Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II Bab 1: Distribusi Sampling
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Pendahuluan
Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) Statistik adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Parameter
Misalkan sebuah kotak terdiri atas n bola yang identik dan diberi nomor berurutan. Percobaan dilakukan untuk memilih bola secara acak dan dicatat nomornya. Misalkan X menyatakan nomor bola yang terpilih, maka P(X = x) =
1 , untuk x = 1, 2, . . . , n n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Pandang masalah di mana banyaknya bola n tidak diketahui. Maka dalam hal ini, parameter θ = n. Untuk mendapatkan informasi tentang θ, kita mengambil sampel m bola yang kita nyatakan ˜ = (X1 , X2 , . . . , Xm ), Xi menyatakan nomor bola ke-i. dengan X Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan 2 cara: 1
Sampling dengan pengembalian
2
Sampling tanpa pengembalian
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Statistik
Definisi Misalkan {X1 , X2 , . . . , Xn } adalah sebuah himpunan peubah acak yang teramati dari suatu populasi tertentu. T = t(X1 , X2 , . . . , Xn ) adalah sebuah fungsi dari peubah acak yang teramati yang tidak bergantung pada sembarang parameter yang tidak diketahui, fungsi tersebut disebut statistik. Distribusi dari suatu statistik disebut distribusi sampling.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean µ dan variansi σ 2 > 0. Mean sampel adalah sebuah n) , contoh statistik dengan fungsi t(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 +x2 +...+x n dinotasikan dengan n X Xi ¯ = X n i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Mean sampel tersebut memiliki karakteristik sebagai berikut ¯) = µ 1 E (X 2
¯) = Var (X
σ2 n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
1
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Ekspektasi dari mean sampel P n Xi ¯ ) = E i=1 = 1 E E (X n n
n X
! Xi
i=1
n 1 1 X E (Xi ) = · n · µ = µ = n n i=1
2
Variansi dari mean sampel P n Xi ¯ ) = Var i=1 = 1 Var Var (X n n2
=
n X
! Xi
i=1
n 1 X 1 σ2 2 Var (X ) = · n · σ = i n2 n2 n i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dari distribusi Bernoulli, Xi ∼ Bin(1, p) dengan mean µ = p dan ¯ = Y , di variansi σ 2 = pq. Mean sampel pada kasus ini adalah X n n P Xi ), mana Y adalah peubah acak berdistribusi Binomial (Y = i=1 Y n
dan biasa disebut proporsi sampel dinotasikan dengan pˆ =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
.
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Karakteristik dari proporsi sampel tersebut adalah 1
E (ˆ p) = p
2
Var (ˆ p) =
pq n
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Bukti:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn adalah sampel acak berukuran n dengan mean E (X ) = µ dan variansi Var (X ) = σ 2 . Fungsi 2 x )2 n −¯ t(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 −¯x ) +...+(x ketika diaplikasikan pada n−1 data berkaitan dengan variansi sampel. Secara spesifik, variansi sampel diberikan n P ¯ )2 (Xi − X S2 =
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
n−1
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Karakteristik dari variansi sampel adalah 1
E (S 2 ) = σ 2
2
Var (S 2 ) =
µ4 − n−3 σ4 n−1 , n
n>1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Bukti: 1. Ekspektasi dari variansi sampel P n ¯ )2 (Xi − X i=1 = 1 E E (S 2 ) = E n−1 n−1 1 = E n−1 1 = n−1
n X
n X ¯ )2 (Xi − X i=1
! ¯2 Xi2 − nX
i=1 n X
!
¯ 2) E (Xi2 ) − nE (X
i=1
1 σ2 2 2 2 = n(µ + σ ) − n µ + n−1 n 1 = [(n − 1)σ 2 ] = σ 2 n−1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
!
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
2. Variansi dari variansi sampel
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Distribusi Sampling
Sebuah statistik juga merupakan peubah acak, sehingga kita bisa menentukan distribusi dari statistik tersebut (disebut sebagai distribusi sampling).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Kombinasi Linier dari Peubah Normal
Jika Xi ∼ N(µi , σi2 ); i = 1, 2, . . . , n merupakan peubah acak Normal yang saling bebas, maka ! n n n X X X Y = αi Xi ∼ N α i µi , αi2 σi2 i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
i=1
i=1
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Bukti: MY (t) = E (e tY ) = E (e t(α1 X1 +α2 X2 +...+αn Xn ) ) = E (e tα1 X1 ) E (e tα2 X2 ) . . . E (e tαn Xn ) = MX1 (α1 t) MX2 (α2 t) . . . MXn (αn t) n Y = MXi (αi t) =
i=1 n Y
2 2 σ 2 /2 i
e αi µi t+αi t
i=1
" = exp t
n X
αi µi + t
i=1
∴Y ∼N
n P
i=1
αi µi ,
n P i=1
αi2 σi2
2
n X
# αi2 σi2 /2
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Jika X1 , X2 , . . . , Xn merupakan peubah acak yang acak-peubah σ2 2 ¯ berdistribusi N(µ, σ ), maka X ∼ N µ, n .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Contoh 1
Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan umur baterai, akan diuji klaim bahwa X ∼ N(60, 36). 25 baterai diuji masa hidupnya dan rata-rata kelangsungan hidupnya (survival times) dihitung. Jika klaim tersebut benar, rata-rata umur 25 baterai harus melebihi nilai berapa agar peluangnya 0.95?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
¯ ) = 60 dan Var (X ¯ ) = 36/25. Diketahui E (X ¯ > c) = 1 − P(X ¯ ≤ c) P(X c − 60 =1−Φ 6/5 = 0.95 Jadi,
c−60 6/5
= z0.05 = −1.645, maka c = 58.026 bulan.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn1 dan Y1 , Y2 , . . . , Yn2 adalah dua sampel acak yang saling bebas masing-masing berukuran n1 dan n2 . Jika Xi ∼ N(µ1 , σ12 ) dan Yj ∼ N(µ2 , σ22 ), i = 1, 2, . 2. . , n22 dan σ σ ¯ ¯ j = 1, 2, . . . , n2 , maka X − Y ∼ N µ1 − µ2 , 1 + 2 . n1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
n2
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Bukti:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Distribusi Chi-Square
Pandang sebuah distribusi Gamma khusus dengan α = n/2 dan β = 2. Peubah acak Y dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas n jika Y ∼ Gamma(n/2, 2). Notasi khususnya adalah Y ∼ χ2 (n)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Jika Y ∼ χ2 (n), maka n
MY (t) = (1 − 2t)− 2
(1)
E (Y ) = n
(2)
Var (Y ) = 2n
(3)
n Γ r + 2 E (Y r ) = 2r Γ n2
(4)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Ingat kembali: Jika X ∼ Gamma(α, β), maka 1 −x x α−1 e β α Γ(α)β E (X ) = αβ
fX (x) =
Var (X ) = αβ 2 MX (t) = (1 − βt)−α , t <
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
1 β
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Bukti: Jika Y ∼ Gamma(n/2, 2), maka n
MY (t) = (1 − 2t)− 2 n E (Y ) = · 2 = n 2 n 2 Var (Y ) = · 2 = 2n 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
E (Y r ) =
Z∞
yr
0
=
Γ
1 n 2
1
n 2
Γ
=
=
Γ
2
2
n 2
Γ
n 2
n
22
y
n
y r + 2 −1 e − 2 dy
y 1 maka du = dy 2 2
Z∞ n (2u)r + 2 −1 e −u 2 du 0
u
y
y 2 −1 e − 2 dy
0
Z∞
2r
2
Z∞
misalkan u = 1 n
n
n 2
r + n2 −1 −u
0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
e
Γ r + n2 du = 2 Γ n2
r
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Jika X ∼ Gamma(α, β), maka Y =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
2X β
∼ χ2 (2α).
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Bukti: 2X t MY (t) = E (e tY ) = E e β 2t = MX β 2t −α = 1−β· β = (1 − 2t)− Jadi, Y =
2X β
2α 2
∼ χ2 (2α)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
CDF dari distribusi Gamma dapat dinyatakan dalam notasi chi-square. Jika X ∼ Gamma(α, β) dan jika H(y ; ν) menyatakan CDF dari distribusi chi-square dengan derajat bebas ν, maka 2x ; 2α FX (x) = H β
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Contoh 2
Waktu sampai rusak (dalam tahun) dari suatu jenis komponen berdistribusi Gamma dengan α = 3 dan β = 2. Akan ditentukan masa garansi di mana 90% komponen akan bertahan, yaitu P(X ≤ x) = 0.10.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
P(X ≤ x) = H
2x ; 2α β
= 0.10
Kemudian diperoleh 2x = χ20.10 (2α) β β χ20.10 (2α) x= 2 Untuk α = 2 dan β = 3, x=
3 χ20.10 (4) (3)(1.06) = = 1.59 tahun 2 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Secara umum, persentil ke-p dari distribusi Gamma dapat dinyatakan dengan βχ2p (2α) xp = 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Jika Yi ∼ χ2 (ni ); i = 1, 2, . . . , m adalah peubah acak-peubah acak chi-square yang saling bebas, maka ! m m X X 2 V = Yi ∼ χ ni i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
i=1
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Bukti: t(
MV (t) = E (e tV ) = E =
m Y
e
m P
Yi )
!
i=1
n1
MYi (t) = (1 − 2t)− 2 . . . (1 − 2t)−
nm 2
i=1 m P
− i=12
ni
= (1 − 2t) Jadi, V ∼
χ2
m P
ni .
i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Jika Z ∼ N(0, 1), maka Z 2 ∼ χ2 (1).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Pendahuluan Statistik Distribusi Sampling
Bukti: 2
MZ 2 (t) = E (e tZ ) Z∞ 1 2 z2 √ e tz − 2 dz = 2π −∞
1 =√ 1 − 2t
Z∞ √ 1 − 2t −z 2 (1−2t) 2 √ e dz 2π
−∞
− 21
= (1 − 2t) Jadi, Z 2 ∼ χ2 (1).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Distribusi t
Kita tahu bahwa S 2 dapat digunakan untuk melakukan inferensi tentang parameter σ 2 dalam suatu distribusi Normal. Demikian ¯ bermanfaat bagi inferensi parameter µ; tetapi distribusi X ¯ juga X 2 juga bergantung pada parameter σ ini menyebabkan tidak ¯ untuk melakukan inferensi dimungkinkannya kita menggunakan X 2 bagi µ, jika σ tidak diketahui.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Oleh karena itu perlu prosedur lain, yaitu dengan mengganti √ ¯ √ ¯ n(X −µ) n(X −µ) menjadi . Kuantitas terakhir ini tidak σ S berdistribusi Normal Standar tetapi tidak lagi bergantung σ.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Teorema Jika Z berdistribusi Normal Standar, Z ∼ N(0, 1), dan W ∼ χ2 (ν), serta Z dan W saling bebas, maka distribusi peubah acak Z T =q
W ν
dikenal dengan distribusi t dengan derajat bebas ν, T ∼ t(ν). Fungsi peluangnya adalah − ν+1 2 Γ ν+1 t2 2 fT (t) = √ 1 + ν πν Γ ν2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Bukti: Oleh karena Z dan W saling bebas, maka fungsi peluang bersama Z dan W adalah f (z, w ) = g (z) · h(w ) ν w z2 1 1 = √ e − 2 · ν ν w 2 −1 e − 2 , 0 < w < ∞; −∞ < z < ∞ 2π 22Γ 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Fungsi distribusi kumulatif dari T adalah Z FT (t) = P(T ≤ t) = P q ≤ t W ν
r
w t ν
=P Z ≤ √w Z∞ Z ν t = f (z, w )dzdw 0 −∞
=√
1 πΓ
Z∞ ν 2
0
√ w Z ν t − z2 e 2 ν2 −1 e − w2 dw ν+1 dz w 2 2 −∞
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Fungsi kepadatan peluang dari T dapat diperoleh dari turunan FT (t) dengan menggunakan teorema fundamental kalkulus pada integral bagian dalam dan diperoleh 1 fT (t) = √ πΓ 1 =√ πν Γ
Z∞ ν 2
e
−( w2 )
2
0
t2 ν
r
ν+1 2
Z∞ ( ν+1 )−1 w 2 ν 2
2
0
ν+1 2
e
w ν −1 − w w 2 e 2 dw ν
2 −( w2 ) 1+ tν
dw
Misalkan y=
t2 1+ ν
1
!
dw = Atina Ahdika, S.Si, M.Si
1+
t2 ν
w dy
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Maka diperoleh 1 fT (t) = √ πν Γ
y 2 1+ tν
( ν+1 )−1 2 − y2
ν
!
1
ν+1 e 1+ Γ ν+1 2 2 2 0 ν+1 Z∞ Γ ν+1 1 y ( 2 )−1 − y2 2 =√ dy ν+1 ν+1 e ν ν+1 πν Γ 2 2 2 Γ 2 t2 2 1+ ν 2
Γ
ν+1 2
Z∞
t2 ν
0
Integral bagian terakhir bernilai satu, sehingga ν+1 2 − 2 Γ ν+1 t 2 1+ fT (t) = √ ν πν Γ ν2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II
dy
Distribusi Sampling Distribusi Sampling Khusus
Distribusi t Distribusi F
Distribusi F Jika W1 ∼ χ2 (ν1 ) saling bebas dengan W2 ∼ χ2 (ν2 ), maka peubah acak W1 /ν1 X = W2 /ν2 berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang ν1 dan derajat penyebut ν2 , ditulis X ∼ F(ν1 ;ν2 ) , dan fungsi kepadatan peluangnya adalah ν1 − ν1 +ν2 2 2 Γ ν1 +ν ν1 2 ( ν1 )−1 ν1 2 g (x) = x 2 x 1+ ν1 ν2 ν2 ν2 Γ 2 Γ 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.01.010 Pengantar Statistika Matematika II