11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11
Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
(r·zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina£ní metoda, determinanty metody výpo£tu, Cramerovo pravidlo) Soustavy rovnic Ekvivalentní úpravy 1. Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy 2. Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjád°íme n¥kterou neznámou, do jiné rovnice 3. P°i£tení nenulového násobku rovnice k jiné rovnici nebo jejímu nenulovému násobku 4. Zám¥na po°adí rovnic 5. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy
Metody °e²ení 1. Dosazovací (substitu£ní) 2. S£ítací (aditivní) 3. Srovnávací 4. Gra cky
Soustava m rovnic o n neznámých m > n: Ze zadné soustavy vybereme n rovnic a tuto soustavu vy°e²íme. Ov¥°íme, zda toto °e²ení vyhovuje i v²em vynechaným rovnicím. m < n: Ozna£íme si (m − n) neznámých jako parametry a soustavu vy°e²íme v závislosti na nich.
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a11 x1 + a21 x1 + .. .
a12 x2 + a22 x2 + .. .
am1 x1 + am2 x2
a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 .. .. .. .. . . . . + am3 x3 + . . . + amn xn = bm
aij ∈ R; bi ∈ R Absolutní £leny; i = {1; 2; . . . ; m}; j = {1; 2; . . . ; n}
xj ∈ R Neznámé
1
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
b1 = b2 = . . . = bm = 0 homogenní soustava, má triviální °e²ení: x1 = . . . = xn = 0 alespo¬ jeden ze £len· bi 6= 0 nehomogenní soustava Soustavu °e²íme Gaussovou elimina£ní metodou nebo Cramerovým pravidlem (pokud m = n). Viz dále. Kaºdá n-tice [x1 ; x2 ; . . . ; xn ] reálných £ísel, která vyhovuje dané soustav¥, se nazývá partikulární °e²ení. V²echna partikulární °e²ení tvo°í tzv. obecné °e²ení.
Soustava nerovnic o jedné neznámé Nejd°íve vy°e²íme kaºdou nerovnici zvlá²´. Mnoºina v²ech °e²ení soustavy je pak pr·nik mnoºin v²ech °e²ení jednotlivých nerovnic.
Matice Matice je schéma, ve kterém je uspo°ádáno m × n reálných £ísel do m °ádk· a n sloupc·. Tato £ísla nazýváme prvky matice: aij (i °ádkový index; j sloupcový index). Matice ozna£ujeme velkými tiskacími písmeny. a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n A(m;n) = .. .. .. .. .. . . . . .
am1 am2 am3 . . . amn
Hlavní diagonála je tvo°ena prvky a11 , a22 , a33 , . . . , amn , musí platit m = n. Vedlej²í diagonála je opa£ná diagonála k hlavní diagonále. Bodová matice m = n = 1 ádková matice m = 1 Sloupcová matice n = 1 tvercová matice m = n. Determinant £tvercové matice A ozna£me |A|. Pokud je
|A| = 0 pak je tato matice singulární. Pokud |A| 6= 0, ozna£ujeme tuto matici jako regulární.
Nulová matice je taková matice, v²echny prvky jsou nulové. Jednotková matice je £tvercová matice, která má na hlavní diagonále jedni£ky a ostatní prvky jsou nuly.
2
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
Trojúhelníková matice má nad nebo pod hlavní diagonálou samé nuly. Transponovaná matice vznikne z p·vodní matice zám¥nou °ádk· a sloupc·. Inverzní matice je taková £tvercová matice A−1 , pro kterou platí A · A−1 = A−1 · A =
jednotková matice. Inverzní matici ur£íme tímto zp·sobem: P·vodní matici A upravíme na jednotkovou matici. Tyto úpravy provádíme na jednotkové matici stejného °ádu. Matice, která vznikne t¥mito úpravami je inverzní maticí A−1 k matici A.
Hodnost matice A ozna£ujeme h(A). Matice A má hodnost h, práv¥ tehdy kdyº z ní
lze vybrat determinant °ádu h, který je r·zný od nuly a v²echny determinanty vy²²ích °ád· jsou nulové. Hodnost matice m·ºeme ur£it tak, ºe matici upravíme na trojúhelníkový tvar a po£et nenulových °ádk· ur£ují hodnost matice. K úprav¥ matice na trojúhelníkový tvar m·ºeme pouºít tyto úpravy: zám¥na °ádk· za sloupce nebo °ádk· nebo sloupc· mezi sebou násobení °ádeku nebo sloupce nenulovým £íslem p°i£tení k libovolnému °ádku nebo sloupci lineární kombinací ostatních °ádk· nebo sloupc· vynechání °ádku nebo sloupce, který je lineární kombinací ostatních °ádk· nebo sloupc·
Operace s maticemi Rovnost matic: Dv¥ matice stejného typu se sob¥ rovnají, mají-li ma stejných místech stejné prvky. A = B ⇔ aij = bij S£ítání matic: Sou£et matic stejného typu je sou£et odpovídajících prvk·. Platí komutativní a asociativní zákon.
A + B = C ⇔ cij = aij + bij Násobení matice reálným £íslem: Násobení matice reálným £íslem je vynásobení v²ech prvk· matice tímto £íslem.
k · A = B ⇔ bij = k · aij Násobení matice maticí: Je-li první matice A typu (m, n) a druhá matice B typu (n, p), pak sou£inem t¥chto matic v tomto po°adí A · B je matice C typu (m, p), pro niº platí:
A · B = C ⇔ cik =
n X
aij · bjk
j=1
i = {1; 2; . . . ; m}; k = {1; 2; . . . ; p} 3
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
Gaussova elimina£ní metoda Pouºívá se k °e²ení soustavy lineárních rovnic o n neznámých. P°i °e²ení postupujeme takto: 1. Koe cienty rovnic zapí²eme do matice s roz²í°ením pravé strany tak, aby prvek a11 nebyl nulový. 2. Roz²í°enou matici dané soustavy transponujeme úpravami, které zachovávají její hodnost, na trojúhelníkovitý tvar. 3. Vypo£ítáme hodnost p·vodní a roz²í°ené matice a podle Frobenovy v¥ty ur£íme °e²itelnost soustavy: h = h0 = n ⇒ soustava má jedno °e²ení h = h0 < n ⇒ soustava má nekone£n¥ mnoho °e²ení, (n − h) neznámých p°evedeme na pravou stranu jako parametry h 6= h0 ⇒ soustava nemá °e²ení 4. P°epí²eme °ádky matice op¥t do rovnic a ur£íme ko°eny.
Determinanty Uspo°ádáme-li n2 reálných £ísel do £tvercového schématu o n °ádcích a n sloupcích, dostaneme determinant n-tého °ádu. Kaºdému takovému determinantu lze p°i°adit reálné £íslo, které nazýváme hodnotou tohoto determinantu.
Hodnota determinantu Determinant 1. °ádu:
a11 = a11
Determinant 2. °ádu: pomocí Sarrusova pravidla a11 a12 a21 a22 = a11 · a22 − a21 · a12 Determinant 3. °ádu: pomocí Sarrusova pravidla a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33
= a11 ·a22 ·a33 +a12 ·a23 ·a31 +a21 ·a32 ·a13 −a13 ·a22 ·a31 −a21 ·a12 ·a33 −a23 ·a32 ·a11 Determinanty jiného °ádu: úpravou na trojúhelníkový tvar. Na úpravu m·ºeme pouºít tyto metody: 4
11. Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
Hodnota determinantu se nezm¥ní zam¥níme-li i-tý °ádek za i-tý sloupec nebo naopak.
Zam¥níme-li v determinantu dv¥ rovnob¥ºné °ady (°ádek nebo sloupec), hodnota determinantu se zm¥ní v opa£nou
Vynásobíme-li prvky n¥které °ady reálným £íslem k, zm¥ní se jeho hodnota k -krát.
Hodnota determinantu se nezm¥ní, p°ipo£teme-li k n¥které jeho °ad¥ lineární kombinaci °ad s ní rovnob¥ºných.
Je-li v determinantu n¥která jeho °ada lineární kombinací °ad s ní rovnob¥ºných, je hodnota determinantu rovna nule.
Jsou-li prvky n¥které °ady rovny nule, je hodnota determinantu rovna nule. Pokud má determinant trojúhelníkový tvar, pak je jeho hodnota rovna sou£inu prvk· na hlavní diagonále.
Cramerovo pravidlo 1. Ur£íme hodnotu derminantu D sestaveného z koe cient· na levých stranách rovnic. 2. Ur£íme hodnoty derminant· Di sestavených z koe cient· na levých stranách rovnic. Vºdy i-tý sloupec nahradíme hodnotami na pravých stranách rovnic. 3. Spo£ítáme hodnoty prom¥nných následujícím zp·sobem: D = 0 ∧ Di = 0: Nekone£n¥ mnoho °e²ení D = 0 ∧ alespo¬ jeden z Di 6= 0: ádné °e²ení Dn D1 D2 ; ;...; D 6= 0: K = D D D
5
