@137
12. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty 2 x 2 V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice: Determinantem 2.řádu rozumíme symbol
D
a b , kde a,b,c,d R c d
Hodnotou determinantu 2. řádu rozumíme číslo D = ad – bc Používáme rčení: „Vypočtěte determinant …“ a rozumíme tím vypočítat číslo ad-bc. Poznámka: Všimněte si, že hodnotu determinantu dostaneme rozdílem součinů čísel v hlavní diagonále a ve vedlejší diagonále, viz obrázek.
Příklady:
2 2
3 1
2.( 1) 3.2
8
1 5 4 1
1.1 5.( 4) 21
1 x 2 x2 pokračování
1. x 2
2. x
x2
2x
@141 Bohužel Do vzorců Cramerova pravidla jste nedosadili správně. A zřejmě jste ani neudělali zkoušku. Opravdu si myslíte, že nedělat zkoušku je moudré? znovu přepočítejte
@143 zpět
Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy tří lineárních rovnic pro tři neznámé Mějme soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé x, y, z
(**)
R
ax + by + cz = A dx + ey + fz = B gx + hy + iz = C
kde a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, C
D
Dy
R jsou libovolná reálná čísla. Označme:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Dx
a
A
c
d
B
f
g C
i
Dz
A b
c
B e
f
C
i
h
a
b
A
d
e
B
g
h C
Determinant D se nazývá determinant soustavy (**). Platí: i) Je-li D ≠ 0, pak soustava rovnic má právě jedno řešení x
Dx ,y D
Dy ,z D
Dz D
ii) Je-li D = Dx = Dy = Dz = 0, pak soustava má nekonečně mnoho řešení, které nelze určit pomocí determinantů, ale musí se parametrizovat dříve předvedenými postupy. iii) Je-li D = 0 a aspoň jeden z determinantů Dx, Dy, Dz různý od nuly, pak soustava rovnic nemá žádné řešení. Příklad: Řešte soustavu rovnic 3x - 2y + 7z = 2 5x + y - 3z = 50 4x - y + 4z = 20 Řešení:
3 5 4
D
2 1 1
7 3 4
Dx
2 50 20
2 1 1
Dy
3 2 5 50 4 20
Dz
3 5 4
12 24 35 28 40 9 4 => existuje jediné řešení
7 3 4 7 3 4
2 2 1 50 1 20
8 120 350 140 400 6 32 => x = 32/4 = 8
600 24 700 1400 40 180 16 => y = 16/4 = 4
60 400 10 8 200 150
kandidát řešení [8; 4; -2] Zkouška L1 = 3.8 – 2.4 + 7.(-2) = 2 = P1 L2 = 5.8 + 4 – 3.(-2) = 50 = P2 L3 = 4.8 - 4 + 4.(-2) = 20 = P3 Úkol: Řešte soustavu rovnic
x+ y- z= 5 2x + 2y - 2z = 7 x - 3y + 5z = 15
soustava má jediné řešení soustava má nekonečně mnoho řešení soustava nemá žádné řešení
8
=> z = -8/4 = -2
@146 Bohužel Pouze napovím, že obě mají jediné řešení. znovu prostudujte
@139 zpět
Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé Mějme soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé x, y
R
ax + by = A cx + dy = B
(*) kde a, b, c, d, A, B
R jsou libovolná reálná čísla. Označme:
Dy
a A c B
i) Je-li D ≠ 0, pak soustava rovnic má právě jedno řešení x
Dx ,y D
D
a b c d
A b B d
Dx
Determinant D se nazývá determinant soustavy (*). Platí:
Dy D
ii) Je-li D = Dx = Dy = 0, pak soustava má nekonečně mnoho řešení, které nelze určit pomocí determinantů, ale musí se parametrizovat dříve předvedenými postupy. iii) Je-li D = 0 a aspoň jeden z determinantů Dx, Dy různý od nuly, pak soustava rovnic nemá žádné řešení. Poznámka: Nezapomínejte na zkoušku (aspoň v hlavě zpaměti), protože tím vyloučíte chybu lidského faktoru (totiž vlastní).
Příklad: Řešte soustavu rovnic
Řešení: D
3 1
2 3
3x 2 y 1 x 3y 4
3.( 3) 2.1
Dx
1 4
2 3
11 0 tedy existuje jediné řešení
11
Dy
3 1 1 4
a tedy kandidát řešení je x = -11/11 = -1 a y = 11/11 = 1, [-1; 1]
11
Zkouška
L1 = 3.1 + 2.(-1) = 3 - 2 = 1 = P1 L2 = 1 – 3.(-1) = 1 + 3 = 4 = P2
Úkol: Řešte soustavu rovnic
3x + y - 9 = 0 x + 2y + 2 = 0
soustava nemá žádné řešení soustava má jediné řešení [-4; 3] soustava má jediné řešení [4; -3]
@142 zpět Správně
Determinanty 3 x 3 Definice: Determinantem 3.řádu rozumíme symbol
D
a b d e g h
c f , kde a,b,c,d,e,f,g,h,i R i
Hodnotou determinantu 3. řádu rozumíme číslo D = aei + bfg + cdh – ceg – bdi - afh Poznámka: Všimněte si, že číslo determinantu dostaneme součty rozdílů součinů čísel v hlavní diagonále a ve vedlejší diagonále a s nimi souběžných. Že tomu příliš nerozumíte? Obrázek vám to jistě osvětlí.
výpočet probíhá v šesti krocích – 1. krok
2. krok
3. krok
4.krok
5. krok
6. krok
Příklady:
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2
6 6 6 27 8 1
4 1 0 1 1 2
pokračování
18
0 ( 8 ) 1 0 ( 8 ) ( 3) 4
@144
Bohužel Pečlivě sestavte determinanty a bezchybně vypočítejte jejich hodnoty. znovu propočtěte
@147 zpět Správně A)
2x + 3y = 12 3x + 2z = 11 3y + 4z = 10
B)
3x + 4y = 10 2y + 3z = 11 3x + 2z = 12
Obě soustavy mají jediné řešení. Soustava A má za řešení uspořádanou trojici [3; 2; 1] a soustava B uspořádanou trojici [2; 1; 3]. Protože jde o uspořádané trojice, nemohou se řešení rovnat. Definice: Soustava n lineárních rovnic pro n neznámých se nazývá soustava lineárních rovnic n-tého řádu. Úkol: Jak byste provedli důkaz Cramerova pravidla pro soustavu lineárních rovnic druhého řádu? výsledek
@140 Bohužel
D
3 1 1 2
6 1 5 0 =>
znovu přepočítejte
existuje jediné řešení
@142a zpět Úkol: Zformulujte Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy tří lineárních rovnic pro tři neznámé. výsledek
@145 zpět Správně
1 2 1
D
1 2 3
5 7 15
Dx
1 2 5 1 2 3
10 2 6 2 10 6 0
1 2 5
D = 0 a zároveň
50 30 21 30 35 30 6
Dx = 6 ≠ 0
=> soustava nemá žádné řešení
Úkol: Řešte soustavy rovnic A)
2x + 3y = 12 3x + 2z = 11 3y + 4z = 10
B)
Obě soustavy rovnic mají stejné řešení? ano ne
3x + 4y = 10 2y + 3z = 11 3x + 2z = 12
@148 zpět Samozřejmě zkouškou. Dosadili bychom výsledky do původních rovnic a zjistili, zda skutečně řeší tyto rovnice. Poznámka: Řešit Cramerovým pravidlem soustavu lineárních rovnic n-tého řádu pro libovolné n přirozené je teoreticky možné po definování determinantů n-tého řádu. Praktické to však není a nepoužívá se to ani na počítačích. Po praktické stránce je nejlepší metoda řešení Gaussova eliminační, kterou provádíme ve formě matic.
KONEC LEKCE
