III. PEMODELAN Model Pertumbuhan Kontinu Terbatasnya sumber-sumber penyokong (ruang, air, makanan, dll) menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung lingkungan. Pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan berhenti jika daya dukung lingkungan tercapai. Model dari pertumbuhan populasi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: dx x⎞ ⎛ = rx ⎜1 − ⎟ (3.1) dt ⎝ K⎠ dengan, dx : laju perubahan populasi x terhadap dt waktu t . x : jumlah populasi suatu spesies pada waktu t. r > 0 adalah konstanta tingkat pertumbuhan intrinsik. K > 0 adalah daya dukung lingkungan (carrying capacity). Model ini pertama kali diusulkan oleh Verhulst (1838) yaitu seorang matematikawan dari Belgia. Verhulst menyebut model ini dengan persamaan logistik yang menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tunggal dengan waktu yang kontinu (Hallam and Levin, 1986).
x ( t ) : jumlah populasi suatu spesies pada waktu t > 0 . r ( t ) ≥ 0 : tingkat pertumbuhan populasi x
K (t ) :
pada waktu t daya dukung
lingkungan
yang
merupakan fungsi kontinu positif (carrying capacity). Model ini dinamakan persamaan logistik tak otonom karena tingkat pertumbuhan intrinsik ( r ) , carrying capacity ( K ) dan jumlah populasi ( x ) merupakan suatu fungsi yang tergantung pada waktu. Hal ini terjadi disebabkan karena adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan populasi tersebut. Salah satunya yaitu adanya pengaruh musim. Model Pertumbuhan Diskret Fenomena-fenomena perubahan populasi yang terjadi secara kontinu dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan laju perubahan populasi tersebut di masa yang akan datang. Seperti pada model (1.1). Tetapi, banyak juga fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini biasanya dimodelkan ke dalam suatu persamaan beda. Hal ini digambarkan oleh persamaan berikut: (3.3) ∆x ( t ) = I k ( x ( t ) ) , t = τ k , k = 1, 2,.....
Persamaan Logistik Tak Otonom Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik (1.1) yaitu persamaan logistik tak otonom, yang artinya secara eksplisit variabel t muncul dalam persamaan. Modelnya adalah sebagai berikut: ⎡ x (t ) ⎤ dx = r ( t ) x ( t ) ⎢1 − (3.2) ⎥, t > 0 dt ⎣⎢ K ( t ) ⎦⎥ dengan, dx : laju perubahan populasi x pada waktu t . dt
x (τ k + 1) − x (τ k ) = I k ( x (τ k ) ) , k = 1, 2,...
dengan, ∆x ( t ) : perubahan populasi x terhadap waktu t. I k : operator yang terbatas. τ k : waktu ke- k .
IV. ANALISIS MODEL Model (3.1) perubahan populasi dengan waktu yang komponen yang perubahan populasi
menggambarkan laju suatu spesies tunggal kontinu. Ada beberapa mempengaruhi laju tersebut yaitu jumlah
populasi, tingkat pertumbuhan intrinsik
(r)
yang dipengaruhi oleh tingkat kelahiran dan tingkat kematian, dan daya dukung
14
lingkungan
(K )
di California, Lophortyc californicus yang mengalami penurunan pada musim dingin dan musim semi dan kenaikan yang tiba-tiba pada bulan Juni ketika anak-anaknya muncul. (Sladen and Bang, 1969).
yang dipengaruhi oleh
sumber-sumber penyokong yang tersedia. Jika sumber makanan yang tersedia berlimpah maka populasi akan meningkat. Jika hal ini berlangsung terus, maka populasi yang terlalu besar akan menyebabkan terjadinya persaingan antar spesies untuk mendapatkan makanan yang sama. Sehingga lama kelamaan makanan yang tersedia akan menurun dan menyebabkan jumlah populasi menurun. Hal ini bisa mengakibatkan jumlah kematian akan meningkat. Dan jika tingkat produktivitasnya menurun, maka lambat laun pertumbuhan populasi akan lambat bahkan berhenti. Jika jumlah populasi x lebih besar dari daya dukung lingkungan K , maka tingkat pertumbuhan populasi akan menurun dan populasi menuju ke arah daya dukung lingkungan K . Dan jika jumlah populasi x lebih kecil dari K , maka tingkat pertumbuhan populasi akan meningkat dan populasi menuju ke arah daya dukung lingkungan K . Model (3.2) merupakan bentuk variasi dari persamaan logistik (3.1). Pada model (3.1), tingkat pertumbuhan intrinsik dan daya dukung lingkungan merupakan konstanta positif. Sedangkan pada model (3.2), r dan K merupakan suatu fungsi dari waktu. Sehingga, model (3.2) ini dinamakan persamaan logistik tak otonom, karena r dan K tergantung pada waktu. Adanya perbedaan musim yang terjadi pada suatu wilayah atau tempat bisa menjadi salah satu sebab adanya perbedaan tingkat pertumbuhan dan daya dukung lingkungan menurut waktu tertentu. Misalnya saja pada musim kemarau suatu spesies tertentu mengalami kekurangan makanan dan air disebabkan kekeringan. Hal ini bisa menyebabkan angka kematian spesies tersebut menjadi tinggi karena ketergantungan spesies tersebut pada sumber makanan dan air. Tentu saja kondisi ini akan berbeda ketika berada pada musim-musim yang lain. Dimana angka kematian dan angka kelahiran bisa berubahubah sesuai dengan musim tertentu. Dan juga perbedaan musim ini bisa menyebabkan daya dukung lingkungannya berbeda-beda juga. Sehingga menyebabkan populasi tersebut mengalami fluktuasi. Banyak populasi binatang yang mengalami fluktuasi secara musiman dengan penurunan populasi pada musim dingin, titik rendah pada musim semi, kenaikan pada musim panas dan titik yang tinggi pada musim gugur. Misalnya saja populasi burung puyuh
Model (3.1) dan (3.2) menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tanpa adanya pemanenan. Artinya, tidak ada pengaruh dari luar (seperti perburuan, pemancingan, dll) yang mempengaruhi laju perubahan populasi tersebut. Model (3.3) menggambarkan fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Ada beberapa spesies hewan yang biasanya mengalami proses kelahiran dan masa kawin setiap satu tahun sekali, sehingga ukuran populasi hewan tersebut dihitung setiap satu tahun sekali. Oleh karena itu, model ini merupakan model yang sesuai untuk memprediksikan fenomena perubahan populasi yang dihitung secara tahunan. 4.1 Pencarian Solusi A. Mencari Solusi Persamaan (3.1) Solusi dari sistem (3.1) adalah sebagai berikut: Kx0 e rt . x (t ) = K + x0 ( e rt − 1)
[Uraian lebih lengkap lampiran 1].
dapat
dilihat
di
B. Mencari Solusi Persamaan (3.2) Persamaan (3.2) merupakan persamaan logistik tak otonom yang berarti fungsi r dan K tergantung pada waktu. Model (3.2) merupakan salah satu model yang sulit diselesaikan secara eksplisit. Oleh karena itu, untuk mendapatkan solusi dari sistem (3.2) diperlukan adanya suatu metode yaitu dengan menggunakan metode perkiraan. Solusi yang akan diperoleh dari persamaan ini yaitu dalam bentuk diskret. Model (3.2) merupakan tipe-Bernoulli dan persamaan ini dapat diselesaikan jika r dan K adalah kontinu sepotong-sepotong (piecewise continuous) pada R+ = [ 0, ∞ ) yang setiap bagiannya merupakan fungsi konstan. (Hallam and Levin, 1986). Berdasarkan definisi kontinu sepotong-sepotong (Rice and Strange, 1994), maka kita dapat membagi interval [ 0, ∞ ) ke dalam sejumlah hingga subinterval terbuka c < t < d , sehingga fungsi r dan fungsi K kontinu pada tiap subinterval dan fungsi r dan K mempunyai limit hingga
15
buktikan adalah r dan K kontinu pada tiap subinterval terbuka diatas. 1) Untuk interval 0 ≤ t < h ⎛ t ⎞ .h ⎟ = r ( 0.h ) = r ( 0 ) r⎜ h ⎝ ⎠
ketika t mendekati tiap-tiap titik ujung dari interval tersebut, sehingga lim+ r ( t ) dan lim− r ( t ) ada. t →c
t →d
lim K ( t ) dan lim− K ( t ) ada.
t →c +
t →d
Untuk mencari solusi sistem (3.2), fungsi r dan fungsi K didekati dengan fungsi bilangan bulat terbesar, yang merupakan fungsi kontinu sepotong-sepotong. Sehingga t pada t , fungsi r dan K kita ganti menjadi h dengan h > 0 yang menunjukkan ukuran langkah.
⎛ t ⎞ lim+ r ⎜ .h ⎟ = r ( 0.h ) = r ( 0 ) t →0 ⎝ h ⎠ ⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r ( 0.h ) = r ( 0 ) ⎝ h ⎠
t → h−
⎛ t ⎞ .h ⎟ = r ( 0 ) ∴ lim+ r ⎜ t →0 ⎝ h ⎠ ⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r ( 0 ) . h ⎝ ⎠ 2) Untuk interval h ≤ t < 2h ⎛ t ⎞ r⎜ .h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) h ⎝ ⎠
Persamaan (3.2) menjadi ⎛ ⎞ ⎛ t ⎞ r⎜ h ⎟ x (t ) ⎟ ⎜ h ⎛ ⎞ dx t ⎠ ⎟, = x (t ) ⎜ r ⎜ h − ⎝ ⎜ ⎝ h ⎟⎠ dt ⎛ t ⎞ ⎟ K⎜ h⎟ ⎟ ⎜ ⎝ h ⎠ ⎠ ⎝ τ t ∈ ⎡⎣ nh, ( n + 1) h ) , n ∈ Ζ 0 + , n ≠ k h
t → h−
⎛ t ⎞ lim+ r ⎜ .h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) t →h ⎝ h ⎠
(4.1)
t h
⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) ⎝ h ⎠
t → 2 h−
merupakan bilangan bulat terbesar yang
⎛ t ⎞ .h ⎟ = r ( h ) ∴ lim+ r ⎜ t →h ⎝ h ⎠
t kurang dari atau sama dengan . Artinya, h t t = n ↔ n ≤ < n +1 h h
⎛ t ⎞ lim r ⎜ .h ⎟ = r ( h ) . ⎝ h ⎠ dan seterusnya untuk interval-interval berikutnya. Begitu pula pada fungsi K , kita buktikan bahwa fungsi K kontinu pada tiap subinterval. 1) Untuk interval 0 ≤ t < h ⎛ t ⎞ .h ⎟ = K ( 0.h ) = K ( 0 ) K⎜ ⎝ h ⎠ t → 2 h−
nh ≤ t < ( n + 1) h. Jadi, t berada pada interval ⎡⎣ nh, ( n + 1) h ) dengan n ∈ Ζ 0 + . Jika kita uraikan, maka diperoleh beberapa subinterval: ⎧0 ;0 ≤ t < h ⎪1 ; h ≤ t < 2h ⎪⎪ t = n = ⎨2 ; 2h ≤ t < 3h . h ⎪3 ;3h ≤ t < 4h ⎪ ⎪⎩M
⎛ t ⎞ lim+ K ⎜ .h ⎟ = K ( 0.h ) = K ( 0 ) t →0 ⎝ h ⎠ ⎛ t ⎞ lim K ⎜ .h ⎟ = K ( 0.h ) = K ( 0 ) . ⎝ h ⎠ 2) Untuk interval h ≤ t < 2h ⎛ t ⎞ .h ⎟ = K (1.h ) = K ( h ) K⎜ h ⎝ ⎠ t → h−
Lemma. Fungsi r dan K yang didefinisikan seperti diatas adalah fungsi yang kontinu sepotong-sepotong.
⎛ t ⎞ lim K ⎜ .h ⎟ = K (1.h ) = K ( h ) h ⎝ ⎠
t → h+
Bukti: Untuk membuktikan bahwa dengan menggunakan fungsi bilangan bulat terbesar pada fungsi r dan K , akan kita dapatkan fungsi r dan K yang kontinu sepotongsepotong, maka pertama kali yang harus kita
⎛ t ⎞ lim K ⎜ .h ⎟ = K (1.h ) = K ( h ) , h ⎝ ⎠ dan seterusnya untuk interval-interval berikutnya. Jadi, terbukti bahwa fungsi r dan fungsi K kontinu pada tiap-tiap subinterval. t → 2 h−
16
C. Mencari Solusi Persamaan (3.3) Begitu pula untuk persamaan (3.3), kita pilih fungsi x adalah fungsi bilangan bulat terbesar, sehingga τ k pada fungsi x kita
Selanjutnya, kita buktikan bahwa lim+ r ( t ) dan lim− r ( t ) ada. t →c
t →d
t →c
t →d
lim+ K ( t ) dan lim− K ( t ) ada.
1) Untuk interval 0 ≤ t < h
ganti menjadi
⎛ t ⎞ lim r ⎜ h ⎟ = r (0) t → 0+ ⎝ h ⎠
τk
⎛ t ⎞ h ⎟ = r (0) lim r ⎜ t → h− ⎝ h ⎠
h
h Jadi,
⎛ t ⎞ h ⎟ = K ( h) , lim K ⎜ ⎝ h ⎠ dan seterusnya untuk interval–interval berikutnya dapat kita buktikan bahwa nilai limit kiri dan limit kanannya ada. t → 2 h−
Untuk menyederhanakan penulisan, maka kita tulis: r (n) 2 dx = r ( n) x (t ) − x ( t ) , t ∈ ⎡⎣ nh, ( n + 1) h ) . dt K (n)
lengkap
dapat
τk
berada
pada
interval
Dinotasikan x ( mk ) = x ( mk h ) , sehingga solusi dari sistem (3.3) adalah sebagai berikut: x ( mk + 1) = x ( mk ) + I k ( x ( mk ) ) . (4.5)
Sehingga solusi dari persamaan (3.22) adalah sebagai berikut:
[Uraian lebih lampiran 2].
< mk + 1
x ( ( mk + 1) h ) = x ( mk h ) + I k ( x ( mk h ) ) .
(4.2) dengan, r ( n ) = r ( nh ) dan K ( n ) = K ( nh ) .
K (n)
h
sehingga diperoleh, ⎛⎛ τ ⎞ ⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛ τ ⎞ x ⎜⎜ k +1⎟ h⎟ = x⎜ k h⎟ + Ik x⎜ k h⎟ , k = 1,2,... ⎠ ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝⎝ h (4.4) τk Karena = mk , maka h
⎡ r ( nh ) x ( t ) ⎤ dx = x ( t ) ⎢ r ( nh ) − ⎥. dt K ( nh ) ⎦⎥ ⎣⎢
− 1⎤⎦
τk
x (τ k + 1) − x (τ k ) = I k ( x (τ k ) ) .
diperoleh
x (n)
= mk ⇔ mk ≤
Dari persamaan (3.3) ∆x ( t ) = I k ( x ( t ) ) , t = τ k , k = 1, 2,...
t = n , maka dari persamaan (4.1) h
x ( n ) ⎡⎣e
.
⎡⎣ hmk , ( mk + 1) h ) , dengan mk ∈ Ζ . Jika kita uraikan, maka diperoleh ⎧1 ; h ≤ τ k < 2h ⎪ τk ⎪2 ; 2h ≤ τ k < 3h = mk = ⎨ h ⎪3 ;3h ≤ τ k < 4h ⎪⎩ M
⎛ t ⎞ lim K ⎜ h ⎟ = K (h) ⎝ h ⎠
r ( n)h
h
+
t → h+
e
τk
hmk ≤ τ k < ( mk + 1) h.
⎛ t ⎞ lim r ⎜ h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) ⎝ h ⎠
x ( n + 1) =
merupakan bilangan bulat terbesar yang
τk
⎞ h ⎟ = K (0). ⎠ h ≤ t < 2h ⎞ h ⎟ = r (1.h ) = r ( h ) ⎠
r ( n)h
= mk , k = 1, 2,...
Artinya,
t → 2 h−
Karena
h
kurang dari atau sama dengan
⎛ t ⎞ lim K ⎜ h ⎟ = K (0) t → 0+ ⎝ h ⎠ ⎛ t lim K ⎜ t → h− ⎝ h 2) Untuk interval ⎛ t lim r ⎜ t → h+ ⎝ h
τk
4.2 Penentuan titik tetap Titik tetap pada persamaan (3.1) dapat diperoleh dengan menentukan persamaan dx = 0 , sehingga dari persamaan (3.1) dt diperoleh: x⎞ ⎛ rx ⎜1 − ⎟ = 0 ⎝ K⎠
. +1 (4.3) dilihat di
17
2). Dengan cara pelinearan Kestabilan titik tetap pada sistem (3.1) dapat juga ditentukan dengan cara pelinearan. Dari persamaan (3.1), x⎞ ⎛ f ( x ) = rx ⎜1 − ⎟ , dengan titik tetap x∗ = 0 ⎝ K⎠ 2rx . dan x∗ = K . Maka, f ′ ( x ) = r − K • Untuk titik tetap x∗ = 0 ⇒ f ′ ( 0 ) = r .
x =0 K x = 0 atau x = K (4.6) Berdasarkan persamaan (4.6) maka diperoleh 2 titik tetap untuk persamaan (3.1) yaitu x∗ = 0 atau x∗ = K . rx = 0 atau 1 −
4.3 Analisis Kestabilan 4.3.1 Analisis kestabilan titik tetap pada sistem (3.1) 1). Dengan menggunakan gambar Untuk menentukan kestabilan dari titik tetap diatas, kita gambar persamaan (3.1) ke dalam suatu bidang vektor dan arah aliran dari gambar akan kita peroleh jika kita memisalkan x& > 0 dan x& < 0 . * Jika x& > 0 x⎞ ⎛ rx ⎜1 − ⎟ > 0 K ⎝ ⎠ x rx > 0 atau 1 − > 0 K x > 0 atau x
K
•
tetap
Oleh karena itu, x∗ = 0 merupakan titik tetap tidak stabil, karena f ′ ( x ∗ ) > 0 . Dan x∗ = K merupakan f ′ ( x∗ ) < 0 .
titik
tetap
stabil,
karena
Berdasarkan dari 2 cara diatas, dapat disimpulkan bahwa titik tetap x∗ = 0 merupakan titik tetap tidak stabil. Titik tetap x∗ = 0 mempunyai arti bahwa pada titik tersebut tidak ada individu yang bereproduksi (laju perubahannya nol), sehingga populasi akan tumbuh dan akan menjauhi titik tersebut. Titik tetap x∗ = K merupakan titik tetap stabil, artinya jumlah populasi akan selalu mendekati titik tersebut yaitu mendekati daya dukung lingkungan. 4.3.2 Analisis kestabilan solusi pada sistem (3.1) Solusi yang telah diperoleh pada model (3.1) merupakan solusi yang stabil. Hal ini bisa ditunjukkan sebagai berikut: Kx0 ert Kx0 lim x ( t ) = lim = lim rt t →∞ t →∞ t →∞ K x K + x0 ( e − 1) + x0 − rt0 rt e e Kx0 = = K. x K + x0 − 0 ∞ ∞ x (t ) → K Karena (menuju solusi
x&
x
0
Untuk titik x∗ = K ⇒ f ′ ( K ) = −r .
K
Grafik 1 Bidang fase dari persamaan logistik.
keseimbangan yang stabil) ketika t → ∞ , maka solusi x ( t ) adalah stabil.
Arah aliran ke kanan jika x& > 0 dan arah aliran ke kiri jika x& < 0 . Jadi, titik tetap x∗ = 0 merupakan titik tetap tidak stabil, karena arahnya menjauhi titik tersebut. Dan titik tetap x∗ = K merupakan titik tetap stabil karena arahnya menuju titik tersebut. Titik tetap stabil digambarkan dengan bulatan penuh dan titik tetap tidak stabil digambarkan dengan bulatan tidak penuh.
4.3.3 Analisis kestabilan solusi dari sistem (3.2) dan (3.3) Kestabilan dari solusi diskret yang telah diperoleh pada sistem (3.2) dan (3.3) merupakan stabil asimtotik . Hal ini dapat ditunjukkan oleh teorema berikut: Teorema 1. Misalkan syarat berikut terpenuhi:
18
r ( n ) ≥ 0, n ∈ Ζ 0 + , R = sup r ( n ) < ∞ , 0 < K * ≤ inf K (n ), n∈Ζ 0
3) Untuk kasus x0 < K misalkan x0 = 500 , r0 = 0.1, K = 1000
n∈Ζ 0
sup K (n ) < ∞ ,
dx ⎡ 500 ⎤ = 0.1( 500 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ = 25
n∈Ζ 0
I k (x(m k )) = cx(m k ) dengan c > 0. Maka untuk h > 0 memenuhi pertidaksamaan h ≤ ln (1 + c ) / R dan suatu
x (1) = 500 + 25 = 525
solusi x (n ) dari (4.4) yang sesuai untuk x(0 ) > 0 memenuhi pertidaksamaan
Dengan menggunakan program Scilab:
−r( n−j) h
⎛ j−1 ⎞ 1 1 ⎛ n−1 ⎞ n 1−e exp⎜−∑r( n−l) h ≤ exp⎜−∑r( i) h⎟+∑ x( n) x( 0) ⎝ i=0 K n − j ( ) ⎠ j=1 ⎝ l=1 ⎠ (4.7) Bukti: Lihat di lampiran 3
--> function xdot=f(t,x) --> xdot=r*x*(1-x/K); --> endfunction --> t=0:110; --> r=0.1; --> K=1000; --> x=ode (500,0.0,t,f); --> xbasc();plot2d(t,x)
Teorema 2. Misalkan semua asumsi dari Teorema 1 terpenuhi dan misalkan terdapat suatu bilangan L > 0 sehingga ⎫ 1⎧ + ⎨ ∑ r ( n − j ) ⎬ = L, m ∈ Ζ , m ⎩ j =1 ⎭ pada n ∈ Ζ. m
lim
m →∞
Diperoleh grafik sebagai berikut:
seragam
(4.8) Maka solusi x (n ) dari sistem (4.4) menuju ke
x∗ ( n )
ketika
n→∞,
dimana
x∗ ( n )
diberikan sebagai berikut ⎡ ∞ 1 − e− r ( n− j )h ⎛ j −1 ⎞⎤ x∗ ( n ) = ⎢ ∑ exp ⎜ −∑ r ( n − l ) h ⎟ ⎥ ⎝ l =1 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ j =1 K ( n − j )
−1
sehingga x ( n ) − x∗ ( n ) → 0 ketika n → ∞ .
Grafik 2 Dinamika populasi x ( t ) terhadap t
Bukti: Lihat di lampiran 3
dengan x0 = 500 .
4.4 Contoh Kasus
Berdasarkan grafik diatas dapat kita lihat bahwa ketika x0 < K , jumlah populasi x ( t )
4.4.1 Contoh Kasus pada Model (3.1) Untuk x0 = 0, x0 = K , x0 < K , x0 > K .
akan terus meningkat menuju daya dukung lingkungannya. Tetapi, nilai x ( t ) tidak akan
1) Misalkan r = 0.1, x0 = 0 dan K = 1000 dx 0 ⎤ ⎡ = 0.1( 0 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ =0
melebihi daya dukung lingkungannya. 4) Untuk kasus populasi awal lebih besar dari daya dukung lingkungan ( x0 > K ), misalkan x0 = 1100
2) Misalkan r = 0.1, x0 = 1000 dan K = 1000 dx ⎡ 1000 ⎤ = 0.1(1000 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ =0 Artinya bahwa, jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan (laju perubahan populasi sama dengan nol). Begitu pula jika populasi awalnya x0 = K , maka populasi akan tetap konstan.
dx ⎡ 1100 ⎤ = 0.1(1100 ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 1000 ⎦ = −11 x (1) = 1100 − 11 = 1089. Dari contoh 4 ini dapat kita lihat bahwa jika x0 > K , maka laju perubahannya menjadi negatif sehingga semakin lama populasi akan
19
Tabel 1 Nilai x ( t ) dengan x0 = 5000 untuk
menurun dan akan menuju daya dukung lingkungannya. Hal ini dapat kita lihat pada grafik berikut:
t = 0 sampai dengan t = 10
Dengan menggunakan program scilab: --> function xdot=f(t,x) --> xdot=r*x*(1-x/K); --> endfunction --> t=0:50; --> r=0.1; --> K=1000; --> x=ode (1100,0.0,t,f); --> xbasc();plot2d(t,x) Diperoleh grafik sebagai berikut:
t
r (t )
K (t )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
5000 5010 5020 5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100
dx dt
x (t )
0 1.99 7.1828 12.4428 14.6631 13.6987 11.9987 11.1971 10.8769 10.707 10.4952
5000 5001.99 5009.1728 5021.6156 5036.2787 5049.9774 5061.9761 5073.1732 5084.0501 5094.7571 5105.2523
3) Misalkan r ( t ) = 0.2t , K ( t ) = 10t + 5000, x0 = 10000. Tabel 2 Nilai x ( t ) dengan x0 = 10000 untuk t = 0 sampai dengan t = 10
t
r (t )
K (t )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
5000 5010 5020 5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100
x (t )
dx dt
Grafik 3 Dinamika populasi x ( t ) terhadap
t dengan x0 = 1100 . 4.4.2 Contoh Kasus pada Model (3.2) 1) Misalkan r ( t ) = 0.2t , K ( t ) = 10t + 5000, x0 = 0.
x (t ) ⎤ ⎡ dx = ( 0.2t ) x ( t ) ⎢1 − ⎥ dt ⎣ 10t + 5000 ⎦ 0 ⎤ ⎡ = ( 0.2 ( 0 ) ) ( 0 ) ⎢1 − ⎥ 5000 ⎣ ⎦ =0 Ini artinya bahwa jika populasi awalnya 0, maka populasi akan tetap konstan (laju perubahan populasi sama dengan nol). Jika populasi awalnya x0 = K ( 0 ) , maka populasi
0 -1992 -1916.7948 -779.8136 -237.8987 -33.9594 12.2407 11.1263 10.958 10.5882 10.5969
10000 8008 6101.455 5321.642 5083.743 5049.784 5062.024 5073.151 5084.109 5094.697 5105.294
4) Solusi yang telah diperoleh pada model (3.2) adalah sebagai berikut: x ( ( n + 1) h ) =
akan tetap konstan.
e
r ( nh ) h
x ( nh ) ⎡⎣e
x ( nh )
r ( nh ) h
K ( nh )
2) Misalkan r ( t ) = 0.2t , K ( t ) = 10t + 5000, x0 = 5000.
− 1⎤⎦
. +1
A. Misalkan t ∈ [ 0,10] ⇒ h =
subinterval), maka
20
10 − 0 = 1 (dengan 10 10
3 4 5 6 7 8 9 10
⎧0;0 ≤ t < 1 ⎪1; 1 ≤ t < 2 ⎪ ⎪2; 2 ≤ t < 3 ⎪ ⎪3;3 ≤ t < 4 ⎪4; 4 ≤ t < 5 ⎪ t = n = ⎨5;5 ≤ t < 6 1 ⎪6;6 ≤ t < 7 ⎪ ⎪7;7 ≤ t < 8 ⎪ ⎪8;8 ≤ t < 9 ⎪9;9 ≤ t < 10 ⎪ ⎩10;10 ≤ t < 11
melebihi nilai K ( n ) untuk masing-masing nilai n . Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungannya.
r (1) = 0.2
t = 2 ⇒ r ( 2 ) = 0.4
r ( 2 ) = 0.4
1 ⎛1⎞ t = ⇒ r ⎜ ⎟ = 0.1 2 ⎝2⎠
r ( 0) = 0
1 ⎛ 1⎞ t = 2 ⇒ r ⎜ 2 ⎟ = 0.5 2 ⎝ 2⎠ M
r ( 2 ) = 0.4
5120 5100 5080 x(n+1)
t = 1 ⇒ r (1) = 0.2
⇔
K (1) = 5010
t = 2 ⇒ K ( 2 ) = 5020
K ( 2 ) = 5020
1 ⎛1⎞ t = ⇒ K ⎜ ⎟ = 5005 2 ⎝2⎠
K ( 0 ) = 5000
1 ⎛ 1⎞ t = 2 ⇒ K ⎜ 2 ⎟ = 5025 2 ⎝ 2⎠ M
K ( 2 ) = 5020
x(n+1) 5040
5000
K ( 0 ) = 5000
t = 1 ⇒ K (1) = 5010
5060
5020
b) Misalkan K ( t ) = 10t + 5000 ⇔ K ( nh) = 10n + 5000 (h = 1) t = 0 ⇒ K ( 0 ) = 5000
4980 0
d) Misalkan r ( nh ) = 0.2n, K ( n ) = 10n + 5000, x0 = 10000. Tabel 4 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 10000 untuk n = 0 sampai dengan n = 10
Tabel 3 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 5000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
untuk n = 0 sampai dengan n = 10
0 1 2
0 0.2 0.4
x ( n + 1)
5000 5010 5020
5000 5001.87 5007.7925
15
x ( 0 ) = 5000.
n
K (n)
10
Grafik 4 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk
dan x0 = 5000.
r ( n)
5 n
c) Misalkan r ( nh) = r ( n) = 0.2n, K ( nh) = K ( n) = 10n + 5000
n
5017.788 5029.9951 5042.6221 5054.7533 5066.2316 5077.2142 5087.882 5098.3567
x ( n + 1) untuk masing-masing nilai n tidak
r ( 0) = 0
⇔
5030 5040 5050 5060 5070 5080 5090 5100
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai n , maka nilai x ( n + 1) semakin meningkat. Tetapi, nilai
a) Misalkan r ( t ) = 0.2t ⇔ r ( nh ) = r ( n ) = 0.2n (h = 1) t = 0 ⇒ r ( 0) = 0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
21
r ( n) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
K (n)
x ( n + 1)
5000 5010 5020 5030 5040 5050 5060 5070 5080
10000 8470.6601 6905.7135 5910.8941 5397.3175 5172.4472 5093.3505 5075.7384 5079.139
9 10
1.8 2
5090 5100
r ( t ) = 0.2t
5088.2015 5098.4001
Dari tabel 4 diatas dapat kita lihat bahwa pada n = 7 nilai x ( n + 1) saat n = 0 sampai mengalami penurunan dan setelah n = 7 , nilai x ( n + 1) mengalami kenaikan. Hal ini berarti
10000
x(n+1)
8000 6000
r (0) = 0
t = 1 ⇒ r (1) = 0.2
r (1) = 0.2
t = 2 ⇒ r ( 2 ) = 0.4
r ( 2 ) = 0.4
1 ⎛1⎞ ⇒ r ⎜ ⎟ = 0.1 2 ⎝2⎠
r ( 0.5 ) = 0.1
1 ⎛ 1⎞ t = 2 ⇒ r ⎜ 2 ⎟ = 0.5 2 ⎝ 2⎠
r ( 2.5 ) = 0.5
b) Misalkan K ( t ) = 10t + 5000
12000
x(n+1)
4000
(h = 0.5)
t = 0 ⇒ r ( 0) = 0
t=
bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya.
⇔ r ( nh ) = 0.2nh
⇔ K ( nh) = 10nh + 5000
t = 0 ⇒ K ( 0) = 5000
K ( 0) = 5000
t = 1 ⇒ K (1) = 5010
K (1) = 5010
t = 2 ⇒ K ( 2) = 5020
K ( 2) = 5020
t = 0.5 ⇒ K ( 0.5) = 5005
K ( 0.5) = 5005
t = 2.5 ⇒ K ( 2.5) = 5025
K ( 2.5) = 5025
c) Misalkan r ( nh ) = 0.2nh, K ( nh ) = 10nh + 5000, x0 = 5000
2000
h = 0.5 ⇒ r ( 0.5n ) = 0.1n
0 0
5
10
15
K ( 0.5n ) = 5n + 5000
n
Grafik 5 Hubungan n dan x ( n + 1) dengan
Tabel 5 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 5000
x ( 0 ) = 10000.
dan h = 0.5 untuk n = 0 sampai dengan n = 20
B. Misalkan h = 0.5 ⇒ t ∈ ⎡⎣ 0.5n, ( n + 1) 0.5 ) Maka, ⎧0;0 ≤ t < 0.5 ⎪1;0.5 ≤ t < 1 ⎪ ⎪2; 1 ≤ t < 1.5 ⎪ ⎪3;1.5 ≤ t < 2 ⎪4; 2 ≤ t < 2.5 ⎪ t = n ⎨5; 2.5 ≤ t < 3 0.5 ⎪6;3 ≤ t < 3.5 ⎪ ⎪7;3.5 ≤ t < 4 ⎪ ⎪8; 4 ≤ t < 4.5 ⎪9; 4.5 ≤ t < 5 ⎪ ⎩10;5 ≤ t < 5.5
a) Misalkan
22
n
r ( 0.5n )
K ( 0.5n )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
5000 5005 5010 5015 5020 5025 5030 5035 5040 5045 5050 5055 5060 5065 5070 5075 5080 5085
x ( ( n + 1) h )
5000 5000.2439 5001.1707 5003.0924 5006.1488 5010.3065 5015.3959 5021.1693 5027.3618 5033.7391 5040.1247 5046.407 5052.5309 5058.4829 5064.2742 5069.9278 5075.4693 5080.9221
18 19 20
1.8 1.9 2
5090 5095 5100
5086.3053 5091.6339 5096.919
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa, dengan bertambahnya nilai n , maka nilai x ( n + 1) semakin meningkat. Tetapi, nilai
x ( n + 1) untuk masing-masing nilai n tidak melebihi nilai K ( n ) untuk masing-masing nilai n . Artinya bahwa, populasi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungannya.
5045 5050 5055 5060 5065 5070 5075 5080 5085 5090 5095 5100
5315.7683 5207.9264 5142.1159 5104.7386 5085.6679 5077.7684 5076.3073 5078.3401 5082.1513 5086.806 5091.8279 5096.9906
Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa pada saat n = 0 sampai n = 15 nilai x ( n + 1)
5120
mengalami penurunan dan setelah n = 15 , nilai x ( n + 1) mengalami kenaikan. Hal ini
5100 5080 x(n+1)
0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
berarti bahwa, populasi mengalami fluktuasi dan ketika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungannya, maka populasi akan menurun mendekati daya dukung lingkungannya tetapi tidak akan melebihi daya dukung lingkungannya.
5060 x(n+1) 5040 5020 5000 4980
12000
0
5
10
15
20
25
n
10000
Grafik 6 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk
8000 x(n+1)
x ( 0 ) = 5000. d) Misalkan
x(n+1)
6000 4000
r ( nh ) = 0.2nh, K ( nh ) = 10nh + 5000, x0 = 10000
2000
h = 0.5 ⇒ r ( 0.5n ) = 0.1n
0
K ( 0.5n ) = 5n + 5000
0
5
10
15
20
25
n
Tabel 6 Nilai x ( n + 1) dengan x0 = 10000
Grafik 7 Hubungan n dan x ( n + 1) untuk
dan h = 0.5 untuk n = 0 sampai dengan n = 20
n
r ( 0.5n )
K ( 0.5n )
x ( ( n + 1) h )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
5000 5005 5010 5015 5020 5025 5030 5035 5040
10000 9535.8598 8780.9884 7949.4689 7189.0058 6563.7497 6083.0105 5730.7541 5483.0093
x ( 0 ) = 10000.
4.4.3 Contoh Kasus pada Model (3.3) 10 − 0 Misalkan τ k ∈ [ 0,10] ⇒ h = =1 10 (dengan 10 subinterval), maka ⎧0; 0 ≤ τ k < 1 ⎪1;1 ≤ τ < 2 k ⎪ ⎪⎪2; 2 ≤ τ k < 3 mk = ⎨ ⎪3;3 ≤ τ k < 4 ⎪M ⎪ ⎪⎩10;10 ≤ τ k < 11
23
a.
x ( 0 ) = 500
dengan tingkat pertumbuhan 1% per
Misalkan I k ( x ( mk ) ) = 0.04 x ( mk ) , x ( 0 ) = 500.
tahun
x (1) = 1.04 x ( 0 ) = 1.04 ( 500 ) = 520
Misalkan
populasi
awal
( I ( x ( m ) ) = 0.01x ( m ) ) , k
k
k
b.
maka
x ( 2 ) = 1.04 x (1) = 1.04 ( 520 ) = 540.8
jumlah populasi yang akan datang dapat diprediksikan sebagai berikut: x ( mk + 1) − x ( mk ) = 0.01x ( mk )
x ( 3) = 562.432 x ( 4 ) = 584.93
x ( mk + 1) = 1.01x ( mk ) .
x ( 5 ) = 608.33
x (1) = 1.01x ( 0 ) = 1.01( 500 ) = 505
x ( 6 ) = 632.66
x ( 2 ) = 1.01x (1) = 1.01( 505 ) = 510.05
x ( 7 ) = 657.97
x ( 3) = 515.15
x ( 8 ) = 684.29
x ( 4 ) = 520.3
x ( 9 ) = 711.66
x ( 5 ) = 525.5
x (10 ) = 740.13
x ( 6 ) = 530.75 x ( 7 ) = 536.06
Dari dua data diatas dapat kita lihat bahwa populasi akan bertambah dari waktu ke waktu.
x ( 8 ) = 541.42 x ( 9 ) = 546.83 x (10 ) = 552.29
V. SIMPULAN semakin menurun dan menuju daya dukung lingkungan. Begitu pula pada model (3.2), ketika populasi awal nol dan populasi awal sama dengan daya dukung lingkungan awal maka populasi tetap konstan. Ketika populasi awal kurang dari daya dukung lingkungan awal, maka populasi akan meningkat. Tetapi tidak akan melebihi masing-masing daya dukung lingkungan. Dan ketika populasi awal lebih dari daya dukung lingkungan awal, maka populasi akan menurun dan pada waktu tertentu populasi akan meningkat. Berdasarkan analisis kestabilan solusi pada model (3.2) dan (3.3), maka disimpulkan bahwa solusi yang telah diperoleh merupakan solusi yang stabil asimtotik. Hal ini berarti bahwa ketika waktu menuju tak hingga, maka populasi akan menuju nol.
Pada persamaan logistik (3.1), ada 2 titik tetap yang diperoleh. Tetapi hanya satu titik tetap yang stabil yaitu pada saat jumlah populasi sama dengan daya dukung lingkungannya. Hal ini berarti bahwa populasi akan selalu menuju daya dukung lingkungannya. Sedangkan pada persamaan logistik tak otonom, tidak diperoleh titik tetap. Berdasarkan contoh kasus yang telah diperoleh pada model (3.1), ketika populasi awalnya sama dengan nol dan populasi awalnya sama dengan daya dukung lingkungannya, maka populasi akan tetap konstan. Ketika populasi awalnya kurang dari daya dukung lingkungannya, maka populasi akan meningkat menuju daya dukung lingkungan. Dan ketika populasi awalnya lebih dari daya dukung lingkungannya, maka populasi akan
24
