Derivace složené funkce Na rozdíl od integrování (neboli hledání primitivní funkce k dané funkci), kdy snadno narazíte na složenou funkci, se kterou nehnete, ani kdyby trakače padaly, v případě derivací se mi nic podobného zatím nestalo. Zatím. Začneme větou: Nechť má funkce g derivaci v bodě x0 a funkce f derivaci v bodě u0 = g(x0). Potom složená funkce h : f g x má derivaci v bodě x0 a platí: h´ x 0 f ´u 0 g´ x 0 f ´ g x 0 g´ x 0 .
Pozn. V následujícím textu předpokládám znalost derivací základních elementárních funkcí, derivace součinu dvou funkcí a derivace podílu dvou funkcí. Ve všech příkladech budeme počítat derivace funkce v libovolném bodě, v němž tyto derivace existují. Příklad 1
h( x) 1 x 2 Jedná se o složenou funkci. Vnější funkce (já jí říkám obálka) je v tomto případě mocninná funkce f u u , kde u = 1 + x2. Vnitřní funkce (vnitřek) je kvadratická funkce g x 1 x 2 . Výše uvedená věta nám říká, jak derivovat složenou funkci. Derivujeme vnitřní i vnější funkci zvlášť a jejich derivace pak násobíme. A to je celé.
g´ x 1 x 2
f ´u
0 2 x 2 x
1 12 1 1 1 1 1 u u u 2 2 2 u 2 u 2 1 x2
Výsledek: h´(x) 2 x
1 2 1 x
2
x 1 x2
Příklad 2 h( x) 2 sin x Vnitřek je v tomto případě exponent, tedy g x sin x . g´ x sin x cos x Obálka je exponenciální funkce f u 2 u , kde u = sin x. f ´u 2 u 2 u ln u 2 sin x ln sin x
Výsledek: h´(x) cos x 2 sin x ln sin x Příklad 3 h( x) tgx Vnitřek je funkce tangens, tedy g x tgx . 1 g´ x tgx cos 2 x Obálka je mocninná funkce f u u , kde u = tg x. 1 1 f ´u u 2 u 2 tgx
Výsledek: h´(x)
1 2 cos x tgx 2
Příklad 4 h( x) tg x Tady máme stejné funkce jako v příkladu 3, ale v opačném pořadí. Vnitřek je mocninná funkce g x x . 1 g´ x x 2 x
Obálka je funkce tangens, f u tgu , kde u = 1 1 f ´u tgu 2 cos u cos 2 x Výsledek: h´(x)
x.
1 2 x cos 2 x
Příklad 5 3
1 x h( x) 3 1 x
1 2
1 x3 . 1 x3 1 x3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 3 x 2 1 x 3 1 x 3 3x 2 g´( x ) 3 1 x 3 2 1 x 3 2 1 x 3 x 2 1 x 3 1 x 3 6x 2 1 x 3 2 1 x 3 2
Vnitřek je tentokrát podíl dvou funkcí, g ( x)
1 x3 Obálka je opět mocninná funkce f u u , kde u = . 1 x3 1 1 f ´u u 2 u 1 x3 2 1 x3
Výsledek: h´(x)
6x 2
1 x
3 2
1 1 x3 2 1 x3
3x 2
1 x
3 2
1 x3 1 x3
3x 2
=
3 3 2
1 3 2
1 x 1 x
Příklad 6
h( x) tg
x 2
Tato funkce je složená ze tří funkcí. Postupujeme následovně. Vnitřek je lineární funkce j (x) =
x . 2
Prostředek je mocninná funkce g (u ) u , kde u =
Obálka je funkce f (v) tgv, kde v =
Výsledek: h´(x)
j´( x)
→
x . 2
x . 2
→
1 1 1 1 2 x x x 2 cos 2 4 cos 2 2 2 2
x 2
→
f ´(v)
1 2 g´(u )
1 2 u
1 cos 2 v
1
2
x 2
1 cos 2
x 2
.
Příklad 7 h( x) cos 5 x I toto je složená funkce. Vnitřek je lineární funkce g(x) = 5x, g(x)´ = 5. Obálka je goniometrická funkce f(u) = cos u, kde u = 5x. Derivace f´(u) = – sin u = – sin 5x. Výsledek: h´(x) 5 sin 5 x Příklad 8 h( x) log 2 x 2 Tato funkce je opět složená ze tří funkcí. Vnitřek je kvadratická funkce j (x) = x2.
j´( x) 2 x
Prostředek je logaritmická funkce g (u ) log u , kde u = x2. 1 1 g´(u ) 2 u ln 10 x ln 10 Obálka je kvadratická funkce f (v) v 2 , kde v = log x 2 . f ´(v ) 2v 2 log x 2 Výsledek: h´(x) 2 x
1 4 log x 2 8 log x 2 2 log x . 2 x ln 10 x ln 10 x ln 10
Příklad 9
h( x) e cot gx
2
Opět funkce složená ze tří elementárních funkcí.
Vnitřek je kvadratická funkce j (x) = x2.
j´( x) 2 x 1 1 2 2 2 sin u sin x v cot gx 2 f ´(v) e e
Prostředek je funkce g (u ) cot gu , kde u = x2.
g´(u )
Obálka je funkce f (v) e v , kde v = cot gx 2 . Výsledek: h´(x)
2 2x e cot gx . 2 2 sin x
Příklad 10
h( x) e 2 x 2
sin x
Tomuto typu já říkám funkce na funkci.
Nejprve si tento příklad vyřešíme užitím tzv. logaritmické derivace, kdy typ funkce na funkci převedeme na typ e funkce. (čeština teď, koukám, dostává pěkně zabrat) Jelikož pro každé přípustné a platí vztah a = e ln a, můžeme funkci h(x) zapsat ve tvaru:
2
h( x) e x
2 sin x
e
ln e 2 x 2
sin x
2 2 esin xln e x
Vnitřek g(x) je exponent, který se skládá ze součinu dvou funkcí, z nichž jedna je navíc složená. Vyřešíme si nejdříve onu složenou funkci y ln e 2 x 2 . Její vnitřek je závorka, obálkou je logaritmická funkce. 1 y 2 x 2 e x2
Teď derivujeme součin sin x ln e 2 x 2 . sin x ln e 2 x 2 cos x ln e 2 x 2 sin x ln e 2 x 2 2x = cos x ln e 2 x 2 sin x 2 e x2
Dostali jsme g´(x).
Obálka je exponenciální funkce f(u) = eu, kde u = sin x ln e 2 x 2 . 2 2 f ´u e u e u e sin xln e x
Výsledek: h´(x) e sin xln e
= e2 x2
sin x
2
x2
cos x ln e 2 x 2 sin x 2 x = 2 2 e x
2 x sin x 2 2 cos x ln e x 2 . e x2
Výše uvedený postup bude asi většině obyčejných smrtelníků připadat trochu komplikovaný. Proto mám v rukávu ještě jeden, ovšem svůj vlastní a tedy nijak nepodložený. Nicméně zatím mě nikdá nezklamal. Tož tak! ---------------------------------POZOR! ACHTUNG! WARNING!----------------------------------BEZ ZÁRUKY-Mám-li typ funkce na funkci, postupuju takto: 1. Funkci derivuju jako mocninnou, za vnitřek považuju základ mocniny. 2. Funkci derivuju jako exponenciální, za vnitřek považuju exponent. 3. Obě derivace sečtu. A teď konkrétně:
sin x 1
Po sečtení dostanu: h´(x) sin x e 2 x 2 2 x e 2 x 2 sin x 2 x = e2 x2 sin x ln e 2 x 2 cos x 2 2 e x
sin x
ln e 2 x 2 cos x =
Příklad 11 x2 h( x) 1 2 arcsin x svou a potom „oficiální“.
Typ funkce na funkci. Použiju obě metody, tentokrát nejdřív tu
1. h´( x) x 2 1 2 arcsin x
x 3
2
1 x2 x 2 2. h´( x) 1 2 arcsin x ln 1 2 arcsin x 1 3. Výsledek: h´(x)
2 x 4 1 2 arcsin x x 3 1 2 arcsin x x 2 ln 1 2 arcsin x = 2 1 x
= 1 2 arcsin x
x2
2x 4 ln 1 2 arcsin x 1 2 arcsin x 1 x 2
Metoda logaritmické derivace: x 2 x2 h( x) 1 2 arcsin x = e ln 1 2 arcsin x e ( x 2) ln 1 2 arcsin x Vnitřek g x x 2 ln 1 2 arcsin x . g´ x x 2 ln 1 2 arcsin x x 2 ln 1 2 arcsin x 1 2 2x 4 = ln 1 2 arcsin x x 2 = ln 1 2 arcsin x 2 1 2 arcsin x 1 x 1 2 arcsin x 1 x 2 Obálka f u e u , kde u = x 2 ln 1 2 arcsin x . f ´u e u e ( x 2) ln 1 2 arcsin x x 2 ln 1 2 arcsin x 2x 4 e Výsledek: h´(x) ln 1 2 arcsin x = 2 1 2 arcsin x 1 x 2x 4 1 2 arcsin x x 2 = ln 1 2 arcsin x 2 1 2 arcsin x 1 x Příklad 12 (aneb jak já derivuju složenou funkci) a) h( x) cos ln x Vnitřek je logaritmus, obálka je kosinus. První derivuju obálku (s neznámou ln x), pak vnitřek (s neznámou x) a všechno rovnou řadím za sebe do součinu. Derivace kosinu je – sinus, derivace ln x je 1/x. 1 sin ln x x x -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
h´(x) sin ln x
b)
h( x ) e
3
x2
2
Vnitřek je mocninná funkce x 3 v exponentu, obálka je exponenciální funkce. Nejdřív obálka, potom vnitřek.
3
1
2
2 2e x h´(x) e x 3 3 3 3 x ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 c) h x Funkci si přepíšu do tvaru h x cos 2 x . Vnitřek je kosinus, obálka cos x mocnina. 3
x2
3
1 sin x h´ x cos 2 x sin x = 2 2 cos 3 x -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
Funkce na funkci. Nejdřív si ji přepíšu do tvaru h x x 3 x , potom derivuju po složkách a rovnou sčítám. 1 Pozn. Exponent zapíšu ve tvaru x 1 a derivuju jako mocninu. 3
d) h x 3 x x
h´ x
1 x 3x
1 1 3x
x
1 3x
ln x
1 3x
1 x x x 2 3 3x
1
x
1 3x
1 3x
1
ln x x x ln x 1 2 2 x 3 x 1 ln x 2 2 3x 3x 3x 3x
3x
=
1 3x
x 1 ln x 3x 2
KONEC
