Matematika II: Aplikované úlohy

Matematika II: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

Matematika II - aplikované úlohy

Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava

ˇ - Rosettská deska I Ry 280

259.

Zadání Rosettská deska je tradiˇcní oznaˇcení cˇ erné žulové stély, na níž je ve 166 znacích zaznamenán text ve tˇrech shodných verzích: dvou egyptských (v hieroglyfickém a démotickém písmu) a jednom ˇreckém pˇrekladu. Konfrontace ˇreckého pˇrekladu s do té doby neˇcitelným hieroglyfickým textem umožnila rozluštˇení hieroglyf˚u. Rosettská deska byla objevena 15. cˇ ervence 1799 v Egyptˇe u mˇesta Rosetta pˇri ústí Nilu.

f (x)

100 80

Funkce f ( x ) je po cˇ ástech kvadratická funkce urˇcená body [0, 80], [30, 100], [60, 105], [70, 80], [80, 65]. Funkce g( x ) je po cˇ ástech kvadratická funkce urˇcená body [0, 5], [30, 3], [60, 10], [70, 16], [80, 30].

60

Najdˇete pˇredpisy funkcí popisující tvar desky.

20

40

g( x )

0

20

40

60

80

ˇ Rešení Funkce f je po cˇ ástech kvadratická funkce, tedy má na intervalu h0, 60i pˇred- [60, 105], [70, 80], [80, 65]. pis kvadratické funkce urˇcené body [0, 80], [30, 100], [60, 105], a na inter      valu h60, 80i jiný pˇredpis kvadratické funkce urˇcené body [60, 105], [70, 80], 3600 60 1 a 105       [80, 65].  4900 70 1  ·  b  =  80        Body [0, 80], [30, 100], [60, 105] dosadíme do pˇredpisu kvadratické funkce: 6400 80 1 c 65 2 y = ax + bx + c 1 ˇ Rešení je a = 20 , b = −9, c = 465. Stejným zp˚usobem spoˇcítáme pˇredpisy a dostaneme soustavu lineárních rovnic: funkce g.       Výsledné funkce jsou: a 80 0 0 1         900 20 1  ·  b  =  100  1 2 11         − x + x + 80 x ∈ h0, 60i c 105 3600 60 1 120 12 f (x) = 1   x2 − 9x + 465 x ∈ h60, 80i 1 ˇ 20 Rešení je a = − 120 , b = 11 , c = 80. Funkce má pˇ r edpis: 12  1 2 13 1 2 11   x − x + 5 x ∈ h0, 60i f (x) = − x + x + 80 x ∈ h0, 60i 200 60 120 12 g( x ) = 1 23   x2 − x + 142 x ∈ h60, 80i Obdobnˇe spoˇcítáme pˇredpis funkce f na intervalu h60, 80i, která je urˇcena body 25 5



ˇ - Rosettská deska II Ry 281

260.

Zadání Rosettská deska je z cˇ erného cˇ ediˇce (ρ = 2900 kg/m3 ) a její tloušt’ka je 28 cm.   1 2 11 1 2 13    −  x + x + 80 x ∈ h0, 60i x − x + 5 x ∈ h0, 60i 120 12 200 60 f (x) = g( x ) = 23 1 1     x2 − 9x + 465 x ∈ h60, 80i x2 − x + 142 x ∈ h60, 80i 20 25 5 Lze desku pˇrenést jeˇrábem s nosností 800 kg? Do kterého místa umístíme hák? ˇ Rešení Nejprve spoˇcítáme plošnou hustotu: σ = 2900 kg m3 · 28 cm = 0.0029 kg cm3 · 28 cm = 8.12 kg cm2 Hmotnost desky je rovna souˇcinu plošné hustoty a obsahu: Z 80

f ( x ) − g( x ) dx = Z 60 1 2 13 1 2 11 =σ − x + x + 80 − x − x+5 dx + 120 12 200 60 0 Z 80 1 2 1 2 23 +σ x − 9x + 465 − x − x + 142 dx = 20 25 5 60 . =σ(5580 + 1286.6) = σ 6866.6 = 8.12 · 6866.6 = 557 kg

m =σ

0

Pro výpoˇcet težištˇe spoˇcítáme statické momenty: 1 Sx =σ 2

Z 80

f 2 ( x ) − g2 ( x ) dx = 2 2 ! Z 1 2 11 1 60 1 2 13 − x + x + 80 − x − x+5 dx + =σ 2 0 120 12 200 60 2 2 ! Z 1 80 1 2 1 2 23 +σ x − 9x + 465 − x − x + 142 dx = 2 60 20 25 5

Z 80

x ( f ( x ) − g( x )) dx = Z 60 1 2 11 1 2 13 =σ x − x + x + 80 − x − x+5 dx + 120 12 200 60 0 Z 80 1 2 1 2 23 +σ x x − 9x + 465 − x − x + 142 dx = 20 25 5 60 =σ(173400 + 88066.6) = σ 261466.6

Sy = σ

0

Tˇežištˇe je v bodˇe:

Sy S x T= ; m m

σ 261466.6 σ 350874 . = [38.07; 51.09] ; σ 6866.6 σ 6866.6

0

=σ(286176 + 64698) = σ 350874

f (x)

100 80 60 40 20

T g( x )

0 40

80



ˇ - Gateway Arch I Ry 282

261.

Zadání Známý památník Gateway Arch je symbolem Saint Louis (stát Missouri, USA). Památník navrhl finsko-americký architekt Eero Saarinen a nˇemecko-americký stavební inženýr Hannskarl Bandel v roce 1947. Stavba zaˇcala v roce 1963 a byla dokonˇcena v roce 1965, celkové náklady byly 13 milion˚u dolar˚u. Gateway Arch má tvar ˇretˇezovky, která má stejnou šíˇrku pˇri zemi a výšku 630 stop. Jaký je pˇredpis kˇrivky popisující památník? Nápovˇeda: y = − a · cosh

x a

+b

ˇ Rešení Osu x umístíme na zem a osa y je totožná s osou symetrie památníku. (0, 630)

600 500 400 300 200 100

−400

−200

Z první rovnice vyjádˇríme b a dosadíme do druhé rovnice: 315 + a + 630 = 0 − a · cosh a

Rovnici (∗∗) lze vyˇrešit numericky nebo použitím vhodného matematického programu. GeoGebra má k dispozici pˇríkaz NuloveBody f(a)=-a*cosh(315/a)+a+630 NuloveBody[f,100]

(315, 0)

0

200

(∗∗)

400

400 200

(127.71, 0)

Hledanou kˇrivkou je ˇretˇezovka: y = − a · cosh

x a

−200

+b

(∗)

0

200

400

f ( a) = − a · cosh( 315 a ) + a + 630

Na kˇrivce leží body [0; 630] a [315; 0], které dosadíme do vztahu (∗) a dosta- Rešení ˇ je a = 127.7, b = 757.7 a ˇretˇezovka má pˇredpis: neme dvˇe rovnice: x 0 y = − 127.7 · cosh + 757.7 630 = − a · cosh +b 127.7 a 315 kde x ∈ h−315 stop; 315 stopi. 0 = − a · cosh +b a



ˇ - Gateway Arch II Ry 283

262.

Zadání Památník Gateway Arch má tvar ˇretˇezovky:

kde x ∈ h−315 stop; 315 stopi.

x y = −127.7 · cosh + 757.7 127.7

Hlemýžd’ se pohybuje rychlostí 1 metr za 1 hodinu. Dostane se na vrchol památníku za týden? Nápovˇeda: 1 stopa = 0.3048 m

ˇ Rešení Vypoˇcítáme derivaci:

x y0 = − 127.7 · cosh + 757.7 = 127.7 x x 1 = −sinh · = − 127.7 · sinh 127.7 127.7 127.7 Délka kˇrivky se spoˇcítá: Z 315 r Z bq x 0 2 s= 1 + (y ) dx = 1 + sinh2 dx = 127.7 −315 a Z 315 x h x i315 = dx = 127.7 · sinh = cosh 127.7 127.7 −315 −315 =1493.94 stop

Délka kˇrivky se spoˇcítá: s=

Z bq a

1 + (y0 ) 2 dx =

Z 315

−315

s

1 x x − 127.7 127.7 1+ − e −e 2

Z x 1 315 x e 127.7 + e− 127.7 dx = 2 −315 127.7 h x i315 127.7 h − x i315 = e 127.7 − e 127.7 = 2 2 −315 −315

2

dx =

=

315

−315

=127.7 e 127.7 − e 127.7

= 1493.94 stop = 455.35 m = 0.45535 km

Rychlost je v = 1 m · h−1 = 0.001 km · h−1 . Ukážeme i výpoˇcet bez použití hyperbolických funkcí. Hyperbolický kosinus Vypoˇcítáme cˇ as, kdy se hlemýžd’ dostane na vrchol památníku, tj. do poloviny vyjádˇríme podle definice a spoˇcítáme derivaci: délky: x y = − 127.7 · cosh + 757.7 = 0.5 · s 0.5 · 0.45535 227.675 127.7 t= = = 227.675 hodin = dní = 9.4865 dní x x v 0.001 24 e 127.7 + e− 127.7 = − 127.7 · + 757.7 2 x 1 x y0 = − e 127.7 − e− 127.7 2



ˇ - Chladící vˇež Ledvice I Ry 284

263.

Zadání Chladící vˇeže jsou nezbytnou souˇcástí elektráren. Slouží ke chlazení vody, která se používá pˇri výrobním procesu elektrické energie ve strojovnˇe. Nová vˇež s pˇrirozeným tahem pro elektrárnu Ledvice je po chladících vˇežích na jaderné ˇ elektrárnˇe Temelín druhá nejvyšší v CR. Je pˇresnˇe 144.80 m vysoká a její pr˚umˇer na patˇe bude 102.91 m a v korunˇe 71.23 m. Nejužší místo vˇeže je ve výšce 111.5 m. Chladící vˇež má tvar rotaˇcního hyperboloidu. Jaký je pˇredpis kˇrivky, popisující tvar vˇeže?

ˇ Rešení Osu x umístíme do nejužšího místa vˇeže a osa y je totožná s osou symetrie vˇeže. Hledanou kˇrivkou je hyperbola se stˇredem v poˇcátku souˇradnic: x 2 y2 − 2 = 1. a2 b

71.23

(∗) 0

Na hyperbole leží body [35.615; 33.3] a [51.455; −111.5], které dosadíme do rovnice (∗) a dostaneme: 35.6152 33.32 − 2 =1 a2 b 2 51.455 (−111.5)2 − =1 a2 b2

144.8

ˇ Rešení: a = 33.66, b = 96.46. Výsledná kˇrivka je dána pˇredpisem: x2 y2 − = 1, 33.662 96.462 kde y ∈ h−111.5; 33.3i.

(35.615, 33.3)

(51.455, −111.5) 102.91



ˇ - Chladící vˇež Ledvice II Ry 285

264.

Zadání Chladící vˇež má tvar rotaˇcního hyperboloidu. Hyperbola je dána: x2 y2 − = 1. 33.662 96.462 kde y ∈ h−111.5 m; 33.3 mi. Jaký je objem a povrch vˇeže? Nápovˇeda:

R√

k2 + x2 =

x 2

√

k2 + x2 +

k2 2

ln

√ x + k2 + x2 k

ˇ Rešení Hyperboloid vznikne rotací cˇ ásti hyperboly kolem osy y a proto explicitnˇe vy- Povrch rotaˇcního tˇelesa se spoˇcítá: jádˇríme x: Z b q r y2 P = 2π x 1 + ( x 0 )2 dy = x = 33.66 1 + a 2 96.46 v !2 u r Z b Objem rotaˇcního tˇelesa se spoˇcítá: 2 u y 33.66 y t Z b Z 33.3 p =2π 33.66 1 + 1+ dy = y2 2 2 96.462 a 96.46 96.462 + y2 dy = V =π x dy = π 33.66 1 + 96.462 s a −111.5 √ Z 33.3 3 33.3 ! 2 2 33.66 96.46 + 33.66 96.464 1 y 33.3 + y2 dy = = 2π 2 2 2 + 33.662 =π · 33.66 [y]−111.5 + = 96.46 96.46 − 111.5 2 3 −111.5 96.46 Z q 33.66 33.3 3 3 = 2π k2 + y2 dy 1 111.5 33.3 k =π · 33.662 33.3 + 111.5 + + s−111.5 3 3 96.462 96.464 =696872.49 m3 kde k = = 91.0743 96.462 + 33.662 Vypoˇcítáme derivaci: P =535768.36 m2 33.66 1 2y 33.66 y q p x0 = = 2 y2 96.462 96.46 96.462 + y2 1 + 96.462



ˇ - Teplota v pokoji I Ry 286

265.

Zadání V místnosti o rozmˇerech 10 m × 10 m je v jihovýchodním rohu a v polovinˇe jižní stˇeny teplota 19 ◦ C, v jihozápadním rohu 14 ◦ C, v polovinˇe západní stˇeny 18.5 ◦ C, v severozápadním rohu 13 ◦ C a v severovýchodním rohu je 8 ◦ C. Najdˇete kvadratickou plochu popisující teplotu.

ˇ Rešení ˇ Rešení soustavy je a1 = −0.1, a2 = −0.1, a3 = 0, a4 = 0.5, a5 = 0.4, a6 = 19 a funkce má pˇredpis:

Kvadratická funkce má pˇredpis: f ( x, y) = a1 x2 + a2 y2 + a3 xy + a4 x + a5 y + a6 Funkce je urˇcena body f (0, 0) = 19, f (5, 0) = 19, f (10, 0) = 14, f (0, 5) = 18.5, f (0, 10) = 13, f (10, 10) = 8.

f ( x, y) = −0.1x2 − 0.1y2 + 0.5x + 0.4y + 19 ,

x, y ∈ h0, 10i

y 10

13 ◦ C

8 ◦C

20 18

f(x,y)

5

16

18.5 ◦ C

14 12

19

0

◦C

19

◦C

5

14

10

◦C

10

x

8 10

Dosadíme body do pˇredpisu funkce f ( x, y) a dostaneme soustavu lineárních rovnic:       19 0 0 0 0 0 1 a1        25   a   19  0 0 5 0 1    2             100   0 0 10 0 1   a3   14     0 25  ·  a  =  18.5  0 0 5 1    4           0 100     0 0 10 1   a5   13    100 100 100 10 10 1

a6

8

y

5 0

0

2

4

6 x

8

10



ˇ - Teplota v pokoji II Ry 287

266.

Zadání V místnosti o rozmˇerech 10 m × 10 m je teplota popsána funkcí: f ( x, y) = −0.1x2 − 0.1y2 + 0.5x + 0.4y + 19 ,

x, y ∈ h0, 10i

V kterém místˇe bude nejtepleji? Bude tam tepleji než 20 ◦ C?

ˇ Rešení Pro nalezení lokálního extrému je potˇreba najít stacionární body:

V bodˇe A = [2.5; 2] je ostré lokální maximum f (2.5, 2) = 20.02 ◦ C.

∂f = − 0.2x + 0.5 ∂x ∂f = − 0.2y + 0.4 ∂y 20

Stacionární bod je A = [2.5; 2]. Spoˇcítáme druhé parciální derivace: ∂2 f = −0.2 , ∂y2

16

∂2 f =0 ∂x∂y

14 12 f(x,y)

∂2 f = −0.2 , ∂x2

18

Urˇcíme hodnoty Hessiánu:

10 8

∂2 f ∂2 f ∂2 f D2 = 2 ( A) 2 ( A) − ( A) ∂x∂y ∂x ∂y ∂2 f D1 = 2 ( A) = −0.2 < 0 ∂x

2

6

= 0.04 > 0

4 2 0 10 A

5 0 y

0

4

2 x

6

8

10



ˇ - Teplota v pokoji III Ry 288

267.


x, y ∈ h0, 10i

P˚ujdeme z jihovýchodního do severozápadního rohu. V kterém místˇe této cesty bude nejtepleji? Jaká je pr˚umˇerná teplota na této cestˇe? ˇ Rešení Hledáme vázaný extrém funkce f ( x, y) vzhledem k podmínce y = 10 − x. 10

y = 10 − x

5

0

5

10

Pr˚umˇerná hodnota funkce je dána: Z

Z

b 10 1 1 f pr˚um = f ( x ) dx = −0.2x2 + 2.1x + 13 dx = b−a a 10 − 0 0 10 1 −0.2 3 2.1 2 x + x + 13x = 16.83 = 10 3 2 0

Pr˚umˇerná teplota na cestˇe je 16.83 ◦ C.

Podmínku dosadíme do pˇredpisu funkce f : f ( x ) = −0.1x2 − 0.1(10 − x )2 + 0.5x + 0.4(10 − x ) + 19

= −0.2x2 + 2.1x + 13 Najdeme lokální maximum funkce f ( x ): f 0 ( x ) = 0 ⇒ −0.4x + 2.1 = 0 ⇒ x = 5.25 f 00 ( x ) = −0.4 < 0 ⇒ x = 5.25 je maximum Dopoˇcítáme druhou souˇradnici y = 10 − 5.25 = 4.75. V bodˇe [5.25; 4.75] je nejvˇetší teplota f (5.25, 4.75) = 18.51 ◦ C.

(5.25, 18.51)

20

y = 16.83

15

f ( x ) = −0.2x2 + 2.1x + 13

10 5 0

5

10



ˇ - Teplota v pokoji IV Ry 289

268.


x, y ∈ h0, 10i

Projdeme se pokojem po nejvˇetší možné kružnici. V kterém místˇe této cesty bude nejtepleji? Bude tam tepleji než 20 ◦ C? ˇ Rešení Hledáme vázaný extrém funkce f ( x, y) vzhledem k podmínce ( x − 5)2 + (y − 5)2 − 25 = 0. 10 (5, 5) r=5

0

5

A1 : A2 :

dosadíme do druhé a vyjádˇríme

do poslední rovnice a získáme kvadratickou rov0

x1 = 1.7991, x2 = 8.2009,

y1 = 1.1589, y2 = 8.8411,

λ1 = 0.0219 λ2 = 0.1781

10

Urˇcíme druhé parciální derivace:

Sestavíme Lagrangeovu funkci: Φ( x, y, λ) = f ( x, y) + λg( x, y) = −0.1x2 − 0.1y2 + 0.5x + 2 2 + 0.4y + 19 + λ ( x − 5) + (y − 5) − 25

Najdeme stacionární body funkce Φ:

⇒

y = 15 (6x − 5), dosadíme nici: 61x2 − 610x + 900 =

2x −5 20( x −5)

Máme dva stacionání body:

5

∂Φ =0 ∂x ∂Φ =0 ∂y ∂Φ =0 ∂λ

Z první rovnice vyjádˇríme λ =

∂2 Φ = −0.2 + 2λ, ∂x2

∂2 Φ = −0.2 + 2λ, ∂y2

∂2 Φ ∂y = 0 ∂x

V obou bodech A1 , A2 bude extrém, nebot’ D2 = (−0.2 + 2λ)2 > 0, urˇcíme o jaký extrém se jedná:

−0.2x + 0.5 + 2λ( x − 5) = 0

⇒

−0.2y + 0.4 + 2λ(y − 5) = 0

⇒

( x − 5)2 + (y − 5)2 − 25 = 0

D1 ( A1 ) = −0.2 + 2 · 0.0219 = −0.1562 < 0 v A1 je maximum D1 ( A2 ) = −0.2 + 2 · 0.0219 = 0.1562 > 0 v A2 je minimum Tedy v bodˇe [1.7991, 1.1589] je nejvˇetší teplota 19.9051 ◦ C.

Matematika II: Aplikované úlohy

Recommend Documents