A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)
Ismétlés: Hatványozás egész kitevő esetén Def.: an : a a ... a an
Olyan n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a.
a: hatványalap
an : hatványérték
n: kitevő
A hatványozás azonosságai egész kitevő esetén:
an bn ab
n
a
n k
ank
n
an
a bn b a0 1
an ak ank
b0
a n
a0
1 an
a0
an a
k
an k
a0 n;k N
a;b R
Ismétlés: A négyzetgyökvonás f(x) x Df x R I x 0 R f y R I y 0
a
2
: 0
ÉT : x 0 ÉK : y 0
ZH : x 0
ZH : x 0
SZÉ : min 0;0
SZÉ : min 0;0
SZMN
SZMN
a0
Négyzetgyök a jelenti azt a nem negatív számot, melynek négyzete a. A négyzetgyökvonás azonosságai:
ab a b
a 0;b 0
a a b b
b0
a
k
ak
A hatványozás első inverz művelete, az n. gyökvonás. Az n. gyök függvény. Az n. gyök definíciója. Ha a kitevő páros, akkor a hatványfüggvény ( f(x) = xn ) nem kölcsönösen egyértelmű. Páros kitevő esetén le kell szűkíteni az értelmezési tartományt.
f(x)
3
x
x
ÉK: y ∊ R ZH: x = 0 SZÉ: SZMN páratlan fv.
n Def.: Ha n páratlan akkor n-edik gyök a ( a )
jelenti azt a számot, amelynek n-edik hatványa a.
a∊R
a
n
: a
Def.: Ha n páros, akkor
n
n
a≥0
n
23 8
3
82
(2)3 8
3
8 2
25 32
5
32 2
(3) 27
3
27 3
24 16
4
16 2
3
a jelenti azt a nem
negatív számot, amelynek n-edik hatványa a. a ≥ a
a
x
ÉT: x ≥ 0 ÉK: y ≥ 0 ZH: x = 0 SZÉ: min.(0; 0) SZMCS: x < 0 SZMN: x > 0 páros fv.
ÉT: x ∊ R
n
4
(2) 16
2 64
4
6
: a
(3) 81 4
16 nincs értelmezve!
4
6
64 2
4
81 nincs értelmezve!
Az n. gyökvonás azonosságai: 1. Szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.
n
ab n a n b
2. Hányadosból is tényezőnként vonhatunk gyököt.
n
a na b nb
3. A hatványozás és az n-edik gyökvonás sorrendje felcserélhető. 4.
nk
a n
k
n ak
a nk a
5. A gyökkitevőt úgy bővítjük, hogy amivel szorozzuk a gyökkitevőt, ugyanazzal szorozzuk a gyök alatti kifejezés hatványkitevőjét is.
n
ak
np
akp
A hatványfogalom általánosítása racionális kitevőre: p q
Def.: a -adikon jelentse azt a pozitív számot, amelynek q-adik hatványa ap -ediken. a >0, p,q ∊ Z q
p a q : ap
a0
p;q Z
ap 0
Kapcsolat a racionális kitevő és az n. gyökvonás között: n 1 1 n a : a ha a 0 n n a a ha a 0 n n a : a
Az exponenciális függvények és tulajdonságaik:
4
y
x
ÉT: x ∊ R
3 2 1 -4
-3
-2
a1
ax
x
-1
1
2
3
4
5
x ax Df R
a1
Rf R
ÉK: y ∊ R; y > 0 ZH: – SZÉ: – SZMN
ZH : SZÉ. : SZMN
6
-1
4
y
x
ÉT: x ∊ R
3 2 1 -4
-3
-2
-1
0a1
ax
x 1
2
3
4
5
ÉK: y ∊ R; y > 0 ZH: – SZÉ: – SZMCS
6
x ax Df R
0a1
Rf R ZH : SzÉ. : SZMCS
-1
Exponenciális egyenletek: Azonos alapú hatványokra visszavezethető exponenciális egyenletek Arról lehet felismerni őket, hogy azonos alapú hatványok között csak szorzás és osztás van.
85x 3 82x 1 83x 2 84x 4
2
1 4 3x 1 4 8 3 8
Nulla kitevős exponenciális egyenletek.
425x 1 0
53x 1 1
Kiemeléses exponenciális egyenletek. Arról ismerheted fel, hogy egy szám hatványainak összege vagy különbsége szerepel benne.
2x 2x 3 18
4 3x 1 72 3x 2 3x 1
3 x 3 x 1 3 x 2 3 x 3
Másodfokú egyenletekre visszavezethető exponenciális egyenletek.
40 3
Ha egy hatvány és annak a négyzete is szerepel az egyenletben, akkor az egyenlet valószínűleg másodfokúra visszavezethető típus. 9x 6 3x 27
34 x 3x 1 12
2x 0,5 x 3,75
Egyéb exponenciális egyenletek. Exponenciális egyenletrendszerek. Exponenciális egyenlőtlenségek. Vegyes feladatok.
A hatványozás második inverz művelete, a logaritmus. A logaritmus függvény: f(x) loga x
f(x) loga x
0a1
a1 ÉT : R
ÉT : R
ÉK : R ZH : x 1
ÉK : R ZH : x 1
Sz.é. : SZMN
Sz.é. : SZMCS
A logaritmus fogalma: Def.: a alapú logaritmus b jelentse azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapok.
aloga b : b
a 0; a 1; b 0
Alapazonosságnak is hívjuk.
ac b c loga b Exponenciális átírás Gyakoroljuk az átírást!
102 100
log10 100 2
lg 0,1 1
101 0,1
52 25
log5 25 2
log5 125 3
53 125
24 16
log2 16 4
log2 32 5
25 32
log3 81 4
34 81
3 3
1 27
log3
1 3 27
a a 2 3
1. Számítsd ki a következő kifejezés pontos értékét! loga
4 5
a2
a16
a 0, a 1
a a 2 3
loga
4 5
a16
a2
loga
a6 a20 a16 a2
loga
a2 a2
loga 1 0
2. Számítsd ki a következő kifejezés pontos értékét!
logc
c 3 d 4 d8 ? d c c5
logc
c 3 d 4 d8 c 12 d8 d4 c 12 d12 d12 c12 24 log log log logc 24 c3 c c c 5 5 4 9 9 12 d c c d c c d c c d
logc
3 24 c
d 0, c 0, c 0
3 1 24 8
3. Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
1 1 log17 25 2 17
? Megoldás
2log9 25
4. Számítsd ki a következő kifejezés értékét! 3
251log5 2 10 lg4 ? Megoldás
log25 361
5. Számítsd ki a következő kifejezés értékét! 5 5 2
? Megoldás
6. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!
3
103 lg27 ? Megoldás
A logaritmus azonosságai: 1. Szorzat logaritmusát megkapjuk, ha a tényezők logaritmusát összeadjuk. loga x y loga x loga y x 0, y 0, a 0, a 1 2. Egy tört logaritmusát megkapjuk, ha a számláló logaritmusából kivonjuk a nevező logaritmusát.
loga
x loga x loga y y
x 0, y 0, a 0,
a 1
3. Hatvány logaritmusát megkapjuk, ha a hatványalap logaritmusát megszorozzuk a kitevővel. loga xk k loga x
x 0, y 0, a 0,
a 1
Feladatok: 1. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét!
log5 15 log5 35 log5 21 ?
2. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! 1 1 log5 175 log5 15 log5 28 log5 42 ? 2 3. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! lg 52 3lg2 lg125 lg 325 lg13 ?
Az 1. a 2. és a 3. feladat megoldása: 1. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! log5 15 log5 35 log5 21 log5
15 35 2 21
2. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! 1 log5 175 log5 15 log5 28 log5 42 1 log5 175 log5 15 log5 28 log5 42 2 175 28 15 7 25 7 4 15 7 5 2 15 75 1 log5 1 log5 1 log5 1 log5 1 log2 25 42 42 42 3 1 2 3
1
3. Számítsa ki a következő kifejezés pontos értékét! lg 52 3lg2 lg125 lg 325 lg13 lg 52 lg23 lg125 lg 325 lg13 52 325 8 125 52 325 1000 4 13 13 25 1000 lg lg 13 13 13 2 13 5 1000 lg lg10000 4 13 lg
Átírás új logaritmus alapra: Egy kifejezés logaritmusát úgy írjuk át új alapú logaritmusra, hogy vesszük a kifejezésnek az új alapú logaritmusát, és azt elosztjuk a régi logaritmusalap új alapú logaritmusával.
loga b
logc b logc a
Logaritmikus egyenletek Pl. lgx 3 lg 5
lg x 1 lg x 1 lg8 lg x 2
Logaritmikus egyenlőtlenségek Pl. log3 x 9
log3 x 1
log 1 x 2 2
Logaritmikus egyenletrendszerek
log 1 x 2 3
lg x2 5x 9 lg 2x 1 0
