Heller Farkas Gazdasági és Turisztikai Szolgáltatások Főiskolája Levelező tagozat
GAZDASÁGI MATEMATIKA II. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Gyakorló feladatok
Összeállította: Kis Márta és Zombori Natasa
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
Kedves Hallgatók! A példatárban megjelölt feladatokon kívül az alábbi gyakorló feladatok segítik a gazdasági matematika II. vizsgára a felkészülést. A feladatok témakörönkénti csoportosítása lehetővé teszi, hogy folyamatosan, a tanult anyagot követően oldják meg a példákat. Az összeállításnál a saját példáinkon kívül felhasználtuk a következő példatárak feladatait is: Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához I. BGF KVIF, Budapest, 2003. (Szerzők: Czétényi-Felber-Rejtő-Zimányi) Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához II. BGF KVIF, Budapest, 2002. (Szerzők: Czétényi-Ligeti-Lőrincz) Valószínűségszámítás Példatár, Tatabánya, 2002. (Szerző: Nagyné Csóti Beáta) Operációkutatás Példatár, Budapest, 2002. (Szerzők: Brunner, Kis, Dr. Kovács, Dr. Máté) 2009. febr.1. Kis Márta és Zombori Natasa
Valószínűség-számítás Gyakorló feladatok Mátrixok 1. Egy bevásárló központban négy napon át felmérést végeztek, három újonnan bevezetett termék: konzerv, csokoládé, kávé forgalmáról. A fenti termékek eladott darabszámát az alábbi táblázat tartalmazza. A
Konzerv
Csokoládé
Kávé
Hétfő Kedd Szerda Csütörtök
250 180 50 70
180 120 150 210
160 110 30 140
Mártixműveletekkel számítsa ki és értelmezze a kapott eredményt! * * a. e1 − e 2 ⋅ A b. A ⋅ 1
(
)
Írja le mátrixműveletekkel és számítsa ki, hogy c. hány darabot adtak el a különbözó fajta termékekből! d. hány doboz csokoládét adtak el szerdán! 2. Egy iskolai büfé napi gyümölcs-forgalma a diákok körében a következőképpen alakult: A alsósok felsősök gimnazisták
alma 10 40 33
körte 30 20 33
mandarin 55 15 33
A gyümölcsök árat a fenti sorrendben az a = (10, 15, 20) árvektor tartalmazza. Mártixműveletekkel számítsa ki és értelmezze a kapott eredményt! *
2
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
a. 1 ⋅ A ⋅ e1 *
b. e1 ⋅ A ⋅ a *
c. 1 ⋅ A ⋅ a Írja le mátrixműveletekkel és számítsa ki, d. hogy fajtánként mennyi gyümölcs fogyott! e. hogy mennyit költöttek a gimnazisták körtére! *
Kombinatorika 1. Egy cégnél három osztályvezető, hat csoportvezető és harminc beosztott dolgozik. Hányféleképpen választhatunk ki közülük egy küldöttséget, melyben egy osztályvezető, két csoportvezető és tíz beosztott szerepel? Hányféleképpen tehetjük ezt, ha a kereskedelmi osztály vezetője és az áruforgalmi csoport vezetője mindenképpen a küldöttek között kell, hogy legyenek? 2. Hány „szót” képezhetünk az A, E, I, O, Ü magán- és B, C, D, F mássalhangzókból úgy, hogy minden „szóban” 4 magán- és 4 mássalhangzó legyen, két magán- illetve két mássalhangzó egymás mellé ne kerüljön, és minden mássalhangzó csak egyszer szerepeljen? 3. a. Hányféleképpen osztható ki 10 személy között 2 db 5000 Ft-os, 3 db 2000 Ft-os és 4 db 500 Ft-os jutalom? b. Egy önkiszolgáló étterem pultján 6 tányér leves és 9 tányér főzelék áll. (Mind különböző.) Hányféle lehet egy 4 fős társaság együttes fogyasztása, ha mindenki eszik levest is, főzeléket is? 4. Egy üzletlánc 10 fős reklámrészlege olyan feladatot kap, hogy a cég 3 arculatváltozásával ismertesse meg a közönséget. Hányféleképpen oszthatják ki maguk között a három munkát, ha a. egy fő legfeljebb egy arculatváltozással kapcsolatos reklámon dolgozhat, b. egy fő több arculatváltozást bemutató reklámon is kidolgozhat, c. minden arculatváltozást bemutató reklámon kétfős munkacsoport dolgozik, és egy ember legfeljebb egy munkacsoportban lehet? 5. Öt házaspár foglal helyet egy padon. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastársak egymás mellett akarnak ülni, de sem két nő, sem két férfi nem ülhet egymás mellé? Eseményalgebra 1. Két helység között három távbeszélővonalon folyhat beszélgetés. Jelentse „A” azt, hogy az első vonal hibás, „B” azt, hogy a második, a „C” pedig azt, hogy a harmadik. Fejezze ki A, B, C segítségével a következő eseményeket: a. csak az első vonal hibás b. az első kettő hibás, a harmadik nem c. legalább az egyik hibás d. mindhárom vonal hibás e. legalább két vonal hibás f. pontosan egy vonal hibás g. pontosan két vonal hibás h. egyik vonal sem hibás i. legfeljebb egy vonal hibás j. legfeljebb két vonal hibás 3
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
k. a második nem hibás, de az első és a harmadik közül legalább az egyik hibás. 2. Egy nehéz anyagi körülmények között élő család egy év alatt – egymástól függetlenül – 0,3 valószínűséggel kap az önkormányzattól, 0,4 valószínűséggel valamely egyházi szervezettől segélyt, és 0,1 valószínűséggel nyer egy szerencsejátékon. Vezesse be a fent megfogalmazott három eseményre rendre az A, B, illetve C jelölést! Adja meg eseményalgebrai műveletekkel a következő összetett eseményeket, majd számolja ki az események valószínűségét! a. Csak szerencsejátékon nyeréssel tesz szert kiegészítő összegre a család a fenti három pénzforrás közül. b. A fentiek közül pontosan két pénzforrás által jut plusz pénzforráshoz a család egy év alatt. 3. Egy brókercégnél egy alkalmazott háromféle részvénnyel kereskedik egy adott napon. Jelentse az „A” azt, hogy az adott napon kötött üzletet az első fajta, „B” azt, hogy kötött üzletet a második fajta, „C” azt, hogy kötött üzletet a harmadik fajta részvényre. Fogalmazza meg, hogy mit jelentenek az alábbi események: a.
A∪ B
b. A ∪ B ∩ C c. A ∩ B ∩ C d. A ∩ B ∩ C e. A ∪ B ∩ C f. ( A ∪ B ∪ C ) \ ( A ∩ B ∩ C ) g. ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) h. A ∪ B ∪ C i. A ∩ B ∩ C j. A k. A ∩ B ∩ C l. ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) Formalizálja a következő eseményeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta részvényre kötött üzletet, b. pontosan kétféle részvénnyel kereskedett az adott napon, c. volt üzletkötés az adott napon ennél az alkalmazottnál. Klasszikus képlettel megoldható feladatok 1. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kitöltött totószelvény 10,11,12,13 találatos lesz? 2. Egy értekezleten tízen kérnek feketekávét. A titkárnő a 10 csészébe összesen 6 darab kockacukrot tett úgy, hogy minden csészébe legfeljebb egy cukrot dobott. Mi a valószínűsége annak, hogy négy személy, aki keserűen szereti a kávét, véletlenül a négy cukor nélküli kávét választja? 3. Elhelyezünk 3 dobozba 8 tárgyat úgy, hogy az egyes tárgyakat megkülönböztethetőnek tekintjük. Mennyi a valószínűsége, hogy: a. az egyes dobozokba rendre 2,4,2 tárgy kerül; b. az egyes dobozokba rendre 0,3,5 tárgy kerül; 4
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
c. mind a 8 tárgy egy dobozba kerül? 4. Egy mozi utolsó sorában, ahol 20 szék van, 5 néző ül. Tegyük fel, hogy az 5 néző minden lehetséges elhelyezkedése azonos valószínűségű. Számítsuk ki, mi annak a valószínűsége, hogy: a. az öt néző egymás mellett ül; b. az öt néző nem ül egymás mellett? 5. Egy üzletben három pénztárhoz véletlenszerűen 10 vásárló érkezik. Mennyi annak a valószínűsége, hogy: a. az első pénztárhoz 4 , a második és harmadikhoz 3-3 vásárló kerül; b. az egyik pénztárhoz 4 , a másik kettőhöz pedig 3-3 vásárló kerül? Mintavétel 1. A mostani influenzajárvány mutatói szerint a lakosság 15 %-a betegedett meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 18 fős csoportban legfeljebb 3 influenzás beteg van? 2. Egy 20 elemű alkatrészhalmazban 8 selejtes van. Visszatevés nélkül hatelemű mintát veszünk belőle. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. legalább egy selejtes lesz, b. legalább annyi selejt van, mint jó, c. legfeljebb kettő selejtes lesz? 3. Öt fiú és öt leány együtt mennek moziba. Kiválasztunk közülük hat főt. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük a. háromnál kevesebb a leány? b. ugyanannyi a fiú, mint a leány? c. egy leány sincs? 4. Egy képviselő egy napon 10 interpellációt hallgatott meg, ebből hatot elfogadott. Tetszőlegesen kiválasztottunk három interpellációt. a. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? b. Hány különböző olyan kiválasztás van, amelyek közül pontosan kettőt fogadott el a képviselő? c. Mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük legalább két interpellációt fogadott el az adott képviselő? 5. A lakosság 30%-a szenved valamilyen allergiás betegségben. Munkatársaink közül tetszőlegesen kiválasztva 12 főt, mennyi annak a valószínűsége, hogy háromnál több szenved allergiás betegségben? 6. Egy gyógyszergyárban minőség-ellenőrzés során 10 kapszulát vizsgálnak meg. Annak a valószínűsége, hogy egy adott kapszula nem a megfelelő mennyiséget tartalmazza a hatóanyagból: 0,05. Adja meg a következő valószínűségeket: a. a megvizsgált 10 kapszula mindegyike megfelelő mennyiséget tartalmaz a hatóanyagból, b. háromnál kevesebb kapszula van a tízben, amelyben nem megfelelő a hatóanyag menynyisége, c. a tíz kapszulának pontosan a felében lesz megfelelő a hatóanyag mennyisége. 7. Egy urnában 4 piros, 1 zöld és 1 fekete golyó van. Ebből húzunk három golyót visszatevés nélkül. Rendezzük a következő eseményeket csökkenő valószínűségek szerint: 5
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
a. mindegyik golyó piros, b. kettő piros, egy más, c. van zöld vagy fekete golyó a kihúzottak között, d. van piros a kihúzottak között. 8. Egy üzemben a napi nyersanyagellátás – egymástól függetlenül – 0,75 valószínűséggel zavartalan. Mennyi a valószínűsége, hogy a. egy hét alatt (5 nap) pontosan háromszor zavartalan az ellátás, b. legalább háromszor akadozik az ellátás? 9. Három darab pénzérmét egyszerre feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. legalább 1 fejet dobunk, b. pontosan 2 írást dobunk, c. több írást dobunk, mint fejet, d. nem dobunk más, csak írást vagy csak fejet? 10. Egy kiskereskedő minden 20000 Ft feletti összegben vásárló vevőjének nyereményszelvényt ad. Ezekből havonta véletlenszerűen kiválasztanak négyet. Az elmúlt hónapban 35en vásároltak 20000 Ft-ot meghaladó összegben. Ezek között öt ismerősöm van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. lesz a kiválasztott négy fő között ismerősöm, b. legalább két ismerős lesz közte, c. több lesz olyan, akit nem ismerek, mint akit ismerek? 11. Egy autószalonban 100 érdeklődő közül átlagosan öten vásárolnak új autót a tapasztalatok alapján. Egy napon 20 érdeklődő kereste fel az autószalont, további információt nem tudunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. adtak el új autót az adott napon a szalonban, b. legfeljebb három autót adtak el az autószalonban az adott napon, c. válaszoljon az a) és b) részben megfogalmazott kérdésekre, ha feltételezzük, hogy a vevők száma Poisson eloszlást követő valószínűségi változó! Független események valószínűsége 1. Egy gyár három szerelőcsarnokában végzett statisztikai vizsgálat szerint az első szerelőcsarnokban a munkaidő 85 %-ában, a második szerelőcsarnokban a munkaidő 90 %ában, a harmadik csarnokban pedig a munkaidő 80 %-ában zavartalan a termelés. A termelés zavartalansága az egyes csarnokokban egymástól független. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a munkaidő egy adott időpontjában: a. mind a három csarnokban zavartalan a termelés, b. legalább az egyik csarnokban zavartalan a termelés, c. csak az egyik csarnokban zavartalan a termelés? 2. A harmadéves főiskolai hallgatók 40 %-a rendelkezik német nyelvből középfokú nyelvvizsgával, 10 %-ának nincsen utóvizsgája és 20 %-ának 4,00-t meghaladó az elmúlt félévi tanulmányi átlaga. A főiskola egy németországi céghez küldhet egy hallgatót féléves gyakorlatra. Azok jelentkezhetnek a pályázatra, akik legalább kettőnek eleget tesznek a fenti három követelmény közül, továbbá a német nyelvvizsgával rendelkezés elengedhetetlen. Jelölje az „A” azt az eseményt, hogy egy harmadéves hallgató rendelkezik nyelvvizsgával, „B” azt, hogy nincsen utóvizsgája és „C” azt, hogy 4-nél jobb a tanulmányi átlaga! Mennyi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy harmadéves hallgató a. jelentkezhet a német céghez erre a gyakorlatra, 6
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
b. pontosan egy követelménynek tesz eleget a három közül. Feltételes valószínűség 1. Egy könyvkiadó két nyomdával dolgozik. Az első nyomda a kiadványok ¼ részét, a maradék részt a második nyomda készíti. Az első nyomdában elkészültek 5 %-a, a másodikban készültek 1 %-a szépséghibás. A raktárban a két nyomda termékei összekeveredtek. Jelentse „A” esemény a következőt: egy találomra kiválasztott kiadvány szépséghibás. a. Adja meg a P ( A) valószínűséget! b. Adja meg, mekkora a valószínűség, hogy egy kiadványt az első nyomdában nyomtattak, ha az nem szépséghibás! 2. Egy forgácsoló üzemben 3 esztergagép működik. Az elkészült munkadarabokat a minőségellenőrzésen I, II, illetve III. osztályba sorolják. B1 : I.o. B2 : II.o. B3 : III.o. A1 : 1.gép 500 510 415 A2 : 2.gép 440 390 275 A3 : 3.gép 320 300 190 A napi össztermékből véletlenszerűen kiválasztunk egyet. a. Írjuk fel szimbólumokkal és számoljuk ki: - mennyi a valószínűsége, hogy a 2. gép készítette a munkadarabot, feltéve, hogy első osztályú, - mennyi a valószínűsége, hogy másodosztályú a munkadarab, feltéve, hogy nem a 3. gép készítette? b. Számítsuk ki és fogalmazzuk meg szavakkal az alábbiak jelentését: P B 2 | A1 P( A3 B2 )
(
)
3. Egy tőzsdei elemző a recessziós időszakok elemzésének a specialistája. Előrejelzései az árfolyamok alakulására 80 %-ban helytállóak ilyen periódusokban. Ha a gazdaság erős fellendülést mutat, akkor előrejelzései csak 60 %-ban helytállóak, míg ha a gazdaság normál állapotban van, akkor ez az arány 70 %. Tegyük fel, hogy a gazdaságot 25 %-ban receszszió, 35 %-ban erős fellendülés jellemzi, a maradék időszak normál állapotú. a. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kiválasztva ezen elemző egy tetszőleges előrejelzését, az helytálló? b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az elemző helytálló előrejelzései közül kiválasztunk egyet, akkor azt recessziós periódusban jósolta? 4. Egy használtautó-kereskedő többfajta megfigyelést végez az eladásait illetően. Például figyeli, hogy befolyásolja-e a kocsi fényezése az eladási árat. Megfigyelései a következők: az eladott autók 35 %-át megvették katalógusár felett, 25 %-át katalógusár alatt, a többiért katalógusárat adtak. A katalógusár felett megvásárolt gépkocsik 70 %-a volt metálfényezésű, a katalógusár alatt eladott 30 %-a volt metálfényezésű, míg a katalógusáron eladott autóknál ez az arány 45 %. Kiválasztunk tetszőlegesen egy eladott autót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. metálfényezésű? b. ha metálfényezésű, akkor katalógusár felett kelt el?
7
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
5. Egy közúti ellenőrzés és felmérés alapján a következő adataink állnak rendelkezésre: a közlekedő járművek 40 %-a személyautó, 35 %-a teherautó, a fennmaradó rész az egyéb kategóriába sorolt. A személyautók 15 %-ában, a teherautók 20 %-ában, az egyéb kategória 35 %-ában valami műszaki hiányosság fedezhető fel. Az éppen közlekedő járművet megállítva, mennyi annak a valószínűsége, hogy a. műszaki állapota kifogásolható, b. ha műszaki állapota kifogásolható, akkor teherautó, c. ha műszaki állapota tökéletes, akkor nem személyautó. 6. Egy ingatlanközvetítő által 2000-ben közvetített ingatlanokat a következő szempontok alapján osztályozták: - fővárosi, vidéki; - 5 millió Ft alatt, 5 és 10 millió Ft közötti, 10 millió Ft feletti. A fővárosi ingatlanok a kereslet 60 %-át adták, melyeknek negyedrésze 5 millió Ft alatt, harmadrésze 5 és 10 millió Ft közötti. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha a fővárosi ingatlanok közül választunk, akkor 10 millió Ft feletti az érték? Eloszlások 1. Egy kozmetikai cég három új terméket vezet be a piacra. A felkeresett üzletek 80 %-a rendelt az első termékből, 40 %-a a második termékből, 20 %-a a harmadik termékből. (Az egyes üzletekben az egyes termékekre vonatkozó megrendelések egymástól függetlenek.) Egy felkeresett üzletet vizsgálva, a ξ valószínűségi változó jelentse azt a számot, ahányféle terméket rendelt az üzlet a kozmetikai cég három új készítményéből! Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását és várható értékét és a szórást! 2. Egy képviselő egy napon 10 interpellációt hallgatott meg, ebből hatra adott választ fogadott el. Tetszőlegesen kiválasztunk egyszerre három interpellációt. Legyen a valószínűségi változó a kiválasztott interpellációk között azok száma, amelyet a képviselő nem fogadott el! a. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását és eloszlásfüggvényét! b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük legalább két interpellációt fogadott el az adott képviselő? 3. Egy üzlethálózat egy nagy vásárlási akciója során három személygépkocsi a három főnyeremény. Tegyük fel, hogy a lakosság 20 %-ának van gépkocsijuk. A vásárlási akció nagyon sikeres volt, mivel rengeteg nyereményszelvény érkezett be. A ξ valószínűségi változó legyen azon autó nyertesek száma, akiknek már van gépkocsijuk! a. Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! b. Adja meg az eloszlásfüggvényt! c. Mely esemény valószínűségét adja meg a F (3) függvényérték? Fogalmazza meg szavakkal is és a valószínűségi változót felhasználva formalizmussal is! 4. A Danone Túró Rudi tömege ξ-vel jelölt, normális eloszlást követő valószínűségi változó 25 gramm várható értékkel, és 1,5 gramm szórással. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. egy Túró Rudi tömege több mint 22 gramm? b. egy Túró Rudi tömege 23,5 gramm és 28 gramm közé esik? c. Adjon alsó becslést a következő valószínűségre: P(23<ξ<27), ha valószínűségi változó eloszlása nem ismert, de várható értéke és szórása a feladat szövege szerinti! 5. Egy rendezvényszervező iroda heti megrendeléseinek száma Poisson eloszlású valószínűségi változó 5 várható értékkel. Ha az irodához heti 10 vagy annál több megrendelés érkezik, külső munkatársat is alkalmaznak. Mi a valószínűsége, hogy a. az adott héten külső munkatársat is kell alkalmaznia az irodának? 8
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
b. heti megrendelések száma 4-nél kisebb vagy 6-nál nagyobb? c. a várható értéktől a szórás kétszeresénél kisebb mértékben tér el? 6. A megfigyelések alapján a munkanélkülieknek átlagban fél év alatt sikerült elhelyezkedniük valahol. Tegyük fel, hogy a munkanélküliségben eltöltött idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó! Véletlenszerűen kiválasztunk egy munkanélküli személyt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. egy éven belül el tud helyezkedni, b. egy évnél több, de 1,5 évnél kevesebb ideig lesz munkanélküli, c. a várható értéknél hosszabb ideig lesz munkanélküli? 7. Egy üzlet napi forgalma a különböző sajtkészítményekből 150 kg várható értékű, 15 kg szórású, normális eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy napon a forgalom a. meghaladja a 140 kilogrammot, b. 120 kg és 180 kg közé esik, c. becsülje alulról a b. részben meghatározott esemény valószínűségét, ha a valószínűségi változó eloszlása nem ismert! 8. Egy orvosi rendelő várószobájában a betegek várakozással eltöltött ideje exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó, melynek várható értéke negyed óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott beteg a. 15 percen belül sorra kerül, b. várakozási ideje legalább 30 perc, de legfeljebb 45 perc, c. a várható értéke kétszeresénél többet várakozik? 9. Egy szövőgép 500 szállal dolgozik. Annak valószínűsége, hogy egy szál meghatározott időtartam alatt elszakad: 0,012 minden szálra. Feltételezzük, hogy a szálszakadások száma Poisson- eloszlást követő valószínűségi változó. a. Az adott időtartam alatt mennyi a szálszakadások várható értéke? b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább 4, de 7-nél kevesebb szál szakad el? 10. Egy 500 oldalas könyvben 200 sajtóhiba található. Feltételezhető, hogy a sajtóhibák száma Poisson eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a. 10 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, b. 25 véletlenszerűen kiválasztott oldalon legalább 8, de 12-nél kevesebb sajtóhiba található? Csebisev-egyenlőtlenség 1. Egy textilgyárban előállított vég szövet hosszának várható értéke 35 m, szórása 0,3 m. a. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a vég hossza legalább 1 m-rel eltér a várható értéktől? b. Legalább 95 %-os valószínűséggel milyen határok közé esik a vég szövet hossza? 2. Egy strandon a nyári melegben a naponta fagyit vásárlók számának várható értéke 600, a szórása pedig 100. Legfeljebb mennyi a valószínűsége annak, hogy a naponta fagyit vásárlók száma 200 vagy annál kevesebb, illetve 1000 vagy annál több? 3. Egy tábla csokoládé átlagos tömege: 15 dkg, a szórás 15 g. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a csoki tömege a várható értéktől 2 dkg-nál nagyobb mértékben tér el?
9
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
Nagy számok törvénye 1. Egy csillagászati megfigyelés lehetőségének valószínűsége: 0,3 a. Hányszor tegyünk kísérletet a megfigyelésre ahhoz, hogy a kapott relatív gyakoriságnak a valószínűségétől mért 0,02-nél kisebb eltérése legalább 0,9 valószínűségű legyen? b. Hányszor próbálkozzunk a megfigyeléssel akkor, ha a megfigyelés lehetőségének valószínűsége nem ismert? 2. Egy gyár tapasztalatai alapján az általa előállított gyártmányok 10 %-a hibás. A minőségi ellenőrzés csak akkor találja elfogadhatónak a tételt, ha abban legfeljebb 12 % hibás. Mekkora legyen a tételben a gyártmányok darabszáma, hogy a hibás áruk relatív gyakorisága a megfelelő valószínűségtől legalább 0,95 valószínűséggel ne térjen el 0,02-nél nagyobb értékkel? 3.
Egy gyárban tömegesen gyártanak írható CD-ket. Egy gép ezeket kis tartókba helyezi. Annak a valószínűsége, hogy egy tartó üresen marad, és így kerül a vásárlókhoz: p=0,03. Az elkészült tartókból 600 db-os mintát vesznek, és maghatározzák a selejt előfordulásának relatív gyakoriságát. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a relatív gyakoriságnak a selejt valószínűségétől való eltérése kisebb mint 0,04?
10
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
MEGOLDÁSOK Mátrixok
(e
)
− e 2 ⋅ A = e1 ⋅ A − e 2 ⋅ A = (250 180 160) − (180 120 110) = (70 60 50) A hétfői és keddi eladás közötti különbség. * b. A ⋅ 1 = (590 410 230 420) Naponkénti eladás a harom termékből. * c. 1 ⋅ A = (550 660 440 )
1. a.
* 1
*
*
*
d. e 3 ⋅ A ⋅ e 2 = (50 150 30) ⋅ (0 1 0 ) = 150 *
*
2. a. 1 ⋅ A ⋅ e1 = (1 1 1) ⋅ (10 40 33) = 83 Egész nap 83 db alma fogyott el. ∗ * e1 ⋅ A ⋅ a = (10 30 55) ⋅ (10 15 20 ) = 1650 b. Az alsósok 1650 Ft-ot költöttek gyümölcsre. 10 30 55 * c. (1 1 1) ⋅ 40 20 15 = (83 83 103) (83 83 103) ⋅ (10 15 20 ) = 4135 33 33 33 A büfé napi összbevétele gyümölcsből. 10 33 55 ∗ d. 1 ⋅ A = (1 1 1) ⋅ 40 20 15 = (83 33 103) 33 33 33 * * e. e 3 ⋅ A ⋅ e 2 ⋅ (a ⋅ e 2 ) = 33 ⋅ 15 = 495 *
*
(
)
Kombinatorika 3 6 30 1. a. ⋅ ⋅ = 13520256675 1 2 10 2 5 30 b. ⋅ ⋅ = 150225075 0 1 10 2.
Magánhangzóval kezdődik: 5 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅1 Mássalhangzóval kezdődik: 4 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅1⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ 4!= 30000 4
10 8 5 3. a. ⋅ ⋅ = 12600 2 3 4 b. 6 ⋅ 9 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 6 = 1088640
11
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
4. a. 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 b. 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 10 8 6 c. ⋅ ⋅ = 18900 2 2 2 5. f n f n f n f n f n
(5 ⋅1) ⋅ (4 ⋅1) ⋅ (3 ⋅1) ⋅ (2 ⋅1) ⋅ (1⋅1) = 5! n f n f n f n f n f
(5 ⋅1) ⋅ (4 ⋅1) ⋅ (3 ⋅1) ⋅ (2 ⋅1) ⋅ (1⋅1) = 5! 2 ⋅ 5!= 240
Eseményalgebra
A∩ B ∩C A∩ B ∩C A∪ B ∪C A∩ B ∩C ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) vagy
1. a. csak az első vonal hibás b. az első kettő hibás, a harmadik nem c. legalább az egyik hibás d. mindhárom vonal hibás e. legalább két vonal hibás
(A ∩ B ∩ C )∪ (A ∩ B ∩ C )∪ (A ∩ B ∩ C )∪ ( A ∩ B ∩ C )
f. pontosan egy vonal hibás
( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)
g. pontosan két vonal hibás
( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)
h. egyik vonal sem hibás i. legfeljebb egy vonal hibás
A∩ B ∩C ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C)
A∩ B ∩C j. legfeljebb két vonal hibás k. a második nem hibás, de az első és a harmadik közül legalább az egyik hibás. B ∩ ( A ∪ C)
2. a. P( A) = 0,3
((
P(B ) = 0,4
) (
P(C ) = 0,1
) (
))
(
)
P A ∩ B ∩ C = 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,1 = 0,042
b. P A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C = 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,9 + 0,3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,1 + 0,7 ⋅ 0,4 ⋅ 0,1 = 0,154 3. a.
A∪ B = A∩ B
Az első kettőre nem kötnek üzletet.
b. A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C c. A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C d. A ∩ B ∩ C
Csak az elsőre nem kötnek üzletet. Legalább egyre nem kötnek üzletet. Egyikre sem kötnek üzletet.
e. A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∪ C = A ∩ B ∩ C f. ( A ∪ B ∪ C ) \ ( A ∩ B ∩ C )
Mindre kötnek üzletet. Legalább egyre kötöttek, de nem mindre.
g. ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) h. A ∪ B ∪ C
Legalább kettőre nem kötöttek. Legalább az egyikre megkötik.
12
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
i. A ∩ B ∩ C Az első kettőre kötöttek, de a harmadikra nem. j. A Az elsőre nem kötöttek üzletet. k. A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∩ C Az első kettő közül legalább az egyikre nem, de a harmadikra kötnek üzletet. l. ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) Legalább kettőre nem kötnek üzletet. Formalizálja a következő eseményeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta részvényre kötött üzletet, A∩ B ∩C b. pontosan kétféle részvénnyel kereskedett az adott napon, ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) c. volt üzletkötés az adott napon ennél az alkalmazottnál. A∩ B∩C = A∪ B∪C Klasszikus képlettel megoldható feladatok 13 3 13 2 ⋅ 2 ⋅ 2 10 11 = 0,0014 p11 = 13 = 0,0002 1. p10 = 13 3 3 13 1 13 0 ⋅ 2 ⋅ 2 12 13 p12 = = 0,000016 p13 = 13 = 0,00000063 13 3 3 2.
p=
1 = 0,0048 10 4
8 6 2 ⋅ ⋅ 2 4 2 3. a. p = 8 = 0,0640 3 8 8 5 ⋅ ⋅ 0 3 5 b. p = 8 = 0,0085 3 3 c. p = 8 = 0,00046 3 16 1 4. a. p = = 0,0010 20 5
13
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
16 1 b. p = 1 − = 0,0090 20 5 10 6 3 ⋅ ⋅ 4 3 3 5. a. p = 10 = 0,0711 3 10 6 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 4 3 3 b. p = 10 = 0,2133 3 Mintavétel 1.
3 18 p = p 0 + p1 + p 2 + p3 = ∑ ⋅ 0,15 k ⋅ 0,8518− k = 0,7202 k =0 k
12 6 2. a. p = 1 − = 0,9762 20 6 8 12 8 12 8 12 8 12 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 3 4 2 5 1 6 0 b. p = p3 + p 4 + p5 + p 6 = = 0,4552 20 6 8 12 8 12 8 12 ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 6 1 5 2 4 c. p = p 0 + p1 + p 2 = = 0,5449 20 6 5 5 5 5 ⋅ + ⋅ 1 5 2 4 3. a. p = = 0,2619 10 6 5 5 ⋅ 3 3 b. p = = 0,4762 10 6 c. p = 0 10 4. a. = 120 3 14
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
4 6 b. ⋅ = 60 1 2 4 6 4 6 ⋅ + ⋅ 1 2 0 3 c. p = p 2 + p3 = = 0,6667 10 3 3 12 5. 1 − ( p 0 + p1 + p 2 + p3 ) = 1 − ∑ 0,3 k ⋅ 0,712− k = 0,5075 k =0 k
10 6. a. p 0 = ⋅ 0,05 0 ⋅ 0,9510 = 0,5987 0 2 10 b. p = ∑ ⋅ 0,05 k ⋅ 0,9510− k = 0,9884 k =0 k 10 c. p5 = ⋅ 0,05 5 ⋅ 0,95 5 = 0,0001 5 4 3 7. a. p a = = 0,2 6 3 4 2 ⋅ 2 1 b. pb = = 0,6 6 3 4 3 c. p c = 1 − = 0,8 6 3 d. p d = 1 p d > pc > pb > p a 5 8. a. p3 = ⋅ 0,75 3 ⋅ 0,25 2 = 0,2637 3 5 5 b. p = ∑ ⋅ 0,25 k ⋅ 0,75 5− k = 0,1035 k =3 k 3 9. a. p = 1 − ⋅ 0,5 3 ⋅ 0,5 0 = 0,875 3
15
Valószínűség-számítás
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
3 b. p = ⋅ 0,5 2 ⋅ 0.51 = 0,375 2 3 3 c. p = ⋅ 0,5 2 ⋅ 0.51 + ⋅ 0,5 3 ⋅ 0.5 0 = 0,5 2 3 3 d. p = 2 ⋅ ⋅ 0,5 3 ⋅ 0,5 0 = 0,25 3 30 5 ⋅ 4 0 10. a. p = 1 − = 0,4766 35 4 30 5 30 5 ⋅ + ⋅ 4 0 3 1 b. p = 1 − = 0,0889 35 4 30 5 30 5 ⋅ + ⋅ 4 0 3 1 c. p = = 0,9110 35 4 11. a. p(vásárol ) = 0,05
20 p a = 1 − ⋅ 0,05 0 ⋅ 0,95 20 = 0,6415 0
3 20 b. pb = ∑ ⋅ 0,05 k ⋅ 0,95 20− k = 0,9842 k =0 k c. M (ξ ) = λ = 1
pa = 1 −
10 −1 e = 0,6321 0!
1k −1 e = 0,981 k = 0 k! 3
pb = ∑
Független események valószínűsége 1. a. p = 0,85 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8 = 0,612 b. p = 1 − 0,15 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 = 0,997 c. p = 0,85 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 + 0,15 ⋅ 0,9 ⋅ 0,2 + 0,15 ⋅ 0,1 ⋅ 0,8 = 0,056 2.
a. P( A) = 0,4
(
P(B ) = 0,1
P(C ) = 0,2
)
P ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) = 0,4 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 + 0,4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,2 + 0,4 ⋅ 0,1 ⋅ 0,8 = 0,112
(
)
b. P ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) = 0,4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8 + 0,6 ⋅ 0,1 ⋅ 0,8 + 0,6 ⋅ 0,9 ⋅ 0,2 = 0,444 Feltételes valószínűség 1. a. B1: első nyomda készíti
B2: második nyomda készíti
16
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
P( A B1 ) = 0,05
P(B1 ) = 0,25
P( A B1 ) = 0,01
P(B2 ) = 0,75
P( A) = 0,25 ⋅ 0,05 + 0,75 ⋅ 0,01 = 0,02 0,25 ⋅ 0,95 b. P B1 A = = 0,2423 1 − 0,02
( )
2. a. P ( A2 B1 ) =
(
)
P B2 A3 =
(
)
440 = 0,3492 500 + 440 + 320 510 + 390 = 0,3557 (500 + 510 + 415) + (440 + 390 + 275)
b. P B2 | A1 =
(440 + 275) + (320 + 190) 1225 = = 0,6397 (440 + 390 + 275) + (320 + 300 + 190) 1915
A második és harmadik gép által készített termékek között az első- és harmadosztályúak valószínűsége. 300 P (A3 B2 ) = = 0,25 510 + 390 + 300 A másodosztályú termékek között azok valószínűsége, melyet a harmadik gép készített. 3. a.
P(R ) = 0,25 P(E ) = 0,35 P( N ) = 0,4
P(i R ) = 0,8
P(i E ) = 0,6
P (i N ) = 0,7
P (i ) = 0,25 ⋅ 0,8 + 0,36 ⋅ 0,6 + 0,4 ⋅ 0,7 = 0,69
b. P (R i ) =
0,25 ⋅ 0,8 = 0,2899 0,69
4. a. A: metálfényezésű B1: katalógusár felett gusáron P(B1 ) = 0,35 P ( A B1 ) = 0,7 P(B2 ) = 0,25
P(B3 ) = 0,4
B2: katalógusár alatt
P ( A B2 ) = 0,3
P ( A B3 ) = 0,45
P ( A) = 0,35 ⋅ 0,7 + 0,25 ⋅ 0,3 + 0,4 ⋅ 0,45 = 0,5
b. P (B1 A) =
0,35 ⋅ 0,7 = 0,49 0,5
5. a. A: műszaki hiányosság P(B1 ) = 0,4 P (B2 ) = 0,35
P(B3 ) = 0,25
B1: személyautó B2: teherautó P ( A B1 ) = 0,15 P (A B2 ) = 0,2
P ( A B3 ) = 0,35
P( A) = 0,4 ⋅ 0,15 + 0,35 ⋅ 0,2 + 0,25 ⋅ 0,35 = 0,2175
17
B3: egyéb
B3: kataló-
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
0,35 ⋅ 0,2 = 0,3218 0,2175 0,35 ⋅ 0,8 + 0,25 ⋅ 0,65 c. P B1 A = = 0,5655 1 − 0,2175
b. P (B2 A) =
( )
6.
A: fővárosi
B1: <5
P ( A) = 0,6
B2: 5-10 B3:>10 1 P(B1 A) = 4 1 P (B2 A) = 3 1 1 5 P(B3 A) = 1 − + = = 0,4167 4 3 12
Eloszlások 1.
xk
pk
xk ⋅ pk
0
p 0 = 0,2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,096
0
x k2 ⋅ p k 0
1 2 3
p1 = 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 + 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,8 + 0,2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,2 = 0,472 p 2 = 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 + 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,2 + 0,8 ⋅ 0,4 ⋅ 0,8 = 0,368 p 3 = 0,8 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 = 0,064
0,472 0,736 0,192
0,472 1,472 0,576
3
∑p
k
3
∑x
=1
k
0
0
3
M (ξ ) = ∑ x k ⋅ p k = 1,4 0
( )
D (ξ ) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 2,52 − 1,4 2 = 0,7483
2. a.
18
⋅ pk = 1,4
3
∑x 0
2 k
⋅ pk = 2,52
Heller Farkas Főiskola
xk 0
Levelező tagozat
Valószínűség-számítás
pk 4 6 ⋅ 0 3 = 0,1667 10 3
1
4 6 ⋅ 1 2 = 0,5 10 3
2
4 6 ⋅ 2 1 = 0,3 10 3
3
4 6 ⋅ ⋅ 3 0 = 0,0333 10 3
ha x ≤0 0, 0,1667, ha 0 < x ≤ 1 F(x)= 0,6667, ha 1 < x ≤ 2 0,9667, ha 2 < x ≤ 3 1, ha 3 < x
6 4 6 4 ⋅ + ⋅ 2 1 3 0 b. = 0,6667 10 3 3. a.
xk
pk
xk ⋅ pk
0
3 p 0 = ⋅ 0,2 0 ⋅ 0,8 3 = 0,512 0 3 p1 = ⋅ 0,21 ⋅ 0,8 2 = 0,3840 1
0
x k2 ⋅ p k 0
0,3840
0,384
0,192
0,384
0,0240
0,072
1
3 p 2 = ⋅ 0,2 2 ⋅ 0,81 = 0,0960 2 3 p3 = ⋅ 0,2 3 ⋅ 0,8 0 = 0,0080 3
2 3
3
3
∑ xk ⋅ pk = 0,6
∑ pk = 1
0
0
3
M (ξ ) = ∑ xk ⋅ pk = 0,6 0
( )
D (ξ ) = M ξ 2 − M 2 (ξ ) = 0,84 − 0,6 2 = 0,6928
19
3
∑x 0
2 k
⋅ pk = 0,84
Heller Farkas Főiskola 0, ha 0,512, ha b. F(x)= 0,896, ha 0,992, ha 1, ha
Levelező tagozat x≤0 0 < x ≤1 1< x ≤ 2 2< x≤3 3< x
c. F (3) = p(ξ < 3) val. 4. a. m = 25
Valószínűség-számítás
A három nyertes között van olyan, aki nem rendelkezik gépkocsi-
σ = 1,5
22 − 25 p(ξ > 22 ) = 1 − p (ξ ≤ 22 ) = 1 − F (22 ) = 1 − Φ = 1 − Φ (− 2 ) = 1 − (1 − Φ (2 )) = Φ(2) = 0,9772 1,5 b.
28 − 25 23,5 − 25 p (23,5 < ξ < 28) = F (28) − F (23,5) = Φ − Φ = Φ(2) − Φ(− 1) = Φ (2 ) − (1 − Φ (1)) = 1,5 1,5 Φ (2 ) + Φ (1) − 1 = 0,9772 + 0,8413 − 1 = 0,8185 c. P (ξ − M (ξ ) < t ⋅ D (ξ )) ≥ 1 −
1 1 P ( ξ − 25 < t ⋅ 1,5) ≥ 1 − 2 2 t t 4 9 7 2 = t ⋅ 1,5 → t = → P ≥ 1− = = 0,4375 3 16 16 P ≥ 0,4375 A valószínűség legalább 0,4375.
5. a.
λ =5 P(ξ ≥ 10 ) = 1 − P(ξ < 10 ) = 1 − P(ξ = 0, ξ = 1,...ξ = 9,) = 1 − 0,0067 − 0,0337 − ... − 0,0363 = 0,0318 b. P(ξ < 4 , ξ > 6) = P(ξ = 0,1,2,3, 7,8,...) = 1 − P(ξ = 4,5,6 ) = 1 − 0,1755 − 0,1755 − 0,1462 = 0,5028 c. P (ξ − M (ξ ) < 2 ⋅ D(ξ )) = P ξ − 5 < 2 ⋅ 5 = P( ξ − 5 < 4,47 ) = P(1 ≤ ξ ≤ 9 ) = P(ξ = 1,2...9 ) = 0,9615
(
)
6. a. M (ξ ) = 0,5 → λ = 2 p (ξ < 1) = F (1) = 1 − e −2 = 0,8647 b. p (1 < ξ < 1,5) = F (1,5) − F (1) = 1 − e −3 − 1 − e −2 = e −2 − e −3 = 0,0855 c. p(ξ > 0,5) = 1 − F (0,5) = 1 − 1 − e −1 = e −1 = 0,3679
(
)
(
)
7. a. m = 150 σ = 15
140 − 150 p(ξ > 140) = 1 − p(ξ ≤ 140 ) = 1 − F (140) = 1 − Φ = 1 − Φ (− 0,6667 ) = 1 − (1 − Φ (0,6667 )) = 15 Φ (0,6667 ) = 0,7486 b. 120 − 150 180 − 150 p(120 < ξ < 180) = F (180) − F (120) = Φ = Φ (2) − Φ (− 2) = − Φ 15 15 Φ (2 ) − (1 − Φ (2 )) = 2 ⋅ Φ(2 ) − 1 = 0,9544
20
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
c. P ( ξ − 150 < t ⋅ 15) ≥ 1 −
30 = t ⋅ 15
1 t2
→ t=2
8. a. M (ξ ) = 15
Valószínűség-számítás
→
P ≥ 1−
1 3 = = 0,75 4 4
A valószínűség legalább 0,75.
1 15 p (ξ < 15) = F (15) = 1 − e −1 = 0,6321 b. p(30 ≤ ξ ≤ 45) = F (45) − F (30) = 1 − e −3 − 1 − e −2 = e −2 − e −3 = 0,0855 c. a várható értéke kétszeresénél többet várakozik? p (ξ > 30) = 1 − p (ξ ≤ 30) = 1 − F (30 ) = 1 − 1 − e −2 = e −2 = 0,1353
λ=
→
(
)
(
)
M (ξ ) = 6
9. a. 500-nak az 1,2%-a: 6 →
6
k
k =4
k!
b. p(4 ≤ ξ < 7 ) = p 4 + p 5 + p 6 = p b = ∑ 6 e −6 =0,1339 + 0,1606 + 0,1606 = 0,4551
200 10. a. = 0,4 hiba oldalanként 500 b. M (ξ ) = 25 ⋅ 0,4 = 10 = λ
→
4 0 −4 p0 = ⋅ e = 0,0183 0!
M (ξ ) = 4 = λ
10 k −10 e = 0,1126 + 0,1251 + 0,1251 + 0,1137 = 0,4765 k =8 k ! 11
p (8 ≤ ξ < 12 ) = ∑
Csebisev-egyenlőtlenség 1. a. M (ξ ) = 35
P ( ξ − M (ξ ) ≥ t ⋅ D(ξ )) ≤
D(ξ ) = 0,3
1 t2
P (ξ − 35 ≥ t ⋅ 0,3) ≤
t ⋅ 0,3 = 1
1 t2 10 t= 3
→
→ P ≤ 0,09
b. P (ξ − M (ξ ) < t ⋅ D (ξ )) ≥ 1 − 1 → t = 20 t2 ξ − M (ξ ) < t ⋅ D(ξ ) →
0.95 = 1 −
A valószínűség legfeljebb 0,09.
1 t2 → t ⋅ D (ξ ) = 0,3 ⋅ 20 = 1,34
ξ − 35 < 1,34 → 33,66 < ξ < 36,34
2. P ( ξ − 600 ≥ 400 ) ≤
1 t2 t ⋅ 100 = 400 → t = 4 → P ≤ 0,0625 A valószínűség legfeljebb 0,0625.
3. P ( ξ − 150 ≥ 20 ) ≤
1 t2
4 → P ≤ 0,5625 3 A valószínűség legfeljebb 0,5625. t ⋅ 15 = 20
→
t=
21
Heller Farkas Főiskola
Levelező tagozat
Nagy számok törvénye
p = 0,3 q = 0,7 ε = 0,02 0,3 ⋅ 0,7 → n ≥ 5250 0,9 ≥ 1 − 0,02 2 n Legalább 5250.
1. a. P = 0.9
p = 0,5 q = 0,5 ε = 0,02 0,5 ⋅ 0,5 → n ≥ 6250 0,9 ≥ 1 − 0,02 2 n Legalább 6250.
b. P = 0,9
2.
p = 0,1 q = 0,9 ε = 0,02 0,1 ⋅ 0,9 → n ≥ 4500 0,95 ≥ 1 − 0,02 2 n Legalább 4500.
3.
p = 0,03 q = 0,97 ε = 0,04 n = 600 0,03 ⋅ 0,97 → P ≥1− P ≥ 0,9697 0,04 2 ⋅ 600 A valószínűség legalább 0,9697.
P = 0,95
22
Valószínűség-számítás
