Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id

6.1. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {ܺሺ‫ݐ‬ሻ; 0 ≤ ‫≤ ݐ‬ ∞} di mana nilai yang mungkin dari ܺሺ‫ݐ‬ሻ adalah bilangan bulat tak negatif. Batasan dari kasus ini, di mana {ܺሺ‫ݐ‬ሻ} adalah suatu proses Markov dengan probabilitas transisi stasioner. Dengan demikian, fungsi probabilitas transisi untuk ‫ > ݐ‬0, ܲ௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻ = Pr{ܺሺ‫ ݐ‬+ ‫ݑ‬ሻ = ݆|ܺሺ‫ݑ‬ሻ = ݅},

i, j = 0, 1, 2, …..

adalah independen dari ‫ ≥ ݑ‬0. Fungsi diatas digunakan dalam menyelidiki model stokastik untuk probabilitas yang sangat kecil yang berkaitan dengan proses kelahiran. Dengan menggunakan sifat Markov, fungsi ܲ௜௝ ሺℎሻ untuk ℎ yang kecil akan diperoleh suatu persamaan diferensial dengan batas yang sesuai yaitu ܲ௜௝ ሺ‫ݐ‬ሻ untuk semua ‫ > ݐ‬0. Untuk selanjutnya akan dikenalkan proses kelahiran murni yang ditinjau dari proses Poisson.

6.1.1. Dalil – Dalil untuk Proses Poisson Dari bab 5 telah dijelaskan bahwa proses Poisson didefinisikan oleh dalil-dalil sederhana. Untuk menentukan proses-proses yang lebih umum dari jenis yang sama, akan ditunjukkan berbagai sifat lebih lanjut yang menunjukkan berjalannya proses Poisson. Secara khusus, proses Markov pada bilangan bulat tak negatif memiliki sifat sebagai berikut. (i)

Pr{ܺሺ‫ ݐ‬+ ℎሻ − ܺሺ‫ݐ‬ሻ = 1|ܺሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ߣ = }ݔ‬ℎ + ‫݋‬ሺℎሻ ܽ‫ ݏ‬ℎ ↓ 0

ሺ‫ = ݔ‬0, 1, 2, … . ሻ

Dari persamaan (i) diperoleh interpretasi sebagai berikut Pr {ܺሺ‫ ݐ‬+ ℎሻ − ܺሺ‫ݐ‬ሻ = 1|ܺሺ‫ݐ‬ሻ = ‫}ݔ‬ =ߣ ௛→଴ା ℎ lim

Suatu fungsi ݂ dikatakan ‫݋‬ሺℎሻ apabila lim௛→଴

௙ሺ௛ሻ ௛

= 0 . Dapat dilihat bahwa besarnya

probabilitas independen dari ‫ݔ‬. (ii) Pr{ܺሺ‫ ݐ‬+ ℎሻ − ܺሺ‫ݐ‬ሻ = 0|ܺሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ = }ݔ‬1 − ߣℎ + ‫݋‬ሺℎሻ ܽ‫ ݏ‬ℎ ↓ 0. (iii) ܺሺ0ሻ = 0 Sifat (i), (ii), dan (iii) lebih mudah digunakan dengan perhitungan langsung, karena rumus eksplisit untuk semua probabilitas yang relevan telah tersedia.


6.1.2 Proses Kelahiran Murni Akan didefinisikan proses kelahiran murni sebagai dalil proses Markov dengan

laju {ߣ௞ } :

ሺ݅ሻ Pr{ܺሺ‫ ݐ‬+ ℎሻ − ܺሺ‫ݐ‬ሻ = 1| = 0} = / ℎ + 1,/ ℎ ℎ ⟶ 0+ Pr { + ℎ − = 0| = 0} = 1 − / ℎ + 3,/ ℎ Pr{ + ℎ − < 0| = 0} = 0

0 ≥ 0

(6.1)

Untuk memudahkan dalam menjelaskan definisi proses kelahiran murni sering

ditambahkan dalil proses Markov yaitu, (iv) X(0)=0

Dimana bukan merupakan ukuran populasi tetapi jumlah kelahiran dalam

interval waktu 0, ].

Sisi kiri dari persamaan (i) dan (ii) adalah /,/,1 ℎ dan /,/ ℎ, sehingga

1,/ ℎ dan 3,/ ℎ tidak tergantung pada .

Ditetapkan 6 = Pr { = 7} dengan asumsi 0 = 0.

Dengan cara yang sama untuk proses Poison, dapat diambil persamaan

diferensial yang didukung oleh 6 untuk t≥0, sehingga didapat (i)

(ii)

8

89

8

89

: + ; = −+ + + <1 1 = + = −+ +

(6.2)

: 6 ; = −6 + <6 6 + <6,1 6,1 + 6>1 6>1 = 6 = −6 6 + −6>1 6>1

dengan syarat

? 0 = 1

6 0 = 0

70 7 ≥ 1

7>0

jika h >0, 7 ≥ 1, maka dalil proses Markov (iii) diperoleh ∞

6 + ℎ = @ / Pr{ + ℎ = 7| = 0} /A+ ∞

= @ / Pr{ + ℎ − = 7 − 0| = 0} /A+ 6

= @ / Pr{ + ℎ − = 7 − 0| = 0} /A+


Selanjutnya untuk 0 = 0,1,2, … , 7 − 2, maka

Pr{ + ℎ − = 7 − 0| = 0}

≤ Pr{ + ℎ − ≥ 2| = 0}

atau

= 1,/ ℎ + 3,/ ℎ Pr{ + ℎ − = 7 − 0| = 0} = B,6,/ ℎ

sehingga

0 = 0,1, … 7 − 2 6>3

6 + ℎ = 6 C1 − 6 ℎ + 3,6 ℎD + 6>1 C6>1 ℎ + 1,6>1 ℎD + @ / B,6,/ ℎ0 /A+

atau

6 + ℎ − 6 = 6 C−6 ℎ + 3,6 ℎD + 6>1 C6>1 ℎ + 1,6>1 ℎD + 6 ℎ

(6.3)

terlihat jelas bahwa lim)↓+ 6 ℎ⁄ℎ = 0 seragam untuk ≥ karena 6 ℎ

merupakan batas dari jumlahan berhingga ∑6>3 /A+ B,6,/ ℎ yang tidak tergantung pada .

Dari (6.3) diketahui bahwa 6 merupakan fungsi kontinu pada . Mengganti

dengan − ℎ dalam (6.3), membaginya dengan ℎ dan menuju lim ℎ ↓ 0 sehingga

dapat ditentukan

masing-masing 6 yang memiliki turunan dari sisi kiri yang

hasilnya sama pada persamaan (6.2). Dari (6.2)(i), diperoleh

+ = GH{−+ }

untuk > 0

Dimana M/ adalah waktu antara kelahiran ke-0 dan ke-0 + 1 sehingga 6>1

6

A+

A+

(6.4)

6 = N O@ M ≤ < @ M P

Variabel random M/ merupakan “waktu singgah” antara kelahiran dan />1

Q/ = @ M = waktu dimana kelahiran ke − 0 terjadi.

A+

Dapat dilihat dari persamaan (6.4) bahwa + = GHR−+ ], sehingga N{M+ ≤ } = 1 − N{ = 0} = 1 − GH{−+ }

Dengan kata lain, M? berdistribusi eksponensial dengan parameter + . Sehingga

dapat ditarik kesimpulan dari dalil (i) hingga (iv) bahwa M/ , 70 0 > 0, juga

berdistribusi eksponensial dengan parameter / dan M adalah independen.

Uraian diatas mendiskripsikan karakteristik proses kelahiran murni merupakan

bagian dari waktu singgah, berbeda dengan karakteristik persamaan(6.1).


Dengan S6 = G TU 9 6 untuk 7 = 0.1, … maka

S6= = 6 G TU 9 6 + G TU 9 6= = G TU 9 R6 6 + 6= ] = G TU 9 6>1 6>1

Rmenggunakan 6.2]

Kedua sisi diintegralkan dengan syarat S6 0 = 0 70 7 ≥ 1 9

S6 = W ℯ T U Y 6>1 6>1 Z ?

atau

9

6 = 6>1 ℯ >T U 9 W ℯ T U Y 6>1 Z , ?

7 = 1,2, …

Terbukti bahwa / ≥ 0, tetapi masih ada kemungkinan

6.5

\

@ 6 < 1

6A+

Untuk menjamin kebenaran proses ∑\ 6A+ 6 = 1 untuk semua , kita harus membatasi / menurut \

\

6A+

6A+

@ 6 = 1 ⟺ @

1 =∞ 6

6.6

Dari hasil diatas menyatakan bahwa waktu M/ antara kelahiran berurutan

adalah berdistribusi eksponensial dengan parameter / . Meskipun kuantitas Σ^ 1/6

sama dengan perkiraan waktu sebelum populasi menjadi tak terhingga. Dengan perbandingan 1 − ∑\ 6A+ 6 adalah probabilitas dari = ∞.

Jika Σ^ 6 >1 < ∞ maka perkiraan waktu untuk populasi menjadi tak hingga

adalah berhingga. Akan masuk akal bahwa untuk semua > 0 probabilitas = ∞

adalah positif.

Saat tidak ada dua dari parameter kelahiran + , 1 , … yang sama, persamaan

turunan (6.5) memberikan rumus eksplisit + = ℯ >T ` 9 , 1 = + a dan

1 1 ℯ >T ` 9 + ℯ >T b 9 c, 1 − + + − 1

6.7


6 = Pr{ = 7|X0 = 0} dimana

= + . . . 6>1 Cf+,6 ℯ >T ` 9 + ⋯ + f6,6 ℯ >T U 9 D untuk 7 > 1

f+,6 = f/,6 =

1 , 1 − + … 6 − +

1 + − / … />1 − / /,1 − / … 6 − /

untuk 0 < 0 < 7, f6,6 =

(6.8)

6.9

1 , + − 6 … 6>1 − 6

Dimana ≠ / dengan asumsi ≠ 0,

Akan diuji bahwa 1 yang diberikan oleh (6.7) memenuhi (6.5). Persamaan

(6.4) memberikan + = ℯ >T `9 . Kemudian persamaan (6.5) diganti 7-nya dengan

7 = 1 maka diperoleh 1 = + ℯ = + ℯ

>T b 9

9

W ℯ T b Y ℯ >T ` Y Z +

>T b 9

= + jT

1

+

b >T`

− 1 >1 R1 − ℯ >T ` >Tb 9 ]

ℯ >T ` 9 + T

1

` >Tb

ℯ >T b 9 k,

(Pembuktian dari (6.7)).

6.1.3. Proses Yule Proses Yule menggambarkan pertumbuhan populasi di mana setiap anggota

memiliki probabilitas lℎ + ℎ melahirkan anggota baru selama selang waktu

ℎl > 0. Dengan asumsi independen dan tidak ada interaksi antar anggota populasi, maka teorema binomial memberikan

7 N{ + ℎ − = 1| = 7} = j k Rlℎ + ℎ]R1 − lℎ + ℎ]6>1 1 = 7lℎ + 6 ℎ;

Untuk proses Yule parameternya sangat kecil yaitu 6 = 7l. Dengan laju

kelahiran total populasi sebanding dengan ukuran populasi, proporsionalitas konstanta laju kelahiran individu l. Dengan demikian, proses Yule membentuk analog stokastik

dari model pertumbuhan populasi deterministik diwakili oleh persamaan diferensial 8m 89

= no. Dalam model deterministik, laju

8m 89

dari pertumbuhan populasi sebanding

dengan ukuran populasi y. Dalam model stokastik, peningkatan deterministik Zm yang


kecil oleh kemungkinan peningkatan unit selama interval waktu dt sangat kecil. Hubungan yang sama antara parameter laju deterministik dan kelahiran (kematian) sering muncul dalam pemodelan stokastik. Persamaan (6.2) dalam kasus bahwa X (0) = 1 menjadi

6′ = −lR7 6 − 7 − 1 6>1

di syarat awal

1 0 = 1

solusinya adalah

6 0 = 0

6 = G >q9 1 − G >q9 6>1

7 = 1, 2, ….

7 = 2, 3, ….

7≥1

(6.10)

Solusi umum analog dengan (6,8), tetapi proses kelahiran murni dimulai dari X (0) = 1 adalah

6 = 1 … 6>1 Cf1,6 G >Tb 9 + ⋯ + f6,6 G >TU 9 D,

7>1

(6.11)

Ketika 6 = l6 , maka persamaan (6.11) tereduksi menjadi solusi yang diberikan dalam (6.10) untuk proses Yule dengan parameter l. Maka f1.6 =

= =

f3.6 = = = dan l/,6 = =

1 3 − 1 B − 1 ∙∙∙ 6 − 1 1 l 6>1 12 ∙∙∙ 7 − 1 1 l 6>1 7 − 1!

1 1 − 3 B − 3 ∙∙∙ 6 − 3 1

l 6>1 −112 −1 − 2!

∙∙∙ 7 − 1

l 6>1 7

1 1 − / ∙∙∙ />1 − / /,1 − / ∙∙∙ 6 − /

−1/>1 l 6>1 0 − 1! 7 − 0!


Jadi, menurut (6.11)

6 = l 6>1 7 − 1! f1,6 G >q9 +∙∙∙ +f6,6 G >q9 6

=@

/A1

7 − 1! −1/>1 G >/q9 0 − 1! 7 − 0! 6>1

= G >q9 @ A+

7 − 1! −G >q9 ! 7 − 1 − !

= G >q9 1 − G >q9 6>1 Contoh Soal :

1. Sebuah proses kelahiran murni dimulai dari X(0)=0 yang mempunyai parameter + = 1, 1 = 3, 3 = 2, B = 5 . Tentukan 7 untuk = 0,1,2,3. Penyelesaian : • •

6 untuk 7 = 0, 1 digunakan rumus persamaan (6.7) 6 untuk 7 = 2, 3 digunakan rumus persamaan (6.8)

Untuk 7 = 0, 1 maka

+ = G T` 9 = G >19 = G >9 1 = + jT

1

b >T`

1

G >T` 9 + T 1

1

` >Tb

= 1 jB>1 G >9 + 1>B G >B9 k

G Tb 9 k

1

= 3 G >9 − G >B9 1

= 3 + − G >B9

Untuk 7 = 2, 3 maka

3 = + 1 Cf+,3 G >T` 9 + f1,3 G >Tb9 + f3,3G >Tt 9 D

Dimana,

1 b >T` Tt >T`

f+,3 = T f1,3 = T

1

` >Tb Tt >Tb

f3,3 = T

1

` >Tt Tb >Tt

1

1

1

1

= B>13>1 = 3

= 1>B3>B = 3 1

= 1>3B>3 = −1

Sehingga 1

1

3 = 1.3 j3 G >9 + 3 G >B9 − G >39 k B

= 3 G >9 + G >B9 − 2G >39

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id B

= G >9 1 + G >39 − 2G >9 3 B

= G >9 1 − G >9 3 3

B = + 1 3 Cf+,B G >T` 9 + f1,B G >Tb 9 + f3,B G >Tt 9 + fB,B G >Tu 9 D

Dimana,

1

f+,B = T f1,B = T

1

fB,B = T

1

` >Tu Tb >Tu Tt >Tu

1

1

w

1

= 1>3B>3v>3 = −

` >Tt Tb >Tt Tu >Tt

1

1

= 1>B3>Bv>B = x

` >Tb Tt >Tb Tu >Tb

f3,B = T

1

= B>13>1v>1 =

b >T` Tt >T` Tu >T`

1

= 1>vB>v3>v = −

1 B

1

3x

Sehingga 1

1

1

B = 1.3.2 j G >9 + G >B9 − G >39 − w

=

y

3x

1

x

B

1

3x

G >v9 k

3G >9 + 6G >B9 − 8G >39 − G >v9

= x 3G >9 + 6G >B9 − 8G >39 − G >v9

2. Sebuah tproses kelahiran murni dimulai dari 0 = 0 yang mempunyai parameter kelahiran + = 1, 1 = 3, 3 = 2, B = 5. Diberikan W3 sebagai waktu random dengan

state 3.

a. Tuliskan W3 sebagai jumlahan dari waktu singgah dan buktikan bahwa waktu rata-rata E[W3] =

11 y

Penyelesaian :

QB = ∑3 A+ M = M1 + M3 + MB

1

1

1

1

1

{RQB ] = ∑3 A+ M = M+ + M1 + M3 = T + T + T = 1 + B + 3 = `

b

t

b. Tentukan mean W1 + W2 + W3 Penyelesaian :

1

Q1 = M+ = T = 1 `

1

1

1

x

Q3 = M+ + M1 = T + T = 1 + B = B `

b

1

1

1

1

1

QB = M+ + M1 + M3 = T + T + T = 1 + B + 3 = `

b

t

x

{RQ1 + Q3 + QB ] = Q1 + Q3 + QB = 1 + B +

11 y

11 y

=

3v y

11 y

(Terbukti)


c. Berapakah variansi W3? Penyelesaian : Var [ W3 ] = Var [ S0 + S1 + S3 ] = |N } =

1

Tt`

+

1

T`

1

Ttb

+

+

1

Tb

1

Ttt

+

1

Tt

~

1

1

= 1+ + =

x

x

By

3. Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiran / = n + 0l

untuk k=0, 1, 2, ……dimana n merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai

kelajuan kelahiran individu. Dianggap bahwa X(0)=0, tentukan Pn(t) untuk n=0, 1, 2, ….. Penyelesaian : λ0=α

,

λ1 = α + β

, λ2 = α + 2β

3 = + 1 Cf+,3 G >T` 9 + f1,3 G >Tb9 + f3,3G >Tt 9 D

Dimana,

f+,3 = T f1,3 = T

1

b >T` Tt >T`

1

` >Tb Tt >Tb

f3,3 = T

1

` >Tt Tb >Tt

Sehingga

1

1

1

= ,q>,3q> = 3qt 1

1

= >>q,3q>>q = − qt 1

1

= >>3q,q>>3q = 3qt 1

1

3 = nn + l j3qt G >9 − qt G >9>q9 + 3qt G >9>3q9 k = = =

,q 3q t

,q 3q t

,q 3q t

:G >9 − 2G >9>q9 + G >9>3q9 ; G >9 :1 − 2G >q9 + G >3q9 ; G >9 1 − G >q9 3

Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari

Recommend Documents