HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění ﬁnančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.

Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.

[email protected]

MT – MATEMATIKA

Hodnost a determinant matice, inverzní matice

2

Hodnost matice DEFINICE (Hodnost matice). Hodnost nenulové matice je přirozené číslo, které udává počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A značíme h(A). Hodnost nulové matice je rovna nule. DEFINICE (Ekvivalentní řádkové úpravy matice). Ekvivalentní řádkové úpravy matice, které nemění hodnost matice, jsou • libovolná záměna pořadí řádků • vynásobení nebo vydělení všech prvků řádku nenulovým číslem • přičtení k libovolnému řádku nenulový násobek jiného řádku • vynechání nulového řádku • vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku

MT – MATEMATIKA


3

Ekvivalentními řádkovými úpravami převedeme matici A na matici B. Tyto matice jsou navzájem ekvivalentní, píšeme A ∼ B. Postup při zjišťování hodnosti matice: 1. matici převedeme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na matici schodovitou 2. lineárně závislé řádky se vynulují !!! 3. hodnost matice se pak rovná počtu nenulových řádků ve schodovité matici (tyto nenulové řádky jsou lineárně nezávislé!!!) Věta (Vztah mezi hodností matice a hodností matice transponované). Hodnost matice A se transponováním matice nezmění. Pro A tedy platí h(A) = h(AT ).

MT – MATEMATIKA


Cvičení 1 . Vypočítejte hodnost matice.    1 2 1 −2 3 0 2 1 4 1 −2 4  2. B =  1. A =  1 1 2 1 3  10 32 6 2 1 1

4 8 18 7

10 18 40 17

4



1 7  17 3

Poznámka (Lineární závislost a nezávislost vektorů). Mějme m vektorů stejného rozměru, které zapíšeme do řádků matice A. Vektory jsou ∗ lineárně závislé, jestliže h(A) < m ∗ lineárně nezávislé, jestliže h(A) = m Cvičení 2 . Určete lineární závislost či nezávislost vektorů: 1. u1 = (6, 3, 2, 3), u2 = (4, 2, 1, 2), u3 = (4, 2, 3, 2), u4 = (2, 1, 7, 3) 2. u1 = (3, 4, −1, 2, −9), u2 = (1, −2, 3, −4, 19), u3 = (1, −1, 1, −3, 7), u4 = (−2, 3, 2, 1, −2)

MT – MATEMATIKA


5

Determinant matice Čtvercová matice (počet řádků m = počet sloupců n) se nazývá čtvercová matice řádu n. DEFINICE (Determinant matice). Determinant čtvercové matice A řádu n je reálné číslo, které je „určitým způsobem“ přiřazeno matici A. Píšeme a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . detA = |A| = . . . . .. . . . an1 an2 . . . ann

MT – MATEMATIKA


Výpočet determinantů matic • Determinant 1. řádu |A| = |a11| = a11 • Determinant 2. řádu (křížové pravidlo) a11 a12 = (a11a22) − (a12a21) |A| = a21 a22

• Determinant 3. řádu (Sarrusovo pravidlo) a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a31 a32 a33

= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) − (a11a23a32) − (a12a21a33) − (a13a22a31)

6

MT – MATEMATIKA


7

Cvičení 3 . Vypočítejte determinanty: −1 0 3 −3 2 4 2 −3 3. |C| = 2 −3 0 4. |D| = 2 0 −1 1. |A| = |−2| 2. |B| = 4 −1 0 2 1 1 2 2

• Determinant 4. a vyšších řádů (Laplaceův rozvoj - rozvoj podle libovolného řádku nebo libovolného sloupce) Rozvoj podle i-tého řádku: |A| = (−1)i+1ai1Mi1 + (−1)i+2ai2Mi2 + · · · + (−1)i+nainMin Rozvoj podle j-tého sloupce: |A| = (−1)1+j a1j M1j + (−1)2+j a2j M2j + · · · + (−1)n+j anj Mnj

Nejvýhodnější výpočet je rozvoj podle řádku nebo sloupce s největším počtem nul!!!

MT – MATEMATIKA


Cvičení 4 . Vypočítejte determinanty: 1 2 3 4 −1 −1 0 3 4 −1 2. |B| = 1. |A| = 2 −1 −2 0 4 −1 −2 −3 4 −3

2 −2 0 3

5 −4 1 −7

8

−1 2 0 −1

Věta (Úprava, která nezmění hodnotu determinantu). Jestliže k libovolnému řádku matice přičteme libovolný násobek jiného řádku matice, hodnota determinantu se nezmění. Cvičení 5 . Vypočítejte determinanty z předchozího cvičení pomocí úpravy, která nezmění hodnotu determinantu. (Upravte si matici do tvaru s více nulami, pak bude výpočet jednodušší.)

MT – MATEMATIKA


9

Inverzní matice DEFINICE (Regulární matice, singulární matice). • čtvercová matice A se nazývá regulární, když je její determinant různý od nuly. Tedy |A| = 6 0. • čtvercová matice A se nazývá singulární, když je její determinant roven nule. Tedy |A| = 0. DEFINICE (Inverzní matice). Matice A je regulární čtvercová matice. Matice A−1 se nazývá inverzní matice k matici A, jestliže platí A · A−1 = A−1 · A = I, kde I je jednotková matice.

MT – MATEMATIKA


10

Postup při výpočtu inverzní matice A−1 k matici A: 1. vytvoříme matici (A|I). Je to matice, která je složená z matice A a jednotkové matice. Mezi nimi vyznačíme svislou čáru. 2. matici (A|I) upravíme pomocí ekvivalentních řádkových úprav na tvar (I|A−1). Cvičení 6 . Vypočítejte inverzní matici k maticím:     1 −1 1 1 1 0 1. A =  2 0 −1 2. B = 2 0 −1 0 2 −2 −1 3 1

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

Recommend Documents