Gazdasági matematika II

´ matematika II. Gazdasagi ´ o, ´ Pap Gyula Losonczi Laszl Debreceni Egyetem

´ II. fel ´ ev ´ Debrecen, 2009/2010 tanev,

´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

1 / 180

´ evk ´ ozi ¨ kotelez ¨ ´ feladatok beadasi ´ hatarideje: ´ Fel o˝ hazi ´ feladat beadasa ´ a marcius ´ ´ ´ o˝ gyakorlaton 1. hazi 15–19 heten lev ´ feladat beadasa ´ a majus ´ ´ ´ o˝ gyakorlaton 2. hazi 3–7 heten lev ´ ´ sikeresen meg´ırt dolgozat, valamint a gyakorlatra Ezek teljes´ıtese, ket ´ as ´ (legfeljebb 3 hianyz ´ ´ szuks ´ ´ ırashoz! ´ jar as) a gyakorlati ala´ ¨ eges



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

2 / 180

´ Ajanlott irodalom: ´ P ETER H AMMOND K NUT S YDSÆTER es ¨ ´ Matematika kozgazd aszoknak Aula, 1998. ´ D ENKINGER G EZA Anal´ızis: gyakorlatok ¨ ´ 1999. Nemzeti Tankonyvkiad o, ´ D ENKINGER G EZA ´ ınus ´ ´ ıtas ´ Valosz´ am´ ˝ egsz ¨ ´ 1982. Tankonyvkiad o, ´ D ENKINGER G EZA ´ ınus ´ ´ ıtas ´ peldat ´ ´ Valosz´ egsz am´ ar ˝ ¨ ´ 1971. Tankonyvkiad o,



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

3 / 180

´ Ajanlott irodalom:

´ ´ KOV ACS Z OLT AN ´ linearis ´ algebra gyakorlatokhoz Feladatgyujtem eny ˝ ´ 2005. Kossuth Egyetemi Kiado, ´ ´ A´ R L ASZL ´ G ASP O ´ algebra peldat ´ ´ Linearis ar ¨ ´ 1971. Tankonyvkiad o, ´ ´ KOZMA L ASZL O Matematikai alapok ´ 1999. Studium Kiado,



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

4 / 180

´ Ajanlott irodalom:

´ ´ L OSONCZI L ASZL O ˝ ask ´ ovet ¨ o˝ anyagok es ´ feladatok Eload http://www.math.klte.hu/˜losi/huindex.htm PAP G YULA ˝ ask ´ ovet ¨ o˝ anyagok es ´ feladatok Eload http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/papgy/ ´ L AJK O´ K AROLY ´ matematika I. Gazdasagi http://www.math.klte.hu/˜lajko/



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

5 / 180

´ 9. AZ Rk VEKTORTER ´ fogalma 9.1 Az Rk vektorter

´ Az Rk vektorter ´ Rk := {(x1 , x2 , . . . , xk ) : xi ∈ R minden i = 1, 2, . . . , k eseten}. ´ pontjai. Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk sorozatok a ter ´ ´ ai. ´ Az x1 , x2 , . . . , xk szamok az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) pont koordinat ´ is felfoghatjuk Rk pontjait vektorokkent ´ ´ ´ az egyes pontoknak a (koordinatarendszer felvetele utan ˝ ´ hozzajuk ´ ´ ıtott szakaszt feleltetjuk kezdopontb ol vezeto˝ irany´ ¨ meg).



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

6 / 180


¨ ´ Rk -ban Osszead as ´ y = (y1 , y2 , . . . , yk ) ∈ Rk vektorok Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk es ¨ osszege x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xk + yk ).

´ ´ Rk -ban Skalarral valo´ szorzas ´ Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk vektor λ ∈ R skalarral valo´ szorzata λx := (λx1 , λx2 , . . . , λxk ).



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

7 / 180


¨ ´ es ´ a skalarral ´ ´ tulajdonsagai ´ Az osszead as valo´ szorzas ´ ´ a 0 = (0, 0, . . . , 0) zerusvektorral ´ Barmely x, y, z ∈ Rk eseten ´ −x := (−1)x ellentett vektorral es x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, x + 0 = x, x + (−x) = 0. ´ ´ barmely ´ ´ Barmely x, y ∈ Rk es λ, µ, 1 ∈ R eseten λ(x + y ) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx, (λµ)x = λ(µx), 1x = x. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

8 / 180

´ 9. AZ Rk VEKTORTER ´ fuggetlens ´ ´ 9.2 Vektorok linearis ege, bazis ¨

´ kombinaci ´ o´ Linearis ´ Az a1 , a2 , . . . , an ∈ Rk vektorok λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R egyutthat okkal ¨ ´ ´ ´ oj ´ an ´ a kepezett linearis kombinaci λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an ´ uk. vektort ertj ¨

´ fuggetlens ´ fugg ˝ eg ´ Linearis eg, ¨ ¨ os ´ Az a1 , . . . , an ∈ Rk vektorrendszert linearisan fuggetlennek ¨ nevezzuk, ¨ ha λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0 ´ all ´ fenn. csak λ1 = λ2 = · · · = λn = 0 eseten ´ ˝ Egy vektorrendszert linearisan fugg ¨ onek nevezunk, ha nem ¨ ´ linearisan fuggetlen. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

9 / 180

´ 9. AZ Rk VEKTORTER ´ fuggetlens ´ ´ 9.2 Vektorok linearis ege, bazis ¨ ´ ˝ akkor leteznek ´ Ha a1 , . . . , an linearisan fugg olyan ¨ o, ´ melyek nem mind zerusok, ´ ´ λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R egyutthat ok, es ¨ λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0. ´ van olyan ` ∈ {1, 2, . . . , n} index, hogy λ` 6= 0, ´ıgy osztva λ` -lel Ezert λ`−1 λ`+1 λn λ1 a`−1 − a`+1 − · · · − an , a` = − a1 − · · · − λ` λ` λ` λ` ¨ ´ azaz az a` vektor kifejezheto˝ a tobbi vektor linearis ´ ojak ´ ´ kombinaci ent.

´ fuggetlens ´ Linearis eg ¨ ´ csakis akkor linearisan ´ Az a1 , . . . , an ∈ Rk vektorrendszer akkor es fuggetlen, ha ¨ b = λ1 a1 + · · · + λn an , b = λ01 a1 + · · · + λ0n an ´ teljesul. csak λ1 = λ01 , . . . , λn = λ0n eseten ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

10 / 180

´ 9. AZ Rk VEKTORTER ´ fuggetlens ´ ´ 9.2 Vektorok linearis ege, bazis ¨ ´ k dimenzios ´ ´ abban az ertelemben, Az Rk vektorter hogy van ´ ´ Rk -ban k darab linearisan fuggetlen vektor, de barhogyan is ¨ k ´ ´ azok linearisan ´ ˝ valasztunk k + 1 darab vektort R -bol, fugg ¨ ok.

´ Bazis ´ barmely ´ ´ u´ linearisan ´ Az Rk vektorter k szam fuggetlen b1 , . . . , bk ¨ ´ a ter ´ bazis ´ anak ´ vektorat nevezzuk. ¨

´ ak ´ Koordinat ´ egy bazisa, ´ ´ minden v Ha b1 , . . . , bk az Rk vektorter akkor a ter ´ vektora egyertelm uen ˝ ´ırhato´ v = β1 b1 + β2 b2 + · · · + βk bk ´ alakban. Az itt szereplo˝ β1 , β2 , . . . , βk skalarokat a v vektor ´ ara ´ vonatkozo´ koordinat ´ ainak ´ b1 , . . . , bk bazis nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

11 / 180

´ 9. AZ Rk VEKTORTER ´ fuggetlens ´ ´ 9.2 Vektorok linearis ege, bazis ¨

´ Pelda. Az e1 = (1, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, . . . , 0),

...,

ek = (0, 0, . . . , 1) ∈ Rk

´ egy bazis ´ at ´ alkotjak, ´ melyet termeszetes ´ vektorok az Rk ter ´ bazisnak nevezunk. ¨ Ha v = (v1 , v2 , . . . , vk ) ∈ Rk , akkor v = (v1 , v2 , . . . , vk ) = v1 e1 + v2 e2 + · · · + vk ek , ´ ai ´ azonosak v -nek a termeszetes ´ ´ bazisra vonatkozo´ ´ıgy v koordinat ´ aival. ´ koordinat



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

12 / 180

´ 9. AZ Rk VEKTORTER ´ es ´ rang 9.3 Alter

´ Alter ´ alteren ´ ´ ertj ´ uk, ´ Rk olyan L reszhalmaz Az Rk vektorter at ¨ mely nem ´ zart ´ az osszead ¨ ´ ´ a skalarral ´ ´ ´ ures es asra es valo´ szorzasra nezve, azaz ¨ ´ λ ∈ R eseten ´ a + b ∈ L es ´ λa ∈ L teljesul. a, b ∈ L es ¨

´ ´ alter ´ Vektorrendszer altal generalt Egy a1 , a2 , . . . , an vektorrendszert tartalmazo´ legszukebb alteret a ˝ ´ ´ ´ vektorrendszer altal generalt/kifesz´ ıtett alternek nevezzuk. ¨ ¨ es: ´ Jelol L(a1 , a2 , . . . , an ). L(a1 , a2 , . . . , an ) = {α1 a1 + · · · + αn an : α1 , . . . , αn ∈ R}, ´ ´ alter ´ azonos a vektorrendszer azaz egy vektorrendszer altal generalt ´ kepezhet ´ ¨ ´ ´ ok ´ halmazaval. ´ vektoraibol o˝ osszes linearis kombinaci ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

13 / 180


´ dimenzioja ´ Alter ´ ´ dimenzioja ´ Egy L alter r , ha van L-ben r darab linearisan ´ ´ ˝ fuggetlen vektor, de ak arhogyan v alasztunk r + 1 darab vektort L-bol, ¨ ´ ˝ azok linearisan fugg ¨ oek.

Vektorrendszer rangja ´ ´ ´ Egy a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer rangjanak az altala generalt ´ dimenzioj ´ at ´ nevezzuk. L(a1 , a2 , . . . , an ) alter ¨

Vektorrendszer rangja ˝ Az a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerbol ´ ´ szam ´ u, ´ kivalaszthat o´ maximalis fuggetlen vektorok ´ linearisan ¨ ´ aval. ´ szam ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

14 / 180


´ ´ alter ´ Vektorrendszer altal generalt ´ ´ alter ´ nem valtozik ´ Az a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer altal generalt meg ´ ´ıgy a vektorrendszer rangja sem valtozik), ´ (es ha ´ ´ megvaltoztatjuk a vektorok sorrendjet, ´ vagy valamelyik vektort egy λ 6= 0 skalarral megszorozzuk, ´ ´ ´ hozzaadjuk. ´ vagy valamelyik vektorahoz egy masik vektorat



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

15 / 180

´ ´ 10. MATRIXOK, DETERMINANSOK ´ ´ 10.1 Matrix fogalma, muveletek matrixokkal ˝

´ matrix ´ k × n t´ıpusu´ (valos) ´ szamot, ´ Ha k · n darab (valos) az {ai,j : i = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , n} ´ ´ n oszlopban helyezunk ´ ´ szamokat, k sorban es modon: ¨ el az alabbi     a1,1 a1,2 · · · a1,n a1,1 a1,2 · · · a1,n a2,1 a2,2 · · · a2,n  a2,1 a2,2 · · · a2,n      A= . .. ..  , .. ..  vagy A =  .. .. ..    .. . . . . .  . . ak,1 ak ,2 · · · ak,n

ak,1 ak,2 · · · ak,n

´ ´ akkor egy k × n t´ıpusu´ (valos) A = (ai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n matrixot ´ definialtunk. ¨ ´ ´ Rk×n vagy Mk×n jeloli. ¨ Az osszes k × n t´ıpusu´ matrixok halmazat ´ an ´ al ´ mindig a sorok szama ´ A t´ıpus megadas az elso˝ adat! ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

16 / 180

´ ´ 10. MATRIXOK, DETERMINANSOK ´ ´ 10.1 Matrix fogalma, muveletek matrixokkal ˝ ´ ´ Az A = (ai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n matrix i-edik sorvektora/sormatrixa   ´ j-edik oszlopvektora/oszlopmatrixa ´ es a1,j   a  2,j  si = ai,1 ai,2 · · · ai,n , oj =  .   ..  ak,j

´ matrixok ´ Specialis ´ ´ n oszlopa ´ Az A matrix negyzetes vagy kvadratikus, ha n sora es ´ ´ oja) ´ van, azaz A ∈ Rn×n . Diagonalisa (fo˝ atl : {a1,1 , a2,2 , . . . , an,n }. ´ ´ n-edrendu˝ egysegm atrix: az az n-edrendu˝ E = En ∈ Rn×n ´ ´ oj ´ aban ´ ´ azon k´ıvul kvadratikus matrix, melynek fo˝ atl csupa 1 all, ¨ ´ pedig csupa 0 all. ´ ´ k × n t´ıpusu´ zerusm atrix: az a k × n t´ıpusu´ O = Ok×n ∈ Rk×n ´ matrix, melynek minden eleme 0. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

17 / 180


´ ´ Matrix transzponaltja ´ ´ an ´ az Az A = (ai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n ∈ Rk×n matrix transzponaltj A> := (aj,i )j=1,2,...,n; i=1,2,...,k ∈ Rn×k ´ ´ uk ´ ´ oszlopait megcserelve ´ matrixot ertj sorait es kapjuk a ¨ (a matrix ´ ´ at). ´ matrix transzponaltj

´ ¨ ´ es ´ szammal ´ ´ Azonos t´ıpusu´ matrixok osszead asa valo´ szorzasa Legyenek A = (ai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n , ´ legyen ´ B = (bi,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n ∈ Rk×n azonos t´ıpusu´ matrixok es ´ λA ∈ Rk×n matrixok ´ ´ λ ∈ R. Ekkor az A + B ∈ Rk×n es defin´ıcioja: A + B := (ai,j + bi,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n , ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

λA := (λai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n .


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

18 / 180


¨ ´ szammal ´ ´ es ´ transzponal ´ as ´ Az osszead as, valo´ szorzas ´ tulajdonsagai ¨ ´ matrixok ´ ´ Az osszes k × n t´ıpusu´ valos Rk×n halmazaban az ¨ ´ es ´ a szammal ´ ´ ugyanolyan tulajdonsagokkal ´ osszead as valo´ szorzas ´ rendelkezik, mint az R` vektorterben. ´ a´ barmely ´ ´ Tovabb A, B ∈ Rk×n , λ ∈ R eseten (A + B)> = A> + B > ,


(λA)> = λA> .


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

19 / 180

´ ´ 10. MATRIXOK, DETERMINANSOK ´ ´ 10.1 Matrix fogalma, muveletek matrixokkal ˝ ´ matrix ´ ´ ´ Ket szorzata csak akkor ertelmezett, ha az elso˝ matrixnak ´ sora van a masodik ´ ´ annyi oszlopa van, mint ahany matrixnak.

´ Matrixok szorzata ´ A = (ai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n ∈ Rk×n es ´ ´ azt a B = (bj,` )j=1,2,...,n; `=1,2,...,m ∈ Rn×m matrixok C = AB szorzatan k×m ´ ´ uk, C = (ci,` )i=1,2,...,k; `=1,2,...,m ∈ R matrixot ertj ¨ melyre n X ci,` := ai,j bj,` = ai,1 b1,` + ai,2 b2,` + · · · + ai,n bn,` j=1

ha i = 1, 2, . . . , k ; ` = 1, 2, . . . , m. ´ roviden ¨ ´ onak” ´ Ezt a szorzast ”sor-oszlop kombinaci mondjuk, mert a ´ ´ ´ ´ ´ szorzatmatrix ci,` eleme eppen az A matrix i-edik sorvektoranak es n ´ ´ a B matrix j-edik oszlopvektoranak a belso˝ szorzata R -ben. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

20 / 180


´ ´ anak ´ ´ Matrixok szorzas tulajdonsagai A(BC) = (AB)C, (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC, (AB)> = B > A> , AO = OA = O, ´ ahol A, B, C, O olyan matrixok, melyekre a fel´ırt muveleteknek van ˝ ´ ´ ertelme. Kvadratikus A matrixokra AE = EA = A. ´ ´ nem kommutat´ıv, azaz altal ´ aban ´ A matrixszorz as AB 6= BA. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

21 / 180


´ Kvadratikus matrix inverze ´ ´ ´ Egy A kvadratikus matrixot invertalhat onak nevezunk, ¨ ha van olyan ´ B (kvadratikus) matrix, melyre AB = BA = E ´ ´ A−1 -gyel jelolj ¨ uk. ´ teljesul. A inverzenek nevezzuk ¨ es ¨ Ezt a B matrixot ¨ ´ ´ akkor csak egy inverze van. Ugyanis, ha B 0 is A Ha A invertalhat o, inverze volna, akkor AB 0 = B 0 A = E miatt B = BE = B(AB 0 ) = (BA)B 0 = EB 0 = B 0



azaz

B = B0.

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

22 / 180

´ ´ 10. MATRIXOK, DETERMINANSOK ´ ´ 10.2 Matrix determinansa

´ ´ Reszm atrix ´ Legyen A = (ai,j )i=1,2,...,k; j=1,2,...,n ∈ Rk×n egy k × n t´ıpusu´ matrix. ´ j-edik oszlop elhagyas ´ aval ´ Az i-edik sor es visszamarado´ ¨ ese ´ ´ ´ (k − 1) × (n − 1) t´ıpusu´ reszm atrix jelol Ai,j .

´ ´ Matrix determinansa ´ Az A = (ai,j )i=1,2,...,n; j=1,2,...,n ∈ Rn×n n-edrendu˝ kvadratikus matrix ´ ´ determinansa n = 1 eseten det(A) = |A| := a1,1 , ´ pedig (rekurz´ıvan definialva) ´ n ≥ 2 eseten n X det(A) = |A| := (−1)1+` a1,` det(A1,` ). `=1 ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

23 / 180


´ ´ harmadrendu˝ determinansok ´ ´ ıtasa ´ Masod es kiszam´

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a3,1 a3,2

a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 = a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2 , a1,3 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a1,2 a2,3 a3,1 + a1,3 a2,1 a3,2 a3,3 − a1,3 a2,2 a3,1 − a1,1 a2,3 a3,2 − a1,2 a2,1 a3,3 .

´ tetel ´ Kifejtesi Minden A = (ai,j )i=1,2,...,n; j=1,2,...,n ∈ Rn×n n-edrendu˝ kvadratikus ´ ´ minden i, j ∈ {1, . . . , n} eseten ´ matrix es n n X X det(A) = (−1)i+` ai,` det(Ai,` ) = (−1)k +j ak,j det(Ak,j ). `=1


k=1 ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

24 / 180


´ ok ´ Permutaci ´ ´ et ´ ezen Az {1, 2, . . . , n} szamok egy π = (π1 , π2 , . . . , πn ) elrendezes ´ oj ´ anak ´ elemek egy permutaci nevezzuk. ¨ ´ ¨ ´ oinak ´ ´ Sn jeloli. ¨ Az {1, 2, . . . , n} szamok osszes permutaci halmazat ´ oban ´ Egy π = (π1 , π2 , . . . , πi , . . . , πj , . . . , πn ) ∈ Sn permutaci a (πi , πj ) ´ ha i < j es ´ πi > πj . ´ inverzioban ´ par all, ´ o´ inverzioinak ´ ´ at ´ (az inverzioban ´ ´ o´ parok ´ Egy π permutaci szam all ´ at) ´ I(π) jeloli. ¨ szam ´ ¨ ´ oinak ´ ´ Az {1, 2, . . . , n} szamok osszes permutaci szama n!. Minden A = (ai,j )i=1,2,...,n; j=1,2,...,n ∈ Rn×n n-edrendu˝ kvadratikus ´ ´ matrix eseten X det(A) = (−1)I(π) a1,π1 a2,π2 . . . an,πn . π∈Sn ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

25 / 180


´ alaptulajdonsagai ´ A determinans 1 2

3 4 5

6

7 8

´ ´ Barmely A kvadratikus matrixra teljesul ¨ det(A> ) = det(A). ´ c-vel szorozzuk, akkor a determinans ´ Ha egy sor minden elemet ´ eke ´ ´ valtozik. ´ ert c-szeresere ´ sort felcserel ´ unk, ´ elojelet ˝ ´ Ha ket akkor a determinans valt. ¨ ´ sor megegyezik, akkor a determinans ´ ert ´ eke ´ nulla. Ha ket ´ ert ´ eke ´ nem valtozik, ´ ´ A determinans ha egy soranak elemeihez ´ ´ hozzaadjuk. ´ egy masik sor megfelelo˝ elemeinek c-szereset ´ tag osszeg ¨ ´ bomlik, akkor a Ha egy sor minden eleme ket ere ´ felirhato´ ket ´ olyan determinans ´ osszegek ¨ ´ melyek determinans ent, ´ ¨ ´ allnak. ´ megfelelo˝ soraiban eppen az egyes osszeadand ok ´ akkor a determinans ´ ert ´ eke ´ nulla. Ha egy sorban csupa 0 all, ´ atrixok ´ ´ Az egysegm determinansa 1.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

26 / 180


´ ´ etele ´ Determinansok szorzast ´ Ha A, B ∈ Rn×n azonos rendu˝ kvadratikus matrixok, akkor det(AB) = det(A) det(B).

´ ´ ıtasa ´ Inverz matrix elo˝ all´ ´ ´ csakis akkor invertalhat ´ ´ ha Egy (kvadratikus) matrix akkor es o, ´ determinansa nem nulla. ´ Egy A = (ai,j )i=1,2,...,n; j=1,2,...,n n-edrendu˝ invertalhat o´ kvadratikus ´ ´ matrix A−1 = (bi,j )i=1,2,...,n; j=1,2,...,n inverzenek elemei bi,j =


(−1)i+j det(Aj,i ) . det(A)


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

27 / 180

´ ´ 10. MATRIXOK, DETERMINANSOK ´ 10.3 Matrix rangja

´ Matrix rangja ´ all ´ o´ ´ ´ az A oszlopvektoraibol Egy A matrix rang(A) rangjan ´ ertj ´ uk vektorrendszer rangjat ¨ ´ linearisan ´ ´ (ami a maximalis fuggetlen oszlopvektorok szama). ¨ ´ ´ A zerusm atrixok rangja nulla.

´ Aldeterminans ´ ´ 1 ≤ ` ≤ min{k, n}. Legyen A ∈ Rk×n egy k × n t´ıpusu´ matrix, es ´ ´ at ´ ugy Az A egy `-edrendu˝ aldeterminans ´ kapjuk, hogy kivalasztjuk ´ ´ es ´ ` darab oszlopat, ´ es ´ kepezz ´ a matrix ` darab sorat uk ¨ az ezek ´ ´ o˝ elemekbol ˝ alkotott `-edrendu˝ determinanst. ´ metszeteben lev

´ etel ´ Rangszamt ´ ´ ´ ´ rendu˝ Barmely (nemzerus) matrix rangja megegyezik a maximalis ´ ol ´ kul ¨ oz ¨ o˝ aldeterminansainak ´ ´ nullat rendjevel. ¨ onb ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

28 / 180

´ ´ 10. MATRIXOK, DETERMINANSOK ´ 10.3 Matrix rangja

´ Egy matrix sorvektorainak rangja egyenlo˝ az oszlopvektorainak ´ rangjaval. ´ ´ csakis akkor invertalhat ´ ´ ha a Egy (kvadratikus) matrix akkor es o, ´ ´ matrix oszlopvektorai (vagy sorvektorai) linearisan fuggetlenek. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

29 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ egyenletrendszer fogalma, Gauss-eliminaci ´ o´ 11.1 Linearis ´ Linearis egyenletrendszernek nevezzuk ¨ az a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1 a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2 .. . ak,1 x1 + ak,2 x2 + · · · + ak,n xn = bk egyenletrendszert, ahol {ai,j , bi : i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , n} adott ´ szamok, ´ ´ szamok. ´ valos {xi : i = 1, . . . , n} ismeretlen valos ´ ´ Az ai,j szamokat a rendszer egyutthat ¨ oinak nevezzuk, ¨ bi az i-edik egyenlet szabad tagja. ´ Az egyenletrendszert homogennek nevezzuk, ¨ ha b1 = · · · = bk = 0, ´ ellenkezo˝ esetben inhomogennek mondjuk. ´ Az egyenletrendszert szabalyosnak nevezzuk, ¨ ha k = n, azaz ha az ´ ismeretlenek szama ´ ˝ egyenletek es egyenlo. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

30 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ egyenletrendszer fogalma, Gauss-eliminaci ´ o´ 11.1 Linearis ¨ oren: ¨ Tom Ax = b, ahol

 a1,1 a1,2 · · · a1,n a2,1 a2,2 · · · a2,n    k×n , A :=  . .. ..  ∈ R ..  ..  . . . ak,1 ak,2 · · · ak,n     x1 b1  x2  b2      x :=  .  ∈ Rn×1 , b :=  .  ∈ Rk×1 .  ..   ..  xn bk





´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

31 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ egyenletrendszer fogalma, Gauss-eliminaci ´ o´ 11.1 Linearis

´ esek: ´ Alapveto˝ kerd ´ ´ ha igen, akkor Van-e az egyenletrendszernek megoldasa, es ´ egyertelm u-e? ˝ ´ ¨ ´ Hogyan hatarozhatjuk meg az osszes megoldast? ´ Egy (linearis) egyenletrendszer ´ ´ ha van megoldasa; megoldhato, ´ ´ ellentmondasos, ha nincs megoldasa; ´ letezik; ´ ´ hatarozott, ha pontosan egy megoldas ¨ megoldas ´ van. ´ hatarozatlan, ha tobb



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

32 / 180


´ ´ Ekvivalens atalak´ ıtasok ´ egyenletrendszert ekvivalensnek nevezunk, ´ Ket ha megoldasaik ¨ ˝ halmaza egyenlo.

´ ´ Ekvivalens atalak´ ıtasok ´ egyenletrendszerek eseten ´ az alabbi ´ ´ ´ Linearis atalak´ ıtasok ekvivalens ´ rendszereket eredmenyeznek: ´ ´ ´ az egyenletek sorrendjenek megvaltoztat asa; ´ ´ ´ az egyenletekben szereplo˝ tagok sorrendjenek megvaltoztat asa; ´ ´ ´ (minden tag a rendszer barmelyik egyenletenek szorzasa ´ ´ ´ szorzasa) egy nemzerus szammal; ´ ´ ´ asa ´ egy masik ´ a rendszer barmelyik egyenletenek hozzaad ´ egyenletehez. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

33 / 180


´ alaku´ linearis ´ egyenletrendszer Trapez ´ alakunak, Az egyenletrendszert akkor nevezzuk ´ ha van olyan ¨ trapez ´ r ∈ {1, . . . , n} szam, hogy a1,1 6= 0, a2,2 6= 0, . . . , ar ,r 6= 0, ´ j < i, ai,j = 0, ha i = 1, 2, . . . , r es ´ j = 1, 2, . . . , n. ai,j = 0, ha i > r es ´ ¨ Ha r = n, akkor a rendszert haromsz ogalak unak ´ nevezzuk. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

34 / 180


´ o´ Gauss-eliminaci ¨ ol ¨ es ´ evel ´ Az ismeretlenek szukcessz´ıv (fokozatos) kikusz az ¨ ob ´ alakra hozzuk a kovetkez ¨ ´ esekkel: ´ egyenletrendszert trapez o˝ lep ai,1 ´ az -szereset Tegyuk ¨ fel, hogy a1,1 6= 0. Az elso˝ egyenlet − a1,1 ´ ´ az x1 i-edik egyenlethez hozzaadva i = 2, 3, . . . , k eseten, ´ ˝ ismeretlen eltunik a masodik, harmadik, . . . k -adik egyenletbol. ˝ Ha a1,1 = 0, akkor az elso˝ egyenletben keresunk ¨ egy ismeretlent, ´ 6= 0, es ´ ez veszi at ´ x1 szerepet. ´ melynek egyutthat oja ¨ ´ a masodik ´ Ezutan egyenlet alkalmas konstanszorosainak a ´ as ´ aval ´ ¨ olj ¨ uk harmadik ... k-adik egyenlethez valo´ hozzad kikusz ¨ ob ¨ ˝ a harmadik ismeretlent a negyedik, ... k-adik egyenletbol. ´ ast ´ hasonloan ´ ¨ olni. ¨ Az eljar folytatjuk, m´ıg van mit kikusz ¨ ob ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

35 / 180


´ alaku´ linearis ´ egyenletrendszer megoldhatos ´ aga ´ Trapez ´ alaku´ egyenletrendszernek Egy trapez ´ csakis akkor van megoldasa, ´ ´ alakban az akkor es ha a trapez ˝ kezdve a szabad tagok mind nullak; ´ r + 1-edik egyenlettol ´ csakis akkor van pontosan egy megoldhato´ esetben akkor es ´ ´ ¨ megoldasa, ha r = n, azaz ha a rendszer harosz ogalak u; ´ ´ csakis akkor van tobb ¨ megoldasa, ´ akkor es ha r < n; ebben az ´ ´ van, es ´ a megoldasok ´ esetben vegtelen sok megoldasa egy n − r ´ parameteres sereget alkotnak.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

36 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ egyenletrendszerek megoldhatos ´ aga ´ 11.2 Linearis

´ egyenletrendszer megoldhatos ´ aga ´ Linearis ´ egyenletrendszernek akkor es ´ csakis akkor van Egy linearis ´ megoldasa, ha a rang(A) = rang(A | b) ´ atrixa, ´ ´ rangfeltetel teljesul, om (A | b) ¨ ahol A a rendszer egyutthat ¨ ˝ ıtett matrix, ´ ´ ´ ugy pedig a bov´ melyet az A matrixb ol ´ kapunk, hogy az A ´ ´ hozza´ ´ ırjuk a szabad tagok b matrixhoz n + 1-edik oszlopkent ´ oszlopvektorat.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

37 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ egyenletrendszerek megoldhatos ´ aga ´ 11.2 Linearis ´ (amikor b1 = · · · = bk = 0 ), mindig van ´ rendszer eseten Homogen ´ az x1 = x2 = · · · = xn = 0 trivialis ´ ´ megoldas: megoldas.

´ rendszer nemtrivialis ´ megoldas ´ anak ´ ´ ese ´ Homogen letez ´ linearis ´ egyenletrendszernek akkor es ´ csakis akkor van Egy homogen ´ ol ´ kul ¨ oz ¨ o˝ megoldasa, ´ trivialist ha ¨ onb rang(A) < n, ´ anak ´ azaz ha a rendszer A matrix rangja kisebb mint az ismeretlenek ´ ´ rendszer osszes ¨ ´ szama. Ha ez teljesul, megoldasai ¨ akkor a homogen Rn -nek egy n − rang(A) ´ alteret ´ alkotjak. ´ dimenzios ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

38 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ egyenletrendszerek megoldhatos ´ aga ´ 11.2 Linearis

´ egyenletrendszer megoldashalmaz ´ ´ Linearis anak szerkezete Az Ax = b

(A ∈ Rk×n ,

x ∈ Rn×1 ,

b ∈ Rk×1 )

´ egyenletrendszer barmely ´ ´ ´ linearis inhomogen x megoldasa x = x0 + xh ´ ahol x 0 az inhomogen ´ egyenlet egy rogz´ ¨ ıtett alakba ´ırhato, ´ ´ (partikularis) megoldasa, x h pedig a megfelelo˝ Ax = 0 ˝ ´ ´ egyenletrendszer egy tetszoleges homogen megoldasa. Így a megoldasok ´ ´ egyenletrendszer halmaza a homogen ´ ´ megoldasalter enek az x 0 vektorral valo´ eltoltja. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

39 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ linearis ´ egyenletrendszerek megoldas ´ ara ´ 11.3 Cramer-szabaly

´ Cramer-szabaly ´ Legyen A egy n-edrendu˝ kvadratikus matrix. Az Ax = b

(A ∈ Rn×n ,

x ∈ Rn×1 ,

b ∈ Rn×1 )

´ ´ egyenletrendszernek akkor es ´ csakis akkor van (szabalyos) linearis ´ pontosan egy megoldasa, ha det(A) 6= 0. ´ Ha ez teljesul, ¨ akkor a rendszer egyetlen megoldasa i

xi =

det(A ← b) det(A)

(i = 1, 2, . . . , n),

i

´ ´ ´ ugy ahol A ← b az a matrix, melyet az A matrixb ol ´ kapunk, hogy ´ a szabad tagok b (oszlop)vektorara ´ cserelj ´ uk annak i-edik oszlopat ¨ ki. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

40 / 180

´ 11. LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK ´ linearis ´ egyenletrendszerek megoldas ´ ara ´ 11.3 Cramer-szabaly

´ ´ linearis ´ egyenletrendszer nemtrivialis ´ Szabalyos homogen ´ anak ´ ´ ese ´ megoldas letez ´ Legyen A egy n-edrendu˝ kvadratikus matrix. Az Ax = 0

(A ∈ Rn×n ,

x ∈ Rn×1 )

´ ´ linearis ´ egyenletrendszernek akkor es ´ csakis (szabalyos) homogen ´ megoldasa, ´ akkor van nemtrivialis ha det(A) = 0.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

41 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ lekepez ´ ´ es ´ matrixa ´ 12.1 Linearis es

´ lekepez ´ ´ ´ ´ o´ Linearis es/oper ator/transzform aci ´ ´ linearis ´ ´ ´ A ϕ : Rn → Rn lekepez est lekepez esnek nevezzuk, ¨ ha n ´ ´ barmely ´ ´ barmely x, y ∈ R es λ ∈ R eseten ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y ) ϕ(λx) = λϕ(x)


(azaz ϕ addit´ıv), ´ (azaz ϕ homogen).


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

42 / 180


´ lekepez ´ ´ megadasa ´ matrix ´ ´ evel ´ Linearis es seg´ıtseg ´ lekepez ´ ´ b1 , . . . , bn az Rn egy bazisa, ´ ´ Ha ϕ : Rn → Rn linearis es, es ´ Aϕ = (ai,j )i,j=1,...,n az a matrix, melyre n X ´ ϕ(bj ) = ai,j bi minden j = 1, . . . , n eseten, akkor minden x yi =

i=1 P = nj=1 xj bj n X

ai,j xj

´ ϕ(x) = y = ∈ Rn eseten

Pn

i=1 yi bi ,

ahol

´ minden i = 1, . . . , n eseten.

j=1

´ Bizony´ıtas: ϕ(x) =

n X

xj ϕ(bj ) =

j=1 ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

n X j=1

xj

n X

ai,j bi =

i=1


n X n X i=1

ai,j xj bi .

j=1 ´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

43 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ lekepez ´ ´ es ´ matrixa ´ 12.1 Linearis es      a1,1 a1,2 · · · a1,n y1 x1 y2  a2,1 a2,2 · · · a2,n  x2        ..  =  .. .. ..   ..  , . . .  . . . .  .  yn an,1 an,2 · · · an,n xn ´ ´ azaz matrixos formaban:

ϕ(x) = y = Aϕ x.

´ lekepez ´ ´ matrixa ´ Linearis es ´ Azt mondjuk, hogy az Aϕ (n-edrendu˝ kvadratikus) matrix a ϕ ´ ´ ´ ´ ´ linearis lekepezes matrixa a b1 , . . . , bn bazisban. ¨ ıtett bazis ´ ´ a ϕ 7→ Aϕ hozzarendel ´ ´ kolcs ¨ on ¨ osen ¨ Rogz´ eseten es n n ´ ´ lekepez ´ ´ ´ az Aϕ ∈ Rn×n egyertelm u˝ a ϕ : R → R linearis esek es ´ ¨ ott. ¨ matrixok koz ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

44 / 180


´ lekepez ´ ´ ¨ ´ ´ kompozicioja ´ Linearis esek osszege, szamszorosa es (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) (λϕ)(x) := λϕ(x) (ϕ ◦ ψ)(x) := ϕ(ψ(x))

(x ∈ Rn ), (λ ∈ R, x ∈ Rn ), (x ∈ Rn ).

´ ´ tulajdonsagai ´ A ϕ 7→ Aϕ hozzarendel es ¨ ıtett bazis ´ ´ tetszoleges ˝ ´ lekepez ´ ´ Rogz´ es ϕ, ψ : Rn → Rn linearis esek ´ eseten Aϕ+ψ = Aϕ + Aψ , Aλϕ = λAϕ , Aϕ◦ψ = Aϕ Aψ . ´ a´ ϕ : Rn → Rn akkor es ´ csakis akkor kolcs ¨ on ¨ osen ¨ ´ Tovabb egyertelm u, ˝ ´ ´ ha Aϕ invertalhat o. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

45 / 180


´ lekepez ´ ´ matrixa ´ ¨ oz ¨ o˝ bazisokban ´ Linearis es kul ¨ onb ´ b10 , . . . , bn0 az Rn ter ´ ket ´ bazisa, ´ ´ Legyen b1 , . . . , bn es es Aϕ = (ai,j )i,j=1,...,n , 0 A0ϕ = (ai,j )i,j=1,...,n ,

ahol ϕ(bj )= ahol ϕ(bj0 ) =

n X

ai,j bi ,

i=1 n X

0 0 ai,j bi

i=1

Rn

Rn

´ lekepez ´ ´ matrixai. ´ a ϕ: → linearis es Akkor van olyan S ∈ Rn×n ´ ´ invertalhat o´ matrix, hogy A0ϕ = S −1 Aϕ S.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

46 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ ert ´ ekek ´ ´ sajatvektorok ´ 12.2 Sajat es

´ ´ ert ´ eke, ´ ´ Kvadratikus matrix sajat sajatvektora ´ ´ ´ ert ´ ek ´ enek ´ A λ ∈ R szamot az A ∈ Rn×n matrix sajat nevezzuk, ¨ ha ´ ol ´ kul ¨ oz ¨ o˝ x ∈ Rn vektor, melyre van olyan nullat ¨ onb Ax = λx ´ ´ ert ´ ek ´ ehez ´ teljesul. λ sajat tartozo´ ¨ Az x vektort az A matrix ´ ´ sajatvektor anak nevezzuk. ¨ ´ alakban: Mas

(A − λE)x = 0.

´ linearis ´ egyenletrendszernek akkor es ´ csakis akkor Ennek a homogen ´ megoldasa, ´ van nemtrivialis ha det(A − λE) = 0. ´ Ezt a determinanst kifejtve egy λ-ban n-edfoku´ polinomot kapunk. ´ ´ A sajat ´ ert ´ ekeit. ´ Ennek zerushelyei adjak ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

47 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ ´ alakra hozasa ´ 12.3 Matrixok diagonalis

´ matrix ´ Diagonalis ´ ´ on ´ k´ıvuli ´ Egy n × n-es D matrixot diagonalisnak nevezunk, ha a fo˝ atl ¨ ¨ ´ ¨ es: ´ elemei mind zerusok. Jelol   λ1 0 · · · 0  0 λ2 · · · 0    diag(λ1 , . . . , λn ) =  . .. . . ..   .. . . . 0

0

· · · λn

´ ´ alakra hozasa ´ Kvadratikus matrix diagonalis ´ ´ alakra ´ ´ Egy n × n-es A matrixot diagonalizalhat onak (diagonalis ´ ´ ´ hozhatonak) nevezunk, ha van olyan invertalhat o´ n × n-es S matrix ¨ ´ egy D diagonalis ´ matrix, ´ es melyekre S −1 A S = D. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

48 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ ´ alakra hozasa ´ 12.3 Matrixok diagonalis ´ S ket ´ n × n-es matrix ´ ´ S invertalhat ´ ´ akkor az A es ´ Ha A es es o, −1 ´ ´ ert ´ ekei ´ S A S matrixok sajat megegyeznek. ´ Bizony´ıtas: det(S −1 A S − λE) = det S −1 A S − S −1 (λE)S = det S −1 (A − λE)S = det(S −1 ) det(A − λE) det(S) = det(A − λE).

´ ´ ag ´ kriteriuma ´ A diagonalizalhat os ´ ´ csakis akkor diagonalizalhat ´ ´ ha van Egy n × n-es A matrix akkor es o, ´ ´ n linearisan fuggetlen sajatvektora, x1 ,  . . . , xn . Ekkor  ¨ λ1 0 · · · 0  0 λ2 · · · 0    S −1 A S = diag(λ1 , . . . , λn ) =  . .. . . ..  ,  .. . . . 0 0 · · · λn ´ ahol az S matrix oszlopvektorai rendre x1 , . . . , xn , a λ1 , . . . , λn ´ ´ ´ ert ´ ekek. ´ szamok pedig a hozzajuk tartozo´ sajat ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

49 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ ortogonalis ´ matrixok ´ 12.4 Szimmetrikus es

´ ortogonalis ´ matrixok ´ Szimmetrikus es ´ Egy kvadratikus A matrixot szimmetrikusnak nevezunk, ha A> = A, ¨ > ´ illetve ortogonalisnak nevezunk, ha A A = E. ¨

´ ˝ Ortogonalis/mer oleges vektorok ´ Az x, y ∈ Rn vektorok akkor ortogonalisak, ha hx, y i = 0.

´ matrixok ´ Ortogonalis ´ ´ a kovetkez ¨ ´ ıtasok ´ Egy kvadratikus A matrix eseten o˝ all´ ekvivalensek: ´ A ortogonalis; ´ ´ es ´ A−1 = A> ; A invertalhat o, ´ ´ paronk ´ ´ ortogonalisak; ´ A sorvektorai egysegvektorok es ent ´ ´ paronk ´ ´ ortogonalisak. ´ A oszlopvektorai egysegvektorok es ent ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

50 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ ortogonalis ´ matrixok ´ 12.4 Szimmetrikus es

´ ´ ert ´ ekei ´ ´ sajatvektorai ´ Szimmetrikus matrixok sajat es ´ Ha A egy kvadratikus szimmetrikus matrix, akkor ´ ert ´ ekei ´ ´ szamok; ´ A sajat mind valos ¨ oz ¨ o˝ sajat ´ ert ´ ekeihez ´ ´ ´ A kul tartozo´ sajatvektorok ortogonalisak. ¨ onb

´ ´ etele ´ Szimmetrikus matrixok spektralt ´ ´ Ha A egy n × n-es szimmetrikus matrix, akkor letezik olyan ´ ´ ortogonalis U matrix, amelyre U −1 A U = diag(λ1 , . . . , λn ), ´ ert ´ ekei, ´ ´ ahol λ1 , . . . , λn az A sajat az U matrix i-edik oszlopa pedig ´ a λi -hez tartozo´ sajatvektora (i = 1, . . . , n).



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

51 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ 12.5 Kvadratikus fuggv enyek ¨

´ es ´ kvadratikus fuggv ´ ´ Bilinearis enyek/form ak ¨ Ha A =∈ Rn×n , akkor ´ az F : Rn × Rn → R, F (x, y ) := hAx, yi, (x, y ∈ Rn ) fuggv enyt ¨ ´ ´ ´ bilinearis fuggv ¨ enynek/form anak nevezzuk; ¨ ´ a Q : Rn → R, Q(x) := hAx, xi, (x ∈ Rn ) fuggv enyt kvadratikus ¨ ´ ´ fuggv ¨ enynek/form anak nevezzuk. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

52 / 180

´ ´ ´ OK 12. LINEARIS TRANSZFORMACI ´ 12.5 Kvadratikus fuggv enyek ¨ ´ ha x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , akkor Tehat Q(x) = Q(x1 , . . . , xn ) = hAx, xi =

n X n X

ai,j xi xj ,

i=1 j=1

˝ hogy A szimmetrikus matrix. ´ letezik ´ ´ Ezert olyan U ´ıgy felteheto, ´ matrix, ´ ortogonalis melyre U −1 A U = D = diag(λ1 , . . . λn ), ´ ert ´ ekei. ´ ahol λ1 , . . . , λn az A sajat Innen A = U D U −1 = U D U > , ´ y := U > x jelol ¨ essel ´ ezert Q(x) = hAx, xi = hU DU > x, xi = hD U > x, U > xi = hDy, yi =

n X

λi yi2 .

i=1

´ Ezt a Q kvadratikus forma kanonikus alakjanak nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

53 / 180


´ definitsege ´ Kvadratikus fuggv eny ¨ ´ A Q : Rn → R kvadratikus fuggv eny ¨ ´ ´ pozit´ıv definit, ha Q(x) > 0 barmely x ∈ Rn , x 6= 0 eseten; n ´ ´ negat´ıv definit, ha Q(x) < 0 barmely x ∈ R , x 6= 0 eseten; ´ negat´ıv ert ´ ekeket ´ indefinit, ha Q(x) felvesz pozit´ıv es is.

´ ´ definitseg ´ ere ´ Kriterium kvadratikus fuggv eny ¨ ´ ´ Egy szimmetrikus A ∈ Rn×n matrixszal kepezett Q(x) := hAx, xi (x ∈ Rn ) ´ akkor es ´ csakis akkor kvadratikus fuggv eny ¨ ¨ ´ ert ´ eke ´ pozit´ıv, pozit´ıv definit, ha A osszes sajat ¨ ´ ert ´ eke ´ negat´ıv, negat´ıv definit, ha A osszes sajat ´ negat´ıv sajat ´ ert ´ eke ´ is. indefinit, ha A-nak van pozit´ıv es ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

54 / 180


´ ´ definitseg ´ ere ´ Kriterium kvadratikus fuggv eny ¨ ´ ´ legyen ∆k Legyen A = (ai,j ) ∈ Rn×n szimmetrikus matrix, es ´ ´ anak ´ (k = 1, . . . , n) az A matrix bal felso˝ k × k -s sarokmatrix ´ ˝ determinansa (sarokfominora), azaz a1,1 a1,2 a1,3 a a1,2 ∆1 := a1,1 , ∆2 := 1,1 , ∆3 := a2,1 a2,2 a2,3 , . . . , ∆n := |A|, a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 a3,3 akkor a Q(x) := hAx, xi

(x ∈ Rn )

´ akkor es ´ csakis akkor kvadratikus fuggv eny ¨ ´ pozit´ıv definit, ha ∆k > 0 minden k = 1, . . . , n eseten; ´ negat´ıv definit, ha (−1)k ∆k > 0 minden k = 1, . . . , n eseten. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

55 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ´ topologia ´ 13.1 Metrika es Rk -ban

´ ´ Rk -ban Skalaris/bels o˝ szorzas ´ y = (y1 , y2 , . . . , yk ) ∈ Rk vektorok Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk es ´ skalaris vagy belso˝ szorzata hx, yi := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xk yk .

´ Euklideszi ter ´ k-dimenzios ´ ´ ´ Rk ellatva a skalaris/bels o˝ szorzassal

´ ´ tulajdonsagai ´ A skalaris/bels o˝ szorzas ´ ´ barmely ´ ´ Barmely x, y, z ∈ Rk es λ ∈ R eseten hx + y , zi = hx, zi + hy, zi, hλx, yi = λhx, y i, hx, yi = hy , xi, hx, xi ≥ 0, ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

´ hx, xi = 0 akkor es ´ csakis akkor, ha x = 0. es ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

56 / 180


˝ ´ Cauchy-Schwarz-egyenlotlens eg ´ ´ x, y ∈ Rk vektor eseten ´ |hx, yi| ≤ Barmely ket

p p hx, xi hy , y i.

´ Vektor hossza/normaja ´ Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk vektor hossza/normaja kxk :=

p

hx, xi.

´ A hossz/norma tulajdonsagai ´ ´ barmely ´ ´ Barmely x, y ∈ Rk es λ ∈ R eseten ´ kxk = 0 akkor es ´ csakis akkor, ha x = 0, kxk ≥ 0, es kλxk = |λ| kxk, kx + y k ≤ kxk + ky k. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

57 / 180


´ ´ Pontok tavols aga ´ ´ Az x, y ∈ Rk pontok tavols aga d(x, y ) := kx − y k.

¨ Pont (ny´ılt) kornyezete ¨ ´ a Egy a ∈ Rk pont ε > 0 sugaru´ (ny´ılt) kornyezet en k K (a, ε) := {x ∈ R : d(x, a) = kx − ak < ε} ´ uk. halmazt ertj ¨ ´ K (a, ε) az a pontra nezve ´ k = 1 eseten szimmetrikus 2ε ´ u´ ]a − ε, a + ε[ ny´ılt intervallum. hosszus ´ ag ´ K (a, ε) az a = (a1 , a2 ) pont kor ¨ uli ¨ k = 2 eseten ¨ ε sugaru´ ny´ılt korlap. ´ K (a, ε) az a = (a1 , a2 , a3 ) pont kor ¨ uli k = 3 eseten ¨ ε sugaru´ ¨ ny´ılt gomb. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

58 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ´ topologia ´ 13.1 Metrika es Rk -ban ´ Az a ∈ Rk pontot az A ⊂ Rk halmaz belso˝ pontjanak ¨ nevezzuk, mely A-ban van ¨ ha a-nak van olyan kornyezete, (azaz van olyan ε > 0, hogy K (a, ε) ⊂ A ). ´ pontjanak ´ Az a ∈ Rk pontot az A ⊂ Rk halmaz izolalt ´ ¨ nevezzuk, ¨ ha a ∈ A, es a-nak van olyan kornyezete, melyben a-n k´ıvul ¨ nincs A-beli pont ´ van olyan ε > 0, hogy (K (a, ε) \ {a}) ∩ A = ∅ ). (azaz a ∈ A, es ´ asi ´ pontjanak ´ Az a ∈ Rk pontot az A ⊂ Rk halmaz torlod ´ ¨ ´ ˝ kul ¨ oz ¨ o˝ nevezzuk, kornyezet eben van tole ¨ ha a barmely ¨ onb ´ ´ (K (a, ε) \ {a}) ∩ A 6= ∅ ). A-beli pont (azaz barmely ε > 0 eseten ´ ´ Az a ∈ Rk pontot az A ⊂ Rk halmaz hatarpontj anak nevezzuk, ¨ ´ ¨ ´ ´ nem A-beli pont is ha a barmely kornyezet eben van A-beli es ´ ´ K (a, ε) ∩ A 6= ∅ es ´ K (a, ε) ∩ A 6= ∅, (azaz barmely ε > 0 eseten k ahol A := R \ A az A halmaz komplementere). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

59 / 180


Az A ⊂ Rk halmazt ny´ıltnak nevezzuk, ¨ ha minden pontja belso˝ pontja A-nak. ´ Az A ⊂ Rk halmazt zartnak nevezzuk, ¨ ha komplementere ny´ılt.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

60 / 180


Sorozat Rk -ban ´ ¨ es: ´ Egy a : N → Rk fuggv enyt Rk -beli sorozatnak nevezunk. Jelol ¨ ¨ ´ (an )n∈N , ahol an := a(n), es an = (an,1 , an,2 , . . . , an,k ), ha n ∈ N.

Konvergens sorozat Rk -ban Az Rk -beli (an )n∈N sorozatot konvergensnek nevezzuk, ¨ ha van k ´ ´ ´ olyan b ∈ R , hogy barmely ε > 0-hoz letezik olyan N(ε) ∈ R szam, hogy kan − bk < ε amennyiben n > N(ε). ´ ¨ es: ´ ´ ert ´ ek ´ enek ´ A b pontot a sorozat hatar (limeszenek) nevezzuk. ¨ Jelol an → b Egy

Rk -beli

ha n → ∞,

vagy

lim an = b.

n→∞

sorozatot divergensnek nevezunk, ha nem konvergens. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

61 / 180


´ ank ´ enti ´ konvergencia Rk -beli konvergencia = koordinat an = (an,1 , an,2 , . . . , an,k ) → b = (b1 , b2 , . . . , bk ) ha

n→∞

´ csakis akkor, ha akkor es an,i → bi

ha

n→∞

´ minden i = 1, 2, . . . , k eseten.

´ csakis akkor Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor es ´ aja ´ konvergens, es ´ konvergens, ha a sorozat minden koordinat ´ ert ´ eke ´ a hatarvektor ´ ´ aja. ´ hatar megfelelo˝ koordinat



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

62 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ hatar ´ ert ´ eke ´ es ´ folytonossaga ´ 13.2 Tobbv altoz os eny ¨ ´ asi ´ pontjainak halmazat ´ D 0 -vel jelolj ¨ uk. Egy D ⊂ Rk halmaz torlod ¨

¨ ´ ´ fuggv ´ hatar ´ ert ´ eke ´ Tobbv altoz os eny ¨ ´ legyen x0 ∈ D 0 . Azt mondjuk, hogy f -nek Legyen f : D ⊂ Rk → R es ´ ´ ´ ert ´ eke ´ van (veges) hatar az x0 pontban, ha van olyan a ∈ R szam, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy |f (x) − a| < ε

ha

´ 0 < kx − x0 k < δ(ε) es x ∈ D.

´ ´ ´ ert ´ ek ´ enek ´ Az a ∈ R szamot az f fuggv eny x0 pontbeli hatar ¨ ¨ es: ´ nevezzuk. ¨ Jelol f (x) → a ha x → x0 , vagy lim f (x) = a. x→x0

´ ert ´ ek, ´ ha letezik, ´ ´ A hatar akkor egyertelm u. ˝ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

63 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ hatar ´ ert ´ eke ´ es ´ folytonossaga ´ 13.2 Tobbv altoz os eny ¨

´ Atviteli elv ´ legyen x0 ∈ D 0 . Ekkor lim f (x) = a Legyen f : D ⊂ Rk → R es x→x0

´ ek ´ u, ´ azzal egyenert olyan ˝ hogy lim f (xn ) = a teljesul ¨ barmely n→∞

D \ {x0 }-beli (xn )n∈N sorozatra, melyre lim xn = x0 . n→∞

˝ ´ ´ hatar ´ ert ´ ek ´ kapcsolata most is A muveletek, egyenlotlens egek es ˝ ´ enyes. ´ erv ´ ert ´ ek ´ fogalma a = +∞-re es ´ a = −∞-re hasonloan ´ A hatar ˝ mint egy valtoz ´ ´ al. ´ kiterjesztheto, on



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

64 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ hatar ´ ert ´ eke ´ es ´ folytonossaga ´ 13.2 Tobbv altoz os eny ¨

¨ ´ ´ fuggv ´ folytonossaga ´ Tobbv altoz os eny ¨ ´ ´ ´ tartomany ´ anak ´ Az f : D ⊂ Rk → R fuggv enyt ertelmez esi x0 ∈ D ¨ ´ ´ pontjaban folytonosnak nevezzuk, ε > 0-hoz van olyan ¨ ha barmely δ(ε) > 0, hogy ´ |f (x) − f (x0 )| < ε ha kx − x0 k < δ(ε) es x ∈ D.

´ ¨ ´ ´ fuggv ´ folytonossag ´ ara ´ Atviteli elv tobbv altoz os eny ¨ ´ az x0 ∈ D pontban akkor es ´ csakis Az f : D ⊂ Rk → R fuggv eny ¨ ´ akkor folytonos, ha lim f (xn ) = f (x0 ) teljesul olyan D-beli ¨ barmely n→∞

(xn )n∈N sorozatra, melyre lim xn = x0 . n→∞

´ ´ ´ ´ Folytonos fuggv enyek tulajdonsagai ugyanazok, mint az egyvaltoz os ¨ esetben. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

65 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ ´ ´ aga ´ 13.3 Tobbv altoz os enyek differencialhat os ¨

´ ´ ´ ag ´ (Totalis) differencialhat os ´ ´ Az f : D ⊂ Rk → R fuggv enyt az x0 ∈ D belso˝ pontban (totalisan) ¨ k ´ ´ differencialhat onak nevezzuk, ¨ ha van olyan A ∈ R vektor, hogy lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) − hA, x − x0 i = 0. kx − x0 k

´ ´ anak ´ Az f 0 (x0 ) := A vektort az f fuggv eny x0 pontbeli derivaltj ¨ nevezzuk. ¨ ´ : a fuggv ´ ¨ ´ et ´ az G EOMETRIAI JELENT ES eny f (x) − f (x0 ) novekm eny ¨ 0 ´ fuggv ´ jol ´ kozel´ ¨ ıti x0 kozel ¨ eben; ´ ´ hf (x0 ), x − x0 i linearis eny a fuggv eny ¨ ¨ ´ ´ ´ ´ ˝ ıkja, megpedig altal meghatarozott feluletnek x0 -ban van erint os´ az ¨ xk+1 = f (x0 ) + hf 0 (x0 ), x − x0 i ´ hipers´ık az Rk+1 terben. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

66 / 180


´ menti differencialhat ´ ´ ag ´ Irany os ´ Legyen e ∈ Rk egy egysegvektor, azaz kek = 1. Az f : D ⊂ Rk → R ´ ´ ´ fuggv enyt az x0 ∈ D belso˝ pontban az e irany menten ¨ ´ ´ ´ differencialhat onak nevezzuk, a ¨ ha letezik f (x0 + te) − f (x0 ) De f (x0 ) := lim t→0 t ´ ´ ert ´ ek, ´ melyet az f fuggv ´ ´ (veges) hatar eny e iranymenti ¨ ´ anak ´ derivaltj nevezunk ¨ az x0 pontban. ´ ´ ´ ´ sebessege ´ De f (x0 ) jelentese: az f fuggv ¨ eny valtoz asi az e ´ aban. ´ irany



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

67 / 180


´ derivalt ´ Parcialis ´ legyen ui ∈ Rk az i-edik tengely Legyen i ∈ {1, 2, . . . , k}, es ´ aba ´ ´ ´ aja ´ 1, a irany mutato´ egysegvektor (az ui vektor i-edik koordinat ¨ tobbi 0). ´ ´ Az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D belso˝ pontban letezik az ¨ ´ ´ ´ szerinti parcialis ´ ´ i-edik valtoz oja derivaltja, ha differencialhat o´ az ´ ¨ ese: ´ ui iranyban. Jelol ∂i f (x0 ) := Dui f (x0 ). ´ jelol ¨ esek: ´ Egyeb

∂f ∂xi (x0 )

´ fxi (x0 ) es

´ differencialhat ´ ´ ag ´ Parcialis os ´ ´ Az f : D ⊂ Rk → R fuggv enyt az x0 ∈ D belso˝ pontban parcialisan ¨ ´ ´ differencialhat onak nevezzuk, ¨ ha ∂i f (x0 ) minden i = 1, 2, . . . , k ´ letezik. ´ eseten ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

68 / 180


´ derivalt ´ kiszam´ ´ ıtasa ´ Parcialis ´ Mivel xi = x0,i + t helyettes´ıtessel f (x0,1 , . . . , x0,i + t, . . . , x0,k ) − f (x0,1 , . . . , x0,i , . . . , x0,k ) t→0 t

∂i f (x0 ) = lim

= lim

xi →x0,i

f (x0,1 , . . . , xi , . . . , x0,k ) − f (x0,1 , . . . , x0,i , . . . , x0,k ) , xi − x0,i

´ ´ derivaltat ´ ´ ıtjuk ki, hogy o´ szerinti parcialis ugy ´ıgy az i-edik valtoz ´ szam´ ´ ´ ¨ ¨ ´ ´ az i-edik valtoz o´ szerint derivalunk, mikozben a tobbi valtoz ot konstansnak tekintjuk. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

69 / 180


´ menti derivalt ´ kiszam´ ´ ıtasa ´ Irany ´ ´ ´ Ha f : D ⊂ Rn → R az x0 ∈ D belso˝ pontban (totalisan) differencialhat o, k ´ ´ ´ ´ is differencialhat ´ akkor barmely e ∈ R egysegvektor iranya menten o´ ´ x0 -ban, es De f (x0 ) = hf 0 (x0 ), ei. ´ aba ´ ´ Ha e = ui az i-edik tengely irany mutato´ egysegvektor, akkor ∂i f (x0 ) = Dui f (x0 ) = hf 0 (x0 ), ui i, ´ ´ıgy e = (e1 , e2 , . . . , ek ) = e1 u1 + e2 u2 + · · · + ek uk alapjan De f (x0 ) = ∂1 f (x0 )e1 + ∂2 f (x0 )e2 + · · · + ∂k f (x0 )ek . ´ (totalis) ´ ´ ´ ag ´ =⇒ parcialis ´ differencialhat ´ ´ ag. ´ Ezert differencialhat os os ¨ Az is kovetkezik, hogy f 0 (x0 ) = (∂1 f (x0 ), . . . , ∂k f (x0 )), ´ ´ (vektor) koordinat ´ ai ´ a parcialis ´ derivaltak. ´ derivalt ´ıgy az f 0 (x0 ) (totalis) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

70 / 180


´ ´ ´ ag ´ =⇒ folytonossag ´ (Totalis) differencialhat os ´ Ha f : D ⊂ Rk → R az x0 ∈ D belso˝ pontban (totalisan) ´ ´ akkor f folytonos x0 -ban. differencialhat o, ´ differencialhat ´ ´ ag ´ 6=⇒ folytonossag ´ parcialis os

´ derivalt ´ folytonossaga ´ ´ ´ ´ ag ´ parcialis =⇒ (totalis) differencialhat os ´ Ha az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D belso˝ pont egy ¨ ¨ ´ ´ derivaltjai ´ kornyezet eben folytonos parcialis vannak (ekkor azt ´ folytonosan parcialisan ´ ´ mondjuk, hogy a fuggv eny differencialhat o´ e ¨ ¨ ´ ´ kornyezetben), akkor f az x0 pontban (totalisan) differencialhato´ (´ıgy folytonos is).



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

71 / 180


´ ´ osszetett ¨ ´ differencialhat ´ ´ aga ´ Lancszab aly: fuggv eny os ¨ ´ a gj : D ⊂ Rk → R fuggv ´ Ha mindegyik j = 1, 2, . . . , ` eseten enyek ¨ ´ ´ az x0 ∈ D belso˝ pontban, es ´ f : E ⊂ R` → R differencialhat ok ´ differencialhat o´ az y0 := g(x0 ) ∈ E belso˝ pontban, ahol a g : D → R` ´ ertelmez ´ ´ ´ g(x) := (g1 (x), g2 (x), . . . , g` (x)), fuggv eny ese x ∈ D eseten ¨ ´ akkor letezik olyan ε > 0, hogy g(K (x0 , ε)) ⊂ E, ´ıgy a h : K (x0 , ε) → R,

h(x) := f (g(x)) ha x ∈ K (x0 , ε)

¨ ´ differencialhat ´ ´ osszetett fuggv eny o´ az x0 pontban, es ¨ ` X ∂i h(x0 ) = ∂j f (g(x0 )) ∂i gj (x0 ) ha i = 1, 2, . . . , k . j=1



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

72 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ´ derivaltak ´ 13.4 Magasabbrendu˝ parcialis

´ derivaltak ´ Magasabbrendu˝ parcialis ´ Tegyuk enynek az x0 ∈ D belso˝ ¨ fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R fuggv ¨ ¨ ´ ´ ´ ´ pont egy kornyezet eben letezik az i-edik valtoz o´ szerinti ∂i f parcialis ´ ´ ´ ´ derivaltja. Ha ez parcialisan differencialhat o´ a j-edik valtoz o´ szerint, ´ ast ´ elvegezve ´ ´ ugy kapjuk a ∂j ∂i f (x0 ) := ∂j (∂i f (x0 )) masodik ´ a derival ´ ´ at ´ f -nek az x0 pontban az i-edik es ´ j-edik parcialis derivaltj ´ ´ szerint (ebben a sorrendben!). valtoz ok ´ ´ letezik ´ ¨ ´ ´ ez Hasonloan, ha a ∂j ∂i f (x) derivalt x0 egy kornyezet eben es ´ ´ ´ ´ ast ´ parcialisan differencialhat o´ az `-edik valtoz o´ szerint, ugy ´ a derival ´ ´ elvegezve kapjuk a ∂` ∂i ∂j f (x0 ) := ∂` (∂i ∂j f (x0 )) harmadik parcialis ´ derivaltat. ´ ´ ´ magasabbrendu˝ parcialis ´ Hasonloan ertelmezhetj uk ¨ a negyed- es ´ ´ jelol ¨ esek ´ ´ derivaltakat is. Egyeb a magasabbrendu˝ parcialis ∂2f ´ derivaltakra: ∂xj ∂xi (x0 ), illetve fxi ,xj (x0 ). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

73 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ´ derivaltak ´ 13.4 Magasabbrendu˝ parcialis ´ ıtsuk ki az ´ Pelda. Szam´ f : R2 → R, f (x, y) := x 2 + y 2 exy ´ osszes ¨ ˝ es ´ masodrend ´ ´ derivaltj ´ at, ´ es ´ fuggv eny elsou˝ parcialis ¨ ¨ ´ ´ hasonl´ıtsuk ossze a ∂1 ∂2 f (x, y ) es ∂2 ∂1 f (x, y ) vegyes derivaltakat.

´ ´ derivaltak ´ ´ Young tetel: a vegyes parcialis fuggetlens ege ¨ ´ as ´ sorrendjet ´ ol ˝ a derival ´ Ha az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D belso˝ pont egy ¨ ¨ ´ ´ az osszes ¨ ´ kornyezet eben valamely m ≥ 2 eseten m-edik parcialis ´ ´ ´ az x0 pontban azok folytonosak, akkor az f derivaltja letezik es ´ ´ derivaltjai ´ ´ as ´ fuggv eny m-edik parcialis az x0 pontban a differencial ¨ ´ ol ˝ fuggetlenek. sorrendjet ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

74 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ 13.5 Tobbv altoz os enyek szels ¨ ´ Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D pontban ¨ ´ lokalis/helyi maximuma (minimuma) van, ha ∃ ε > 0, hogy f (x0 ) ≥ f (x)

´ (f (x0 ) ≤ f (x)) ∀ x ∈ K (x0 , ε) ∩ D eseten.

´ szigoru´ lokalis/helyi maximuma (minimuma) van, ha ∃ ε > 0, hogy f (x0 ) > f (x)

´ (f (x0 ) < f (x)) ∀ x ∈ K (x0 , ε) ∩ D, x 6= x0 eseten.

´ globalis/abszol ut ´ maximuma (minimuma) van, ha f (x0 ) ≥ f (x)

´ (f (x0 ) ≤ f (x)) ∀ x ∈ D eseten.

´ szigoru´ globalis/abszol ut ´ maximuma (minimuma) van, ha f (x0 ) > f (x) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

´ (f (x0 ) < f (x)) ∀ x ∈ D, x 6= x0 eseten. ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

75 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ 13.5 Tobbv altoz os enyek szels ¨

´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ A szels elegendo˝ feltetele ´ ´ halmazon folytonos fuggv ´ felveszi a fuggv ´ ert ´ ekek ´ Korlatos, zart eny eny ¨ ¨ ´ es ´ szupremum ´ ´ fuggv ´ ert ´ ekk ´ ent, ´ ami azt jelenti, hogy a infimumat at eny ¨ ´ ´ maximuma (az illeto˝ korlatos, ´ ´ fuggv enynek van minimuma es zart ¨ halmazon).

´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A szels szuks feltetele ¨ eges ´ ´ Ha az f : D ⊂ Rk → R fuggv enynek az x0 ∈ D belso˝ pontban lokalis ¨ ´ o˝ ert ´ eke ´ van, es ´ leteznek ´ ´ derivaltjai ´ szels f elso˝ parcialis x0 -ban, akkor ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. ´ ´ stacionarius ´ (E feltetelnek eleget tevo˝ x0 pontokat az f fuggv eny ¨ pontjainak nevezzuk.) ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

76 / 180


´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A szels masodrend u˝ elegendo˝ feltetele ¨ ´ ´ Tegyuk masodik parcialis ¨ fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R osszes ´ ¨ ´ ´ a´ derivaltja folytonos az x0 ∈ D belso˝ pont egy kornyezet eben, tovabb ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. 1

Ha a Q : Rk → R,

Q(h) = Q(h1 , . . . , hk ) :=

k X k X

∂j ∂i f (x0 )hi hj

j=1 i=1

´ pozit´ıv definit, azaz Q(h) > 0 ha h ∈ Rk kvadratikus fuggv eny ¨ ´ h 6= 0, akkor f -nek szigoru´ lokalis ´ minimuma van x0 -ban. es 2

3

Ha Q negat´ıv definit, azaz Q(h) < 0 minden h ∈ Rk , h 6= 0 ´ akkor f -nek szigoru´ lokalis ´ maximuma van x0 -ban. eseten, ´ negat´ıv ert ´ eket ´ Ha Q indefinit, azaz Q(h) felvesz pozit´ıv es is, ´ o˝ ert ´ eke ´ akkor f -nek nincs szels x0 -ban.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

77 / 180


´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A szels masodrend u˝ elegendo˝ feltetele ´ ´ evel ´ determinansok seg´ıtseg ¨ ´ ´ Tegyuk masodik parcialis ¨ fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R osszes ´ ¨ ´ ´ a´ derivaltja folytonos az x0 ∈ D belso˝ pont egy kornyezet eben, tovabb ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. Legyen ∆` (` = 1, . . . , k ) az A := (∂i ∂j f (x0 ))i=1,...,k; j=1,...,k ∈ Rk×k ´ ´ anak ´ ´ szimmetrikus matrix bal felso˝ ` × `-s sarokmatrix determinansa ˝ (sarokfominora), azaz 2 ∂ f (x ) ∂1 ∂2 f (x0 ) , . . . , ∆k := |A|. ∆1 := ∂12 f (x0 ), ∆2 := 1 0 ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂22 f (x0 ) 1

2

´ akkor f -nek szigoru´ Ha ∆` > 0 minden ` = 1, . . . , k eseten, ´ minimuma van x0 -ban. lokalis ´ akkor f -nek Ha (−1)k ∆j > 0 minden j = 1, . . . , k eseten, ´ maxmuma van x0 -ban. szigoru´ lokalis



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

78 / 180


´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A szels masodrend u˝ elegendo˝ feltetele ´ ´ evel ´ ´ altoz ´ ´ fuggv ´ eseten ´ determinansok seg´ıtseg ketv os eny ¨ ¨ ´ ´ Tegyuk masodik parcialis ¨ fel, hogy az f : D ⊂ R2 → R osszes ´ ¨ ´ ´ a´ derivaltja folytonos az x0 ∈ D belso˝ pont egy kornyezet eben, tovabb ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = 0. ´ ∆2 az A := (∂i ∂j f (x0 ))i=1,2; j=1,2 ∈ R2×2 szimmetrikus Legyen ∆1 es ´ ´ ´ ˝ matrix bal felso˝ sarokmatrixainak determin (sarokfominorai), azaz 2 ansa ∂ f (x ) ∂ ∂ f (x ) 0 1 2 0 2 1 . ∆1 := ∂1 f (x0 ), ∆2 := ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂22 f (x0 ) 1

2

3

´ ∆2 > 0, akkor f -nek szigoru´ lokalis ´ minimuma Ha ∆1 > 0 es van x0 -ban. ´ ∆2 > 0, akkor f -nek szigoru´ lokalis ´ maxmuma Ha ∆1 < 0 es van x0 -ban. ´ o˝ ert ´ eke ´ Ha ∆2 < 0, akkor f -nek nincs szels x0 -ban.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

79 / 180


´ Pelda. f : R2 → R,

f (x, y) := x 3 + y 3 − 3xy

´ szels ´ o˝ ert ´ ekeinek ´ ´ ´ lokalis meghataroz asa.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

80 / 180

¨ ´ FUGGV ´ ¨ ´ ´ ´ ÍTASA ´ 13. TOBBV ALTOZ OS ENYEK DIFFERENCIALSZ AM ¨ ´ ´ fuggv ´ ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ 13.5 Tobbv altoz os enyek felteteles szels ¨

¨ ´ ´ fuggv ´ ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ Tobbv altoz os enyek felteteles szels ¨ ´ gi : D ⊂ Rk → R, i = 1, . . . , `, ` < k , Legyenek f : D ⊂ Rk → R es ´ ´ adott fuggv enyek. Azt mondjuk, hogy az f fuggv enynek az x0 ∈ D ¨ ¨ ´ pontban a g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , g` (x) = 0 feltetelek mellett ´ ´ lokalis/helyi felteteles maximuma (minimuma) van, ha van olyan ε > 0, hogy f (x0 ) ≥ f (x) (f (x0 ) ≤ f (x)) ´ melyre teljesul ¨ minden olyan x ∈ D ∩ K (x0 , ε) eseten, g1 (x) = · · · = g` (x) = 0.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

81 / 180


´ ´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ ´ A felteteles szels szuks feltetele ¨ eges ´ Legyenek gi : D ⊂ Rk → R, i = 1, . . . , `, ` < k , adott fuggv enyek. ¨ ´ Tegyuk enynek az x0 ∈ D belso˝ pontban ¨ fel, hogy az f : D → R fuggv ¨ ´ ´ a g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , g` (x) = 0 feltetelek mellett lokalis ´ ´ o˝ ert ´ eke ´ van, az f es ´ gi , i = 1, . . . , ` elso˝ parcialis ´ felteteles szels ´ ¨ ´ ´ a´ a derivaltjai folytonosak x0 egy kornyezet eben, tovabb   ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 )   .. .. ..   . . . ∂1 g` (x0 ) · · · ∂k g` (x0 ) ´ ´ ´ matrixnak van nemzerus `-edrendu˝ aldeterminansa. Akkor van olyan ` ` λ0 = (λ0,1 , . . . , λ0,` ) ∈ R pont, hogy az L : D × R → R, L(x, λ) := f (x) + λ1 g1 (x) + · · · + λ` g` (x) ´ fuggv enyre ¨ ∂1 L(x0 , λ0 ) = · · · = ∂k L(x0 , λ0 ) = 0. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

82 / 180


´ ´ multiplikatoroknak ´ A λ1 , . . . , λm szamokat Lagrange-fele nevezzuk, ¨ ´ ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ problema ´ az L fuggv enyt pedig a felteteles szels ¨ ´ enek ´ Lagrange-fuggv ¨ eny nevezzuk. ¨ ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ problema ´ ´ ugy ¨ enik, ´ A felteteles szels megoldasa hogy a ´ tort ∂1 L(x, λ) = ∂2 L(x, λ) = · · · = ∂k L(x, λ) = g1 (x) = · · · = g` (x) = 0 ˝ all ´ o´ egyenletrendszert megoldjuk az k + ` egyenletbol x = (x1 , . . . , xk ) ∈ D, λ = (λ1 , . . . , λ` ) ∈ R` ismeretlenekre; a kapott ´ ´ a felteteles ´ ´ o˝ ert ´ ek ´ x0 = (x0,1 , . . . , x0,k ) megoldasok adjak szels ´ lehetseges helyeit.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

83 / 180


´ ´ o˝ ert ´ ek ´ letez ´ es ´ enek ´ ´ eges ´ ´ A felteteles szels elegs feltetele ´ gi : D ⊂ Rk → R, i = 1, . . . , `, Tegyuk ¨ fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R es ´ ´ ´ derivaltjai ´ ` < k , fuggv enyek masodik parcialis folytonosak x0 ∈ D ¨ ` ¨ ´ egy kornyezet eben, λ0 ∈ R olyan pont, hogy ∂1 L(x0 , λ0 ) = ∂2 L(x0 , λ0 ) = · · · = ∂k L(x0 , λ0 ) = g1 (x0 ) = · · · = g` (x0 ) = 0 ´ ´ ´ ahol L : D × R` → R a problema Lagrange-fuggv enye, es ¨ ∂k−`+1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. .. 6= 0. . . . ∂k−`+1 g` (x0 ) · · · ∂k g` (x0 ) Pk Pk Ha i=1 j=1 hi hj ∂i ∂j f (x0 ) > 0 (< 0) minden olyan Pk ´ melyre h = (h1 , . . . , hk ) ∈ Rk , h 6= 0 eseten, j=1 hj ∂j gi (x0 ) = 0 ´ felteteles ´ minden i = 1, . . . , ` mellett, akkor f -nek szigoru´ lokalis minimuma (maximuma) van x0 -ban. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

84 / 180


´ ´ o˝ ert ´ ek ´ elegs ´ eges ´ ´ ´ A felteteles szels feltetele determinansokkal Legyen ∆j , (j = 2` + 1, . . . , ` + k) a  0 ··· 0 ∂1 g1 (x0 )  .. .. .. . .  . . . .   0 ··· 0 ∂1 g` (x0 )  ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂1 g` (x0 ) ∂1 ∂1 L(x0 , λ0 )   .. .. .. ..  . . . .

 ··· ∂k g1 (x0 )  .. ..  . .  ··· ∂k g` (x0 )   · · · ∂1 ∂k L(x0 , λ0 )   .. ..  . .

∂k g1 (x0 ) · · · ∂k g` (x0 ) ∂k ∂1 L(x0 , λ0 ) · · · ∂k ∂k L(x0 , λ0 ) ´ ´ anak ´ ´ szimmetrikus matrix bal felso˝ j × j-s sarokmatrix determinansa. ` 1 ´ akkor Ha (−1) ∆j > 0 minden j = 2` + 1, . . . , ` + k eseten, ´ felteteles ´ f -nek szigoru´ lokalis minimuma van x0 -ban. `+j 2 ´ akkor f -nek Ha (−1) ∆j > 0 minden j = 1, . . . , k eseten, ´ felteteles ´ szigoru´ lokalis maxmuma van x0 -ban. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

85 / 180


´ ´ Pelda. Hatarozzuk meg az f : R2 → R,

f (x, y) := x + 2y

´ ´ o˝ ert ´ ekeit ´ felteteles szels a h(x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0

¨ korvonal

´ mellett. feltetel



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

86 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ´ ´ 14.1 Veletlen k´ıserletek, esemenyalgebr ak

´ ´ Veletlen esemenyek ´ ınus ´ ´ ´ Valosz´ veletlen esemenyeknek van, ˝ ege ˝ nem tudjuk elore ˝ megmondani, hogy bekovetkeznek-e, ¨ melyekrol vagy sem; ´ amelyek es ´ evel ´ ´ ´ vagy veletlen jelensegek megfigyeles kapcsolatosak ¨ ulm ´ ´ (amikor a kor nem tudjuk befolyasolni), ¨ enyeket ´ ´ vagy pedig veletlen kimenetelu˝ k´ıserletekkel kapcsolatosak ´ ¨ ulm ´ (amikor befolyasolni tudjuk a kor ¨ enyeket).



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

87 / 180


´ ak: ´ Peld ˝ egellen ´ ˝ es: ´ ´ ol ˝ kivalasztunk ´ Minos orz n termekb m darabot ´ megszamoljuk, ´ ´ selejtes van; (m ≤ n), es hogy hany ´ lehetseges kimenetelek: az Ω := {0, 1, 2, . . . , m} halmaz elemei; ´ ´ megjelol ¨ unk ´ ˝ es ´ Hagyomanyos lotto: 90-bol, ¨ 5 szamot ´ ´ talalatunk ´ megszamoljuk, hogy hany van; ´ lehetseges kimenetelek: az Ω := {0, 1, 2, 3, 4, 5} halmaz elemei; ´ ˝ es ´ terjedese, ´ ´ ´ alakulasa, ´ Ragalyos fertoz csapadekmennyis eg ´ mozgasa, ´ ´ alakulasa ´ penzt ´ arakn ´ ´ szeizmograf sorhosszus al, ´ ag ´ ekok, ´ ˝ ´ ´ szerencsejat tozsdei aringadoz asok.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

88 / 180


´ ´ lehetseges ´ ´ Elemi esemenyek: a k´ıserlet/megfigyel es kimenetelei. ´ ¨ es: ´ ´ ´ az elemi esemenyek Esemenyt er: halmaza; jelol Ω. ´ ´ ´ ´ Esemeny: az esemenyter bizonyos A ⊂ Ω reszhalmaza, amit ´ unk, ´ kovetkezik ¨ ugy hogy ha az ω ∈ Ω elemi esemeny be, akkor ´ ert ¨ ´ bekovetkezik ¨ ´ is, ω ∈ A eseten az A esemeny ´ az A esemeny ´ nem kovetkezik ¨ ω 6∈ A eseten be.

¨ ´ Biztos esemeny: amely mindig bekovetkezik; ´ be lehet azonos´ıtani az Ω ⊂ Ω reszhalmazzal. ¨ ´ Lehetetlen esemeny: amely sohasem kovetkezik be; ´ be lehet azonos´ıtani az ∅ ⊂ Ω ures reszhalmazzal. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

89 / 180


´ Logikai muveletek esemenyekkel ˝ ´ Minden A esemennyel kapcsolatban tekinthetjuk ¨ az A ellentett ¨ ´ ´ (komplementer) esemenyet: ez pontosan akkor kovetkezik be, ´ nem kovetkezik ¨ ¨ ese: ´ A. amikor az A esemeny be; jelol ´ B esemenyek ´ ´ ¨ ´ Az A es osszege (unioja) az az esemeny, amely ¨ ´ B esemenyek ´ pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A es ¨ ul ´ az egyik bekovetkezik; ¨ ¨ ese: ´ koz jelol A + B vagy A ∪ B. ¨ legalabb ´ B esemenyek ´ ´ Az A es szorzata (metszete) az az esemeny, ¨ ´ B amely pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A es ´ ¨ ¨ ese: ´ esemenyek mindegyike bekovetkezik; jelol A · B vagy A ∩ B. ´ B esemenyek ´ ´ ¨ ´ Az A es kul ¨ onbs ege az az esemeny, mely ¨ ´ pontosan akkor kovetkezik be, amikor az A esemeny ¨ ´ pedig nem; jelol ¨ ese: ´ bekovetkezik, a B esemeny A − B vagy A \ B. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

90 / 180


´ A logikai muveletek tulajdonsagai ˝ ´ kommutativitas:

A + B = B + A,

´ asszociativitas:

A · B = B · A. A + (B + C) = (A + B) + C,

idempotencia:

A · (B · C) = (A · B) · C. A + A = A,

´ disztributivitas:

A · A = A. A · (B + C) = (A · B) + (A · C),

A + (B · C) = (A + B) · (A + C). ´ azonossagok: ´ de Morgan-fele A + B = A · B, ¨ ´ kul eg: ¨ onbs ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

A · B = A + B. A − B = A · B. ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

91 / 180


´ Diszjunkt esemenyek ´ B esemenyek ´ ´ ak ´ Azt mondjuk, hogy az A es diszjunktak (kizarj ¨ ´ egymast), ha egyszerre nem kovetkezhetnek be. ´ B esemenyek ´ ´ csak akkor diszjunktak, ha A · B = ∅. Az A es akkor es

⇒ ´ maga utan ´ ´ vonja a B esemenyt, Azt mondjuk, hogy az A esemeny ´ bekovetkez ¨ ´ eseten ´ mindig bekovetkezik ¨ ha az A esemeny ese a B ´ is; jelol ¨ ese: ´ esemeny A ⇒ B. ¨ ´ ıtasok ´ A kovetkez o˝ all´ ekvivalensek: A ⇒ B; A ⊂ B; B ⇒ A. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

92 / 180


´ Esemenyalgebra ´ er ´ bizonyos esemenyeib ´ ˝ all ´ o´ A rendszert Egy Ω esemenyt ol ´ ´ ´ ´ esemenyalgebr anak nevezunk, ha tartalmazza a biztos esemenyt, es ¨ ´ a komplementerkepz ´ esre ´ ´ a veges ´ ´ epz ´ esre. ´ zart es uniok ´ aul ´ Ω osszes ¨ ´ Peld reszhalmazainak A := 2Ω rendszere

σ-algebra ´ ´ σ-algebranak ´ a ´ Egy esemenyalgebr at nevezunk, ha zart ¨ ´ alhat ´ ´ epz ´ esre. ´ megszaml o´ uniok



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

93 / 180


´ ak: ´ Peld 1

´ ´ eseten ´ Egy penzdarab feldobasa ´ Ω = {fej, ´ıras}. ´ ´ De lehet a fejhez a 0, az ´ırashoz pedig az 1 szamot ´ ´ ´ıgy hozzarendelni, es Ω = {0, 1}. ´ Nyilvan A = 2Ω = ∅, {0}, {1}, Ω . ´ ´ ¨ Ekkor az elemi esemenyek szama: |Ω| = 2, az osszes Ω ´ ´ esemenyek szama pedig |2 | = 4.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

94 / 180


2

´ ´ utan ´ dobva egy penzdarabbal: n-szer egymas Ω = ω = (a1 , a2 , . . . , an ) : a1 , a2 , . . . , an ∈ {0, 1} . n

Ekkor |Ω| = 2n , |2Ω | = 22 . ´ ˝ Ha n darab egyforma penzdarabot egyidoben dobunk fel, akkor ´ ´ is lehet ugyanezt az esemenyteret tekinteni, hiszen a k´ıserlet ´ nem valtoztatja ´ ´ kimenetelet meg, ha megszamozzuk a ´ ¨ oztethet ¨ penzdarabokat. De lehet csak a megkul o˝ ¨ onb ´ kimenetelekre szor´ıtkozni: ezek szama n + 1. Az elso˝ ´ er ´ altal ´ aban ´ ´ aul ´ szabalyos ´ esemenyt alkalmasabb, mert peld ´ ´ az elemi esemenyek ´ ´ uek! penzdarab eseten egyforma esely ˝



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

95 / 180


3

´ ¨ oz ¨ o˝ sz´ınu˝ golyo´ van. Kihuzunk ¨ ul Egy zsakban n kul ezek koz ¨ onb ´ ¨ ´ lehetos ˝ eg ´ van aszerint, hogy visszatevessel ´ k darabot; negy ´ ´ nelk ´ ul vagy visszateves ¨ huzunk (az utobbi esetben k ≤ n ´ ´ ´ aszerint, hogy a sorrend szam´ ´ ıt vagy a sorrend szuks es ¨ eges), ´ ıt. nem szam´ ´ ´ Ez a k´ıserlet ekvivalens azzal a k´ıserlettel, amikor n rekeszbe ´ ˝ ´ lehetos ˝ eg ´ annak felel helyezunk az elobbi negy ¨ el k targyat; ¨ targy ´ meg, hogy egy rekeszbe tobb is kerulhet vagy csak egy, ¨ ´ ¨ oztetve, ¨ illetve a targyak meg vannak kul vagy nem. ¨ onb



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

96 / 180


sorrend ´ ıt szam´ ´ o) ´ (variaci ´ nelk ´ ul visszateves ¨ ´ es ´ nelk ´ ul) (ismetl ¨

n! (n − k )!

´ visszatevessel ´ eses) ´ (ismetl

nk ´ a targyak ¨ oz ¨ oek ˝ kul ¨ onb


sorrend nem ´ ıt szam´ ´ o) ´ (kombinaci n k

n+k −1 k

egy rekeszbe legfeljebb egy ´ targy kerulhet ¨ egy rekeszbe ¨ targy ´ tobb is kerulhet ¨

´ a targyak nem ¨ oznek ¨ kul ¨ onb


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

97 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ´ ´ 14.1 Veletlen k´ıserletek, esemenyalgebr ak ¨ oz ¨ o˝ elem koz ¨ ul ´ nelk ´ ul Ha n kul visszateves hogy ¨ onb ¨ huzunk ´ ¨ ugy, ´ ´ ıt, es ´ kihuzzuk ¨ a sorrend szam´ az osszes n elemet (ami azzal ´ ´ ıtunk; ezeket ekvivalens, hogy n elemet sorbaall´ ˝ egek ´ ´ ´ oknak ´ permutaci nevezzuk), akkor a lehetos szama ¨ n! := 1 · 2 · · · · · n, ´ al ´ meg ´ n lehetos ˝ eg ´ van, a masodikn ´ ´ hiszen az elso˝ huz al ´ asn ´ ezek szorzata adja az eredmenyt. ´ n − 1, stb., es ¨ oz ¨ o˝ elem koz ¨ ul ´ nelk ´ ul Ha n kul visszateves ¨ onb ¨ k elemet huzunk ´ ¨ ´ ´ ´ ´ (ahol k ≤ n ) ugy, hogy a sorrend szam´ıt (ezeket ismetles nelkuli ¨ ´ ˝ egek ´ ´ ´ oknak ´ variaci nevezzuk), akkor a lehetos szama ¨ n(n − 1) · · · (n − k + 1) =

n! , (n − k)!

˝ oh ˝ oz ¨ hasonlo´ gondolatmenettel bizony´ıthatunk. amit az eloz ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

98 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ´ ´ 14.1 Veletlen k´ıserletek, esemenyalgebr ak ¨ oz ¨ o˝ elem koz ¨ ul ´ Ha n kul visszatevessel ¨ onb ¨ k elemet huzunk ´ ´ ıt (ezeket ismetl ´ eses ´ ´ oknak ´ ugy, hogy a sorrend szam´ variaci ´ ˝ egek ´ ´ nevezzuk), akkor a lehetos szama ¨ nk , ´ al ´ n lehetos ˝ eg ´ van. hiszen minden huz ´ asn ¨ oz ¨ o˝ elem koz ¨ ul ´ nelk ´ ul Ha n kul visszateves ¨ onb ¨ k elemet huzunk ´ ¨ ´ ıt (ezeket ismetl ´ es ´ (ahol k ≤ n) ugy, hogy a sorrend nem szam´ ´ ˝ egek ´ ´ ´ uli ´ oknak ´ nelk ¨ kombinaci nevezzuk), akkor a lehetos szama ¨ n n(n − 1) · · · (n − k + 1) n! = , := k ! (n − k)! k! k ´ es ´ nelk ´ uli ´ okat ´ hiszen a megfelelo˝ ismetl ugy ¨ variaci ´ lehet ¨ ´ megkapni, hogy a kihuzott k elemet az osszes lehetseges ´ ´ ´ modon sorbarakjuk; ezek szama pedig mindig k !. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

99 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ´ ´ 14.1 Veletlen k´ıserletek, esemenyalgebr ak ¨ oz ¨ o˝ elem koz ¨ ul ´ Ha n kul visszatevessel ugy, ¨ onb ¨ k elemet huzunk ´ ´ ´ ıt (ezeket ismetl ´ eses ´ ´ oknak ´ hogy a sorrend nem szam´ kombinaci ˜ egek ´ ´ nevezzuk), akkor a lehetos szama ¨ n+k −1 . k ´ ´ Ezt ugy hogy a k´ıserlet kimeneteleihez ´ lehet belatni, ´ egyertelm uen hozza´ lehet rendelni egy olyan sorozatot, mely ˝ ˝ es ´ k darab nullab ´ ol ´ all, ´ megpedig ´ n − 1 darab egyesbol ugy, ´ ´ szama ´ hogy az elso˝ egyes ele´ ´ırt nullak (ami 0 is lehet) jelenti az ˝ huzottak ´ at, ´ az elso˝ es ´ masodik ´ elso˝ fajta elembol szam egyes ´ ¨ e´ ´ırt nullak ´ szama ´ ´ ˝ huzottak koz jelenti a masodik fajta elembol ´ ´ at, ´ stb., az (n − 1)-edik egyes utan ´ ´ırt nullak ´ szama ´ szam jelenti az ˝ huzottak ´ at; ´ az ilyen nulla–egy sorozatok n-edik fajta elembol ´ szam n+k−1 ´ ´ szama pedig nyilvan , hiszen azt kell megmondani, hogy k ¨ ul ¨ nulla. az n + k − 1 hely koz ¨ melyik k helyre kerulj ¨ on ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

100 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ´ ´ 14.1 Veletlen k´ıserletek, esemenyalgebr ak 4

5

´ ´ k jat ´ ekos ´ ¨ ott ¨ ugy, Adva van n kartya; ezeket osztjuk szet koz ´ ´ at ´ kapjanak, ahol hogy sorban n1 , n2 , . . . , nk karty ´ az egy jat ´ ekoshoz ´ n1 + n2 + · · · + nk = n, es kerul ¨ o˝ lapok ´ ıt (ezeket ismetl ´ eses ´ ´ oknak ´ sorrendje nem szam´ permutaci ´ er ´ elemeinek szama ´ nevezzuk). Ekkor az esemenyt ¨ n! , |Ω| = n1 ! n2 ! · · · nk ! ´ ak ´ n! szam ´ u´ permutaci ´ oit ´ ugy ˝ a hiszen a karty ´ lehet ezekbol ´ ´ megkapni, hogy az egy jat ´ ekoshoz ´ leosztasokb ol kerult ¨ n1 , n2 , ´ at ´ tetszoleges ˝ . . . , nk karty sorrendbe helyezzuk. ¨ ´ ´ evel, ´ ´ Addig dobalunk egy erm m´ıg az elso˝ fejet sikerul ¨ elerni. Ekkor Ω = {f, if, iif, iiif, . . . , i∞ }, ´ ¨ amikor csak ´ırast ´ ahol i∞ azt a lehetseges kimenetelt jeloli, ´ ´ dobunk a vegtelens egig.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

101 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ 14.2 Valosz´ ˝ eg

´ relat´ıv gyakorisag ´ Gyakorisag, ´ ´ Ha egy A esemennyel kapcsolatban n darab veletlen, fuggetlen ¨ ´ ´ ´ ´ k´ıserletetet hajtunk vegre, akkor A gyakorisaga az a szam, ´ ¨ ´ ´ melynek ahanyszor A bekovetkezik; ez egy veletlen mennyiseg, ´ ´ ekei: ´ ¨ ese: ´ lehetseges ert 0, 1, . . . , n; jelol kn (A). kn (A) ´ relat´ıv gyakorisaga: ´ . Az A esemeny rn (A) := n Tapasztalat: ¨ ¨ k´ıserletet ´ ´ ha n-et novelj uk, hajtunk vegre, akkor az A ¨ azaz egyre tobb ´ relat´ıv gyakorisaga ´ egyre kisebb kilengesekkel ´ esemeny ingadozik egy ´ kor ¨ ul; ´ ınus ´ enek. ´ P(A) szam ˝ eg ¨ ezt nevezzuk ¨ A valosz´



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

102 / 180


´ tulajdonsagai ´ Relat´ıv gyakorisag ˝ ´ eseten. ´ 0 ≤ rn (A) ≤ 1 tetszoleges A esemeny rn (∅) = 0, rn (Ω) = 1. ´ B egymast ´ kizar ´ o´ esemenyek, ´ ha A es akkor rn (A ∪ B) = rn (A) + rn (B). ´ ´ egymast ´ kizar ´ o´ esemenyek, ´ ha A1 , A2 ,. . . paronk ent akkor [ X ∞ ∞ rn Aj = rn (Aj ). j=1

j=1

˝ ´ eseten. ´ rn (A) = 1 − rn (A) tetszoleges A esemeny ´ ha A ⊂ B esemenyek, akkor rn (A) ≤ rn (B). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

103 / 180


´ ınus ´ mezo˝ Valosz´ ˝ egi ´ (Ω, A, P) harmas, ahol ´ er); ´ Ω egy nemures halmaz (az esemenyt ¨ Ω ´ ´ all ´ o´ σ-algebra A ⊂ 2 az Ω bizonyos reszhalmazaib ol ´ (az esemenyek rendszere); ´ ´ melyre P : A → R olyan lekepez es, 1 2 3

˝ ´ P(A) ∈ [0, 1] tetszoleges A ∈ A eseten, P(Ω) = 1, ´ ´ diszjunktak, akkor ha A1 , A2 , . . . ∈ A paronk ent [ X ∞ ∞ P Aj = P(Aj ). j=1

j=1

´ ´ (Ezt a tulajdonsagot σ-additivitasnak nevezzuk). ¨

´ eseten ´ a P(A) szamot ´ ´ ınus ´ enek, ´ Egy A esemeny az A valosz´ ˝ eg a ´ ´ pedig valosz´ ´ ınus ´ ´ P : A → R lekepez est ˝ egeloszl asnak nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

104 / 180


´ ınus ´ ´ ´ A valosz´ asok tulajdonsagai ˝ egeloszl ´ P(∅) = 0. (Hiszen ha P(∅) > 0 volna, akkor a σ-additivitasban ´ ´ ´ ´ A1 = A2 = . . . = ∅ valaszt assal ellentmondasra jutnank.) ´ ´ diszjunktak, akkor Ha A1 , A2 , . . . , An ∈ A paronk ent [ X n n P Aj = P(Aj ). j=1

j=1

´ ´ An+1 = An+2 = . . . = ∅ esetere, ´ (Hasznaljuk a σ-additivitast és alkalmazzuk azt, hogy P(∅) = 0.) ´ ´ ´ Ezt a tulajdonsagot veges additivitasnak nevezzuk. ¨ P(A) = 1 − P(A). ´ ´ıgy a veges ´ ´ (Hiszen Ω = A ∪ A diszjunkt felbontas, additivitassal 1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A). ) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

105 / 180


´ ınus ´ ´ ´ A valosz´ asok tulajdonsagai ˝ egeloszl Ha A ⇒ B, azaz A ⊂ B, akkor P(A) ≤ P(B),

P(B \ A) = P(B) − P(A).

´ B = A ∪ (B \ A) diszjunkt felbontas, ´ ezert ´ (Hiszen A ⊂ B eseten P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A). ) ´ ´ Ezt a tulajdonsagot monotonitasnak nevezzuk. ¨ ˝ ´ Tetszoleges A, B ∈ A eseten P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), hiszen A ∪ B = A \ (A ∩ B) ∪ B \ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ´ ezert ´ A ∩ B ⊂ A es ´ A ∩ B ⊂ B miatt diszjunkt felbontas, P(A ∪ B) = P(A) − P(A ∩ B) + P(B) − P(A ∩ B) + P(A ∩ B). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

106 / 180


´ ınus ´ ´ ´ A valosz´ asok tulajdonsagai ˝ egeloszl ˝ ´ Tetszoleges A, B, C ∈ A eseten P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C), hiszen P (A ∪ B) ∪ C = P(A ∪ B) + P(C) − P (A ∪ B) ∩ C ´ es P (A ∪ B) ∩ C = P (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = P(A ∩ C) + P(B ∩ C) − P (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) , ahol (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

107 / 180


´ valosz´ ´ ınus ´ mezo˝ Diszkret ˝ egi ´ ´ alhat ´ ´ ´ Ω veges vagy megszaml oan vegtelen, azaz vagy

Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN } Ω = {ω1 , ω2 , . . .}

´ A = 2Ω . alaku, ´ es

´ ınus ´ ´ ´ diszkret ´ valosz´ ´ ınus ´ mezoben ˝ Valosz´ kiszamol asa ˝ egek ˝ egi ˝ ´ elo˝ all ´ az Tetszoleges A ∈ A esemeny [ A= {ωi } i : ωi ∈A

´ alakjaban, ´ diszjunkt felbontas ´ıgy P(A) =

X

P({ωi }).

i : ωi ∈A ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

108 / 180


´ diszkret ´ valosz´ ´ ınus ´ mezoben ˝ ´ megadni az elemi Ezert eleg ˝ egi ´ ´ ınus ´ esemenyek valosz´ a ˝ egeit, pi := P({ωi }),

i = 1, 2, . . .

´ ˝ ´ valosz´ ´ ınus ´ et ´ ki tudjuk szamokat ahhoz, hogy tetszoleges esemeny ˝ eg ´ szamolni. ´ szuks ´ ´ Nyilvan az, hogy ezek a {p1 , p2 , . . .} szamok ¨ eges ´ osszeg ¨ nemnegat´ıvak legyenek es uk ¨ 1 legyen, hiszen [ X X pi = P({ωi }) = P {ωi } = P(Ω) = 1. i

i

i

´ ´ alkotnak. Ekkor azt mondjuk, hogy a {p1 , p2 , . . .} szamok eloszlast



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

109 / 180


´ veges ´ Egyenletes eloszlas halmazon Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN }, ´ az elemi esemenyek ´ ´ uek, es egyenlo˝ esely azaz ˝ P({ω1 }) = P({ω2 }) = . . . = P({ωN }) =

1 N

´ ınus ´ ´ ´ eseten ´ Valosz´ veges halmazon egyenletes eloszlas ˝ egek P(A) =

X i : ωi ∈A

P({ωi }) =

1 X |A| , 1= N N i : ωi ∈A

vagyis

´ kedvezo˝ kimenetelek szama . ¨ ´ osszes kimenetelek szama ´ ınus ´ kiszam´ ´ ıtas ´ anak ´ ´ Ez a valosz´ ˝ eg klasszikus keplete. P(A) =



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

110 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ 14.2 Valosz´ ˝ eg ´ ak: ´ Peld 1 ´ erm ´ et ´ feldobva mennyi annak a valosz´ ´ ınus ´ Ket hogy egy fej ˝ ege, ´ egy ´ıras ´ legyen az eredmeny? ´ es ´ erm ´ et ´ megkul ¨ oztetve ¨ Ekkor a ket az ¨ onb Ω = {ff, fi, if, ii} ´ esemenyteret kapjuk, amelyben a kimenetelek egyforma ´ ınus ´ uek, valosz´ ˝ eg ˝ ´ıgy az A = {fi, if} ´ valosz´ ´ ınus ´ esemeny ˝ ege P(A) =


2 1 = . 4 2


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

111 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ 14.2 Valosz´ ˝ eg ´ ak: ´ Peld 2 ´ ınus ´ ´ ´ Mennyi a valosz´ hogy egy n tagu´ tarsas agban van ˝ ege, ´ ket ´ olyan szemely, ´ akiknek ugyanakkor van a legalabb ´ ¨ onap ˝ szulet (Feltesszuk, nem lehet.) ¨ esnapja? ¨ hogy a szok ´ n > 365 eseten ´ (a ,,skatulya-elv” miatt) ez a biztos Nyilvan ´ ´ ınus ´ 1. esemeny, ´ıgy ekkor a valosz´ ˝ eg ´ ´ Ha pedig n ≤ 365, akkor az ellentett esemennyel szamolva 365 · 364 · · · (365 − n + 1) 365n  0.284    0.476 365! =1− ≈  (365 − n)! · 365n 0.507    0.891

P(A) = 1 −



ha n = 16 ha n = 22 ha n = 23 ha n = 40

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

112 / 180


´ Rk veges ´ ´ ek ´ u˝ reszhalmazain ´ Egyenletes eloszlas mert ´ ´ ek ´ u, ´ ,,minden pont egyenlo˝ esely ´ u”, Ω ⊂ Rk veges mert ˝ es ˝ azaz egy ´ ´ ınus ´ ´ ek ´ evel ´ ´ A ⊂ Ω reszhalmaz valosz´ A mert aranyos, vagyis ˝ ege P(A) =

µ(A) , µ(Ω)

´ ek ´ et ´ jeloli: ¨ ahol µ az illeto˝ halmaz mert ´ osszhossz, ¨ k = 1 eseten ´ terulet, k = 2 eseten ¨ ´ terfogat. ´ k = 3 eseten ´ ınus ´ ´ ıtasi ´ modja. ´ Ez a valosz´ ˝ egek geometriai kiszam´



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

113 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ 14.2 Valosz´ ˝ eg ´ ´ u´ szakaszt ket, ´ talalomra ´ ´ ´ Pelda: Egy egysegnyi hosszus kivalasztott ´ ag ´ ´ ınus ´ ponttal harom szakaszra bontunk fel. Mennyi annak a valosz´ ˝ ege, ´ ´ haromsz ´ ¨ hogy a harom szakaszbol oget lehet szerkeszteni? ´ a [0, 1] × [0, 1] negyzet ´ ´ ´ Az eredmeny azon reszhalmaz anak terulete, ¨ ´ ¨ ˝ ´ melynek pontjaira fennallnak a kovetkez o˝ egyenlotlens egek:     0 < x < y < 1, 0 < y < x < 1,       1 − y < y, 1 − x < x, vagy   x < 1 − x, y < 1 − y,       y − x < 1 − y + x, x − y < 1 − x + y, azaz ( 0 < x < 21 < y < 1, y − x < 21 ,

vagy

( 0 < y < 12 < x < 1, x − y < 12 .

´ a keresett valosz´ ´ ınus ´ 1/4. Ezert ˝ eg ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

114 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ınus ´ 14.3 Felteteles valosz´ ˝ eg

´ ´ Felteteles relat´ıv gyakorisag ´ ´ unk, ´ felteteles ´ Ha n fuggetlen k´ıserletet vegz akkor az A esemeny ¨ ¨ ´ ´ ´ relat´ıv gyakorisaga azon feltetel mellett, hogy a B esemeny ¨ bekovetkezett rn (A ∩ B) kn (A ∩ B) = . rn (A | B) := kn (B) rn (B)

´ ´ ınus ´ Felteteles valosz´ ˝ eg ´ felteteles ´ mellett (azaz ´ ´ ınus ´ Az A esemeny valosz´ ˝ ege a B feltetel ´ bekovetkezett) ¨ ha tudjuk, hogy a B esemeny P(A | B) :=

P(A ∩ B) , P(B)

hacsak P(B) > 0. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

115 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ınus ´ 14.3 Felteteles valosz´ ˝ eg ´ ak: ´ Peld 1 ´ ınus ´ ´ ´ Mennyi a valosz´ hogy egy ketgyermekes csaladban ˝ ege, ´ gyerek fiu, ´ mindket uk, ´ ha feltetelezz ¨ hogy egy gyerek egyenlo˝ ´ ınus ´ ´ ´ tudjuk, hogy valosz´ lehet fiu´ vagy lany, es ˝ eggel ˝ az idosebb gyerek fiu; ´ ´ az egyik gyerek fiu´ ? legalabb

´ er ´ Ekkor az esemenyt Ω = {FF, FL, LF, LL}, ´ 1/4 valosz´ ´ ınus ´ uek. melynek elemei egyforman Legyen ˝ eg ˝ ´ gyerek fiu} A := {mindket ´ = {FF}, ˝ B1 := {az idosebb gyerek fiu} ´ = {FF, FL}, ´ az egyik gyerek fiu} B2 := {legalabb ´ = {FF, FL, LF}. ´ A ∩ B1 = A ∩ B2 = {FF}, ´ıgy Nyilvan P(A | B1 ) = 1/2, ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

P(A | B2 ) = 1/3.


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

116 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ınus ´ 14.3 Felteteles valosz´ ˝ eg 2

´ osztaskor ´ ´ ´ ınus ´ Bridzsnel 2 aszt kapott valaki. Mennyi a valosz´ ˝ ege, ´ ´ a partneren ´ el ´ van? hogy a masik 2 asz ¨ ´ ´ Az osszes leosztasok szama

52! , (13!)4

4 48 39! ´ ınus ´ uek. ˝ ezek egyforma valosz´ Ezekbol · · ˝ eg ˝ 2 11 (13!)3 ´ van, melynel ´ az elso˝ jat ´ ekos ´ ´ ´ ezek olyan leosztas 2 aszt kap, es ¨ ott ¨ pedig koz 4 48 37 26! · · · 2 11 11 (13!)2 ´ van, melynel ´ a masik ´ ´ a partneren ´ el ´ van. olyan leosztas 2 asz ´ a keresett felteteles ´ ´ ınus ´ Tehat valosz´ ˝ eg 48 37 26! 4 2 2 · 11 · 11 · (13!)2 = . 48 39! 4 19 · · 3 2


11

(13!)


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

117 / 180


´ ´ Lancszab aly P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 ) P(A2 | A1 ) P(A3 | A1 ∩ A2 ) · · · P(An | A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ), hacsak P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ) > 0. A jobb oldal P(A1 )

P(A1 ∩ A2 ) P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ∩ An ) ··· P(A1 ) P(A1 ∩ A2 ) P(A1 ∩ A2 · · · ∩ An−1 )



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

118 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ınus ´ 14.3 Felteteles valosz´ ˝ eg ´ ab ´ ol ´ harmat ´ ´ ´ Pelda: Huzzunk ki a 32 lapos magyar karty visszateves ´ ´ ul. ´ ınus ´ ´ a harmadik kihuzott nelk hogy az elso˝ es ¨ Mennyi a valosz´ ˝ ege, ´ ´ lap piros, a masodik pedig nem az? ¨ ´ Ai azt az esemenyt, ´ ´ Jelolje i = 1, 2, 3 eseten hogy az i-edik huz ´ as ´ eredmenye piros. Ekkor 1 8 24 7 = , P(A2 | A1 ) = , P(A3 | A1 ∩ A2 ) = , P(A1 ) = 32 4 31 30 ´ıgy 1 24 7 7 · = . P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = · 4 31 30 155 ´ azt az esemenyteret ´ ´ Persze lehetne hasznalni is, amely az elso˝ harom ´ all ´ a sorrendet is figyelembe veve; ´ kihuzott lapbol ekkor |Ω| = 32·31·30, ´ ´ a kimenetelek egyenlo˝ valosz´ ´ ınus ´ uek. es Mivel a kedvezo˝ esetek ˝ eg ˝ 8·24·7 7 ´ ´ ınus ´ 32·31·30 szama 8 · 24 · 7, ´ıgy a keresett valosz´ = 155 . ˝ eg ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

119 / 180


´ Teljes esemenyrendszer ´ er ´ megszaml ´ alhat ´ ´ ´ Az esemenyt o´ diszjunkt felbontasa, azaz esemenyek ´ ´ ´ paronk ´ ´ A1 , A2 , . . . veges vagy vegtelen sorozata, melyek egymast ent ´ ak, ´ es ´ uniojuk ´ ´ esemenyt ´ er, ´ vagyis kizarj az egesz [ ´ Ai = Ω. Ai ∩ Aj = ∅ ha i 6= j, es i

´ ´ ¨ ul Egy teljes esemenyrendszer esemenyei koz ¨ mindig pontosan egy ¨ ´ kovetkezik be, es X P(Ai ) = 1. i



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

120 / 180


´ ınus ´ tetele ´ Teljes valosz´ ˝ eg ´ ınus ´ u˝ esemenyek ´ Ha az A1 , A2 , . . . pozit´ıv valosz´ teljes ˝ eg ´ ˝ ´ esemenyrendszert alkotnak, akkor tetszoleges B esemenyre X P(B) = P(B | Ai ) · P(Ai ). i

´ B = ∪(B ∩ Ai ) diszjunkt felbontas, ´ hiszen ´ Nyilvan Bizony´ıtas. i

B = B ∩ Ω = B ∩ (∪ Ak ) = ∪(B ∩ Ak ), k

´ i 6= j eseten ´ es

k

(B ∩ Ai ) ∩ (B ∩ Aj ) = B ∩ Ai ∩ Aj = ∅, ´ ugyanis Ai ∩ Aj = ∅. Ezert X X P(B) = P(B ∩ Ai ) = P(B | Ai ) · P(Ai ). i ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

i ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

121 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ınus ´ 14.3 Felteteles valosz´ ˝ eg ´ ´ csavarokat gyart. ´ A selejt aranya ´ ´ el ´ ´ Pelda: Harom gep az elso˝ gepn ´ ´ ´ ¨ ´ ´ 1 %, a masodiknal 2 %, a harmadiknal 3 %. Az ossztermek 50 %-at ´ 30 %-at ´ a masodik, ´ ´ pedig a harmadik all´ ´ ıtja elo. ˝ az elso˝ gep, 20 %-at ´ ınus ´ annak, hogy az osszterm ¨ ´ ol ˝ veletlenszer ´ Mi a valosz´ ekb uen ˝ ege ˝ ´ valasztott csavar selejtes? ¨ ´ ´ Jelolje B azt az esemenyt, hogy selejtet huzunk, i = 1, 2, 3 eseten ´ ´ ´ ult. pedig Ai azt, hogy a kihuzott csavar az i-edik gepen kesz ´ ¨ Ekkor P(B|A1 ) = 0.01,

P(B|A2 ) = 0.02,

P(B|A3 ) = 0.03,

P(A1 ) = 0.5,

P(A2 ) = 0.3,

P(A3 ) = 0.2,

´ıgy P(B) = 0.01 · 0.5 + 0.02 · 0.3 + 0.03 · 0.2 = 0.017. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

122 / 180


Bayes-formula ´ B pozit´ıv valosz´ ´ ınus ´ u˝ esemenyek, ´ Ha A es akkor ˝ eg P(A) · P(B | A) P(A | B) = . P(B) ´ Bizony´ıtas: P(A | B) =

P(A ∩ B) P(B)

´ P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). es

´ Bayes-tetel ´ ınus ´ u˝ esemenyek ´ Ha az A1 , A2 , . . . pozit´ıv valosz´ teljes ˝ eg ´ ´ P(B) > 0, akkor esemenyrendszert alkotnak es P(A ) · P(B | Ai ) P(Ai | B) = P i . P(B | Aj ) · P(Aj ) j )·P(B|Ai ) ´ ´ A Bayes-formulaval Bizony´ıtas: P(Ai | B) = P(Ai P(B) . A teljes P ´ ınus ´ tetel ´ evel ´ valosz´ P(B) = P(B | Aj ) · P(Aj ). ˝ eg j ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

123 / 180


´ ´ ınus ´ az eloz ˝ o˝ peld ´ aban ´ ´ Pelda: Mennyi a felteteles valosz´ annak, ˝ ege ˝ masodik, ´ ´ ´ ´ a kivalasztott ´ hogy az elso, illetve harmadik gepen gyartott ak ´ mellett, hogy az selejtesnek bizonyult? csavart azon feltetel P(A1 | B) =

0.01 · 0.5 5 = , 0.017 17


P(A2 | B) =


6 , 17

P(A3 | B) =

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

6 . 17

124 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ 14.4. Fuggetlen esemenyek ¨

´ Fuggetlen esemenyek ¨ ´ B esemenyek ´ Azt mondjuk, hogy az A es fuggetlenek, ¨ ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B). ´ B pozit´ıv valosz´ ´ ınus ´ u˝ esemenyek, ´ ¨ Ha A es akkor a kovetkez o˝ ˝ eg ´ ıtasok ´ all´ ekvivalensek: ´ B fuggetlenek; A es ¨ P(A | B) = P(A); P(B | A) = P(B). ˝ ´ ol ˝ Ha P(A) = 0 vagy P(A) = 1, akkor A tetszoleges B esemenyt fuggetlen. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

125 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ 14.4. Fuggetlen esemenyek ¨

´ ´ fuggetlen ´ Paronk ent esemenyek ¨ ´ ´ ´ Azt mondjuk, hogy az A1 , A2 , . . . esemenyek paronk ent ¨ ul ´ ´ esemeny ´ fuggetlen. fuggetlenek, ¨ ha koz ket ¨ uk ¨ barmely ¨

´ (Teljesen) fuggetlen esemenyek ¨ ´ Azt mondjuk, hogy az A1 , A2 , . . . esemenyek (teljesen) fuggetlenek, ¨ ˝ ¨ oz ¨ o˝ indexekre ha tetszoleges i1 , i2 , . . . , ik kul ¨ onb P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · P(Aik ). ´ ´ aul ´ harom ´ ´ paronk ´ ´ fuggetlenek, Lehetseges, hogy peld esemeny ent de ¨ nem (teljesen) fuggetlenek. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

126 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi

´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ eloszlasf ´ uggv ´ Valosz´ o´ / veletlen mennyiseg, eny ˝ egi ¨ ´ ınus ´ mezo, ˝ akkor a ξ : Ω → R lekepez ´ ´ Ha (Ω, A, P) valosz´ es ˝ egi ˝ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ha tetszoleges valosz´ ˝ egi o´ / veletlen mennyiseg, x ∈R ´ {ω ∈ Ω : ξ(ω) < x} ∈ A. Ekkor az Fξ : R → [0, 1], eseten Fξ (x) := P{ξ < x} ´ ´ uggv ´ enek ´ fuggv enyt ξ (kumulat´ıv) eloszlasf ¨ eny nevezzuk. ¨ ¨

´ uggv ´ Eloszlasf eny ¨ ´ akkor es ´ csak akkor lehet Egy F : R → [0, 1] fuggv eny ¨ ´ uggv ´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ eloszlasf enye valamely ξ : Ω → R valosz´ onak, ha ¨ ˝ egi 1 2 3

¨ ˝ F monoton novekv o, ´ folytonos, F balrol lim F (x) = 0,

x→−∞


lim F (x) = 1.

x→+∞


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

127 / 180


´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ Diszkret o´ ˝ egi ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ekeinek ´ ´ ha lehetseges A ξ : Ω → R valosz´ o´ diszkret, ert ˝ egi ´ ekk ´ eszlet ´ ´ alhat ´ ´ halmaza, a {ξ(ω) : ω ∈ Ω} ert megszaml o. ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ınus ´ ´ A ξ diszkret o´ eloszlasa az a Pξ valosz´ ˝ egi ˝ egi ´ ek ´ a ξ lehetseges ´ ´ ekeinek ´ ´ mert ert X := {x1 , x2 , . . . } halmazan, melyre Pξ ({xi }) = P({ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi }), xi ∈ X .

´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ uggv ´ Diszkret o´ eloszlasf enye ˝ egi ¨ ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ uggv ´ ´ ˝ Egy ξ diszkret o´ eloszlasf enye olyan lepcs os ¨ ˝ egi ´ ´ ´ ekekn ´ ´ ugrik, es ´ az ugras ´ nagysaga ´ fuggv eny, mely a lehetseges ert el ¨ ´ ek ´ valosz´ ´ ınus ´ ´ ´ ekeinek ´ az illeto˝ ert Ha a ξ lehetseges ert halmaza ˝ ege. X := {x1 , x2 , . . . }, akkor X Fξ (x) = Pξ ({xi }), x ∈ R. {i : xi <x} ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

128 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi ´ ak: ´ Peld 1 ´ kockat ´ dobva a dobott szamok ´ ¨ ´ jelolje ¨ ´ Ket osszeg et ξ. Hatarozzuk ´ at! ´ meg ξ eloszlas ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ lehetseges ´ ´ ekeinek ´ Ekkor ξ diszkret o; ert ˝ egi halmaza: X = {2, 3, . . . , 12}, ´ eloszlasa: k − 1    36 P{ξ = k } =    13 − k 36


ha 2 ≤ k ≤ 7, ha 7 ≤ k ≤ 12.


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

129 / 180


2

´ ´ Binomialis eloszlas. ´ n fuggetlen k´ıserlet ¨ ´ A esemeny, p := P(A) ´ A gyakorisaga: ξ := kn (A) ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ diszkret o; ˝ egi ´ ´ ekeinek ´ lehetseges ert halmaza: X = {0, 1, 2, . . . , n}, ´ eloszlasa

n k P{ξ = k} = p (1 − p)n−k , k

´ u˝ binomialis ´ ´ melyet (n, p) parameter eloszlasnak nevezunk. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

130 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi 3

˝ ´ ´ Elsorend u˝ negat´ıv binomialis eloszlas. ´ A esemeny, p := P(A) ´ unk ´ ˝ or ¨ bekovetkezik. ¨ Addig vegz k´ıserleteket, m´ıg A elosz ¨ fuggetlen ¨ ´ ´ ´ ξ := az ehhez szuks k´ıserletek szama; ¨ eges ´ ´ ekeinek ´ lehetseges ert halmaza: X = {1, 2, . . . , ∞}, ´ ´ eloszlasa: k = 1, 2, . . . eseten P{ξ = k } = p · (1 − p)k−1 , ´ıgy

P{ξ = ∞} = 1 − P{ξ < ∞} = 1 −

∞ X

P{ξ = k } = 1 − p

k=1

∞ X

(1 − p)k−1 = 0.

k=1

´ at ´ elsorend ˝ ´ u˝ negat´ıv Ekkor ξ eloszlas u˝ p parameter ´ ´ ´ binomialis eloszlasnak (vagy geometriai eloszlasnak) nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

131 / 180


´ Hipergeometrikus eloszlas. ´ N − M fekete golyo´ van (M < N). Egy dobozban M piros es ´ nelk ´ ul ´ (n ≤ N). Visszateves ki n golyot ¨ huzunk ´ ´ szama; ´ ξ := a kihuzott piros golyok ´ ´ ´ ekeinek ´ ´ ekek, ´ lehetseges ert halmaza: olyan k ert melyekre ´ n − k ≤ N − M, teljesul ¨ 0 ≤ k ≤ n, k ≤ M, es ´ eloszlasa: M N −M k n−k . P{ξ = k } = N n ´ at ´ (n, M, N − M) parameter ´ u˝ Ekkor ξ eloszlas ´ hipergeometrikus eloszlasnak nevezzuk. ¨



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

132 / 180


´ Poisson eloszlas. ´ kalacsot ´ ´ aba ´ Mazsolas sut 1000 gramm teszt n = 50 darab ¨ unk; ¨ ´ teszunk. ´ N = 40 mazsolat Egy szelet sulya 25 gramm, tehat ¨ ´ ´ ul. ´ ınus ´ szelet kesz kerulhet ¨ Minden mazsola egyforma valosz´ ˝ eggel ¨ ´ ´ a mazsolak ´ egymast ´ ol ´ fuggetlen bele barmely szeletbe, es ul ¨ ¨ ¨ ´ ´ ,,mozognak”. Jelolje ξ egy kivalasztott szeletbe kerul ¨ o˝ mazsolak ´ at. ´ Lehetseges ´ ´ ekeinek ´ szam ert halmaza X = {0, 1, . . . , 50}, ´ eloszlasa k 1 50−k 50 1 1− , P{ξ = k } = k 40 40 ´ ξ eloszlasa ´ ´ uˆ binomialis ´ tehat n-edrendu˝ 1/N parameter ´ eloszlas. ¨ enik, ´ ¨ ´ ´ et? ´ Mi tort ha novelj uk mennyiseg ¨ a teszta



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

133 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi ´ hasznalunk ´ ´ aba, ´ Ha n mazsolat fel 20 · n gramm teszt akkor ´ ul, ´ eloszlas ´ parametere ´ N = 20 · n/25 szelet kesz ¨ ´ıgy a binomialis ´ pn := 1/N = λ/n, ahol λ := 5/4 az egy szeletre atlagosan juto´ ´ szama. ´ mazsolak Ekkor n k lim pn (1 − pn )n−k n→∞ k λ n−k λk −λ n(n − 1) · · · (n − k + 1) λ k 1− = e . = lim n→∞ k! n n k! ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ekei ´ Ha egy η valosz´ o´ lehetseges ert a nemnegat´ıv ˝ egi ´ szamok ´ ´ k = 0, 1, . . . eseten ´ egesz es λk −λ e , k! ´ ´ u˝ ahol λ > 0, akkor azt mondjuk, hogy η eloszlasa λ parameter ´ Poisson–eloszlas. P(η = k ) =



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

134 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ uggv ´ Valosz´ o´ sur enye ˝ egi ˝ us ˝ egf ¨ ´ ınus ´ mezo, ˝ ξ : Ω → R valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ Ha (Ω, A, P) valosz´ o´ ˝ egi ˝ egi ´ letezik ´ ´ es olyan fξ : R → [0, ∞) fuggv eny, melyre ¨ Z

x

Fξ (x) =

fξ (t) dt,

x ∈ R,

−∞

´ ´ uggv ´ enek ´ akkor az fξ fuggv enyt a ξ sur ˝ us ˝ egf ¨ eny nevezzuk. ¨ ¨ ´ ´ (Nem egyertelm uen definialt!) ˝



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

135 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ uggv ´ Valosz´ o´ sur enye ˝ egi ˝ us ˝ egf ¨ Ha a < b, akkor

Z

P{a ≤ ξ < b} = Fξ (b) − Fξ (a) =

b

fξ (t) dt. a

´ uggv ´ folytonos az x ∈ R pontban, akkor Ha az fξ sur eny ˝ us ˝ egf ¨ Fξ0 (x) = fξ (x). ´ akkor es ´ csak akkor lehet Egy f : R → [0, ∞) fuggv eny ¨ ´ uggv ´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ sur enye valamely ξ : Ω → R valosz´ onak, ha ˝ us ˝ egf ¨ ˝ egi Z ∞ f (t) dt = 1. −∞



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

136 / 180


´ az [a, b] intervallumon Egyenletes eloszlas ´ ´ Ha az [a, b] intervallumon valasztunk veletlenszer uen egy ξ pontot ˝ ´ ´ valosz´ ´ ınus ´ ugy, hogy egy A ⊂ [a, b] reszhalmazba eses az illeto˝ ´ ˝ ege ´ ´ ek ´ evel ´ ´ ´ uggv ´ ´ reszhalmaz mert aranyos, akkor ξ eloszlasf enye nyilvan ¨   0 ha x ≤ a,  x − a ha a < x ≤ b, Fξ (x) =  b−a   1 ha x > b. ´ ınus ´ valtoz ´ ´ egyenletes eloszlas ´ unak Ekkor a ξ valosz´ ot ´ nevezzuk ˝ egi ¨ ´ a´ a [a, b] intervallumon. Tovabb   1 ha a ≤ x ≤ b fξ (x) = b − a 0 ´ ent ´ egyebk ´ sur ´ uggv ´ fuggv eny enye ξ–nek. ¨ ˝ us ˝ egf ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

137 / 180


´ eloszlas ´ Normalis ´ ınus ´ valtoz ´ ´ uggv ´ Ha a ξ valosz´ o´ sur enye ˝ egi ˝ us ˝ egf ¨ f (x) = √

1

−

2πσ

e

(x−m)2 2σ 2

,

x ∈R

´ alaku, ´ ahol m ∈ R, σ > 0, akkor azt mondjuk, hogy ξ normalis 2 ´ u´ R (m, σ ) parameterekkel. ´ eloszlas ∞ ´ kovetkezik, ¨ Az, hogy −∞ f (x) dx = 1, abbol hogy ∞

Z

e

−x 2 /2

2 dx

Z

2π

−∞

Z

∞

re

= 0

Z

∞

=

−∞

Z

∞

−r 2 /2

dr

e−(x

dx dy

−∞

h ir =∞ 2 dϕ = 2π −e−r /2 = 2π.

0


2 +y 2 )/2


r =0

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

138 / 180


´ eloszlas ´ Exponencialis ¨ a ξ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ Ez Jelolje o´ egy radioakt´ıv atom elettartam at. ˝ egi ¨ okifj ¨ ´ rendelkezik az ugynevezett or u´ tulajdonsaggal: ha t, h > 0, ´ akkor P{ξ ≥ t + h | ξ ≥ t} = P{ξ ≥ h}, ´ ´ megelt ´ t idot, ˝ a vagyis annak ellenere, hogy tudjuk, hogy az atom mar ´ hatralev ´ ´ ´ eppen ´ meg o˝ elettartam eloszlasa olyan, mint a teljes ´ ´ elettartam eredeti eloszlasa. Mivel P{ξ ≥ t + h, ξ ≥ t} , P{ξ ≥ t + h | ξ ≥ t} = P{ξ ≥ t} ´ P{ξ ≥ t + h, ξ ≥ t} = P{ξ ≥ t + h}, ezert ´ a G(t) := P{ξ ≥ t} es ´ esi ´ fuggv ´ tul ´ el ¨ enyre teljesul ¨ G(t + h) = G(h). G(t) ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

139 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi ´ ´ Be lehet latni, hogy ha G folytonos, akkor letezik olyan λ > 0, hogy G(t) = e−λt ´ ξ eloszlasf ´ uggv ´ Ezert enye ¨ ( 0 F (x) = 1 − e−λx

ha t > 0. ha x ≤ 0, ha x > 0

´ λ parameter ´ u˝ exponencialis ´ alaku, ´ ahol λ > 0. Ezt az eloszlast ´ uggv ´ ´ eloszlasnak nevezzuk. enye: ¨ Van sur ˝ us ˝ egf ¨ ( 0 ha x ≤ 0, f (x) = −λx λe ha x > 0. ´ alland ´ ´ Bomlasi o: 1 1 lim P{t ≤ ξ < t + h | ξ ≥ t} = lim (1 − e−λh ) = λ. h→0 h h→0 h ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

140 / 180


´ ınus ´ vektorvaltoz ´ Valosz´ o´ ˝ egi ξ : Ω → Rk , azaz ξ = (ξ1 , . . . , ξk ), ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ahol ξi : Ω → R, i = 1, . . . , k valosz´ ok ˝ egi k ´ ´ eloszlasfuggv ¨ enye: Fξ : R → R, Fξ (x1 , . . . , xk ) := P{ξ1 < x1 , . . . , ξk < xk }

´ ınus ´ vektorvaltoz ´ ´ uggv ´ Valosz´ o´ sur enye ˝ egi ˝ us ˝ egf ¨ ´ ´ Ha letezik olyan fξ : Rk → [0, ∞) fuggv eny, melyre ¨ Z x1 Z xk Fξ (x1 , . . . , xk ) = ... fξ (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk −∞

−∞

´ teljesul enyt ξ ¨ minden (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk pontban, akkor az fξ fuggv ¨ ´ uggv ´ enek ´ sur ˝ us ˝ egf ¨ eny nevezzuk. ¨ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

141 / 180


´ ınus ´ vektorvaltoz ´ ´ uggv ´ Valosz´ o´ sur enye ˝ egi ˝ us ˝ egf ¨ ´ Nyilvan Z

b1

P{ai ≤ ξi ≤ bi , i = 1, . . . , k} =

Z

bk

fξ (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk ,

... a1

ak

˝ tetszoleges ˝ ´ sot B ⊂ Rk (Borel-halmaz) eseten Z Z P{(ξ1 , . . . , ξk ) ∈ B} = · · · fξ (t1 , . . . , tk ) dt1 . . . dtk , B

´ a´ ha Fξ k –szor folytonosan differencialhat ´ ´ akkor tovabb o, fξ (x1 , . . . , xk ) =


∂ k Fξ (x1 , . . . , xk ) . ∂x1 . . . ∂xk


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

142 / 180


´ valosz´ ´ ınus ´ vektorvaltoz ´ Diszkret o´ ˝ egi ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ha lehetseges A ξ : Ω → Rk valosz´ o´ diszkret, ˝ egi ´ ekeinek ´ ´ ekk ´ eszlet ´ ´ alhat ´ ´ ert halmaza, a {ξ(ω) : ω ∈ Ω} ert megszaml o. ´ akkor ξ es ´ η is diszkret. ´ Ha ξ es ´ η Ha (ξ, η) : Ω → R2 diszkret, ´ ´ ekei ´ lehetseges ert x1 , x2 , . . ., illetve y1 , y2 , . . ., akkor (ξ, η) ´ ´ ekeinek ´ lehetseges ert halmaza {(xi , yj ) : i, j = 1, 2, . . .}. ´ at, ´ azaz a Ha ismerjuk ¨ (ξ, η) eloszlas P{ξ = xi , η = yj }

i, j = 1, 2, . . .

´ ınus ´ ´ ´ η eloszlas ´ at ´ is: valosz´ akkor ki tudjuk szamolni ξ es ˝ egeket, X X P{ξ = xi } = P{ξ = xi , η = yj }, P{η = yj } = P{ξ = xi , η = yj }. j

i

´ ´ ´ Ezek (ξ, η) peremeloszlasai / marginalis eloszlasai. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

143 / 180


´ eloszlas ´ Polinomialis ´ ´ n fuggetlen k´ıserletet hajtunk vegre egy A1 , A2 , . . . , Ar teljes ¨ ´ esemenyrendszerre, pi := P(Ai ) (ekkor p1 + p2 + · · · + pr = 1). Ekkor ´ ´ ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξr ) diszkret ´ Ai gyakorisaga: ξi := kn (Ai ), es ´ ınus ´ vektorvaltoz ´ ´ lehetseges ´ ´ ekeinek ´ valosz´ o; ert halmaza: ˝ egi r (k1 , k2 , . . . , kr ) ∈ Z : ki ≥ 0, k1 + k2 + · · · + kr = n , ´ eloszlasa n! pk1 pk2 . . . prkr , P{ξ1 = k1 , ξ2 = k2 , . . . , ξr = kr } = k1 !k2 ! . . . kr ! 1 2 ´ u˝ polinomialis ´ ´ melyet (n, p1 , p2 , . . . , pr ) parameter eloszlasnak ´ ´ eloszlasok: ´ nevezunk. Peremeloszlasai binomialis ¨ n! P{ξi = ki } = pki (1 − pi )n−ki . ki !(n − ki )! i ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

144 / 180


´ Polihipergeometrikus eloszlas ´ nelk ´ ul ´ (n ≤ N), es ´ ξi jeloli ¨ az Ha visszateves ki n golyot ¨ huzunk ´ ˝ huzott ´ szam ´ at, ´ akkor ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξr ) olyan i-edik sz´ınbol golyok ´ ´ ekeket ´ (k1 , k2 , . . . , kr ) ert vehet fel, melyekre minden i = 1, 2, . . . , r ´ teljesul ´ k1 + k2 + · · · + kr = n, tovabb ´ a´ eseten ¨ 0 ≤ ki ≤ Ni , es N1 N2 Nr k k · · · kr P{ξ1 = k1 , ξ2 = k2 , . . . , ξr = kr } = 1 2 N . n

´ at ´ (n, N1 , . . . , Nr ) parameter ´ u˝ Ekkor ξ eloszlas ´ polihipergeometrikus eloszlasnak nevezzuk. ¨ ´ ´ Peremeloszlasai hipergeometrikus eloszlasok: N N−N i

P{ξi = ki } =


ki

i

n−ki N n


.

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

145 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi ´ ınus ´ vektorvaltoz ´ ´ ´ Ha a (ξ, η) valosz´ onak letezik fξ,η ˝ egi ´ uggv ´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ sur enye, akkor a ξ, illetve η valosz´ oknak is ˝ us ˝ egf ¨ ˝ egi ´ ´ uggv ´ uk, ´ letezik sur eny ˝ us ˝ egf ¨ ¨ megpedig Z ∞ Z ∞ fξ,η (x, y) dy, fη (y ) = fξ,η (x, y) dx. fξ (x) = −∞

−∞

´ ´ ´ Ezek (ξ, η) peremeloszlasai / marginalis eloszlasai.

´ ınus ´ valtoz ´ ´ Fuggetlen valosz´ ok ¨ ˝ egi ´ η valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ A ξ es okat akkor nevezzuk ¨ ˝ egi ¨ fuggetleneknek, ˝ ´ ha tetszoleges x, y ∈ R eseten P{ξ < x, η < y} = P{ξ < x}P{η < y}, azaz Fξ,η (x, y) = Fξ (x)Fη (y ). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

146 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ Fuggetlen valosz´ ok ¨ ˝ egi ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ekekkel ´ Ha ξ diszkret o´ x1 , x2 , . . . lehetseges ert ˝ egi ´ η diszkret ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ekekkel, ´ es o´ y1 , y2 , . . . lehetseges ert ˝ egi ´ η fuggetlens ´ akkor ξ es ege azzal ekvivalens, hogy ¨ ∀i, j

P{ξ = xi , η = yj } = P{ξ = xi }P{η = yj }.

´ ´ uggv ´ ´ η Ha letezik (ξ, η)-nak fξ,η sur enye, akkor ξ es ˝ us ˝ egf ¨ ´ fuggetlens ege azzal ekvivalens, hogy ¨ ∀x, y ∈ R

fξ,η (x, y) = fξ (x)fη (y ).

´ ınus ´ ´ ´ Valosz´ asok konvoluci ˝ egeloszl ´ oja ´ η valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ fuggetlenek, Ha a ξ es ok akkor azt mondjuk, ˝ egi ¨ ´ ´ ´ ´ ´ hogy ξ + η eloszlasa a ξ es η eloszlasanak konvoluci ´ oja. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

147 / 180


´ ınus ´ ´ ´ Valosz´ asok konvoluci ˝ egeloszl ´ oja ´ η fuggetlen ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ es ´ a lehetseges ´ Ha ξ es diszkret ok, ¨ ˝ egi ´ ekeik ´ ´ szamok, ´ ert nemnegat´ıv egesz akkor a k [ {ξ + η = k } = ({ξ = j} ∩ {η = k − j}) j=0

´ alapjan ´ diszjunkt felbontas k X P{ξ = j}P{η = k − j}, P{ξ + η = k } =

k = 0, 1, . . .

j=0

´ η fuggetlen ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ´ Ha a ξ es valosz´ oknak leteznek az fξ es ¨ ˝ egi ´ uggv ´ fη sur enyei, akkor ˝ us ˝ egf ¨ Z ∞ fξ (u)fη (x − u) du, x ∈ R. fξ+η (x) = −∞ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

148 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ınus ´ valtoz ´ ´ 14.5 Valosz´ ok ˝ egi ´ ak: ´ Peld ´ η fuggetlen ´ eloszlas ´ uak Ha ξ es binomialis (n1 , p) illetve ¨ ´ ´ ´ ismet ´ binomialis ´ (n2 , p) parameterekkel, akkor ezek konvoluci ´ oja ´ megpedig ´ ´ eloszlas, (n1 + n2 , p) parameterekkel: X n1 n2 j n1 + n2 k pi (1−p)n1 −i p (1−p)n2 −j = p (1−p)n1 +n2 −k . i j k 1

i,j : i+j=k 2

Z

´ η fuggetlen ´ eloszlas ´ uak Ha ξ es normalis (m1 , σ12 ) illetve ¨ ´ ´ ´ ismet ´ normalis ´ (m2 , σ22 ) parameterekkel, akkor ezek konvoluci ´ oja 2 2 ´ megpedig ´ ´ eloszlas, (m1 + m2 , σ1 + σ2 ) parameterekkel:

∞

−∞

√

1 2πσ1

−

e

(u−m1 )2 2σ 2 1


√

1 2πσ2

−

e

(x−u−m2 )2 2σ 2 2

− 1 du = √ q e 2π σ12 + σ22


(x−m1 −m2 )2 2(σ 2 +σ 2 ) 1 2

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

149 / 180

.

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert ´ Intu´ıcio: ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ x1 , . . . , xN Tekintsunk ot ¨ egy ξ : Ω → R diszkret ˝ egi ´ ´ ekekkel. ´ lehetseges ert ´ ´ n fuggetlen k´ıserletet hajtunk vegre ¨ ´ Ak := {ξ = xk } relat´ıv gyakorisaga rn (Ak ) ≈ P(Ak ) = P{ξ = xk }, ´ az xk ert ´ eket ´ ¨ ulbel ezert kor ul ¨ ¨ n · P{ξ = xk } esetben kapjuk, ´ıgy ´ ekek ´ ´ ¨ ulbel a megfigyelt ert atlaga kor ¨ ul ¨ N

N

k=1

k=1

X 1X xk · n · P{ξ = xk } = xk · P{ξ = xk }. n ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

150 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert

´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ eke ´ Valosz´ o´ varhat o´ ert ˝ egi ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ Ha ξ : Ω → R diszkret o´ x1 , x2 , . . . lehetseges ˝ egi ´ ekekkel, ´ ert akkor az X E ξ := xk · P{ξ = xk } k

´ ´ ´ ek ´ ´ mennyiseget a ξ varhat o´ ert ¨ amennyiben ez a sor P enek nevezzuk, abszolut ´ konvergens, azaz k |xk | · P{ξ = xk } < ∞. ´ ınus ´ valtoz ´ ´ melynek Ha ξ : Ω → R egy abszolut o, ´ folytonos valosz´ ˝ egi ´ uggv ´ sur enye fξ : R → [0, ∞), akkor az ˆ us ˆ egf ¨ Z ∞ E ξ := x fξ (x) dx −∞

´ ´ ´ ek ´ enek ´ mennyiseget a ξ varhat o´ ert nevezzuk, ¨ R amennyiben ez az ∞ ´ abszolut improprius integral ´ konvergens, azaz −∞ |x|fξ (x) dx < ∞. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

151 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert ´ ak: ´ Peld 1

´ eloszlas ´ u´ (n, p) parameterekkel, ´ Ha ξ binomialis akkor n X n Eξ = k· pk (1 − p)n−k = np. k k=0

´ ´ ´ Ha egy egysegnyi oldalu´ negyzetben valasztunk egyenletes ´ szerint egy pontot, es ´ ξ jeloli ¨ a pontnak a legkozelebbi ¨ eloszlas 1 ´ valo´ tavols ´ ´ at, ´ akkor E ξ = 6 , hiszen oldaltol ag  (  ha x ≤ 0, 0 4 − 8x ha x ∈ [0, 12 ], Fξ (x) = 1 − (1 − 2x)2 ha x ∈ [0, 12 ], fξ (x) =  ´ ent, ´ 0 egyebk  1 ha x > 12 , Z 1/2 8 3 x=1/2 1 2 Eξ = x(4 − 8x) dx = 2x − x = . 3 6 0 x=0 2



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

152 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert 3

4

´ B jat ´ ekosok ´ ¨ ´ ekot ´ ´ ak. ´ Felvaltva ´ Az A es a kovetkez o˝ jat jatsz ´ ´ et; ´ A kezd, es ´ az nyer, akinek elosz ˝ or ¨ dobnak egy szabalyos erm ´ al ´ 2–2 forintot tesznek be, es ´ sikerul ¨ fejet dobnia. Az elso˝ dobasn ´ elott ˝ duplazz ´ ak ´ a tetet, ´ ´ minden dobas azaz ha az n-edik dobasra ´ n paratlan, ´ ˝ sikerul akkor A nyer 2n forintot B-tol, ¨ fejet dobni es n ´ ´ ha pedig n paros, akkor B nyer 2 forintot A-tol. Mennyi az A ´ ekos ´ ´ ´ illetve B jat varhat o´ nyeremenye? ¨ ´ ekos ´ ´ et ´ (mely pozit´ıv, ha A nyer, es ´ Jelolje ξ az A jat nyeremeny ´ ´ ekei ´ negat´ıv, ha A vesz´ıt). Ekkor ξ lehetseges ert 2, −4, 8, −16, ´ P{ξ = 2} = 21 , P{ξ = −4} = 41 , . . . Mivel . . . es 1 1 1 2 · + 4 · + 8 · + · · · = 1 + 1 + 1 + · · · = ∞, 2 4 8 ´ ´ eke ´ nem letezik! ´ o´ ert ´ıgy ξ varhat ´ ınus ´ valtoz ´ ´ melynek sur ´ uggv ´ Legyen ξ olyan valosz´ o, enye ˝ egi ˝ us ˝ egf ¨ R∞ |x| 1 ´ fξ (x) = π(1+x . Ekkor nem l etezik Eξ, mert dx = ∞. 2) −∞ π(1+x 2 )



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

153 / 180


´ ´ ek ´ tulajdonsagai ´ Varhat o´ ert ´ η valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ es ´ a, b ∈ R, akkor Ha ξ es ok ˝ egi ´ E(a ξ) = a E ξ (homogenitas) ´ E(ξ + η) = E ξ + E η (additivitas) ´ E(a ξ + b η) = a E ξ + b E η (linearitas) ´ η fuggetlenek, ha ξ es akkor E(ξη) = E ξ · E η ¨ ´ ha ξ ≤ η, akkor E ξ ≤ E η (monotonitas) ´ ha ξ ≥ 0, akkor E ξ ≥ 0 (pozitivitas) | E ξ| ≤ E |ξ| p ˝ ´ eg) E |ξη| ≤ E ξ 2 E η 2 (Cauchy-Schwartz egyenlotlens



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

154 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ enek ´ ´ ´ eke ´ Valosz´ o´ fuggv eny varhat o´ ert ˝ egi ¨ Legyen g : R → R. ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ekekkel, ´ Ha ξ diszkret o´ x1 , x2 , . . . lehetseges ert ˝ egi X akkor E g(ξ) = g(xk ) · P{ξ = xk }, k

amennyiben ez a sor abszolut ´ konvergens. ´ ınus ´ valtoz ´ Ha ξ abszolut o´ fξ ´ folytonos valosz´ ˝ egi ´ uggv ´ sur ennyel, akkor ˝ us ˝ egf ¨ Z ∞ E g(ξ) = g(x) · fξ (x) dx, −∞

´ abszolut amennyiben ez az improprius integral ´ konvergens.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

155 / 180


´ ınus ´ vektorvaltoz ´ ´ enek ´ ´ ´ eke ´ Valosz´ o´ fuggv eny varhat o´ ert ˝ egi ¨ Legyen g : R2 → R. ´ η diszkret ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ x1 , x2 , . . ., illetve Ha ξ es ok ˝ egi ´ ´ ekekkel, ´ y1 , y2 , . . . lehetseges ert akkor X E g(ξ, η) = g(xk , y` ) · P{ξ = xk , η = `}, k,`

amennyiben ez a sor abszolut ´ konvergens. ´ ınus ´ vektorvaltoz ´ Ha (ξ, η) abszolut o´ fξ,η ´ folytonos valosz´ ˝ egi ´ uggv ´ sur ennyel, akkor ˝ us ˝ egf ¨ Z ∞Z ∞ g(x, y ) · fξ η (x, y) dx dy, E g(ξ, η) = −∞

−∞

´ abszolut amennyiben ez az improprius integral ´ konvergens. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

156 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ / szor ´ asn ´ egyzete ´ Valosz´ o´ varianciaja ˝ egi var ξ := D2 ξ := E (ξ − E ξ)2 .

´ asn ´ egyzet ´ ´ ´ Variancia / szor kiszamol asa var ξ = E ξ 2 −2ξ E ξ+(E ξ)2 = E(ξ 2 )−2·E ξ·E ξ+(E ξ)2 = E(ξ 2 )−(E ξ)2 , ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ o´ x1 , x2 , . . . lehetseges ´ıgy ha ξ diszkret ˝ egi ´ ekekkel, ´ ert akkor !2 X X var ξ = xk2 · P{ξ = k} − xk · P{ξ = k } , k

k

´ ınus ´ valtoz ´ ha pedig ξ abszolut o´ fξ ´ folytonos valosz´ ˝ egi ´ uggv ´ sur ennyel, akkor ˝ us ˝ egf ¨ Z ∞ 2 Z ∞ 2 var ξ = x fξ (x) dx − xfξ (x) dx . −∞ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

−∞ ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

157 / 180


´ asn ´ egyzet ´ ´ Variancia / szor tulajdonsagai ´ η valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ es ´ a ∈ R, akkor Ha ξ es ok ˝ egi ´ var(ξ + a) = var ξ (eltolasinvariancia) ´ var(c · ξ) = c 2 · var ξ (homogenitas) ´ η fuggetlenek, ha ξ es akkor var(ξ + η) = var ξ + var η ¨ ´ (additivitas)

´ ınus ´ valtoz ´ ´ kovarianciaja ´ Valosz´ ok ˝ egi cov(ξ, η) := E (ξ − E ξ)(η − E η)

´ keplet ´ Add´ıcios ´ η valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ akkor Ha ξ es ok, ˝ egi var(ξ + η) = var ξ + 2 cov(ξ, η) + var η ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

158 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert ´ Pelda: ´ eloszlas ´ u´ ´ ´ u, Legyen η standard normalis eloszlas ´ azaz normalis ´ (0, 1) parameterekkel. Ekkor Z ∞ h ix=L 1 1 2 2 Eη = √ = 0, lim −e−x /2 x · e−x /2 dx = √ x=K 2π −∞ 2π K →−∞ L→+∞

Z ∞ 1 2 E(η 2 ) = √ x 2 e−x /2 dx 2π −∞ Z ∞ ix=∞ 1 1 h 2 −x 2 /2 +√ −xe =√ e−x /2 dx = 1, x=−∞ 2π 2π −∞ var η = E(η 2 ) − E η ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

2


= 1. ´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

159 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert ´ eloszlas ´ u´ (m, σ 2 ) parameterekkel, ´ Ha pedig ξ normalis akkor ξ = σ · η + m, ahol

ξ−m σ ´ eloszlas ´ u, ´ uggv ´ standard normalis hiszen η eloszlasf enye ´ ¨ ξ−m Fη (x) = P{η < x} = P < x = P{ξ < σ ·x +m} = Fξ (σ ·x +m), σ η=

´ uggv ´ enye ´ıgy η sur ˝ us ˝ egf ¨ 1 2 fη (x) = Fη0 (x) = σ · Fξ0 (σx + m) = σ · fξ (σx + m) = √ e−x /2 , 2π ´ ezert E ξ = σ · E η + m = m, var ξ = σ 2 · var η = σ 2 . ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

160 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ korrelaci ´ os ´ egyutthat ´ Valosz´ ok oja ˝ egi ¨ cov(ξ, η) corr(ξ, η) := √ . var ξ · var η Ha corr(ξ, η) = 0 azaz cov(ξ, η) = 0, akkor azt mondjuk, hogy ´ η korrelalatlanok. ´ ξ es Ha corr(ξ, η) > 0

azaz

cov(ξ, η) > 0,

´ η pozit´ıvan korrelaltak, ´ akkor ξ es ha pedig corr(ξ, η) < 0

azaz

cov(ξ, η) < 0,

´ η negat´ıvan korrelaltak. ´ akkor ξ es ´ η fuggetlenek, ´ η korrelalatlanok, ´ Ha ξ es akkor ξ es de ez ford´ıtva ¨ ´ aban ´ altal nem igaz. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

161 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert ´ ınus ´ vektorvaltoz ´ ´ Pelda: Legyen a (ξ, η) valosz´ o´ egyenletes ˝ egi ´ u´ a (−1, 0), (0, −1), (0, 1) es ´ (1, 0) pontokon, azaz eloszlas 1 P{ξ = −1, η = 0} = P{ξ = 0, η = −1} = P{ξ = 0, η = 1} = P{ξ = 1, η = 0} = . 4 ´ E(ξη) = 0 miatt Ekkor E ξ = E η = 0 es cov(ξ, η) = E(ξη) − E ξ · E η = 0, ´ η korrelalatlanok, ´ ´ azaz ξ es viszont a peremeloszlasok 1 1 , P{ξ = 0} = , 4 2 1 1 P{η = −1} = P{η = 1} = , P{η = 0} = , 4 2 ´ ξ es ´ η nem fuggetlenek, ´ aul ´ ezert hiszen peld ¨ 1 1 P{ξ = 1, η = 0} = , P{ξ = 1} · P{η = 0} = . 4 8 P{ξ = −1} = P{ξ = 1} =



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

162 / 180


´ korrelaci ´ os ´ egyutthat ´ Kovariancia es o´ tulajdonsagai ¨ var ξ = cov(ξ, ξ) ´ η valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ akkor Ha ξ es ok, ˝ egi cov(ξ, η) = cov(η, ξ),

corr(ξ, η) = corr(η, ξ)

(szimmetria)

´ η1 , . . . , ηm valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ es ´ Ha ξ1 , . . . , ξn es ok ˝ egi a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ∈ R, akkor X X n m n X m X ´ cov ai ξi , bj ηj = ai bj cov(ξi , ηj ) (bilinearitas) i=1

j=1

i=1 j=1

´ | corr(ξ, η)| = 1 akkor es ´ csak akkor, ha | corr(ξ, η)| ≤ 1, es ´ b valos ´ szamokkal ´ valamely a 6= 0 es P{η = a · ξ + b} = 1 teljesul; ¨ itt a > 0 illetve a < 0 aszerint, hogy corr(ξ, η) = 1 illetve corr(ξ, η) = −1. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

163 / 180


´ csucsoss ´ / lapultsag ´ Momentumok, ferdeseg, ag ´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ k pozit´ıv egesz. ´ Legyen ξ valosz´ o, Ekkor ˝ egi k –adik momentum: E(ξ k ) ´ k –adik centralis momentum: E (ξ − E ξ)k k –adik abszolut ´ momentum: E |ξ|k ´ k –adik abszolut ´ centralis momentum: E |ξ − E ξ|k E (ξ − E ξ)3 ´ ferdeseg: 3/2 (E [(ξ − E ξ)2 ]) E (ξ − E ξ)4 ´ csucsoss ´ ag: −3 2 (E [(ξ − E ξ)2 ]) ´ E ξ az elso˝ momentum, var ξ pedig a masodik ´ Tehat (abszolut) ´ ´ momentum centralis ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

164 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ ´ ek ´ 14.6 Varhat o´ ert ´ a 6= 0, akkor ξ es ´ a ξ + b ferdesege, ´ ´ Ha a, b ∈ R es illetve ξ es ´ a ξ + b csucsoss aga megegyezik. ´ ´ eloszlas ´ u. ´ Pelda: Legyen η standard normalis ´ Ekkor Eη = 0, var η = 1, Z ∞ 1 2 E(η 3 ) = √ x 3 e−x /2 dx = 0, 2π −∞ Z ∞ 1 2 x 4 e−x /2 dx E(η 4 ) = √ 2π −∞ Z ∞ 3 1 h 3 −x 2 /2 ix=∞ 2 −x e +√ =√ x 2 e−x /2 dx = 3 E(η 2 ) = 3, x=−∞ 2π 2π −∞ ´ η ferdesege ´ ´ csucsoss ´ ezert es aga is 0. ´ ´ eloszlas ´ u´ (m, σ 2 ) parameterekkel, ´ Ha ξ normalis akkor ξ = σ η + m, ´ eloszlas ´ u, ´ ξ ferdesege ´ ´ ahol η standard normalis es ´ ezert ´ csucsoss aga is 0. ´ ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

165 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ Valosz´ o´ kvantilisei, medianja, interkvartilise ˝ egi ´ q-kvantilise a ξ valosz´ ´ ınus ´ Legyen q ∈ (0, 1). A cq ∈ R szam ˝ egi ´ ´ valtoz onak, ha P{ξ < cq } ≤ q, Az

1 2 -kvantilist

´ es

P{ξ > cq } ≤ 1 − q.

´ mediannak nevezzuk. ¨

¨ ´ Az c3/4 − c1/4 kul eget interkvartilisnek nevezzuk. ¨ ¨ onbs Legyen a := inf x ∈ R : P{ξ > x} ≤ 1−q ,

b := sup x ∈ R : P{ξ < x} ≤ q .

´ egy c ∈ R szam ´ akkor es ´ csak akkor q-kvantilise Ekkor a ≤ b, es ξ-nek, ha a ≤ c ≤ b. ´ csak az Szoktak

a+b 2


´ szamot tekinteni a q-kvantilisnek. ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

166 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ Valosz´ o´ kvantilisei ˝ egi ´ de csak egy, akkor Ha az Fξ (x) = q egyenletnek van megoldasa −1 ´ az egyetlen q–kvantilis. ez az Fξ (q) megoldas ´ Ha az Fξ (x) = q egyenletnek nincs megoldasa, akkor egyetlen ´ ´ ´ q–kvantilis van, megpedig az a szam, ahol az Fξ fuggv eny ¨ ´ ´ atugorja a q szamot. ¨ megoldasa ´ van, akkor a Ha az Fξ (x) = q egyenletnek tobb ´ ´ a megoldashalmaz az (a, b] vagy [a, b] intervallum, es ´ q–kvantilisek eppen az [a, b] intervallum pontjai.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

167 / 180


´ ınus ´ valtoz ´ ´ Valosz´ o´ kvantilisei modusza ˝ egi ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ ´ ekekkel, ´ Ha ξ diszkret o´ x1 , x2 , . . . lehetseges ert ˝ egi ´ modusza ´ akkor az xi szam ξ–nek, ha xi –t a legnagyobb ´ ınus ´ valosz´ veszi fel, azaz ˝ eggel P{ξ = xi } = sup P{ξ = xk }. k

´ ınus ´ valtoz ´ Ha ξ abszolut o´ fξ ´ folytonos valosz´ ˝ egi ´ uggv ´ ´ modusza ´ sur ennyel, akkor az x szam ξ–nek, ha x ˝ us ˝ egf ¨ ´ maximumhelye a sur ´ uggv ´ globalis enynek, azaz ˝ us ˝ egf ¨ fξ (x) = sup fξ (y). y∈R



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

168 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ 14.7 Fontos eloszlasok

´ u˝ Bernoulli–eloszlas ´ p parameter ´ A esemeny, p := P(A) ( ¨ 1 ha A bekovetkezik, ξ := k1 (A) = ¨ 0 ha A nem kovetkezik be ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ lehetseges ´ ´ ekei: ´ ´ 1, eloszlasa ´ diszkret o; ert 0 es ˝ egi P{ξ = 1} = p,

P{ξ = 0} = 1 − p.

´ p parameter ´ u˝ Bernoulli–eloszlasnak ´ Ezt az eloszlast nevezzuk. ¨ ´ Nyilvan E ξ = p · 1 + (1 − p) · 0 = p, E(ξ 2 ) = p · 12 + (1 − p) · 02 = p, var ξ = E(ξ 2 ) − (E ξ)2 = p − p2 = p(1 − p). ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

169 / 180


´ u˝ Binomialis ´ eloszlas ´ (n, p) parameter ´ ´ ´ A esemeny, p := P(A); n fuggetlen k´ıserlet; A gyakorisaga: ¨ ´ valosz´ ´ ınus ´ valtoz ´ ´ lehetseges ´ ´ ekeinek ´ ξ := kn (A) diszkret o; ert ˝ egi ´ halmaza: {0, 1, 2, . . . , n}, eloszlasa n k P{ξ = k} = p (1 − p)n−k k ( ¨ az i–edik alkalommal, 1 ha A bekov. Ha ξi := ´ ent, ´ 0 egyebk ´ ξ1 , . . . , ξn fuggetlen, ´ u˝ akkor ξ = ξ1 + · · · + ξn , es p parameter ¨ ´ uak. ´ Bernoulli–eloszlas Ezert ´ E ξ = E ξ1 + · · · + E ξn = np, var ξ = var ξ1 + · · · + var ξn = np(1 − p). ´ ´ meg ´ b(n + 1)pc − 1 is, ha (n + 1)p egesz. ´ Modusza: b(n + 1)pc, es ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

170 / 180


´ u˝ hipergeometrikus eloszlas ´ (n, M, N − M) parameter ´ N − M fekete golyo´ van (M < N). Egy dobozban M piros es ´ nelk ´ ul ´ (n ≤ N), es ´ ξ jeloli ¨ a kihuzott Visszateves ki n golyot ¨ huzunk ´ ´ ´ szam ´ at. ´ Ekkor ξ olyan k ert ´ ekeket ´ piros golyok vehet fel, melyre ´ n − k ≤ N − M, eloszlasa ´ teljesul ¨ 0 ≤ k ≤ n, k ≤ M, es M N−M P{ξ = k } =

k

n−k N n

.

( 1 ha az i–edik golyo´ piros, ´ a Ha ξi := akkor ξ = ξ1 + · · · + ξn , es ´ ent, ´ 0 egyebk ´ ınus ´ valtoz ´ ´ M ´ u˝ Bernoulli-eloszlas ´ uak, ξ1 , . . . , ξn valosz´ ok ˝ egi ´ N parameter ¨ ´ aul ´ i 6= j eseten ´ Peld DE NEM FUGGETLENEK! M M(M − 1) P{ξi = 1, ξj = 1} = , P{ξi = 1} = P{ξj = 1} = . N(N − 1) N ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

171 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ 14.7 Fontos eloszlasok E ξ = E ξ1 + · · · + E ξn = n · var ξ = cov(ξ, ξ) = cov

X n

n X ξi , ξj

i=1

=

n X n X

cov(ξi , ξj ) =

i=1 j=1

ahol ´ıgy

M var ξi = N

j=1

n X

X

var ξi + 2

i=1

M 1− , N

M , N

cov(ξi , ξj ),

1≤i<j≤n

cov(ξi , ξj ) =

M(M − N) , N 2 (N − 1)

M M N −n var ξ = n · · 1− · N N N −1



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

172 / 180


´ u˝ elsorend ˝ ´ eloszlas ´ p parameter u˝ negat´ıv binomialis ´ ¨ A esemeny, p := P(A), melyre 0 < p < 1. Jelolje ξ := az A elso˝ ¨ ´ ehez ´ ´ ´ ´ at; ´ lehetseges ´ bekovetkez es szuks fuggetlen k´ıserletek szam ¨ eges ¨ ´ ekei: ´ ´ ´ ert 1, 2, . . . , ∞, eloszlasa: P{ξ = ∞} = 0, es P{ξ = k} = p · (1 − p)k−1 , Eξ =

∞ X

k = 1, 2, . . . .

k · p(1 − p)k−1 = p

k=1

k=1

∞ X

!0 q

k

=

k=0

´ıgy Eξ = p · ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

kq k−1 ,

k=1

´ ahol q := 1 − p, es ∞ ∞ X X kq k−1 = (q k )0 = k=1

∞ X

1 1−q

0 =

1 , (1 − q)2

1 1 = . 2 p (1 − q)


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

173 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ 14.7 Fontos eloszlasok 2

E(ξ ) =

∞ X

2

k−1

k · p(1 − p)

k=1 ∞ X

=p

k=1

kq k −1 + pq

k=1

ahol ∞ X

k(k − 1)q

∞ X = k + k(k − 1) · p(1 − p)k−1

∞ X

k(k − 1)q k−2 ,

k=1

k−2

=

k=1

∞ X

k 00

(q ) =

k=1

´ıgy E(ξ 2 ) =

!00 q

k

k=0

=

1 1−q

00 =

2 , (1 − q)3

1 2 2−p + pq · = . 3 p (1 − q) p2

´ ul Veg ¨ var ξ = ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

∞ X

1 1−p 2−p − 2 = . p2 p p2 ´ matematika II. Gazdasagi

´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

174 / 180


´ u˝ Poisson-eloszlas ´ λ parameter P{ξ = k} =

Eξ =

∞ X k=0

E(ξ 2 ) =

∞ X

λk −λ e , k!

k = 0, 1, . . . ,

ahol λ > 0.

∞

∞

k=1

`=0

X λk X λ`+1 λk −λ e = e−λ = e−λ = e−λ λeλ = λ, k· k! (k − 1)! `! ∞

k2 ·

k=0

λk −λ λk −λ X e = k + k (k − 1) · e k! k! k=0

−λ

=λ+e

∞ X k=2

λk (k − 2)!

=λ+e

−λ

∞ X λ`+2 `=0

`!

= λ + λ2 ,

var ξ = λ + λ2 − λ2 = λ. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

175 / 180


´ az {1, 2, . . . , N} halmazon Egyenletes eloszlas P{ξ = k} =

Eξ =

N X

k·

k=1

E(ξ 2 ) =

N X

var ξ =

k = 1, 2, . . . , N.

1 N(N + 1) N +1 = = , N 2N 2

k2 ·

k=1

1 , N

1 N(N + 1)(2N + 1) (N + 1)(2N + 1) = = , N 6N 6

(N + 1)(2N + 1) (N + 1)2 N2 − 1 − = . 6 4 12



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

176 / 180


´ az [a, b] intervallumon Egyenletes eloszlas   0  x − a Fξ (x) =  b−a   1

ha x ≤ a, ha a < x ≤ b, ha x > b.

 

1 fξ (x) = b − a 0

ha a ≤ x ≤ b ´ ent ´ egyebk

´ u´ a [0, 1] ξ = a + (b − a) · η ahol η egyenletes eloszlas intervallumon, hiszen   0 ha y ≤ 0, ξ−a P{η < y } = P < y = P{ξ < a+(b−a)y } = y ha 0 ≤ y ≤ 1,  b−a  1 ha y ≥ 1.



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

177 / 180

´ ÍNUS ˝ EGSZ ´ ´ ÍTAS ´ 14. VALOSZ AM ´ 14.7 Fontos eloszlasok 1

Z Eη =

y dy =

0 2

1

Z

E(η ) = 0

var η =

y2 2

y=1

y3 y dy = 3 2

= y=0

1 , 2

y =1 = y =0

1 , 3

1 1 1 − = , 3 4 12

´ ezert E ξ = a + (b − a) E η = a + var ξ = (b − a)2 var η = ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

a+b b−a = , 2 2

(b − a)2 . 12


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

178 / 180


´ u˝ exponencialis ´ eloszlas ´ λ parameter ( 0 fξ (x) = λe−λx Z Eξ =

∞

xλe

−λx

h ix=∞ Z −λx dx = −xe + x=0

0

Z

2

ha x < 0, ha x ≥ 0,

∞

E(ξ ) =

2

−λx

x λe

h

ahol λ > 0.

∞

e

0 2 −λx

dx = −x e

var ξ =

Z

∞

xλe−λx dx =

0

1 −λx x=∞ 1 dx = − e = λ λ x=0

ix=∞

0

2 = λ

−λx

x=0

Z +2

∞

xe−λx dx

0

2 , λ2

2 1 1 − 2 = 2 2 λ λ λ



´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

179 / 180


´ u˝ normalis ´ eloszlas ´ (m, σ 2 ) parameter fξ (x) = √

1 2πσ

−

e

(x−m)2 2σ 2

x ∈ R,

,

ahol m ∈ R, σ > 0.

´ ´ E ξ = m, var ξ = σ 2 , ferdesege 0, csucsoss aga 0. ´ ´ uggv ´ Eloszlasf enye: ¨ Fξ (x) = √

1

Z

x

−

(u−m)2 2σ 2

du, x ∈ R. 2πσ −∞ ´ a´ ξ = σ · η + m, ahol η standard normalis ´ eloszlas ´ u, Tovabb ´ azaz ´ ´ uggv ´ parameterei m = 0, σ = 1 ´ıgy eloszlasf enye ¨ Z x 1 2 Φ(x) := Fη (x) = √ e−u /2 du, x ∈ R, 2π −∞ ´ ekei ´ ´ azatokban ´ ´ ´ melynek ert tabl megtalalhat ok. ´ o, ´ Pap Gyula (DE) Losonczi Laszl

e


´ II. fel ´ ev ´ 2009/2010 tanev,

180 / 180

Gazdasági matematika II

Recommend Documents