Me hanika segédanyag levelez® hallgatóknak
A zikai mennyiségek és a mértékegységek természettan a természettudományok egyik ága. A zika tárgyát képezi a természetben el®forduló mérhet® és reprodukálható jelenségek egy része. Általában de nem mindig a zika olyan
A
zika
szó jelentése
jelenségekkel foglalkozik, melyek során nem változik az anyagok kémiai összetétele. A zika egyik legfontosabb eleme a
mérés.
A mérés során valamilyen zikai mennyiséget pl. hosszúságot, tömeget, h®mérsékletet
stb. mérünk. A mért számérték az adott zikai mennyiség egységének ún. hányada. A hosszúság etalon a
méter
a tömeg etalon a
kilogramm.
etalon nak
a többszöröse vagy
Az etalon az adott zikai mennyiségnek
egy önkényesen választott egysége. Az egységválasztásnak azonban vannak gyakorlatilag jól megindokolható feltételei. Az egységnek
ember-közelinek
kell lennie. Ezért pl. a hosszúság egységéül nem indokolt
sem túl nagy (kozmikus méret¶) sem túl ki siny (mikroszkopikus) egységet választani. A következ® feltétel az
egyértelm¶ el®állíthatóság, amely azt
állítani a métert, a kilogrammot. . . .
jelenti, hogy kell® ismerettel rendelkezve bárki pontosan el® tudja
A hosszúság egységét, a métert úgy állították el®, hogy a Föld
délkörét vették alapul és annak hosszát addig osztották, amíg olyan egységet nem kaptak, amely sem túl ki siny sem túl nagy az ember méretéhez viszonyítva. Természetesen ehhez a Föld egyenlít®jének hosszát ◦ már elég pontosan ismerni kellett. A kilogramm egységéül egy köbde iméter térfogatú +4C -os h®mérséklet¶ víz tömegét választották. Az id® egységét a Föld saját tengely körüli forgásának periódusidejéb®l származtatták. A zikai mennyiségek egységének modern értelmezése ett®l eltér®. Ennek oka, hogy a Föld egyenlít®jének a hosszát egyre-pontosabban tudjuk mérni (ezért kis mértékben állandóan változtatni kellene a méter hosszát).
A Föld saját tengely körüli forgásának periódusideje pedig kis mértékben állandóan változik.
Ezért az utóbbi évtizedekben a zikai mennyiségeket olyan természeti állandókkal hozták kap solatba, amelyek legjobb tudásunk szerint nem változnak. A hosszúság egységét a fénysebességgel az id®t pedig a
ézium atom által kibo sátott meghatározott hullámhosszú sugárzás periódusidejével hozták kap solatba. Mivel a zikai mennyiségek emberközeliek, kozmikus (nagyon nagy) vagy mikroszkopikus (nagyon ki siny) skálán használatuk kényelmetlen.
Ezért a zikai mennyiségek mértékegységét el®tagokkal (pre3 6 xumokkal) látjuk el. Az el®tagok tíz különböz® hatványai és külön nevük is van: pl. 10 a Kilo, a 10 9 12 −3 −6 −9 −12 Mega, 10 Giga, 10 Tera. A 10 milli, a 10 mikro (µ), a 10 nano, a 10 piko. Félkövér szedéssel emeltük ki az el®tagok szokásos jelölését: K, M, G, T, m,
µ,
n és p.
Egy zikai mennyiség mindig két részb®l áll: zikai mennyiség
= mér®szám × mértékegység
Az SI
A ma általánosan elfogadott mértékegységrendszer az SI, amely
alap
és
kiegészít®
mennyiségekb®l áll. Az
SI-t mksa rendszernek is nevezik (méter-kilogramm-szekundum-amper szavak kezd®betüje alapján). Az alapmennyiségek a következ®k: alapmennyiség neve
jele
mértékegysége
mértékegység jele
hosszúság
l
méter
m
tömeg
m
kilogramm
kg
id®
t
se undum
s
áramer®sség
I
amper
A
h®mérséklet
T
kelvin
K
anyagmennyiség
n
mol
fényer®sség
IV
kandella
Cd
1
A kiegészít® mennyiség a
síkszög
és a
térszög.
A síkszög másnéven radián dení ió szerint:
α= 2rπ ◦ így a 360 radiánban kifejezve r
= 2π
ívhossz sugár
=
i
r
rad.
A térszög ehhez hasonlóan:
Ω= A teljes térszög 720
◦
gömbfelület rész 2 sugár
, ami szteradiánban kifejezve
4 r2 π r2
=
A r2
= 4π
st.
A zika felosztása tárgyát alapvet®en két nagy soportba foglalhatjuk az els® a klasszikus zika a másik a kvantumzika. A klasszikus zikába tartozik a me hanika, a termodinamika, a statisztikus zika, a elektrodinamika, az optika és a relativitáselmélet (spe iális, általános). A kvantumzikához soroljuk az kvantumme hanikát a kvantumelektrodinamikát és még számos egyéb területet. Néhány egyéb fontos tudományterület a zikán belül: spektroszkópia (színképelemzés), lézerzika, plazmazika, szilárdtestzika. A zika
A zikai kutatás alapvet®en kétirányú. Egyrészt a kutatók egy része mérés útján egy kísérlet keretein belül egyedi jelenségek elemzése alapján általános törvényszer¶ségeket ismernek fel és fogalmaznak meg. Másrészt a kutatók másik része általános elvekb®l kiindulva, olyan egyedi jelenségeket vizsgál, amelyek kísérleti elvégzése nehéz, körülményes vagy lehetetlen. A zika méréshez közvetlenül kap solatos része az ún. kísérleti zika, melynek módszere az Az ún. elméleti zika pedig általános elvekb®l kiindulva
deduk ió
induk ió.
révén
jut el az egyedi jelenségekig.
A me hanika A me hanika minden természettudomány alapja. A me hanika a testek mozgásával és a rájuk ható er®k tulajdonságaival foglalkozik.
A me hanikához soroljuk még a folyadékok és gázok mozgását (hidro- és
aerodinamika) és a hangtant (akusztikát) is. me hanika
alapkérdés
kinematika
hogyan mozog a test
kinetika
milyen er® hatására mozog a test
statika
milyen er®k hatására marad egyensúlyban
rezgések és hullámok
hogy mozog egy egyensúlyban lév® rendszer, ha egyensúlyát megzavarjuk
folyadékok és gázok áramlása hangtan
2
Alapfogalmak A testek mozgása térben és id®ben zajlik.
tér ben
A Newton féle felfogás szerint a mozgás az
abszolút nyugvó
zajlik, amelyben nin s kitüntetett pont (homogén) sem kitüntetett irány (izotróp).
sin s kitüntetett pont azaz
homogén
és
folytonos.
Az id®ben
Mivel az abszolút nyugvó tér nem érzékelhet® (való-
jában nem is létezik) a testek mozgását sak valamilyen másik testhez viszonyítva adhatjuk meg. a testet
referen ia test nek
rendszer nek nevezzük.
nevezzük.
A referen ia testhez rögzített koordináta-rendszert
Ezt
vonatkoztatási
Ha a koordináta-rendszer Des artes koordináta-rendszer, akkor a tér minden pont-
ját egy számhármassal jellemezzük. A számhármas egyben egy
r = (x, y, z)
helyzetvektort is meghatároz.
A helyzetvektor a koordináta-rendszer origójából a vizsgált pontba mutató irányított szakasz. Sok esetben nem foglalkozunk a mozgó test kiterjedését®l. Ekkor feltételezzük, hogy a test kiterjedése jóval kisebb a mozgás hosszához viszonyítva. Ha ez igaz, akkor a mozgó testet Irányítsuk az
r
anyagi pont nak
tekintjük.
helyzetvektort minden pillanatban az anyagi pont által elfoglalt helyre. Ekkor a helyzet-
vektor végpontja id®ben változik, melynek során végpontja pályagörbét ír le:
r = (x(t), y(t), z(t)).
A pálya
a pont mozgása során leírt görbe, vagyis azon pontok halmaza, amelyeken a vizsgált pont mozgása során áthalad.
Az
s
út egyirányú mozgás során a pályagörbe hossza.
A pályagörbe nem jellemzi kielégít®en
a mozgást, mert a test különböz® id®beosztással más-más mozgást valósít meg azonos pályagörbén.
trajektóriát ad meg. A továbbiakban egy b zikai mennyiség átlagát hbi formában kailag egy ún. különbségi vagy dieren ia hányados :
A
pályagörbe és az id®beosztás együtt ún.
hv(t)i = Spe iálisan egydimenziós mozgásra
jelöljük. Az átlagos sebesség matemati-
r(t2 ) − r(t1 ) r(t + ∆ t) − r(t) ∆r = = . ∆t t2 − t1 ∆t r = (x(t), 0, 0)
hvx (t)i =
és
x(t + ∆ t) − x(t) x(t2 ) − x(t1 ) = . t2 − t1 ∆t
Egydimenziós mozgás során a sebesség egy háromdimenziós vektor egy komponensének is tekinthet®:
hv(t)i = (vx (t), 0, 0) A sebesség vektor jelleg¶ zikai mennyiség, mértékegysége a m/s. A sebesség számértékileg egyenl® az egységnyi id® alatt megtett úttal. Az átlagos sebesség az vonatkoztatott változását adja meg. Az
s
r
helyzetvektor egy adott
út általában nem egyezik meg
∆r -rel,
∆t
id®intervallumra
hanem annál nagyobb.
Az átlagos sebesség egy számértékileg egy szel® meredekségével egyezik meg, hiszen a
∆x/∆t
egy
iránytangensként is interpretálható. Minél rövidebb ez az id®intervallum, annál jobban közelít az átlagos sebesség a egy adott id®ponthoz tartozó sebességhez. Az
r
helyzetvektorra vonatkozó dieren iahányados
határértéket képezve jutunk el a pillanatnyi sebesség fogalmához:
v(t) = lim
∆ t→0
r(t + ∆ t) − r(t) ∆t
=
d r(t) . dt
A me hanikában nagyon gyakran egy zikai mennyiség id® szerinti dieren iál-hányadosát a mennyiség fölé írt ponttal jelöljük:
d r(t) = r˙ (t) . dt A pillanatnyi sebesség nagysága egydimenziós mozgás soránpa koordináta-id® függvény adott pontjához húzott érint® meredekségével egyenl®. Általában pedig v = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 . A pillanatnyi sebesség iránya a pálya adott pontbeli érint®jébe esik. 3
Az átlagos gyorsulást szintén különbségi hányadosként értelmezzük:
∆v v(t2 ) − v(t1 ) v(t + ∆ t) − v(t) = = ∆t t2 − t1 ∆t mozgásra v = (vx , 0, 0) és
ha(t)i = Spe iálisan egydimenziós
hax (t)i =
vx (t + ∆ t) − vx (t) vx (t2 ) − vx (t1 ) = . t2 − t1 ∆t
Egydimenziós mozgás során a gyorsulás egy háromdimenziós vektor egy komponensének is tekinthet®:
a(t) = (ax (t), 0, 0). 2 A gyorsulás vektor jelleg¶ zikai mennyiség, mértékegysége a m/ s . Az
v
sebességvektorra vonatkozó dieren iahányados határértéket képezve jutunk el a pillanatnyi se-
besség fogalmához:
a(t) =
lim ∆ t→0
v(t + ∆ t) − v(t) ∆t
Mivel a sebességet úgy értelmeztük mint az
r
=
d v(t) dt
helyzetvektor dieren iál-hányadosa, a gyorsulás a hely-
zetvektor id® szerinti második dieren iál hányadosa:
d2 r(t) a(t) = = r¨ (t) . d t2 A pillanatnyi gyorsulás számértékileg a sebesség-id® függvény adott pontjához húzott érint® meredekségével egyezik meg.
A kinematikai egyenletek A kinematikai feladatokban a vén adjuk meg azaz
x(t)
hol
és
pozí ióid®,
mikor kérdésre keressük a választ. A választ a matematika nyelv(t) sebességid® függvények keretében. A kinematikai feladatok
egy része három kinematikai egyenlet alapján megoldható.
A következ®m kinematikai egyenletek sak
egyenesvonalú, állandó gyorsulással végbemen® mozgásokra érvényesek.
v(t) = v0 + a t a 2 t 2 = v02 + 2 a (x − x0 )
x(t) = x0 + v0 t + v2 Az
x0 , v0
jelentése
t = 0
id®pillanatban a test helyzete illetve sebessége.
A mozgás kinematikai
leírása sak ezen adatok (ún. kezdeti feltételek) ismeretében lehetséges. Fontos megjegyezni a kinematikai
v t síkon ábrázolva egy egyenest ad meg, melynek a meredeksége az a gyorsulás, tengelymetszete pedig a v0 kezdeti sebesség. A második kinematikai egyenletet xt síkon ábrázolva egy függ®leges tengely¶ parabolát kapunk. Spe iálisan pl. ha a gyorsulás zérus ez a parabola egyenessé fajul. Ekkor az egyenes meredeksége a v0 kezdeti sebesség és tengelymetszete az x0 egyenletekkel kap solatban, hogy az els® egyenlet
kezdeti pozí ió. Kinematikában a legegyszer¶bb mozgások egydimenziósak. Ekkor az anyagi pont helyzetének jellemzéséhez egyetlen számadat (ún. szabadsági fok) az azonban a test
v
test me hanikai állapotát
x(t), v(t)
függvények ismeretére van szükség.
x(t), y(t), z(t))
x
koordináta elegend®.
A kinematikai jellemzéshez
sebességét is (minden id®pillanatban) meg kell határozni. Ekkor azt mondjuk, hogy a függvényekkel kielégít®en ismerjük.
Általábos esetben
r(t)
és
v(t)
Ez három darab pozí ióid® (pl. Des artes-koordinátarendszerben
és három darab sebességid® (vx (t), vy (t), vz (t)) függvény ismeretét kívánja meg. 4
Példák és kiegészítések
A következ® ábrákon tipikus egydimenziós mozgásokat láthatunk:
x
x álló test
x0
t
∆t ∆ t ∆t
x
x
t
∆t ∆ t
v állandó gyorsulással mozgó test
v0
0
tf
t
t
0
v
nullára fékezés
xf
0 ∆t
t
0
v0 t
t
x0 közeledõ test
∆t ∆t ∆ t
állandó gyorsulással mozgó test
egyenes vonalú egyenletes mozgás
távolodó test
∆x 0
x
egyenes vonalú egyenletes mozgás
x0
∆x ∆x
0
∆x 3 ∆x 2 ∆x1
x
egyenes vonalú egyenletes mozgás
∆v ∆v ∆v
t
0 ∆t ∆ t ∆ t
nullára fékezés
xf tf
0
t
1. ábra.
Síkmozgások A körmozgás
A körmozgás a síkmozgások spe iális esete. A körmozgás során az egyenesvonalú mozgásnál bevezetett mennyiségekhez hasonlóan bevezethetünk új zikai fogalmakat. A test helyzetét
nátával
és
r
ϕ-vel
az ún.
szögkoordi-
helyzetvektorral jellemezhetjük.
y
y körpálya helyzetvektor
kerületi sebesség
et
test
an
r ϕ
vt
en
x
x normál gyorsulás
2. ábra.
Az átlagos (skaláris) szögsebesség számértékileg egyenl® a szögkoordináta egységnyi id® alatti megváltozásával:
hωi =
∆ϕ ϕ(t2 ) − ϕ(t1 ) ϕ(t + ∆ t) − ϕ(t) = = . ∆t t2 − t1 ∆t
A szögsebesség mértékegysége rad/ se . A pillanatnyi szögsebesség határérték és dieren iál hányados:
5
ω(t) =
lim ∆ t→0
ϕ(t + ∆ t) − ϕ(t) ∆t
=
d ϕ(t) = ϕ. ˙ dt
Az átlagos (skaláris) szöggyorsulás számértékileg a szögsebesség egységnyi id® alatt bekövetkez® megváltozásával egyenl®.
hβi =
ω(t + ∆ t) − ω(t) ω(t2 ) − ω(t1 ) ∆ω = = . ∆t t2 − t1 ∆t
2 A szöggyorsulás mértékegysége rad/ se .
β(t) =
lim ∆ t→0
ω(t + ∆ t) − ω(t) ∆t
=
d ω(t) . dt
A szöggyorsulás még tömörebb jelölésben:
dω(t) = ω, ˙ dt d2 ϕ(t) β(t) = = ϕ. ¨ d t2 β(t) =
ω szögsebességgel kering egy r sugarú pályán. Megmutatható, hogy a körmozgást végz® test kerületi sebessége mer®leges a sugárra, iránya a mozgás irányába Egyenletes körmozgás során egy test állandó
mutat
v = r ω et , ahol
et
a pálya érint®jének irányába mutató egységnyi hosszú vektor.
Az egyenletes körmozgás is gyorsuló mozgás ugyanis a kerületi sebességvektor iránya minden pillanatban más és más. Így a körmozgást végz® test impulzusa is folyamatosan változik, amelyhez Newton második törvénye értelmében er® szükséges.
pontja felé irányul (normál gyorsulás)
Kimutatható, hogy a gyorsulás nagysága a körpálya közép-
v2 en , an = r ω en = r 2
ahol
en
a körpálya középpontjába irányuló egységnyi hosszú vektor.
Ha a körpályán mozgó test sebességének nagysága is változik egy érint®irányú gyorsulás is fellép:
at = r β et . Ekkor az ered® gyorsulás vektort a vektori összeadás szabályai szerint kapjuk meg, melynek nagysága:
ae =
q (an ) + (at ) = (r ω 2)2 + (r β)2 2
Tekintsünk egy súlytalan
Tár sa forgása.
forogjon állandó
q
ω
szögsebességgel.
2
R sugarú tár sa forgását a szimmetriatengely körül.
A tár sa
A tár sa egyes pontjainak kerületi sebessége általában különböz®.
Sugárirányban a forgástengelyt®l kifelé haladva
vk = r ω.,
így forgástengely kerületi sebessége nulla, a
kerületen elhelyezked® pontoké pedig Rω . Az ω viszont minden pontra azonos. Nagyon fontos, hogy a ω és a β mennyiségek globálisan jellemzik a forgást még a v t kerületi sebesség és a t kerületi gyorsulás a forgástengelyt®l mért távolság függvényében változnak. 6
ω
v k (r)
R
3. ábra.
Forogva haladás
Tekintsünk egy korongot, amely egy vízszintes felületen súszás nélkül (tisztán) gördül. A tiszta gördülés feltétele az, hogy a korong legalsó talajjal érintkez® pontjának (vonalának) sebessége a talajhoz viszonyítva nulla. Tiszta gördülés során egy gumiabron s a homokban éles mintázatot hagy. Ha az abron s súszva gördül a mintázat elmosódik. Adjuk meg a korong kerületi pontjainak talajhoz viszonyított sebességét.
ω
ω
ω
vtkp
R
vk
R
ve
ve
ϕ
tkp
α
r
α
pillanatnyi forgástengely
belsõ korongon gördülõ korong ,,vonatkerék’’
4. ábra. Egy tisztán gördül® korong kerületei pontjainak sebességvektorai
Tekinthetjük az egész korongot úgy, hogy minden pontja rendelkezi a tkp. sebességével, amelyhez vektoriálisan hozzáadódik a szimmetriatengely körüli forgásból származó kerületi sebességvektor. Mekkora a tkp. sebessége? Tegyük fel, hogy a korong tkp. ja ahol
R
x
utat tesz meg. Ekkor a szögelfordulás
ϕ = x/R,
a korong sugara. A tkp. sebessége:
v tkp = x˙ =
d dϕ (Rϕ) = R = Rω dt dt
Úgy is tekinthetjük a forgást, hogy az egész rendszer egy pillanatra a talajjal érintkez® legalsó ponton átmen®, a szimmetriatengellyel párhuzamos tengely körül forog.
Ez azért meglep® mert ez a tengely
pillanatról-pillanatra más-más kerületi ponton megy keresztül. Az egyes kerületi pontok sebességvektorát a következ® alakban adhatjuk meg:
v(α) = 2Rω sin(α) {sin(α)i − cos(α)j} , ahol
α = ϕ/2 + π/4, i, j
pedig egységvektorok.
Ha a korong a kerületi pontjai érintkeznek a talajjal a legalsó pont sebessége zérus, a legfels® pont sebessége pedig a tkp. sebességének kétszerese:
2Rω .
Ez utóbbi egyben a legnagyobb sebességgel rendelkez®
kerületi pont.
7
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
−1
−0.5
0
0.5
1
5. ábra. Egy tisztán gördül® korong kerületei pontjainak sebességvektorai
Ha forgás közben nem a korong kerületi pontjai érintkeznek a talajjal, hanem a korong a egy a szimmetriatengelyével kon entrikusan ráer®sített kisebb korongon gördül, akkor a legalsó kerületi pont sebessége nem zérus. S®t a sebességvektor a tkp. sebességével ellentétes irányú. A legalsó talajjal érintkez® pont sebessége a tiszta gördülés miatt most is zérus.
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2
−1
−0.5
0
0.5
1
6. ábra. Egy tisztán gördül® vonatkerék kerületi pontjainak sebbességvektorai
8
Hajítás a Föld nehézségi er®terében
A tapasztalat szerint a nehézségi er®térben ferdén elhajított (kil®tt) testek parabola vagy ahoz hasonló pályán haladnak. Valójában parabola alakú pályáról sak akkor beszélhetünk, ha a légellenállás elhanyagolható. Vizsgáljunk olyan mozgást melynek során adott
v0
kezd®sebességgel,
α szög alatt hajtunk el egy testet.
A test pozí ióját megadó függvények:
g y(t) = v0 sin(αt) − t2 2
x(t) = v0 cos(αt); A sebességkomponensek:
vx = v0 cos(α); A hajítás kinematikai jellemz®i: a magassága
h,
és
y(x)
te
vy = v0 sin(α) − gt
emelkedési id®, a
tr
repülési id®, a hajítás távolsága
a pálya egyenlete.
te = tr = l = h = y(x) =
v0 sin(α) g 2t e v0 2 sin(2α) g 2 v0 sin(α)2 2g g − 2 x2 + tan(α)x 2 2v0 cos(α)
A ferdén elhajított test pillanatnyi sebességének nagysága:
v=
p
vx 2 + vy 2
y a hajítás magassága
kezdeti sebesség vektor
y (x)
v0
h
pályagörbe
α l a hajítás távolsága 7. ábra.
9
x
l,
a hajítás
Newton törvényei A tapasztalatok szerint a testek mozgásállapotát er®kifejtés révén megváltoztathatjuk.
(Elhajított k®,
kil®tt nyílvessz®, ásás stb. ) Bár az er®kifejtést izmainkkal érezzük, nem világos, hogy az er® mi módon adódik át egyik testr®l a másikra. Aristoteles ókori görög lozófus még úgy gondolta, hogy a mozgás fenntartásához er® szükséges. Galilei volt az els® aki felismerte, hogy a mozgás fenntartásához nem szükséges er®. A mozgás leírásakor nem mindegy, hogy milyen vonatkoztatási-rendszert választunk, ugyanis bizonyos vonatkoztatási rendszerekben az egyszer¶ mozgások is nagyon bonyolultak lehetnek. A tapasztalatok szerint olyan vonatkoztatási rendszerben a legegyszer¶bb a mozgások leírása, amelyre ható er®k ered®je nulla. Az ilyen vonatkoztatási rendszer egyenesvonalú, egyenletes mozgást végez. Az egyenesvonalú egyenletes
iner iarendszer nek nevezzük. Ha egy rendszer iner iarendszer, akkor a hozzá képest minden egyenesvonalú egyenletes mozgást végz® rendszer is iner iarendszer. Az iner iarendszerek között nem lehetséges kitüntetett (nyugvó) koordinátarendszert találni. Ezt a felismerést Galilei-féle relativitási elvnek nevezzük mozgást végz® vonatkoztatási rendszert
Newton jött rá, hogy a me hanika négy alapfeltevésb®l (axiómából vagy törvényb®l) kiindulva tárgyalható. Az axiómák olyan alapigazságok, amelyeket nem lehet igazolni. Helyességüket a bel®lük levont következtetéseknek a tapasztalatokkal való széleskör¶ összevetése igazolja.
• Newton els® törvénye
(A tehetetlenség törvénye):
Minden test egyenesvonalú egyenletes mozgást
végez vagy nyugalomban marad mindaddig, amíg er® nem hat rá. Más szóval a testek természetes
állapota az egyenletes mozgás és a nyugalom.
• Newton második törvénye :
A testre ható er® egyenl® a test lendületének id®beli megváltozásával:
F =
dp d (m v) ˙ = = mv ˙ + m v. dt dt
Abban a spe iális esetben, ha a tömeg nem változik a mozgás során
F = m a. • Newton harmadik törvénye
(hatás-ellenhatás törvénye): Ha egy A test er®t fejt ki egy B testre akkor
a B test is azonos nagyságú, ellentétes irányú ellener®t fejt ki B testre. Az er® és az ellener® különböz® testekre hat.
•
Newton negyedik törvénye: Ha egyidej¶leg több er® hat egy testre az er®ket a vektori összeadás szabályai szerint adhatjuk össze.
A második és a negyedik törvényt együttesen alkalmazva kapjuk meg a dinamika alapegyenletét:
X
F i = p˙
i
Ha a mozgás során
m ˙ =0
a mozgásegyenlet alakja:
X
F i = m r¨ .
i
Valójában ez az egyenlet egy másodrend¶, közönséges dieren iálegyenlet rendszert alkot:
Fx (x, y, z, t) = m¨ x, Fy (x, y, z, t) = m¨ y, Fz (x, y, z, t) = m¨ z, Fx , Fy és Fz er®komponensek. Ennek az dieren iálegyenlet rendszernek az a z(t) függvények. Ezek megadása a matematika legnehezebb problémai közé
ahol
y(t)
és
10
ismeretlenei az tartozik.
x(t),
Néhány megjegyzés
A dinamika alapegyenlete nem azonosságot fejez ki. Az egyenlet jobb oldala egy
m tömeg¶ testre vonatko-
zik. A bal oldal az adott test környezetében található testek hatását fejezi ki. Ezeket a testeket nevezzük
az er®k forrásainak.
Tekintsük a Föld mint égitest mozgását. A Földre mint égitestre a környezetében
található testek gravitá iós mez®jüknél fogva er®t fejtenek ki. A Földre ható er®k forrásai a Nap, a Hold és a Naprendszer többi bolygója. A legfontosabb a Nap és a Hold hatása. A mindennapi életben azonban találkozunk olyan helyzetekkel, amikor a testek gyorsulásáért nem okolhatjuk a test környezetében található testeket.
Egy busz hirtelen fékezésekor úgy érezzük mintha
valami el®re taszítana minket. Kimutatható, hogy a busz az utasokra semmilyen er®t nem fejt ki fékezéskor. Valójában az utasok tehetetlenségük miatt a busz eredeti sebességével esnek el®re. Tehát nem a busz fejt ki rájuk er®t. Akkor mi az er® forrása? Ebben az esetben az er®nek nin s forrása ezért az ilyen er® nem is tekinthet® valódi er®nek. Az ilyen nem valódi er®ket ún.
tehetetlenségi er® knek
nevezzük. A nem valódi
er®k fellépése annak a következménye, hogy a vonatkoztatási rendszer jelen esetben a busz lassul.
A Newton-törvények sak egyenesvonalú egyenletes mozgást végz® vonatkoztatási rendszerben (iner iarendszerben) érvényesek! A tömeg
Newton második axiómájából kiindulva a tömeg
m = F/a
a test gyorsítással szembeni ellenállásának
mértéke. Ez azt jelenti, hogy két test közül annak a testnek nagyobb a tömege, amelyiket ugyan akkora er®, ugyan annyi id® alatt kisebb sebességre gyorsít fel.
Másképpen fogalmazva két test közül annak
nagyobb a tömege, amelynek azonos mérték¶ gyorsításához nagyobb er® szükséges. Azonban a testeknek van egy jól ismert másik hatása a gravitá iós vonzás. Két
m1
és
m2
tömeg¶ test
között fellép® gravitá iós vonzást a következ®képpen számíthatjuk ki:
F grav = −γ
m1 m2 rˆ r2
γ = 6, 67 × 10−11 Nm2 / kg2 . A mínusz el®jel azt fejezi ki, hogy a köl sönhatás mindig vonzásban nyilvánul meg. A r ˆ = r/|r| az egyik test fel®l a másikba mutató egységnyi ahol
γ
az ún. gravitá iós állandó
abszolút érték¶ vektor. Ha a Föld felületét®l nem vagyunk túl távol, akkor az el®z® egyenletet a következ® alakba írhatjuk:
F neh = G = m grav g, ahol
|g| = Itt
M Föld
a Föld tömege,
R Föld
γ M Föld ≈ 9, 8 R Föld
N/ kg.
a Föld sugara. Ez utóbbi egyenletben megjelent tömeget ún. gravitáló
tömegnek nevezzük. A Föld nehézségi er®terében mozgó testre vonatkozó mozgásegyenlet:
m teh a = m grav g A tapasztalat szerint ha a közegellenállástól eltekintünk a Föld gravitá iós terében minden test azonos gyorsulással mozog
a = g
amib®l az következik, hogy
pontosan megegyezik a gravitáló tömeggel.
m teh = m grav .
Azaz a tehetetlen tömeg
Eötvös Loránd mutatta ki el®ször, hogy ez az egyezés igen
pontos. A Föld által kifejtett gravitá iós er® mindig a testre hat, azonban a test súlya a test alátámasztására vagy felfüggesztésére. 11
Kényszermozgások
A kényszermozgások során a testekre ható er®ket eszközök (kötél, rúd, siga, lejt®) révén adjuk át a testeknek. Az eszközök a testek mozgását korlátozzák ezért kényszermozgásról beszélünk. Kötéllel sak húzóer®t lehet kifejteni. Az ideális kötél nem nyúlik és a feladatokban nem engedjük, hogy meglazuljon. A kötél az er® támadáspontjának áthelyezésére szolgál. Az ideális rúddal húzó és nyomóer®t egyaránt kifejthetünk.
Ha a siga tömege elhanyagolható, akkor sak a rajta átvetett kötélben ébred®
irányát változtatja meg. Ha a sigának van tömege az er® nagyságát is megváltoztathatja. Egy ideális felület sak rá mer®leges irányú er®t fejthet ki. A kényszerproblémákat a következ® lépésenként élszer¶ megoldani:
i) ii ) iii )
berajzoljuk a testekre ható er®ket meghatározzuk a kényszerfeltételeket minden testre felírjuk Newton második törvényét annyi egyenlet szükséges ahány ismeretlen van
iv ) v)
megoldjuk az egyenletrendszert diszkutáljuk a megoldást (van-e értelme)
Tekintsünk a rajzon látható kényszerproblémát.
m
tömeg¶ testek sigán átvetett fonalakkal vannak
összekap solva. Egy test fel van függesztve kett® vízszintes felületen súrlódásmentesen mozog.
m
ismere-
tében határozzuk meg a testek gyorsulásait és a kötéler®ket!
Fny m
Fny F1 F1 m
F F F
mg
mg
F m Fny
Fny
mg 8. ábra.
Mindegyik testre hat az
mg
nehézségi er®. A vízszintes felületen lév® testek nyomják az alátámasztást,
amely a hatás ellenhatás-törvénye értelmében nyomóer®t fejt ki a testekre.
A kötéldarabok sak úgy
maradhatnak feszesek, hogy mindkét végükre azonos nagyságú er® hat. Ekkor viszont a hatás ellenhatás törvénye értelmében a kötélvégeknek is er®t kell kifejteniük a testekre és a sigára is.
A kényszerfeltételek meghatározása : A kötél nyújthatatlanságából kifolyólag a testek elmozdulásai azonosak: ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 . Ebb®l kifolyóan a sebességeknek és a gyorsulásoknak is azonosnak kell lenniük azaz a1 = a2 = a3 = a. Írjuk fel a dinamika alapegyenletét mindegyik testre:
12
mg − F F − F1 F1 Fny − mg Fny − mg
= = = = =
m a1 m a2 m a3 0 0
(1) (2) (3) (4) (5)
Az els® három egyenlet kötélirányú er®ket tartalmaz, az utolsó kett® pedig kötélirányra mer®leges er®ket. Közös hatásvonalú er®ket algebrailag összegezhetünk ezt tettük az egyenletekben. Sose írjunk fel olyan egyenletet, amelyben különböz® irányú er®k együtt vannak jelen! Gyakori tévedés, hogy a vízszintes testekre m g és F egy egyenletben szerepel. Ez rendkívül súlyos hiba, ugyanis egymással szöget bezáró vektorokat algebrailag tilos összeadni! Az utolsó két egyenlet most sak azt a tényt fejezi ki, hogy az asztal által kifejtett nyomóer® egyenl® a testre ható nehézségi er®vel. Ezért az utolsó két egyenlet jelen esetben elhagyható. A kényszerfeltételek gyelembe vételével (és a két utolsó egyenlet elhagyásával) az egyenletek és az ismeretlenek száma sökken:
mg −F = ma F − F1 = m a F1 = m a
(6) (7) (8)
Az ismeretlenek száma három (a, F, F1 ) és három független egyenletünk van. A gyorsulást úgy kaphatjuk meg, hogy az egyenleteket összeadjuk, ekkor a kötéler®k kiesnek.
mg = 3ma g = 3a g a = 3 A kötéler®ket
a
ismeretében könnyen megkapjuk:
mg 3 2mg F = 3
F1 =
Diszkusszió :
a rendszer gyorsulásának kisebbnek kell lennie mint
nek nagyobbnak kell lenni mint
F1
(miért?)
ez is teljesül.
g
(miért?)
ez teljesül.
Továbbá
F-
Ha visszahelyettesítjük az eredményeket az
egyenletekbe azonosságokat kell kapnunk:
g 2mg = m 3 3 2mg mg g − = m 3 3 3 mg g = m 3 3 mg −
(9) (10) (11)
Ezek is teljesülnek. Hogy módosulnak az egyenletek, ha mindhárom test tömege különböz®? Válasz:
m1 g − F = m1 a F − F1 = m2 a F1 = m3 a. 13
(12) (13) (14)
A rendszer gyorsulása és a kötéler®k ekkor:
m1 g m1 + m2 + m3 m1 m3 g = m1 + m2 + m3 (m1 m3 + m1 m2 ) g = m1 + m2 + m3
a = F1 F1
A súrlódás
Készítsük el a következ® próbatestet és fejtsünk ki rá akkora vonóer®t, hogy a vontatás sebessége állandó legyen.
F F F
9. ábra.
Newton II. axiómája értelmében ez sak úgy lehet, hogy a próbatestre ható er® ered®je nulla. Tehát a próbatestre hat egy a vonóer®vel ellentétes irányú, a vonóer®vel egyenl® nagyságú er®. Ez a súrlódási er®. Tapasztalat szerint a próbatest mindhárom pozí iójában azonos a súrlódási er®. A súszási súrlódási er® tehát független az érintkez® testek felületét®l és a vontatás sebességt®l is. A súszási súrlódási er®t sak kis mértékben okozzák a felületek felületi egyenetlenségei.
Jelent®sebb a felületekre tapadt szennyez®dések
hatása és a felületek közötti molekuláris köl sönhatások hatása.
Ha sak szennyez®dések vannak jele
száraz súrlódásról, ken®anyagok alkalmazásával nedves súrlódásról beszélünk. A súrlódási er® matematikai alakban:
F s = −µ F ny µ súszási
ahol
F ny
sebesség irányába mutató egységnyi hosszú v vektor. A mínusz jel szerint a súszási súrlódás az elmozdulással ellentétes irányú. A
µ
súrlódási együttható,
nyomóer® és
v , v v a
súszási súrlódási együttható egynél kisebb mérések alapján megállapított szám. Ha nin s a
felületek között relatív sebességkülönbség súrlódás akkor is felléphet. Ez a tapadási súrlódási er®. tapadási súrlódási együttható, amelynek értéke nagyobb mint
µ.
µt
a
Ha egy test leveg®ben vagy vízben mozog a közeg egészében vagy részben akadályozza mozgását. Az autó mozgását a leveg® akadályozza, viszont egy hajó mozgása víz nélkül nem lehetséges. Kis sebességek esetén a közeg által kifejtett er® arányos a mozgás sebességével, nagyobb sebességek esetén a sebesség négyzetével arányos. Tekintsük az el®z® kényszerproblémánkat súrlódással azaz a tömegek mellett most
µ
is adott. A mozgásegyenletek a kényszerek gyelembevételével a következ® alakúak lesznek:
mg − F F − F1 − Fsurl F1 − Fsurl Fsurl
= = = = 14
ma ma ma µ Fny = µ m g
(15) (16) (17) (18)
m Fs
F1 F1 m
F F F
Fs
F m mg 10. ábra.
Hogy változnak az egyenletek, ha a testek tömegei különböznek? Válasz:
m1 g − F = m1 a F − F1 − µ m2 g = m2 a F1 − µ m3 g = m3 a
(19) (20) (21)
Bonyolítsuk a feladatot úgy, hogy a testeket vízszintes felület helyett lejt®re helyezzük! A lejt® rögzített. A súrlódástól egyel®re tekintsünk el. Mik lesznek a mozgásegyenletek? El®ször is a er®t felbontjuk egy lejt®vel párhuzamos (tangen iális)
m g cos(α) komponensre.
A
Gt
Gt = m g sin(α)
G = mg
nehézségi
és egy rá mer®leges (normál)
kötélirányú így a kötélirányú er®khöz algebrailag hozzávehet®. A
Gn
Gn = pedig
a nyomóer®vel azonos nagyságú (miért?), így szerepe sak súrlódási jelenlétében fontos (lásd kés®bb).
m F 1
F1
m F F F
α
F m
Gt Gt mg 11. ábra.
A mozgásegyenletek ekkor a következ® alakban irhatók:
mg − F = ma F − F1 − Gt = m a F1 − Gt = m a
(22) (23) (24)
Ha a tömegek különböznek, a mozgásegyenletek alakja a következ®:
m1 g − F = m1 a F − F1 − m1 g sin(α) = m1 a F1 − m2 g sin(α) = m2 a Ha súrlódási er®t is feltételezünk a mozgásegyenletek alakja a következ® formát ölt: 15
(25) (26) (27)
m F F
m F F1 1 α Fs Gt
F F
Fs Gt
m mg
12. ábra.
m1 g − F = m1 a F − F1 − m2 g sin(α) − µ m2 g cos(α) = m2 a F1 − m3 g sin(α) − µ m3 g cos(α) = m3 a
(28) (29) (30)
Munka, energia, teljesítmény
Ha egy test er®hatás következtében elmozdul munkavégzésr®l beszélünk. A munkavégzés során az egyik test által a másiknak átadott energiát munkának nevezzük:
W = F ∆x. Ez a képlet sak akkor alkalmazható, ha az er® a folyamat során végig állandó és az er® és az elmozdulás vektorok párhuzamosak egymással. A munka el®jeles skalár, mértékegysége Nm=1J. A munka kissé általánosabb kiszámítását teszi lehet®vé a következ® dení ió:
W = F · r = F r cos (α) = Fx r. Ekkor a munkát az er® és az elmozdulás vektorok skaláris szorzataként értelmezzük. A képlet akkor is alkalmazható, ha a vektorok
α
szöget zárnak be egymással.
elmozdulásvektor irányába mutat de az er® nagysága változik a
Ha a testre ható er® iránya végig az
x
távolság függvényében a munkát a
következ® összefüggés szerint számolhatjuk:
W =
B
Z
F (x)dx .
A
Tehát a munka ekkor az er® pozí ió szerinti integráljával egyenl®. Ha az er® nagysága is és iránya is változik az elmozdulás során a munkát ún. vonalintegrállal számoljuk:
W =
Z
B A
F (r) · dr .
Ekkor a pályagörbét, annyi elemi szakaszra bontjuk, hogy egy szakaszon belül az er® változása elhanyagolható legyen. Minden elemi szakaszra elvégezzük a skaláris szorzatot (F (r) · dr ) majd elvégezzük az integrálást.
16
∆x F
F α
F( x)
Fx
r dr
dx F( r)
13. ábra.
Példák.
Els® példaként számoljuk ki egy
L
hosszúságú,
m
tömeg¶, homogén tömegeloszlású, végtelenül
könnyen hajlítható súlyos kötél felhúzásához szükséges munkát.
F
111111111111111 000000000000000
11 00 00 11 00 11 00 11 00 m11 00 11 00 L 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11
14. ábra.
Els® lépésként adjuk meg a vonóer®t a pozí ió függvényében.
Amikor a kötél függ®leges a vonóer®
éppen megegyezik a kötél súlyával, amikor pedig a kötél vízszintes helyzetbe került a vonóer® zérus.
∆x
hosszúságú kötélrész felhúzása a felhúzott rész hosszával arányosan sökkenti a vonóer®t. Ennek oka, hogy a kötél s¶r¶sége állandó. A vonóer® mint a távolság függvénye:
F (x) = −
mg x + mg. L
F mg
11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 F(x) 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 W 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000L 11111111111111111 15. ábra.
17
x
A grakon alatti terület számértékileg a végzett munkával egyezik meg:
1 W = mgL. 2 Természetesen
F (x)
integrálásával is megkaphatjuk a végzett munkát.
W =
Z
L
(− 0
mg x + mg)dx. L
Az integrálás eredménye:mgl/2. Második példaként számoljuk ki egy kát.
D
rugóállandójú súlytalan rugó megnyújtásához szükséges mun-
A rugóállandó azt mutatja meg, hogy mekkora er® szükséges ahhoz, hogy egységnyi távolsággal
sökkentsük vagy növeljük a rugó hosszát. Egy ideális rugó
F (x) = −D x
alakú, harmonikus er®t fejt ki
a megnyújtás mértékét®l független¶l. Ilyen rugó nem létezik. Ha a rugó véges hosszúságú egy bizonyos mérték¶ összenyomás során a menetek összeérnek, egy bizonyos mérték¶ nyújtás során pedig maradandó deformá ió lép fel. A kezünkre a rugó által kifejtett er®
F (x) = D x
alakú.
egyenes alatti területet kell kiszámolnunk:
F Dx ideális rugó
W x reális rugó
0
16. ábra.
Ideális rugó megfeszítéséhez szükséges munka:
1 1 W = D x x = Dx2 . 2 2
18
x
x
mérték¶ megnyújtáshoz az
Energia.
Egy test energiával rendelkezik, ha alkalmas körülmények között munkát végezhet.
Tehát
az energia a munkával szoros kap solatban van. Azonban különbség van az energia és a munka között. Energiával minden test rendelkezhet munkával azonban nem. Ugyanis munkáról sak munkavégzés során beszélhetünk. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a munka az elmozdulással funk ionális kap solatban van.
energia a test egy adott állapotát jellemzi, míg a munka két állapot közötti folyamatot ír le. Egy m tömeg¶ v sebességgel mozgó test a mozgási energiáját a következ®képpen értelmezzük:
Az
1 E kin = m v 2 . 2 Egy rendszer esetében bevezethetjük a poten iális energia fogalmát. A poten iális energia kizárólag a rendszer alkotórészeinek egymáshoz képesti elrendez®dését®l és köl sönhatás típusától függ. A poten iális energia kap solata az er®vel a következ®:
F (x) = − Ha
F x, y, z
koordinátáktól is függ az összefüggés bonyolultabb.
V neh = m g h V grav = γ m1 m2 /r V rug = 21 D x2
Helyzeti energia Föld nehézségi er®terében: Helyzeti energia a gravitá iós er®térben: Egy harmonikus osz illátor helyzeti energiája:
Teljesítmény.
∂V (x) . ∂x
Nem mindegy, hogy ugyan azt a munkát mennyi id® alatt végezzük el. A munkavégzés
sebessége a teljesítmény. Átlagos teljesítmény:
P =
∆W . ∆t
Pillanatnyi teljesítmény:
P =
dW ˙ . =W dt
P skalár jelleg¶ zikai mennyiség. Mértékegysége [P℄=J/s=W (watt).
Hatásfok.
A hasznos és a befektetett munka hányadosa a hatásfok:
η= η
W hasznos . W befektetett
mindig 0 és 1 közötti szám, vagy százalékban kifejezett érték.
A munkatétel
A munkatétel szerint a testre ható er®k erd®jének a testen végzett munkája egyenl® a test mozgási energiájának a megváltozásával. Egydimenziós mozgásra: Z x2 1 1 F (x)dx = m v22 − m v12 . 2 2 x1 A munkatétel akkor is alkalmazható ha a mozgás során fellép súrlódás vagy közegellenállás. Ekkor a súrlódási munkát is gyelembe kell venni! A súrlódási er®t a súrlódási együttható és a nyomóer® szorzataként számoljuk: 19
F súrl = µ F ny .
Ütközések
Az ütközések során két test között általában nagyon rövid ideig tartó, nagy deformá ióval, így nagy er®hatással járó köl sönhatás lép fel. Ennek következtében az ütköz® testek zárt rendszerként kezelhet®k.
Az ütközések osztályozása.
Két test ütközése entrikus, egyenes, ill. ferde ütközés lehet.
Egyenes ütközés
két test sebessége párhuzamos az ütközési normálissal
Ferde ütközés
két test súlypontjának sebessége nem párhuzamos az ütközési normálissal
Centrikus ütközés
ütközési normális átmegy a testek súlypontján
Ex entrikus ütközés
ütközési normális nem megy át a testek súlypontján
A továbbiakban sak olyan esetekkel foglalkozunk, amelyek során az ütköz® testek sebességei az ütközés el®tt és után egy egyenesbe esnek.
A tökéletesen rugalmatlan ütközés.
Tökéletesen rugalmatlan két test ütközése akkor, ha az ütközés
után azonos sebességgel együtt haladnak tovább. Ilyen esetekben mivel zárt rendszerr®l beszálünk érvényes az impulzusmegmaradás tétele:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u , ahol
v1 , v2
u pedig
az ütközés el®tti sebességek
így:
u=
az ütközés utáni sebesség. A közös sebesség nagysága
m1 v1 + m2 v2 . m1 + m2
Az ütközés során jelent®s me hanikai energiaveszteség lép fel, amelyet a következ® formában lehet kiszámolni:
1 1 1 m1 v1 2 + m2 v2 2 − (m1 + m2 )u2 , 2 2 2 1 m1 m2 (v1 − v2 )2 . W vesz = 2 m1 + m2
W vesz =
Me hanikai energiaveszteségnek tekintjük az ütközés során fellép® h®t, hangot és maradandó deformá iót is.
Tökéletesen rugalmas ütközés.
Tökéletesen rugalmas ütközés
során az ütközésben résztvev® testek
együttes mozgási energiája az ütközés el®tt és után megegyezik. A valóságban ilyen ütközés sohasem fordul el®, de jó közelítéssel az ütközések néhány esete ilyennek tekinthet®. A me hanikai energia tétele matematikai alakban:
, ahol
v1 , v2
az ütközés el®tti
1 1 1 1 m1 v1 2 + m2 v2 2 = m1 u1 2 + m2 u2 2 2 2 2 2 sebességek, u1 , u2 pedig az ütközés utániak.
A me hanikai energia megmaradása mellett az impulzus is megmarad:
m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 . A két egyenletb®l álló rendszert megoldva az ütközés utáni sebességek megkaphatók:
2m2 v2 + (m1 − m2 )v1 m1 + m2 2m1 v1 + (m1 − m2 )v2 = m1 + m2
u1 = u2
20
A bolygómozgás
A bolygók Nap körüli mozgásának törvényeit el®ször Kepler fogalmazta meg. Ezek a törvények, valamint az egyre pontosabb mérések tetté lehet®vé Newton számára az általános tömegvonzás felismerését és leírását.
Kepler I. törvénye.
A bolygók ellipszis alakú pályán mozognak a Nap körül; az ellipszisek egyik gyúj-
tópontjában található a Nap. A bolygók mindegyike síkmozgást végez és ez a sík közelít®leg egybeesik a
ekliptikának
Föld keringésének síkjával, amit
Kepler II. törvénye.
nevezünk.
A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenl® id®k alatt egyenl® területeket
súrol. Ebb®l következ®en a bolygók napközelben gyorsabban mozognak mint naptávol.
Kepler III. törvénye.
A bolygók keringési id®inek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a boly-
gópályák fél nagytengelyeinek köbei. Két bolygóra:
a1 3 T1 2 = a2 3 T2 2 ahol
T1
és
T2
a két keringési id®,
a1
és
a2
a két fél nagytengely. Ennek következtében a Naptól távolabbi
bolygók keringési ideje hooszabb.
Bolygó
pályagörbe
F1
Nap
vezérsugár
Bolygó
F2
Nap súrolt területek
gyújtópontok 17. ábra.
A gravitá iós er®térben mozgó test
A gravitá iós er®tér konzervatív er®tér, ezért bevezethet® a poten iális energia, és teljesül a me hanikai energia megmaradásának tétele.
A gravitá iós térben, ha a nulla poten iálú helyet a végtelen távolra
választjuk, a poten iális energia az
V grav = −γ összefüggéssel adható meg, ahol
M
a teret kelt®,
m
Mm r
pedig a térben mozgó test tömege. Az összenergia:
1 Mm E össz = m v 2 − γ 2 r Ha az összenergia negatív, akkor a test ellipszis-, körpálya mentén mozog. Ha az összenergia pozitív a pálya alakja hiperbola vagy parabola.
21
F erõ
α r erõkar forgástengely döféspontja
K hatásvonal
18. ábra.
A forgómozgás dinamikai alapegyenlete
Egy test akkor foroghat egy adott forgástengely körül, ha olyan er® hat rá melynek hatásvonala nem megy át a forgástengelyen. Az er® hatásvonala az er®vektor mindkét irányú meghosszabbítása.
Tehát a tengely körüli forgás-
hoz nem elegend® a testre ható er® megléte, hanem az er®nek forgató hatással is kell rendelkeznie.
A
forgatóhatás nem közvetlenül az er®vel, hanem a forgatónyomatékkal van kap solatban.
M = r×F M = F · r · sin(α), ahol
k = r · sin(α)
az er® karja. Er®kar az er® hatásvonalának a forgástengelyt®l való távolsága.
A forgómozgás dinamikai alapegyenlete Newton-második törvényével analóg:
X
Mi =
i
dL ˙ =L dt
Abban az esetben, ha szimmetrikus testek a szimmetriatengelyük körül forognak és ez a tengely áll vagy önmagával párhuzamosan eltolódik
L = θ ω, X i
A
θ
így
Mi =
d (θ ω) . dt
ún. tehetetlenségi nyomaték, amely a test szöggyorsítással szembeni ellenállásának mértékét hatá-
rozza meg. Egyetlen m tömeg¶ tömegpont tehetetlenségi nyomatéka, amely a forgástengelyt®l r távolságra 2 van θ = m r . Egy test tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegzéP 2 sével lehet kiszámítani: θ = i mi ri . Tehát, ha kétszer olyan távol van a tömegpont négyszer nehezebb
szöggyorsítani. A tehetetlenségi nyomaték jelent®sége kiterjedt testek esetén nyílvánul meg.
θ
a tömeggel
analóg de annál sokkal bonyolultabb fogalom. Amég a tömeg egyetlen számadattal jellemezhet® zikai mennyiség addig a tehetetlenségi nyomaték általában kilen darab számadatot jelent. megeloszlású, szimmetrikus testek a szimmetriatengelyük körül forognak, akkor
22
θ
Ha homogén tö-
megadásához egyetlen
számadat is elegend®. Például
θ korong = 1/2 m R2, θ abron s = m R2 , θ gömb = 2/5 m R2 és így tovább.
Ezeket
az értékeket integrálással lehet kiszámítnai:
θ=
Z
r 2 dm
Abban az esetben, ha a tehetetlenségi nyomaték nem változik az id®ben a dinamikai alapegyenlet alakja a következ®:
X
Mi = θ β .
i
A forgási energia.
Ekkor az
i-edik
Forgassunk egy szimmetrikus testet
ω
szögsebességgel a szimmetriatengelye körül.
tömegpont mozgási energiája:
1 1 m v 2 = mi (ri ω)2 . 2 2 Összegezzük ezt minden pontra:
N X
N X 1 i=1
1 mi (ri ω)2 = 2 2
mi (ri )2
i=1
!
ω2 =
1 θ ω2. 2
Ez alapján egy szimmetrikus test forgási energiája, a szimmetriatengely körüli forgásra:
E forg = Munkatétel forgásra.
Igazolható, hogy a
a forgatónyomaték állandó
W = M ϕ.
W
1 θ ω2 . 2
munka a forgatónyomaték és a szögelfordulás szorzata, ha
Ha a forgatónyomaték a szögelfordulás valamilyen függvénye:
W =
Z
ϕ2
M(ϕ) dϕ.
ϕ1
A testre ható er®k forgatónyomatékainak összege rögzített tengely körüli forgás esetén a test forgási energiáját változtatja meg:
Z
ϕ2
M(ϕ) dϕ = ϕ1
1 1 θ ω2 2 − θ ω1 2 . 2 2
Ez a munkatétel.
A me hanika megmaradási tételei
Bizonyos zikai mennyiségek egy test vagy egy rendszer mozgása során nem változnak. Ezeket a mennyiségeket megmaradó mennyiségeknek (vagy mozgásállandóknak) nevezzük.
Megmaradó mennyiségek az
impulzus (lendület), az impulzusmomentum (perdület) és a me hanikai energia. Az impulzus p = m v minden olyan rendszerben megmarad, amelyben nem
hat küls® (a rendszerhez
nem tartozó) er®. Az ilyen rendszert me hanikailag zárt rendszernek nevezzük. Me hanikailag nem zárt rendszer esetén is megmaradhat az impulzus, abban az esetben ha a küls® er® hatása rövid. Az impulzusmegmaradás általában érvényes az ütközési jelenségekre. Az impulzusra vonatkozó megmaradási tétel:
p korábbi = p kés®bbi . 23
Két billiárdgolyó ütközésére az impulzus-megmaradás tétele:
m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 ahol
v1 , v2
az ütközés el®tti a
u1 , u2
az ütközés utáni sebességvektorok.
Az impulzus-megmaradással kap solatos jelenségek: fegyverek visszarúgása, evezés, rakéta. Az impulzusmomentum megmaradása a forgásra vonatkozó megmaradási törvény. Az impulzusmomentum vektor dení ió szerint:
L = r × p, ahol
r
a forgástengelyt®l az adott pontba mutató vektor,
p pedig az adott pontban az impulzus vektor.
Ha szimmetrikus testek a szimmetriatengelyük körül forognak az impulzusmomentum vektor nagysága a következ® alakban írható fel:
L = θ ω, ahol
θ az ún. tehetetlenségi nyomaték, amely a tömeggel analóg mennyiség.
A
θ egy test szöggyorsítással
szembeni ellenállásának mértékét fejezi ki. Az impulzusmomentumra vonatkozó megmaradási tétel:
L korábbi = L kés®bbi . Két különböz® szögsebességgel forgó korongot egymásra dobunk, amelyek végül közös szögsebességgel forognak:
θ1 ω1 + θ2 ω2 = (θ1 + θ2 ) ω Az impulzusmomentum megmaradással kap solatos jelenségek: jégtán os saját tengely körüli lassuló gyorsuló forgása, tigrisbukfen , helikopter. A me hanikai energia megmaradás sak ún. konzervatív mez®kben vagy er®terekben lehetséges. Konzervatív er®terekben az elvégzett munka nem függ a pályagörbe alakjától. A végzett munkát a kezdeti és a végállapot egyértelm¶en meghatározza.
között munkát végezhet.
Egy test energiával rendelkezik akkor, ha alkalmas körülmények
Fontos: bár a munka fogalmát az energiával, az energia fogalmát a munkával ad-
tuk meg, a két fogalom különbözik egymástól. Míg egy testnek vagy rendszernek lehet energiája, munkája nem. Ennek oka az, hogy a munka fogalma nem a testhez, hanem a munkavégzéshez kap solódik. A me hanikai energia megmaradás tétele szerint konzervatív er®térben egy test kinetikus (mozgási) és poten iális (helyzeti) energiája megmaradó mennyiség:
E1kin + E1pot = E2kin + E2pot E 1 + V 1 = E 2 + V 2,
1 m v 2 a test mozgási energiája, amely sak a test tömegét®l és sebességét®l függ, 2 test poten iális energiája, amely a teljes rendszer tulajdonsága. ahol
E=
V
pedig a
A me hanikai energia megmaradás tétele nem alkalmazható, ha a súrlódás vagy a közegellenállás jelent®s szerepet játszik! Az ütközési jelenségek közül sak a tökéletesen rugalmas ütközések esetén marad meg a me hanikai energia. 24
β
K
m2 R K
Ft
m1 mg 19. ábra.
Példák és kiegészítések.
Els® példaként tekintsünk egy
kerületére savart fonálon keresztül egy A rendszert magára hagyjuk.
m1 tömeg¶,
m2
tömeg¶,
R
sugarú korongot, amely a
függ® testtel van összekap solva.
A függ® test gyorsulni kezd függ®legesen lefelé és eközben a fonál ré-
vén vonóer®t fejt ki a korongra. Tegyük fel, hogy a korong a vízszintes felületen tisztán gördül, azaz a legalsó talajjal érintkez® pontja a talajon nem súszik meg. A forgástengelyt élszer¶ a korong szimmetriatengelyének választani. Választhatjuk a szimmetriatengellyel párhuzamos, a legalsó talajjal érintkez® ponton átmen® tengelyt is.
Ekkor a korong tehetetlenségi nyomatékát a Steiner-tétel segítségével kell
átszámolnunk erre a tengelyre nézve. Az egyenleteket el®ször a tömegközéppont gyorsulásával írjuk fel:
m1 g − K = m1 (2 a TKP ), K + Ft = m2 a TKP , a KR − Ft R = θ TKP . R A dinamikai egyenleteket
β -val
felírva:
m1 g − K = m1 (2Rβ), K + Ft = m2 (Rβ), KR − Ft R = θβ, ahol
θ = 21 mR2 .
A kényszerfeltételt a tiszta gördülés szolgáltatja:
a TKP = Rβ .
Bonyolultabb kényszerfeltétel adódik, ha a kötél a nagyobb sigához rögzített kisebb siga peremén van átveteve. Tegyük fel, hogy a
m1
test
a
gyorsulással süllyed. Ekkor a tömegközéppont gyorsulása:
a TKP = A dinamikai alapegyenletek a
a
R a. R+r
gyorsulással kifejezve a következ®ek:
m1 g − K = m1 a,
R a, R+r a . K r − Ft R = θ R+r K + Ft = m2
a
és
β
kap solata:
a=
R+r a TKP = (R + r) β. R 25
β
K m2 r
R
K Ft
a
m1 mg
20. ábra.
Ezt felhasználva:
m1 g − K = m1 (R + r) β, K + Ft = m2 R β, K r − Ft R = θ β.
111111 000000 000000 111111 V β
m
= mgl l
R V=
0
21. ábra.
Végül tekintsünk egy olyan sigát, melynek a kerületére savart fonál a mennyezethez van rögzítve. Mekkora lesz a siga tömegközéppontjának sebessége, ha elengedjük és megvárjuk, amíg
l
hosszúságú
fonál letekeredik? Természetesen a fonál a siga felületén nem súszik meg. A fonál letekeredése közben a siga tömegközéppontja gyorsul a siga pedig szöggyorsul. Mivel súszási súrlódás nem lép fel érvényes a me hanikai energia megmaradás tétele, azaz a mozgási és a poten iális energia összege a mozgás folyamán állandó.
Tehát
Ek + V
mozgás kezdetén és az
letekeredése után is azonos. A poten ális energia nulla szintjét (V
26
hosszúságú fonál
a test legméllyebb helyzetében
mgl poten iális energiája van a rendszernek. 1/2 m v 2 mozgási és 1/2 θ ω 2 forgási energia összegeként
élszer¶ felvenni ezért kezdetben sak pillanatban ez a kezdeti energia
= 0)
l
Bármely kés®bbi jelenik meg. Ezek
alapján:
1 1 mgl = mv 2 + θ ω 2 2 2 11 v2 1 m R2 2 mgl = mv 2 + 2 22 R v2 v2 gl = + 2r 4 4gl . v= 3 A feladat természetesen megoldható a dinamikai egyenletek alapján is, de a megoldás hosszadalmasabb. A sigára vonatkozó két dinamikai egyenletb®l kiszámoljuk a siga tömegközéppontjának gyorsulását. Ez a gyorsulás állandó. Így a tömegközéppont gyorsulásának ismeretében kinematikai egyenlettel határozhatjuk meg a végsebességet
l
távolság megtétele után.
A statika alapegyenletei
A statikai a merev testek egyensúlyával foglalkozik. Egy test egyensúlyban van, ha mind az mind a
β
a
gyorsulás,
szöggyorsulás zérus. A szükséges és elégséges feltétel:
X
Fi = 0
i
X
Mi = 0
i
A statikával itt külön nem foglalkozunk.
A harmonikus rezg®mozgás
A harmonikus rezg®mozgás a legegyszer¶bb rezgési forma. Ugyanakkor bonyolult rezgések el®állíthatók harmonikus rezgések szuperpozí iójaként. A legtöbb rezgésre képes rendszer harmonikus rezgést végez, ha elegend®en kis gerjesztésnek tesszük ki.
A
−A D m
egyensúlyi helyzet
∆x
22. ábra.
Tekintsünk egy
D
rugóállandójú, súlytalan rugóból és egy
a vízszintes felületen súrlódásmenetesen mozoghat.
m
tömeg¶ testb®l álló rendszert.
A rugóállandó a rugó anyagára jellemz® azt adja
meg, hogy egységnyi hosszváltozáshoz mekkora feszít®er® szükséges.
27
A test
Minél nagyobb
D
a rugót annál
er®sebb. Ha a rugó feszítetlen a test nyugalomban van, ha azonban a testet kimozdítjuk
∆x-el
egyensúlyi
helyzetéb®l harmonikus rezgést fog végezni. A széls® helyzetek távolságát az egyensúlyi helyzett®l az amplitúdó jellemzi (x min
= −A, x max = +A).
A
Egyensúlyi helyzetben a testre ható er®k ered®je nulla, a
rugó feszítetlen, de a test sebessége éppen maximális. Éppen ezért harmonikus rezgés során az egyensúly sohasem nyugalmi állapotot jelent. A harmonikus rezgésnek van egy kinematikai és egy dinamikai meghatározása. A kinematikai szemszögéb®l nézve egy test harmonikus rezg®mozgást végez ha a test pozí ió-id® függvénye az id® szinuszos vagy ′ koszinuszos függvénye. Azaz x(t) = A cos(ω t) vagy x (t) = A sin(ω t). Ezekben a függvényekben szerepl®
A
a kitérés maximuma neve amplitúdó,
ω = 2πf
pedig a körfrekven ia. A dinamika szempontjából egy
test harmonikus rezgést végez, ha a rá ható er® (vagy er®k ered®ja) harmonikus azaz A rezg®mozgás dieren iálegyenletét a következ®képpen kaphatjuk meg:
F = −Dx.
−Dx = m¨ x, átrendezve
x¨ + amelyben
Mivel
D x=0, m
√ D = ω. M
ω = 2π/T
a periódusid®t a következ®képpen számolhatjuk:
T = 2π
r
M . D
Láthatjuk, hogy a periódusid® független az amplitúdótól. Ezt a tulajdonságot vezzük.
Ilyen terminológiában a harmonikus rezgés izokrón rezgés.
izokrónok-e?
izokronizmus -nak
ne-
Vajon a matematikai inga lengései
A válasz az, hogy általában nem. Ennek oka az, hogy a matematikai inga anharmonikus
rezgést végez. Viszont, ha a lengésekhez olyan kis maximális szögek tartoznak, hogy jó közelítéssel izokrónnak tekinthet®. Nagy
ϕ szögek
sin(ϕ) ≈ ϕ
a lengés
esetén az izokrón jelleg sak úgy tartható fenn, ha az
inga hosszát rövidítjük. Megfelel® alakú pofák alkalmazásával Huygens szerkesztett olyan ingát, amely nagy kitérésekre is izokrón maradt. Ennek a dif. egyenletnek azonban sak partikuláris (nem általános) megoldása az x(t) = A cos(ω t) ′ vagy a x (t) = A sin(ω t). Ez onnan is beláthetó, hogy az id®mérés kezdetekor azaz t = 0-kor a test vagy ′ az egyensúlyi helyzetben van x(0) = 0 vagy az egyik széls® helyzetben x (0) = A. Nyílvánvaló, hogy általában véve az id®mérés kezdetekor a harmonikus rezg®mozgást végz® test
[−A, A]
intervallumon belül
bárhol lehet. Másképpen fogalmazva az id®mérést a test bármelyik pozí iójában elkezdhetem. Bizonyítható, hogy az általános megoldás megadható a következ® alakban is:
x(t) = A sin(ωt + ϕ), melyben
ϕ
ún. fázisszög.
A harmonikus rezg®mozgás kinematikai jellemz®i.
Ha a pozí ió-id® függvénynek az
x(t) = A sin(ωt)
függvényt választjuk bizonyítható, hogy a harmonikus rezgés során a sebesség-id® és gyorsulás id® függvények a következ® alakúak:
v(t) = Aω cos(ωt), a(t) = −Aω 2 sin(ωt). 28
(31) (32)
x
A t v
T/4
3T/4
T/2
T
Aω
t a Aω 2
t
23. ábra.
Ezekb®l a függvényekb®l könnyen kiolvasható, hogy a sebesség maximuma v max = Aω 2 .
v max = Aω ,
a gyorsulás
maximuma pedig
Nagyon hasznos összehasonlítani a kinematikai függvényeket egymással. Amikor a pozí ió zérus az azt jelenti, hogy a test az egyensúlyi helyzeten halad keresztül. Ekkor a sebesség maximális a gyorsulás viszont nulla. A széls® helyzetekben a pozí ió
|x| = A,
a sebesség nulla a gyorsulás viszont maximális.
A harmonikus rezg®mozgás energiaviszonyai.
Súrlódás hiányában a harmonikus rezg®mozgás során
a kinetikus és a poten iális energia összege állandó. Ha
∆x-el
térítettük ki a testet egyensúlyi helyzetéb®l
az összes kezdeti energia poten iális energia formájában van jelen
E össz = V .
A poten iális energia jelen
esetben a rugó megfeszítéséhez szükséges energia:
1 1 V = D x2 = D A2 . 2 2 Ez az energia az egyensúlyi helyzetben tisztán kinetikus energia:
1 1 Ekin = m v max 2 = m A2 ω 2 . 2 2 Közbüls® helyzetekben az összenergia részben kinetikus, részben poten iális energia:
1 1 E össz = m v 2 + D x2 . 2 2 A kinetikus energia pozí ió függését a következ®képpen adhatjuk meg:
1 1 E kin (x) = D A2 − D x2 . 2 2 29
E
E össz E k(x)
V(x) −A
A
x
24. ábra.
A poten iális energia id®függését úgy kaphatjuk meg, hogy az energiakifejezésbe tünk:
x = x(t)-t
1 1 V (t) = D x(t)2 = D A2 sin(ωt)2 . 2 2
A kinetikus energia id®függését megadó formulához úgy jutunk, hogy az energiakifejezésbe helyettesítjük:
helyettesí-
1 1 E kin (t) = m v(t)2 = m A2 ω 2cos(ωt)2 . 2 2
30
v = v(t)-t