Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Limita funkcie 2x2  x 1 y  x  x 1

y  x   2x  1

2 x2  x 1 lim 3 x 1 x 1

Čo rozumieme pod blížiť sa ?

Porovnanie funkcií 2x2  x 1 y  x  x 1 2 x2  x 1 lim 3 x 1 x 1

1-

1+

y  x   2x  1

Limita funkcie lim f  x   b x a

Ak ku každému číslu  , existuje také  okolie bodu a, že pre každé číslo xa, z tohto okolia je  f(x) – b  < 

GEOMETRICKY

Pozn. Nezáleží na tom, ako sa správa funkcia v bode x=a, tento bod v definícii nevystupuje, iba jeho okolie.

VYTVORME  PÁS Nech:

2 x2  x 1  3  2x  2  2 x 1   x 1

Hľadáme okolie, z ktorého môžme vyberať x, aby sme sa od 3 nevzdialili ďalej ako o 

x 1 

 2

1-

Dosadíme do definície:

Ku každému  , vieme nájsť také = /2 okolie bodu 1, že pre každé číslo x1 z tohto okolia je  f(x) – 3  < 

1+

Neexistencia limity Nedokážeme nájsť také okolie bodu c, aby všetky funkčné hodnoty pre tieto x padli do pásu

všetky funkčné hodnoty pre akekoľvek x padnú mimo  pásu Pre tento pás neexistujú vhodné x

Výpočet limít úpravami

Pri úpravách “odstraňujeme” zakázané x

Nevlastná limita Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu  (- ) , keď ku každému číslu K, existuje také okolie čísla a, že pre každé xa z tohto okolia je f(x)>K (f(x)
K

lim f  x    x a

Nedokážem funkciu v danom bode ohraničiť

Funkcia má v čísle a nevlastnú limitu , keď ku každému číslu K, existuje také okolie čísla a, že pre každé xa z tohto okolia je f(x)>K (f(x)
1

 x  1

2

x 1 

K

1 K

Dosadíme do definície:

Funkcia má v čísle a=1 nevlastnú limitu , lebo ku každému číslu K, existuje také okolie čísla a=1:

1 x 1  K

že pre každé x1 z tohto okolia je f(x)>K .

Limita v nevlastnom čísle Čo rozumieme pod blížiť? Funkcia má v nevlastnom bode , limitu b, ak ku každému číslu >0, existuje také okolie (k, ) nevlastného bodu , že pre každé x z tohto okolia, t.j x>k platí:  f(x)-b  <  .

lim f  x   b x 

Limita postupnosti Postupnosť – funkcia s definičným oborom prirodzených číslam

lim an  b x 

  0 n0 n  n0 : an  b  

an0

Postupnosť má limitu b, vtedy, ak ku každému >0, existuje určitý člen postupnosti an0 od ktorého všetky ďalšie členy sa líšia od hodnoty b menej ako  .

Zhrnutie Funkcia môže mať limitu: Konečnú, rovnú hodnote a (vlastná limita) Nekončne veľkú (nevlastná limita) Nemusí existovať (napr. ak limita sprava sa nerovná limite zľava)

Pomocné vety lim f ( x)  b

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

x a

lim g ( x)  c x a

lim  f ( x)  g ( x)   lim  f ( x)   lim  g ( x)   b  c x a

x a

x a

x a

x a

lim  f ( x)  g ( x)   lim  f ( x)   lim  g ( x)   b  c f ( x) b f ( x) lim x a lim   x a g ( x) lim g ( x) c x a

x a

ak lim g ( x)  0 x a

Pomocné vety lim f ( x)  

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

x a

lim g ( x)  c x a

lim  f ( x)  g ( x)   lim  f ( x)   lim  g ( x)     c   x a

x a

x a

lim  f ( x)  g ( x)     lim  g ( x)     c   x a

x a

Neurčité výrazy, výpočet treba urobiť osobitne, často pomôže vhodná úprava

 0   , , , 0  0

Príklad, ktorý ukazuje, ako je dôležité rozumieť, čo znamená blížiť sa k bodu.

Toto som si mohol dovoliť iba v prípade, že neberem do úvahy pri úpravach bod 0, inak by som delil nulov !!!!

lim  x 2  3x  x 2  1  x   

UKÁŽKY NIEKTORÝCH ČASTO POUŽÍVANÝCH LIMÍT

meranie uhlov

Jednotková kružnica s orientovaným uhlom

Oblúková miera – veľkosť uhla  sa vyjadruje dĺžkou oblúka, ktorý vytínajú ramená uhla  na kružnici s jednotkovým polomerom so stredom vo vrchole uhla.

y

s  rradiany

A



1

3600 1rad   57 01745 2  radián 

x

 180

 stupne

Sínus a kosínus pre malé uhly (v radiálnoch)

Geometrická definícia sinusu a kosínusu sínus protiľahlá k prepone pre oblasť malých 𝝋:

kosínus priľahlá k prepone pre oblasť malých 𝝋:

cos   1  2sin 2

 2

Pomocná veta Zovretá funkcia Ak v okolí bodu a platí :

g  x   f  x   h( x )

a ak existujú limity:

lim g  x   L

tak existuje tiež limita:

lim f  x   L

x c

x c

lim   x   L x c

 zodpovedá dĺžke oblúku

𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

sin x 1 lim x x 0

Všetko sú párne funkcie, nerovnosti platia pre okolie bodu 0

cos x sin x OAB  2

x 1 2 x oblúk OAC   R  1 x 2 2 2 1  tgx ODC  2

x 1 cos x   sin x cos x

2

sin x lim 1 x 0 x

1 sin x   cos x cos x x

x 0 sin x 1 1 x

Vypočítajme tan x lim x 0 x sin mx lim m, n  0 x 0 sin nx 3 sin  x  2 x  lim x 0 x 1  cos x lim 1 2 x 0 x

EULLEROVE ČÍSLO DEFINOVANÉ CEZ LIMITU POSTUPNOSTI

a  b

n

n  n  1 n  2 2 n  n  1 n  2  ...2.1 n  a  na b  a b  ... b 1.2 1.2.3....n n

n 1

n

n1 1 1 1 1  1 yn   1    1   n  n  1 2  n  n  1 n  2  3  .... 1! n 2! n 3! n  n 1 1 1 1  n  n  1 n  2  ...  n  k  1 k  ...  n  n  1 n  2  ...  n  n  1 n k! n n! n n

1  1  1  1  2   1 yn  1    1  1  1    1  1    .... 2!  n  3!  n  n   n 1  1  2   k  1  1  1  2   n  1   1  1   ... 1   ...   1  1   ... 1   k !  n  n   n  n !  n  n   n  yn  1  1 

1 1 1 1 1 1   ....   1  1   2  ....  n 1 2! 3! n! 2 2 2

yn  3

Geometrický rad 2 Yn je monotónne rastúce s n a nepresiahne 3. Číslo ku ktorému sa približuje sa nazýva Eullerove a má hodnotu e2,718282...

Špecialne limity x

 1 1   e lim  x x  

lim 1  x x 0

1 x

e

Vypočítajme lim x ln  x  3  ln x  x 

 n  lim   n  n  1   lim  cos x  x 0

n

cot g 2 x

Nekonečne malé funkcie, ekvivalencia funkcií Pod nekonečne malou funkciou v bode x=x0 rozumieme f ( x)  0 funkciu, pre ktorú: xlim x 0

Uvažujme dve funkcie 1 a 2 nekonečne malé v okolí bodu x0. Označme: lim 1  x   A x  x0

2  x 

1  x  lim A x x   x  2 0

Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1

Obe funkcie môžeme v okolí bodu x0, nahrádzať jednu za druhú

Ekvivalencia nekonečne malých veličín Pod nekonečne malou funkciou v bode x=x0 rozumieme f ( x)  0 funkciu, pre ktorú: xlim x 0

1  x  lim A x x   x  2 0

Konečné reálne číslo rôzne od 0 Rovná nule Nevlastná Rovná 1

Obe funkcie môžeme v okolí bodu x0, nahrádzať jednu za druhú

Nekonečne malé funkcie, ekvivalencia funkcií Konečné reálne číslo rôzne od 0

Funkcie 1 a sú 2 rovnakého rádu malosti

Rovná nule

Funkcie 1 je vyššieho rádu malosti ako 2

Nevlastná

Funkcie 1 je nižšieho rádu malosti ako 2

Rovná 1

Funkciu sú v okolí bodu x0 ekvivalentné – vzájomne nahraditeľné

Príklady ekvivalentných funkcií v okolí bodu nula x0 sin x 1 x 0 x tgx lim 1 x 0 x

 sin x  x

lim

1  x  lim x 0

lim x 0

n

nx

1

 tgx  x 1

1  x   1 1 x 2

Ukážeme, že pre R a x 0:

a  b

n

 a n  na n 1b 

1

 1  x   1  nx n



1  x   1 

1  x 



1 x 2

 1  x

n  n  1 n  2 2 n  n  1 n  2  ...2.1 n a b  ... b 1.2 1.2.3....n

Ukážka využitia aproximácie lim x 0

1  x 1 1 1 x 2

 1 x 

1 x 1 2 0,003

627  625  2  625 1 

2  1 2   25 1   25, 040  625  2 625 

627  25.039968....

Ukážka využitia aproximácie V radianoch

sin x lim 1 x 0 x

sin

 180



 sin x  x

 180

 0, 017444

sin10  0, 017452....

Matematické kyvadlo 

l

l h





mg sin 

y

Fl

mg





mg sin 

Fl



Zväčšenina y

Pri malých uhloch to vyzerá ako na priamke, zakrivenie kružnice sa nestihlo prejaviť mg

F  mg sin  Nahradíme sin uhlom  v oblúkovej miere: y

y  l   

F 



mg y l g  l

l

Určte, ako sa mení hustota materialu pri tepelnej rozťažnosti

m m   1   t  V0 1   t  V0 1 1 1  x lim 1 x 0 x

 1  x   1  x 1