1
Vysvětlete pojem derivace a integrace
1.1
Funkce
Pojmy derivace a integrál souvisejí se základním pojmem matematiky, totiž s pojmem funkce. Poněkud zjednodušeně si lze funkci představit jako předpis, který nějakému číslu přiřazuje jiné číslo. Například funkce logaritmus (log) přiřazuje každému reálnému číslu hodnotu jeho logaritmu. Formálních způsobů zápisu obecné funkce f je několik. Zcela obecný způsob, kterým lze zapsat i mnohem obecnější pojem zobrazení: f : Df → Hf Tento zápis říká, že funkce f přiřazuje každému prvku množiny Df (tzv. definiční obor) nějaký prvek množiny Hf (obor hodnot). V případě funkcí jsou těmi (záhadnými;-) ) množinami intervaly a jejich prvky jsou reálná čísla. Funkci lze zadat několika způsoby, nejobvyklejší je analytický předpis, tedy zápis vzorcem, a graf. Funkční předpis se obecně zapíše následujícím způsobem: f : y = f (x) Tento předpis neříká nic jiného, než že když vezmeme nějaké číslo x z definičního oboru a toto číslo „předhodímeÿ funkci f , získáme číslo y. Konkrétním příkladem funkce zadané analyticky může být například polynom (mnohočlen): f : y = 5x4 − 3x3 + 4x2 − 10x + 25 Funkce může popisovat (modelovat) celou řadu fyzikálních dějů, příkladem může být závislost okamžitého stavu tlaku krve na čase1 Grafické znázornění takového průběhu pak bude grafem takové funkce. Jiným příkladem může být časová závislost teploty pacienta na čase nebo třeba závislost celkové výšky člověka na délce femuru. Zcela přirozeným způsobem lze rozšířit pojem funkce i na funkce více proměnných. Tak například výpočet BM I 2 lze zapsat jako funkci hmotnosti a výšky: m [kg] BM I = f (m, h) = 2 h [m] 1
V podobných případech je matematicky korektní pojem poněkud kostrbatý, proto se obvykle hovoří spíše o časové závislosti okamžitého krevního tlaku nebo o časovém průběhu krevního tlaku. 2 Body Mass Index
1
Graf takové funkce lze pak nakreslit jako dvojrozměrnou plochu ve třírozměrném prostoru:
V případě, že jde o funkci tří proměnných, si lze ještě udělat hrubou názornou představu o chování funkčních hodnot, pokud jde ale o funkci více proměnných, nelze si výsledek dost dobře představit. Přitom charakter funkce více proměnných mohou mít například pravděpodobnostní diagnostické modely, které na vstupu dostanou celou řadu klinických a laboratorních paramametrů a jejich výstupem je pravděpodobnost nějaké choroby.3
1.2
Derivace
V celé řadě případů nás nemusí zajímat jen funkční hodnoty, ale i to, jak rychle se mění. Medicínskou analogií jsou například nádorové markery4 používané v monitorování relapsu. Jako indikátor rizika relapsu (znovuvzplanutí) se neuvažuje ani tak zvýšení hladiny markeru nad referenční hodnotu, jako spíše to, že jeho hladina se začne zvyšovat s určitou dynamikou. 3
V praxi se takový model používá například při prenatálním screeningu vrozených vývojových vad. Jeho vstupem jsou údaje o matce, hladiny některých analytů, trvání těhotenství a některé rozměry plodu, výstupem je pak pravděpodobnost přítomností vrozené vývojové vady. 4 Jako nádorový marker se označuje po chemické a biologické stránce prakticky libovolný analyt, jehož nárůst může indikovat přítomnost nádorového onemocnění.
2
Jako čistě fyzikální příklad lze použít rychlost. Zajímá nás nejen její současná hodnota, ale i to, jak se rychlost mění, tedy zrychlení.5 Představme si, že máme nějakou funkci f a že nás zajímá, jak rychle funkce roste v bodě x0 . Jednoduchým nápadem je zjistit si funkční hodnotu v bodě, který je od bodu x0 vzdálen o ∆x a vést přímku (sečnu), která protíná graf funkce f (x) v bodech f (x0 ) a f (x0 + ∆x) (modrá přímka na následkujícím obrázku).
Pro směrnici, tedy číslo udávající rychlost stoupání, sečny platí: k=
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x
Pokud budeme ∆x zmenšovat tak, že se bude skoro nulové, tedy matematicky korektně řekneme, že ∆x se limitně blíží nule. Sečna se tak vlastně stane tečnou (červená přímka na obrázku), protože bude protínat dva prakticky splývající body. Směrnici tečny pak nazveme derivací funkce f v bodě x0 . Formálně lze definovat derivaci v bodě x0 takto: f 0 (x0 ) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x
Podle situace lze derivaci zapsat několika ekvivalentními způsoby: f 0 (x) =
df d = f (x) dx dx
5
Ostatně bylo to právě studium pohybu, které přivedlo Newtona na cestu vedoucí k derivaci
3
Daný zápis čteme vždy stejně, totiž „derivace funkce f podle proměnné xÿ. V případě, že se derivuje podle času, někdy se derivace značí tečkou nad symbolem funkce. Protože „rozumnéÿ funkce lze derivovat v každém bodě definičního oboru6 , lze tak vlastně každé funkci f (x) definované na nějakém internalu I přiřadit funkci f 0 (x) definovanou na intervalu I. Této funkci se říká derivace funkce f na intervalu I. pozn.:Lze ukázat, že derivace diferencovatelné funkce je vlastně lineárním zobrazením na vektorovém prostoru diferencovatelných funkcí na intervalu I. V praxi to znamená především to, že lze dobře budovat teorii diferenciálních rovnic. Protože derivací funkce na intervalu I je opět funkce, je celkem na místě ptát se, zda lze i tuto funkci derivovat. Odpověď je kladná, opakováním derivací se získávají derivace vyšších řádů. Otázkou je ještě fyzikálná smysl derivací vyšších řádů. Jestliže například derivací změny dráhy podle času je rychlost, pak druhá derivace dráhy podle času je vlastně první derivací rychlosti podle času, tedy zrychlením. Druhou derivaci lze tedy pokládat za ukazatel toho, jak rychle se mění změna funkce. . Formální zápis n−té derivace je: f (n) (x) =
dn dn f = f (x) dxn dxn
Poslední věcí, kterou by bylo vhodné zmínit, je derivace funkcí více proměnných. Derivaci lze zavést několika způsoby, poměrně názorným způsobem je zavedení obecných směrových derivací. Představme se funkci dvou proměnných, například výše použitý výpočet BM I. Definičním oborem takové funkce je vlastně dvojrozměrná rovina7 . Představme si, že definičním oborem povedeme přímku h a bude nás zajímat jen hodnota funkce nad touto přímkou. Tak vlastně získáme funkci jedné proměnné, kde na „vodorovné oseÿ bude vzdálenost od nějakého pevného bodu na přímce h a na „svislé oseÿ bude funkční hodnota v tomto bodě. Tuto funkci jedné proměnné (např. nějaké parametrizace přímky h) lze celkem snadno zderivovat. Hodnota derivace v udčitém bodě přímky h pak bude znamenat 6
Takové funkce nazýváme diferencovatelné. Skutečně existuje celá řada funkcí, které nemají derivaci. Jejich význam je však spíše teoretický a jejich případné aplikace jsou hodně netriviální. Existence derivace v každém bodě je mimo jiné i známkou toho, že funkce může popisovat nějaký přírodní děj, při kterém dochází k přesunům energie. Názornou představou toho, že funkce je diferencovatelná, je to, že graf funkce je hladký a neobsahuje ani skoky ani zuby. . . 7 V případě BM I je definičním oborem spíše obdélník, protože nelze očekávat, že by měl někdo hmotnost menší než 0 kg nebo větší než dejme tomu 300 kg a podobná omezení platí i pro výšku.
4
rychlost, s jakou funkce roste nebo klesá ve směru přímky h. Zvláštní postavení pak mají derivace ve směru jednotlivých souřadnicových os. Takové derivace nazýváme parciálními derivacemi podle jednotlivých proměnných. Budeme-li mít například funkci f následující: f : z = f (x, y) , můžeme zavést parciální derivace ve směru jednotlivých os. Parciální derivace ve směru osy x se nazývá parciální derivací funkce f podle x. Ve fyzice, technice a obvykle i v matematice se značí následujícím způsobem: ∂f ∂x Méně často se, zejména v matematice, používá následující způsob zápisu: fx Protože derivací funkce na intervalu je opět funkce, lze celkem přirozeným způsobem parciální derivace dále derivovat a získat tak druhé parciální derivace. Zápis druhé parciální derivace funkce f podle y vypadá následovně: ∂ 2f ∂x2 Funkci lze zderivovat nejprve podle x a pak podle y, výsledkem je druhá smíšená parciální derivace funkce f podle proměnných x a y. I když obecně záleží na pořadí, podle kterého se derivuje, u fyzikálně zajímavých funkcí je výsledek derivace v libovolném pořadí stejný. Zápis smíšené derivace vypadá takto: ∂ 2f ∂x ∂y Pořadí proměnných ve jmenovateli určuje pořadí, podle jakého má derivace probíhat. Tedy výše uvedený příklad znamená, že se nejprve derivuje podle proměnné x a až potom podle proměnné y. Posledními důležitými pojmy, které s parciálními derivacemi souvisejí, jsou diferenciál a gradient. Zhruba řečeno je diferenciál velikost derivace ve směru maximálního spádu grafu funkce a gradient je vektor v definičním oboru, který ukazuje směr nejvyššího spádu. Představíme-li si funkci dvou proměnných jako výšku dejme tomu sjezdovky, pak je gradient směr, kterým má svah největší spád, a diferenciál velikost spádu kvantifikuje (opět jako směrnici tečny).
5
Gradient souvisí s parciálními derivacemi podle následujícího vztahu: gradf (x, y) =
∂f ∂f , ∂x ∂y
!
a diferenciál následujícím vztahem: df (x, y) =
1.3
∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y
Integrál
Možná jste již někdy slyšeli o několika „různýchÿ integrálech pojmenovaných po velikánech matematiky, jakými byli např. Newton, Riemann, Leibnitz nebo Lebesgue. Ve skutečnosti jde jen o uchopení téže problematiky na různé míře obecnosti. Integrování, tedy výpočet integrálu, je postup opačný k derivování. Podobně jako rozlišujeme derivaci v bodě a na intervalu, rozlišujeme i integrál určitý a neurčitý. 1.3.1
Neurčitý integrál
Neurčitý integrál je vlastně postupem opačným ke zjištění derivace funkce na intervalu. Základní úloha vedoucí na pojem neurčitého integrálu je následující: Máme funkci jedné proměnné f (x) definovanou na nějakém intervalu I. Ptáme se, zda existuje na intervalu I nějaká funkce F (x), pro kterou platí: F 0 (x) = f (x) Ukazuje se, že taková funkce pro rozumné (tj. spojité) funkce existuje. Funkci F nazýváme primitivní funkcí k funkci f . Vztah se obvykle zapisuje takto: Z F (x) = f (x) dx Výpočetně snadno lze ověřit, že primitivní funkce F není určena jednoznačně. Z vlastností derivace totiž plyne, že pro libovolnou diferencovanou funkci F a libovolné reálná číslo C platí: (F (x) + C)0 = F 0 (x) Je-li tedy tato funkce F (x) primitivní funkcí k funkci f (x), je i funkce F (x)+C primitivní funkcí k funkci f (x). Formálně se tedy výpočet primitivní funkce zapisuje následovně: F (x) =
Z
f (x) dx + c
, tedy že primitivní funkce je určena jednoznačně až na aditivní konstantu c. 6
1.3.2
Určitý integrál
Určitý integrál je vlastně zobrazením, které funkci f integrovatelné8 na intervalu I přiřadí nějaké reálné číslo. Toto číslo však není libovolné a má tu hezkou vlastnost, že je rovno obsahu plochy obrazce mezi grafem funkce f a osou x. Plocha nad osou je přitom kladná a plocha pod plochou je záporná. K ilustraci základních úvah vedoucích na (Riemannovu) definici určitého integrálu dobře poslouží následující obrázek:
Představme si, že chceme zjistit plochu pod křivkou danou grafem funkce f na intervalu < a, b >. Plochu můžeme odhadnout tak, že interval < a, b > rozdělíme na několik dílů. Jistě bude platit, že plocha pod křivkou bude součtem dílčích ploch na podintervalech < a, x1 >, < x1 , x2 >, < x2 , x3 > a < x3 , b >. Hodnotu plochy můžeme při dostatečně úzkém intervalu odhadnout jako plochu šedého obdélníka. Pro výšku obdélníka lze volit několik hodnot – v teoretických úvahách se volí maximální a minimální hodnota funkce na daném podintervalu, při numerických výpočtech se obvykle volí levá nebo pravá funkční hodnota9 . 8
Berte to jako varování, že existuje celá řada funkcí, které integrovatelné nejsou. Funkce, které jsou na daném intervalu spojité, mají své primitivní funkce vždy, bohužel ne vždy lze takovou primitivní funkci nalézt jinak než např. odhadem oklikou přes nekonečné řady. 9 Numerický, tedy číselný, výpočet integrálu je jedna z velmi často řešených úloh počí-
7
Hodnotu určitého integrálu funkce f na intervalu < a, b > lze v případě, že známe primitivní funkci F , spočítat celkem snadno. Vztah, který nám to umožňuje, se obvykle nazývá Newtonova formule: Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Vedle výpočtu ploch se určitý integrál uplatňuje i při zavedení některých medicínsky a technicky významných hodnot. Tak například pro periodické veličiny se definuje střední hodnota jako taková neproměnná hodnota, která by měla za jednu periodu stejnou plochu pod křivkou jako zkoumaný periodický průběh10 . Tak například střední arteriální tlak krve (SAT , někdy i M AP ) je při trvání srdečního cyklu T a časovém průběhu tlaku krve p(t) dán vztahem: 1ZT SAT = p(t) dt T 0 Následující empirický vztah nebo vztahy jemu podobné nejspíš znáte: SAT =
psyst + 2 · pdiast 3
Takové empirické vztahy však dobře platí jen pokud jsou hodnoty tlaku, tepové frekvence, elastických vlastností cév, reologických vlastností krve a dalších parametrů blízké hodnotám fyziologickým. V případě odchylek se deformuje průběh tlakové křivky a tím se mění i hodnota integrálu. Jinou v medicíně, konkrétně ve farmakologii, často používanou hodnou je hodnota zvaná plocha pod křivkou (AU C), pomocí kterého se počítá např. biologická dostupnost léku z jednotlivých lékových forem. Matematicky jde o plocha pod křivkou danou časovým průběhem koncentrace léku podaného v jedné dávce v čase t = 0: AU C =
Z ∞
c(t) dt
0
Parametr AU C je zároveň příkladem nevlastního integrálu, tedy integrálu, jehož integrační meze sahají do nekonečna. Způsobem zcela analogickým úvahám o určitém integrálu se lze dostat i k vícerozměrným integrálům. tačové matematiky. Zde popsaná metoda výpočtu cestou součtu ploch obdélníků je sice teoretickým základem, pro praktické výpočty však obvykle nepostačuje svojí nepřesností. Proto se používají modifikace, které nahrazují výpočet plochy obdélníka výpočtem plochy pod nějakým polynomem. 10 V technice se mnohdy počítá z absolutní hodnoty daného průběhu. Podle definice je například střední hodnota sinusovky nulová, protože velikost plochy pod křivkou v první a druhé polovině periody je stejná, liší se ale znaménkem.
8
2
Vysvětlete pojem diferenciálních rovnic, jejich význam, a vysvětlete na popisu některého fyzikálního jevu
Diferenciální rovnice je rovnicí, v níž vystupuje neznámá funkce a její derivace, podle typu diferenciální rovnice různě „pospojovanéÿ. Pro mnohé může být překvapující to, že řešením diferenciální rovnice je jedna nebo několik funkcí. Vlastně tou nejjednodušší diferenciální rovnicí je integrování. Máme totiž zadnáno: F 0 (x) = f (x) a máme najít neznámou funkci F (x). Pokud zůstaneme u funkcí jedné proměnné, dostaneme obecný pojem obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejná direfenciální rovnice je takovou rovnicí, ve které vystupují pouze kombinace různých stupňů derivace neznámé funkce a její funkční proměnné. Název obyčejné však nesmí zmást – obyčejné diferenciální rovnice nejsou obecně řešitelné. Představme si, že máme funkci y 11 : y = y(x) Vezměměž12 dále funkcí n + 2 proměnných G a za jednotlivé proměnné dosaďme: G(x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) , y (n) ) Budeme-li se ptát, kdy je tato funkce rovna nule, tedy pro jaké funkce y(x) platí: G(x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) , y (n) ) = 0 dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici. Číslu n říkáme řád diferenciální rovnice. Nebude asi žádným překvapením, že obecné řešení13 diferenciální rovnice není jednoznačně určené. K výběru z možných řešení je nutné použít okrajové podmínky, tedy další omezující požadavky na řešení, například požadovanou hodnotu výsledné funkce v bodě nula, hodnotu první derivace požadované funkce v bodě nula,. . . 11
symbolika je volena kvůli kompatibilitě s matematickým dodatkem oficiálních skript text neprošel jazykovou korekturou 13 Pokud je diferenciální rovnice řešitelná, vyjde obecné řešení jako kombinace několika různých funkcí a několika libovolných konstant. Řešení tedy není jednoznačně určené, ale přesto není zcela libovolné. Kdo si v tuto chvíli vzpomněl na obecný integrál, tak může být ujištěn, že podobnost není náhodná. 12
9
Vzhledem k tomu, že některé typy diferenciálních rovnic lze celkem snadno nebo pomocí „důmyslných fintÿ řešit, je třídění diferenciálních rovnic celkem užitečné. Některé typy diferenciálních rovnic jsou: Separovatelné diferenciální rovnice 1. řádu jsou rovnice, které lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: y 0 = f (x) · g(y) celkem snadnými úpravami14 lze ukázat, že řešení má tvar: Z
Z dy = f (x) dx g(y)
(při řešení integrálu na levé straně se na y pohlíží jako na proměnnou) Ještě jednodušší řešení má rovnice tehdy, pokud je g(y) = y, tedy pokud má tvar: y 0 = y · f (x) řešení takové rovnice je pak ve tvaru: Rx
y(x) = y(0) · e
0
f (t) dt
, kde y(0) je požadovaná hodnota hledané funkce v počátku (tedy okrajová podmínka). Za povšimnutí stojí proměnná t, která se objevila v exponentu. Nejde o žádné kouzlo, jde pouze o formální přejmenování, protože proměnná x se objevila jako integrační mez a její duplicitní výskyt by byl z matematického hlediska nesmyslným15 . Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty jsou takové diferenciální rovnice, které lze zapsat ve tvaru: an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (x) Velkou výhodou těchto rovnic je fakt, že řešení lze celkem snadno převést na řešení algebraické rovnice řádu n, tedy např. u rovnice druhého řádu rovnice kvadratické a u rovnice třetího řádu rovnice kubické. Navíc tyto rovnice mají poměrně velké uplatnění v kybernetice, pomocí nich lze poměrně dobře popsat chování celé řady technicky i biologicky zajímavých soustav. 14
viz matematický dodatek skript Dlužno však poznamenat, že zejména v technické literatuře se i ten „nesmyslnýÿ tvar používá, protože z kontextu je obvykle čtenáři smysl jasný. 15
10
Ve farmakologii a možná že i ve fyziologii se budete pravděpodobně učit o kompartmentovém modelu farmakodynamiky. Kompartmentový model lze popsat soustavou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu v Cauchyho tvaru, který lze celkem mechanicky převést na jednu lineární diferenciální rovnici vyššího řádu.
2.1
Aplikace dif. rovnic – oscilátor
Zcela přímočarou aplikací je řešení kminavého pohybu. Představme si například kuličku o hmotnosti m zavěšenou na pružině o tuhosti k. Vychýlíme-li kuličku z rovnovážné polohy o výchylku x z klidové polohy, bude pružina působit na kuličku silou: F = −k · x Zajímá-li nás časový průběh výchylky, můžeme si pomoci tím, že sestavíme pohybovou rovnici: F =m·a vztahy převedeme na jednu stranu a vzpomeneme si, že zrychlení je druhou derivací okamžité polohy: m · x00 − F = 0 Síla, kterou pružina působí na kuličku, je vlastně rovna součinu výchylky a tuhosti (viz výše), tedy: m · x00 + k · x = 0 podělíme-li obě strany rovnice hmotností kuličky, dostaneme vztah: x00 +
k ·x=0 m
Což je vlastně lineární diferenciální rovnice s konstatními koeficienty druhého řádu. K řešení je možné použít buď „kuchařkovýÿ postup, tedy zde metodu výpočtu pomocí charakteristického polynomu. K řešení lze ale použít i úvahu, která by navíc měla doknale ozřejmit to, jak vlastně diferenciální rovnice „fungujíÿ. Zamyslíme se nad tím, zda neznáme funkci, pro kterou platí, že až na konstantu a znaménko je rovna své druhé derivaci. Takovou funkcí je třeba funkce: x = sin(ωt) pro její derivace platí: x0 = ω cos(ωt) 11
a x00 = −ω 2 sin(ωt) V úpravách budeme pokračovat tak, že dosadíme odhad funkce a její druhou derivaci do diferenciální rovnice: −ω 2 sin(ωt) +
k · sin(ωt) = 0 m
Aby rovnost platila pro všechna t, musí zřejmě platit: ω2 =
k m
protože všechna čísla jsou kladná, platí: s
ω=
k m
hledaným řešením je tedy funkce:
x(t) = sin t ·
s
k m
Číslo ω se nazývá kruhová frekvence harmonického oscilátoru a s frekvencí f souvisí vztahem: ω = 2πf
Jen pro úplnost je třeba dodat ještě dvě věci. Tou první je poznatek, že i poměrně „hezkéÿ diferenciální rovnice nejsou obecně analyticky řešitelné. Tato situace je vzhledem k tomu, že diferenciální rovnice vlastně popisují základní vztahy fyziky, chemie i fyziologie, velmi nepříjemná. V praxi se tedy obvykle diferenciální rovnice řeší pomocí metod numerické matematiky, které umožnují hledat řešení metodami „hrubé sílyÿ16 , nicméně i tak mohou některé rovnice narážet na prohlém stability řešení, tedy na výraznou ovlivnitelnost výsledku malou chybou. Tou druhou věcí, kterou je třeba zmínit, jsou rovnice, ve kterých vystupují funkce více proměnných a jejich parciální derivace. Takové rovnice se pak nazývají parciální diferenciální rovnice a mnohdy jde o velmi důležité rovnice matematické fyziky, např. Schrödingerova rovnice nebo 2. Fickův zákon. Platilo-li, že obyčejné diferenciální rovnice jsou mnohdy obtížně řešitelné, platí to pro parciální diferenciální rovnice ještě větší měrou. 16
Nadsázka je, doufám, jasná. Numerická matematika je sofistikovaná disciplína, studovat lze až jako navazující magisterský obor
12
