Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích
EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Derivace slo¾ené funkce
Vìta o derivaci slo¾ené funkce. Nech» funkce f má derivaci na otevøeném intervalu I a funkce g má derivaci na otevøeném intervalu J a zároveò platí f (I) ⊂ J . Potom má slo¾ená funkce y = g(f (x)) derivaci na I a platí
[g(f (x))]0 = g 0(f (x)) · f 0(x). Pøi výpoètu derivace slo¾ené funkce lze pou¾ívat symbolický zápis:
d g(f (x)) = g(f (x)) 0 = ||f (x) = z|| = dg(z) · df (x) [ ] dx dz dx
c Klufová 2012
Derivace slo¾ené funkce
Dùsledek. Pøi splnìní podmínek vìty o derivaci slo¾ené funkce platí:
f (x) = z
0 • [h(g(f (x)))] =
g(z) = u
•
dh(u) dg(z) df (x)
= du · dz · dx
ke zderivování funkce ve tvaru
y = p(x)q(x)
pou¾ijeme její
pøepis na elementární funkci:
y = p(x)q(x) = eq(x)·ln(p(x))
c Klufová 2012
Derivace slo¾ené funkce zderivujte funkce
y = ln(cos(5x))
a
y = xx
c Klufová 2012
Derivace slo¾ené funkce zderivujte funkce
y = cos(3x4 − 5), y = ln(ln(ln t)), y =
√
arctg x,
y = (sin x)cos x
c Klufová 2012
Diferenciál
. . . lineární odhad diference
diferenciál
funkce
f
∆y
v bodì
a
odpovídající diferenci
(znaèení
dy
nebo
∆x
df ):
dy = f 0(a) · ∆x
odhad funkèní hodnoty
f (a + ∆x)
pomocí diferenciálu:
. f (a + ∆x) = f (a) + dy = f (a) + f 0(a) · ∆x
c Klufová 2012
Diferenciál a odhadnìte funkèní hodnotu f (b) f (x) = ln x, a = 1, b = 0, 994.
Pomocí diferenciálu v bodì v bodì
b = a + ∆x,
jestli¾e
c Klufová 2012
Teèna a normála grafu
vlastní derivace f 0(a) . . . smìrnice teèny grafu funkce y = f (x) v bodì
[a, f (a)]
teèna:
y = f 0(a) · (x − a) + f (a)
normála:
1 · (x − a) + f (a) y = − f 0(a)
pro
f 0(a) 6= 0
(resp.
x−a = 0 pro f 0(a) = 0)
Teènu lze pou¾ít k odhadu funkèních hodnot v okolí bodu dotyku.
c Klufová 2012
Teèna a normála grafu Sestavte rovnici teèny a normály grafu funkce
a = 2.
Diferenciálem odhadnìte
y = 2x−3 3x−4
v bodì
y(2, 02).
c Klufová 2012
Monotonie funkce v bodì Def.
Je dána funkce
v bodì
a
y = f (x)
a vnitøní bod
a ∈ D(f ).
Pojmy funkce
rostoucí, resp. klesající, znamenají, ¾e existuje okolí
U
bodu
a,
f
je
kde
platí:
rostoucí
[x < a ⇒ f (x) < f (a)] ∧ [x > a ⇒ f (x) > f (a)]
klesající
[x < a ⇒ f (x) > f (a)] ∧ [x > a ⇒ f (x) < f (a)]
Vìta a de nice.
Nech» funkce
f
má v bodì
a
vlastní derivaci
f 0 (a).
Potom
platí
(i) (ii) (iii)
Je-li
f 0 (a) > 0,
Je-li Je-li
je funkce
f 0 (a) < 0,
je funkce
f 0 (a) = 0,
. . . stacionární
f f
v bodì v bodì
a rostoucí. a klesající.
funkce nemusí být v bodì
bod
funkce
a
ani rostoucí, ani klesající
f.
c Klufová 2012
Monotonie funkce Zjistìte, zda je funkce
t·e−t h(t) = cos t
v bodì
a=0
rostoucí.
c Klufová 2012
Monotonie funkce na intervalu
Vìta (o významu 1. derivace pro monotonii na intervalu). Pro ka¾dou funkci
(i)
f
mající vlastní derivaci
(iii) (iv)
v otevøeném intervalu
I
platí:
x ∈ I
je
f 0 (x) > 0,
potom je funkce
f
na intervalu
I
x ∈ I
je
f 0 (x) < 0,
potom je funkce
f
na intervalu
I
jestli¾e pro ka¾dé
x∈I
je
f 0 (x) ≥ 0,
potom je funkce
f
na intervalu
I
jestli¾e pro ka¾dé
x∈I
je
f 0 (x) ≤ 0,
potom je funkce
f
na intervalu
I
jestli¾e pro ka¾dé
(ii)
f0
rostoucí;
jestli¾e pro ka¾dé
klesající;
neklesající;
nerostoucí;
c Klufová 2012
Monotonie funkce na intervalu Najdìte intervaly monotonie a stacionární body funkcí 2 +8x+12 x a y = e .
y = x3 −2x
c Klufová 2012
Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti y = f (t) matematickým modelem popisujícím závislost sledované velièiny y na èase t, mù¾eme na intervalu (t1 , t2 ) ⊂ D(f ) 0 sestavit dal¹í funkci v(t) = f (t). Je-li diferencovatelná funkce
Pro ka¾dou konkrétní hodnotu mìní hodnota Funkce
y
v(t)
y,
kdy¾
a ∈ (t1 , t2 )
je
f 0 (a) okam¾itá rychlost
s ní¾ se
t = a.
je matematický model závislosti okam¾ité rychlosti zmìny velièiny
na èase.
Podobnì:
þcitlivostÿ závislosti
velièiny
vyjádøení této závislosti pomocí funkce
y
na velièinì
y = h(x)
x,
máme-li k dispozici
diferencovatelné na intervalu
I: interpretace
y 0 = h0 (x):
je-li zvoleno
a ∈ I,
pak hodnota
h0 (a)
vyjadøuje èíselnì,
jakou (okam¾itou) zmìnu velièiny y máme oèekávat, jestli¾e se hodnota a zvý¹í o þ jednotkuÿ. c Klufová 2012
Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Pøi experimentu byla pacientu vpravena nitro¾ilnì do pravé pa¾e urèitá dávka antibiotika. Z levé pa¾e je mu v pravidelných intervalech odebírána krev a zji¹»uje se koncentrace antibiotika v krvi pacienta. Matematický model tohoto procesu je
y(t) = kde
t ∈ (0, 24)
0,14·t , 1+t2
je èas v hodinách od zaèátku pokusu,
y
je koncentrace léku ve
vhodných jednotkách.
(a)
Zjistìte hodnotu koncentrace a okam¾itou rychlost nárùstu této koncentrace v èase pùl hodiny a dvì hodiny po zaèátku experimentu.
(b)
Jaký je prùbìh koncentrace léku v krvi bìhem experimentu?
c Klufová 2012
Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Øe¹ení:
c Klufová 2012
Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Výrobce má zji¹tìno, ¾e jeho denní zisk poètu vyrobených kusù
n
z
(v tis. Kè) závisí na
podle vztahu
z(n) = 10n · e−0,005n. Je-li souèasná denní produkce 500 ks, je vhodné ji zvy¹ovat? Proveïte podrobnìj¹í rozbor.
c Klufová 2012
Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Øe¹ení:
c Klufová 2012
L'Hospitalovo pravidlo
Vìta.
Nech» jsou splnìny následující podmínky:
lim f (x) = 0∧ lim g(x) = 0, nebo lim f (x) = ±∞ ∧ lim g(x) = ±∞.
x→a
x→a
x→a
x→a
f (x) f 0 (x) = A , pak nutné také lim = A. Jestli¾e je lim 0 x→a g(x) x→a g (x) . . . návod pro
výpoèet limit neurèitých výrazù
0 nebo ∞ . 0 ∞
L'Hospitalovo pravidlo lze pou¾ít i opakovanì.
c Klufová 2012
L'Hospitalovo pravidlo Aplikujte l'Hospitalovo pravidlo na výpoèet limit ln x et x (a) lim (b) lim (c) lim x 2 x−1 x→1 t→+∞ t −3t+5 x→0+
(d)
2 −13 lim ss+1 s→1
c Klufová 2012
