Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e Derivace Pˇredn´aˇska 2

15. ˇr´ıjna 2015

Obsah

1

Funkce

2

Limita a spojitost funkce

3

Derivace

4

Pr˚ ubˇeh funkce

Informace Literatura v elektronick´ e verzi (odkazy ze STAGu): 1 Line´ arn´ı algebra http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/MI.html

(kap. 2,3) 2

Diferenci´ aln´ı poˇ cet: http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/print/dp.pdf

3

Integr´ aln´ı poˇ cet:

4

http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/print/ip.pdf Opakov´ an´ı stˇredoˇskolsk´ e matematiky

http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Zaklady_matematiky/index.htm

Nˇekolik pojm˚ u

4/ 41

ˇ ıseln´e mnoˇziny C´ N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . }

1

Pˇrirozen´ aˇ c´ısla operace: sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı

2

Cel´ aˇ c´ısla Z = {. . . , −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . } operace: sˇc´ıt´an´ı, odˇ c´ıt´ an´ı, n´asoben´ı   p Racion´ aln´ı ˇ c´ısla Q= , p, q ∈ Z, ∧q 6= 0 q (koneˇcn´y nebo nekoneˇcn´y periodick´y desetinn´y rozvoj) operace: sˇc´ıt´an´ı, odˇ c´ıt´ an´ı, n´asoben´ı, dˇ elen´ı

3

4

Re´ aln´ aˇ c´ısla R: mnoˇzina racion´aln´ıch a iracion´aln´ıch ˇc´ısel (√iracion´aln´ı ˇc´ısla: nekoneˇcn´y neperiodick´y desetinn´y rozvoj – 2, π )

5

Rozˇs´ıˇren´ a mnoˇ zina re´ aln´ ych ˇ c´ısel

R∗ = R ∪ {−∞, +∞}

Operace s (+∞) a (−∞) 1

2

5/ 41

pro x ∈ R definujeme: x + (+∞) = +∞, x + (−∞) = −∞, x − (+∞) = −∞ x x x − (−∞) = +∞, = 0, =0 +∞ −∞ (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) − (−∞) = +∞, (−∞) − (+∞) = −∞, (+∞) · (+∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞, (−∞) · (−∞) = +∞

3

4

pro x ∈ R \ {0} definujeme: pro x > 0 x · (+∞) = +∞ x · (−∞) = −∞ +∞ = +∞ x −∞ = −∞ x nedefinovan´e v´yrazy: dˇelen´ı nulou, (+∞) − (+∞), (−∞) − (−∞), ±∞ ∞ , 0 · (±∞), 1 ±∞ ∞, +∞ jsou nevlastn´ı body R∗

pro x < 0 x · (+∞) = −∞ x · (−∞) = +∞ +∞ = −∞ x −∞ = +∞ x (+∞) + (−∞)

Pomocn´e pojmy

6/ 41

Okol´ı bodu v R∗ Je-li x0 ∈ R, pak okol´ım bodu x0 naz´yv´ame kaˇzd´y interval (x0 − ε, x0 + ε), kde ε > 0; znaˇcen´ı Uε (x0 ) nebo U(x0 ). prstencov´ e okol´ı bodu x0 ∈ R: mnoˇzina U(x0 ) \ {x0 } okol´ı +∞ interval (a, ∞), a ∈ R okol´ı −∞ interval (−∞, a), a ∈ R lev´ e okol´ı bodu x0 ∈ R: interval (x0 − ε, x0 ), ε > 0 prav´ e okol´ı bodu x0 ∈ R: interval (x0 , x0 + ε), ε > 0 Extr´ emy mnoˇ zin v R: minimum a maximum maximum mnoˇziny M ⊂ R: ˇc´ıslo y ∈ M, takov´e, ˇze ∀x ∈ M : x ≤ y . minimum mnoˇziny M ⊂ R: ˇc´ıslo z ∈ M, takov´e, ˇze ∀x ∈ M : x ≥ y . Ne kaˇzd´a mnoˇzina v R mus´ı m´ıt extr´em (tj. minimum nebo maximum mnoˇziny M m˚ uˇze, ale nemus´ı existovat).

Pojmy

7/ 41

Funkce (re´aln´a funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e) na mnoˇzinˇe D je pˇredpis, kter´y kaˇ zd´ emu ˇc´ıslu z mnoˇziny D pˇriˇrazuje pr´ avˇ e jedno re´aln´e ˇc´ıslo. definiˇcn´ı obor D(f ): maxim´aln´ı mnoˇzina tˇech x ∈ R, pro kter´a m´a pˇredpis smysl

obor hodnot funkce: H(f ) = {y ∈ R : ∃x ∈ D(f ) : y = f (x)}, graf funkce:G (f ) = {[x, f (x)] ∈ R2 ; x ∈ D(f )} rovnost funkc´ı: f = r ⇔ [D(f ) = D(g ) ∧ (∀x ∈ D(f ) : f (x) = g (x))] funkce zdola, shora omezen´a funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, monot´ onn´ı funkce prost´a: ∀x1 , x2 ∈ D(f ), x1 6= x2 : f (x1 ) 6= f (x2 ), funkce sud´a: ∀x ∈ D(f ) : −x ∈ D(f )∧ f (−x) = f (x), funkce lich´a: ∀x ∈ D(f ) : −x ∈ D(f )∧ f (−x) = −f (x), periodick´a: ∃T ∈ R : ∀x ∈ D(f ) : x + T ∈ D(f ) ∧ f (x + T ) = f (x),

Operace s funkcemi

8/ 41

souˇ cet funkc´ı f a g je funkce h: h(x) = f (x) + g (x) pro x ∈ D(f ) ∩ g (x), analogicky rozd´ıl, souˇ cin funkc´ı; pod´ıl funkc´ı f a g je funkce h: f (x) pro x ∈ [D(f ) ∩ D(g )] \ {x ∈ D(g ) : g (x) = 0}, h(x) = g (x) absolutn´ı hodnota funkce f je funkce h: h(x) = |f (x)| pro x ∈ D(f ); restrikce funkce (tj. z´ uˇzen´ı funkce) Je-li f funkce a A ⊂ D(f ), pak funkci, definovanou pouze na A, kter´a kaˇzd´emu x ∈ A pˇriˇrazuje tut´eˇz hodnotu jako funkce f (tj. f (x) ), naz´yv´ame restrikc´ı funkce f na mnoˇzinu A. sloˇ zen´ a funkce Jsou-li f a g funkce pro kter´a plat´ı H(g ) ⊂ D(f ), lze definovat sloˇ zenou funkci h(x) = f (g (x)) pro x ∈ D(g ). inverzn´ı funkce f −1 k prost´e funkci f : ∀x ∈ D(f ) : y = f (x) ⇔ x = f −1 (y ), D(f −1 ) = H(f )

Transformace grafu funkce

9/ 41

f3 : y = f(x) + b

f1 : y = −f(x) f2 : y = f(−x)

f4 : y = f(x − a)

f5 : y = k · f(x)

f6 : y = f(mx)

Z´akladn´ı element´arn´ı funkce Z´akladn´ı element´arn´ı funkce: funkce exponenci´aln´ı a logaritmick´e, mocninn´e, goniometrick´e a cyklometrick´e, hyperbolick´e a hyperbolometrick´e. Element´arn´ı funkce: lze vytvoˇrit ze z´akladn´ııch element´arn´ıch funkc´ı pomoc´ı koneˇcn´eho poˇctu operac´ı sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı, dˇelen´ı a skl´ad´an´ı funkc´ı.

• logaritmick´ a funkce

• exponenci´ aln´ı funkce

Eulerovo ˇc´ıslo e, exponenci´aln´ı funkce ex

  1 n e= lim 1 + n→∞ n

13/ 41

∞ X 1 e= k! k=0

Pˇrirozen´y logaritmus: (ln x) – inverzn´ı funkce k ex

14/ 41

Mocninn´a funkce

15/ 41

Obecn´a mocninn´a funkce x α je definovan´a : x α = eα ln x pro x > 0, α ∈ R, D(x α ) = (0, ∞) Pro nˇekter´e exponenty α lze D(x α )rozˇs´ıˇrit. Mocninn´ a funkce s pˇrirozen´ ym exponentem a n−t´ a odmocnina. Sud´ e n: inverzn´ı:

D(f ) = R, H(f ) = h0, ∞)

D(f ) = h0, ∞), H(f ) = R

Mocninn´a funkce s pˇrirozen´ym exponentem a n−t´a odmocnina (lich´e n)

D(f ) = R, H(f ) = R

D(f ) = R, H(f ) = R

16/ 41

.

Mocninn´a funkce se z´aporn´ym cel´ym exponentem f : y = x −n , n ∈ N, x ∈ R \ {0}

lich´ y exponent

sud´ y exponent

D(f ) = R \ {0}, H(f ) = (0, ∞) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}

17/ 41

Mocninn´a funkce s racion´aln´ım exponentem r ∈ Q \ Z, r =

18/ 41

p , p ∈ Z, q ∈ N, q ≥ 2, p, q : nesoudˇeln´a q √ p f : y = x q = q xp

Definiˇcn´ı obor: p > 0, q lich´e:

D(f ) = R

p < 0, q lich´e:

D(f ) = R \ {0}

p > 0, q sud´e:

D(f ) = h0, ∞)

p < 0, q sud´e:

D(f ) = (0, ∞)

Mocninn´ a f : y = xr , Mocninn´ a f : y = xr ,

funkce s re´ aln´ ym exponentem: x ∈ R+ , r ∈ R \ Q funkce s nulov´ ym exponentem: x ∈ R, r = 0 : x 0 = 1

Mocninn´a funkce

19/ 41

Goniometrick´e funkce a cyklometrick´e funkce

D(f ) : h−1, 1i, H(f ) : h− π2 , π2 i D(f ) : h−1, 1i, H(f ) : h0, πi

20/ 41

Hyperbolick´e funkce

21/ 41

Hyperbolometrick´e funkce

22/ 41

Definiˇcn´ı obory funkc´ı : pˇr´ıklady

1

2

3

4

23/ 41

√ 1 x −1 b)y = 2 c)y = x − 1 x x −4 r p √ x +1 1 2 a)y = x − 3x + 2 b)y = 4 c)y = + 6x +3 x −1 x +1 r p √ x +1 1 3 a)y = x 2 − 3x + 2 b)y = 5 c)y = + 3x +3 x −1 x +1 r p 5x − x 2 a)y = ln(cos x) b)y = ln 4 a)y =

Limita funkce

24/ 41

Vlastn´ı limita funkce ve vlastn´ım bodˇ e lim f (x) = A ⇔

x→x0

∀ε ∈ R+ ∃δ ∈ R+ ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 } : f (x) ∈ (A − ε, A + ε) Nevlastn´ı limita funkce ve vlastn´ım bodˇ e lim f (x) = +∞ ⇔

x→x0

∀M ∈ R ∃δ ∈ R+ ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 } : f (x) > M Vlastn´ı limita funkce ve nevlastn´ım bodˇ e lim f (x) = A ⇔

x→∞

∀ε ∈ R+ ∃K ∈ R ∀x ∈ R : f (x) ∈ (A − ε, A + ε) Nevlastn´ı limita funkce ve nevlastn´ım bodˇ e lim f (x) = ∞ ⇔

x→∞

∀M ∈ R ∃K ∈ R ∀xR, x > K : f (x) > M

Vlastnosti limit 1

2 3

25/ 41

Vˇeta: Necht’ x0 ∈ R, A ∈ R∗ . Limita v bodˇe x0 existuje pr´avˇe tehdy, kdyˇz v tomto bodˇe existuj´ı obˇe jednostrann´e limity a jsou stejn´e. Vˇeta: Funkce m´a v bodˇe x0 ∈ R∗ nejv´yˇse jednu limitu. Vˇeta (Henrich Eduard Heine): Necht’ x0 ∈ R∗ , A ∈ R∗ a funkce f je definovan´a na nˇejak´em prstencov´em okol´ı bodu x0 . Potom lim x → x0 f (x) = A pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzdou posloupnost {xn } takovou, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N je xn v tomto prstencov´em okol´ı, plat´ı lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = A

n→∞ 4

n→∞

Vˇeta: Necht’ x0 ∈ R∗ a necht’ existuj´ı lim f (x), lim g (x). Plat´ı: x→x0

1

lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x)

x→x0 2

x→x0 3 4

x→x0

x→x0

lim f (x)g (x) = lim f (x) · lim g (x) x→x0

f (x) limx→x0 f (x) lim = x→x0 g (x) limx→x0 g (x) lim |f (x)| = | lim f (x)| x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

Spojitost funkce

26/ 41

Funkce je spojit´a v bodˇe x0 ∈ R, jestliˇze plat´ı: lim f (x) = f (x0 ) x→x0

Je-li funkce f spojit´a v bodˇe x0 , potom • existuje vlastn´ı limita funkce f v bodˇe x0 • funkce f je definovan´a v bodˇe x0 (f (x0 )) • hodnota funkce a jej´ı limity se rovnaj´ı Vlastnost spojit´ ych funkc´ı 1 Vˇ eta: Necht’ funkce f a g jsou spojit´e v bodˇe x0 ∈ R. Pak i funkce f ± g a f · g jsou spojit´e v bodˇe x0 . Je-li nav´ıc g (x0 ) 6= 0, je i funkce f /g spojit´a v bodˇe x0 . 2 Vˇ eta: Necht’ funkce f je spojit´a v bodˇe x0 ∈ R a necht’ funkce g je spojit´a v bodˇe f (x0 ). Potom funkce g (f (x)) je spojit´a v bodˇe x0 . 3 Vˇ eta: Necht’ f je z´akladn´ı element´arn´ı funkce a necht’ x0 je vnitˇrn´ım bodem definiˇcn´ıho oboru D(f ). Potom funkce f je spojit´a v bodˇe x0 .

V´ypoˇcet limit

27/ 41

Limity funkc´ı spojit´ych v bodˇe: dosazen´ı. Vˇeta o limitˇe souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu. (poˇc´ıt´an´ı s ±∞) Limita funkc´ı shoduj´ıc´ıch se v prstencov´em okol´ı bodu (´ uprava – zkr´acen´ı – rozˇs´ıˇren´ı zlomku – vyt´yk´an´ı ) Vˇeta o sevˇren´ı Vˇeta o souˇcinu nulov´e a omezen´e funkce Vˇeta o limitˇe sloˇzen´e funkce Vˇ eta o limitˇetypu ”1/0” 1 = +∞ 0+



 1 = −∞ 0−

Derivace

28/ 41

Definice: Nectt’ x0 ∈ D(f ). Existuje-li limita lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

znaˇc´ıme ji f 0 (x0 ) a naz´yv´ame derivac´ı funkce f v bodˇ e x0 . Je-li f 0 (x0 ) ∈ R, pak funkce f m´a v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci. Je-li f 0 (x0 ) = ±∞, pak funkce f m´a v bodˇe x0 nevlastn´ı derivaci. Vˇ eta: M´a li funkce f v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci, je v tomto bodˇe spojit´a. Definice: Necht’ existuje vlastn´ı derivace f 0 (x) funkce f pro vˇsechna x ∈ M ⊂ D(f ). Pak funkci f 0 : y = f 0 (x), x ∈ M naz´yv´ame derivac´ı funkce f na M.

Pravidla pro derivov´an´ı 1 2

3

4 5

29/ 41

(f ± g )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ) (fg )0 (x0 ) = f 0 (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )  0 f f 0 (x0 )g (x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ) (x0 ) = g g 2 (x0 ) (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ) sloˇzen´a funkce F = f (g (x)), existuje derivace g v bodˇe x0 a derivace f v bodˇe u0 = g (x0 ). Potom sloˇzen´a funkce F m´a derivaci v bodˇe x0 a plat´ı F 0 (x0 ) = f 0 (u0 ) · g 0 (x0 ) = f 0 (g (x0 )) · g 0 (x0 )

6

derivace funkce tvaru f (x)g (x) f (x)g (x) = eg (x) ln f (x)

Derivace z´akladn´ıch funkc´ı

30/ 41

Teˇcna a norm´ala

31/ 41

Teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe dotyku T = [x0 , f (x0 )]: y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) Norm´ala: y − f (x0 ) = −

1 f 0 (x0 )

(x − x0 )

Z´akladn´ı vˇety diferenci´aln´ıho poˇctu

32/ 41

Vˇ eta o stˇredn´ı hodnotˇ e (Lagrange) ’ Necht funkce f je spojit´a v uzavˇren´em intervalu ha, bi a necht’ m´a derivaci v otevˇren´en intervalu (a, b). Pak existuje bod ξ ∈ (a, b): f (b) − f (a) f 0 (ξ) = b−a l´Hospitalovo pravidlo Necht’ x0 ∈ R∗ a je splnˇena jedna z podm´ınek: • lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo • lim |f (x)| = lim |g (x)| = ∞ x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

f (x) f 0 (x) a plat´ı Potom existuje-li lim 0 , existuje i limita lim x→x0 g (x) x→x0 g (x) lim

x→x0

f (x) f 0 (x) = lim 0 g (x) x→x0 g (x)

Monotonie, extr´emy

33/ 41

Vˇ eta. Necht’ funkce f je spojit´a v intervalu I . Pak plat´ı implikace: 0 f > 0 ⇒ f je v intervalu I rostouc´ı f 0 ≥ 0 ⇒ f je v intervalu I neklesaj´ıc´ı f 0 < 0 ⇒ f je v intervalu I klesaj´ıc´ı f 0 ≤ 0 ⇒ f je v intervalu I nerostouc´ı f 0 = 0 ⇒ f je v intervalu I konstantn´ı Lok´ aln´ı extr´ emy Funkce m´a v bodˇe x0 lok´ aln´ı minimum (lok´ aln´ı maximum), existuje-li okol´ı P(x0 ) bodu x0 , ˇze pro vˇsechna x ∈ P(x0 ) plat´ı: f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 ). Vˇ eta M´a-li funkce f v bodˇe x0 lok´aln´ı extr´em a existuje-li f 0 (x0 ), je f 0 (x0 ) = 0. To znamen´a, ˇze funkce m˚ uˇze nab´yvat sv´ych lok´aln´ıch extr´em˚ u na intervalu I v tˇech vnitˇrn´ıch bodech intervalu I , ve kter´ych: • nem´a derivaci • derivace je rovna nule

Konvexn´ı a konk´avn´ı funkce

34/ 41

Vˇ eta. Necht’ funkce f je spojit´a v intervalu I . Pak plat´ı implikace: 00 f > 0 ⇒ f je v intervalu I ryze konvexn´ı f 00 ≥ 0 ⇒ f je v intervalu I konvexn´ı f 00 < 0 ⇒ f je v intervalu I ryze konk´avn´ı f 00 ≤ 0 ⇒ f je v intervalu I konk´avn´ı f 00 = 0 ⇒ f je v intervalu I line´arn´ı Inflexn´ı bod Bod [x0 , f (x0 )] je inflexn´ım bodem funkce f , jestliˇze existuje f 0 (x0 ) ∈ R a funkce f je v nˇejak´em lev´em okol´ı bodu x0 ryze konvexn´ı a nˇejak´em prav´em okol´ı bodu x0 ryze konk´avn´ı (resp. naopak). (Tj. konvexnost se mˇen´ı na konk´avnost (resp. naopak).)

Asymptoty

35/ 41

Rovnice asymptot. svisl´a: x = x0 , pokud aspoˇ n jedna jednostrann´a limita pro x → x0 je ±∞ ˇsikm´a: y = kx + q, kde k = lim f (x) x , q = lim f (x) − kx

Pr˚ ubˇeh funkce 1

Pro funkci urˇc´ıme: 1 2 3 4

2

3

4

definiˇcn´ı obor D(f ), zda je (nen´ı) sud´a, lich´a, periodick´a pr˚ useˇc´ıky s osami souˇradnic (pokud existuj´ı) jednostrann´e limity v krajn´ıch bodech D(f )

Vypoˇc teme a vyˇsetˇr´ıme derivaci f 0 (x) :  > 0 → f (x) je rostouc´ı 0 < 0 → f (x) je klesaj´ıc´ı f (x)  = 0 → stacion´arn´ı body Vypoˇc teme a vyˇsetˇr´ıme druhou derivaci f 00 (x) :  > 0 → f (x) je ryze konvexn´ı < 0 → f (x) je ryze konk´avn´ı f 00 (x)  = 0 → moˇzn´e inflexn´ı body Najdeme rovnice asymptot. svisl´a: x = x0 , pokud aspoˇ n jedna jednostrann´a limita pro x → x0 je ±∞ ˇsikm´a: y = kx + q, kde k = lim f (x) x , q = lim f (x) − kx

5

Graf.

P˚ ubˇeh funkce y =

x 2 +1 x 2 −1

1. Pro funkci urˇc´ıme: 1

2

definiˇcn´ı obor D(f ) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞), x2 + 1 (−x)2 + 1 = = f (x) ⇒je sud´ a. zda je sud´a: f (−x) = (−x)2 − 1 x2 − 1 Proto vyˇsetˇr´ıme pr˚ ubˇeh pouze na mnoˇzinˇe h0, 1) ∪ (1, +∞)

3

pr˚ useˇc´ıky s osami souˇradnic (pokud existuj´ı): x = 0 ⇒ y = −1 ⇒ Y = [0, −1]; y 6= 0 ∀x ∈ D(f )

4

jednostrann´e limity v krajn´ıch bodech D(f ): x2 + 1 lim 2 =1 x→∞ x − 1 x2 + 1 x2 + 1 2 lim+ 2 = = + = +∞ (x − 1)(x − 1) 0 x→1 x − 1 x2 + 1 x2 + 1 2 = lim 2 = − = −∞ (x − 1)(x − 1) 0 x→1− x − 1

Pr˚ ubˇeh y =

x 2 +1 x 2 −1

: 1. a 2. derivace

2. Urˇc´ıme derivaci: 2x(x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = 2 − 1)2 (x  > 0 x ∈ (−∞, −1)     x ∈ (−1, 0)  −4x < 0 x ∈ (0, 1) (x 2 − 1)2   x ∈ (1, ∞)    =0 x =0

y0 =

−4x (x 2 − 1)2 → f (x) je rostouc´ı → f (x) je rostouc´ı → f (x) je klesaj´ıc´ı → f (x) je klesaj´ıc´ı → M = [0, 1] lok´aln´ı maximum

3. Urˇc´ıme druhou derivaci: −4(x 2 − 1)2 + 4x · 2(x 2 − 1) · 2x 12x 2 + 4 = 2 2 4 (x − 1) (x − 1)3  > 0 x 2 − 1 > 0 x ∈ (−∞, −1) →    2 12x + 4 x ∈ (1, ∞) → 2 − 1 < 0 x ∈ (−1, 1) < 0 x → (x 2 − 1)3    6= 0 →

y 00 =

f (x) je konvexn´ı f (x) je konvexn´ı f (x) je konk´avn´ı nem´a inflexn´ı body

Pr˚ ubˇeh y =

x 2 +1 x 2 −1

: Asymptoty

svisl´a: x = x0 , pokud aspoˇ n jedna jednostrann´a limita pro x → x0 je ±∞ x2 + 1 x2 + 1 = lim = −∞ lim + 2 x→−1 x − 1 x→+1− x 2 − 1 Tedy pˇr´ımky x = −1 a x = 1 jsou svisl´ymi asymptotami. ˇsikm´a: y = kx + q, kde k = lim f (x) x , q = lim f (x) − kx x2 + 1 f (x) = lim =0 lim x→∞ x x→+∞ (x 2 − 1)x x2 + 1 lim f (x) − 0 · x = lim 2 =1 x→∞ x→∞ x − 1 Pˇr´ımka y = 1 je ˇsikm´a asymptota.

Glob´aln´ı (absolutn´ı) extr´emy Definice: Necht’ M ⊂ D(f ) a x0 ∈ M. Funkce f nab´yv´a na mnoˇ zinˇ e M glob´ aln´ıho maxima (resp. glob´ aln´ıho minima) v bodˇe x0 , jestliˇze pro vˇsechna x ∈ M plat´ı f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 )). Spojit´ a funkce na uzavˇren´ em intervalu ha, bi nab´yv´a absolutn´ıch extr´em˚ u. Extr´emy mohou b´yt: v bodˇe lok´aln´ıho extr´emu na (a, b) nebo v krajn´ıch bodech a, b. Pˇr´ıklad: p 4 y = 1 − 5 (x 2 + 2x)4 = 1 − (x 2 + 2x) 5 , na intervalu h−1, 2i. Stacion´arn´ı body: 1 y 0 = 0 : 45 (x 2 + 2x)− 5 · (2x + 2) = 0 ⇔ x = −1 Derivace neexistuje (ale funkce je definovan´a) ( jmenovatel = 0) x = 0 ∈ h−1, 2i, x = −2 6∈ h−1, 2i Hodnoty funkce : a = −1 x =0 b=2√ 5 f (−1) = 0 f (0) = 1 f (2) = 1 − 84 max min