Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D.
Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Reálná funkce Zobrazení H(f ) = R. Def.
nejèastìji:
f
nazveme reálnou funkcí, jestli¾e obor hodnot
D(f ) ⊂ R
f :x→y x
. . . nezávisle promìnná velièina
y
. . . závisle promìnná velièina
c Klufová 2011
Operace s funkcemi Jsou dány funkce f1, f2 s de nièními obory A1, A2. Nech» pro neprázdnou mno¾inu A platí: A ⊆ A1 ∩ A2. Potom lze de novat následující funkèní operace:
Def.
• rovnost funkcí f1 , f2 ∀x ∈ A : f1 (x) = f2 (x)
funkce f1, f2 jsou si rovny na mno¾inì A, jestli¾e -
• souèet (rozdíl) funkcí f1 , f2 • souèin funkcí f1 , f2 • podíl funkcí f1 , f2
-
-
• absolutní hodnota
∀x ∈ A : (f1 · f2 )(x) = f1 (x) · f2 (x)
∀x ∈ A :
• c-násobek funkce f1
∀x ∈ A : (f1 ± f2 )(x) = f1 (x) ± f2 (x)
-
f1 f2
(x) =
f1 (x) , f (x) f2 (x) 2
6= 0
∀x ∈ A1 : (c · f1 )(x) = c · f1 (x), c ∈ R
funkce
f1
-
∀x ∈ A1 : (|f1 |)(x) = |f1 (x)|
Dal¹í operace: restrikce, inverze, skládání. c Klufová 2011
Graf funkce s de nièním oborem D(f ) = A ⊂ R nazveme mno¾inu v¹ech bodù v rovinì s kartézskou soustavou souøadnic (O, x, y), které mají tvar [x, f (x)], kde x ∈ A. Def.
Grafem funkce f
y
y
x
x
c Klufová 2011
De nièní obor Urèete de nièní obor funkce
g:y=
s
2x − 3 14 + 13x − 12x2
c Klufová 2011
Vlastnosti funkcí - sudá a lichá funkce •
•
Funkce f se nazývá sudá funkce, jestli¾e pro ka¾dé a ∈ D(f ) je f (−a) = f (a). Funkce f se nazývá lichá funkce, jestli¾e pro ka¾dé a ∈ D(f ) je f (−a) = −f (a). y
y
f (−a) f (−a)
f (a) −a
x
a f (a)
−a
a
sudá funkce
x
lichá funkce c Klufová 2011
Vlastnosti funkcí - periodická funkce Funkce f se nazývá periodická funkce, jestli¾e existuje takové reálné èíslo p, ¾e pro ka¾dé x ∈ D(f ) je také x + p ∈ D(f ) a platí f (x + p) = f (x)
Èíslo p oznaèujeme jako periodu funkce. Nejmen¹í kladné èíslo p, které splòuje tuto podmínku nazýváme základní perioda funkce. ukázka periodických funkcí
y = sin x
a
y = sin 2x
y p sin 2x
x sin x
c Klufová 2011
Vlastnosti funkcí - monotonie Mìjme funkci f a podmno¾inu M jejího de nièního oboru Funkce f se nazývá rostoucí na mno¾inì M , jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x1, x2 ∈ M platí: je-li
x1 < x 2 ,
pak
f (x1) < f (x2).
Funkce f se nazývá klesající na mno¾inì dva prvky x1, x2 ∈ M platí: je-li
x1 < x 2 ,
pak
M,
jestli¾e pro ka¾dé
f (x1) > f (x2).
c Klufová 2011
Vlastnosti funkcí - monotonie Funkce f se nazývá neklesající na mno¾inì M , jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x1, x2 ∈ M platí: je-li
x1 < x 2 ,
pak
f (x1) ≤ f (x2).
Funkce f se nazývá nerostoucí na mno¾inì ka¾dé dva prvky x1, x2 ∈ M platí: je-li
x1 < x 2 ,
pak
M,
jestli¾e pro
f (x1) ≥ f (x2).
Rostoucí a klesající funkce oznaèujeme souhrnnì jako funkce ryze monotónní. V¹echny tyto ètyøi typy funkcí pak souhrnnì oznaèujeme za monotónní funkce. c Klufová 2011
Vlastnosti funkcí - monotonie y 3 y
2 1
1 −3
−2
−1
1
2
x
3
−1
−1
1
2
3
x
3
4
−1
rostoucí
−4
−3
−2
klesající
y
y
2
2
1
1
−1
1
2
3
4
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
nerostoucí
2
x
neklesající c Klufová 2011
Prostá funkce Funkce f s de nièním oborem D(f ) se nazývá prostá funkce, jestli¾e pro ka¾dou dvojici x1, x2 ∈ D(f ), x1 6= x2 platí, ¾e f (x1) 6= f (x2). Ryze monotónní funkce jsou prosté. Jak poznáme z grafu, zda se jedná o prostou funkci? Aby funkce byla prostá, ¾ádná dvojice navzájem rùzných x1 6= x2 z de nièního oboru nesmí mít stejnou funkèní hodnotu, tzn. nesmí se nám stát, ¾e by libovolná rovnobì¾ka s osou x protla graf funkce ve dvou a více bodech. c Klufová 2011
Prostá funkce y y
y = x2
y =x+1
2
3
1 2
−2
−1
1
2
x
1
−1 −2
prostá
−2
−1
1
2
x
neprostá
c Klufová 2011
Prostá funkce K prosté funkci existuje tzv. funkce inverzní, která je opìt prostá a zobrazuje mno¾inu H(f ) na mno¾inu D(f ). Znaèíme f −1. Platí pro ni f −1 : x = f −1(y), D(f −1) = H(f ), H(f −1) = D(f ),
pøièem¾ x = f −1(y) ⇐⇒ y = f (x), ∀x ∈ D(f ) = H(f −1), y ∈ H(f ) = D(f −1)
c Klufová 2011
Inverze funkce Urèete inverzní funkci k funkci
f : y = 2x − x2.
c Klufová 2011
Skládání funkcí existuje v pøípadì, kdy je nezávisle promìnná jedné funkce funkcí hodnot jiné. Ilustrujme si to jednoduchém pøípadu: pøedpokládejme, ¾e funkce Slo¾ená funkce
y = f (u) = 2u + 50
vyjadøuje závislost týdenní mzdy dodavatele ultrazvukù na poètu prodaných pøístrojù. Pøedpokládejme dále, ¾e týdenní mno¾ství prodaných pøístrojù závisí na jejich cenì, co¾ lze popsat pomocí funkce u = g(x) = 150 − 2, 5x,
kde
x
je cena pøístroje v tis. Kè.
Chceme-li vypoèítat týdenní mzdu dodavatele, musíme tyto dvì funkce navzájem slo¾it, nebo» mzda je závislá na poètu prodaných výrobkù a ten závisí na jejich cenì: y = f (u) = 2u + 50 = 2(150 − 2, 5x) + 50 = 300 − 5x + 50 = 350 − 5x
Mzda dodavatele je tedy funkcí ceny pøístrojù, tj.
y = f (x) = 350 − 5x. c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Je dána libovolná mno¾ina Konstantní funkce.
pøedpisem
X 6= ∅.
Pro
r ∈ R ∀x ∈ X : kr (x) = r.
je konstanta
kr : X → R
dána
Pro ka¾dou podmno¾inu M ⊂ X de nujeme její charakteristickou funkci chM : X → R pøedpisem: Charakteristická funkce.
chM (x) =
(
1 0
pro pro
x∈M x∈ /M
c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Funkce udávající vzdálenost daného èísla na èíselné ose od poèátku, de novaná: Absolutní hodnota.
y = |x| =
Signum.
(
x pro x ≥ 0 −x pro x < 0
Funkce signum je de nována: y=
−1
1
0
pro x < 0 pro x > 0 pro x = 0
c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí ukázky:
c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Pro ka¾dá dvì reálná èísla lineární funkci y = ax + b.
Lineární funkce.
a, b
de nujeme
. . . . smìrnice pøímky, která je grafem funkce: a = tgα, kde α je orientovaný úhel, jeho¾ prvním ramenem je kladnì orientovaná osa x a druhým graf dané lineární funkce. a
c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Vlastnosti lineárních funkcí a=0
y = ax + b a>0
y = ax + b (a > 0)
y = ax + b 1
(a = 0)
1
D(f) = R H(f) = {b}
omezená nerostoucí a neklesající není prostá ∀x ∈ R má max a min
a<0
1
y = ax + b (a < 0) 1
1
D(f ) = R H(f ) = R
neomezená rostoucí prostá nemá ani max, ani min
1
D(f ) = R H(f ) = R
neomezená klesající prostá nemá ani max, ani min c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí rozumíme ka¾dou funkci f : y = f (x), kterou lze vytvoøit pomocí (koneèného poètu) operací sèítání, odèítání, násobení, dìlení, umocòování a odmocòování. Rozdìlujeme je funkce racionální a iracionální. Algebraickou funkcí
1. Racionálními funkcemi oznaèujeme souhrnnì polynomické funkce (celé racionální funkce) a lomené racionální funkce (a) Polynomická funkce
je ka¾dá funkce daná pøedpisem
f : y = Pn(x) = anxn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0, x ∈ R, ai ∈ R
tj. ka¾dá funkce její¾ funkèní hodnoty pøedstavují polynom (n-tého stupnì) promìnné x. De nièním oborem D(f ) racionální celistvé funkce f je mno¾ina R. c Klufová 2011
Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí (b) Lomená racionální funkce
pisem ve tvaru
je ka¾dá funkce daná pøed-
Pn(x) anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 f :y= = , Qm(x) 6= 0, m m−1 Qm(x) bmx + bm−1x + . . . + b1 x + b0 kde Pn, Qm jsou nesoudìlné polynomy.
Dùle¾itým pøípadem racionálních lomených funkcí jsou lineární lomené funkce, speciálnì nepøímá úmìrnost. 2. Iracionální funkce je ka¾dá funkce, která není racionální.
c Klufová 2011
Elementární funkce se nazývají funkce mocninné, exponenciální, goniometrické a cyklometrické. Základními elementárními funkcemi
nazýváme ka¾dou funkci, která buï patøí mezi základní elementární funkce nebo je z nich vytvoøena pomocí koneèného poètu základních algebraických operací (sèítáním, odèítáním, násobení, dìlením) nebo skládáním funkcí.
Elementární funkcí
element´arn´ı funkce
algebraick´e
racion´ aln´ı
polynomick´e
transcendentn´ı (nealgebraick´e)
iracion´ aln´ı
racion´ aln´ı lomen´e
c Klufová 2011
Obecná mocnina Vlastnosti mocninných funkcí n
f : y = xn , n ∈ N
liché
n
sudé
9 5 3 y=x y=x y = x3
2 y=x 1
−2
4
1
y = x4 8
y=x
y = x2
3
2
2
−2 −3
D(f ) = R, H(f ) = R
lichá neomezená rostoucí nemá extrémy
1
−2
−1
1
2
D(f ) = R, H(f ) = h0, +∞)
sudá zdola omezená rostoucí v h0, +∞), klesající v (−∞, 0i ostré min v bodì 0, nemá max c Klufová 2011
Obecná mocnina V rámci státu se ¹íøí epidemická nákaza. Podle odhadù Ministerstva zdravotnictví lze poèet osob posti¾ených nákazou vyjádøit pøibli¾nì pomocí funkce èasu, od kdy byla nákaza poprvé zji¹tìna: n(t) = 0, 05t3 + 1, 4
kde n(t) je poèet osob posti¾ených nákazou (ve stovkách) a t èas v mìsících od okam¾iku, kdy byl diagnostikován první pøípad nákazy. Pøedpokládá se, ¾e tato aproximaèní funkce má dostateènou pøesnost pro 0 ≤ t ≤ 30. Po 30 dnech mìla nemoc pøirozený prùbìh. Kolik osob dostane nemoc po 10 dnech od prvního diagnostikování nákazy? øe¹ení:
Poèet naka¾ených osob po 10 dnech od vypuknutí epidemie je
c Klufová 2011
Exponenciální funkce Exponenciální funkce o základu
a
je funkce
f : y = ax, a > 0, a 6= 1, D(f ) = R
Exponenciální funkce o základu 10 se nazývá dekadická exponenciální funkce. V praxi má velký význam exponenciální funkce se základem . e = 2, 71, tzv. Eulerovým èíslem, kterou nazýváme pøirozená exponenciální funkce. y = ex
Grafem exponenciálních funkcí je køivka, zvaná exponenciála. c Klufová 2011
Exponenciální funkce Vliv základu exponenciální funkce na její prùbìh: y=
1 x 10
9
y = 10x
8 7
y=
1 x
6
y = 6x
6
5 4 3
y=
1 x 2 3
y = 3x
1
−2
−1
1
2
c Klufová 2011
Exponenciální funkce
Exponenciální funkce hrají významnou roli v rùzných procesech rùstu nebo poklesu - napø. populaèní rùst, oceòování majetku a nemovitostí, in ace, rùst HDP, pokles míry incidence urèité nemoci a dal¹í.
c Klufová 2011
Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciálních funkcí a>1
1
0
y = ax a>1
1
D(f ) = R, H(f ) = (0, +∞)
zdola omezená rostoucí prostá nemá extrémy
y = ax 0
1
0
y = ax 0
1
D(f ) = R, H(f ) = (0, +∞)
zdola omezená klesající prostá nemá extrémy
c Klufová 2011
Logaritmická funkce Logaritmická funkce o základu
a
f : y = loga x, a > 0, a 6= 1, D(f ) = (0, +∞)
je funkce inverzní k exponenciální funkci o tém¾e základu a. Podle její de nice tedy platí velmi dùle¾itý vztah:
c Klufová 2011
Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmických funkcí
f : y = loga x
a>1
0
3
3
2
2
y=x
y=x
y = ax
y = ax −2
1
1
y = loga x
−1
1
2
3
−1 −2
D(f ) = (0, +∞), H(f ) = R
neomezená rostoucí prostá nemá extrémy
−2
−1
1 −1
2
3 y = loga x
−2
D(f ) = (0, +∞), H(f ) = R
neomezená klesající prostá nemá extrémy
c Klufová 2011
Pøíklad - pamì» Cílem øízeného experimentu je popsat úèinky èasu na lidskou pamì». Úèastníci experimentu byli po¾ádáni, aby si prohlédli obrázek, který obsahoval velký poèet rùzných objektù. Pak byli ¾ádáni v rùzných èasových intervalech, aby si vzpomnìli na pokud mo¾no co nejvíce objektù. Na základì získaných výsledkù byla vytvoøena funkce R(t) = 84 − 25 ln t, t ≥ 1,
kde R(t) pøedstavuje prùmìrnou procentuální pamì» (vybavených objektù) a t dobu uplynulou od prohlí¾ení obrázku (v hodinách). (a)
Jaké je prùmìrné procentuální vybavení si objektù hodinu po prohlédnutí obrázku?
(b)
Jak veliká bude tato hodnota po 10 hodinách?
(c)
Naèrtnìte funkci
R(t).
c Klufová 2011
Pøíklad - pamì» øe¹ení: (a) f (1) = 84 − 25 ln 1 = 84 − 25 · 0 = 84
Hodinu po prohlédnutí obrázku si úèastníci experimentu pamatovali prùmìrnì 84% zobrazených objektù.
(b) f (10) = 84 − 25 ln 10 = 84 − 25 · 2, 3026 = 26, 435
Deset hodin po prohlédnutí obrázku si úèastníci experimentu pamatovali v prùmìru ji¾ jen 26, 4% zobrazených objektù.
(c) R(t) 100 80 60 R(t) = −84 − 25 ln t
40 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t
c Klufová 2011
Goniometrické a cyklometrické funkce goniometrické: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x cyklometrické:
Restrikcí goniometrických funkcí na vhodné intervaly dosáhneme toho, ¾e je mo¾no k nim najít funkce inverzní. y y y y
= arcsin x = arccos x = arctg x = arccotg x
D(f ) H(f ) h−1, 1i h− π2 , π2 i h−1, 1i h0, πi (−∞, ∞) (− π2 , π2 ) (−∞, ∞) (0, π)
c Klufová 2011
Hyperbolické funkce
Hyperbolický sinus
x −x , x ∈ (−∞, ∞) sinh x = e −e 2
Hyperbolický tangens
sinh x = ex −e−x , x ∈ (−∞, ∞) tanh x = cosh x ex +e−x
Hyperbolický kosinus
ex +e−x , x ∈ (−∞, ∞) = cosh 2
Hyperbolický kotangens
x = ex +e−x , x 6= 0 coth x = cosh sinh x ex −e−x
c Klufová 2011
