VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f (g), kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají spojité parciální derivace v definičním oboru, který je otevřenou množinou. 1. F (x, y) = f (g(x, y)), f = f (t). Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, ale vnější funkce f je funkcí pouze jedné proměnné t. Parciální derivace vypočteme podle vzorce: ∂F ∂g ∂F ∂g = f 0 (t) a = f 0 (t) . ∂x ∂x ∂y ∂y Příklad. 1. F (x, y) = f (r), r =
p
x2 + y 2 .
∂F ∂r x x = f 0 (r) = f 0 (r) p 2 = f 0 (r) , 2 ∂x ∂x r x +y ∂F ∂r y y 0 = f 0 (r) = f 0 (r) p 2 = f (r) ,. ∂y ∂y r x + y2 Derivace 2. řádu ∂2F ∂r = f 00 (r) 2 ∂x ∂x
2
∂2F ∂r = f 00 (r) ∂y 2 ∂y
2
+ f 0 (r)
∂2r x2 r2 − x2 00 0 = f (r) + f (r) ; ∂x2 r2 r3
+ f 0 (r)
∂2r y2 r2 − y2 00 0 = f (r) + f (r) ; ∂y 2 r2 r3
∂2F ∂r ∂r ∂2r xy −xy = f 00 (r) + f 0 (r) 2 = f 00 (r) 2 + f 0 (r) 3 . ∂x∂y ∂y ∂y ∂y r r 2. F (x) = f (g(x), h(x)), f = f (u, v). Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí dvou proměnných u a v. Derivace je obyčejnou derivací funkce jedné proměnné a vypočteme ji podle vzorce: F 0 (x) =
∂f 0 ∂f 0 g (x) + h (x). ∂u ∂v
Je totiž pro b = (g(x), h(x)) 1 1 . [F (x + ∆) − F (x)] = [f (g(x + ∆), h(x + ∆)) − f (g(x), h(x))] = ∆ ∆ 1 ∆
∂f ∂f (b)[g(x + ∆) − g(x)] + (b)[h(x + ∆) − h(x)] → ∂u ∂v
∂f ∂f (b)g 0 (x) + (b)h0 (x) ∂u ∂v
17
3. F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)), f = f (u, v). Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y a její parciální derivace složené funkce vypočteme podle vzorce: (♠)
∂f ∂g ∂f ∂h ∂F = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
Příklad. 3. F (x, y) = f (u, v), u = x2 − y 2 , v = xy. Je ∂F ∂f ∂f = 2x + y, ∂x ∂u ∂v
(♣)
∂F ∂f ∂g ∂f ∂h = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
∂F ∂f ∂f = (−2y) + x. ∂y ∂u ∂v
Parciální derivace 2. řádu: ∂2F ∂2f ∂2f ∂f ∂2f ∂ 2 f 2 ∂f 2 = (2x) + 2x.y + .2 + 2x.y + y + .0; ∂x2 ∂u2 ∂u∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂v ∂2F ∂2f ∂2f ∂f ∂2f ∂ 2 f 2 ∂f 2 = (−2y) + (−2y.x) + .(−2) + (−2y.x) + x + .0; ∂y 2 ∂u2 ∂u∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂v ∂2F ∂2f ∂2f ∂f ∂2f ∂2f ∂f 2 2 = (−2y.2x) + (2x ) + .0 + (−2y ) + xy + .1. 2 2 ∂y∂x ∂u ∂u∂v ∂u ∂u∂v ∂v ∂v 4. F (x) = f (g(x), h(x), k(x)), f = f (u, v, w). Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Derivaci funkce F vypočteme podle vzorce: F 0 (x) =
∂f 0 ∂f 0 ∂f 0 g (x) + h (x) + k (x). ∂u ∂v ∂w
5. F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y), k(x, y)), f = f (u, v, w). Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Parciální derivace funkce F vypočteme podle vzorce: ∂F ∂f ∂g ∂f ∂h ∂f ∂k = + + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂F ∂f ∂g ∂f ∂h ∂f ∂k = + + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
Všechny případy lze shrnout do obecného vzorce. Vzorec pro derivaci složené funkce. Nechť F (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (y1 , y2 , . . . , ym ), kde yk = gk (x1 , x2 , . . . , xn ), a ∈ Dgk , 1 ≤ k ≤ m, b = (g1 (a), g2 (a), . . . , gm (a)) ∈ Df , pak parciální derivace funkce F podle proměnných xi , 1 ≤ i ≤ n vypočteme podle vzorce m X ∂f ∂F ∂gk (a) = (b) (a), 1 ≤ i ≤ n, ∂xi ∂y ∂xi k k=1
pokud jsou parciální derivace uvedené ve vzorci spojité v bodě a, resp. v bodě b.
18
18. Parciální derivace 2. řádu Výpočet parciálních derivací druhého a vyšších řádů provádíme podle stejného pravidla jako počítáme derivace první. Derivujeme ale nyní výraz, který je součtem součinů činitelů, z nichž jsou někteří složenou funkcí a ostatní nikoliv. 6. F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)), f = f (u, v). ∂F ∂f ∂g ∂f ∂h = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x Budeme počítat parciální derivaci ∂2F ∂ = 2 ∂x ∂x ∂ = ∂x
∂f ∂u
a
∂2F ∂x2 .
Je ovšem
∂F ∂x
∂ = ∂x
∂g ∂f ∂ + ∂x ∂u ∂x
∂g ∂x
∂F ∂f ∂g ∂f ∂h = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
∂f ∂g ∂u ∂x
∂ + ∂x
∂ + ∂x ∂f ∂v
∂f ∂h ∂v ∂x
=
∂h ∂f ∂ + ∂x ∂v ∂x
∂h ∂x
Nyní použijeme vzorec (♠) na první z činitelů, jenom místo funkce F uvažujeme funkci resp. funkci ∂f ∂v a dostaneme ∂2F = ∂x2
∂ 2 f ∂g ∂ 2 f ∂h + ∂u2 ∂x ∂v∂u ∂x ∂2f = ∂u2
∂g ∂x
2
!
∂g ∂f ∂ 2 g + + ∂x ∂u ∂x2
∂ 2 f ∂h ∂g ∂2f +2 + 2 ∂u∂v ∂x ∂x ∂v
∂ 2 f ∂g ∂ 2 f ∂h + 2 ∂u∂v ∂x ∂v ∂x
∂h ∂x
2
+
!
∂h ∂f ∂ 2 h + = ∂x ∂v ∂x2
∂f ∂ 2 g ∂f ∂ 2 h + ∂u ∂x2 ∂v ∂x2
Obdobně vypočteme derivace ∂2F ∂2f = ∂y 2 ∂u2
∂g ∂y
2
∂ 2 f ∂h ∂g ∂ 2 f +2 + 2 ∂u∂v ∂y ∂y ∂v
∂h ∂y
2
+
∂f ∂ 2 g ∂f ∂ 2 h + ∂u ∂y 2 ∂v ∂y 2
a ∂2F ∂ 2 f ∂g ∂g ∂2f = + 2 ∂x∂y ∂u ∂x ∂y ∂u∂v
∂g ∂h ∂g ∂h + ∂x ∂y ∂y ∂x
19
+
∂ 2 f ∂h ∂h ∂f ∂ 2 g ∂f ∂ 2 h + + . 2 ∂v ∂x ∂y ∂u ∂x∂y ∂v ∂x∂y
∂f ∂u ,
19. Transformace souřadnic
Polární souřadnice y
• (x, y)
y
ρ H
ϕ
0
x
x
(x, y) - souřadnice bodu v R2 (ρ, ϕ) - polární souřadnice Transformační vztahy: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,
ρ > 0, α < ϕ < α + 2π
7. F (x, y) = f (ρ, ϕ), kde ρ, ϕ jsou polární souřadnice definované vztahy x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, ρ > 0, ϕ ∈ R.
(♠) Podle vzorců z odstavce 1 je
∂F ∂f ∂ρ ∂f ∂ϕ = + , ∂x ∂ρ ∂x ∂ϕ ∂x
∂F ∂f ∂ρ ∂f ∂ϕ = + . ∂y ∂ρ ∂y ∂ϕ ∂y
Vzorec obsahuje ale derivace proměnných ρ, ϕ podle proměnných x, y. Tyto derivace vypočteme ze vztahů, kterými se převádí původní souřadnice (x, y) na souřadnice (ρ, ϕ). Budeme derivovat rovnice (♠) postupně podle proměnných x, y pomocí vzorců z odstavce 1, jako by proměnné ρ, ϕ byly funkcemi proměnných x, y. Dostaneme 1= 0= 0= 1=
∂ρ ∂x ∂ρ ∂x
cos ϕ − ∂ϕ ∂x ρ sin ϕ ⇒ (♣) ∂ϕ sin ϕ + ∂x ρ cos ϕ
∂ρ ∂y ∂ρ ∂y
cos ϕ − ∂ϕ ∂y ρ sin ϕ ⇒ (♣) ∂ϕ sin ϕ + ∂y ρ cos ϕ 20
∂ρ ∂x ∂ϕ ∂x
= cos ϕ = − sinρ ϕ ;
∂ρ ∂y ∂ϕ ∂y
= sin ϕ = cosρ ϕ .
Je tedy (♠♠)
∂F ∂f ∂f sin ϕ = cos ϕ − , ∂x ∂ρ ∂ϕ ρ
∂F ∂f ∂f cos ϕ = sin ϕ + . ∂y ∂ρ ∂ϕ ρ
Výpočet parciálních derivací druhého řádu provedeme obdobně jako jsme prováděli výpočet v odstavci 6. Budeme derivovat vyjádření (♠♠) a derivace druhého řádu proměnných ρ, ϕ podle proměnných x, y získáme derivováním vztahů (♣) a jejich opětovným použitím. Je např. ∂ ∂ϕ sin2 ϕ ∂2ρ = (cos ϕ) = − sin ϕ = , ∂x2 ∂x ∂x ρ2 ∂ ∂ϕ cos2 ϕ ∂2ρ = (sin ϕ) = cos ϕ = , ∂y 2 ∂y ∂y ρ2 ∂2ϕ ∂ sin ϕ 1 ∂ϕ ∂ρ cos ϕ sin ϕ = − = − ρ cos ϕ − sin ϕ =2 , 2 2 ∂x ∂x ρ ρ ∂x ∂x ρ2 ∂2ϕ ∂ cos ϕ 1 ∂ϕ ∂ρ cos ϕ sin ϕ = = 2 −ρ sin ϕ − cos ϕ = −2 . 2 ∂y ∂y ρ ρ ∂y ∂y ρ2 Při použití výpočtu uvedených derivací určíme obdobným postupem jako v odstavci 6 derivováním vztahů (♠♠) vyjádření ∂2F ∂2f ∂ 2 f cos ϕ sin ϕ ∂ 2 f sin2 ϕ 2 = cos ϕ − 2 + + ∂x2 ∂ρ2 ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ2 ρ2 ∂f − sin ϕ ∂f 1 − sin ϕ (− sin ϕ) − ρ cos ϕ − sin ϕ cos ϕ . 2 ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ρ Po úpravě dostaneme vyjádření
+
∂2F ∂2f ∂ 2 f cos ϕ sin ϕ ∂ 2 f sin2 ϕ ∂f sin2 ϕ ∂f cos ϕ sin ϕ 2 = cos ϕ − 2 + + +2 . 2 2 2 2 ∂x ∂ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 a obdobně odvodíme vyjádření ∂2F ∂2f ∂ 2 f cos ϕ sin ϕ ∂ 2 f cos2 ϕ ∂f cos2 ϕ ∂f cos ϕ sin ϕ 2 = sin ϕ + 2 + + −2 . ∂y 2 ∂ρ2 ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ2 ρ2 ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 Laplaceův operátor je definován vzorcem ∆F (x, y) =
∂2F ∂2F + . ∂x2 ∂y 2
Po transfomaci do polárních souřadnic dostaneme pro funkci F (x, y) = f (ρ, ϕ) vyjádření ∆F (x, y) =
1 ∂2f 1 ∂f ∂2f + + . ∂ρ2 ρ2 ∂ϕ2 ρ ∂ρ
Pro transformaci, kde v u n uX F (x) = f (r), r = |x| = t x2k k=1
dostaneme ∆F (x) = f 00 (r) +
n−1 0 f (r), r
tedy pro n = 2 1 ∆F (x, y) = f 00 (r) + f 0 (r) r a pro n = 3 2 ∆F (x, y, z) = f 00 (r) + f 0 (r). r 21
