Számolás Ha mást nem mondunk, szám alatt az alábbiakban, mindig valós számot értünk. Műveletek összeadás: Példa: p+x+5 tagok: amiket összeadunk, az előző példában a p, az x és az 5 szorzás: Példa: p⋅x⋅5 tényezők: amiket összeszorzunk, az előző példában a p, az x és az 5 hatványozás, gyökvonás: Példa: xn alap: x kitevő: n pozitív egész kitevő esete: xn = x⋅x⋅…⋅x (n db szorzótényező) 1 negatív egész kitevő esete: x − n = n , ha x≠0 x 1 1 Példa: 5 −3 = 3 = 125 5 nulla kitevő esete: x0 = 1, ha x≠0 gyökvonás: ha x egy pozitív szám, n pedig egy pozitív egész szám és xn=y, akkor azt mondjuk, hogy x az y n-edik gyöke; 1
jelölése: x = n y vagy x = y n . A gyökvonás fenti értelmezésében csak a pozitív számokra szorítkoztunk, ahol a gyökvonás egyértelműen elvégezhető, az xn=y egyenlet típusú egyenletekben (y ismert, x ismeretlen) általában nem élhetünk az x>0, y>0 feltételezéssel, így a megoldásainak száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete: Ha y<0, akkor nincs megoldás. Példa: x4 = -3 Ha y=0, akkor egy megoldás van. Példa: x4 = 0 megoldása: x=0 Ha y>0, akkor két megoldás van. Példa: x4 = 16 megoldásai: x1=-2, x2=2 Páratlan n esete: Egy megoldás van. Példa: x3 = -8 megoldása: x=-2. p q
( ) q
p
tört (racionális) kitevő esete: x = x , ha q pozitív egész szám és x>0 A hatványozás néhány tulajdonsága Ha x>0, y>0, n és k racionális számok, akkor xn ⋅ xk = xn+k xn = x n −k xk
(x )
n k
= x n ⋅k (x⋅y)n = xn ⋅yn n
⎛x⎞ xn ⎜⎜ ⎟⎟ = n . y ⎝y⎠ Mivel a kitevők racionális számok is lehetnek, ezek a képletek egyben a gyökvonás tulajdonságait is megadják. Tizedes törtek Példa: 384,5472 egész rész: 384 tört rész: 0,5472 A tizedes törteket a törtrészük felírása alapján három csoportba lehet sorolni:
véges tizedes tört: törtrésze véges sok számjeggyel felírható (a racionális számok egy része véges tizedes tört formában felírható). Példa: 384,5472 végtelen szakaszos tizedes tört: törtrésze nem írható fel véges sok számjeggyel, de véges sok számjegy után egy számjegy csoport ismétlődése tapasztalható (azok a racionális számok, melyek nem írhatók fel véges tizedes tört formában, azok végtelen szakaszos tizedes tört formájúak). Az ismétlődő csoportot a számjegyei fölé tett pontokkal szoktuk jelölni. • • 450 Példa: = 5,1136363636... = 5,113 6 88 végtelen nem szakaszos tizedes tört: azok a számok, melyek nem tartoznak az előző két kategória egyikébe sem. • • 450 Példa: = 5,1136363636... = 5,113 6 88 normál alak: p⋅10k alakú szorzat, melyben 1≤p<10, k pedig egy egész szám. mantissza: p karakterisztika: k (A k értéke adja a szám nagyságrendjét. Így pl. az, hogy egy y szám 3 nagyságrenddel nagyobb az x számnál azt jelenti, hogy y kb. 1000-szer akkora, mint az x.) Példa: 3,845472⋅102 normál alakú számok összeadása: az összeadás előtt a számokat vagy vissza kell írni egyszerű tizedes tört alakba, vagy úgy kell felírni, hogy a 10 hatványok kitevője azonos legyen: Példa: A 4,52⋅105+9,1⋅106 összeadás két lehetséges elvégzési módja: 1, 4,52⋅105+9,1⋅106=452000+9100000=9552000=9,552⋅106 2, 4,52⋅105+9,1⋅106=4,52⋅105+91⋅105=95,52⋅105=9,552⋅106 normál alakú számok szorzása: a p⋅10k alakú és a q⋅10s normál alakú számok szorzata: (p⋅10k)⋅(q⋅10s)=p⋅q⋅10k+s vagyis a mantisszákat össze kell szorozni, a karakterisztikákat pedig össze kell adni. Példa: A 5⋅105+1,4⋅106 = 7⋅1011 Közönséges törtek p közönséges tört: , q≠0 q számláló: p nevező: q x Egy x tizedes tört lehet alakú közönséges törtként is írni, 1 amennyiben erre szükség van. p r p⋅r , vagyis a két közönséges tört összeszorzása: ⋅ = q s q ⋅s számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel kell összeszorozni p p⋅r vagyis közönséges tört szorzása tizedes törttel:, ⋅ r = q q a tizedes törttel (ami speciális lehet egész szám is) a számlálót kell megszorozni. Ezt úgy is el lehet képzelni, hogy az r r tizedes törtet alakú közönséges törtnek tekintjük, és 1 alkalmazzuk a két közönséges tört összeszorzására vonatkozó szabályt.
p q közönséges tört reciproka a , ha p ≠ 0. q p Világos, hogy egy törtnek és a reciprokának szorzata 1. (Reciprok minden nullától különböző x valós számhoz rendelhető: az 1/x formula szerint.) p r p s két közönséges tört osztása: : = ⋅ , ha r ≠ 0, vagyis q s q r törttel osztani úgy kell, hogy a reciprokával kell szorozni. p p p:r = , közönséges tört osztása tizedes törttel: : r = q q⋅r q vagyis a tizedes törttel (ami speciális lehet egész szám is) a nevezőt kell megszorozni, vagy a számlálót kell elosztani. Ezt r úgy is el lehet képzelni, hogy az r tizedes törtet alakú 1 közönséges törtnek tekintjük, és alkalmazzuk a két közönséges tört osztására vonatkozó szabályt. A számításokban gyakran előfordulnak az alábbi (ún. emeletes törtekre vonatkozó) átalakítások, melyek összhangban vannak a fentiekkel: p p p s p q p s q = p⋅ = ⋅ = r r q r r r q⋅r s s Az előbbi formulákból látható, hogy több törtvonal esetén világosan kell érzékeltetni, hogy melyik az ún. fő törtvonal. Ennek az egyenlőség jellel kell egy magasságban lenni. közönséges tört egyszerűsítése és bővítése: p s p Könnyen belátható, hogy ⋅ = , ha s ≠ 0. Ez a formula q s q úgy fogalmazható meg, hogy egy közönséges tört értéke nem változik meg, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal osztjuk (egyszerűsítés), vagy szorozzuk (bővítés). két közönséges tört összeadása: azonos nevező esetén p r p+r + = , vagyis azonos nevezőjű törtek esetén össze q q q kell adni a számlálókat, a nevező változatlan. (A fenti formulát „fordítva olvasva” látható, hogy ha a számlálóban több tag van, akkor azokat külön-külön elosztva a nevezővel, az eredeti törtet egyszerűbbekre bonthatjuk.) különböző nevező esetén p r p ⋅s r ⋅q p ⋅s + r ⋅q + = , vagyis különböző nevezőjű + = q s q ⋅s s ⋅q q ⋅s törteket úgy kell bővíteni, hogy a két nevező egyforma legyen (közös nevezőre hozás), és ez után alkalmazható a fenti számolás. Legegyszerűbb az eredeti nevezők szorzatát alkalmazni közös nevezőként, bár ennél sok esetben lehet kisebb közös nevezőt is találni.
reciprok: a
Közepek (átlagok) Számtani közép Az x1, x2,…, xn számok számtani közepe (átlaga): n x1 + x 2 + ... + x n = ∑ xi n i =1 Súlyozott számtani közép Az x1, x2,…, xn számoknak a p1, p2,…, pn pozitív számokkal (súlyokkal) képzett súlyozott számtani közepe (átlaga):
n
p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅ x 2 + ... + p n ⋅ x n = p1 + p 2 + ... + p n
∑= p ⋅ x i
i
i 1
n
∑= p
i
i 1
Ha a p1, p2,…, pn (pozitív) súlyok összege 1, akkor a fenti formula leegyszerűsödik: n
p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅ x 2 + ... + p n ⋅ x n = ∑ p i ⋅ x i i =1
Mértani közép Az x1, x2,…, xn nem negatív számok mértani közepe: n
x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n = n
n
x ∏ =
i
i 1
Harmonikus közép Az x1, x2,…, xn pozitív számok harmonikus közepe: n n = n 1 1 1 1 + + .... + ∑ x1 x 2 xn i =1 x i Négyzetes n
x i2 ∑ i =1
x12 + x12 + ... + x12 = n n Könnyen belátható, hogy az x1, x2,…, xn számok bármelyik közepe a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik. Ha speciálisan az összes szám egyenlő, akkor mindegyik közepük egyenlő ezzel az értékkel. Ha x1, x2,…, xn pozitív számok harmonikus, mértani és számtani és négyzetes közepét H, M, S és N jelöli, akkor fennáll, hogy H≤M≤S≤N Százalékszámítás százalékláb százalék alap ⋅ = százalékérték 100 30 = 3,6 Példa: 12-nek a 30%-a 3,6, mert 12 ⋅ 100 A fenti képlet alapján a százalék alap, százalékláb és a százalékérték közül bármelyik kettőből a harmadik kiszámítható. A százalékszámítás egyik gyakori alkalmazása a kamatszámítás. Ha az egy éves kamat p%, akkor a bankban elhelyezett T összegre (tőkére) egy év elteltével kapott kamat p T⋅ , a kamattal megnövekedett összegünk pedig 100 p p ⎞ ⎛ T +T⋅ = ⎜1 + ⎟⋅T . 100 ⎝ 100 ⎠ Ha a kamat évenkét tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésünkre álló összeg: n
p ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⋅T . ⎝ 100 ⎠ Példa: 250000 Ft tőke 7% éves kamat és évenkénti tőkésedés mellett 6 év elteltével 6
7 ⎞ ⎛ 6 ⎜1 + ⎟ ⋅ 250000 = 1,07 ⋅ 250000 = 375182,6 ⎝ 100 ⎠ forintot ér. Több tagú összeg hatványozása, néhány azonosság (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 – b2 = (a-b)⋅(a+b) a3 – b3 = (a-b)⋅( a2+ab+b2)
Függvények x→x -1
A későbbiekben tárgyalásra kerülő témakörökhöz (kezdve az egyenletekkel és az egyenlőtlenségekkel) elengedhetetlen a legfontosabb függvények hozzárendelési szabályának, és a grafikonjának ismerete. Az alábbi képek néhány alapvető függvény grafikonját mutatja
x→x
x→x -2
x→x2
x→ x
x→x3
x→3 x
x→2x
⎛1⎞ x →⎜ ⎟ ⎝2⎠
x→sin x
x
x→log2x
x→cos x
x→tg x
x→ctg x x→log0,5x
Nevezetes szögek szinusza és koszinusza Egy egységnyi hosszúságú vektort (pozitív forgásirányban) megforgatva a végpont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják
szög (fok) 0° 30°
szög (rad) 0 π 6
sin 0 1 2
cos 1
π 4
2 2
π 3 π 2 2π 3
3 2
2 2 1 2
1
0
3π 4
2 2 1 2 0 1 − 2
45° 60° 90° 120°
Nevezetes szögeknek a rajzon megjelölt szögeket nevezzük.
135° 150° 180° 210° 225° 240° 270°
A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a 1 2 3 0, ± , ± , ± , ±1 2 2 2 értékek valamelyikével egyenlők. A felsorolt értékek nagyságrendi sorrendben vannak, így könnyen azonosíthatók a rajzon a tengelyeken megjelölt értékekkel. A rajzról bármelyik nevezetes szög koszinusza és szinusza leolvasható. Az értékeket a következő táblázat is tartalmazza:
300° 315° 330° 360°
Összefüggés a trigonometrikus függvények között sin
cos
tg
sin x=
-
± 1 − cos 2 x
cos x=
± 1 − sin 2 x
-
sin x
± 1 − cos 2 x cos x cos x
tg x= ctg x=
± 1 − sin x 2
± 1 − sin 2 x sin x
± 1 − cos x 2
5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π
3 2
−
2 2
−
3 2 -1
3 2
− − −
−
1 2 2 2
3 2 -1 3 2
2 2 1 − 2
−
0
3 2
1 2
2 2 1 − 2 0
2 2
− −
3 2 1
ctg
tgx
1
± 1 + tg x 2
± 1 + ctg 2 x
1
tgx
± 1 + tg 2 x
± 1 + ctg 2 x
-
1 ctgx
1 tgx
-
A táblázat használata: ha a cos függvénynek a tg függvénnyel való kifejezésére van szükség, akkor a cos x sorban és a tg oszlopban lévő formulát kell tekinteni: cos x =
1 ± 1 + tg 2 x
A ± jel arra utal, hogy az összefüggés az x értékétől függően két formulával adható meg.
Szögek összege, különbsége, kétszerese és fele trigonometrikus függvényeinek kifejezése az eredeti szögek trigonometrikus függvényeivel x+y x-y 2x x/2 sin
sinx⋅cosy + cosx⋅siny
sinx⋅cosy – cosx⋅siny
2⋅sinx⋅cosx
±
1− cos x 2
cos
cosx⋅cosy – sinx⋅siny
cosx⋅cosy + sinx⋅siny
cos2x – sin2x
±
1+ cos x 2
tg
tgx + tgy 1 − tgx ⋅ tgy
tgx − tgy 1 + tgx ⋅ tgy
2 tgx 1 − tg 2 x
1 − cos x sin x
ctg
ctgx ⋅ ctgy − 1 ctgx + ctgy
ctgx ⋅ ctgy + 1 ctgy − ctgx
ctg 2 x − 1 2ctgx
1 + cos x sin x
A táblázat használata: ha a cos(x-y) kifejezésére van szükség az x és az y trigonometrikus függvényeivel, akkor a cos sorban és az x-y oszlopban lévő formulát kell tekinteni: cos(x-y) = cosx⋅cosy + sinx⋅siny. További összefüggések sin2x + cos2x = 1 x+y x−y cos 2 2 x+y x−y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 sin x + sin y = 2 sin
1 cos 2 x x+y x−y sin x − sin y = 2 cos sin 2 2 x+y x−y cos x − cos y = 2 sin cos 2 2 1 + tg 2 x =
Koordinátageometria a síkban Vektor hossza Pontok távolsága Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) pontok távolsága d (P1 , P2 ) =
2
(x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2
Két pont által meghatározott vektor Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) pontok által meghatározott vektor: →
2
A (vx,vy) vektor hossza: d (P1 , P2 ) = v x + v y
P1P2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y1 )
Vektor szöge A (vx,vy) vektor szöge: az x tengely pozitív felétől pozitív vy , amennyiben vx≠0. forgásirányban mért szög. tgϕ = vx Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem párhuzamos) egyenesen felvéve két y − y1 értéket az pontot: (x1,y1) és (x2,y2) az m = tgα = 2 x 2 − x1 egyenes meredekségének, vagy iránytangensének nevezzük.
Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az
y = m⋅(x-x0) + y0 formulát értjük. Az m, az x0 és az y0 paramétereknek közvetlen geometriai jelentése van: m: meredekség (iránytangens) (x0,y0): az egyenes egy pontja
m=
y1 − y 0 , így az egyenes egyenlete: x1 − x 0
y1 − y 0 ⋅ (x − x 0 ) + y 0 x1 − x 0 2. Egy pont és egy irányvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy irányvektora (vx,vy)! (Feltételezzük, hogy vx≠0) y=
Meg kell jegyezni, hogy az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek ilyen egyenlete nincs. Az ilyen egyenesek egyenlete x=c alakú, ahol c az x tengellyel alkotott metszéspont. Az y = m⋅(x-x0) + y0 formula átrendezésével kapott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Egy egyenes „különböző” egyenletei valójában tehát csak átrendezésben térnek el egymástól. Az egyes átrendezésekben szereplő paraméterek más-más geometriai tartalommal bírnak. A lehetséges átrendezések közül igen gyakran használjuk az y = m⋅x + b formulát. Itt az m és a b paraméterek jelentése: m: meredekség (iránytangens) b: metszéspont az y tengellyel Példa: y=2⋅x+3
m=
vy vx
, így az egyenes egyenlete: y =
vy vx
⋅ (x − x 0 ) + y 0
Szokásos a vy⋅(x-x0) = vx⋅(y-y0) alakra való átírás. 3. Egy pont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B≠0)
A A , így az egyenes egyenlete: y = − ⋅ ( x − x 0 ) + y 0 B B Szokásos az A⋅(x-x0) + B⋅(y-y0) = 0 alakra való átírás. m=−
Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból Az alábbi esetek mindegyikében az egyik adat az egyenes egy pontja, ami megfelel az egyenes egyenletében szereplő (x0,y0) pontnak, a másik adat pedig a következők valamelyike: egy másik pont, egy irányvektor, egy normálvektor. Mindegyik esetben kifejezhető a meglévő adatokból a meredekség, és felírható az egyenlet. 1. Két pont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két pontja: (x0,y0) és (x1,y1)! (Feltételezzük, hogy x0≠x1)
Kör egyenlete Az (u,v) középpontú, R sugarú kör egyenlete: (x-u)2 + (y-v)2 = R2
A háromszög geometriája Szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 360° Radián: egységnyi sugarú kör esetén 1 radián az a (középponti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik
Összefüggés fok és radián között :
Derékszögű háromszögek (A derékszögű háromszögekre természetesen érvényesek az általános háromszögekre kimondott állítások, az alábbiakban csak a további speciális tulajdonságokat soroljuk fel.)
180° = π (rad)
Általános háromszögek
a, b: befogók c: átfogó a⋅b 2 Pitagorasz tétel (a koszinusz tétel speciális esete derékszögű háromszögre): c2 = a2 + b2 Az oldalak aránya a b a = sin α = cos α = tgα c c b Ezek az összefüggések azt fejezik ki, hogy ha a derékszögön kívül még egy másik szög (α) adott a derékszögű háromszögben, akkor az oldalak aránya meghatározott. A fenti jelölésekkel, pl. az a és a b oldal arányát a tgα értéke adja. (Meg kell jegyezni, hogy a fenti formuláknak a szögfüggvények definiálására való alkalmazása csak a 0≤α≤π/2 tartományban lenne értelme.) Gyakran van arra szükség (pl. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. Ez a fentiek szerint a a = c⋅sinα, b = c⋅cosα összefüggések alkalmazását jelenti.
Terület: T =
ma: az a oldalhoz tartozó magasság ρ: a beírt kör sugara Szögek: α+β+γ = 180° Kerület: K=a+b+c Terület: a ⋅ ma T= 2 (A képlet bármely oldallal és a hozzá tartozó magassággal érvényes.) a ⋅ b ⋅ sin γ T= 2 (A képlet bármely két oldallal és a közrefogott szöggel érvényes.)
Magasság tétel, befogó tétel
T = s ⋅ (s − a ) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c) ahol s=K/2 T=
K ⋅ρ 2
Szinusz tétel a sin α = b sin β (A képlet bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) Koszinusz tétel c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cosγ (A képlet bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szerepel.) Szögfelező tétel: a = c1 b c2
m c = c1c 2 ,
a = cc1 ,
b = cc2
A kör geometriája Thalész tétel π ≈ 3,1415926
Középponti és kerületi szögek
Kerület: 2⋅R⋅π Terület: R2⋅π Körcikk
Ívhossz: i = R⋅α R2 ⋅α Terület: T = 2
Másodfokú polinomok, egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú polinom P(x) = a⋅x2 + b⋅x + c ahol a≠0. Másodfokú polinom grafikonja parabola, mely a>0 esetben „felfelé nyílt”, a<0 esetben „lefelé nyílt”. A grafikonnak az x tengellyel 0, 1 vagy 2 közös pontja van, vagyis egy másodfokú polinomnak 0, 1 vagy 2 zérushelye van.
Ha egy gyök van: x0, akkor a⋅x2 + b⋅x + c = a⋅(x- x0)2 (ekkor ún. teljes négyzet alakról beszélünk) Ha két gyök van: x1 és x2, akkor a⋅x2 + b⋅x + c = a⋅(x- x1)⋅(x-x2) A gyökök és az együtthatók összefüggései c −b x1 + x 2 = , x1 ⋅ x 2 = a a Másodfokú egyenlőtlenség a⋅x2 + b⋅x + c ≥ 0, a⋅x2 + b⋅x + c > 0 a⋅x2 + b⋅x + c ≤ 0, a⋅x2 + b⋅x + c < 0 Egy másodfokú egyenlőtlenség a megfelelő egyenlet megoldása, valamint a baloldalon lévő másodfokú polinom grafikonjáról készítet vázlat alapján könnyen megoldható. Az a⋅x2 + b⋅x + c ≥ 0 és az a⋅x2 + b⋅x + c ≤ 0 egyenlőtlenségek megoldáshalmazát az alábbi ábrák mutatják: Az a⋅x2 + b⋅x + c ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat esetében:
Másodfokú egyenlet
a ⋅ x 2 + b⋅ x + c = 0 Másodfokú egyenlet megoldása nem más, mint a baloldalon lévő másodfokú polinom zérushelyeinek megkeresése. A fentiekből következik, hogy egy másodfokú egyenletnek 0, 1 vagy 2 megoldása van. Diszkrimináns: D = b 2 − 4ac A diszkriminánsnak csak akkor van értéke, ha b2 ≥ 4ac. − b ± b 2 − 4ac − b ± D = 2a 2a A megoldóképlet a diszkrimináns értékétől függően 0, 1 vagy 2 értéket ad, ezek éppen az egyenlet megoldásai (gyökei): Ha D<0, akkor nincs megoldás. Ha D=0, akkor egy megoldás van. Ha D>0, akkor két megoldás van. Példa: 2x2 + 10x + 12 = 0
Megoldóképlet:
D = 100 − 4 ⋅ 2 ⋅ 12 = 4 = 2 − 10 − 4 = −3 , 4 Gyöktényezős felbontás x1 =
x2 =
− 10 + 4 = −2 4
Az a⋅x2 + b⋅x + c ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat esetében:
