Aplikace derivace a pr˚ ubˇeh funkce Petr Hasil Pˇredn´ aˇska z matematiky
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu (reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇ en´ı finanˇ cn´ıch prostˇredk˚ u EU ˇ a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu Cesk´ e republiky. c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce Matematika MT 1 / 41
Obsah 1
Pouˇzit´ı derivac´ı L’Hospitalovo pravidlo Teˇcna a norm´ala ke grafu funkce
2
Pr˚ ubˇeh funkce Monotonie a lok´aln´ı extr´emy Konvexnost, konk´avnost a inflexn´ı body Asymptoty Pr˚ ubˇeh funkce – shrnut´ı
3
Pˇr´ıklady
4
Wolfram|Alpha
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
2 / 41
Pouˇzit´ı derivac´ı
L’Hospitalovo pravidlo
Vˇeta (L’Hospitalovo pravidlo) Necht’ α ∈ R∗ a necht’ funkce f a g jsou definovan´e v nˇejak´em ryz´ım okol´ı bodu α a maj´ı zde derivaci. Necht’ d´ale plat´ı bud’ lim f (x) = lim g (x) = 0,
x→α
x→α
nebo lim |g (x)| = ∞.
x→α
Pak plat´ı
f (x) f 0 (x) = lim 0 , x→α g (x) x→α g (x) lim
pokud limita na prav´e stranˇe existuje. Stejn´e tvrzen´ı plat´ı i pro obˇe jednostrann´e limity.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
4 / 41
Pouˇzit´ı derivac´ı
L’Hospitalovo pravidlo
Pozn´amka L’Hospitalovo pravidlo m˚ uˇzeme pouˇz´ıt opakovanˇe. Lze ho pouˇz´ıt pˇr´ımo na limity typu
0 0
a
∞ ∞.
Vhodnou u ´pravou lze pˇrev´est neurˇcit´e v´yrazy typu 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞ ∞ 0 0 a ∞ na jeden z typ˚ u 00 , ∞ . POZOR! ıl, ale Pˇri pouˇzit´ı L’Hospitalova pravidla nederivujeme v´yraz gf (x) (x) jako pod´ ’ ’ derivujeme zvl´aˇst funkci v ˇcitateli a zvl´aˇst funkci ve jmenovateli.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
5 / 41
Pouˇzit´ı derivac´ı
Teˇ cna a norm´ ala ke grafu funkce
Definice Necht’ je f (x) funkce spojit´a a m´a derivaci v bodˇe x0 ∈ D(f ). Potom pˇr´ımku y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) naz´yv´ame teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe x0 a pˇr´ımku y − f (x0 ) = −
1 f 0 (x
0)
· (x − x0 )
naz´yv´ame norm´ala ke grafu funkce f v bodˇe x0 (v pˇr´ıpadˇe, ˇze f 0 (x0 ) 6= 0).
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
7 / 41
Pouˇzit´ı derivac´ı
c Petr Hasil (MENDELU)
Teˇ cna a norm´ ala ke grafu funkce
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
8 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Vˇeta Necht’ je funkce f spojit´a na intervalu [a, b] a m´a derivaci na intervalu (a, b). Pak plat´ı Funkce f je v [a, b] konstantn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz ∀x ∈ (a, b) : f 0 (x) = 0. Je-li f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), pak je funkce f na intervalu [a, b] rostouc´ı. Je-li f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), pak je funkce f na intervalu [a, b] klesaj´ıc´ı. Pozor! Obr´acen´e tvrzen´ı neplat´ı. Napˇr. funkce f (x) = x 3 je na cel´em R rostouc´ı, ale v bodˇe x = 0 m´a nulovou derivaci. c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
10 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Definice ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 lok´aln´ı maximum (minimum), jestliˇze pro kaˇzd´e x v nˇejak´em okol´ı bodu x0 plat´ı f (x) ≤ f (x0 ), f (x) ≥ f (x0 ) . Pokud pro x 6= x0 plat´ı pˇredchoz´ı nerovnosti ostˇre, mluv´ıme o ostr´em lok´aln´ım maximu (minimu). Souhrnnˇe naz´yv´ame (ostr´e) lok´aln´ı maximum a minimum (ostr´e) lok´aln´ı extr´emy. Vˇeta M´a-li funkce f v bodˇe x0 lok´aln´ı extr´em, pak f 0 (x0 ) = 0, nebo f 0 (x0 ) neexistuje.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
11 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
c Petr Hasil (MENDELU)
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
12 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Definice Je-li f 0 (x0 ) = 0, pak bod x0 naz´yv´ame stacion´arn´ı bod funkce f . Vˇeta Necht’ je funkce f spojit´a v bodˇe x0 a necht’ existuje jej´ı derivace v nˇejak´em prstencov´em okol´ı tohoto bodu. Oznaˇcme L lev´e prstencov´e okol´ı bodu x0 a R prav´e prstencov´e okol´ı bodu x0 . Jestliˇze plat´ı f 0 (x) > 0 pro x ∈ L a f 0 (x) < 0 pro x ∈ R, pak m´a funkce f v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı maximum. Jestliˇze plat´ı f 0 (x) < 0 pro x ∈ L a f 0 (x) > 0 pro x ∈ R, pak m´a funkce f v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı minimum. c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
13 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Vˇeta Necht’ f 0 (x0 ) = 0 a f 00 (x0 ) 6= 0. Pak m´a funkce f v bodˇe x0 lok´aln´ı extr´em a to lok´aln´ı maximum, jestliˇze f 00 (x0 ) < 0, lok´aln´ı minimum, jestliˇze f 00 (x0 ) > 0.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
14 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
Pˇr´ıklad Najdˇete lok´aln´ı extr´emy funkce f (x) = −x 2 + 4x − 3. ˇ sen´ı: Reˇ (i) f 0 (x) = −2x + 4 = 0
⇔
x = 2.
x
(−∞, 2)
(2, ∞)
sgn f 0
+
−
f
%
&
Funkce f m´a tedy v x = 2 lok´aln´ı maximum s hodnotou f (2) = 1.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
15 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
(ii) f 0 (x) = −2x + 4 = 0 f 00 (x) = −2
⇔
Monotonie a lok´ aln´ı extr´ emy
x = 2.
⇒ f 00 (2) = −2 < 0.
Funkce f m´a tedy v x = 2 lok´aln´ı maximum s hodnotou f (2) = 1.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
16 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
Definice Funkci nazveme konvexn´ı (konk´avn´ı) v bodˇe x0 , jestliˇze jej´ı graf leˇz´ı v prstencov´em okol´ı bodu x0 nad (pod) teˇcnou v tomto bodˇe. Funkci nazveme konvexn´ı (konk´avn´ı) na intervalu I , jestliˇze je konvexn´ı (konk´avn´ı) v kaˇzd´em bodˇe tohoto intervalu. Vˇeta Necht’ funkce f (x) m´a derivaci na intervalu (a, b). Pak plat´ı jestliˇze ∀x ∈ (a, b) plat´ı f 00 (x) > 0, pak je funkce f konvexn´ı na intervalu (a, b), jestliˇze ∀x ∈ (a, b) plat´ı f 00 (x) < 0, pak je funkce f konk´avn´ı na intervalu (a, b).
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
18 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
Pozn´amka Opaˇcn´e tvrzen´ı neplat´ı. Napˇr. funkce f (x) = x 4 je konvexn´ı na R, ale f 00 (0) = 0.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
19 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
Definice ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 inflexn´ı bod, jestliˇze v bodˇe x0 existuje teˇcna ke grafu funkce a f 00 zde mˇen´ı znam´enko (tj. graf funkce se mˇen´ı z konvexn´ıho na konk´avn´ı, nebo opaˇcnˇe). Pozn´amka Funkce f m˚ uˇze m´ıt inflexn´ı bod v bodˇe x0 , ve kter´em f 00 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) neexistuje.
Obr. : x 3 c Petr Hasil (MENDELU)
Obr. : Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
√ 3
x
Matematika MT
20 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
Vˇeta Necht’ m´a funkce f v bodˇe x0 spojitou prvn´ı derivaci a necht’ existuje ryz´ı okol´ı bodu x0 , v nˇemˇz existuje druh´a derivace funkce f . Oznaˇcme L lev´e ryz´ı okol´ı bodu x0 a R prav´e ryz´ı okol´ı bodu x0 . Pak jestliˇze f 00 (x) > 0∀x ∈ L a f 00 (x) < 0
∀x ∈ R
nebo naopak,
pak m´a funkce f v bodˇe x0 inflexn´ı bod. Pˇr´ıklad Zjistˇete, pro kter´a x ∈ R je funkce f (x) = x 3 − 6x 2 + 6x − 3 konk´avn´ı/konvexn´ı a najdˇete jej´ı inflexn´ı body.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
21 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
ˇ sen´ı: f 0 (x) = 3x 2 − 12x + 6, Reˇ
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
f 00 (x) = 6x − 12 = 0
x
(−∞, 2)
(2, ∞)
sgn f 00
−
+
f
∩
∪
⇔
x = 2.
Funkce je konk´avn´ı pro x ∈ (−∞, 2) konvexn´ı pro x ∈ (2, ∞) a v x = 2 m´a inflexn´ı bod s hodnotou f (2) = −7.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
22 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
c Petr Hasil (MENDELU)
Konvexnost, konk´ avnost a inflexn´ı body
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
23 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Asymptoty
Definice Pˇr´ımku, kter´a je teˇcnou ke grafu funkce f v nˇekter´em nevlastn´ım bodˇe, naz´yv´ame asymptota funkce f . Vˇeta Funkce m´a asymptotu bez smˇernice x = x0 pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´a v bodˇe x0 nevlastn´ı limitu zleva nebo zprava, asymptotu se smˇernic´ı y = ax + b pro x → ±∞ pr´avˇe tehdy, kdyˇz f (x) ∈R x→±∞ x
a = lim
c Petr Hasil (MENDELU)
a
b = lim (f (x) − ax) ∈ R. x→±∞
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
25 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Asymptoty
Pozn´amka Je-li limita limx→x + f (x) = ±∞ nebo limx→x − f (x) = ±∞, pak je svisl´a 0 0 pˇr´ımka x = x0 asymptotou bez smˇernice funkce f v bodˇe x0 . Tedy asymptoty bez smˇernice hled´ame ”v d´ır´ach”nebo na okraji definiˇcn´ıho oboru.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
26 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
c Petr Hasil (MENDELU)
Asymptoty
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
27 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
c Petr Hasil (MENDELU)
Asymptoty
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
28 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Pr˚ ubˇ eh funkce – shrnut´ı
Postup pˇri vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce (i) Pˇr´ımo z funkce: • D(f ), sudost/lichost, periodiˇcnost, pr˚ useˇc´ıky s osami, kladnost/z´apornost, • asymptoty (se smˇernic´ı, bez smˇernice).
(ii) Z prvn´ı derivace: rostouc´ı/klesaj´ıc´ı, lok´aln´ı extr´emy. (iii) Z druh´e derivace: konvexn´ı/konk´avn´ı, inflexn´ı body. (iv) Naˇcrtnut´ı grafu: ke vˇsem v´yˇse zm´ınˇen´ym bod˚ um dopoˇc´ıt´ame funkˇcn´ı hodnoty a zkombinujeme zjiˇstˇen´e informace.
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
30 / 41
Pr˚ ubˇ eh funkce
Pr˚ ubˇ eh funkce – shrnut´ı
Postupnˇe tedy pln´ıme n´asleduj´ıc´ı body: a) b) c) d) e) f)
definiˇcn´ı obor, sudost/lichost (periodiˇcnost), asymptoty bez smˇernice, asymptoty se smˇernic´ı, pr˚ useˇc´ıky s osami, kladnost/z´apornost,
g) prvn´ı derivaci, h) kde je f rostouc´ı/klesaj´ıc´ı, i) lok´aln´ı extr´emy,
c Petr Hasil (MENDELU)
j) druhou derivaci, k) kde je f konvexn´ı/konk´avn´ı, l) inflexn´ı body,
m) funkˇcn´ı hodnoty ve v´yznamn´ych bodech, n) naˇcrtneme graf.
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
31 / 41
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f (x) = −
x2 x +1
ˇ sen´ı: Reˇ a) Funkˇcn´ımu pˇredpisu vyhovuj´ı vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla takov´a, ˇze x + 1 6= 0. Proto m´ame D(f ) = R \ {−1}. b) O sudosti/lichosti funkce snadno rozhodneme dosazen´ım −x. Ponˇevadˇz plat´ı x2 f (−x) = − 6= ±f (x), −x + 1 nen´ı zadan´a funkce ani lich´a, ani sud´a (coˇz je vidˇet uˇz z nesymetrie definiˇcn´ıho oboru). Vzhledem k definiˇcn´ımu oboru je zˇrejm´e, ˇze funkce nem˚ uˇze b´yt periodick´a. c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
33 / 41
Pˇr´ıklady
c) Asymptoty bez smˇernice popisuj´ı limitn´ı chov´an´ı funkce v bodech nespojitosti (nebo na okraji definiˇcn´ıho oboru), proto pˇr´ım´ym v´ypoˇctem ihned dostaneme x2 x2 = − lim + = −(+∞) = −∞, x +1 x→−1 x→−1 x + 1 x2 x2 lim − = lim − = −(−∞) = ∞. x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− lim + −
Funkce m´a jednu svislou asymptotu x = −1. d) Pomoc´ı vzorc˚ u urˇc´ıme asymptoty se smˇernic´ı (pokud existuj´ı). x2 = −1, x→±∞ x 2 + x x2 x b = lim − + x = lim = 1. x→±∞ x + 1 x→±∞ x + 1 a = lim −
Funkce f (x) m´a tedy v +∞ i −∞ asymptotu se smˇernic´ı, kter´a je d´ana rovnic´ı y = −x + 1. c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
34 / 41
Pˇr´ıklady
e) Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky s osou x (⇒ y = 0): ⇐⇒
f (x) = 0
x2 = 0
⇐⇒
x = 0,
tedy Px = [0, 0], a s osou y (⇒ x = 0): y =−
02 =0 0+1
⇐⇒
y = 0,
tedy Py = [0, 0] = Px . f) Nyn´ı z´ısk´ame intervaly, kde je funkce f (x) kladn´a a z´aporn´a:
c Petr Hasil (MENDELU)
x
(−∞, −1)
(−1, 0)
(0, ∞)
sgn f
+
−
−
f
kladn´a
z´aporn´a
z´aporn´a
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
35 / 41
Pˇr´ıklady
g) Spoˇc´ıt´ame prvn´ı derivaci a jej´ı definiˇcn´ı obor, tj. f 0 (x) =
−x 2 − 2x , (x + 1)2
D(f 0 ) = R \ {−1}.
h) Nyn´ı urˇc´ıme stacion´arn´ı body a intervaly monotonie, tj. f 0 (x) = 0
⇐⇒
−x(x + 2) = 0
⇐⇒
x1 = 0, x2 = −2.
x
(−∞, −2)
(−2, −1)
(−1, 0)
(0, ∞)
sgn f 0
−
+
+
−
f
&
%
%
&
i) Z tabulky vid´ıme, ˇze funkce m´a v x = −2 lok´aln´ı minimum a v x = 0 lok´aln´ı maximum. c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
36 / 41
Pˇr´ıklady
j) Spoˇc´ıt´ame druhou derivaci a urˇc´ıme jej´ı definiˇcn´ı obor −2 −2x − 2 = , 4 (x + 1) (x + 1)3 D(f 00 ) = R \ {−1}. f 00 (x) =
k) Urˇc´ıme kritick´e body a intervaly konvexnosti a konk´avnosti, tj. f 00 (x) = 0
⇐⇒
−2 = 0,
coˇz je nesmysl. Druh´a derivace tedy nem´a ˇz´adn´y nulov´y bod. Nesm´ıme ovˇsem zapomenout, ˇze jej´ı znam´enko se m˚ uˇze zmˇenit i v bodech, ve kter´ych nen´ı definov´ana (tj. v d´ır´ach“ jej´ıho definiˇcn´ıho ” oboru).
c Petr Hasil (MENDELU)
x
(−∞, −1)
(−1, ∞)
sgn f 00
+
−
f
∪
∩
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
37 / 41
Pˇr´ıklady
l) Funkce nem´a ˇz´adn´y inflexn´ı bod (−1 6∈ D(f )). m) Zrekapitulujme v´yznaˇcn´e body a spoˇctˇeme v nich funkˇcn´ı hodnoty. Pr˚ useˇc´ıky s osami Px = Py = [0, 0]. Lok´aln´ı minimum v x = −2, f (−2) = 4, tedy jde o bod [−2, 4]. Lok´aln´ı maximum v x = 0, f (0) = 0, tedy jde o bod [0, 0].
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
38 / 41
Pˇr´ıklady
n) Nyn´ı zkombinujeme vˇsechny z´ıskan´e informace a obdrˇz´ıme graf funkce
c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
39 / 41
Wolfram|Alpha
Teˇ cna. ~ tangent to y=x^2 at 2 Norm´ ala. ~ normal to y=x^(2/3) at 8 Limita. ~ limit (ln^5(x))/(x-3) as x->infinity Lok´ aln´ı extr´ emy. ~ local extrema of (x-1)/(x^2+1) Inflexn´ı body. ~ inflection points of (x-1)/(x^2+1) Asymptoty. ~ asymptotes y=(x^2-1)/(5-x) Graf funkce. ~ ~ plot y=(x^2-3)/(x^2+9) plot y=(x-1)/(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 0.5 c Petr Hasil (MENDELU)
Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce
Matematika MT
41 / 41
