Determinanty
Determinanty Přednáška MATEMATIKA č. 3
Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:
[email protected]
21. 10. 2010
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Determinanty Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2, . . . , n}. Z kombinatoriky víme, že každá uspořádaná n-tice (k1 , k2 , . . . , kn ) sestávající ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M a že počet všech permutací množiny M je roven číslu n!. V dalším textu budeme libovolnou z n! permutací množiny M značit K = (k1 , k2 , . . . , kn ). Definice Nechť M = {1, 2, . . . , n} je neprázdná množina přirozených čísel, K = (k1 , k2 , . . . , kn ) určitá permutace množiny M. Uspořádaná dvojice (ki , kj ) se nazývá inverze v permutaci K = (k1 , k2 , . . . , kn ), jestliže platí i < j a zároveň ki > kj . Permutace, která má sudý počet inverzí, se nazývá sudá, permutace, která má lichý počet inverzí se nazývá lichá.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Determinanty Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2, . . . , n}. Z kombinatoriky víme, že každá uspořádaná n-tice (k1 , k2 , . . . , kn ) sestávající ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M a že počet všech permutací množiny M je roven číslu n!. V dalším textu budeme libovolnou z n! permutací množiny M značit K = (k1 , k2 , . . . , kn ). Definice Nechť M = {1, 2, . . . , n} je neprázdná množina přirozených čísel, K = (k1 , k2 , . . . , kn ) určitá permutace množiny M. Uspořádaná dvojice (ki , kj ) se nazývá inverze v permutaci K = (k1 , k2 , . . . , kn ), jestliže platí i < j a zároveň ki > kj . Permutace, která má sudý počet inverzí, se nazývá sudá, permutace, která má lichý počet inverzí se nazývá lichá.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Determinanty Věta Jestliže v permutaci K = (k1 , k2 , . . . , kn ) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se lichá permutace na sudou nebo sudá permutace na lichou. Definice Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n. Reálné číslo X det A = (−1)α a1k1 a2k2 · · · ankn , k
P
kde k značí součet pře všechny možné permutace K = (k1 , k2 , . . . , kn ) čísel 1, 2, . . . , n a α je počet inverzí v permutaci K , se nazývá determinant matice A.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Determinanty Věta Jestliže v permutaci K = (k1 , k2 , . . . , kn ) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se lichá permutace na sudou nebo sudá permutace na lichou. Definice Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n. Reálné číslo X det A = (−1)α a1k1 a2k2 · · · ankn , k
P
kde k značí součet pře všechny možné permutace K = (k1 , k2 , . . . , kn ) čísel 1, 2, . . . , n a α je počet inverzí v permutaci K , se nazývá determinant matice A.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Determinanty
Determinant čtvercové matice A řádu n zapisujeme ve tvaru a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det A = . .. .. .. .. . . . am1 am2 · · · amn
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3
a11 = a11
a11 a21 a31
a11 a12 0 1 a21 a22 = (−1) a11 a22 + (−1) a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 a12 a13 a22 a23 = (−1)0 a11 a22 a33 + (−1)1 a11 a23 a32 + (−1)1 a12 a21 a33 + a32 a33 +(−1)2 a12 a23 a31 + (−1)2 a13 a21 a32 + (−1)3 a13 a22 a31 = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −(a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 )
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3
a11 = a11
a11 a21 a31
a11 a12 0 1 a21 a22 = (−1) a11 a22 + (−1) a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 a12 a13 a22 a23 = (−1)0 a11 a22 a33 + (−1)1 a11 a23 a32 + (−1)1 a12 a21 a33 + a32 a33 +(−1)2 a12 a23 a31 + (−1)2 a13 a21 a32 + (−1)3 a13 a22 a31 = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −(a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 )
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3
a11 = a11
a11 a21 a31
a11 a12 0 1 a21 a22 = (−1) a11 a22 + (−1) a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 a12 a13 a22 a23 = (−1)0 a11 a22 a33 + (−1)1 a11 a23 a32 + (−1)1 a12 a21 a33 + a32 a33 +(−1)2 a12 a23 a31 + (−1)2 a13 a21 a32 + (−1)3 a13 a22 a31 = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −(a11 a23 a32 + a12 a21 a33 + a13 a22 a31 )
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak pro i = 1, . . . , n platí det A =
n X
(−1)i+k aik Aik ,
k=1
kde Aik je subdeterminant (doplněk prvku aik ), který vznikne z determinantu matice A vynecháním i-tého a k-tého sloupce Determinant lze také rozvinout podle libovolného sloupce, tedy pro j = 1, . . . , n platí n X det A = (−1)k+j akj Akj , k=1
kde Akj je determinant řádu n − 1, který vzniká z determinantu matice A vynecháním k-tého řádku a j-tého sloupce. Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů Věta Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak pro i = 1, . . . , n platí det A =
n X
(−1)i+k aik Aik ,
k=1
kde Aik je subdeterminant (doplněk prvku aik ), který vznikne z determinantu matice A vynecháním i-tého a k-tého sloupce Determinant lze také rozvinout podle libovolného sloupce, tedy pro j = 1, . . . , n platí n X det A = (−1)k+j akj Akj , k=1
kde Akj je determinant řádu n − 1, který vzniká z determinantu matice A vynecháním k-tého řádku a j-tého sloupce. Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Věta Nechť A a AT jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det AT . Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A0 pro jejíž determinant platí det A0 = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A0 , pro jejíž determinant platí det A0 = − det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Věta Nechť A a AT jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det AT . Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A0 pro jejíž determinant platí det A0 = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A0 , pro jejíž determinant platí det A0 = − det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Věta Nechť A a AT jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det AT . Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A0 pro jejíž determinant platí det A0 = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A0 , pro jejíž determinant platí det A0 = − det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Věta Nechť A a AT jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det AT . Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A0 pro jejíž determinant platí det A0 = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A0 , pro jejíž determinant platí det A0 = − det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Determinant matice A, který má v některém řádku (sloupci) vesměs nuly, je roven nule. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Determinant matice A, jejíž řádky (sloupce) jsou lineárně závislé, je roven nule.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Determinant matice A, který má v některém řádku (sloupci) vesměs nuly, je roven nule. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Determinant matice A, jejíž řádky (sloupce) jsou lineárně závislé, je roven nule.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Determinant matice A, který má v některém řádku (sloupci) vesměs nuly, je roven nule. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Determinant matice A, jejíž řádky (sloupce) jsou lineárně závislé, je roven nule.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Věta Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n v trojúhelníkovém tvaru. Determinant matice A je roven součinu prvků na hlavní diagonále, tj. det A = a11 a22 · · · ann . Věta Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, když její determinant je různý od nuly.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Vlastnosti determinantů
Věta Nechť A = (aij ) je čtvercová matice řádu n v trojúhelníkovém tvaru. Determinant matice A je roven součinu prvků na hlavní diagonále, tj. det A = a11 a22 · · · ann . Věta Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, když její determinant je různý od nuly.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Definice Nechť A je čtvercová matice a B její submatice vzniklá z matice A vynecháním některých jejích řádků a sloupců. Je-li B opět čtvercová matice, nazýváme det B subdeterminantem matice A nebo minorem matice A.
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Věta Nechť v matici A řádu n ≥ 3 je prvek a11 6= 0. Pak pro hodnotu determinantu matice A platí vztah 2−n det A = a11 det A0 ,
kde det A0 je determinant matice A0 řádu n − 1, jejímiž prvky aij0 , i, j = 1, . . . , n − 1 jsou minory druhého řádu matice A tvaru a a1,j+1 aij0 = 11 . ai+1,1 ai+1,j+1
Jiří Neubauer
Determinanty
Determinanty
Definice Výpočet determinantů řádu n = 1, 2, 3 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Kondenzační metoda výpočtu determinantů
a11 a12 a21 a22 .. .. . . am1 am2
··· ··· .. . ···
a11 a1,2 a2,1 a2,2 a1n a a 11 1,2 a2n 2−n a 3,1 a3,2 = a .. 11 . . .. amn a a 11 1,2 a a n,1 n,2
Jiří Neubauer
a11 a2,1 a11 a3,1
a1,3 ··· a2,3 a1,3 ··· a3,3 .. .. . . a11 a1,3 an,1 an,3 · · ·
Determinanty
a11 a 2,1 a11 a3,1
a1,n a2,n a1,n a3,n .. . a11 a1,n an,1 an,n
