Projekt "Podpora
výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Derivace funkce
MATA4
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1
Derivace funkce
Pojem derivace vznikl v 17. století při řešení geometrických a fyzikálních problémů, typickým příkladem problému je, jak nalézt rovnici tečny ke grafu funkce v jejím libovolném bodě. Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y odpovídá změně jiné proměnné x, na které má ona proměnná nějakou funkční závislost. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol ∆, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako ∆ ∆
Derivace je hodnota podílu pro ∆x jdoucí k 0. Vedle limity patří derivace funkce k pilířům infinitezimálního počtu. Pomoci derivace se naučíme elegantním způsobem řešit průběhy funkcí, včetně sestrojení jejich grafů, budeme moci řešit slovní úlohy, kde je požadováno určení extrému dané veličiny, a to buď maxima, nebo minima, ukážeme si užití derivace v geometrii a fyzice.
1. Derivace funkce v bodě Definice derivace funkce v bodě Mějte funkci ƒ definovanou v jistém okolí bodu . Existuje-li ƒ Δ
→ Δ lim
Nazýváme ji derivací funkce ƒ v bodě .
2
The derivative of a function
The term „derivation“ arose in the 17. century when dealing with geometric and physical problems. The typical problem is how to find the equation of the tangent of the graph of a function in any point of the graph. The historical definitions were expressing the derivation as the ratio in which the rise of any variable y corresponds to the change of another vriable x which has got some functional dependence on. The easiest idea about the derivation is that „ the derivation is the extent of the change of a function in a particular point“, or more precisely „points“. The symbol ∆ is used for the change of a function therefore the ratio can be symbolicaly written as ∆ ∆
The derivation is the value of the quotient of ∆x aiming to 0. Besides the limit, the derivation belongs to the pillars of infinitesimal calculation. Using the derivation we are going to elegantly learn to solve the course of functions including the construction of their graphs. Further, we will be able to solve verbal tasks where is demanding to determine the extrem of the given quantity and either its maximum or minimum. We will be shown the usege of the derivation in physics and geometry.
1. The derivative at point The definitiv the derivative at point There is the function defined in the particular environs of a point . ƒ ∆ ∆→ ∆ lim
We called it as the derivative function ƒ at point .
3
Derivaci funkce ƒ v bodě značíme symbolem ƒ . Lze tedy psát ƒ Δ
→
ƒ lim
Vzhledem k Δ nebo jsou správné i následující zápisy: ƒ
→
ƒ ƒ
, ƒ →
ƒ ƒ
Protože ƒ ƒ ƒ Δ ƒ , je možné použít zkrácený zápis →
ƒ
!
Kromě ƒ se pro označení derivaci používá také symbol a také ! který připomíná, že derivace vznikla jako limita
.
Příklad 1 Vypočtěte derivaci funkce ƒ: " a #: v bodě ∈ %.
Řešení : ƒ ƒ " " lim lim 2 → → →
ƒ lim
# # lim 1 → →
# lim
Podobně jako jsme definovali spojitost funkce v bodě a v intervalu, je možné postupovat i při derivaci funkce. Funkce ƒ má v intervalu (a, b) derivaci, jestliže má derivaci v každém bodu ∈ (, *.
4
The derivative function ƒ at point we marked by a symbol ƒ′ . So we can write ƒ ∆ ∆→
ƒ′ lim
Regarding to ∆ or they are correct the following notations: ƒ′
→
ƒ ƒ
, ƒ′ →
ƒ ƒ
Because ƒ ƒ ƒ ∆ ƒ , it is possible use the shortened notations as well as →
ƒ′
!
Except ƒ′ for indication of derivation is used the symbol too ′ and ! which recalls that the derivation came up as a limit
.
Example 1 Calculate the derivativeƒ: " and #: at point ∈ %. Solution: ƒ ƒ " " ƒ lim lim lim 2 → → → ′
# # lim 1 → →
#′ lim
As we have defined the connection of a function at the point a and the interval, it is possible to proceed at derivating. The function f has got in the interval ( a, b) the derivation, if it has the derivation in each point ∈ (, *. 5
Z dřívějška už víte, jak souvisí pojmy spojitost funkce a limita funkce. Protože derivaci funkce jsme definovali jako jistou limitu, lze očekávat také souvislost derivace funkce se spojitostí funkce. Má-li funkce ƒ v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá.
•
Pozor! Obrácená věta neplatí. Tedy funkce, která je v bodě spojitá, nemusí mít v bodě derivaci.
2. Derivace elementárních funkcí Jedním z předpokladů využití metod infinitezimálního počtu při řešení praktických úloh je dobrá znalost derivaci elementárních funkcí a základních pravidel pro počítáníderivací. Derivace následujících funkcí nebudeme odvozovat, ale je důležité je znát (jsou také uvedeny v matematicko-fyzikálních tabulkách).
Derivace elementárních funkcí + , k-konstanta
0
4 , pro ta pro která je 4 definováno
5 46
sin
cos
cos
sin :
6
tg , 9 2+ 1 "
;<=>
cotg , 9 +?
=@A>
B
B
ln , C 0
D
6
6
6
You have already known the connection between the terms the relation of a function and the limit of a function from the past. We might expect the connection of derivative with the relation of a function for the derivative was defined as the limit. If a function has the derivation at point , is continuous in this case.
•
Attention! The sentence used vise versa is not valid. Thus the function that is continuous at point , does not have to have the derivation at point .
2. The derivation of elementary functions One of the precondition of the usage of the method of infinitesimal calculation at solving practial tasks is a good knowledge of the derivation of elementary functions and basic rules for calculating of derivations. We will not derive the derivation of the following function, but it si important to know them (they are mentioned in mathematical and physics table).
The derivation of elementary functions + , k- invariable
′ 0
4 , for those which is deifined for 4
′ 5 46
sin
′ cos
cos
′ sin :
6
tg , 9 2+ 1 "
′ ;<=>
cotg , 9 +?
′ =@A>
B
′ B
ln , C 0
′ D
6
6
7
Příklad 2 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: G
" ∙ √ √ Řešení: Pro každé ∈ % nejdříve danou funkci zapíšeme jako funkci mocninou. Upravíme G
> ∙ √ √
H H G >
"
HH I
. Potom J
HH I
K
66 L
HH
I 6
66 L
M
I
66 I L
√ N .
Cvičení Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: a) √ 6
b) O c)
O
G ∙ √ M
Věty pro počítání s derivacemi: Jestliže funkce P , Q mají v bodě derivaci, má v bodě derivaci i součet, rozdíl a součin funkcí P , Q a pro Q 9 0 i podíl P Q P Q
R
a platí:
P Q P Q R
PQ P Q PQ
JS K
Z derivace součinu dvou funkcí ihned plyne : U ∙ P U ∙ P ,
R
U∈%
8
RT SRS T R>
Example 2 Calculate the derivative at any point of its domain: G
" ∙ √ √ Solution: For each ∈ % and the earliest given function, we write down as a power-law function. Rearrange
G
> ∙ √ √
H H
HH
HH
′
" G> I . Then ′ J I K
66 L
HH
I 6
66 L
M
I
66 I L
√ N .
Exercise Calculate the devirative at any point ot ifs domain: a) √ 6
b) O c)
O
G ∙ √ M
Theorems for calculations with derivations It the functions P , Q have got derivation at point , a sum, a divide and a product have even got derivation at point function P , Q and for Q 9 0 and R
for a quotient R is vadil: P Q′ P′ Q ′
P Q′ P′ Q ′ R ′
PQ′ P′ Q PQ ′
JS K
R′ SRS ′ R>
From the derivation of the product of two functions resutls immidiately U ∙ P ′ U ∙ P′ ,
U∈%
9
Příklad 3 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: 6
a) " 5 " 7 3 "
b) 5 " cos 7 >
c)
=@A
d) 6;<= G "
e)
>
6
f) " G
Řešení :
6
6
Y
a) J" Y 5 " 7 3K " ∙ 3 " 5 ∙ 2 7 ∙ 1 0 " " 10 7 * 5 " cos 7 5 " cos 7 5Z2 " cos " sin [ 0 5 2 cos c) J
>
K
6
^_4
T
\ > ] 6 > 6T 6>
d) J6`a^ K e) 6
>
G " >
sin
" 6 > ∙6 6>
;<= 6;<= ^_4 ∙^_4 6;<= > 6
" > " > 6>
;<= ;<=> =@A> 6;<= >
> "
6> ;<= 6
" 6>
; 9 1
6
6;<= > ;<= 6 , 9 1
"
1 > 6 2 " 1 1 " 2 2 Y 1
b
G ,
90 6
Y
f) J " G K " Y 2 3 b 2 O , 9 0
10
Example 3 Calculate the derivative at any point its domain: 6
a) " 5 " 7 3 "
b) 5 " cos 7 c)
>
=@A
d) 6;<= e)
G " >
6
f) " G
Solution: 6
6
′
Y
a) J" Y 5 " 7 3K " ∙ 3 " 5 ∙ 2 7 ∙ 1 0 " " 10 7 * 5 " cos 7′ 5 " cos ′ 7′ 5Z2 " cos " sin [ 0 5 2 cos
sin >
\ > ] 6 > 6′ ′
′
c) J 6K ^_4
6>
′
d) J6`a^ K e) 6
>
G " ′ >
" 6 > ∙6 6>
;<= 6;<= ^_4 ∙^_4 6;<= > 6
" > " > 6>
;<= ;<=> =@A> 6;<= >
> "
6> ;<= 6
" 6>
; 9 1
6
6;<= > ;<= 6 , 9 1
"
1 > ′ 6 2 " ′ 1 1 " 2 2 Y 1
b
G ,
90 6 ′
Y
f) J " G K " Y ′ 2 3 b 2 O , 9 0
11
Cvičení 1. Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: a) 4 Y 7 " 3 b
Y
b) 2 Y d Y
b
c) 7 N 2 Y 2? d) b 7 sin 2 cos 3B e) Y 1 2 f) 3 2ln g) tg h) tg cotg
2. Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě Df: a) b)
G
" √ Y √
G
g √ >
c) sin cos 6
d) B ln " " e)
O 6 >
6
f) Y G g) 1 Y " 6
h) 1 > "
12
Exercise 1. Calculate the derivate at any point its domain: a) 4 Y 7 " 3 b
Y
b) 2 Y d Y
b
c) 7 N 2 Y 2? d) b 7 sin 2 cos 3B e) Y 1 2 f) 3 2ln g) tg h) tg cotg
2. Calculate the derivate at any point its domain Df: a) b)
G
" √ Y √
G
g √ >
c) sin cos 6
d) B ln " " e)
O 6 >
6
f) Y G g) 1 Y " 6
h) 1 > "
13
3. Derivace složené funkce V praktických úlohách se nesetkáme jen s derivacemi elementárních funkcí jednoduchého argumentu, ale i s funkcemi složenými, jako např. sin 2 3 , G
" 1Y , √ " 3 . Proto je třeba, abychom ovládali také derivaci složené funkce. Jestliže funkce # má derivaci v bodě a jestliže funkce h má derivaci v bodě # , má složená funkce \# ] derivace v bodě a platí
i\# ]j \# ] ∙ # .
Příklad 4 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: N 2 1k Řešení: Funkce N 2 1k je složená z funkcí h k , h N 2 1 . Postupně mají !
tyto funkce derivace v každém bodě h ∈ % , ∈ % . Tedy !
l\m n ] l\ M " 6] lm
∙
l
7h L ∙
5 b 2 7 N 2 1L 5 b 2, což se někdy píše h k ∙ N 2 1 7h L 5 b 2 7 N 2 1L 5 b 2. Při rutinním počítání derivujeme složenou funkci bez označení vnitřních funkcí a přímo píšeme 7 N 2 1L 5 b 2 . Uvědomte si, že v zápisu h k ∙ N 2 1 znamená čárka jednou derivaci funkce podle proměnné h a podruhé derivaci funkce podle .
Cvičení Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě Df: a) sinb b) sinY " 14
3. The derivation of a composite function We will not only meet with the derivation of the elementary functions of a simple argument in practical tasks, but even with composite functions, e.g. sin 2 3 , G
" 1Y , √ " 3 . Therefore it is needed to know the deviation of a composite function as well. If the function # has got the derivation at the point and if the function h has got the derivation at the point # , the composite function \# ] of derivation at the point and it is valid i\# ]j ′ \# ] ∙ #′ . ′
Example 4 Calculate the derivation of a function at any point of its domain: N 2 1k Solution: The function N 2 1k is completed from the functions h k , h N 2 1 !
. Gradually, these function of derivation have at each point h ∈ % , ∈ % . So ′ ! l\m n ] l\ M " 6] lm
∙
l
7h L ∙ 5 b 2 7 N 2 1L 5 b 2, which sometimes is
written ′ h k ′ ∙ N 2 1′ 7h L 5 b 2 7 N 2 1L 5 b 2. We derive a composite function without inner functions at common calculating and we directly write 7 N 2 1L 5 b 2 . Realize that in a notation h k ′ ∙ N 2 1′ a comma means firstly the derivation of a function according to a variable and secondly the derivation of a function according to . Exercise Calculate the derivation of a function at any point Df: a) sinb b) sinY " 15
c) sin 3 d) B
"" 6
e) lnY " 1 f) tg Y 2
4. Tečna a normála grafu funkce Derivace funkce v daném bodě nám umožňuje snadno vyjádřit analyticky tečnu a normálu grafu funkce v tomto bodě. Obě tyto přímky vyjádříme ve směrnicovém tvaru. Takto se dá zapsat každá přímka, která není rovnoběžná s osou y. Nejdříve si však zopakujme, jak směrnicový tvar rovnice přímky vypadá. Každá přímka, svírá s kladnou částí osy x úhel w, kterému říkáme směrový. Tangens tohoto úhlu se nazývá směrnice, značí se k. + tg w Směrnicový tvar rovnice přímky se dá zapsat dvojím způsobem : a) + x , x ∈ % b) + kde x0, y0 jsou souřadnice libovolného bodu této přímky Teď již se můžeme pustit do vyjádření tečny grafu funkce v daném bodě. Dá se dokázat, že směrnice tečny je právě rovná derivaci funkce v bodě dotyku. Je-li bod dotyku TZ ; [ , pak + . Tečnu lze zapsat: + . Velice snadno také můžeme popsat normálu grafu funkce. Normála je přímka, která je kolmá k tečně a prochází příslušným bodem dotyku. Pro směrnice + a + dvou navzájem kolmých přímek platí: + ∙ + 1 Směrnice normály tedy můžeme vypočítat :
16
c) sin 3 d) B
"" 6
e) lnY " 1 f) tg Y 2
4. A tangent and the normal of the graph of a function The derivation of a function at the given point can analytically put the tangent of the normal of the graph of a function at this point. Both of the lines are put in a direction shape. By this way can be written every line which is not parallel with the axle y. Firstly, we are going to revise how the direction shape of a line looks like. Every line makes with the affirmative part of the axle x an angle w, angle that is called direction. The tangents of the angle is called direction and it is marked k. + tg w The direction shape of the equation of a line can be written in two ways: a) + x , x ∈ % b) + ) where x0, y0 are the coordinates of any point of this line Now, we can begin expressing the tangent of the graph of the function at any point. It is possible to prove that the direction of a tangent equals the derivation of the function at the point of contact. If the point of the contact is TZ ; [ , then + ′ . The tangent might be written as: + . We can describe the normal of the graph of a function very easily. A normal is a line that is parralel to a tangent and it goes through the relevant point of contact. For directions + and + ′ two coresponding parallel lines is valid: + ∙ + ′ 1 The direction of a normal can be calculated though:
17
+´
6
|
Normálu pak analyticky vyjádříme :
1 +
Příklad 5 Napište rovnice tečny a normály grafu funkce
> b 6
v bodě T Z2; [ .
Řešení: Nejdříve vypočítáme souřadnice bodu dotyku T dosazením do předpisu funkce
" 4 1
2" 4 4 4 8 2 1 1
Dále funkci zderivujeme a z derivace určíme směrnici
2 1 " 4 2 " 2 " 4 " 6 1" 1" 1"
+ 2
2
+ 2
2" 6 2 2 2 1 1 1 1 1 + 2
2 2 18
+ ′
6
|
The normal is then analytically expressed:
1 +
Example 5 Write the equations of a tangent and the normal of the graph of the function
> b 6
at the
point T Z2; [ .
Solution: First of all, we will calculate the coordinates y0 the point of contact T by installing to the regulation of a function
" 4 1
2" 4 4 4 8 2 1 1 Then, we derive the function and from the derivation we determine a direction 2 1 " 4 2 " 2 " 4 " 6 1" 1" 1" ′
+ 2 ′ 2 + ′ 2
2" 6 2 2 2 1 1
1 1 1 + 2
2 2 19
Směrnicové vyjádření tečny t pak bude: t: 8 2 2
Směrnicové vyjádření normály n: 6
n: 8 2 "
Obě vyjádření přímek můžeme ještě přepsat do obecného tvaru rovnice přímky: t: 2 12 0 n: 2 14 0
Cvičení Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v jejím bodě Z , [: a) Y , 1 b) b , 2 6
c) cos , L ? Y6
d) " Y , 0 e)
"6 6
6
, "
d
f) > , 2
Literatura: doc. RNDr. Jiří Jarník, prof., RNDr. Břetislav Novák, DrSc.:Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet 20
The directive expression of the tangent t then is: t: 8 2 2
The directive expression of the normal n: 6
n: 8 2 "
Both expression of the lines we can write into the general shape of the equation of a line then. t: 2 12 0 n: 2 14 0
Exercise Write the equotion of the tangent and the normal of the graph of the function at its point Z , [: a) Y , 1 b) b , 2 6
c) cos , L ? Y6
d) " Y , 0 e)
"6 6
6
, "
d
f) > , 2
Literatura: doc. RNDr. Jiří Jarník, prof., RNDr. Břetislav Novák, DrSc.: Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet
21
