ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty Z´aklady vyˇsˇs´ı matematiky LDF MENDELU
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. ˇ e republiky. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇ en´ı finanˇ cn´ıch prostˇredk˚ u EU a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu Cesk´ Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
1 / 42
ˇ ıseln´ C´ e vektory ˇ ıseln´ Definice (C´ e vektory) Symbolem Rn oznaˇcme mnoˇzinu vˇsech uspoˇr´adan´ych n-tic re´aln´ych ˇc´ısel, tj. Rn = {(a1 , a2 , . . . , an ); a1 ∈ R, a2 ∈ R, . . . , an ∈ R}. Prvky t´eto mnoˇziny, tj. uspoˇr´adan´e n-tice re´aln´ych ˇc´ısel, naz´yv´ame (re´aln´e) ˇ ısla a1 , . . . , an se naz´yvaj´ı sloˇzky vektoru vektory, znaˇc´ıme ~a = (a1 , a2 , . . . , an ). C´ ~a a ˇc´ıslo n se naz´yv´a a rozmˇer (dimenze) vektoru ~a. Vektor ~a zapisujeme nˇekdy tak´e ve tvaru ~a =
a1 a2 .. , . an
tzv. sloupcov´y vektor.
Pˇr´ıklad ~a = (−1, 6) ∈ R2 ~b = (2, 9, −1) ∈ R3 ~c = (2, 5, 0, −8, 9) ∈ R5 Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
2 / 42
Geometrick´ y v´ yznam vektor˚ u v R2 a R3 R2 m˚ uˇzeme ch´apat jako mnoˇzinu vˇsech bod˚ u v rovinˇe, nebot’ kaˇzd´y bod v rovinˇe je urˇcen uspoˇr´adanou dvojic´ı ˇc´ısel. Podobnˇe, ˇc´ıseln´e vektory v R3 ch´apeme jako body v trojrozmˇern´em prostoru.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
3 / 42
Definice (Sˇ c´ıt´ an´ı vektor˚ u a n´ asoben´ı vektoru re´ aln´ ym ˇ c´ıslem) Pro k ∈ R a vektory ~a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn , ~b = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn definujeme operace sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u a n´asoben´ı vektoru re´aln´ym ˇc´ıslem: (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) k(a1 , a2 , . . . , an ) = (ka1 , ka2 , . . . , kan ). Pˇr´ıklad Necht’ ~a = (2, −1, 3), ~b = (1, 0, 6), ~c = (5, 6, −2, 1). ~a + ~b
=
(2, −1, 3) + (1, 0, 6) = (3, −1, 9)
−5~c = −5(5, 6, −2, 1) = (−25, −30, 10, −5) Souˇcet ~a + ~c nen´ı definov´an, protoˇze vektory ~a, ~c nemaj´ı stejn´y rozmˇer.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
4 / 42
Definice Vektor ~o := (0, 0, . . . , 0) se naz´yv´a nulov´y vektor. Vektor −~b = (−1)~b se naz´yv´a opaˇcn´y vektor k vektoru ~b. Rozd´ıl vektor˚ u ~a a ~b definujeme jako ~a − ~b = ~a + (−~b). Pˇr´ıklad Necht’ ~a = (2, −1, 3), ~b = (1, 0, 6), ~c = (5, 6, −2, 1). −~a = −~b = ~a − ~b =
(−2, 1, −3) (−1, 0, −6) (2, −1, 3) − (1, 0, 6) = (1, −1, −3)
Rozd´ıl ~a − ~c nen´ı definov´an, protoˇze vektory ~a, ~c nemaj´ı stejn´y rozmˇer.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
5 / 42
Definice (Skal´ arn´ı souˇ cin) Skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u ~a = (a1 , a2 , . . . , an ), ~b = (b1 , b2 , . . . , bn ) je re´aln´e ˇc´ıslo ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn . Pˇr´ıklad Necht’ ~a = (2, −1, 3, 2), ~b = (1, 0, 6, −3). ~a · ~b
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
=
2 · 1 + (−1) · 0 + 3 · 6 + 2 · (−3)
=
2 + 0 + 18 − 6 = 14.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
6 / 42
Definice (Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u) Necht’ ~a1 , ~a2 , . . . , ~ak (k ∈ N) jsou vektory v Rn , t1 , t2 , . . . , tk jsou re´aln´a ˇc´ısla. Vektor ~b = t1~a1 + t2~a2 + · · · + tk~ak , ˇ ısla t1 , t2 , . . . , tk se naz´yvaj´ı se naz´yv´a line´arn´ı kombinace vektor˚ u ~a1 , ~a2 , . . . , ~ak . C´ koeficienty line´arn´ı kombinace. Pˇr´ıklad Necht’ ~a = (3, 2, −1), ~b = (1, 0, −3), ~c = (2, −1, −1). Pˇr´ıklady line´arn´ıch kombinac´ı vektor˚ u ~a, ~b, ~c : d~ = ~o =
3~a − 2~b + ~c = (9, 5, 2) 0~a + 0~b + 0~c = (0, 0, 0).
Je zˇrejm´e, ˇze nulov´y vektor m˚ uˇze b´yt vˇzdy vyj´adˇren jako line´arn´ı kombinace dan´ych vektor˚ u - tzv. trivi´aln´ı line´arn´ı kombinace, tj. takov´a line´arn´ı kombinace, v n´ıˇz jsou vˇsechny koeficienty nulov´e.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
7 / 42
Definice (Line´ arn´ı (ne)z´ avislost) ˇ ık´ame, ˇze vektory ~a1 , ~a2 , . . . , ~ak jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze existuj´ı re´aln´a ˇc´ısla R´ t1 , t2 , . . . , tk , ne vˇsechna nulov´ a, takov´a, ˇze t1~a1 + t2~a2 + · · · + tk~ak = ~o. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze vektory jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Pozn´ amka Z definice plyne: Vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze alespoˇ n jeden z nich lze vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinaci ostatn´ıch. Vektory ~a1 , ~a2 , . . . , ~ak jsou line´arnˇe nez´avisl´e, jestliˇze nulov´y vektor m˚ uˇze b´yt vyj´adˇren pouze jako trivi´aln´ı line´arn´ı kombinace tˇechto vektor˚ u.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
8 / 42
Speci´ aln´ı pˇr´ıpady line´ arnˇ e (ne)z´ avisl´ ych vektor˚ u Dva vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz jeden z vektor˚ u je n´asobkem druh´eho. Vektory (stejn´eho rozmˇeru) jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze plat´ı alespoˇ n jedna z podm´ınek: Mezi vektory je nulov´y vektor. Alespoˇ n jeden z vektor˚ u je n´asobkem jin´eho vektoru. Poˇcet vektor˚ u je vetˇs´ı neˇz je rozmˇer kaˇzd´eho z vektor˚ u. Obecnˇe budeme schopni o line´arn´ı z´avislosti a nez´avislosti vektor˚ u rozhodnout po zaveden´ı pojmu hodnost matice.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
9 / 42
Pˇr´ıklad Vektory (1, 2, 0, −3), (−2, −4, 0, 6) jsou line´arnˇe z´avisl´e, protoˇze (−2, −4, 0, 6) = −2 · (1, 2, 0, −3). Vektory (1, 5, 0, −2), (5, 6, −1, −1) jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Vektory (1, 3, 8), (0, 0, 0), (−1, 0, 3) jsou line´arnˇe z´avisl´e, protoˇze je mezi nimi nulov´y vektor. Vektory (1, 2, 3), (3, 7, 1), (2, 4, 6) jsou line´arnˇe z´avisl´e, protoˇze (2, 4, 6) = 2 · (1, 2, 3). Vektory (1, 3), (2, 1), (−3, 2) jsou line´arnˇe z´avisl´e, protoˇze jejich poˇcet je 3, ale rozmˇer pouze 2. O line´arn´ı z´avislosti nebo nez´avislosti vektor˚ u (1, 3, 8), (1, 0, −1), (9, 3, −4) zat´ım neum´ıme rozhodnout.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
10 / 42
Matice - z´ akladn´ı pojmy Definice (Matice) Obd´eln´ıkov´e sch´ema o m ˇr´adc´ıch a n sloupc´ıch a11 a12 · · · a21 a22 · · · A= . .. .. .. . . am1 am2 · · ·
a1n a2n .. .
,
amn
kde aij ∈ R pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, se naz´yv´a matice typu (m, n). Struˇcnˇe zapisujeme A = (aij ). Mnoˇzinu vˇsech matic typu (m, n) znaˇc´ıme Rm×n . Prvky aii se naz´yvaj´ı prvky hlavn´ı diagon´aly. Pokud m = n, pak mluv´ıme o ˇctvercov´e matici ˇr´adu n. Pozn´ amka ˇ adky a sloupce matice ch´apeme jako vektory. Mluv´ıme tedy o sˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı R´ re´aln´ym ˇc´ıslem, line´arn´ı kombinaci, line´arn´ı z´avislosti a nez´avislosti ˇr´adk˚ u (sloupc˚ u). Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
11 / 42
Nulov´ a matice Matice, jej´ıˇz vˇsechny prvky jsou nulov´e, se naz´yv´a nulov´a matice a znaˇc´ıme ji 0. Typ nulov´e matice je obvykle zˇrejm´y z kontextu. Jednotkov´ a matice ˇ Ctvercov´a matice ˇr´adu n, kter´a m´a na hlavn´ı diagon´ale jedniˇcky a na ostatn´ıch m´ıstech nuly, se naz´yv´a jednotkov´a matice a znaˇc´ı se In nebo jen I. Pˇr´ıklad I2 =
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 0
0 1
,
1 I3 = 0 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 1 0
0 0 . 1
ZVMT lesnictv´ı
12 / 42
Transponovan´ a matice Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n). Matice AT typu (n, m), kter´a vznikne z´amˇenou ˇr´adk˚ u a sloupc˚ u matice A, se naz´yv´a transponovan´a matice k matici A, tj. AT = (aji ). Pˇr´ıklad Necht’
1 −1 A= 3 5 Pak
1 AT = 2 0
2 0 3 6 , −2 8 1 1
−1 3 5 3 −2 1 , 6 8 1
1 B= 2 0
2 3 −2
1 BT = 2 0
0 −2 . 7 2 3 −2
0 −2 . 7
Vid´ıme, ˇze B = B T . Matice s takovou vlastnost´ı se naz´yv´a symetrick´a matice. Jin´ym pˇr´ıkladem symetrick´e matice je jednotov´a matice.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
13 / 42
Operace s maticemi Definice (Sˇ c´ıtan´ı matic a n´ asoben´ı matice re´ aln´ ym ˇ c´ıslem) Necht’ A = (aij ), B = (bij ) jsou matice typu (m, n) . Souˇctem matic A a B rozum´ıme matici C = (cij ) typu (m, n), kde cij = aij + bij pro vˇsechna i, j. P´ıˇseme C = A + B. Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n), t ∈ R. Souˇcinem ˇc´ısla t a matice A rozum´ıme matici D = (dij ) typu (m, n), kde dij = t · aij pro vˇsechna i, j. P´ıˇseme D = tA. Pozn´ amka (Rozd´ıl matic) Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe vektor˚ u, definujeme −A jako (−1)A, a p´ıˇseme A − B m´ısto A + (−1)B. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
14 / 42
Pˇr´ıklad Necht’ A=
4 −1
0 3
5 2
,
B=
1 3
1 5
1 7
,
C=
2 0
−3 1
.
Pak
A+B 3C A − 2B
6 = , 9 6 −9 = , 0 3 4 0 5 2 = − −1 3 2 6 2 −2 3 = . −7 −7 −12 5 2
1 8
2 2 10 14
Souˇcet A + C nen´ı definov´an, nebot’ matice A a C nejsou stejn´eho typu.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
15 / 42
Definice (N´ asoben´ı matic) Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n), B = (bij ) je matice typu (n, p). Souˇcinem matic A a B (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme matici C = (cij ) typu (m, p), kde cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p. P´ıˇseme C = AB. Pozn´ amka (Vysvˇ etlen´ı pˇredchoz´ı definice) Poˇcet sloupc˚ u matice A mus´ı b´yt roven poˇctu ˇr´adk˚ u matice B, jinak nen´ı souˇcin AB definov´an. Prvek cij v matici C je roven skal´arn´ımu souˇcinu i-t´eho ˇr´adku matice A a j-t´eho sloupce matice B. Jak uvid´ıme z pˇr´ıklad˚ u, n´asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı operace, tzn. obecnˇe neplati AB = BA. Abychom zd˚ uraznili poˇrad´ı matic v souˇcinu AB, ˇr´ık´ame, ˇze matici A n´asob´ıme zprava matic´ı B nebo ˇze matici B n´asob´ıme zleva matic´ı A.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
16 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 = 0 −2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2 1 0
−1 2 2 3 1 1
1 0 3
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 2 3 = 0 1 −2 0 1 1 3·2+2·3−1·1 =
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 0 3
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 2 3 = 0 1 −2 0 1 1 3·2+2·3−1·1 =
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 0 3 3·1+2·0−1·3
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 2 3 = 0 1 −2 0 1 1 3·2+2·3−1·1 = 0·2+1·3+2·1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 0 3 3·1+2·0−1·3
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 2 3 = 0 1 −2 0 1 1 3·2+2·3−1·1 = 0·2+1·3+2·1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 0 3 3·1+2·0−1·3 0·1+1·0+2·3
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 2 3 = 0 1 −2 0 1 1 3·2+2·3−1·1 = 0·2+1·3+2·1 −2 · 2 + 0 · 3 + 1 · 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 0 3 3·1+2·0−1·3 0·1+1·0+2·3
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 1 2 3 0 = 0 1 −2 0 1 1 3 3·1+2·0−1·3 3·2+2·3−1·1 0·1+1·0+2·3 = 0·2+1·3+2·1 −2 · 2 + 0 · 3 + 1 · 1 −2 · 1 + 0 · 0 + 1 · 3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
3 2 −1 2 1 2 3 0 = 0 1 −2 0 1 1 3 11 0 3·1+2·0−1·3 3·2+2·3−1·1 0·1+1·0+2·3 = 5 6 = 0·2+1·3+2·1 −3 1 −2 · 2 + 0 · 3 + 1 · 1 −2 · 1 + 0 · 0 + 1 · 3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
BA
3 2 −1 2 1 2 3 0 = 0 1 −2 0 1 1 3 11 0 3·1+2·0−1·3 3·2+2·3−1·1 0·1+1·0+2·3 = 5 6 = 0·2+1·3+2·1 −3 1 −2 · 2 + 0 · 3 + 1 · 1 −2 · 1 + 0 · 0 + 1 · 3 2 1 3 2 −1 2 nen´ı definov´an, = 3 0 0 1 1 3 −2 0 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Pˇr´ıklad Necht’
3 A= 0 −2
2 1 0
−1 2 , 1
2 B= 3 1
1 0 . 3
Pak
AB
=
=
BA
A2
=
=
3 2 −1 2 1 0 1 2 3 0 −2 0 1 1 3 11 0 3·1+2·0−1·3 3·2+2·3−1·1 0·2+1·3+2·1 0·1+1·0+2·3 = 5 6 −3 1 −2 · 2 + 0 · 3 + 1 · 1 −2 · 1 + 0 · 0 + 1 · 3 2 1 3 2 −1 3 0 0 1 2 nen´ı definov´an, 1 3 −2 0 1 3 2 −1 3 2 −1 11 8 2 0 1 2 = −4 1 A·A= 0 1 −2 0 1 −2 0 1 −8 −4
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 4 3
ZVMT lesnictv´ı
17 / 42
Vˇ eta (Vlastnosti maticov´ eho souˇ cinu) Necht’ matice A, B, C, I jsou takov´eho typu, ˇze n´asleduj´ıc´ı operace jsou definov´any, r ∈ R. 1
A(BC) = (AB)C
(asociativn´ı z´akon)
2
A(B + C) = AB + AC
(distributibn´ı z´akon zleva)
3
(B + C)A = BA + CA
(distributivn´ı z´akon zprava)
4
r(AB) = (rA)B = A(rB)
5
IA = AI = A
Upozornˇ en´ı 1
Obecnˇe AB 6= BA.
2
Pro n´asoben´ı matic neplat´ı pravidla pro kr´acen´ı, tj. obecnˇe AB = AC 6⇒ B = C.
3
Obecnˇe AB = 0 6⇒ A = 0 nebo B = 0.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
18 / 42
Schodovit´ a matice ˇ ık´ame, ˇze matice je ve schodovit´em (stupˇ R´ novit´em) tvaru, jestliˇze kaˇzd´y nenulov´y ˇr´adek v t´eto matici zaˇc´ın´a vˇetˇs´ım poˇctem nul neˇz pˇredchoz´ı ˇr´adek. Pˇr´ıklad N´asleduj´ıc´ı matice 1 0 0 0
jsou ve schodovit´em tvaru: 0 7 3 0 5 7 0 0 0 2 5 2 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3 4 0 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
1 5 2 0
2 3 0 0
3 0 1 0
1 2 . 2 6
ZVMT lesnictv´ı
19 / 42
Hodnost matice
Definice (Hodnost matice) Necht’ A je matice. Hodnost´ı matice A rozum´ıme ˇc´ıslo, kter´e ud´av´a maxim´aln´ı poˇcet line´arnˇe naz´avisl´ych ˇr´adk˚ u matice A. Hodnost matice A znaˇc´ıme h(A).
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
20 / 42
Vˇ eta Hodnost matice ve schodovit´em tvaru je rovna poˇctu nenulov´ych ˇr´adk˚ u t´eto matice. Pˇr´ıklad Necht’ A=
0 0 0 0 0
5 0 0 0 0
7 0 0 0 0
3 4 0 0 0
1 5 2 0 0
2 3 0 0 0
3 0 1 0 0
1 2 2 6 0
,
B=
1 0 0 7 0
0 1 3 5 0
7 5 1 0 0
3 2 8 1 0
.
Matice A je ve schodovit´em tvaru a tedy h(A) = 4. Matice B nen´ı ve schodovit´em tvaru a o jej´ı hodnosti neum´ıme na prvn´ı pohled rozhodnout.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
21 / 42
Definice (Ekvivalentn´ı ˇr´ adkov´ eu ´pravy) N´asleduj´ıc´ı u ´pravy: 1
vyn´asoben´ı ˇr´adku nenulov´ym ˇc´ıslem,
2
z´amˇena poˇrad´ı ˇr´adk˚ u,
3
pˇriˇcten´ı n´asobku jednoho ˇradku k nenulov´emu n´asobku jin´eho ˇr´adku,
4
vynech´an´ı nulov´eho ˇr´adku nebo ˇr´adku, kter´y je n´asobkem jin´eho ˇr´adku,
se naz´yvaj´ı ekvivalentn´ı ˇr´adkov´e u ´pravy. Skuteˇcnost, ˇze matice A byla pˇrevedena na matici B koneˇcn´ym poˇctem ekvivaletn´ıch ˇr´adkov´ych u ´prav znaˇc´ıme A ∼ B a tyto matice naz´yv´ame ekvivalentn´ı. Vˇ eta (i) Libovolnou nenulovou matici lze koneˇcn´ym poˇctem ekvivalentn´ıch ˇr´adkov´ych u ´prav pˇrev´est na matici ve schodovit´em tvaru. (ii) Ekvivalentn´ı ˇr´adkov´e u ´pravy zachov´avaj´ı hodnost matice, tj. ekvivalentn´ı matice maj´ı stejnou hodnost.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
22 / 42
Pozn´ amka Pˇri zjiˇst’ov´an´ı hodnosti matice A postupujeme tak, ˇze matici pˇrevedeme pomoc´ı ekvivalentn´ıch ˇr´adkov´ych u ´prav na schodovit´y tvar. Hodnost matice A je potom rovna hodnosti takto z´ısk´an´e schodovit´e matice, tedy poˇctu jej´ıch nenulov´ych ˇr´adk˚ u. Libovoln´a nenulov´a matice m˚ uˇze b´yt pˇrevedena na v´ıce neˇz jednu matici ve schodovit´em tvaru pouˇzit´ım r˚ uzn´ych posloupnost´ı ˇr´adkov´ych ekvivalentn´ıch u ´prav. Pod pojmem kl´ıˇcov´y prvek budeme rozumˇet nenulov´y prvek matice, pomoc´ı ˇ adek nˇejˇz jsou ekvivalentn´ımi ˇr´adkov´ymi u ´pravami vytv´aˇreny nuly v matici. R´ a sloupec obsahuj´ıc´ı kl´ıˇcov´y prvek budeme naz´yvat kl´ıˇcov´y ˇr´adek a kl´ıˇcov´y sloupec.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
23 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcetehodnost matice 3 6 −1 −2 1 3 2 −1 A= 0 2 1 0 −1 1 0 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 2 − 1 −4
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcetehodnost matice 3 6 −1 −2 1 3 2 −1 A= 0 2 1 0 −1 1 0 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 2 − 1 −4
Zaˇcneme s prvn´ım nenulov´ym sloupcem zleva (kl´ıˇcov´y sloupec). Vybereme nenulov´y prvek z tohoto sloupce jakoˇzto kl´ıˇcov´y prvek.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost matice 3 6 −1 −2 1 3 2 −1 A= 0 2 1 0 −1 1 0 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 2 − 1 −4
Zaˇcneme s prvn´ım nenulov´ym sloupcem zleva (kl´ıˇcov´y sloupec). Vybereme nenulov´y prvek z tohoto sloupce jakoˇzto kl´ıˇcov´y prvek.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost matice 3 6 −1 −2 4 ← − 1 3 2 −1 2 ← − A= 0 2 1 0 − 1 −1 1 0 1 −4 1 3 2 −1 2 3 6 −1 −2 4 ∼
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Kl´ıˇcov´y ˇr´adek nap´ıˇseme jako prvn´ı.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost matice 3 6 −1 −2 4 ← − 1 3 2 −1 2 ← − A= 0 2 1 0 − 1 −1 1 0 1 −4 1 3 2 −1 2 3 6 −1 −2 4 ∼ 0 2 1 0 −1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Kl´ıˇcov´y ˇr´adek nap´ıˇseme jako prvn´ı.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost matice 3 6 −1 −2 4 ← − 1 3 2 −1 2 ← − A= 0 2 1 0 − 1 −1 1 0 1 −4 1 3 2 −1 2 3 6 −1 −2 4 ∼ 0 2 1 0 −1 −1 1 0 1 −4
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Kl´ıˇcov´y ˇr´adek nap´ıˇseme jako prvn´ı.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 ∼
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2
−1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 ∼
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2
−1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2
−1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7
−1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7
−1 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7
−1 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1
−1 1 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 0
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1
−1 1 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 0 4
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1
−1 1 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 0 4
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 2
−1 1 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 0 4
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 2
−1 1 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 0 4
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 2
−1 1 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k ˇr´adk˚ um pod n´ım tak, aby pod kl´ıˇcov´ym prvkem vznikly nuly.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1 −2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 60 64
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 62
−1 1 0 60
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
ˇ Ctvrt´ y ˇr´adek m˚ uˇzeme vynechat, nebot’ je n´asobkem druh´eho ˇr´adku.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1 6−2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 −3 ∼ 0 2 60 64
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 62
−1 1 0 60
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
D´ale pracujeme s podmatic´ı pod prvn´ım ˇr´adkem.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −2 −1 6−2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0 2 −7 1 62
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + −1 2 1 −2 0 −1 60 6 − 2
D´ale pracujeme s podmatic´ı pod prvn´ım ˇr´adkem. Vybereme kl´ıˇcov´y prvek ve zleva prvn´ım nenulov´em sloupci t´eto podmatice.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0 2 −7 1 62
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + −1 2 1 −2 0 −1 60 6 − 2
D´ale pracujeme s podmatic´ı pod prvn´ım ˇr´adkem. Vybereme kl´ıˇcov´y prvek ve zleva prvn´ım nenulov´em sloupci t´eto podmatice. Kl´ıˇcov´y ˇr´adek nemus´ıme pˇrem´ıst’ovat.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0 2 −7 1 62 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + −1 2 2 1 −2 −+ 0 −1 | 3 ← 60 6 − 2 −1 2
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −1 2 2 −7 1 −2 −+ 1 0 −1 | 3 ← 62 60 6 − 2 2 −1 2 −7 1 −2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −1 2 2 −7 1 −2 −+ 1 0 −1 | 3 ← 62 60 6 − 2 2 −1 2 −7 1 −2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0 0
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −1 2 2 −7 1 −2 −+ 1 0 −1 | 3 ← 62 60 6 − 2 2 −1 2 −7 1 −2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0 0
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −1 2 2 −7 1 −2 −+ 1 0 −1 | 3 ← 62 60 6 − 2 2 −1 2 −7 1 −2 −11
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0 0
matice −1 2 1 0 2 −1 1 0
−2 −1 0 1
−1 −2 0 1
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 −1 2 2 −7 1 −2 −+ 1 0 −1 | 3 ← 62 60 6 − 2 2 −1 2 −7 1 −2 −11 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0 0
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 62
−1 1 0 60
2 −1 −7 1 −11 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 2 −2 −+ −1 | 3 ← 6−2 2 −2 −7
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0 0
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 62
−1 1 0 60
2 −1 −7 1 −11 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
Vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem - pˇriˇcteme n´asobek kl´ıˇcov´eho ˇr´adku k n´asobku ˇr´adku pod n´ım.
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 2 −2 −+ −1 | 3 ← 6−2 2 −2 −7
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnost 3 6 1 3 A= 0 2 −1 1 1 3 3 6 ∼ 0 2 −1 1 1 3 0 -3 ∼ 0 2 60 64 1 3 ∼ 0 −3 0 0
matice −1 2 1 0
−2 −1 0 1
2 −1 1 0
−1 −2 0 1
2 −7 1 62
−1 1 0 60
2 −1 −7 1 −11 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
4 ← − 2 ← − − 1 −4
−3 2 + ← − 4 −1 −4 ←−−−−− + 2 2 −2 −+ −1 | 3 ← 6−2 2 −2 −7
Z´ıskan´a matice ve schodovit´em tvaru m´a tˇri nenulov´e ˇr´adky, tedy h(A) = 3.
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
24 / 42
Postup popsan´y v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu m˚ uˇzeme shrnout: Postup u ´pravy matice do schodovit´ eho tvaru 1
Zaˇcneme s nenulov´ym sloupcem nejv´ıce vlevo - tzv. kl´ıˇcov´y sloupec. Vybereme nenulov´y prvek z tohoto sloupce jakoˇzto kl´ıˇcov´y prvek (nejvhodnˇejˇs´ı je, pokud je kl´ıˇcov´y prvek roven 1 nebo −1).
2
Kl´ıˇcov´y ˇr´adek pˇrem´ıst´ıme na prvn´ı m´ısto v matici.
3
Aplikac´ı vhodn´ych ˇr´adkov´ych u ´prav vytv´aˇr´ıme nuly pod kl´ıˇcov´ym prvkem, tzn. pˇriˇc´ıt´ame vhodn´e n´asobky kl´ıˇcov´eho ˇr´adku ke vhodn´ym n´asobk˚ um ˇr´adk˚ u pod n´ım. Pˇr´ıpadnˇe provedeme dodateˇcn´e u ´pravy, kter´e mohou matici zjednoduˇsit (napˇr. vynech´an´ı ˇr´adku).
4
Kroky 1–3 aplikujeme na “podmatici” pod kl´ıˇcov´ym ˇr´adkem. (Tedy kl´ıˇcov´y ˇr´adek a vˇsechny pˇr´ıpadn´e ˇr´adky nad n´ım budeme v dalˇs´ım uˇz jenom opisovat). Postup opakujeme tak dlouho, dokud nen´ı matice ve schodovit´em tvaru.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
25 / 42
Vˇ eta Hodnost matice se transponov´an´ım matice nezmˇen´ı, tedy pro libovolnou matici A plat´ı h(A) = h(AT ). Pozn´ amka Z pˇredchoz´ı vˇety vypl´yv´a, ˇze vˇsechna tvrzen´ı t´ykaj´ıc´ı se hodnosti matice vysloven´a pro ˇr´adky lze formulovat i pro sloupce. Hodnost matice m˚ uˇzeme tedy ch´apat jako maxim´aln´ı poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych sloupc˚ u matice. Pozn´ amka (Line´ arn´ı (ne)z´ avislost vektor˚ u) Necht’ je d´ano m vektor˚ u stejn´eho rozmˇeru. Z definice hodnosti matice (a z posledn´ı vˇety) vypl´yv´a, ˇze tyto vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze h(A) < m, line´arnˇe nez´avisl´e, jestliˇze h(A) = m, kde A je matice, jej´ıˇz ˇr´adky (sloupce) jsou tvoˇreny dan´ymi vektory.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
26 / 42
Pˇr´ıklad Vektory (3, 6, −1, −2, 4), (1, 3, 2, −1, 2), (0, 2, 1, 0, −1), (−1, 1, 0, 1, −4) jsou line´arnˇe z´avisl´e, nebot’ hodnost 3 6 −1 −2 4 1 3 2 −1 2 0 2 1 0 −1 −1 1 0 1 −4
matice 1 ∼ 0 0
3 2 −1 2 −3 −7 1 −2 0 −11 2 −7
je rovna 3, viz pˇredchoz´ı pˇr´ıklad na urˇcen´ı hodnosti matice.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
27 / 42
Pˇr´ıklad Vektory (0, 2, 0, 3, 0), (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 5, −1), (0, 0, 1, 0, −4) jsou line´arnˇe nez´avisl´e, nebot’ hodnost matice 0 2 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ∼ 0 2 0 3 0 0 0 5 −1 0 0 1 0 0 0 1 0 −4 0 0 0 5
0 0 −4 −1
je rovna 4.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
28 / 42
Inverzn´ı matice Definice (Inverzn´ı matice) Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Matice A se naz´yv´a invertibiln´ı, jestliˇze existuje ˇctvercov´a matice A−1 ˇr´adu n takov´a, ˇze AA−1 = I = A−1 A. Matice A−1 se naz´yv´a inverzn´ı matice k matici A. Je-li A invertibiln´ı, pak inverzn´ı matice A−1 je urˇcena jednoznaˇcnˇe. Ne kaˇzd´a matice je vˇsak invertibiln´ı. Vˇ eta Matice A je invertibiln´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz ji lze pomoc´ı ekvivalentn´ıch ˇr´adkov´ych u ´prav pˇrev´est na jednotkovou matici I. Kaˇzd´a posloupnost ekvivalentn´ıch ˇr´adkov´ych u ´prav, kter´a pˇrevede matici A na I, pˇrevede z´aroveˇ n I na A−1 . Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
29 / 42
Pˇredchoz´ı vˇeta d´av´a n´avod jak nel´ezt inverzn´ı matici: Postup nalezen´ı A−1 Necht’ A je ˇctvercov´a matice. 1
Vytvoˇr´ıme “dvojmatici” (A|I).
2
Na matici (A|I) aplikujeme ekvivalentn´ı ˇr´adkov´e u ´pravy, kter´e pˇrevedou matici A na jednotkovou matici I.
3
Jestliˇze je A pˇrevedena na I (v lev´e ˇc´asti v´ysledn´e “dvojmatice” je I), pak v prav´e ˇc´asti v´ysledn´e “dvojmatice” m´ame A−1 . Schematicky: (A|I) ∼ · · · ∼ (I|A−1 ).
4
Pokud matici A nelze pˇrev´est na jednotkovou matici (v pr˚ ubˇehu v´ypoˇctu se v lev´e ˇc´asti vynuluje cel´y ˇr´adek), pak A nen´ı invertibiln´ı, tj. inverzn´ı matice A−1 neexistuje.
! Pouˇz´ıv´ame pouze ˇr´ adkov´ eu ´pravy.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
30 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
A−1 =?
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0 1 2 0
−1 0 2
−1 0 2
1 −1 −2
1 −1 −2
1 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
A−1 =?
0 1 0
0 0 1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0
−1 0 2
−1 0 2
1 −1 −2 1 −1 −2
1 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
A−1 =?
0 1 0
−2 0 −+ 0← 1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
1 −1 1 2 0 −1 0 2 −2 1 −1 1 1 ∼
1 0 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
A−1 =?
−2 0 −+ 0← 1 0
0 1 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 −1 1 1 0 2 0 − 1 0 1 0 2 − 2 0 0 1 −1 1 1 0 ∼ 0 2 −3 −2 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 0 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 −1 1 1 0 2 0 − 1 0 1 0 2 − 2 0 0 1 −1 1 1 0 ∼ 0 2 −3 −2 1 0 2 −2 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 0 0 1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 −1 1 1 0 2 0 − 1 0 1 0 2 − 2 0 0 1 −1 1 1 0 ∼ 0 2 −3 −2 1 0 2 −2 0 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− +
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
−2 1 −1 1 1 0 0 2 −+ 0 − 1 0 1 0← 0 2 − 2 0 0 1 1 −1 1 1 0 0 | · 2 ← −+ −1 ∼ 0 2 −3 −2 1 0 0 2 −2 0 0 1 ←−−−−−−− + ∼ 0 2 −3 −2 1 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
−2 1 −1 1 1 0 0 2 −+ 0 − 1 0 1 0← 0 2 − 2 0 0 1 1 −1 1 1 0 0 | · 2 ← −+ −1 ∼ 0 2 −3 −2 1 0 0 2 −2 0 0 1 ←−−−−−−− + 2 0 −1 0 1 0 ∼ 0 2 −3 −2 1 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 −1 1 1 0 2 −3 −2 1 2 −2 0 0 0 −1 0 1 2 −3 −2 1 0 1 2 −1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− + 0 0 1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 −1 1 1 0 2 −3 −2 1 2 −2 0 0 0 −1 0 1 2 −3 −2 1 0 1 2 −1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− + 0 ←−−−− + −+ 0← 3 1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 −1 1 1 0 2 −3 −2 1 2 −2 0 0 0 −1 0 1 2 −3 −2 1 0 1 2 −1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− + 0 ←−−−− + −+ 0← ∼ 3 1 0
0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
1 2
−1
1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 −1 1 1 0 2 −3 −2 1 2 −2 0 0 0 −1 0 1 2 −3 −2 1 0 1 2 −1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− + 0 ←−−−− + 2 −+ 0← ∼ 3 1 0
0 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 2 1 2
0 −1
1 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 −1 1 1 0 2 −3 −2 1 2 −2 0 0 0 −1 0 1 2 −3 −2 1 0 1 2 −1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− + 0 ←−−−− + 2 −+ 0← ∼ 0 3 1 0
0 2 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 0 1
2 4 2
0 −2 −1
1 3 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
1 1 0 − 1 0 1 − 2 0 0 −1 1 1 0 2 −3 −2 1 2 −2 0 0 0 −1 0 1 2 −3 −2 1 0 1 2 −1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
−2 0 −+ 0← 1 −+ 0 | ·2 ← −1 0 1 ←−−−−−−− + 0 ←−−−− + 2 −+ 0← ∼ 0 3 1 0
0 2 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 0 1
2 4 2
0 −2 −1
1 | :2 3| : 2 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0 1 ∼
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
−2 1 1 0 0 −+ − 1 0 1 0← − 2 0 0 1 −1 1 1 0 0 | · 2 ← −+ −1 2 −3 −2 1 0 2 −2 0 0 1 ←−−−−−−− + 0 −1 0 1 0 ←−−−− + 2 2 −3 −2 1 0← −+ ∼ 0 3 0 0 1 2 −1 1 0 0 1 0 12
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
0 2 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 0 1
2 4 2
0 −2 −1
1 | :2 3| : 2 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0 1 ∼ 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
−2 1 1 0 0 −+ − 1 0 1 0← − 2 0 0 1 −1 1 1 0 0 | · 2 ← −+ −1 2 −3 −2 1 0 2 −2 0 0 1 ←−−−−−−− + 0 −1 0 1 0 ←−−−− + 2 2 −3 −2 1 0← −+ ∼ 0 3 0 0 1 2 −1 1 1 0 0 1 0 2 1 0 2 −1 32
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
0 2 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 0 1
2 4 2
0 −2 −1
1 | :2 3| : 2 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0 1 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
−2 1 1 0 0 −+ − 1 0 1 0← − 2 0 0 1 −1 1 1 0 0 | · 2 ← −+ −1 2 −3 −2 1 0 2 −2 0 0 1 ←−−−−−−− + 0 −1 0 1 0 ←−−−− + 2 2 −3 −2 1 0← −+ ∼ 0 3 0 0 1 2 −1 1 1 0 0 1 0 2 1 0 2 −1 32 0 1 2 −1 1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
0 2 0
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0 0 1
2 4 2
0 −2 −1
1 | :2 3| : 2 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 A = 2 0
1 2 0 1 ∼ 0 0 2 ∼ 0 0 1 ∼ 0 0
−1 0 2
1 −1 −2
A−1 =?
−2 1 1 0 0 −+ − 1 0 1 0← − 2 0 0 1 −1 1 1 0 0 | · 2 ← −+ −1 2 −3 −2 1 0 2 −2 0 0 1 ←−−−−−−− + 0 −1 0 1 0 ←−−−− + 2 0 0 2 −3 −2 1 0← −+ ∼ 0 2 0 3 0 0 1 0 1 2 −1 1 1 2 0 0 0 1 0 2 1 0 2 −1 32 =⇒ A−1 = 12 4 −2 4 −2 0 1 2 −1 1
−1 0 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
2 4 2
0 −2 −1 1 3 . 2
1 | :2 3| : 2 1
ZVMT lesnictv´ı
31 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4
1 1 3
2 3 7
B −1 =?
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4 1 2 4
1 1 3
1 1 3 2 3 7
1 0 0
2 3 7 0 1 0
B −1 =?
0 0 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4
1 2 4
1 1 3
2 3 7
1 2 1 1 3 0 3 7 0
0 1 0
B −1 =?
−2 −4 0 −+ 0← 1 ←−−−−− +
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4
1 2 4
1 1 3
2 3 7
1 2 1 1 3 0 3 7 0
0 1 0
B −1 =?
−2 −4 1 0 −+ ∼ 0← 1 ←−−−−− +
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1
2 1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
0
0 .
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4
1 2 4
1 1 3
2 3 7
1 2 1 1 3 0 3 7 0
0 1 0
B −1 =?
−2 −4 1 0 −+ ∼ 0 0← 1 ←−−−−− +
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 −1
2 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
1 −2
0 0 1 0 .
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4
1 2 4
1 1 3
2 3 7
1 2 1 1 3 0 3 7 0
0 1 0
B −1 =?
−2 −4 1 0 −+ ∼ 0 0← 0 1 ←−−−−− +
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
1 −1 −1
2 −1 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
1 −2 −4
0 0 1 0 . 0 1
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Pˇr´ıklad 1 B = 2 4
1 2 4
1 1 3
2 3 7
1 2 1 1 3 0 3 7 0
0 1 0
B −1 =?
−2 −4 1 0 −+ ∼ 0 0← 0 1 ←−−−−− +
1 −1 −1
2 −1 −1
1 −2 −4
0 0 1 0 . 0 1
Z posledn´ı matice vypl´yv´a, ˇze B −1 neexistuje.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
32 / 42
Determinant matice
Determinant matice Necht’ A = (aij ) je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Pod pojmem determinant matice A budeme rozumˇet re´aln´e ˇc´ıslo det A (nebo tak´e |A|), kter´e je “urˇcit´ym zp˚ usobem” pˇriˇrazeno matici A. Determinant z matice A zapisujeme a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det A = |A| = . .. .. . .. .. . . . an1 an2 · · · ann Zp˚ usob, jak´ym je determinant matici pˇriˇrazen, nebudeme definovat obecnˇe, uk´aˇzeme si pouze, jak je moˇzn´e determinant vypoˇc´ıtat (vyˇc´ıslit z v´yˇse uveden´eho sch´ematu) pro matice r˚ uzn´ych ˇr´ad˚ u.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
33 / 42
Determinanty matic mal´ ych ˇr´ ad˚ u Pro n = 1, tj. A = a11 , je det A = a11 . Pro n = 2 :
a11 a21
a12 = a11 a22 − a21 a12 , a22
tzv. kˇr´ıˇzov´e pravidlo
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
34 / 42
Determinanty matic mal´ ych ˇr´ ad˚ u Pro n = 1, tj. A = a11 , je det A = a11 . Pro n = 2 :
a11 a21
a12 = a11 a22 − a21 a12 , a22
tzv. kˇr´ıˇzov´e pravidlo Pro n = 3 : a11 a21 a31
a12 a22 a32
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a13 a23 a33
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 = −a 31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a21 a12 a33 .
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
34 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu:
a11 a21 a31
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky.
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +). Vyn´asob´ıme prvky ve vedlejˇs´ı diagon´ale a31 − a22 − a13 a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem −).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +). Vyn´asob´ıme prvky ve vedlejˇs´ı diagon´ale a31 − a22 − a13 a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem −).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +). Vyn´asob´ıme prvky ve vedlejˇs´ı diagon´ale a31 − a22 − a13 a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem −).
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +). Vyn´asob´ıme prvky ve vedlejˇs´ı diagon´ale a31 − a22 − a13 a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem −). Vˇsechny tyto souˇciny seˇcteme. a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
Sarrusovo pravidlo Pravidlo pro v´ypoˇcet determinantu matice tˇret´ıho ˇr´adu si m˚ uˇzeme zapamatovat pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıho sch´ematu: Pod determinant op´ıˇseme znovu prvn´ı dva ˇr´adky. Vyn´asob´ıme prvky v hlavn´ı diagon´ale a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem +). Vyn´asob´ıme prvky ve vedlejˇs´ı diagon´ale a31 − a22 − a13 a v diagon´al´ach pod n´ı (tyto souˇciny jsou se znam´enkem −). Vˇsechny tyto souˇciny seˇcteme. a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 = −a 31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33
Toto pravidlo nelze ˇz´adn´ym zp˚ usobem zobecnit pro matice ˇctvrt´eho nebo vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u! Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
35 / 42
V´ypoˇcet determinant˚ u matic ˇctvrt´eho a vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u m˚ uˇzeme pˇrev´est na v´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u pomoc´ı n´asleduj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta (Laplace˚ uv rozvoj) Necht’ A = (aij ) je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Symbolem Mij oznaˇcme determinant matice ˇr´adu n − 1, kter´a vznikne z matice A vynech´an´ım i-t´eho ˇr´adku a j-t´eho sloupce. Pak det A = (−1)i+1 ai1 Mi1 + (−1)i+2 ai2 Mi2 + · · · + (−1)i+n ain Min pro
i = 1, . . . , n,
(tzv. Laplace˚ uv rozvoj podle i-t´eho ˇr´adku ) a det A = (−1)1+j a1j M1j + (−1)2+j a2j M2j + · · · + (−1)n+j anj Mnj pro
j = 1, . . . , n.
(tzv. Laplace˚ uv rozvoj podle j-t´eho sloupce)
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
36 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku.
−1 −1 2 −3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku.
−1 −1 2 −3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku.
−1 −1 2 −3
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1 2 5 −1 2 = (−1)3+1 2 −2 −4 3 −7 −1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku.
−1 −1 2 −3
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1 2 −1 5 −1 3+1 3+3 2 + (−1) 1 −1 = (−1) 2 −2 −4 3 −7 −1 −3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
2 −1 −2 2 3 −1
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku. Vznikl´e determinanty tˇret´ıho ˇr´adu vypoˇcteme pomoc´ı Sarrusova pravidla. −1 −1 2 −3
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1 2 −1 5 −1 3+1 3+3 2 + (−1) 1 −1 = (−1) 2 −2 −4 3 −7 −1 −3
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
2 −1 −2 2 3 −1
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku. Vznikl´e determinanty tˇret´ıho ˇr´adu vypoˇcteme pomoc´ı Sarrusova pravidla. −1 −1 2 −3
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1 2 −1 5 −1 3+1 3+3 2 + (−1) 1 −1 = (−1) 2 −2 −4 3 −7 −1 −3
2 −1 −2 2 3 −1
= 2[8 − 14 + 30 − (12 − 28 + 10)]
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Pˇr´ıklad Pˇri v´ypoˇctu determinantu pomoc´ı Laplaceova rozvoje je nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle ˇr´adku nebo sloupce, kter´y obsahuje nejv´ıce nul. Pro v´ypoˇcet tohoto determinantu bude nejv´yhodnˇejˇs´ı prov´est rozvoj podle tˇret´ıho ˇr´adku. Vznikl´e determinanty tˇret´ıho ˇr´adu vypoˇcteme pomoc´ı Sarrusova pravidla. −1 −1 2 −3
2 5 −1 −2 −4 2 0 1 0 3 −7 −1 2 −1 5 −1 3+1 3+3 2 + (−1) 1 −1 = (−1) 2 −2 −4 3 −7 −1 −3
2 −1 −2 2 3 −1
= 2[8 − 14 + 30 − (12 − 28 + 10)] + [−2 + 3 − 12 − (−6 − 6 + 2)] = 59
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
37 / 42
Vˇ eta (Vlastnosti determinantu) 1
Transponov´an´ım matice se hodnota determinantu nezmˇen´ı.
2
Hodnota determinantu matice se nezmˇen´ı, jestliˇze k libovoln´emu ˇr´adku (sloupci) matice pˇriˇcteme libovoln´y n´asobek jin´eho ˇr´adku (sloupce).
3
Pˇrehozen´ım dvou ˇr´adk˚ u (sloupc˚ u) determinant zmˇen´ı znam´enko.
4
Vyn´asob´ıme-li jeden ˇr´adek (sloupec) ˇc´ıslem k, zvˇetˇs´ı se hodnota determinantu k-kr´at.
5
Vydˇel´ıme-li jeden ˇr´adek (sloupec) nenulov´ym ˇc´ıslem k, zmenˇs´ı se hodnota determinantu k-kr´at.
6
Determinant z matice, kter´a m´a pod hlavn´ı diagon´alou sam´e nuly, je roven souˇcinu prvk˚ u v hlavn´ı diagon´ale.
Pozn´ amka Pˇredchoz´ı vˇeta d´av´a n´avod jak “zjednoduˇsit” v´ypoˇcet determinantu vytvoˇren´ım vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı nul v matici. Nejv´yhodnˇejˇs´ı je upravit determinant tak, aby v jednom ˇr´adku (sloupci) byly kromˇe jednoho prvku sam´e nuly. Podle tohoto ˇr´adku (sloupce) pak provedeme rozvoj determinantu. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
38 / 42
Vˇ eta Determinant matice je roven nule, jestliˇze plat´ı alespoˇ n jedno z n´asleduj´ıc´ıch tvrzen´ı. 1
Nˇekter´y ˇr´adek nebo sloupec v matici je nulov´y.
2
V matici jsou dva stejn´e ˇr´adky nebo sloupce.
3
Nˇekter´y ˇr´adek (sloupec) je n´asobkem jin´eho ˇr´adku (sloupce).
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
39 / 42
Regul´ arn´ı a singul´ arn´ı matice
Vˇ eta Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. N´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: 1 2
h(A) = n ˇadky (sloupce) matice A jsou line´arnˇe nez´avisl´e. R´
3
det A 6= 0
4
A je invertibiln´ı, tj. A−1 existuje.
Definice (Regul´ arn´ı a singul´ arn´ı matice) ˇ Ctvercovou matici, kter´a m´a vlastnosti uveden´e v pˇredchoz´ı vˇetˇe, naz´yv´ame regul´arn´ı, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o singul´arn´ı matici.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
40 / 42
Vyuˇ zit´ı syst´ em˚ u poˇ c´ıtaˇ cov´ e algebry Uk´azka vyuˇzit´ı syst´em˚ u Wolfram Alpha, Sage, Maxima, viz: http://user.mendelu.cz/marik/akademie/linearni-algebra.html Pˇr´ım´y odkaz na Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/ Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete souˇcin matic
1 2
2 1
1 2 3 3 1
2 1 . 4
ˇ sen´ı pomoc´ı syst´emu Wolfram Alpha: Reˇ {{1,2,2},{2,1,3}}*{{1,2},{3,1},{1,4}} Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
41 / 42
Pˇr´ıklad
1 Je dan´a matice 2 3
2 0 2
3 1 . 1
Urˇcete hodnost matice, determinant, inverzn´ı matici.
ˇ sen´ı pomoc´ı syst´emu Wolfram Alpha: Reˇ 1
hodnost matice: rank{{1,2,3},{2,0,1},{3,2,1}}
2
determinant: det{{1,2,3},{2,0,1},{3,2,1}}
3
inverzn´ı matice: inv{{1,2,3},{2,0,1},{3,2,1}}
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ˇ ıseln´ C´ e vektory, matice, determinanty
ZVMT lesnictv´ı
42 / 42
