Fizika összefoglaló A zikai mennyiségek és a mértékegységek A
zika
természettan el®forduló mérhet®
szó jelentése
a természetben
a természettudományok egyik ága. A zika tárgyát képezi
reprodukálható
és
jelenségek egy része. Általában de nem
mindig a zika olyan jelenségekkel foglalkozik, melyek során nem változik az anyagok kémiai összetétele. A zika egyik legfontosabb eleme a
mérés.
A mérés során valamilyen zikai mennyi-
séget pl. hosszúságot, tömeget, h®mérsékletet stb. mérünk. A mért számérték az adott zikai
etalon nak a többszöröse vagy hányada. A hosszúság etalon a méter a tömeg etalon a kilogramm. Az etalon az adott zikai mennyiségnek egy önkényesen választott
mennyiség egységének ún. egysége.
Az egységválasztásnak azonban vannak gyakorlatilag jól megindokolható feltételei.
Az egységnek
ember-közelinek
kell lennie. Ezért pl. a hosszúság egységéül nem indokolt sem
túl nagy (kozmikus méret¶) sem túl ki siny (mikroszkopikus) egységet választani. A következ® feltétel az
egyértelm¶ el®állíthatóság,
amely azt jelenti, hogy kell® ismerettel rendelkezve bárki
pontosan el® tudja állítani a métert, a kilogrammot. . . . A hosszúság egységét, a métert úgy állították el®, hogy a Föld délkörét vették alapul és annak hosszát addig osztották, amíg olyan egységet nem kaptak, amely sem túl ki siny sem túl nagy az ember méretéhez viszonyítva. Természetesen ehhez a Föld egyenlít®jének hosszát már elég pontosan ismerni kellett. A kilogramm ◦ egységéül egy köbde iméter térfogatú +4C -os h®mérséklet¶ víz tömegét választották. Az id® egységét a Föld saját tengely körüli forgásának periódusidejéb®l származtatták. A zikai mennyiségek egységének modern értelmezése ett®l eltér®. Ennek oka, hogy a Föld egyenlít®jének a hosszát egyre-pontosabban tudjuk mérni (ezért kis mértékben állandóan változtatni kellene a méter hosszát). A Föld saját tengely körüli forgásának periódusideje pedig kis mértékben állandóan változik. Ezért az utóbbi évtizedekben a zikai mennyiségeket olyan természeti állandókkal hozták kap solatba, amelyek legjobb tudásunk szerint nem változnak. A hosszúság egységét a fénysebességgel az id®t pedig a ézium atom által kibo sátott meghatározott hullámhosszú sugárzás periódusidejével hozták kap solatba. Mivel a zikai mennyiségek emberközeliek, kozmikus (nagyon nagy) vagy mikroszkopikus (nagyon ki siny) skálán használatuk kényelmetlenek. Ezért a zikai mennyiségek mértékegységét el®tagokkal (pre xumokkal) látjuk el. Az el®tagok tíz különböz® hatványai és külön nevük 3 6 9 12 −3 −6 −9 is van: pl. 10 a ilo, a 10 ega, 10 iga, 10 era. A 10 illi, a 10 mikro (µ), a 10 −12 ano, a 10 iko. Félkövér szedéssel emeltük ki az el®tagok szokásos jelölését: K, M, G, T,
n
m,
µ,
n és p.
p
K
M
G
T
m
Egy zikai mennyiség mindig két részb®l áll: zikai mennyiség
= mér®szám × mértékegység
Az SI A ma általánosan elfogadott mértékegységrendszer az SI, amely
alap
és
kiegészít®
mennyisé-
gekb®l áll. Az SI-t mksa rendszernek is nevezik (méter-kilogramm-szekundum-amper szavak kezd®betüje alapján). Az alapmennyiségek a következ®k:
1
alapmennyiség neve
jele
mértékegysége
mértékegység jele
hosszúság
l
méter
m
tömeg
m
kilogramm
kg
id®
t
se undum
s
áramer®sség
I
amper
A
h®mérséklet
T
kelvin
K
anyagmennyiség
n
mol
fényer®sség
IV
kandella
Cd
A kiegészít® mennyiség a
síkszög
és a
térszög.
A síkszög másnéven radián de ní ió szerint:
α= így a 360
◦
radiánban kifejezve
2rπ r
ívhossz sugár
= 2π
=
i
r
rad.
A térszög ehhez hasonlóan:
Ω= A teljes térszög 720
◦
gömbfelület rész 2 sugár
, ami szteradiánban kifejezve
=
A r2
4 r2 π r2
= 4π
st.
A zika felosztása tárgyát alapvet®en két nagy soportba foglalhatjuk az els® a klasszikus zika a másik a kvantum zika. A klasszikus zikába tartozik a me hanika, a termodinamika, a statisztikus zika, a elektrodinamika, az optika és a relativitáselmélet (spe iális, általános). A kvantum zikához soroljuk az kvantumme hanikát a kvantumelektrodinamikát és még számos egyéb területet. Néhány egyéb fontos tudományterület a zikán belül: spektroszkópia (színképelemzés), lézer zika, plazma zika, szilárdtest zika. A zika
A zikai kutatás alapvet®en kétirányú. Egyrészt a kutatók egy része mérés útján egy kísérlet keretein belül egyedi jelenségek elemzése alapján általános törvényszer¶ségeket ismernek fel és fogalmaznak meg.
Másrészt a kutatók másik része általános elvekb®l kiindulva, olyan
egyedi jelenségeket vizsgál, amelyek kísérleti elvégzése nehéz, körülményes vagy lehetetlen. A zika méréshez közvetlenül kap solatos része az ún. kísérleti zika, melynek módszere az
induk ió.
Az ún. elméleti zika pedig általános elvekb®l kiindulva
egyedi jelenségekig.
2
deduk ió
révén jut el az
A me hanika A me hanika minden természettudomány alapja. A me hanika a testek mozgásával és a rájuk ható er®k tulajdonságaival foglalkozik. A me hanikához soroljuk még a folyadékok és gázok mozgását (hidro- és aerodinamika) és a hangtant (akusztikát) is. me hanika
alapkérdés
kinematika
hogyan mozog a test
kinetika
milyen er® hatására mozog a test
statika
milyen er®k hatására marad egyensúlyban
rezgések és hullámok
hogy mozog egy egyensúlyban lév® rendszer, ha egyensúlyát megzavarjuk
folyadékok és gázok áramlása hangtan
Alapfogalmak A testek mozgása térben és id®ben zajlik. A Newton féle felfogás szerint a mozgás az
lút nyugvó tér ben (izotróp).
abszo-
zajlik, amelyben nin s kitüntetett pont (homogén) sem kitüntetett irány
homogén
Az id®ben sin s kitüntetett pont azaz
és
folytonos.
Mivel az abszolút
nyugvó tér nem érzékelhet® (valójában nem is létezik) a testek mozgását sak valamilyen má-
referen ia test nek nevezzük. A referen ia vonatkoztatási rendszer nek nevezzük. Ha a koordináta-
sik testhez viszonyítva adhatjuk meg. Ezt a testet testhez rögzített koordináta-rendszert
rendszer Des artes koordináta-rendszer, akkor a tér minden pontját egy számhármassal jellemezzük. A számhármas egyben egy
r = (x, y, z) helyzetvektort is meghatároz.
A helyzetvektor
a koordináta-rendszer origójából a vizsgált pontba mutató irányított szakasz. Sok esetben nem foglalkozunk a mozgó test kiterjedését®l. Ekkor feltételezzük, hogy a test kiterjedése jóval kisebb a mozgás hosszához viszonyítva.
anyagi pont nak
tekintjük. Irányítsuk az
r
Ha ez igaz, akkor a mozgó testet
helyzetvektort minden pillanatban az anyagi pont
által elfoglalt helyre. Ekkor a helyzetvektor végpontja id®ben változik, melynek során végpontja pályagörbét ír le:
r = (x(t), y(t), z(t)).
A pálya a pont mozgása során leírt görbe, vagyis azon
pontok halmaza, amelyeken a vizsgált pont mozgása során áthalad. Az során a pályagörbe hossza.
s
út egyirányú mozgás
A pályagörbe nem jellemzi kielégít®en a mozgást, mert a test
különböz® id®beosztással más-más mozgást valósít meg azonos pályagörbén. A továbbiakban egy matematikailag egy ún.
b zikai mennyiség átlagát hbi formában különbségi vagy dieren ia hányados :
hv(t)i =
jelöljük. Az átlagos sebesség
∆r r(t2 ) − r(t1 ) r(t + ∆ t) − r(t) = = . ∆t t2 − t1 ∆t
Spe iálisan egydimenziós mozgásra
hvx (t)i =
r = (x(t), 0, 0)
és
x(t2 ) − x(t1 ) x(t + ∆ t) − x(t) = . t2 − t1 ∆t
Egydimenziós mozgás során a sebesség egy háromdimenziós vektor egy komponensének is tekinthet®:
hv(t)i = (vx (t), 0, 0) 3
A sebesség vektor jelleg¶ zikai mennyiség, mértékegysége a m/s. A sebesség számértékileg egyenl® az egységnyi id® alatt megtett úttal. Az átlagos sebesség az
∆ t id®intervallumra vonatkoztatott ∆r -rel, hanem annál nagyobb.
változását adja meg. Az
s
r
helyzetvektor egy adott
út általában nem egyezik meg
Az átlagos sebesség egy számértékileg egy szel® meredekségével egyezik meg, hiszen a egy iránytangensként is interpretálható.
∆x/∆t
Minél rövidebb ez az id®intervallum, annál jobban
közelít az átlagos sebesség a egy adott id®ponthoz tartozó sebességhez. Az
r
helyzetvektorra
vonatkozó dieren iahányados határértéket képezve jutunk el a pillanatnyi sebesség fogalmához:
v(t) = lim
∆ t→0
r(t + ∆ t) − r(t) ∆t
=
d r(t) . dt
A me hanikában nagyon gyakran egy zikai mennyiség id® szerinti dieren iál-hányadosát a mennyiség fölé írt ponttal jelöljük:
d r(t) = r˙ (t) . dt A pillanatnyi sebesség nagysága egydimenziós mozgás során a koordináta-id® függvény p adott pontjához húzott érint® meredekségével egyenl®. Általában pedig v = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 . A pillanatnyi sebesség iránya a pálya adott pontbeli érint®jébe esik. Az átlagos gyorsulást szintén különbségi hányadosként értelmezzük:
ha(t)i =
v(t + ∆ t) − v(t) v(t2 ) − v(t1 ) ∆v = = ∆t t2 − t1 ∆t
Spe iálisan egydimenziós mozgásra
hax (t)i =
v = (vx , 0, 0)
és
vx (t + ∆ t) − vx (t) vx (t2 ) − vx (t1 ) = . t2 − t1 ∆t
Egydimenziós mozgás során a gyorsulás egy háromdimenziós vektor egy komponensének is tekinthet®:
a(t) = (ax (t), 0, 0). 2 A gyorsulás vektor jelleg¶ zikai mennyiség, mértékegysége a m/ s . Az
v
sebességvektorra vonatkozó dieren iahányados határértéket képezve jutunk el a pil-
lanatnyi sebesség fogalmához:
a(t) =
lim ∆ t→0
v(t + ∆ t) − v(t) ∆t
Mivel a sebességet úgy értelmeztük mint az
r
=
d v(t) dt
helyzetvektor dieren iál-hányadosa, a gyor-
sulás a helyzetvektor id® szerinti második dieren iál hányadosa:
d2 r(t) = r¨ (t) . d t2 A pillanatnyi gyorsulás számértékileg a sebesség-id® függvény adott pontjához húzott érint® meredekségével egyezik meg. a(t) =
4
A kinematikai egyenletek mikor kérdésre keressük a választ. A választ a matematika nyelvén adjuk meg azaz x(t) pozí ióid®, v(t) sebességid® függvények keretében. A kinematikai
A kinematikai feladatokban a
hol
és
feladatok egy része három kinematikai egyenlet alapján megoldható. A következ®m kinematikai egyenletek sak egyenesvonalú, állandó gyorsulással végbemen® mozgásokra érvényesek.
v(t) = v0 + a t x(t) = x0 + v0 t +
a 2 t 2
v 2 = v02 + 2 a x Az
x0 , v0 jelentése t = 0 id®pillanatban a test helyzete illetve sebessége.
A mozgás kinemati-
kai leírása sak ezen adatok (ún. kezdeti feltételek) ismeretében lehetséges. Fontos megjegyezni
v t síkon ábrázolva egy egyenest tengelymetszete pedig a v0 kezdeti sebesség. A
a kinematikai egyenletekkel kap solatban, hogy az els® egyenlet ad meg, melynek a meredeksége az második kinematikai egyenletet
a gyorsulás,
xt síkon
ábrázolva egy függ®leges tengely¶ parabolát kapunk.
Spe iálisan pl. ha a gyorsulás zérus ez a parabola egyenessé fajul. Ekkor az egyenes meredeksége a
v0
kezdeti sebesség és tengelymetszete az
x0
kezdeti pozí ió.
Kinematikában a legegyszer¶bb mozgások egydimenziósak.
Ekkor az anyagi pont hely-
zetének jellemzéséhez egyetlen számadat (ún. szabadsági fok) az kinematikai jellemzéshez azonban a test
v
r(t)
és
v(t)
koordináta elegend®.
A
sebességét is (minden id®pillanatban) meg kell hatá-
rozni. Ekkor azt mondjuk, hogy a test me hanikai állapotát ismerjük. Általábos esetben
x
x(t), v(t) függvényekkel kielégít®en
függvények ismeretére van szükség. Ez három darab
pozí ióid® (pl. Des artes-koordinátarendszerben
x(t), y(t), z(t))
és három darab sebességid®
(vx (t), vy (t), vz (t)) függvény ismeretét kívánja meg.
Síkmozgások
A körmozgás
A körmozgás a síkmozgások spe iális esete. A körmozgás során az egyenesvonalú mozgásnál bevezetett mennyiségekhez hasonlóan bevezethetünk új zikai fogalmakat.
ϕ-vel
az ún.
szögkoordinátával
A test helyzetét
jellemezhetjük.
Az átlagos (skaláris) szögsebesség számértékileg egyenl® a szögkoordináta egységnyi id® alatti megváltozásával:
hωi =
ϕ(t2 ) − ϕ(t1 ) ϕ(t + ∆ t) − ϕ(t) ∆ϕ = = . ∆t t2 − t1 ∆t
A szögsebesség mértékegysége rad/ se . A pillanatnyi szögsebesség határérték és dieren iál hányados:
ω(t) =
lim ∆ t→0
ϕ(t + ∆ t) − ϕ(t) ∆t
5
=
d ϕ(t) = ϕ. ˙ dt
Az átlagos (skaláris) szöggyorsulás számértékileg a szögsebesség egységnyi id® alatt bekövetkez® megváltozásával egyenl®.
hβi =
ω(t + ∆ t) − ω(t) ω(t2 ) − ω(t1 ) ∆ω = = . ∆t t2 − t1 ∆t
2 A szöggyorsulás mértékegysége rad/ se .
β(t) =
lim ∆ t→0
ω(t + ∆ t) − ω(t) ∆t
=
d ω(t) . dt
A szöggyorsulás még tömörebb jelölésben:
dω(t) = ω, ˙ dt d2 ϕ(t) = ϕ. ¨ β(t) = d t2 β(t) =
ω szögsebességgel kering egy r sugarú pályán. Megmutatható, hogy a körmozgást végz® test kerületi sebessége mer®leges a sugárra, iránya a Egyenletes körmozgás során egy test állandó
mozgás irányába mutat
v = r ω et , ahol
et
a pálya érint®jének irányába mutató egységnyi hosszú vektor.
Az egyenletes körmozgás is gyorsuló mozgás ugyanis a kerületi sebességvektor iránya minden pillanatban más és más.
Így a körmozgást végz® test impulzusa is folyamatosan változik,
Kimutatható, hogy a gyorsulás nagysága a körpálya középpontja felé irányul (normál gyorsulás)
amelyhez Newton második törvénye értelmében er® szükséges.
an = r ω 2 en = ahol
en
v2 en , r
a körpálya középpontjába irányuló egységnyi hosszú vektor.
Ha a körpályán mozgó test sebességének nagysága is változik egy érint®irányú gyorsulás is fellép:
at = r β et . Ekkor az ered® gyorsulás vektort a vektori összeadás szabályai szerint kapjuk meg, melynek nagysága:
ae =
q
q (an ) + (at ) = (r ω 2)2 + (r β)2 2
2
6
Newton törvényei A tapasztalatok szerint a testek mozgásállapotát er®kifejtés révén megváltoztathatjuk. (Elhajított k®, kil®tt nyílvessz®, ásás stb. ) Bár az er®kifejtést izmainkkal érezzük, nem világos, hogy az er® mi módon adódik át egyik testr®l a másikra. Aristoteles ókori görög lozófus még úgy gondolta, hogy a mozgás fenntartásához er® szükséges. Galilei volt az els® aki felismerte, hogy a mozgás fenntartásához nem szükséges er®. A mozgás leírásakor nem mindegy, hogy milyen vonatkoztatási-rendszert választunk, ugyanis bizonyos vonatkoztatási rendszerekben az egyszer¶ mozgások is nagyon bonyolultak lehetnek. A tapasztalatok szerint olyan vonatkoztatási rendszerben a legegyszer¶bb a mozgások leírása, amelyre ható er®k ered®je nulla. Az ilyen vonatkoztatási rendszer egyenesvonalú, egyenletes mozgást végez. Az egyenesvonalú egyenletes mozgást végz® vonatkoztatási rendszert
iner ia-
rendszer nek nevezzük. Ha egy rendszer iner iarendszer, akkor a hozzá képest minden egyenesvonalú egyenletes mozgást végz® rendszer is iner iarendszer. Az iner iarendszerek között nem lehetséges kitüntetett (nyugvó) koordináta-rendszert találni. Ezt a felismerést Galilei-féle relativitási elvnek nevezzük
Newton jött rá, hogy a me hanika négy alapfeltevésb®l (axiómából vagy törvényb®l) kiindulva tárgyalható. Az axiómák olyan alapigazságok, amelyeket nem lehet igazolni. Helyességüket a bel®lük levont következtetéseknek a tapasztalatokkal való széleskör¶ összevetése igazolja.
• Newton els® törvénye
(A tehetetlenség törvénye): Minden test egyenesvonalú egyenletes
mozgást végez vagy nyugalomban marad mindaddig, amíg er® nem hat rá. Más szóval a testek természetes állapota az egyenletes mozgás és a nyugalom.
• Newton második törvénye :
A testre ható er® egyenl® a test lendületének id®beli megvál-
tozásával:
F =
d (m v) dp = . dt dt
Abban a spe iális esetben, ha a tömeg nem változik a mozgás során
F = m a. • Newton harmadik törvénye
(hatás-ellenhatás törvénye): Ha egy A test er®t fejt ki egy B
testre akkor a B test is azonos nagyságú, ellentétes irányú ellener®t fejt ki B testre. Az er® és az ellener® különböz® testekre hat.
•
Newton negyedik törvénye: Ha egyidej¶leg több er® hat egy testre az er®ket a vektori összeadás szabályai szerint adhatjuk össze.
A második és a negyedik törvényt együttesen alkalmazva kapjuk meg a dinamika alapegyenletét:
X
Fi = ma
i
7
Néhány megjegyzés A dinamika alapegyenlete nem azonosságot fejez ki.
Az egyenlet jobb oldala egy
m
tömeg¶
testre vonatkozik. A bal oldal az adott test környezetében található testek hatását fejezi ki. Ezeket a testeket nevezzük
az er®k forrásainak.
Tekintsük a Föld mint égitest mozgását. A
Földre mint égitestre a környezetében található testek gravitá iós mez®jüknél fogva er®t fejtenek ki. A Földre ható er®k forrásai a Nap, a Hold és a Naprendszer többi bolygója. A legfontosabb a Nap és a Hold hatása. A mindennapi életben azonban találkozunk olyan helyzetekkel, amikor a testek gyorsulásáért nem okolhatjuk a test környezetében található testeket.
Egy busz hirtelen fékezésekor úgy
érezzük mintha valami el®re taszítana minket. Kimutatható, hogy a busz az utasokra semmilyen er®t nem fejt ki fékezéskor.
Valójában az utasok tehetetlenségük miatt a busz eredeti
sebességével esnek el®re. Tehát nem a busz fejt ki rájuk er®t. Akkor mi az er® forrása? Ebben az esetben az er®nek nin s forrása ezért az ilyen er® nem is tekinthet® valódi er®nek. Az ilyen nem valódi er®ket ún.
tehetetlenségi er® knek
nevezzük. A nem valódi er®k fellépése annak a
következménye, hogy a vonatkoztatási rendszer jelen esetben a busz lassul.
A Newton-törvények sak egyenesvonalú egyenletes mozgást végz® vonatkoztatási rendszerben (iner iarendszerben) érvényesek!
A tömeg Newton második axiómájából kiindulva a tömeg állásának mértéke.
m = F/a
a test gyorsítással szembeni ellen-
Ez azt jelenti, hogy két test közül annak a testnek nagyobb a tömege,
amelyiket ugyan akkora er®, ugyan annyi id® alatt kisebb sebességre gyorsít fel. Másképpen fogalmazva két test közül annak nagyobb a tömege, amelynek azonos mérték¶ gyorsításához nagyobb er® szükséges. Azonban a testeknek van egy jól ismert másik hatása a gravitá iós vonzás. Két
m1
és
m2
tömeg¶ test között fellép® gravitá iós vonzást a következ®képpen számíthatjuk ki:
F grav = −γ ahol
γ
az ún. gravitá iós állandó
m1 m2 rˆ r2
γ = 6, 67 × 10−11
2 2 Nm / kg . A mínusz el®jel azt fejezi ki,
hogy a köl sönhatás mindig vonzásban nyilvánul meg. A
rˆ = r/|r| az egyik test fel®l a másikba
mutató egységnyi abszolút érték¶ vektor. Ha a Föld felületét®l nem vagyunk túl távol, akkor az el®z® egyenletet a következ® alakba írhatjuk:
F neh = m grav g, ahol
|g| = Itt
M Föld
a Föld tömege,
R Föld
γ M Föld ≈ 9, 8 R Föld
N/ kg.
a Föld sugara.
get ún. gravitáló tömegnek nevezzük.
Ez utóbbi egyenletben megjelent töme-
A Föld nehézségi er®terében mozgó testre vonatkozó
mozgásegyenlet:
m teh a = m grav g 8
A tapasztalat szerint ha a közegellenállástól eltekintünk a Föld gravitá iós terében
a = g
minden test azonos gyorsulással mozog
amib®l az következik, hogy
m teh = m grav .
Azaz a tehetetlen tömeg pontosan megegyezik a gravitáló tömeggel. Eötvös Loránd mutatta ki el®ször, hogy ez az egyezés igen pontos. A Föld által kifejtett gravitá iós er® mindig a testre hat, azonban a test súlya a test alátámasztására vagy felfüggesztésére.
A me hanika megmaradási tételei Vannak olyan körülmények melyek során bizonyos zikai mennyiségek értéke nem változik. Ezeket a mennyiségeket megmaradó mennyiségeknek nevezzük, mivel értékük a folyamat el®tt és után megegyezik. Megmaradó mennyiségek az
(perdület)
impulzus (lendület),
az
impulzusmomentum
és az energia.
Az impulzus
p = mv
minden olyan rendszerben megmarad, amelyben nem hat küls® (a
rendszerhez nem tartozó) er®.
Az ilyen rendszert me hanikailag zárt rendszernek nevezzük.
Me hanikailag nem zárt rendszer esetén is megmaradhat az impulzus, abban az esetben ha a küls® er® hatása rövid. Az impulzus-megmaradás általában érvényes az ütközési jelenségekre. Az impulzusra vonatkozó megmaradási tétel:
p korábbi = p kés®bbi . Két billiárdgolyó ütközésére az impulzus-megmaradás tétele:
m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 ahol
v1 , v2
az ütközés el®tti a
u1 , u2
az ütközés utáni sebességvektorok.
Az impulzus-megmaradással kap solatos jelenségek: fegyverek visszarúgása, evezés, rakéta. Az impulzusmomentum megmaradása a forgásra vonatkozó megmaradási törvény. Az impulzusmomentum vektor:
L = θ ω, ahol
θ
θ egy test m tömeg¶ tömegpont teheθ = m r 2 . Egy test tehetetlen-
az ún. tehetetlenségi nyomaték, amely a tömeggel analóg mennyiség. A
szöggyorsítással szembeni ellenállásának mértékét fejezi ki. Egyetlen tetlenségi nyomatéka, amely a forgástengelyt®l
r
távolságra van
ségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegzésével lehet kiszámítani: P θ = i mi ri 2 . Az impulzusmomentumra vonatkozó megmaradási tétel:
L korábbi = L kés®bbi .
Két különböz® szögsebességgel forgó korongot egymásra dobunk, amelyek végül közös szögsebességgel forognak:
θ1 ω1 + θ2 ω2 = (θ1 + θ2 ) ω 9
Az impulzusmomentum megmaradással kap solatos jelenségek: jégtán os saját tengely körüli lassuló gyorsuló forgása, helikopter. A me hanikai energia megmaradás sak ún. konzervatív mez®kben vagy er®terekben lehetséges.
Egy test energiával rendelkezik akkor, ha alkalmas körülmények között munkát végezhet.
A me hanikai energia megmaradás tétele szerint konzervatív er®térben egy test kinetikus (mozgási) energiája plusz a test poten iális (helyzeti) energiája megmaradó mennyiség:
E1kin + E1pot = E2kin + E2pot E 1 + V 1 = E 2 + V 2, 1 m v 2 a test mozgási energiája, amely sak a test tömegét®l és sebességét®l függ, 2 pedig a test poten iális energiája, amely a teljes rendszer tulajdonsága. A poten iális energia ahol
V
E=
kizárólag a rendszer alkotórészeinek egymáshoz képesti elrendez®dését®l függ. Helyzeti energia Föld nehézségi er®terében: Egy harmonikus osz illátor helyzeti energiája:
V neh = m g h V rug = 21 D x2
A me hanikai energia megmaradás tétele nem alkalmazható, ha a súrlódás vagy a közegellenállás jelent®s szerepet játszik! Az ütközési jelenségek közül sak a tökéletesen rugalmas ütközések esetén marad meg a me hanikai energia.
A munkatétel Ha egy test er®hatás következtében elmozdul munkavégzésr®l beszélünk. A munkavégzés során az egyik test által a másiknak átadott energiát munkának nevezzük.
W = F ∆s Ez a képlet sak akkor alkalmazható, ha az er® a folyamat során végig állandó és az er® és az elmozdulás vektorok párhuzamosak egymással. A munka el®jeles skalár, mértékegysége Nm=1J. A munka kissé általánosabb kiszámítását teszi lehet®vé a következ® de ní ió:
W = F r = F · r · cos (α) . Ekkor a munkát az er® és az elmozdulás vektorok skaláris szorzataként értelmezzük. képlet akkor is alkalmazható, ha a vektorok
α
A
szöget zárnak be egymással.
A munkatétel szerint a testre ható er®k erd®jének a testen végzett munkája egyenl® a test mozgási energiájának a megváltozásával. X
Fr =
1 1 m v22 − m v12 2 2
A munkatétel akkor is alkalmazható ha van súrlódás vagy közegellenállás. Ekkor a súrlódási munkát is gyelembe kell venni! A súrlódási er® a súrlódási együttható szorozva a nyomóer®vel: 10
F súrl = µ F ny .
Kényszermozgások A kényszermozgások során a testekre ható er®ket eszközök (kötél, rúd, siga, lejt®) révén adjuk át a testeknek. Az eszközök a testek mozgását korlátozzák ezért kényszermozgásról beszélünk. Kötéllel sak húzóer®t lehet kifejteni. Az ideális kötél nem nyúlik és a feladatokban nem engedjük, hogy meglazuljon. Az ideális rúddal húzó és nyomóer®t egyaránt kifejthetünk. Ha a siga tömege elhanyagolható, akkor sak a rajta átvetett kötélben ébred® irányát változtatja meg. Ha a sigának van tömege az er® nagyságát is megváltoztathatja. A kényszerproblémákat a következ® lépésenként élszer¶ megoldani:
i) ii ) iii )
berajzoljuk a testekre ható er®ket
iv )
megoldjuk az egyenletrendszert
meghatározzuk a kényszerfeltételeket minden testre felírjuk Newton második törvényét annyi egyenlet szükséges ahány ismeretlen van
Súrlódás hiányában a kényszerer® sak mer®leges lehet arra a felületre, amelyen a test mozog.
A forgómozgás dinamikai alapegyenlete Egy test akkor foroghat egy adott forgástengely körül, ha olyan er® hat rá melynek hatásvonala nem megy át a forgástengelyen. Az er® hatásvonala az er®vektor mindkét irányú meghosszabbítása.
Tehát a tengely körüli forgáshoz nem elegend® a testre ható er® megléte, hanem az
er®nek forgató hatással is kell rendelkeznie. A forgatóhatás nem közvetlenül az er®vel, hanem a forgatónyomatékkal van kap solatban.
M = r×F M = F · r · sin(α), ahol
k = r · sin(α)
az er® karja.
Er®kar az er® hatásvonalának a forgástengelyt®l való
távolsága. A forgómozgás dinamikai alapegyenlete Newton-második törvényéhez hasonló alakú:
X
Mi =
i
∆L ∆ (θ ω) = . ∆t ∆t
Abban az esetben, ha a tehetetlenségi nyomaték nem változik az id®ben a dinamikai alapegyenlet alakja a következ®:
X
Mi = θ β
i
11
A statika alapegyenletei A statikai a merev testek egyensúlyával foglalkozik. Egy test egyensúlyban van, ha mind az gyorsulás, mind a
β
szöggyorsulás zérus. A szükséges és elégséges feltétel:
X
X
F =0
M =0
12
a
