Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Derivace funkce Přednáška MATEMATIKA č. 9-11
Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:
[email protected]
Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné – Derivace funkce
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady Příklad 1 Směrnice kt tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y
t
B
f (x) f (a)
0
s2
s1 s
A
a
x
x
kt = lim ks x→a
f (x) − f (a) = tg ϕ x→a x −a
kt = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady Příklad 1 Směrnice kt tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y
t
B
f (x) f (a)
0
s2
s1 s
A
a
x
x
kt = lim ks x→a
f (x) − f (a) = tg ϕ x→a x −a
kt = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady Příklad 1 Směrnice kt tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y
t
y s2
B
f (x)
t
s1 s
B
f (x) ϕ
f (a)
0
A
f (a)
a
x
x
kt = lim ks
A
f (x) − f (a) α x−a
a
0
ks = tg α =
x→a
f (x) − f (a) = tg ϕ x→a x −a
kt = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
s
x
f (x) − f (a) x −a
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady Příklad 1 Směrnice kt tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y
t
y s2
B
f (x)
t
s1 s
B
f (x) ϕ
f (a)
0
A
f (a)
a
x
x
kt = lim ks
A
f (x) − f (a) α x−a
a
0
ks = tg α =
x→a
f (x) − f (a) = tg ϕ x→a x −a
kt = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
s
x
f (x) − f (a) x −a
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady Příklad 1 Směrnice kt tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y
t
y s2
B
f (x)
t
s1 s
B
f (x) ϕ
f (a)
0
A
f (a)
a
x
x
kt = lim ks
A
f (x) − f (a) α x−a
a
0
ks = tg α =
x→a
f (x) − f (a) = tg ϕ x→a x −a
kt = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
s
x
f (x) − f (a) x −a
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady
Příklad 2 Průměrná rychlost bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) za časový úsek t − t0 je rovna f (t) − f (t0 ) ∆f (t0 ) s − s0 = = . t − t0 t − t0 ∆t Okamžitá rychlost v0 bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) v okamžiku t0 je rovna v0 = lim
t→t0
Jiří Neubauer
f (t) − f (t0 ) . t − t0
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Motivační příklady
Příklad 2 Průměrná rychlost bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) za časový úsek t − t0 je rovna f (t) − f (t0 ) ∆f (t0 ) s − s0 = = . t − t0 t − t0 ∆t Okamžitá rychlost v0 bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) v okamžiku t0 je rovna v0 = lim
t→t0
Jiří Neubauer
f (t) − f (t0 ) . t − t0
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce v bodě Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita lim
x→a
f (x) − f (a) , x −a
(1)
nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f 0 (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1
Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná.
2
Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce v bodě Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita lim
x→a
f (x) − f (a) , x −a
(1)
nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f 0 (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1
Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná.
2
Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce v bodě Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita lim
x→a
f (x) − f (a) , x −a
(1)
nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f 0 (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1
Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná.
2
Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce v bodě Poznámky 1
Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní.
2
Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x − a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x → a, právě když h → 0. Pak platí f 0 (a) = lim
h→0
3
f (a + h) − f (a) . h
Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v0 = f˙ (t0 ).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
(2)
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce v bodě Poznámky 1
Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní.
2
Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x − a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x → a, právě když h → 0. Pak platí f 0 (a) = lim
h→0
3
f (a + h) − f (a) . h
Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v0 = f˙ (t0 ).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
(2)
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce v bodě Poznámky 1
Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní.
2
Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x − a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x → a, právě když h → 0. Pak platí f 0 (a) = lim
h→0
3
f (a + h) − f (a) . h
Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v0 = f˙ (t0 ).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
(2)
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Definice Nechť D1 ⊆ D(f ) je množina všech bodů, v nichž má funkce f : y = f (x) derivaci. Pak zobrazení, které ke každému bodu a ∈ D1 přiřazuje číslo f 0 (a), je funkcí s definičním oborem D1 . Tato funkce se nazývá (první) derivací funkce f a značí se f 0 .
Poznámka f 0 (a) je reálné číslo f 0 (x) pro x ∈ D1 je funkcí na D1
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Definice Nechť D1 ⊆ D(f ) je množina všech bodů, v nichž má funkce f : y = f (x) derivaci. Pak zobrazení, které ke každému bodu a ∈ D1 přiřazuje číslo f 0 (a), je funkcí s definičním oborem D1 . Tato funkce se nazývá (první) derivací funkce f a značí se f 0 .
Poznámka f 0 (a) je reálné číslo f 0 (x) pro x ∈ D1 je funkcí na D1
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Příklad ∀x ∈ R ⇒ (c)0 = 0, kde c je reálná konstanta: Užitím vztahu (1) dostaneme (c)0 = lim
x→a
c −c 0 = lim = lim 0 = 0. x − a x→a x − a x→a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Příklad ∀x ∈ R ⇒ (c)0 = 0, kde c je reálná konstanta: Užitím vztahu (1) dostaneme (c)0 = lim
x→a
c −c 0 = lim = lim 0 = 0. x − a x→a x − a x→a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Příklad ∀x ∈ R ⇒ (x 2 )0 = 2x : Užitím vztahu (1) dostaneme x 2 − a2 f (x) − f (a) = lim = x→a x→a x − a x −a
f 0 (a) = lim
= lim
x→a
(x − a)(x + a) = lim (x + a) = 2a. x→a x −a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Příklad ∀x ∈ R ⇒ (x 2 )0 = 2x : Užitím vztahu (1) dostaneme x 2 − a2 f (x) − f (a) = lim = x→a x→a x − a x −a
f 0 (a) = lim
= lim
x→a
(x − a)(x + a) = lim (x + a) = 2a. x→a x −a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Příklad ∀x ∈ R ⇒ (x 3 )0 = 3x 2 : Užitím vztahu (2) dostaneme (a + h)3 − a3 a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 − a3 = lim = h→0 h→0 h h
f 0 (a) = lim
= lim (3a2 + 3ah + h2 ) = 3a2 . h→0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu
Příklad ∀x ∈ R ⇒ (x 3 )0 = 3x 2 : Užitím vztahu (2) dostaneme (a + h)3 − a3 a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 − a3 = lim = h→0 h→0 h h
f 0 (a) = lim
= lim (3a2 + 3ah + h2 ) = 3a2 . h→0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu Příklad ∀x ∈ R ⇒ (sin x)0 = cos x : Užitím vztahu (1) dostaneme x+a sin x−a sin x − sin a 2 cos 2 = lim = x−a x→a x→a x −a 2
f 0 (a) = lim
= lim
x→a
sin x−a 2 x−a 2
lim cos
x→a
Jiří Neubauer
x +a = 1 cos a = cos a. 2
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Derivace funkce na intervalu Příklad ∀x ∈ R ⇒ (sin x)0 = cos x : Užitím vztahu (1) dostaneme x+a sin x−a sin x − sin a 2 cos 2 = lim = x−a x→a x→a x −a 2
f 0 (a) = lim
= lim
x→a
sin x−a 2 x−a 2
lim cos
x→a
Jiří Neubauer
x +a = 1 cos a = cos a. 2
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici kt = f 0 (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f 0 (a) 6= 0 směrnici kn a platí 1 kt kn = −1 ⇒ kn = − 0 f (a) f 0 (a) 6= 0 tečna : y − f (a) = f 0 (a)(x − a) normála: y − f (a) = − f 01(a) (x − a) f 0 (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici kt = f 0 (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f 0 (a) 6= 0 směrnici kn a platí 1 kt kn = −1 ⇒ kn = − 0 f (a) f 0 (a) 6= 0 tečna : y − f (a) = f 0 (a)(x − a) normála: y − f (a) = − f 01(a) (x − a) f 0 (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici kt = f 0 (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f 0 (a) 6= 0 směrnici kn a platí 1 kt kn = −1 ⇒ kn = − 0 f (a) f 0 (a) 6= 0 tečna : y − f (a) = f 0 (a)(x − a) normála: y − f (a) = − f 01(a) (x − a) f 0 (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Grafické znázornění tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A y
f
t
A
f (a)
n 0
a
x
f 0 (a) 6= 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Grafické znázornění tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A y
f
y
t
n
f
f (a) A
f (a)
A n
0
a
0
a
x
f 0 (a) = 0
f 0 (a) 6= 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
t x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 2x ⇒ f 0 (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y − 1 = 2(x − 1) y − 1 = − 12 (x − 1)
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 2x ⇒ f 0 (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y − 1 = 2(x − 1) y − 1 = − 12 (x − 1)
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 2x ⇒ f 0 (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y − 1 = 2(x − 1) y − 1 = − 12 (x − 1)
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 2x ⇒ f 0 (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y − 1 = 2(x − 1) y − 1 = − 12 (x − 1)
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 − 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 3x 2 − 6x + 3 ⇒ f 0 (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y =1 x =1
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 − 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 3x 2 − 6x + 3 ⇒ f 0 (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y =1 x =1
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 − 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 3x 2 − 6x + 3 ⇒ f 0 (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y =1 x =1
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce
Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 − 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 ⇒ f (a) = 1 ∧ A = [1, 1] f 0 (x) = 3x 2 − 6x + 3 ⇒ f 0 (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: rovnice normály n v bodě A:
Jiří Neubauer
y =1 x =1
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Jednostranné derivace Definice Derivaci zprava funkce f v bodě a značíme f+0 (a) a definujeme vztahem f+0 (a) = lim+ x→a
f (x) − f (a) , x −a
derivaci zleva funkce f v bodě a značíme f−0 (a) a definujeme vztahem f−0 (a) = lim− x→a
f (x) − f (a) . x −a
Věta Derivace f 0 (a) existuje, právě když existují derivace f+0 (a) a f−0 (a) a platí f+0 (a) = f−0 (a) = f 0 (a). Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Jednostranné derivace Definice Derivaci zprava funkce f v bodě a značíme f+0 (a) a definujeme vztahem f+0 (a) = lim+ x→a
f (x) − f (a) , x −a
derivaci zleva funkce f v bodě a značíme f−0 (a) a definujeme vztahem f−0 (a) = lim− x→a
f (x) − f (a) . x −a
Věta Derivace f 0 (a) existuje, právě když existují derivace f+0 (a) a f−0 (a) a platí f+0 (a) = f−0 (a) = f 0 (a). Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Jednostranné derivace Příklad y
( y =x f: y = 3x
pro x ≤ 0 pro x > 0 0
x
f+0 (0) = lim+
f (x) − f (0) 3x − 0 = lim+ = lim+ 3 = 3 x→0 x→0 x −0 x
f−0 (0) = lim−
f (x) − f (0) x −0 = lim− = lim− 1 = 1 x −0 x x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Jednostranné derivace Příklad y
( y =x f: y = 3x
pro x ≤ 0 pro x > 0 0
x
f+0 (0) = lim+
f (x) − f (0) 3x − 0 = lim+ = lim+ 3 = 3 x→0 x→0 x −0 x
f−0 (0) = lim−
f (x) − f (0) x −0 = lim− = lim− 1 = 1 x −0 x x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Jednostranné derivace Příklad y
( y =x f: y = 3x
pro x ≤ 0 pro x > 0 0
x
f+0 (0) = lim+
f (x) − f (0) 3x − 0 = lim+ = lim+ 3 = 3 x→0 x→0 x −0 x
f−0 (0) = lim−
f (x) − f (0) x −0 = lim− = lim− 1 = 1 x −0 x x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Jednostranné derivace Příklad y
( y =x f: y = 3x
pro x ≤ 0 pro x > 0 0
x
f+0 (0) = lim+
f (x) − f (0) 3x − 0 = lim+ = lim+ 3 = 3 x→0 x→0 x −0 x
f−0 (0) = lim−
f (x) − f (0) x −0 = lim− = lim− 1 = 1 x −0 x x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vztah spojitosti a derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí.
( y= x f : y = |x| : y = −x
y
pro x ≥ 0 pro x < 0 0
f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu): Jiří Neubauer
Derivace funkce
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vztah spojitosti a derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí.
( y= x f : y = |x| : y = −x
y
pro x ≥ 0 pro x < 0 0
f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu): Jiří Neubauer
Derivace funkce
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vztah spojitosti a derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí.
( y= x f : y = |x| : y = −x
y
pro x ≥ 0 pro x < 0 0
f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu): Jiří Neubauer
Derivace funkce
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vztah spojitosti a derivace
Výpočet pomocí definice
f+0 (0) = lim+
|x| − 0 |x| x = lim+ = lim+ = lim+ 1 = 1 x→0 x x→0 x x→0 x −0
f−0 (0) = lim−
|x| − 0 |x| −x = lim− = lim− = lim− (−1) = −1 x −0 x x x→0 x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vztah spojitosti a derivace
Výpočet pomocí definice
f+0 (0) = lim+
|x| − 0 |x| x = lim+ = lim+ = lim+ 1 = 1 x→0 x x→0 x x→0 x −0
f−0 (0) = lim−
|x| − 0 |x| −x = lim− = lim− = lim− (−1) = −1 x −0 x x x→0 x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vztah spojitosti a derivace
Výpočet pomocí definice
f+0 (0) = lim+
|x| − 0 |x| x = lim+ = lim+ = lim+ 1 = 1 x→0 x x→0 x x→0 x −0
f−0 (0) = lim−
|x| − 0 |x| −x = lim− = lim− = lim− (−1) = −1 x −0 x x x→0 x→0 x→0
x→0
x→0
f 0 (0) neexistuje
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace
Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D1 je množina všech x ∈ D, pro něž má f derivaci f 0 . Na D1 je tedy definována funkce f (1) = f 0 . Nechť D2 je množina všech x ∈ D1 , pro něž existuje derivace funkce f (1) . Pak je na D2 ⊆ D1 definována funkce f (2) = (f (1) )0 , kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f 00 . Je-li Dn ⊆ Dn−1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n−1) , pak je na Dn definována funkce f (n) = (f (n−1) )0 , kterou nazýváme n-tou derivací funkce f .
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace
Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D1 je množina všech x ∈ D, pro něž má f derivaci f 0 . Na D1 je tedy definována funkce f (1) = f 0 . Nechť D2 je množina všech x ∈ D1 , pro něž existuje derivace funkce f (1) . Pak je na D2 ⊆ D1 definována funkce f (2) = (f (1) )0 , kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f 00 . Je-li Dn ⊆ Dn−1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n−1) , pak je na Dn definována funkce f (n) = (f (n−1) )0 , kterou nazýváme n-tou derivací funkce f .
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace
Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D1 je množina všech x ∈ D, pro něž má f derivaci f 0 . Na D1 je tedy definována funkce f (1) = f 0 . Nechť D2 je množina všech x ∈ D1 , pro něž existuje derivace funkce f (1) . Pak je na D2 ⊆ D1 definována funkce f (2) = (f (1) )0 , kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f 00 . Je-li Dn ⊆ Dn−1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n−1) , pak je na Dn definována funkce f (n) = (f (n−1) )0 , kterou nazýváme n-tou derivací funkce f .
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace Poznámky 1
2
3
Kromě „n-tá derivaceÿ používáme také termínu „derivace n-tého řáduÿ. Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f 000 místo f (3) , u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4) , f (5) atd. V důsledku vztahu (1) platí vztahy f 0 (x) − f 0 (a) , x→a x −a
f 00 (a) = lim
f (n−1) (x) − f (n−1) (a) . x→a x −a
f (n) (a) = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace Poznámky 1
2
3
Kromě „n-tá derivaceÿ používáme také termínu „derivace n-tého řáduÿ. Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f 000 místo f (3) , u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4) , f (5) atd. V důsledku vztahu (1) platí vztahy f 0 (x) − f 0 (a) , x→a x −a
f 00 (a) = lim
f (n−1) (x) − f (n−1) (a) . x→a x −a
f (n) (a) = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace Poznámky 1
2
3
Kromě „n-tá derivaceÿ používáme také termínu „derivace n-tého řáduÿ. Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f 000 místo f (3) , u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4) , f (5) atd. V důsledku vztahu (1) platí vztahy f 0 (x) − f 0 (a) , x→a x −a
f 00 (a) = lim
f (n−1) (x) − f (n−1) (a) . x→a x −a
f (n) (a) = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace Poznámky 1
2
3
Kromě „n-tá derivaceÿ používáme také termínu „derivace n-tého řáduÿ. Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f 000 místo f (3) , u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4) , f (5) atd. V důsledku vztahu (1) platí vztahy f 0 (x) − f 0 (a) , x→a x −a
f 00 (a) = lim
f (n−1) (x) − f (n−1) (a) . x→a x −a
f (n) (a) = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace
Vyšší derivace Poznámky 1
2
3
Kromě „n-tá derivaceÿ používáme také termínu „derivace n-tého řáduÿ. Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f 000 místo f (3) , u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4) , f (5) atd. V důsledku vztahu (1) platí vztahy f 0 (x) − f 0 (a) , x→a x −a
f 00 (a) = lim
f (n−1) (x) − f (n−1) (a) . x→a x −a
f (n) (a) = lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v , u v a vu pro v (x) 6= 0 mají na množině M derivace a platí (u + v )0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x), (u − v )0 (x) = u 0 (x) − v 0 (x), (u v )0 (x) = u 0 (x) v (x) + u(x) v 0 (x), u 0 v
(x) =
u 0 (x) v (x) − u(x) v 0 (x) . [v (x)]2
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v , u v a vu pro v (x) 6= 0 mají na množině M derivace a platí (u + v )0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x), (u − v )0 (x) = u 0 (x) − v 0 (x), (u v )0 (x) = u 0 (x) v (x) + u(x) v 0 (x), u 0 v
(x) =
u 0 (x) v (x) − u(x) v 0 (x) . [v (x)]2
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v , u v a vu pro v (x) 6= 0 mají na množině M derivace a platí (u + v )0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x), (u − v )0 (x) = u 0 (x) − v 0 (x), (u v )0 (x) = u 0 (x) v (x) + u(x) v 0 (x), u 0 v
(x) =
u 0 (x) v (x) − u(x) v 0 (x) . [v (x)]2
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v , u v a vu pro v (x) 6= 0 mají na množině M derivace a platí (u + v )0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x), (u − v )0 (x) = u 0 (x) − v 0 (x), (u v )0 (x) = u 0 (x) v (x) + u(x) v 0 (x), u 0 v
(x) =
u 0 (x) v (x) − u(x) v 0 (x) . [v (x)]2
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v , u v a vu pro v (x) 6= 0 mají na množině M derivace a platí (u + v )0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x), (u − v )0 (x) = u 0 (x) − v 0 (x), (u v )0 (x) = u 0 (x) v (x) + u(x) v 0 (x), u 0 v
(x) =
u 0 (x) v (x) − u(x) v 0 (x) . [v (x)]2
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v )0 (x) = (c)0 v (x) + c v 0 (x) = c v 0 (x)
Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn )0 (x) = c1 f10 (x) + c2 f20 (x) + ... + cn fn0 (x) (f1 f2 ...fn )0 (x) = f10 (x) f2 (x)...fn (x) + f1 (x) f20 (x)f3 (x)...fn (x)+ +... + f1 (x) f2 (x)...fn−1 (x) fn0 (x)
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v )0 (x) = (c)0 v (x) + c v 0 (x) = c v 0 (x)
Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn )0 (x) = c1 f10 (x) + c2 f20 (x) + ... + cn fn0 (x) (f1 f2 ...fn )0 (x) = f10 (x) f2 (x)...fn (x) + f1 (x) f20 (x)f3 (x)...fn (x)+ +... + f1 (x) f2 (x)...fn−1 (x) fn0 (x)
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v )0 (x) = (c)0 v (x) + c v 0 (x) = c v 0 (x)
Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn )0 (x) = c1 f10 (x) + c2 f20 (x) + ... + cn fn0 (x) (f1 f2 ...fn )0 (x) = f10 (x) f2 (x)...fn (x) + f1 (x) f20 (x)f3 (x)...fn (x)+ +... + f1 (x) f2 (x)...fn−1 (x) fn0 (x)
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x ∈ R: (2 + x 2 )0 = (2)0 + (x 2 )0 = 0 + 2x = 2x (6x 3 )0 = (6)0 x 3 + 6 (x 3 )0 = 0 x 3 + 6 · 3x 2 = 18x 2 (x 2 sin x)0 = (x 2 )0 sin x + x 2 (sin x)0 = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 6= 0:
x2 sin x
0 =
(x 2 )0 sin x − x 2 (sin x)0 2x sin x − x 2 cos x = 2 sin x sin2 x Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x ∈ R: (2 + x 2 )0 = (2)0 + (x 2 )0 = 0 + 2x = 2x (6x 3 )0 = (6)0 x 3 + 6 (x 3 )0 = 0 x 3 + 6 · 3x 2 = 18x 2 (x 2 sin x)0 = (x 2 )0 sin x + x 2 (sin x)0 = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 6= 0:
x2 sin x
0 =
(x 2 )0 sin x − x 2 (sin x)0 2x sin x − x 2 cos x = 2 sin x sin2 x Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x ∈ R: (2 + x 2 )0 = (2)0 + (x 2 )0 = 0 + 2x = 2x (6x 3 )0 = (6)0 x 3 + 6 (x 3 )0 = 0 x 3 + 6 · 3x 2 = 18x 2 (x 2 sin x)0 = (x 2 )0 sin x + x 2 (sin x)0 = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 6= 0:
x2 sin x
0 =
(x 2 )0 sin x − x 2 (sin x)0 2x sin x − x 2 cos x = 2 sin x sin2 x Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x ∈ R: (2 + x 2 )0 = (2)0 + (x 2 )0 = 0 + 2x = 2x (6x 3 )0 = (6)0 x 3 + 6 (x 3 )0 = 0 x 3 + 6 · 3x 2 = 18x 2 (x 2 sin x)0 = (x 2 )0 sin x + x 2 (sin x)0 = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 6= 0:
x2 sin x
0 =
(x 2 )0 sin x − x 2 (sin x)0 2x sin x − x 2 cos x = 2 sin x sin2 x Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x ∈ R: (2 + x 2 )0 = (2)0 + (x 2 )0 = 0 + 2x = 2x (6x 3 )0 = (6)0 x 3 + 6 (x 3 )0 = 0 x 3 + 6 · 3x 2 = 18x 2 (x 2 sin x)0 = (x 2 )0 sin x + x 2 (sin x)0 = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 6= 0:
x2 sin x
0 =
(x 2 )0 sin x − x 2 (sin x)0 2x sin x − x 2 cos x = 2 sin x sin2 x Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci složené funkce Nechť F = g ◦ f , tj F : y = F (x) = g [f (x)], je funkce definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Jestliže funkce f má v bodě a derivaci f 0 (a) a funkce g má v bodě α = f (a) derivaci g 0 (α), pak složená funkce F = g ◦ f má v bodě a derivaci F 0 (a) a platí F 0 (a) = (g ◦ f )0 (a) = g 0 [f (a)] f 0 (a).
Poznámka Složená funkce F = g ◦ f má v obecném bodě x derivaci F 0 (x) = (g ◦ f )(x) = g 0 (u) f 0 (x), kde u = f (x). Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci složené funkce Nechť F = g ◦ f , tj F : y = F (x) = g [f (x)], je funkce definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Jestliže funkce f má v bodě a derivaci f 0 (a) a funkce g má v bodě α = f (a) derivaci g 0 (α), pak složená funkce F = g ◦ f má v bodě a derivaci F 0 (a) a platí F 0 (a) = (g ◦ f )0 (a) = g 0 [f (a)] f 0 (a).
Poznámka Složená funkce F = g ◦ f má v obecném bodě x derivaci F 0 (x) = (g ◦ f )(x) = g 0 (u) f 0 (x), kde u = f (x). Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin3 x: u = sin x, y = u 3 (u 3 )0 = 3u 2 , (sin x)0 = cos x y 0 = 3u 2 cos x = 3 sin2 x cos x pro každé x ∈ R y = sin(x 2 + 1): u = x 2 + 1, y = sin u (sin u)0 = cos u a (x 2 + 1)0 = 2x y 0 = (cos u) 2x = 2x cos(x 2 + 1) pro každé x ∈ R Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin3 x: u = sin x, y = u 3 (u 3 )0 = 3u 2 , (sin x)0 = cos x y 0 = 3u 2 cos x = 3 sin2 x cos x pro každé x ∈ R y = sin(x 2 + 1): u = x 2 + 1, y = sin u (sin u)0 = cos u a (x 2 + 1)0 = 2x y 0 = (cos u) 2x = 2x cos(x 2 + 1) pro každé x ∈ R Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Poznámka u = f (x), v = g (u), y = h(v ) F = h ◦ g ◦ f : y = h{g [f (x)]} V obecném bodě x platí F 0 (x) = (h ◦ g ◦ f )0 (x) = h0 (v ) g 0 (u) f 0 (x), kde u = f (x) a v = g (u).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Poznámka u = f (x), v = g (u), y = h(v ) F = h ◦ g ◦ f : y = h{g [f (x)]} V obecném bodě x platí F 0 (x) = (h ◦ g ◦ f )0 (x) = h0 (v ) g 0 (u) f 0 (x), kde u = f (x) a v = g (u).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Příklad f : y = sin3 (x 2 + 5) : u = x 2 + 5, v = sin u, y = v 3 y 0 = 3 v 2 , v 0 = cos u, u 0 = 2x y 0 = 3v 2 (cos u) 2x = 6x sin2 u cos u = 6x sin2 (x 2 + 5) cos(x 2 + 5) pro každé x ∈ R
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Věta o derivaci inverzní funkce Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci f 0 (a) 6= 0, pak inverzní funkce f −1 : x = f −1 (y ) má v bodě α = f (a) derivaci (f −1 )0 (α) =
Jiří Neubauer
1 f
0 (a)
.
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Obecná pravidla pro derivování funkcí
Příklad f : y = arcsin x, x ∈ h−1, 1i f −1 : x = sin y , y ∈ h− π2 , π2 i , y 0 = (arcsin x)0 =
(sin y )0 = cos y
1 1 1 1 = =p =√ 2 (sin y )0 cos y 1 − x2 1 − sin y
pro každé x ∈ (−1, 1)
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Věta Pro každé x ∈ R platí (c)0 = 0, kde c ∈ R, (x n )0 = n x n−1 , kde n ∈ N. Poznámka n ∈ Z, n < 0 ⇒ −n = k ∈ N : 0 k x k−1 1 n 0 −k 0 = − = −k x −k−1 = n x n−1 pro x 6= 0 (x ) = (x ) = xk x 2k
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Věta Pro každé x ∈ R platí (c)0 = 0, kde c ∈ R, (x n )0 = n x n−1 , kde n ∈ N. Poznámka n ∈ Z, n < 0 ⇒ −n = k ∈ N : 0 k x k−1 1 n 0 −k 0 = − = −k x −k−1 = n x n−1 pro x 6= 0 (x ) = (x ) = xk x 2k
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Věta Pro každé x ∈ R platí (c)0 = 0, kde c ∈ R, (x n )0 = n x n−1 , kde n ∈ N. Poznámka n ∈ Z, n < 0 ⇒ −n = k ∈ N : 0 k x k−1 1 n 0 −k 0 = − = −k x −k−1 = n x n−1 pro x 6= 0 (x ) = (x ) = xk x 2k
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Věta Pro každé x ∈ R platí (c)0 = 0, kde c ∈ R, (x n )0 = n x n−1 , kde n ∈ N. Poznámka n ∈ Z, n < 0 ⇒ −n = k ∈ N : 0 k x k−1 1 n 0 −k 0 = − = −k x −k−1 = n x n−1 pro x 6= 0 (x ) = (x ) = xk x 2k
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = x 6 + 3x 4 − 6x 2 + 5x y 0 = 6x 5 + 3 · 4x 3 − 6 · 2x + 5 = 6x 5 + 12x 3 − 12x + 5 pro všechna x ∈ R y=
1 5 − 2 3 x x y 0 = (x −3 − 5x −2 )0 = −3x −4 − 5 (−2)x −3 = −
pro všechna x ∈ R, x 6= 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
10 3 + 3 x4 x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = x 6 + 3x 4 − 6x 2 + 5x y 0 = 6x 5 + 3 · 4x 3 − 6 · 2x + 5 = 6x 5 + 12x 3 − 12x + 5 pro všechna x ∈ R y=
1 5 − 2 3 x x y 0 = (x −3 − 5x −2 )0 = −3x −4 − 5 (−2)x −3 = −
pro všechna x ∈ R, x 6= 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
10 3 + 3 x4 x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = (x 3 + 6x)7 : u = x 3 + 6x, y = u 7 y 0 = (u 7 )0 (x 3 + 6x)0 = 7u 6 (3x 2 + 6) = 7(x 3 + 6x)6 (3x 2 + 6) pro všechna x ∈ R y=
1 x4 + 1 y0 =
(1)0 (x 4 + 1) − 1 · (x 4 + 1)0 −4x 3 = (x 4 + 1)2 (x 4 + 1)2
pro všechna x ∈ R
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = (x 3 + 6x)7 : u = x 3 + 6x, y = u 7 y 0 = (u 7 )0 (x 3 + 6x)0 = 7u 6 (3x 2 + 6) = 7(x 3 + 6x)6 (3x 2 + 6) pro všechna x ∈ R y=
1 x4 + 1 y0 =
(1)0 (x 4 + 1) − 1 · (x 4 + 1)0 −4x 3 = (x 4 + 1)2 (x 4 + 1)2
pro všechna x ∈ R
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, x 6= (2k + 1)
π , k ∈ Z, 2
pro každé x ∈ R, x 6= k π, k ∈ Z.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, x 6= (2k + 1)
π , k ∈ Z, 2
pro každé x ∈ R, x 6= k π, k ∈ Z.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, x 6= (2k + 1)
π , k ∈ Z, 2
pro každé x ∈ R, x 6= k π, k ∈ Z.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, x 6= (2k + 1)
π , k ∈ Z, 2
pro každé x ∈ R, x 6= k π, k ∈ Z.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 (tg x)0 = cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, x 6= (2k + 1)
π , k ∈ Z, 2
pro každé x ∈ R, x 6= k π, k ∈ Z.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = sin x cos x y 0 = (sin x)0 cos x + sin x(cos x)0 = cos2 x − sin2 x = cos 2x pro všechna x ∈ R y=
sin x 1 − cos x (sin x)0 (1 − cos x) − sin x(1 − cos x)0 = (1 − cos x)2 cos x (1 − cos x) − sin x sin x 1 = = (1 − cos x)2 cos x − 1
y0 =
pro každé x ∈ R, pro něž je cos x 6= 1 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = sin x cos x y 0 = (sin x)0 cos x + sin x(cos x)0 = cos2 x − sin2 x = cos 2x pro všechna x ∈ R y=
sin x 1 − cos x (sin x)0 (1 − cos x) − sin x(1 − cos x)0 = (1 − cos x)2 cos x (1 − cos x) − sin x sin x 1 = = (1 − cos x)2 cos x − 1
y0 =
pro každé x ∈ R, pro něž je cos x 6= 1 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = 5 cos2 x : u = cos x, y = 5u 2 y 0 = (5u 2 )0 (cos x)0 = 10u (− sin x) = −10 cos x sin x. pro všechna x ∈ R y = tg(2x − π2 ) : u = 2x − π2 , y = tg u π 0 1 2 y 0 = (tg u)0 2x − = 2= 2 2 cos2 u cos 2x − π2 pro všechna x, pro něž je cos 2x − π2 6= 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = 5 cos2 x : u = cos x, y = 5u 2 y 0 = (5u 2 )0 (cos x)0 = 10u (− sin x) = −10 cos x sin x. pro všechna x ∈ R y = tg(2x − π2 ) : u = 2x − π2 , y = tg u π 0 1 2 y 0 = (tg u)0 2x − = 2= 2 2 cos2 u cos 2x − π2 pro všechna x, pro něž je cos 2x − π2 6= 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí 1 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 (arcsin x)0 = √
Jiří Neubauer
pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R.
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí 1 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 (arcsin x)0 = √
Jiří Neubauer
pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R.
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí 1 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 (arcsin x)0 = √
Jiří Neubauer
pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R.
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí 1 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 (arcsin x)0 = √
Jiří Neubauer
pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R.
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí 1 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 (arcsin x)0 = √
Jiří Neubauer
pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ (−1, 1), pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R.
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = arccos2 x: u = arccos x, y = u 2 y 0 = (u 2 )0 (arccos x)0 = 2u √
−1 2 arccos x =−√ 2 1−x 1 − x2
pro všechna x ∈ (−1, 1) y = arctg(x 3 − 1): u = x 3 − 1, y = arctg u 1 3x 2 = 1 + u2 3x 2 3x 2 = = 1 + (x 3 − 1)2 x 6 − 2x 3 + 2
y 0 = (arctg u)0 (x 3 − 1)0 =
pro všechna x ∈ R Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = arccos2 x: u = arccos x, y = u 2 y 0 = (u 2 )0 (arccos x)0 = 2u √
−1 2 arccos x =−√ 2 1−x 1 − x2
pro všechna x ∈ (−1, 1) y = arctg(x 3 − 1): u = x 3 − 1, y = arctg u 1 3x 2 = 1 + u2 3x 2 3x 2 = = 1 + (x 3 − 1)2 x 6 − 2x 3 + 2
y 0 = (arctg u)0 (x 3 − 1)0 =
pro všechna x ∈ R Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a 1 (ln x)0 = x 1 (loga x)0 = x ln a (x s )0 = s x s−1
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , s ∈ R.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a 1 (ln x)0 = x 1 (loga x)0 = x ln a (x s )0 = s x s−1
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , s ∈ R.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a 1 (ln x)0 = x 1 (loga x)0 = x ln a (x s )0 = s x s−1
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , s ∈ R.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a 1 (ln x)0 = x 1 (loga x)0 = x ln a (x s )0 = s x s−1
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , s ∈ R.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a 1 (ln x)0 = x 1 (loga x)0 = x ln a (x s )0 = s x s−1
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , s ∈ R.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a 1 (ln x)0 = x 1 (loga x)0 = x ln a (x s )0 = s x s−1
pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R, pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , pro každé x ∈ R+ , s ∈ R.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = e 3x−9 : u = 3x − 9, y = e u y 0 = (e u )0 (3x − 9)0 = e u 3 = 3 e 3x−9 pro všechna x ∈ R y=
√
e x − 1: u = e x − 1, y =
√
1
u = u2
1 0 1 1 ex ex 0 y 0 = u 2 (e x − 1) = u − 2 e x = √ = √ x 2 2 u 2 e −1 pro každé x ∈ R, pro něž je e x − 1 > 0 neboli x > 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = e 3x−9 : u = 3x − 9, y = e u y 0 = (e u )0 (3x − 9)0 = e u 3 = 3 e 3x−9 pro všechna x ∈ R y=
√
e x − 1: u = e x − 1, y =
√
1
u = u2
1 0 1 1 ex ex 0 y 0 = u 2 (e x − 1) = u − 2 e x = √ = √ x 2 2 u 2 e −1 pro každé x ∈ R, pro něž je e x − 1 > 0 neboli x > 0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = ln3 x: u = ln x, y = u 3 y 0 = (u 3 )0 (ln x)0 = 3u 2
1 3 ln2 x = x x
pro každé x ∈ R+ x −2 x −2 : u= , y = ln u x +2 x +2 0 x −2 1 (x − 2)0 (x + 2) − (x − 2)(x + 2)0 y 0 = (ln u)0 = = x +2 u (x + 2)2 y = ln
=
1 x +2−x +2 x +2 4 4 4 = = = 2 u (x + 2)2 x − 2 (x + 2)2 (x − 2)(x + 2) x −4
pro každé x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞) Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Příklady y = ln3 x: u = ln x, y = u 3 y 0 = (u 3 )0 (ln x)0 = 3u 2
1 3 ln2 x = x x
pro každé x ∈ R+ x −2 x −2 : u= , y = ln u x +2 x +2 0 x −2 1 (x − 2)0 (x + 2) − (x − 2)(x + 2)0 y 0 = (ln u)0 = = x +2 u (x + 2)2 y = ln
=
1 x +2−x +2 x +2 4 4 4 = = = 2 u (x + 2)2 x − 2 (x + 2)2 (x − 2)(x + 2) x −4
pro každé x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞) Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí
Příklady √ 1 y =5 x−√ 3 x2 1 2
0
y = (5x − x
=
2 2 1 1 −1 2 x − 3 −1 = ) =5 x − − 2 3
− 23 0
5 −1 2 5 5 1 2 1 x 2 + x− 3 = √ + √ 2 3 2 x 3 3 x5
pro každé x ∈ R+
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Obecná pravidla pro derivování funkcí Derivace elementárních funkcí
Derivace elementárních funkcí Přehled vzorců pro derivování (c)0 = 0
(x n )0 = nx n−1 1 (arcsin x)0 = √ 1 − x2 1 (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − 1 + x2 1 (ln x)0 = x 1 0 (loga x) = x ln a
(sin x)0 = cos x (cos x)0 = − sin x 1 cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x (tg x)0 =
(e x )0 = e x (ax )0 = ax ln a
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Definice Nechť funkce f : y = f (x) je spojitá v okolí U(a, δ) bodu a a nechť existuje f 0 (a). Pak diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz df (a) = f 0 (a) h, kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ). Poznámka Jestliže místo pevného bodu a uvažujeme obecný bod x z intervalu I , v němž existuje f 0 , pak diferenciál funkce f v bodě x pro přírůstek h je funkcí dvou proměnných x ∈ I a h ∈ R. Zapisujeme ho ve tvaru df (x) = f 0 (x) h. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Definice Nechť funkce f : y = f (x) je spojitá v okolí U(a, δ) bodu a a nechť existuje f 0 (a). Pak diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz df (a) = f 0 (a) h, kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ). Poznámka Jestliže místo pevného bodu a uvažujeme obecný bod x z intervalu I , v němž existuje f 0 , pak diferenciál funkce f v bodě x pro přírůstek h je funkcí dvou proměnných x ∈ I a h ∈ R. Zapisujeme ho ve tvaru df (x) = f 0 (x) h. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce
Příklady f : y = 2x 2 − 2, a = 3, h = 0,01: y 0 = 4x, y 0 (3) = 12 df (3) = f 0 (3)h = 12 · 0,01 = 0,12 f : y = x sin x, y 0 = sin x + x cos x df (x) = (sin x + x cos x) h, pro x, h ∈ R
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce
Příklady f : y = 2x 2 − 2, a = 3, h = 0,01: y 0 = 4x, y 0 (3) = 12 df (3) = f 0 (3)h = 12 · 0,01 = 0,12 f : y = x sin x, y 0 = sin x + x cos x df (x) = (sin x + x cos x) h, pro x, h ∈ R
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f 0 (x) = 1 a df (x) = dx = 1 · h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f 0 (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f 0 (x) =
df (x) dy nebo stručně y 0 = . dx dx
Derivace f 0 (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f 0 (x) = 1 a df (x) = dx = 1 · h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f 0 (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f 0 (x) =
df (x) dy nebo stručně y 0 = . dx dx
Derivace f 0 (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f 0 (x) = 1 a df (x) = dx = 1 · h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f 0 (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f 0 (x) =
df (x) dy nebo stručně y 0 = . dx dx
Derivace f 0 (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f 0 (x) = 1 a df (x) = dx = 1 · h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f 0 (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f 0 (x) =
df (x) dy nebo stručně y 0 = . dx dx
Derivace f 0 (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f 0 (a)(x − a), kde x − a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y − f (a) = f 0 (a)(x − a). Odtud df (a) = y − f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y -ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f 0 (a)(x − a), kde x − a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y − f (a) = f 0 (a)(x − a). Odtud df (a) = y − f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y -ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f 0 (a)(x − a), kde x − a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y − f (a) = f 0 (a)(x − a). Odtud df (a) = y − f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y -ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f 0 (a)(x − a), kde x − a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y − f (a) = f 0 (a)(x − a). Odtud df (a) = y − f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y -ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu funkce
Geometrický význam diferenciálu y f t f (x) ∆f (a) df (a)
A
f (a)
h a
0
Jiří Neubauer
x
Derivace funkce
x
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce
Přibližné vyjádření funkce pomocí diferenciálu Pro dostatečně malá h platí ∆f (a) ≈ df (a). Přibližný výpočet funkčních hodnot provádíme pomocí rovnice f (x) = f (a + h) = f (a) + ∆f (a) ≈ f (a) + df (a), odkud f (a + h) ≈ f (a) + df (a).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce
Přibližné vyjádření funkce pomocí diferenciálu Pro dostatečně malá h platí ∆f (a) ≈ df (a). Přibližný výpočet funkčních hodnot provádíme pomocí rovnice f (x) = f (a + h) = f (a) + ∆f (a) ≈ f (a) + df (a), odkud f (a + h) ≈ f (a) + df (a).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? A = f (a + h) ≈ f (a) + df (a) f (x) = arctg x, a = 1, h = −0,01 f (a) = arctg 1 =
π 4
1 1 , f 0 (a) = 1 + x2 2 1 df (a) = f 0 (a) h = (−0,01) = −0,005 2 f 0 (x) =
A≈
π − 0,005 ≈ 0,785398 − 0,005 = 0,780398 4 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? A = f (a + h) ≈ f (a) + df (a) f (x) = arctg x, a = 1, h = −0,01 f (a) = arctg 1 =
π 4
1 1 , f 0 (a) = 1 + x2 2 1 df (a) = f 0 (a) h = (−0,01) = −0,005 2 f 0 (x) =
A≈
π − 0,005 ≈ 0,785398 − 0,005 = 0,780398 4 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? A = f (a + h) ≈ f (a) + df (a) f (x) = arctg x, a = 1, h = −0,01 f (a) = arctg 1 =
π 4
1 1 , f 0 (a) = 1 + x2 2 1 df (a) = f 0 (a) h = (−0,01) = −0,005 2 f 0 (x) =
A≈
π − 0,005 ≈ 0,785398 − 0,005 = 0,780398 4 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? A = f (a + h) ≈ f (a) + df (a) f (x) = arctg x, a = 1, h = −0,01 f (a) = arctg 1 =
π 4
1 1 , f 0 (a) = 1 + x2 2 1 df (a) = f 0 (a) h = (−0,01) = −0,005 2 f 0 (x) =
A≈
π − 0,005 ≈ 0,785398 − 0,005 = 0,780398 4 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? A = f (a + h) ≈ f (a) + df (a) f (x) = arctg x, a = 1, h = −0,01 f (a) = arctg 1 =
π 4
1 1 , f 0 (a) = 1 + x2 2 1 df (a) = f 0 (a) h = (−0,01) = −0,005 2 f 0 (x) =
A≈
π − 0,005 ≈ 0,785398 − 0,005 = 0,780398 4 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? A = f (a + h) ≈ f (a) + df (a) f (x) = arctg x, a = 1, h = −0,01 f (a) = arctg 1 =
π 4
1 1 , f 0 (a) = 1 + x2 2 1 df (a) = f 0 (a) h = (−0,01) = −0,005 2 f 0 (x) =
A≈
π − 0,005 ≈ 0,785398 − 0,005 = 0,780398 4 Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce
Řetězové pravidlo F : y = g [f (x)]: u = f (x), y = g (u) F 0 (x) = g 0 (u) f 0 (x),
F 0 (x) =
dy , dx
g 0 (u) =
kde u = f (x) dy , du
f 0 (x) =
dy dy du = dx du dx
Jiří Neubauer
Derivace funkce
du dx
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce
Řetězové pravidlo F : y = g [f (x)]: u = f (x), y = g (u) F 0 (x) = g 0 (u) f 0 (x),
F 0 (x) =
dy , dx
g 0 (u) =
kde u = f (x) dy , du
f 0 (x) =
dy dy du = dx du dx
Jiří Neubauer
Derivace funkce
du dx
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce
Řetězové pravidlo F : y = g [f (x)]: u = f (x), y = g (u) F 0 (x) = g 0 (u) f 0 (x),
F 0 (x) =
dy , dx
g 0 (u) =
kde u = f (x) dy , du
f 0 (x) =
dy dy du = dx du dx
Jiří Neubauer
Derivace funkce
du dx
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce
Řetězové pravidlo F : y = g [f (x)]: u = f (x), y = g (u) F 0 (x) = g 0 (u) f 0 (x),
F 0 (x) =
dy , dx
g 0 (u) =
kde u = f (x) dy , du
f 0 (x) =
dy dy du = dx du dx
Jiří Neubauer
Derivace funkce
du dx
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklady y = arcsin(x 2 − 1): f : u = x 2 − 1, g : y = arcsin u dy dy du 1 2x 2 = =√ 2x = √ = ±√ dx du dx 1 − u2 2x 2 − x 4 2 − x2 √ √ pro x ∈ (− 2, 2), x 6= 0 y = ln3 (2x − 1): f : u = 2x − 1, g : v = ln u, h : y = v 3 dy dy dv du 1 6(ln u)2 6 ln2 (2x − 1) = = 3v 2 2 = = dx dv du dx u u 2x − 1 pro x ∈ ( 21 , +∞)
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Aplikace diferenciálu funkce Příklady y = arcsin(x 2 − 1): f : u = x 2 − 1, g : y = arcsin u dy dy du 1 2x 2 = =√ 2x = √ = ±√ dx du dx 1 − u2 2x 2 − x 4 2 − x2 √ √ pro x ∈ (− 2, 2), x 6= 0 y = ln3 (2x − 1): f : u = 2x − 1, g : v = ln u, h : y = v 3 dy dy dv du 1 6(ln u)2 6 ln2 (2x − 1) = = 3v 2 2 = = dx dv du dx u u 2x − 1 pro x ∈ ( 21 , +∞)
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice Nechť funkce f má v bodě a ∈ R derivaci řádu n > 1. Pak n-tým diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz d n f (a) = f (n) (a) hn , kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ).
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Poznámky 1
Má-li funkce f n-tou derivaci f (n) v obecném bodě x, pak platí dn f (x) = f (n) (x) dx n , kde dx n značí ( dx)n .
2
Pro n-tou derivaci funkce f používáme označení f (n) (x) =
dn f (x) dn y (n) nebo stručně y = . dx n dx n
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Poznámky 1
Má-li funkce f n-tou derivaci f (n) v obecném bodě x, pak platí dn f (x) = f (n) (x) dx n , kde dx n značí ( dx)n .
2
Pro n-tou derivaci funkce f používáme označení f (n) (x) =
dn f (x) dn y (n) nebo stručně y = . dx n dx n
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Definice diferenciálu n-tého řádu funkce
Příklad d3 f (a) =? √ f : y = x, a = 2, h = −0,1 f 0 (x) =
1 −1 x 2, 2
3 1 f 00 (x) = − x − 2 , 4
d 3 f (2) = f 000 (2) h3 =
f 000 (x) =
3 −5 3 1 x 2 = √ 8 8 x5
3 1 3 1 √ (−0,1)3 = − √ ≈ −0,000066 8 25 1000 32 2
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Věta Nechť platí lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo lim |f (x)| = lim |g (x)| = +∞.
x→a
x→a
Existuje-li limita zlomku
x→a
f 0 (x) g 0 (x) ,
x→a
pak existuje i limita zlomku
f (x) g (x)
f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a g (x) x→a g (x) lim
Poznámky 1
2
Metoda výpočtu limity uvedená v předchozí větě se nazývá l’Hospitalovo pravidlo. Věta platí i pro konvergenci x → a± , x → ±∞. Jiří Neubauer
Derivace funkce
a platí
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Věta Nechť platí lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo lim |f (x)| = lim |g (x)| = +∞.
x→a
x→a
Existuje-li limita zlomku
x→a
f 0 (x) g 0 (x) ,
x→a
pak existuje i limita zlomku
f (x) g (x)
f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a g (x) x→a g (x) lim
Poznámky 1
2
Metoda výpočtu limity uvedená v předchozí větě se nazývá l’Hospitalovo pravidlo. Věta platí i pro konvergenci x → a± , x → ±∞. Jiří Neubauer
Derivace funkce
a platí
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Věta Nechť platí lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo lim |f (x)| = lim |g (x)| = +∞.
x→a
x→a
Existuje-li limita zlomku
x→a
f 0 (x) g 0 (x) ,
x→a
pak existuje i limita zlomku
f (x) g (x)
f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a g (x) x→a g (x) lim
Poznámky 1
2
Metoda výpočtu limity uvedená v předchozí větě se nazývá l’Hospitalovo pravidlo. Věta platí i pro konvergenci x → a± , x → ±∞. Jiří Neubauer
Derivace funkce
a platí
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Příklady 0 x4 − 1 je limita typu x→1 x − 1 0 lim
x4 − 1 4x 3 = lim =4 x→1 x − 1 x→1 1 lim
lim
x→+∞
∞ ln x je limita typu x ∞ 1 ln x 1 = lim x = lim =0 x→+∞ x x→+∞ 1 x→+∞ x
lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Příklady 0 x4 − 1 je limita typu x→1 x − 1 0 lim
x4 − 1 4x 3 = lim =4 x→1 x − 1 x→1 1 lim
lim
x→+∞
∞ ln x je limita typu x ∞ 1 ln x 1 = lim x = lim =0 x→+∞ x x→+∞ 1 x→+∞ x
lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Důsledek Nechť lim f (k) (x) = lim g (k) (x) = 0 nebo lim |f (k) (x)| = lim |g (k) (x)| = +∞
x→a
x→a
x→a
x→a
pro 0 ≤ k ≤ n − 1, kde k, n ∈ N. Existuje-li vlastní nebo nevlastní limita funkce
f (n) (x) , g (n) (x)
pak existuje i limita funkce
f (x) g (x)
a platí
f (n) (x) f (x) = lim (n) . x→a g (x) x→a g (x) lim
Poznámka Věta platí i pro konvergenci x → a± , x → ±∞. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Důsledek Nechť lim f (k) (x) = lim g (k) (x) = 0 nebo lim |f (k) (x)| = lim |g (k) (x)| = +∞
x→a
x→a
x→a
x→a
pro 0 ≤ k ≤ n − 1, kde k, n ∈ N. Existuje-li vlastní nebo nevlastní limita funkce
f (n) (x) , g (n) (x)
pak existuje i limita funkce
f (x) g (x)
a platí
f (n) (x) f (x) = lim (n) . x→a g (x) x→a g (x) lim
Poznámka Věta platí i pro konvergenci x → a± , x → ±∞. Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Příklady lim
x→0+
2 − 2 cos x sin x cos x 2 sin x = lim+ = lim+ = = lim+ x→0 x→0 x→0 x2 2x x 1
= cos 0 = 1 2x 3 − 2x + 5 6x 2 − 2 12x 2 = lim = lim = lim = 3 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 5x − 1 15x 30x 5 2 5 lim
ex ex ex ex = lim = lim = lim = +∞ x→+∞ x 3 x→+∞ 3x 2 x→+∞ 6x x→+∞ 6 lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Příklady lim
x→0+
2 − 2 cos x sin x cos x 2 sin x = lim+ = lim+ = = lim+ x→0 x→0 x→0 x2 2x x 1
= cos 0 = 1 2x 3 − 2x + 5 6x 2 − 2 12x 2 = lim = lim = lim = 3 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 5x − 1 15x 30x 5 2 5 lim
ex ex ex ex = lim = lim = lim = +∞ x→+∞ x 3 x→+∞ 3x 2 x→+∞ 6x x→+∞ 6 lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
L’Hospitalovo pravidlo Příklady lim
x→0+
2 − 2 cos x sin x cos x 2 sin x = lim+ = lim+ = = lim+ x→0 x→0 x→0 x2 2x x 1
= cos 0 = 1 2x 3 − 2x + 5 6x 2 − 2 12x 2 = lim = lim = lim = 3 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 5x − 1 15x 30x 5 2 5 lim
ex ex ex ex = lim = lim = lim = +∞ x→+∞ x 3 x→+∞ 3x 2 x→+∞ 6x x→+∞ 6 lim
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Poznámka Neurčitý výraz = limita podílu, rozdílu, součinu nebo mocniny funkcí, kde limity jednotlivých funkcí existují, ale limita příslušné početní operace neexistuje. Např. je-li lim f (x) = lim g (x) = 0, pak zlomek x→a x→a nazýváme
f (x) g (x)
pro x → a
neurčitým výrazem nebo také limitou typu 00 . Limity neurčitých výrazů stanovujeme užitím l’Hospitalova pravidla. Neurčité výrazy 0 ∞ 0, ∞:
viz předchozí věty
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Poznámka Neurčitý výraz = limita podílu, rozdílu, součinu nebo mocniny funkcí, kde limity jednotlivých funkcí existují, ale limita příslušné početní operace neexistuje. Např. je-li lim f (x) = lim g (x) = 0, pak zlomek x→a x→a nazýváme
f (x) g (x)
pro x → a
neurčitým výrazem nebo také limitou typu 00 . Limity neurčitých výrazů stanovujeme užitím l’Hospitalova pravidla. Neurčité výrazy 0 ∞ 0, ∞:
viz předchozí věty
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů
Neurčité výrazy 0 · ∞:
lim[f (x) g (x)], kde lim f (x) = 0 a lim |g (x)| = +∞
f (x) g (x) =
f (x) 1 g (x)
0 0
nebo
f (x) g (x) =
g (x)
∞
1 f (x)
∞
Příklad lim+ x ln x = lim+
x→0
x→0
ln x 1 x
= lim+
Jiří Neubauer
x→0
1 x
− x12
Derivace funkce
= − lim+ x = 0 x→0
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů
Neurčité výrazy 0 · ∞:
lim[f (x) g (x)], kde lim f (x) = 0 a lim |g (x)| = +∞
f (x) g (x) =
f (x) 1 g (x)
0 0
nebo
f (x) g (x) =
g (x)
∞
1 f (x)
∞
Příklad lim+ x ln x = lim+
x→0
x→0
ln x 1 x
= lim+
Jiří Neubauer
x→0
1 x
− x12
Derivace funkce
= − lim+ x = 0 x→0
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Neurčité výrazy ∞ − ∞:
lim[f (x) − g (x)], kde lim f (x) = lim g (x) = +∞ 1 1 0 1 − f (x) − g (x) = g (x) f (x) f (x) g (x) 0
Příklad lim
x→0
= lim
1 1 − sin x x
x→0
= lim
x→0
x − sin x 1 − cos x = lim = x→0 x sin x sin x + x cos x
sin x 0 = =0 cos x + cos x − x sin x 1+1−0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Neurčité výrazy ∞ − ∞:
lim[f (x) − g (x)], kde lim f (x) = lim g (x) = +∞ 1 1 0 1 − f (x) − g (x) = g (x) f (x) f (x) g (x) 0
Příklad lim
x→0
= lim
1 1 − sin x x
x→0
= lim
x→0
x − sin x 1 − cos x = lim = x→0 x sin x sin x + x cos x
sin x 0 = =0 cos x + cos x − x sin x 1+1−0
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů
Neurčité výrazy ∞0 ,
1∞ ,
00 :
lim[f (x)] g (x) [f (x)] g (x) = e g (x) ln |f (x)|
Platí lim e g (x) ln |f (x)| = e lim g (x) ln |f (x)| a limita lim[g (x) ln |f (x)|] je vždy limita typu 0 · ∞.
Jiří Neubauer
Derivace funkce
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Příklady lim+ x x = e
lim x ln x
x→0+
=e
x→0
lim
x→0+
ln x 1 x
=e
lim
x→0+
1 x:
(− x12 )
=e
lim (−x)
x→0+
=
= e0 = 1 1
lim (1 + x) x = e
lim 1 x→0 x
ln(1+x)
x→0
lim
cotg x
lim (tg x)
x→ π2 −
=e
x→ π − 2
=e
lim
x→0
ln(1+x) x
cotg x ln tg x
=e lim
=e
x→ π − 2
= e0 = 1
Jiří Neubauer
Derivace funkce
lim 1 x→0 1+x
= e1 = e
ln tg x tg x
lim
=e
x→ π − 2
1 tg x
=
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Příklady lim+ x x = e
lim x ln x
x→0+
=e
x→0
lim
x→0+
ln x 1 x
=e
lim
x→0+
1 x:
(− x12 )
=e
lim (−x)
x→0+
=
= e0 = 1 1
lim (1 + x) x = e
lim 1 x→0 x
ln(1+x)
x→0
lim
cotg x
lim (tg x)
x→ π2 −
=e
x→ π − 2
=e
lim
x→0
ln(1+x) x
cotg x ln tg x
=e lim
=e
x→ π − 2
= e0 = 1
Jiří Neubauer
Derivace funkce
lim 1 x→0 1+x
= e1 = e
ln tg x tg x
lim
=e
x→ π − 2
1 tg x
=
Derivace funkce Pravidla pro derivování Diferenciál funkce L’Hospitalovo pravidlo
L’Hospitalovo pravidlo Limity neurčitých výrazů
Limity neurčitých výrazů Příklady lim+ x x = e
lim x ln x
x→0+
=e
x→0
lim
x→0+
ln x 1 x
=e
lim
x→0+
1 x:
(− x12 )
=e
lim (−x)
x→0+
=
= e0 = 1 1
lim (1 + x) x = e
lim 1 x→0 x
ln(1+x)
x→0
lim
cotg x
lim (tg x)
x→ π2 −
=e
x→ π − 2
=e
lim
x→0
ln(1+x) x
cotg x ln tg x
=e lim
=e
x→ π − 2
= e0 = 1
Jiří Neubauer
Derivace funkce
lim 1 x→0 1+x
= e1 = e
ln tg x tg x
lim
=e
x→ π − 2
1 tg x
=
