2. Matice a determinanty Definice 2.1.: Obdélníkové schema m (řádků) matice typu m × n : a11 , a12 , L , a1 n a , a ,L, a 2n . A = a i j m×n = 21 22 M LL a m1 , a m 2 , L , a mn
×
n (sloupců) čísel nazveme
[ ]
Je-li m = n , mluvíme o čtvercové matici. Prvky
ai i ,
i = 1, L , min(m, n) tvoří hlavní diagonálu.
Značíme obvykle : O = [0] m × n - všechny prvky nulové - nulová matice
I n ×n
1, 0, 0, L , 0, 0 0, 1, 0, L , 0, 0 = LLLL 0, 0, 0, L , 0, 1
a i i = 1,
i = 1, L , n
ai j = 0
∀i≠ j
- jednotková matice
∀ i = 1, L , min ( m, n )
bi i = ai i
- transponovaná matice Je-li pro čtvercovou matici A = A , říkáme, že je to symetrická matice T
Příklad 2.1.: A = a1 1 , a1 2 , a1 3 ,
a11 transponovaná : A = a12 . a13
1 2 3 A = 2 2 4 = AT 3 4 3
, je symetrická.
[
]
T
1
Definice 2.2.: Pro matice definujeme operace : Definováno: 1.
násobení číslem:
pro všechny matice
[
α ⋅ A = α ⋅ ai
2.
j
]
m×n
součet matic:
-všechny prvky násobíme číslem α .
pro všechny matice téhož typu
[ ]
A + B = ai j
m×n
[ ]
+ bi
j
m×n
=
a11 + b11 , a12 + b12 , L , a1n + b1n = M . a m 1 + bm1 , a m 2 + bm 2 , L , a m n + bm n
3.
součin matic:
pro dvojice matic takových, že počet sloupců matice vlevo je roven po čtu řádků matice vpravo.
Zřejmě není obecně komutativní ...
[ ]
C m × n = A m × p ⋅ B p × n = ci j
m×n
,
p
c i j = ∑ a i k ⋅ bk j = a i 1 . b1 j + a i 2 . b2 j + L + a i n . bn k =1
Každý prvek c i j - je vlastně skalární součin a
i - tého řádku matice A j - tého sloupce matice B .
Příklad 2.2.: Sečteme matice 2 3 A= , 4 − 1
0 2 B= : 1 3
2 + 0 3 + 2 2 5 A+ B = = . 4 + 1 − 1 + 3 5 2
2
j
Příklad 2.3.: Součin matic z příkladu 2.2. je poněkud komplikovanější : A⋅ B = a ⋅ b + a12 ⋅ b21 , a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 , 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 3 , 13 = 11 11 = = . a 21 ⋅ b11 + a 22 ⋅ b21 , a 21 ⋅ b12 + a 22 ⋅ b22 4 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 , 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 − 1 , 5
Poznámka 2.1.: Součiny A ⋅ B, B ⋅ A jsou definovány současně pouze pro čtvercové matice, obecně však je A ⋅ B ≠ B ⋅ A .
Definice 2.3.: Hodnost matice h ( A) je maximální počet lineárně nezávislých řádků, resp. sloupců matice A (ve smyslu lineární nezávislosti vektorů).
Poznámka 2.2.: Hodnost h ( A) je rovna dimenzi vektorového prostoru, jehož bází je maximální počet lineárně nezávislých řádků, resp. sloupců.
Věta 2.1.: Hodnost matice se nezmění, když 1.
libovolný řádek (sloupec) vynásobíme nenulovým číslem.
2.
k libovolnému řádku (sloupci) přičteme lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců).
Důkaz: Srovnej s Větou 1.2.
Definice 2.4.: Úpravy matice uvedené ve Větě 2.1. nazýváme ekvivalentní (elementární) úpravy matice.
3
Poznámka 2.2.: Při zjišťování hodnosti matice pomocí ekvivalentních úprav využíváme zřejmé vlastnosti vektorů : Vektory r u ( u1 , u2 , L , un ) , kde u1 ≠ 0 a
r v ( 0, v2 , L , vn ) ,kde alespoň pro jeden index k , 1 〈 k ≤ n je v k ≠ 0 ,
jsou nutn ě lineárně nezávislé, neboť pro nulovou lineární kombinaci r r r λ u + µ v = (λ u1 , λ u 2 + µ v 2 , L , λ u k + µ v k , L , λ u n + µ v n ) = o musí být λ= 0 µ =0
(pro prvou složku je totiž λ u1 = 0, u1 ≠ 0 ), (pro k -tou složku je 0 ⋅ u k + µ v k = 0, v k ≠ 0 ).
Postupujeme tedy tak, že pomocí vhodných ekvivalentních úprav postupně sestavíme matici ekvivalentní (s původní maticí), která má pod hlavní diagonálou nulové prvky.
Příklad 2.4.: 0 1 −1 2 1 −1 2 0 1 −1 2 0 A = 3 0 1 4 ≈ 0 3 −5 4 ≈ 0 3 −5 4 −1 −2 3 −4 0 −3 5 −4 0 0 0 0
Přičteme postupně : Ke 2.řádku: - 3*1.řádek Ke 3.řádku: + 1.řádek
Ke 3.řádku +2.řádek
Tedy h ( A) = 2 .
Definice 2.5.: Nechť Je-li Je-li
A
je čtvercová matice typu n × n .
h(A) = n , říkáme, že matice A h( A) 〈 n , říkáme, že matice A
4
je regulární. je singulární.
Věta 2.2.: Hodnost matice se nezmění, vynásobíme-li ji regulární maticí.
Poznámka 2.3.: Ekvivalentní úpravy matice podle Definice 2.4. lze realizovat vynásobením této matice vhodnými regulárními maticemi, kterým říkáme elementární matice . Násobením zleva lze provést úpravy řádků, zprava sloupců. Jsou to
1. Pro výměnu pořadí dvou řádků: Př.: Výměna 1. a 2. řádku : 0 , 1, 0,
obecně:
1, 0
a
0, 0,
a a
a 11 0 • a 21 1 a 31
Výměna i - tého
a
i M 1 0 0 O 1 M 0
22
32
a 21 a 23 = a11 a 33 a31
a
13
j - tého řádku : j M
L
L
0
1
1 O 1
1
12
L
L
0
0 Li M Lj 1 O 0 1
5
a
22
a a
12
32
a13 a33
a
23
I
Elementární matice vznikne tak, že v jednotkové matici přesunou diagonální 1 (jedničky) z pozice i i na j i a z pozice
jj
i j
na
se
.
2. Pro vynásobení řádku reálným číslem : Př.: Vynásobení 1. řádku číslem λ 0 0 Obecně :
0 0 a
1 0 . a 0 1 a
11
21
31
a
12
a a
22
32
λ a 23 a 33
a
:
13
=
a 11 ⋅ λ a 21 a 31
ii
číslem
λ
I
12
a a
Vynásobení i - tého řádku číslem
Elementární matice vznikne z matice na pozici
a
λ
⋅λ
a ⋅ λ 13
a a
22
32
23
33
:
záměnou jedni čky
.
3. Přičtení řádku k jinému : Př.: Ke druhému řádku přičteme první řádek : 1, 1, 0,
a 11 0 . a 21 1 a 31
0, 0
a
1, 0,
a a
12
22
32
a11 a 23 = a11 + a 21 a 33 a31
a
13
a
a +a a 12
32
a13 + a 23 a33
a
12
13
22
obecně : Přičtení i -tého řádku ke k -tému : Elementární matici vyrobíme z matice na pozici i k číslem 1 .
6
I
záměnou čísla
0
Věta 2.3.: Nechť čtvercová matice A je regulární. Potom existuje matice A −1 taková, že
A − 1⋅ A=A ⋅A −1 = I A
Matici
−1 nazýváme
.
inverzní matice k matici
A , B regulární, platí vztahy (A −1 )T =(A T ) −1 , (A ⋅ B) −1 =B −1⋅ A −1
A.
Jsou-li
Poznámka 2.4.: Matice
A , A −1
.
jsou si inverzní navzájem. Způsobů
výpočtu inverzní matice je několik, jedno mají však společné pracnost ...
Eliminační metoda pro výpočet inverzní matice :
Matici
A −1=X
hledáme ve formě součinu vhodných
elementárních matic : Sestavíme obdélníkovou matici
[A , I ].
Tuto matici (t.j.obě matice současně) zpracováváme vhodně volenými ekvivalentními úpravami tak dlouho a tak šikovně, až matici A převedeme na I , t.j. obdélníkovou matici
[ A,I]
převedeme na tvar
[I, X] .
Každá ekvivalentní úprava vlastně znamená vynásobení matice A , I zleva příslušnou elementární maticí X , i =1,2,L ,
[
]
i
. Tedy postupně máme matice
7
[X 1⋅ A
, X1⋅ I] , X ⋅ X ⋅ A , X ⋅ X ⋅ I 2 1 2 1 ..........................
L X 2 ⋅ X1 ⋅ A k ⋅ X k −1 4 X 1444 244443 I
,
Xk ⋅ X k −1L X 2 ⋅ X1 ⋅ I . 1444 424444 3 X = A −1
Příklad 2.4.:
Hledejme inverzní matici k matici
2 1 1 A=1 2 −1 . 3 0 1
Sestavíme obdélníkovou matici 2 1 1 A, I = 1 2 −1 3 0 1 a začneme vymýšlet šikovné
1 0 0 0 1 0 0 0 1 elementární matice.
První elementární matice bude z řejmě výměna 1. a 2. řádku (- kvůli té jedni čce na pozici prvku 11) :
X ⋅A 1
,
1 2 −1 1 1 3 0 1
X1⋅ I= 2
0 1 0 1 0 0 ≈ 0 0 1
No a pokračujeme způsobem, který považujeme za vhodný …
8
0 1 2 −1 1 −2 0 ≈ 0 −3 3 0 −3 1 0 0 −2
1 2 −1 ≈ 0 −3 3 0 −6 4
0
2 4 −2 ≈ 0 −6 6 0 0 −2
0
2
0 2 4 0 2 −4 0 ≈ 0 −6 0 −2 1 1 0 0 −2
6 0 0 ≈ 0 −6 0 0 0 −2
−2
1
1
0 1 −2 0 ≈ −2 1 1 0
1
1 −4 −1 3 ≈ −2 1 1 2
1
−2 1 3 1 A -1 = ⋅ 4 1 −3 . 6 6 −3 −3
3 −4 −1 3 . Tedy −2 1 1
9
