kde se protínají grafy obou funkcí, nalezneme pomocí rovnosti hodnot obou funkcí. Právě v průsečíku grafů funkcí právě k rovnosti hodnot funkcí totiž dochází. Rovnici tečny budeme zjišťovat pro tvar W = X- + Yze vztahů X = N Z - a Y = N- − X-, protože dotykový bod musí mít stejnou hodnotovou souřadnici na grafu funkce i tečně.

Normála je kolmice na tečnu vedená dotykovým bodem. Bude tedy mít směrnici − [. Normála tedy bude

mít obecnou rovnici W = − - + \. Hodnotu \ vypočítáme dosazením souřadnic dotykového bodu.

[

Všechna řešení doplníme obrázkem. Na něm bude vždy část grafu funkce v modré barvě, tečna bude zelená a normála červená. Úhel, pod kterým se protínají grafy funkcí, musí být stejný, jako úhel, který svírají tečny obou funkcí v průsečíku jejich grafů. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí N- = - ; P- = - . Řešme rovnici N- = P- - = - -∙-∙1=-∙-∙Rovnice má tři řešení. Z toho dvě mají stejnou hodnotu 0. Příslušnou hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce ] = 0 ; 0 ] = 0 ; 0 ] = 1 ; 1 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Body ^_ = ` ; ` a â = ` ; ` Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′0. Vypočteme N′- = 2- a dosadíme - = 0. Dostaneme Xb = N Z 0 = 2 ∙ 0 = 0. Vypočteme Yb = N0 − Xb 0. Odtud Yb = 0 − 0 ∙ 0 = 0. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = 0- + 0 = 0.

Řešení 2a

∀∃

8


ČÁST 7

Normála k funkci N bude mít rovnici W = −

[c

Normála k funkci P bude mít rovnici W = −

[f

+ db . Vypočteme db = N0 +

0. [c

Odtud db = 0 + 0.

Ale výraz pro db není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou -, proto normála musí být rovnoběžná s osou W a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici - = 0. Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′0. Vypočteme P′- = 3- a dosadíme - = 0. Dostaneme Xe = PZ 0 = 3 ∙ 0 = 0. Vypočteme Ye = P0 − Xe 0. Odtud Yb = 0 − 0 ∙ 0 = 0. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 0- + 0 = 0.

- + de . Vypočteme de = P0 +

[f

0. Odtud de = 0 + 0.

Ale výraz pro de není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou -, proto normála musí být rovnoběžná s osou W a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici - = 0. Protože obě tečny mají stejný nulový směr, svírají nulový úhel. Bod ^g = _ ; _ Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′1. Vypočteme N′- = 2- a dosadíme - = 1. Dostaneme Xb = N Z 1 = 2 ∙ 1 = 2. Vypočteme Yb = N1 − Xb 1. Odtud Yb = 1 − 2 ∙ 1 = −1. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = 2- − 1. Normála k funkci N bude mít rovnici W = − [ - + db . Vypočteme db = N1 + [ 1. Odtud db = 1 + 1

=

.

c

Rovnice normály k funkci N je tedy W =

−

+ .

c

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′1. Vypočteme P′- = 3- a dosadíme

- = 1. Dostaneme Xe = PZ 1 = 3 ∙ 1 = 3. Vypočteme Ye = P1 − Xe 1. Odtud Yb = 1 − 3 ∙ 1 = −2. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 3- − 2. Normála k funkci P bude mít rovnici W = −

[f


1 = . Rovnice normály k funkci N je tedy W = − - + .

[f

1. Odtud de = 1 +

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou 2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = 2, odtud h = arctg 2. Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou 3. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = 3, odtud j = arctg 3. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg 3 − arctg 2. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat k lepšímu vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme tg j − tg h 3−2 1 tgj − h = = = 1 + tg j tg h 1 + 3 ∙ 2 7 Odtud 1 k = j − h = arctg 7 Celou situaci přibližuje obrázek. ∀∃

9


ČÁST 7

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… = - . Řešme rovnici Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí N- = - + - − 4- ; P- N- = P- - + - − 4- = - - = 4Rovnice má tři řešení. Příslušnou hodnotu zjistíme zjistíme dosazením do předpisu funkce ] = −2 ; 4 ] = 0 ; 0 ] = 2 ; 4

Řešení 2b

∀∃

10


ČÁST 7

Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod ^_ = −a ; m Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′−2. Vypočteme N′- = 3x + 2- − 4 a dosadíme - = −2. Dostaneme Xb = N Z −2 = 3 ∙ −2 + 2 ∙ −2 − 4 = 12 − 4 − 4 = 4. Vypočteme Yb = N−2 − Xb −2. Odtud Yb = 4 − 4 ∙ −2 = 4 + 8 = 12. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = 4- + 12. Normála k funkci N bude mít rovnici W = −

[c

+ db . Vypočteme db = N−2 +

−2. [c


[f

+ de . Vypočteme de = P−2 +

−2. Odtud [f

db = 4 + −2 = 4 − = . Normála tedy má rovnici W = − - + .

n

n

Odtud

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′−2. Vypočteme P′- = 2- a dosadíme - = −2. Dostaneme Xe = PZ −2 = 2 ∙ −2 = −4. Vypočteme Ye = P−2 − Xe −2 ∙. Odtud Yb = 4 − −4 ∙ −2 = 4 − 8 = −4. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = −4- − 4. de = 4 +

−2 = 4 + = . Normála tedy má rovnici W = −

o

-+ . o

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = 4, odtud h = arctg 4. Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou -4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = −4, odtud j = arctg−4 = − arctg 4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg 4 − arctg−4 = arctg 4 − − arctg 4 = 2 arctg 4. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme tg j − tg h −4 − 4 −8 8 tgj − h = = = = 1 + tg j tg h 1 + −4 ∙ 4 −15 15 Odtud 8 k = j − h = arctg 15 Bod â = ` ; ` Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′0. Vypočteme N′- = 3x + 2- − 4 a dosadíme - = 0. Dostaneme Xb = N Z 0 = 3 ∙ 0 + 2 ∙ 0 − 4 = −4. Vypočteme Yb = N0 − Xb 0. Odtud Yb = 0 − −4 ∙ 0 = 0. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = −4- + 0 = −4-.

Normála k funkci N bude mít rovnici W = − 0

= 0. Normála má tedy rovnici W =

- + db . Vypočteme db [c − - + 0 = -.

= N0 +

0. [c

Odtud db = 0 +

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′0. Vypočteme P′- = 2- a dosadíme - = 0. Dostaneme Xe = PZ 0 = 2 ∙ 0 = 0. Vypočteme Ye = P0 − Xe 0. Odtud Yb = 0 − 0 ∙ 0 = 0. ∀∃

11


ČÁST 7

Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 0- + 0 = 0.


[f


[c

+ db . Vypočteme db = N2 +

2. [c


[f

+ de . Vypočteme de = P2 +

2. [f


[f

0. Odtud de = 0 + 0.

Ale výraz pro de není korektní. Je to proto, že tečna je rovnoběžná s osou -, proto normála musí být rovnoběžná s osou W a pro její popis se nehodí uvedená obecná rovnice. V tomto případě má tedy normála rovnici - = 0. Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou -4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = −4, odtud h = arctg−4. Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou 0. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = 0, odtud j = arctg 0 = 0. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg−4 − 0 = arctg−4. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme tg j − tg h 0 − −4 4 tgj − h = = = =4 1 + tg j tg h 1 + 0 ∙ −4 1 Odtud k = j − h = arctg 4 Bod ^g = a ; m Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′2. Vypočteme N′- = 3x + 2- − 4 a dosadíme - = 2. Dostaneme Xb = N Z 2 = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 2 − 4 = 12 + 4 − 4 = 12. Vypočteme Yb = N2 − Xb 2. Odtud Yb = 4 − 12 ∙ 2 = 4 − 24 = −20. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = 12- − 20.

2 = 4 + = q

. Normála tedy má rovnici W = −

r q

-+

r q

Odtud db = 4 +

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′2. Vypočteme P′- = 2- a dosadíme - = 2. Dostaneme Xe = PZ 2 = 2 ∙ 2 = 4. Vypočteme Ye = P2 − Xe 2 ∙. Odtud Yb = 4 − 4 ∙ 2 = 4 − 8 = −4. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 4- − 4. 2

= 4 + = . Normála tedy má rovnici W = − - + .

o

o

.

Odtud de = 4 +

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou 12. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = 12, odtud h = arctg 12. Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = 4, odtud j = arctg 4. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg 4 − arctg 12. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je ∀∃

12


Dosadíme a dostáváme

Odtud

ČÁST 7 tg- − W =

tgj − h =

Celou situaci přibližuje obrázek.

tg - − tg W 1 + tg - tg W

tg j − tg h 4 − 12 −8 = = 1 + tg j tg h 1 + 4 ∙ 12 49

k = j − h = arctg

−8 49

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀∃

13


ČÁST 7

Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí N- = -B ; P- = 5-B . Řešme rovnici N- = P-

Řešení 2c

-B = 5-B V tuto chvíli je zřejmé, že jedním z řešení je - = 0. To vykrátíme a budeme hledat další řešení. 1 = 5B B Tato rovnost ale nemůže platit, protože pravá strana je větší než levá strana pro všechna reálná x. Původní rovnice tedy nemá žádné další řešení. Rovnice má tři řešení. Příslušnou hodnotu zjistíme dosazením do předpisu funkce ] = 0 ; 0 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezeném průsečíku. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod ^_ = ` ; `

Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′0. Vypočteme N Z = B +

-B −2- = B − 2- B = B 1 − 2- a dosadíme - = 0. Dostaneme Xb = N Z 0 =

B 1 − 2 ∙ 0 = B 1 − 0 = 1. Vypočteme Yb = N0 − Xb 0. Odtud Yb = 0 − 1 ∙ 0 = 0 − 0 = 0. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = 1- + 0 = -.


[c

- + db . Vypočteme db = N0 +

0 = 0. Normála tedy má rovnici W = − - + 0 = −-.

[c

0. Odtud db = 0 +

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′0. Vypočteme PZ = 5B + 5-B = 1 + -5B a dosadíme - = 0. Dostaneme Xe = P Z 0 = 1 + 05B = 5. Vypočteme Ye = P0 − Xe 0 ∙. Odtud Yb = 0 − 5 ∙ 0 = 0 − 0 = 0. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 5- + 0 = 5-.

Normála k funkci P bude mít rovnici W = − [ - + de . Vypočteme de = P0 + [ 0. Odtud de = 0 + 0 r

f

= 0 + 0 = 0. Normála tedy má rovnici W =

− r

+0=

− -. r

f

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou 1. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = 1, odtud h = arctg 1. Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou 5. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = 5, odtud j = arctg 5. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg 5 − arctg 1. Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme tg j − tg h 5−1 4 2 tgj − h = = = = 1 + tg j tg h 1 + 5 ∙ 1 6 3 ∀∃

14

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 Odtud


ČÁST 7 k = j − h = arctg

2 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí N- = R|-| ; P- = - . Řešme rovnici N- = P-

Řešení 2d

R|-| = - |-| = - t Je zřejmé, že řešení této rovnice jsou (h (hodnotu odnotu druhé souřadnice získáme dosazením do funkce). ] = −1 ; 1 ] = 0 ; 0 ∀∃

15


ČÁST 7

] = 1 ; 1 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod ^_ = −_ ; _

Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′−1. Vypočteme N Z = − −- , neboť nyní pracujeme se záporným argumentem. Dosadíme - = −1. Dostaneme Xb = N u

− C−−1D

u

.


[c



[f

+ de . Vypočteme de = P−1 +

db = 1 +

u

Z −1

u

=

= − 1 = − 1 = − . Vypočteme Yb = N−1 − Xb −1. Odtud Yb = 1 − '− . ∙

−1 = 1 − = . Rovnice tečny k funkci N je tedy W = − - + =

−1. [c

−1 = 1 + −2−1 = 1 + 2 = 3. Normála tedy má rovnici W = 2- + 3.

Odtud

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′−1. Vypočteme P′- = 4- a dosadíme - = −1. Dostaneme Xe = PZ −1 = 4−1 = −4. Vypočteme Ye = P−1 − Xe −1 ∙. Odtud Yb = 1 − −4 ∙ −1 = 1 − 4 = −3. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = −4- − 3. de = 1 +

−1

= 1 + = . Normála tedy má rovnici W = −

r

+ = r

−1. Odtud [f r r + = .

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou − . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = − , odtud h = arctg '− ..

Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou −4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = −4, odtud j = arctg−4.

Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg−4 − arctg '− .. Stejný úhel svírají i grafy

obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme 1 7 −4 − '− . − tg j − tg h 2 2 = −7 tgj − h = = = 1 + tg j tg h 1 + −4 ∙ '− 1. 1 + 2 6 2 Odtud 7 k = j − h = arctg K− L 6 Bod â = ` ; ` V tomto bodě má funkce N hrot. Nelze v něm tedy hledat tečnu ani počítat derivaci, ale lze počítat derivaci zprava i zleva. Na základě toho lze určit tečnu zprava i tečnu zleva. Obě jsou stejné - = 0. Z toho důvodu je nutné uvažovat i normálu zleva a normálu zprava. I ony musí být stejné W = 0. ∀∃

16


ČÁST 7

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′0. Vypočteme P′- = 4- a dosadíme - = 0. Dostaneme Xe = PZ 0 = 40 = 0. Vypočteme Ye = P0 − Xe 0. Odtud Yb = 0 − 0 ∙ 0 = 0. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 0.

Normála k funkci P bude mít rovnici W = − [ - + de . Vypočteme de = P0 + [ 0. Odtud de = 0 + 0.

f

f

směru osy y a procházet průsečíkem. Odtud je tedy rovnice normály - = 0.

Tento výraz je ovšem nepřípustný. Protože tečna směřuje ve směru osy x, musí normála směřovat ve

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou ±∞. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy je h = ± . x

Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou 0. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = 0, odtud j = arctg 0 = 0. Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = 0 − ± . Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. x

Bod ^g = _ ; _

Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′1. Vypočteme N Z = - , neboť nyní

pracujeme s kladným argumentem. Dosadíme - = 1. Dostaneme Xb = N

Z 1

=

u

1

u

= 1 = .

Vypočteme Yb = N1 − Xb 1. Odtud Yb = 1 − ∙ 1 = 1 − = . Rovnice tečny k funkci N je tedy W = - + =

.

[c


[f

u



1 = 1 + 2 ∙ 1 = 1 + 2 = 3. Normála tedy má rovnici W = −2- + 3.

[c

1. Odtud db = 1 +

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′1. Vypočteme P′- = 4- a dosadíme - = 1. Dostaneme Xe = PZ 1 = 41 = 4. Vypočteme Ye = P1 − Xe 1 ∙. Odtud Yb = 1 − 4 ∙ 1 = 1 − 4 = −3. Rovnice tečny k funkci P je tedy W = 4- − 3.

+ de . Vypočteme de = P1 +

1 = 1 + = . Normála tedy má rovnici W = − - + =

r

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou

odtud h = arctg '..

.

r

+ = r

r

1. [f

Odtud de = 1 +

Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = , .

Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou 4. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = 4, odtud j = arctg4.

Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctg4 − arctg ' .. Stejný úhel svírají i grafy obou

funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme 1 7 4− tg j − tg h 7 2 tgj − h = = = 2 = 1 + tg j tg h 1 + 4 ∙ 1 1 + 2 6 2 ∀∃

17

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 Odtud


ČÁST 7 7 k = j − h = arctg K L 6

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí N- = 2|| − 2 ; P- = 4 − 2 || . Dále vypočteme rovnici tečny ny a normály obou funkcí v nalezených průsečících.. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly.

Řešení 2e

Budeme zjišťovat souřadnice průsečíků grafů funkcí N- = 2|| − 2 ; P- = 4 − 2 || . Řešme rovnici N- = P- || 2 − 2 = 4 − 2 || ∀∃

18


ČÁST 7

2|| = 6 − 2 || 2 2|| = 6 − || 2 2|| 2|| = 6 ∙ 2|| − 2 2|| 2|| − 6 ∙ 2|| + 8 = 0 Nyní provedeme substituci y = 2|| a dostaneme y − 6y + 8 = 0 y − 2y − 4 = 0 Tato rovnice má dvě řešení y=2; y=4 Provedeme zpětnou substituci

2|| = 2 ; 2|| = 4 Každá z těchto rovnic má dvě řešení. Dostáváme tedy - = −2 ; - = −1 ; - = 1 ; - = 2 Odtud určíme jednotlivé průsečíky ] = −2 ; 2 ] = −1 ; 0 ] = 1 ; 0 ] = 2 ; 2 Dále vypočteme rovnici tečny a normály obou funkcí v nalezených průsečících. Nakonec vypočteme úhel sevřený oběma tečnami (nebo normálami). To je úhel, pod kterým se obě funkce protnuly. Postupně to provedeme pro všechna odlišná řešení první rovnice. Bod ^_ = −a ; a Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′−2. Jsme v oblasti záporných čísel, proto N- = 2 − 2. Vypočteme N Z - = −2 ln 2. Dosadíme - = −2. Dostaneme Xb = N Z −2 =

−2 ln 2 = −2 ln 2 = −4 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Yb = N−2 − Xb −2. Odtud Yb = 2 − ln 2 ∙ −2 = 2 + 2 ln 2 . Rovnice tečny k funkci N je tedy W = ln 2 - + 2 + 2 ln 2 = ln 2 - + 2 + 2. Normála k funkci N bude mít rovnici W = −

db = 2 +

$ &

−2 = 2 −

$ &

[c


=. Normála tedy má rovnici W = −

$ &

−2. [c

-+2−

$ &

Odtud

=−

$ &

- +

2 + 2. Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′−2. Jsme v oblasti záporných čísel, proto

P- = 4 − 2 = 4 − 2 Vypočteme PZ - = −2 ln 2 a dosadíme - = −2. Dostaneme Xe = PZ −2 = −2 ln 2 = −2 ln 2 = −2 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Ye = P−2 − Xe −2 ∙. Odtud Yb = 2 − ln 2 ∙ −2 = 2 + 2 ln 2 . Rovnice tečny k funkci P je tedy W = ln 2 - + 2 + 2 ln 2 = ln 2 - + 2 + 2.

Normála k funkci P bude mít rovnici W = − [ - + de . Vypočteme de = P−2 + [ −2. Odtud de =

$

2 + & −2 $

∀∃

=−

$ &

=2

− . $

- + 2 + 2.

f

Normála tedy má rovnici W =

− & $

+2−

f

$

=−

$ &

+2−

19


ČÁST 7

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou ln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = ln 2 , odtud h = arctgln 2 . Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou ln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = ln 2 , odtud j = arctgln 2 . Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctgln 2 − arctgln 2 . Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme 2 2

ln ln tg j − tg h ln 2 − ln 2 2 2 tgj − h = = = = 1 + tg j tg h 1 + ln 2 ∙ ln 2 1 + −2 ln 2 −4 ln 2 1 + −2 ln 2 −4 ln 2 ln 2 ln 4 = = 1 + 8ln 2 1 + 8ln 2 Odtud ln 4 k = j − h = arctg K L 1 + 8ln 2 Bod â = −_ ; ` Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′−1. Jsme v oblasti záporných čísel, proto N- = 2 − 2. Vypočteme N Z - = −2 ln 2. Dosadíme - = −1. Dostaneme Xb = N Z −1 = −2 ln 2 = −2 ln 2 = −2 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Yb = N−1 − Xb −1. Odtud Yb = 0 − ln 2 ∙ −1 = 0 + ln 2 = ln 2 . Rovnice tečny k funkci N je tedy W = ln 2 - + ln 2 = ln 2 - + 1. Normála k funkci N bude mít rovnici W = − [ - + db . Vypočteme db = N−1 + [ −1. Odtud

db =

0 + & −1 $

− $ & - + 1.

=

0 + & $

=

c

− &. $

Normála tedy má rovnici W =

c

− & $

−

$ &

=

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′−1. Jsme v oblasti záporných čísel, proto

P- = 4 − 2 = 4 − 2 Vypočteme PZ - = −2 ln 2 a dosadíme - = −1. Dostaneme Xe = PZ −1 = −2 ln 2 = −2 ln 2 = −4 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Ye = P−1 − Xe −1 ∙. Odtud Yb = 0 − ln 2 ∙ −1 = 0 + ln 2 = ln 2 . Rovnice tečny k funkci P je tedy W = ln 2 - + ln 2 = ln 2 - + 1. Normála k funkci P bude mít rovnici W = −

[f

- + de . Vypočteme de = P−1 +

[f

−1. Odtud

de = 0 + $ & −1 = − $ &. Normála tedy má rovnici W = − $ & - − $ & = − $ & - + 1.

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotouln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = ln 2 , odtud h = ln 2 Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou ln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = ln 2 , odtud j = arctgln 2 . Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctgln 2 − arctgln 2 . Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. ∀∃

20


ČÁST 7

Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme 2 2 ln ln tg j − tg h ln 2 − ln 2 2 2 tgj − h = = = = 1 + tg j tg h 1 + ln 2 ∙ ln 2 1 + −4 ln 2 −2 ln 2 1 + −2 ln 2 −4 ln 2 ln 2 − ln 4 = = 1 + 8ln 2 1 + 8ln 2 Odtud − ln 4 k = j − h = arctg K L 1 + 8ln 2 Bod ^g = _ ; ` Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′1. Jsme v oblasti kladných čísel, proto N- = 2 − 2. Vypočteme N Z - = 2 ln 2. Dosadíme - = 1. Dostaneme Xb = N Z 1 = 2 ln 2 = 2 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Yb = N1 − Xb 1. Odtud Yb = 0 − ln 2 ∙ 1 = 0 − ln 2 = −ln 2. Rovnice tečny k funkci N je tedy W = ln 2 - − ln 2 = ln 2 - − 1. Normála k funkci N bude mít rovnici W = −

$

1 = 0 +

$

=

$

[c



$

-+

$

=−

[c

1. Odtud db = 0 +

$ &

- − 1.

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′1. Jsme v oblasti kladných čísel, proto P- = 4 − 2 Vypočteme PZ - = 2 ln 2 a dosadíme - = 1. Dostaneme Xe = P Z 1 = 2 ln 2 = 2 ln 2 = 4 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Ye = P1 − Xe 1 ∙. Odtud Yb = 0 − ln 2 ∙ 1 = 0 − ln 2 = − ln 2 . Rovnice tečny k funkci P je tedy W = ln 2 - − ln 2 = ln 2 - − 1.

Normála k funkci P bude mít rovnici W = − [ - + de . Vypočteme de = P1 + [ 1. Odtud de = 0 + 1 $

=

. $

Normála tedy má rovnici W

f

= − $

+

$

=

− $

− 1.

f

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou ln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = ln 2 , odtud h = ln 2 Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou ln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = ln 2, odtud j = arctgln 2 . Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctgln 2 − arctgln 2 . Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme 2 ln tg j − tg h ln 2 − ln 2 ln 2 ln 4 2 tgj − h = = = = = 1 + 4 ln 2 2 ln 2 1 + 8ln 2 1 + 8ln 2 1 + tg j tg h 1 + ln 2 ∙ ln 2 Odtud ln 4 k = j − h = arctg K L 1 + 8ln 2 ∀∃

21


ČÁST 7

Bod ^m = a ; a Tečna k funkci N bude mít rovnici W = Xb - + Yb . Zde Xb = N′2 Jsme v oblasti kladných čísel, proto

N- = 2 − 2. Vypočteme N Z - = 2 ln 2. Dosadíme - = 2. Dostaneme Xb = N Z 2 = −2 ln 2 = 2 ln 2 = 4 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Yb = N2 − Xb 2. Odtud Yb = 2 − ln 2 ∙ 2 = 2 − 2 ln 2 . Rovnice tečny k funkci N je tedy W = ln 2 - + 2 + 2 ln 2 = ln 2 - − 2 + 2.


[c


[f

2 $

=2+

=. Normála tedy má rovnici W = −

$

2. Odtud db [c − - − 2 + 2. $

+ db . Vypočteme db = N2 + $

+2+

$

=

=2+

Tečna k funkci P bude mít rovnici W = Xe - + Ye . Zde Xe = P′2. Jsme v oblasti kladných čísel, proto P- = 4 − 2 Vypočteme PZ - = 2 ln 2 a dosadíme - = 2. Dostaneme Xe = P Z 2 = 2 ln 2 = 2 ln 2 = 2 ln 2 = ln 2 . Vypočteme Ye = P2 − Xe 2 ∙. Odtud Yb = 2 − ln 2 ∙ 2 = 2 − 2 ln 2 . Rovnice tečny k funkci P je tedy W = ln 2 - + 2 − 2 ln 2 = ln 2 - − 2 + 2.

2 = 2 +

$ − $

$



− 2 + 2.

$

-+2+

$

=−

$

[f

2. Odtud de = 2 +

-+2+

$

=

Tečna k funkci N má směrnici s hodnotou ln 2. Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg h = ln 2 , odtud h = arctgln 2 . Tečna k funkci P má směrnici s hodnotou ln 2 . Pro úhel sevřený touto tečnou s osou - tedy platí tg j = ln 2, odtud j = arctgln 2 . Úhel sevřený těmto tečnami tedy je k = j − h = arctgln 2 − arctgln 2 . Stejný úhel svírají i grafy obou funkcí. Můžeme se dostat i k jinému vyjádření s využitím obecného vzorce pro tangens rozdílu úhlů, který je tg - − tg W tg- − W = 1 + tg - tg W Dosadíme a dostáváme 2 ln tg j − tg h ln 2 − ln 2 ln 2 − ln 4 2 tgj − h = = = = = 1 + tg j tg h 1 + ln 2 ∙ ln 2 1 + 2 ln 2 4 ln 2 1 + 8ln 2 1 + 8ln 2 Odtud −ln 4 k = j − h = arctg K L 1 + 8ln 2 Celou situaci přibližuje obrázek (zobrazeny jsou jen tečny).

∀∃

22


ČÁST 7

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

23


ČÁST 7

Příklad 3 Řešte následující úlohy a) Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 × 5 cm tak, aby po složení vznikla krabička co největšího objemu. b) Nalezněte obdélník vepsaný do elipsy 4- + 9W = 36 maximálního obsahu, přičemž strany obdélníka mají být rovnoběžné s poloosami elipsy. c) Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 5 litrů měla nádoba minimální povrch. Jaké by měla mít rozměry, byla-li by bez víka? d) Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. e) Ze všech obdélníků daného obsahu z vyberte ten, jehož obvod je minimální. Lze nalézt takový obdélník s maximálním obvodem? f) Ze všech pravoúhlých trojúhelníků, jejichž součet délek odvěsen je roven 3, vyberte ten s největším obsahem. Jak vypadá takový trojúhelník s minimálním obsahem? g) Nalezněte válec největšího objemu vepsaný do koule o poloměru {. h) Do půlkruhu o poloměru \ vepište obdélník maximální plochy. i) Z kruhového papíru o poloměru \ vystřihněte výseč tak, aby po jejím slepení vznikl kuželový kornout maximálního objemu. Jaký úhel svírala ramena výseče? Poznámka Všechny úlohy budeme řešit tak, že si ze zadání vytvoříme funkci popisující zkoumaný jev pomocí proměnné vyjadřující hodnotu, dle které chceme najít maximum či minimum. Pak v souladu se zadáním budeme hledat lokální extrém pomocí rovnice. První derivace v bodě tohoto lokálního extrému musí mít nulovou hodnotu. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3a Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 8 × 5 cm tak, aby po složení vznikla krabička (bez víčka) co největšího objemu. Představu o této úloze nejlépe navodí obrázek povrchu krabičky před složením a složené krabičky.

∀∃

24


ČÁST 7

Objem krabičky je dán vzorcem | = E ∙ ∙ }. V našem případu budeme do vzorce dosazovat hodnoty E = 8 − 2- ; = 5 − 2- ; } = -. Objem se tak stane funkcí proměnné -. | = N- = 8 − 2-5 − 2-Máme nalézt - tak, aby obsah obdélníku byl co největší. Jde tedy o to, nalézt lokální extrém funkce N. Budeme hledat - takové, kdy derivace N je nulová. Nejprve tedy N derivujeme. N Z - = ~8 − 2-5 − 2--Z = ~40- − 26- + 4- Z = 40 − 52- + 12- Nyní budeme řešit rovnici N Z - = 0 40 − 52- + 12- = 0 12- − 52- + 40 = 0 3- − 13- + 10 = 0 -, =

13 ± √13 − 4 ∙ 3 ∙ 10 13 ± √169 − 120 13 ± √49 13 ± 7 = = = 2∙3 6 6 6

20 10 1 6 = = 3 ; - = = 1 6 3 3 6 První řešení nemá smysl, protože z kratší strany obdélníku nelze vystřihnout více, než je jeho délka. Proto jediným správným řešením je to, že v rozích obdélníku je třeba vystřihnout čtverec o stranách 1 cm. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Odtud

- =

Nalezněte obdélník vepsaný do elipsy 4- + 9W = 36 maximálního obsahu, přičemž strany obdélníka mají být rovnoběžné s poloosami elipsy. Situaci tohoto příkladu představuje obrázek.

Řešení 3b

Z rovnice elipsy si vyjádříme hodnotu W

∀∃

W=

36 4 1 − - = R36 − 4- 3 9 9 25


ČÁST 7

Obdélník vepsaný do elipsy má délku 2- a šířku 2W. Jeho plocha tedy je = 2- ∙ 2W. V tomto vzorci nahradíme W dříve zjištěným vyjádřením. Dostáváme tak plochu vyjádřenou jako funkci -. 1 4 z = N- = 2- ∙ 2W = 2- ∙ 2 ∙ R36 − 4- = -R36 − 4- 3 3 Máme nalézt - tak, aby obsah obdélníku byl co největší. Jde tedy o to, nalézt lokální extrém funkce N. Budeme hledat - takové, kdy derivace N je nulová. Nejprve tedy N derivujeme. Z 4 4 4 1 N Z = -R36 − 4- = R36 − 4- + - 36 − 4- −8- 3 3 3 2 4 4 4 = R36 − 4- − 3 3 √36 − 4- Nyní budeme řešit rovnici N Z - = 0 4 4 4 R36 − 4- − - =0 3 3 √36 − 4- 4 R36 − 4- − - =0 √36 − 4- 36 − 4- − 4- = 0 36 − 8- = 0 8- = 36 1 36 - = ∙ 2 4 3 -= √2 Z výše uvedeného vzorce vypočteme 1 3 1 9 1 36 6 1 1 2 W = 36 − 4 K L = 36 − 4 = 36 − = 1 − = 2 = 2 3 2 2 3 3 3 2 √2 √2

Plocha obdélníka tedy bude z=

4 3 3 4 36 4 ∙ 6 1 24 1 24 1 24 36 − 4 K L = 36 − 1 − = = = ∙ = = 12 3 √2 2 2 √2 2 √2 √2 2 √2 √2 √2

Vepsaný obdélník bude mít rozměry 2- = 3√2 ; 2W = 2√2 a jeho plocha bude z = 12. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3c Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 5 litrů měla nádoba minimální povrch. Jaké by měla mít rozměry, byla-li by bez víka? V tomto zadání jsou skryty dvě úlohy. Nejprve budeme řešit úlohu s víčkem, potom úlohu bez víka. Pro obě úlohy využijeme stejnou symboliku i celý výpočetního postupu. Jediný rozdíl bude v započítání plochy víka do celkového povrchu. Zadání objemu z úlohy převedeme z 5 litrů na 5000 centimetrů krychlových, aby výsledek byl v centimetrech, což je běžnější délková jednotka, než decimetr. Situaci pro obě úlohy přibližuje obrázek. ∀∃

26


ČÁST 7

| = V\ = 5000

Objem nádoby je dán vzorcem

5000 V\ Dále si uvědomíme, že plocha podstavy válce je dána vzorcem pro plochu kruhu z = V\ Plocha stěny válce je dána vzorcem 5000 10000 z = 2V\ = 2V\ = V\ \ Úloha s víkem z = 2z + z 10000 z = N\ = 2V\ + \ Vypočteme derivaci (pozor, proměnná je nyní \) 10000 N Z \ = 4V\ − \ Povrch má být minimální, proto budeme hledat takový poloměr, aby derivace byla nulová. Řešíme rovnici 10000 N Z \ = 4V\ − =0 \ 4V\ = 10000 Odtud dostáváme Odtud odvodíme výšku

=

\=

=

5000

V I

∀∃

5000 2V J

=

5000

V '5000. 2V

10000 5000 = ≈ 9.2668054481521 2V 4V =

25000000000 V '

5000 2V .

4 ∙ 5000 5000 = = ≈ 18,5336108963044 V V 4V

27


ČÁST 7 z = z + z

Úloha bez víka

z = N\ = V\ +

Vypočteme derivaci (pozor, proměnná je nyní \)

10000 \

10000 \ Povrch má být minimální, proto budeme hledat takový poloměr, aby derivace byla nulová. Řešíme rovnici 10000 N Z \ = 2V\ − =0 \ 2V\ = 10000 Odtud dostáváme N Z \ = 2V\ −

\=

=

5000

5000 V I V J

=

5000

10000 5000 = ≈ 11.6754432494074 2V V

V '5000. V

=

25000000000 5000 V ' V .

∙ 5000 5000 = = ≈ 11.6754432494074 V V V

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3d Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. Problematiku úlohy osvětlí obrázek.

= N- = - + E − - = 2- − 2E- + E Součet obsahu čtverců má být minimální, proto je třeba derivovat a hledat, kdy bude derivace nulová. Řešíme tedy rovnici N′- = 4- − 2E = 0 E -= 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Plocha obou čtverců je

∀∃

28


ČÁST 7

Ze všech obdélníků daného obsahu S vyberte ten, jehož obvod je minimální. Lze nalézt takový obdélník s maximálním obvodem? Rozměry obdélníku jsou E a , jeho plocha je z = E a jeho obvod je = 2E + . Z plochy vyjádříme

Řešení 3e

= a dosadíme do vzorce pro obvod

z = NE = 2E + E Obvod má být minimální, budeme tedy hledat lokální extrém. Derivujeme a řešíme rovnici (proměnnou je v tomto případě E) z N Z E = 2 K1 − L = 0 E z 1− =0 E E = z E = √z

z z = = √z E √z Nejmenší obvod tedy má čtverec. Obdélník s největším obvodem neexistuje. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Odtud odvodíme

=

Řešení 3f Ze všech pravoúhlých trojúhelníků, jejichž součet délek odvěsen je roven 3, vyberte ten s největším obsahem. Jak vypadá takový trojúhelník s minimálním obsahem? Úlohu přiblíží obrázek

1 z = N- = -3 − - 2 Máme najít trojúhelník s největším obsahem, budeme tedy derivovat a hledat případ, kdy je derivace nulová. 1 1 3 - - 3 N′- = 3 − - − - = − − = − 2 2 2 2 2 2 Obsah trojúhelníku je v našem případě dán vzorcem

∀∃

29


ČÁST 7 N Z =

3 −- =0 2

3 2 Tento výsledek znamená, že největší obsah bude mít rovnoramenný trojúhelník. Nejmenší obsah bude mít za těchto podmínek trojúhelník degenerovaný v úsečku délky 3. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Odtud

-=

Nalezněte válec největšího objemu vepsaný do koule o poloměru R. Situaci na osovém řezu válcem znázorňuje obrázek. Poloměr válce je \ a je jeho poloviční výška.

Řešení 3g

= R{ − \ Objem válce je dán vzorcem ( je poloviční výška) | = V\ 2 Dosadíme za a dostáváme objem jako funkci poloměru podstavy.

Vztah mezi základními rozměry je dán Pythagorovou větou.

| = N- = V\ 2R{ − \ = 2V\ R{ − \ Protože hledáme největší možný objem, budeme derivovat (proměnná je \) a hledat, kdy je derivace nulová. −2\ N Z - = 2V2\R{ − \ + 2V\ 2√{ − \ Nyní budeme řešit rovnici −2\ 2V2\R{ − \ + 2V\ =0 2√{ − \ 2 ∙ 2V2\{ − \ + 2V\ −2\ = 0 8V\{ − \ − 4V\ = 0 8\{ − \ − 4\ = 0 8\{ − 8\ − 4\ = 0 8\{ − 12\ = 0

∀∃

30


ČÁST 7 12\ = 8\{ 3\ = 2\{ 2\{ \ = 3 2{ \ = 3

Nyní vypočteme poloviční výšku

\ = {

2 3

= R{ − \

Celková výška válce je

2 2{ 1 = { − { = { − = { 3 3 3 2 = 2{

1 3

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Do půlkruhu o poloměru \ vepište obdélník maximální plochy. Vztahy v úloze ozřejmí obrázek (E označuje polovinu délky jedné strany)

Řešení 3h

Plocha obdélníka se zjistí podle vzorce z = 2E, kde = √\ − E Tedy můžeme plochu vyjádřit jako funkci proměnné E.

z = NE = 2ER\ − E Hledáme maximum, takže budeme derivovat a hledat kdy je derivace nulová. −2E N Z E = 2R\ − E + 2E 2√\ − E Z E N =0 −2E 2R\ − E + 2E =0 2√\ − E 2\ − E − 2E = 0 ∀∃

31


ČÁST 7 \ − E − E = 0 \ − 2E = 0 2E = \ \ E = 2 1 \ E = \ = 2 √2

Odtud

= R\ − E

\ \ \ \ = \ − K L = \ − = = 2 2 √2 √2

Rozměry obdélníku a jeho plocha jsou 2E = √2\ ; =

√

; z = √2\

√

= \

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Z kruhového papíru o poloměru \ vystřihněte výseč tak, aby po jejím slepení vznikl kuželový kornout maximálního objemu. Jaký úhel svírala ramena výseče? Vztahy v úloze ozřejmuje obrázek, kde je plášť kužele v rozvinutém tvaru a osový řez kuželem.

Řešení 3i

Nejprve si uvedeme potřebné vztahy. Plocha pláště v rozvinutém tvaru (kruhová výseč).

Povrch kužele Délka kruhového oblouku výseče

Délka obvodu podstavy kužele ∀∃

= V\

\ = 2V 2

= V{\

= 2V\

= \2V

= 2V{

32


ČÁST 7 = R\ − {

Výška kužele

1 | = 2V{ 3 Objem kužele chceme maximalizovat, budeme tedy hedat, kdy bude nulová derivace funkce, která objem vyjadřuje. Proměnnou bude vrcholový úhel kruhové výseče. Ze vztahů pro získáme závislost mezi oběma poloměry. \- = 2V{ \{= 2V Budeme upravovat výraz pro objem tak, abychom v něm měli jen základní hodnoty, kterými jsou \ a -.

Objem kužele

1 - 1 \- \- 1 \- K1 − ' | = 2V{ R\ − { = 2V ' . \ − ' . = 2V \ . L 3 2V 3 2V 2V 3 2V

1 \ - 2V − - 1 \- 1 \ - − - = R2V R2V − - = 2V = 2V 2V 2V 3 3 2V 2V 3 2V

\ - R2V − - 32V Nyní už můžeme zapsat objem jako funkci vrcholového úhlu výseče \ | = N- = - R2V − - 32V Tuto funkci budeme derivovat \ \ 1 −2 − - + N Z - = 2-R2V - 32V 32V 2 R2V − - =

= =

\ \ 1 − - − 2-R2V - 32V 32V R2V − - \ 1 I2-R2V − - − - J 32V R2V − -

Nyní budeme zjišťovat, kdy je tato derivace nulová \ 1 N Z - = I2-R2V − - − - J=0 32V R2V − - 1 2-R2V − - − - =0 R2V − - 1 2-R2V − - = - R2V − - 2-2V − - = - Jedním řešením je - = 0, toto řešení ale je řešením pro minimální objem. Ten nás nezajímá. 22V − - = - 8V − 2- = - 8V = 3- ∀∃

33


Řešením tedy je

ČÁST 7 8 - = V 3

8 8 - = V = V 3 3

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀∃

34

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Recommend Documents