Matematika II Funkce více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D.
Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích
EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Euklidovský n-rozmìrný prostor
Def. Euklidovským n-rozmìrným prostorem En rozumíme mno¾inu v¹ech
uspoøádaných n-tic reálných èísel, tj.
En = R × R × . . . × R.
Body tohoto prostoru mají podobu
A = [a1 , a2 , . . . , an ].
Vzdálenost dvou bodù X = [x1, x2, . . . , xn], Y = [y1, y2, . . . , yn] euklidovská metrika p dist(X, Y ) =
Je-li A bod v En a dále þkrychliÿ o délce strany
urèuje tzv.
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2 .
ε ∈ R kladné èíslo, 2ε a støedu A, tj.
pak ε-okolím bodu
A
rozumíme
U = (a1 − ε, a1 + ε) × (a2 − ε, a2 + ε) × . . . (an − ε, an + ε)
a prstencovým ε-okolím bodu
A
míníme mno¾inu
P = U − {A}. c Klufová 2012
Ukázka V
E2
znázornìte okolí bodu
A = [1, −0, 5]
pro
ε = 0, 3.
c Klufová 2012
Topologie v En Def. Nech» je v En dána mno¾ina bodù M . Bod A ∈ En nazveme mno¾iny ⊂ M,
(i) vnitøním bodem A
takové, ¾e
U
M,
jestli¾e existuje okolí
U
bodu
mno¾iny M jestli¾e existuje okolí U bodu A ⊂ (En − M ), tj. U ∩ M = ∅,
(ii) vnìj¹ím bodem
takové, ¾e
U
(iii) hranièním bodem
bodu
A
platí:
mno¾iny
M,
jestli¾e pro ka¾dé okolí
U
U ∩ M 6= ∅ ∧ U ∩ (En − M ) 6= ∅
hranièní bod mù¾e, ale nemusí být prvkem mno¾iny
M.
c Klufová 2012
Ukázky V¹echny vnitøní body mno¾iny M tvoøí její vnitøek a patøí do ní, její hranièní body tvoøí její hranici. Èást hranice mù¾e do M patøit a èást ne.
c Klufová 2012
Topologie v En Def. Nech» je v M nazveme
En
dána mno¾ina
M
a
H
je její hranice. Potom
(i) otevøenou,
jestli¾e M ∩ H = ∅ (v¹echny body mno¾iny jsou vnitøní, hranièní body do ní nepatøí),
(ii) uzavøenou,
patøí),
jestli¾e
H ⊂ M
(v¹echny hranièní body do
M
M
(iii) omezenou,
jestli¾e ∃r ∈ R tak, ¾e ∀X ∈ M je dist(X, O) < r, kde O = [0, 0, . . . , 0] (celou mno¾inu M lze do kruhu o dostateènì velkém polomìru),
(iv) kompaktní,
je-li zároveò omezená a uzavøená. c Klufová 2012
Ukázka uzavøená, neomezená mno¾ina
c Klufová 2012
Pøíklad
V E2 znázornìte dané mno¾iny a rozhodnìte, zda jsou kompatkní (a) (x2 + y2 ≤ 1) ∧ (x + y ≤ 1) (b) (x2 + y2 ≤ 1) ∧ (x + y > 1) (c) (y ≥ x − 1) ∧ (y ≥ −2x + 2) ∧ (y ≤ −0, 5x + 2) (d) (y ≤ x − 1) ∧ (y ≥ −2x + 2) ∧ (y > −0, 5x + 2)
c Klufová 2012
Reálná funkce n-reálných promìnných
Def. Reálnou funkcí n reálných promìnných míníme libovolné zobrazení f : D → H , kde D ⊂ En, H ⊂ R. Je-li
X = [x1, x2, . . . , xn] ∈ D bod f (X) = f (x1, x2, . . . , xn) oznaèení
de nièního oboru funkce f , je pro jeho obraz.
je mno¾ina v¹ech bodù v [x1, x2, . . . , xn, f (X)], kde X ∈ D.
Grafem funkce f
En+1
tvaru
c Klufová 2012
Pøíklad Urèete funkèní hodnoty f (A) a f (B) pro: (a) f (x1, x2, x3) = x21 − 4x2 + x23 , A = [0, 2, −1], B = [5, −0, 4, 1] (b) z = f (x, y) = y + x · sign (y) + 1, A = [1, 2], B = [−1, −0, 7]
c Klufová 2012
Pøíklad V obchodì s fotopotøebami prodávají 2 druhy barevného lmu, které dostává majitel od dodavatele za poøizovací ceny 2$ a 3$ za kus. Odpovídající prodejní ceny tìchto dvou druhù lmu oznaèíme p1, p2. Dále je podle studie marketingové rmy známo, ¾e denní poptávka po uvedených dvou druzích zbo¾í n1, n2 (v kusech) se øídí poptávkovými funkcemi: n1 = f1 (p1 , p2 ) = 75 − 40p1 + 25p2 n2 = f2 (p1 , p2 ) = 80 + 20p1 − 30p2
(a)
Jaká denní poptávka odpovídá nasazeným prodejním cenám p1 = 3, p2 = 4?
(b)
Odvoïte vztah pro denní pøíjem (Revenue) obchodu z prodeje uvedených dvou druhù lmu jako funkci R(p1, p2) a zjistìte hodnotu R(3, 4).
(c)
Denní zisk (Pro t) z prodeje uvedených dvou druhù zbo¾í je opìt funkcí promìnných p1, p2 a platí P (p1, p2) = R(p1, p2) − C(p1, p2), kde denní náklady (Cost) na poøízení zbo¾í jsou zøejmì C = n1 · 2 + n2 · 3. Sestavte funkci P (p1, p2) a urèete P (3, 4).
c Klufová 2012
Pøíklad Øe¹ení:
c Klufová 2012
Pøíklad Urèete de niènírobory funkcí: 2 (a) f (x1, x2) = xx11+x (b) −x2
z = log(2 − y) +
q
y + 1 − x2
c Klufová 2012
Spojitost funkce více promìnných
Def. Øekneme, ¾e funkce
n promìnných f (x1, x2, . . . , xn) je spojitá ve vnitøním bodì A = [a1, a2, . . . , an] svého de nièního oboru, jestli¾e ke ka¾dému okolí V bodu f (A) existuje okolí U bodu A tak, ¾e f (U ) ⊂ V .
Funkce y = f (x1, x2, . . . , xn) je spojitá v bodì A právì tehdy, kdy¾ platí: pro libovolnou posloupnost bodù {Xk } de nièního oboru D(f ) takovou, ¾e lim Xk = A, je nutnì lim f (Xk ) = f (A). k→∞
k→∞
c Klufová 2012
Parciální funkce
Def. Nech» f je funkce n promìnných x1, x2, . . . , xn. Zvolme si bod jejího de nièního oboru A = [a1, a2, . . . , an]. De nujeme funkci jedné promìnné fA(x1) = f (x1, a2, a3, . . . , an)
a nazveme ji parciální funkcí promìnné x1 v bodì A k funkci f . Øekneme, ¾e funkce fA(x1) vznikla z funkce x2 = a2, x3 = a3 . . .xn = an.
f
xací hodnot
c Klufová 2012
Pøíklad viz pøíklad s fotopotøebami:
2 + 45p p + 95p + 120p − 390. P (p1, p2) = −40p2 − 30p 1 2 1 2 1 2
Sestavte pøedpis pro denní zisk, ponecháme-li jednu z cen pevnou a druhá se bude mìnit.
c Klufová 2012
Parciální derivace Def. Je dána funkce n promìnných f (x1, x2, . . . , xn) a vnitøní bod jejího de nièního oboru A = [a1, a2, . . . , an]. v bodì A míníme (pokud existuje) derivaci parciální funkce jedné promìnné A (a ). fA(xi) v bodì ai, co¾ znamená vlastnì derivaci df dxi i Parciální derivací funkce f podle promìnné xi
Tuto derivaci znaèíme
∂f ∂xi (A)
a èteme obvyklým zpùsobem.
Funkce tedy má (pokud existují) v bodì derivací.
A
celkem
n
parciálních
Jsou-li tyto parciální derivace nulové, nazýváme A stacionárním bodem funkce f . c Klufová 2012
Parciální derivace ukázka:
c Klufová 2012
Hladká funkce
De nice a vìta. Nech» A vnitøní bod D(f ).
f (x1, x2, . . . , xn)
je funkce
n
promìnných,
Øekneme, ¾e funkce f je v bodì A hladká, jestli¾e v tomto bodì existují parciální derivace podle v¹ech promìnných a jestli¾e ka¾dá z nich jako funkce promìnných x1, x2, . . . , xn je spojitá v bodì A. Je-li funkce
f
v bodì
A
hladká, je v nìm i spojitá.
c Klufová 2012
Teèná rovina
Def. Nech» funkce dvou promìnných f (x, y) je v bodì A = [a1, a2] hladká. Oznaème
k1 = fx0 (A),k2 = fy0 (A).
Teèná rovina
grafu funkce
f
v bodì
A
má rovnici
z − f (A) = k1(x − a1) + k2(y − a2).
c Klufová 2012
Pøíklad Sestavte rovnici teèné roviny grafu funkce z = −x2 + 2x − y 2 + 6y − 5 v bodì A = [2; 3, 5].
c Klufová 2012
Totální diferenciál Def. Pro funkci f (x1, x2, . . . , xn) hladkou v bodì A = [a1, a2, . . . , an] oznaème ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn diference promìnných x1, x2, . . . , xn. Totálním diferenciálem funkce
f
v bodì
A
míníme pøedpis
dfA = fx0 1 (A) · ∆x1 + fx0 2 (A) · ∆x2 + . . . + fx0 n (A) · ∆xn.
Odhad funkèní hodnoty v okolí bodu pak
A
pomocí diferenciálu je
. f (a1 + ∆x1, a2 + ∆x2, . . . , an + ∆xn) = . = f (A) + fx0 1 (A) · ∆x1 + fx0 2 (A) · ∆x2 + . . . + fx0 n (A) · ∆xn.
c Klufová 2012
