8 Matice a determinanty

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II – kap. 8: Matice a determinanty

1

8 Matice a determinanty 8.1 Matice - definice a základní vlastnosti Definice. Reálnou resp. komplexní maticí A typu m × n nazveme obdélníkovou tabulku   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    A= . .. ..  = (aij )i=1,...,m , ..  .. . j=1,...,n . .  am1 am2 . . . amn

kde aij ∈ R, resp. aij ∈ C nazýváme prvky matice A. Poznámky: • rˇ ádky (sloupce) matice A jsou vektory z Rn (Rm ) resp. Cn (Cm ); • m × n . . . matice A má m ˇrádk˚u a n sloupc˚u; • m = n . . . mluvíme o cˇ tvercové matici A stupnˇe n. Oznaˇcení. Množinu všech reálných matic rozmˇeru m × n budeme znaˇcit Mm×n (R), množinu všech komplexních matic rozmˇeru m × n budeme znaˇcit Mm×n (C). Úmluva: Zápisem Mm×n budeme rozumˇet množinu všech reálných nebo komplexních matic rozmˇeru m × n, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozmˇeru m × n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní. Definice. • Rovnost matic: A ∈ Mm×n , B ∈ Mr×s . Potom A = B právˇe tehdy, když m = r, n = s, a bij = aij pro všechna i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. • Sˇcítání (odˇcítání) matic: A, B, C ∈ Mm×n , C = A ± B: cij = aij ± bij pro všechna i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. • Násobení skalárem: A ∈ Mm×n , (αA)ij = αaij pro všechna i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Poznámka.

• Sˇcítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno "po složkách".

• Mm×n je lineární vektorový prostor dimenze mn. Definice (Násobení matic). Bud’ A ∈ Mm×s , B ∈ Ms×n . Matice C = A · B ∈ Mm×n je definována takto: s X aik bkj . C = (cij )i=1,...,m , kde cij := j=1,...,n

k=1

Poznámka (Einsteinova sumaˇcní konvence:) s X

aik bkj ≡ aik bkj

k=1

(sˇcítání pˇres opakující se indexy). Pozor na interpretaci zápis˚u typu "akk " apod.

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


2

Poznámka. Pro A, B ∈ Mn×n je definováno A · B i B · A, obecnˇe je ovšem A · B 6= B · A, tj. násobení matic není komutativní. Uvažte napˇríklad 1 0 0 1 A= , B= , 0 2 0 0 kdy A·B=

0 1 0 0

,

B·A =

0 2 0 0

.

Poznámka. • Násobení matic ovšem je asociativní, tj. A · (B · C) = (A · B) · C, pokud jsou všechna násobení definována (tj. pokud souhlasí rozmˇery matic). • Dále platí (ovˇeˇrte): A · (B + C) = A · B + A · C , (B + C) · A = B · A + C · A , λ (A + B) = λ A + λ B , λ (A · B) = (λ A) · B , pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. souhlasí rozmˇery matic). Definice (Jednotková matice stupnˇe n). Jednotková matice stupnˇe n je matice I ∈ Mn×n tvaru   1 0 ... 0  0 1 ... 0    I= . . . . .  .. .. . . ..  0 0 ... 1

Poznámka: • Jednotková matice je pˇríkladem tzv. diagonální matice (matice, pro kterou aij = 0, pokud i 6= j). • Ovˇeˇrte: je-li I ∈ Mn×n jednotková matice, pak A · I = I · A = A, pro všechny matice A ∈ Mn×n . ˇ Definice. • Bud’ A ∈ Mn×n . Rekneme, že A má inverzní matici (znaˇcíme ji A−1 ), pokud existuje A−1 ∈ Mn×n , taková, že A · A−1 = A−1 · A = I . • Pokud A ∈ Mn×n má inverzní matici, ˇríkáme, že A je regulární matice, v opaˇcném pˇrípadˇe ˇríkáme, že A je singulární matice. Tvrzení 8.1.

• Je-li A ∈ Mn×n regulární, pak je A−1 urˇcena jednoznaˇcnˇe a platí (A−1 )−1 = A.

• Jsou-li A, B ∈ Mn×n regulární, pak i matice A · B a B · A jsou regulární, a platí (A · B)−1 = B−1 · A−1 ,

(B · A)−1 = A−1 · B−1 .

• Množina všech regulárních matic stupnˇe n tvoˇrí grupu v˚ucˇ i operaci násobení matic, pˇriˇcemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice. Tvrzení 8.2. Bud’ A ∈ Mn×n . Potom A je regulární ⇐⇒ sloupce A jsou LN ⇐⇒ rˇádky A jsou LN.


⇐⇒


3

Poznámka: Toto tvrzení ještˇe pozdˇeji rozšíˇríme o další ekvivalentní podmínky. Definice. • Transponovanou maticí k matici A ∈ Mm×n nazvu matici AT ∈ Mn×m takovou, že pro její prvky aTij platí: aTij = aji pro všechna i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. ˇ • Reknu, že matice A ∈ Mn×n je symetrická, pokud A = AT . (Uvˇedomte si na základˇe definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z Mn×n ). ˇ • Reknu, že matice A ∈ Mn×n je ortogonální, pokud A · AT = I. Tvrzení 8.3.

• Bud’ A ∈ Mn×n ; potom A · AT = I ⇐⇒ AT · A = I.

• Bud’ A ∈ Mn×n ; potom A je ortogonální ⇐⇒ (A je regulární a A−1 = AT ). Definice. • Hermitovsky sdruženou (nˇekdo rˇíká též "adjungovanou") maticí k matici A∈ Mm×n (C) T nazvu matici AH ∈ Mn×m (C) definovanou pˇredpisem AH := A , kde A je matice, sestávající z prvk˚u komplexnˇe sdružených k prvk˚um matice A. ˇ • Reknu, že matice A ∈ Mn×n (C) je hermitovská (pˇrípadnˇe "samoadjungovaná"), pokud A = AH . ˇ • Reknu, že matice A ∈ Mn×n (C) je unitární, pokud A · AH = I. Tvrzení 8.4.

• Bud’ A ∈ Mn×n (C); potom A · AH = I ⇐⇒ AH · A = I.

• Bud’ A ∈ Mn×n (C); potom A je unitární ⇐⇒ (A je regulární a A−1 = AH ). Poznámka: • Pro A ∈ Mn×n (R) splývají pojmy "hermitovská" a "symetrická"; a "unitární" a "ortogonální". • Nˇekdy se používá pro AH též oznaˇcení A∗ . Pˇresnˇeji, A∗ se užívá pro adjungovanou matici, AH pro matici Hermitovsky sdruženou. Názvosloví pochází z teorie operátor˚u, kde tyto pojmy oznaˇcují dvˇe r˚uzné vlastnosti. Pro zobrazení, která jsou reprezentována koneˇcnými maticemi, oba pojmy splynou. Cviˇcení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoˇn na jedné stranˇe uvažovaných rovností): (A · B)T = BT · AT , (A · B)H = BH · AH . (Porovnejte tyto identity se vztahem (A · B)−1 = B−1 · A−1 , který platí pro regulární matice A, B.)



4

8.2 Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustava m lineárních algebraických rovnic (LAR) pro n neznámých x1 , . . . , xn (pˇriˇcemž "pravá strana" y1 , . . . ym a "koeficienty" aij jsou dány): a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2 ........................ ... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = ym m Ax = y

≡

A~x = ~y

kde A ∈ Mm×n (R) (resp. Mm×n (C)), ~x ≡ x ∈ Rn (resp. Cn ), ~y ≡ y ∈ Rm (resp. Cm ). Diskuse: 1. Pokud ~y = 0, ˇríkáme dané soustavˇe (A~x = 0) homogenní soustava LAR. Oznaˇcme NA := {~x ∈ Rn (resp. Cn ); A~x = 0} množinu ˇrešení homogenní soustavy A~x = 0. Potom platí: • vždy je 0 ∈ NA , tedy NA 6= ∅; pokud NA = {0}, ˇríkáme, že homogenní soustava A~x = 0 má pouze triviální rˇ ešení; • NA je vektorový podprostor prostoru Rn (resp. Cn ), tedy ~x ∈ NA , ~z ∈ NA , α, β ∈ R =⇒ α~x + β~z ∈ NA . 2. Pokud ~y 6= 0, ˇríkáme dané soustavˇe (A~x = ~y) nehomogenní soustava LAR. Platí: • pokud je ~xP jedno (partikulární) ˇrešení soustavy A~x = ~y , pak všechna ˇrešení soustavy A~x = ~y mají tvar N X cJ ~xJ , (1) ~xP + J=1

kde cJ jsou konstanty (skaláry), N je dimenze vektorového prostoru NA a ~xJ jsou (lineárnˇe nezávislé) prvky báze prostoru NA . • Situaci z (1) nˇekdy též formálnˇe zachycujeme zápisem ~xP + NA . Vˇeta 8.5. Bud’ A ∈ Mm×n . Potom ∀~y ∈ Mm×1 ∃! ~x ∈ Mn×1 , A~x = ~y

⇐⇒

NA = {0} .

Navíc platí: pokud NA je netriviální (NA ) {0}), tak pro pevnˇe zvolené ~y ∈ Mm×1 nastane právˇe jedna z tˇechto možností: • neexistuje ~x ∈ Mn×1 takové, že A~x = ~y (soustava nemá rˇešení); • existuje nekoneˇcnˇe mnoho ~x ∈ Mn×1 takových, že A~x = ~y (soustava má nekoneˇcnˇe mnoho rˇešení); tato rˇešení jsou pak tvaru ~xP + NA , kde ~xP je nˇejaké (jedno) rˇešení soustavy rovnic A~x = ~y . Definice. Bud’ A ∈ Mm×n . Hodností matice A (píšeme h(A)) nazveme maximální poˇcet lineárnˇe nezávislých sloupc˚u matice A. Tvrzení 8.6. Bud’ A ∈ Mm×n . Potom h(A) = h(AT ).



5

Dusledky: ˚ • Definice hodnosti matice se nezmˇení, pokud v ní zamˇeníme slovo "sloupc˚u" slovem "ˇrádk˚u". • Pro A ∈ Mm×n je h(A) ≤ min(m, n). Definice. Bud’ A ∈ Mm×n , ~y ∈ Mm×1 , ~x ∈ Mn×1 . Rozšíˇrenou maticí soustavy A~x = ~y nazvu matici (A; ~y ) ∈ Mm×(n+1) , která vznikne rozšíˇrením matice A o jeden sloupec pˇridáním (sloupcového) vektoru ~y . Vˇeta 8.7 (Frobenius). Bud’ A ∈ Mm×n , y~ ∈ Mm×1 . Potom soustava A~x = ~y je rˇešitelná (tj. existuje alespoˇn jedno ~x ∈ Mn×1 takové, že A~x = ~y ) ⇐⇒ h(A) = h(A; ~y ). Poznámka: Vždy je h(A) ≤ h(A; ~y ) (rozmyslete si), tedy platí: soustava A~x = ~y nemá ˇrešení ⇐⇒ h(A) < h(A; ~y ). Vˇeta 8.8. Bud’ A ∈ Mm×n (tedy n je poˇcet sloupc˚u matice A). Potom dim NA + h(A) = n . Vˇeta 8.9 (aneb 1. rozšíˇrení Tvrzení 8.2). Bud’ A ∈ Mn×n cˇ tvercová matice. Potom A je regulární ⇐⇒ sloupce A jsou LN ⇐⇒ ⇐⇒ rˇádky A jsou LN ⇐⇒ ⇐⇒ h(A) = n ⇐⇒ dim NA = 0. Rekapitulace: Mˇejme soustavu rovnic A~x = ~y , A ∈ Mm×n , ~y ∈ Mm×1 , tedy matice A má n sloupc˚u. Potom nastane právˇe jedna z tˇechto tˇrí situací: 1. dim NA = 0: ∃! ~x ∈ Mn×1 , A~x = ~y . 2. dim NA = n − h(A) ≥ 1 & h(A) = h((A; ~y )): homogenní soustava A~x = 0 má právˇe n − h(A) lineárnˇe nezávislých ˇrešení a soustava A~x = ~y má nekoneˇcnˇe mnoho ˇrešení tvaru ~xP + NA , kde ~xP je jedno (partikulární) ˇrešení soustavy A~x = ~y . 3. dim NA = n − h(A) ≥ 1 & h(A) < h((A; ~y )): homogenní soustava A~x = 0 má právˇe n − h(A) lineárnˇe nezávislých ˇrešení a soustava A~x = ~y nemá žádné ˇrešení (není ˇrešitelná). Definice. Matici A = (aij ) nazvu horní trojúhelníkovou maticí, pokud platí aij = 0 pro všechna i > j. Matici A = (aij ) nazvu dolní trojúhelníkovou maticí, pokud platí aij = 0 pro všechna i < j.

Poznámky: • Matice je horní trojúhelníková a souˇcasnˇe dolní trojúhelníková právˇe tehdy, když je diagonální. • Je-li A horní (nebo dolní) trojúhelníková matice, je nalezení ˇrešení soustavy A~x = ~y jednoduché. Gaussova eliminaˇcní metoda rˇ ešení soustavy rovnic A~x = ~y : Upravujeme rozšíˇrenou matici soustavy (A; ~y ) s cílem obdržet na místˇe A horní trojúhelníkovou matici; používáme tyto úpravy: • prohození dvou ˇrádk˚u v matici (A; ~y ) (odpovídá prohození poˇradí rovnic v systému); • vynechání ˇrádku v matici (A; ~y ), pokud tento rˇádek tvoˇrí s nˇekterými dalšími ˇrádky LZ množinu vektor˚u (odpovídá vynechání pˇríslušných rovnic v systému);



6

• vyškrtnutí nulových sloupc˚u (odpovídá vynechání promˇenné xj , která se nevyskytuje v soustavˇe rovnic, z vektoru ˇrešení ~x); • prohození dvou sloupc˚u (odpovídá pˇreˇcíslování promˇenných xj ve vektoru ˇrešení ~x); • pˇriˇctení násobku jednoho ˇrádku k jinému ˇrádku matice (A; ~y ). ˇ Pˇríklad 1. Rešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x + 3y+z= 5

(c)

(b)

2x + 3y+z= 5

x + 4y+z= 3

x + 4y+z= 3

x− y

x− y

=1

=2

2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x − y+z= 1

ˇ Rešení: (a) Nemá ˇrešení. (b) Nekoneˇcnˇe mnoho ˇrešení tvaru [x, y, z] = [2, 0, 1] + c[1, 1, −5], c ∈ R, (dim NA = 2 1). (c) Právˇe jedno ˇrešení: [x, y, z] = [ 12 5 , 5 , −1].

8.3 Determinanty a jejich výpoˇcet Definice. Determinant cˇ tvercové matice A ∈ Mn×n , det A, definujeme induktivnˇe takto: • Pro A ∈ M1×1 , A = (a11 ), definujeme det A := a11 . • Pro A ∈ Mn×n , definujeme det A :=

n X (−1)j+1 a1j det M1j , j=1

kde M1j je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 1. ˇrádku a j-tého sloupce. Pˇríklad: vzorec pro výpoˇcet determinantu A ∈ M2×2 , Sarusovo pravidlo pro A ∈ M3×3 . Poznámka. Místo oznaˇcení "det A" používáme nˇekdy zkrácené znaˇcení: svislé cˇ áry kolem prvk˚u matice A.  Tedy  a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  a21 a22 . . . a2n   det  . .. . .. ..  ≡ .. .. . . . . .  . . . . . .  . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Pravidla pro výpoˇcet determinantu: ˚

• Je: det AT = det A, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova "ˇrádek, ˇrádky". . . slovy "sloupec, sloupce". . . e = − det A. e matice, kterou dostaneme z A prohozením (zámˇenou) dvou ˇrádk˚u, pak det A • Je-li A

• Obsahuje-li matice A nulový ˇrádek, nebo jsou-li ˇrádky matice A lineárnˇe závislé, je det A = 0.

• Pˇriˇcteme-li k nˇejakému ˇrádku matice A lineární kombinaci jiných ˇrádk˚u, nezmˇení se její determinant. • Vynásobíme-li nˇejaký ˇrádek matice A cˇ íslem α, je determinant výsledné matice roven α det A.



7

Tvrzení 8.10 (Rozvoj determinantu podle rˇádku (sloupce)). Oznaˇcme Mij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutím i-tého rˇádku a j-tého sloupce. Oznaˇcme dále Aij := (−1)i+j det Mij tzv. algebraický doplnˇek prvku aij vzhledem k matici A. Potom platí: det A =

n X

aij Aij =

det A =

n X

aij Aij =

(−1)i+j aij det Mij ,

∀i = 1, . . . , n ,

j=1

j=1

resp.

n X

i=1

n X (−1)i+j aij det Mij

∀j = 1, . . . , n .

i=1

Poznámka. ˇ • Císlo det Mij nazýváme (i, j)-tým minorem matice A. • Pro všechna i = 1, . . . , n resp. j = 1, . . . , n obecnˇeji platí: n X

aij Akj = δik det A ,

n X

aij Aik = δjk det A ,

j=1

resp.

i=1

kde δij je tzv. Kroneckerovo delta, mající vlastnost δii = 1, δij = 0 pro všechna i 6= j. Tvrzení 8.11.

• Je-li A ∈ Mn×n (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, pak det A =

n Y

ajj .

j=1

• Bud’te A, B ∈ Mn×n . Potom det(A · B) = det A · det B . Tvrzení 8.12. a11 a12 .. .. . . bk1 + ck1 bk2 + ck2 .. .. . . an1 an2 a11 a12 . . . .. .. .. . . . = bk1 bk2 . . . .. .. .. . . . an1 an2 . . .


... .. .

a1n .. .

=

. . . bkn + ckn .. .. . . ... ann a1n a11 a12 . . . a1n .. .. .. .. .. . . . . . bkn + ck1 ck2 . . . ckn .. .. .. .. .. . . . . . ann an1 an2 . . . ann

.


8

8.4 Použití determinantu˚ k výpoˇctum ˚ 1. Regularita a hodnost matice Vˇeta 8.13 (aneb 2. rozšíˇrení Tvrzení 8.2). Bud’ A ∈ Mn×n cˇ tvercová matice. Potom A je regulární ⇐⇒ sloupce A jsou LN ⇐⇒ ⇐⇒ rˇádky A jsou LN ⇐⇒ ⇐⇒ h(A) = n ⇐⇒ dim NA = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ det A 6= 0. e která Definice. Subdeterminantem dané matice A ∈ Mn×n nazveme determinant jakékoli matice A, e vznikne z matice A vyškrtnutím stejného poˇctu ˇrádk˚u a sloupc˚u. Stupnˇem subdeterminantu det A nazveme e stupeˇn (tj. rozmˇer) pˇríslušné (ˇctvercové) matice A.

Vˇeta 8.14. Hodnost matice A ∈ Mn×n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminant˚u matice A. 2. Výpoˇcet inverzní matice Vˇeta 8.15. Je-li A ∈ Mn×n regulární matice, pak prvky αij její inverzní matice A−1 jsou dány vzorci: αij =

Aji , det A

i, j = 1, . . . , n ,

kde Aji je algebraický doplnˇek k prvku aji matice A. 3. Cramerovo pravidlo pro rˇ ešení soustavy A~x = ~y Vˇeta 8.16. Bud’ A ∈ Mn×n regulární matice, ~y ∈ Mn×1 . Potom složky x1 , . . . , xn rˇešení rovnice A~x = ~y jsou dány vzorci: (i) det Ay~ xi = , i = 1, . . . , n , det A (i)

kde matice Ay~ vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec vektorem ~y. Pˇríklad 2 ˇ Rešte pomocí Cramerova pravidla: 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x − y+z= 1 ˇ Rešení: Je

Proto x =

12 5 ,

y = 25 , z =

−5 5

2 1 1 2 1 1

3 1 4 1 = 5 6= 0 , −1 1 2 5 1 1 3 1 = 2, 1 1 1

3 1 4 1 = 12 , −1 1 3 5 4 3 = −5 , −1 1 5 3 1

= −1. Porovnejte výsledek s výsledkem Pˇríkladu 1 c).



9

4. Nalezení kolmého vektoru ke dvˇema vektorum ˚ v R3 , jejich vektorový souˇcin ˇ Definice (Kolmé vektory). Bud’te ~x = (x1 , . . . , xn ), ~y = (y1 , . . . , yn ) dva vektory z Rn . Rekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud n X xj y j = 0 . ~x · ~y := j=1

Výraz ~x · ~y nazýváme skalárním souˇcinem vektor˚u ~x · ~y . Poznámka. Platí ~x · ~y = ~y · ~x. Definice (Vektorový souˇcin dvou vektor˚u z R3 ). Bud’te ~x = (x1 , x2 , x3 ), ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Definujme vektorový souˇcin tˇechto dvou vektor˚u pˇredpisem x2 x3 x1 x3 x1 x2 ∈ R3 . ~x × ~ y := ,− , (2) y2 y3 y1 y3 y1 y2

Vˇeta 8.17. Pro ~x, ~ y ∈ R3 platí: • ~y × ~x = −(~x × ~y).

• ~x a ~y jsou lineárnˇe nezávislé ⇐⇒ ~x × ~y 6= 0 . • Jsou-li ~x a ~ y jsou lineárnˇe nezávislé, pak je vektor ~x × ~y kolmý jak k vektoru ~x, tak k vektoru ~y. Poznámka.

• Bud’te ~x, ~y , ~z ∈ R3 . Potom

z1 z2 z3 ~z · (~x × ~y ) = x1 x2 x3 . y1 y2 y3

Odtud ihned plyne pˇredchozí vˇeta (rozmyslete si).

• Oznaˇcme ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). Definici vektorového souˇcinu pak lze formálnˇe zachytit i takto: ~i ~j ~k ~x × ~y = x1 x2 x3 . y1 y2 y3

Poznámka. Oznaˇcme ~e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , ~en = (0, 0, . . . , 1) ∈ Rn . Vektorový souˇcin v Rn lze definovat pro (n−1) vektor˚u ~x1 , . . . , ~xn−1 ∈ Rn pomocí následujícího determinantu: ~e1 ~e2 . . . ~en x1 x12 . . . x1n 1 1 2 n−1 ~x × ~x × · · · × ~x := . .. .. . .. .. . . . n−1 n−1 x x2 . . . xnn−1 1

Jsou-li vektory ~x1 , . . . , ~xn−1 lineárnˇe nezávislé v Rn , je (nenulový) vektor ~x1 × ~x2 × · · · × ~xn−1 kolmý ke všem tˇemto vektor˚um. 5. Objem rovnobˇežnostˇenu v Rn Tvrzení 8.18. Necht’ ~a1 = (a11 , . . . , a1n ), . . . , ~an = Potom absolutní hodnota determinantu 1 a a1 2 1 a2 a2 2 1 .. .. . . an an 1

2

(an1 , . . . , ann ) je n lineárnˇe nezávislých vektor˚u v Rn . . . . a1n . . . a2n . .. . .. . . . an n

je cˇ íselnˇe rovna objemu rovnobˇežnostˇenu, jehož hrany tvoˇrí tyto vektory.



10

8.5 Závˇereˇcné poznámky Vˇeta 8.19.

• Bud’ A ∈ Mm×n (R). Potom zobrazení ϕ : Rn → Rm definované pˇredpisem ϕ(~x) := A~x

pro všechna ~x ∈ Rn

je lineární. • Bud’ ϕ : Rn → Rm lineární zobrazení. Potom existuje právˇe jedna matice Aϕ ∈ Mm×n (R) taková, že ϕ(~x) = Aϕ ~x pro všechna ~x ∈ Rn . V tomto pˇrípadˇe rˇíkáme, že Aϕ reprezentuje zobrazení ϕ. Vˇeta 8.20. Pokud n = m a Aϕ ∈ Mn×n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : Rn → Rn , platí ϕ je prosté ⇐⇒ ϕ je "na" ⇐⇒ Aϕ je regulární.

Pˇredchozí dvˇe vˇety z˚ustanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C.


8 Matice a determinanty

Recommend Documents