Obsah Prˇedmluva
3
1 Matice 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . Soustavy linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice Elementa´rnı´ matice . . . . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
5 6 13 17 21 23 24
. . . . .
25 27 28 32 36 37
2 Vektory a vektorove´ prostory 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚ Sourˇadna´ soustava a ba´ze . . . . . . . . Skala´rnı´ soucˇin . . . . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3 Hodnost matice 3.1 3.2 3.3
39 Rˇa´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Determinanty 4.1 4.2 4.3 4.4
Definice a vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . Soustavy linea´rnı´ch rovnic s regula´rnı´ maticı´ Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
45 46 52 55 56
. . . .
57 57 60 61 62
5 Linea´rnı´ zobrazenı´ 5.1 5.2 5.3 5.4
Matice linea´rnı´ho zobrazenı´ Transformace sourˇadnic . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . 1
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Obsah
2
6 Charakteristicke´ vektory 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Podobne´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristicka´ cˇ´ısla, charakteristicke´ vektory Podobnost diagona´lnı´ matici . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
63 63 64 67 72 76
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
79 79 84 89 93 96 100
. . . . . .
103 103 106 108 115 117 119
. . . . . . .
121 121 123 125 127 133 140 143
. . . . . . . .
145 145 154 155 157 159 159 161 162
7 Jordanu˚v kanonicky´ tvar 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
Zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory Jordanova kanonicka´ ba´ze . . . . . Jordanova kanonicka´ matice . . . . Prˇ´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
8 Funkce matic 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
Maticove´ polynomy . . . . Minima´lnı´ polynom matice Funkce matic . . . . . . . Prˇ´ıklady . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
9 Matice specia´lnı´ch typu˚ 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
Ortogona´lnı´ matice . . . Symetricke´ matice . . . Pozitivneˇ definitnı´ matice Kvadraticke´ formy . . . SVD rozklad . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
10 Dodatky a aplikace 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
Soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic Loka´lnı´ extre´my funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch Kvadraticke´ krˇivky v rovineˇ . . . . . . . Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ . . . . . . . . Diskre´tnı´ Fourierova transformace . . . . Statistika S 2 . . . . . . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Seznam literatury
163
Rejstrˇ´ık
164
Neexistuje ani jedna oblast matematiky, a to at’ je jakkoliv abstraktnı´, ktera´ by se jednou nedala aplikovat na jevy rea´lne´ho sveˇta. Nikolaj Ivanovicˇ Lobacˇavskij (1793 – 1856)
Prˇedmluva Matice jsou u´cˇinny´m na´strojem v ˇradeˇ matematicky´ch i inzˇeny´rsky´ch disciplin. Vyuzˇitı´ saha´ od elementa´rnı´ch mozˇnostı´ vyuzˇ´ıvajı´cı´ch pouze eleganci za´pisu azˇ po proble´my hlubsˇ´ı povahy v matematicke´ analy´ze a statistice, teorii syste´mu˚ a ˇr´ızenı´ cˇi pocˇ´ıtacˇove´ grafice. Na Elektrotechnicke´ fakulteˇ CˇVUT se studenti seznamujı´ se za´klady maticove´ho pocˇtu hned v prvnı´m semestru a pro neˇktere´ specializace se znalosti rozsˇirˇujı´ v semestru sˇeste´m a v magisterske´ etapeˇ. Prˇedkla´dane´ skriptum je koncipova´no tak, aby cˇtena´rˇ dostal uceleny´ text o problematice maticove´ho pocˇtu od samotne´ho zacˇa´tku azˇ po pojem funkce matic a uka´zat neˇktere´ aplikace, zejme´na v matematicke´ analy´ze, geometrii, statistice a teorii ´ vod do algebry, tak i pro signa´lu˚ a syste´mu˚. Je tedy pouzˇitelne´ jako studijnı´ materia´l jak pro prˇedmeˇt U Matematiku 4C a prˇedmeˇty magisterske´ho bloku. Skriptum nabı´zı´ sezna´menı´ se za´kladnı´mi maticovy´mi operacemi, jejich vlastnostmi a souvislostmi s linea´rnı´mi a kvadraticky´mi transformacemi. Teˇzˇisˇteˇm vy´kladu jsou charakteristicke´ vektory matic a linea´rnı´ch zobrazenı´, jejich vlastnosti a souvislost s prˇevodem matice na Jordanu˚v kanonicky´ tvar. Od neˇj se pak odvozuje i obecna´ definice funkce matic. Vy´klad je doprova´zen ˇresˇeny´mi prˇ´ıklady a na za´veˇr kazˇde´ kapitoly je cˇtena´rˇi prˇedkla´da´na ˇrada u´loh na procvicˇenı´ vylozˇene´ la´tky. Jejich samostatne´ rˇesˇenı´ cˇtena´rˇi vrˇele doporucˇuji. Od cˇtena´ˇre se neprˇedpokla´dajı´ zˇa´dne´ prˇedbeˇzˇne´ znalosti z linea´rnı´ algebry; jistou vy´hodou jsou prˇedbeˇzˇne´ pocˇetnı´ zkusˇenosti s Gaussovou eliminacˇnı´ metodou. Poslednı´ kapitola prˇedpokla´da´ neˇktere´ znalosti z matematicke´ analy´zy a stastistiky. Deˇkuji recenzentu RNDr. Pavlu Vesele´mu za pecˇlive´ procˇtenı´ textu a cenne´ prˇipomı´nky, ktere´ pomohly k podstatne´mu zlepsˇenı´ skript. Za upozorneˇnı´ na mozˇnost vyuzˇ´ıt maticovy´ apara´t pro odvozenı´ rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnosti velicˇiny S 2 jsem vdeˇcˇny´ RNDr. Petru Olsˇa´kovi.
Praha, rˇ´ıjen 2005
Eduard Krajnı´k
3
Kapitola 1
Matice
Maticı´ A typu (m, n) rozumı´me soustavu mn cˇ´ısel usporˇa´dany´ch do m ˇra´dku˚ a n sloupcu˚: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . .. .. ; .. .. . . . am1 am2 . . . amn
(1.1)
aij nazy´va´me prvek matice na mı´steˇ (i, j ), tedy v i-te´m ˇra´dku a j -te´m sloupci. Mı´sto (1.1) pı´sˇeme take´ strucˇneˇ A = (aij ). Prvky matice jsou obvykle cˇ´ısla. Jsou-li vsˇechna rea´lna´, mluvı´me o rea´lne´ matici, jsou-li komplexnı´, mluvı´me o matici komplexnı´. Pokud nebude v dalsˇ´ım uvedeno jinak, budeme pracovat s komplexnı´mi maticemi a prˇ´ıvlastek komplexnı´ budeme vynecha´vat. Matice A = (aij ) a B = (bij ) se rovnajı´, jsou-li stejne´ho typu a na odpovı´dajı´cı´ch si mı´stech majı´ stejne´ prvky, t.j. aij = bij pro vsˇechna i, j. Matice o jedine´m rˇa´dku nebo jedine´m sloupci budeme take´ nazy´vat vektory (rˇa´dkove´ nebo sloupcove´). Pro oznacˇenı´ vektoru˚ budeme obvykle pouzˇ´ıvat pı´smena male´ abecedy a jejich prvky budeme indexovat jediny´m indexem, tedy naprˇ. a = (a1 , . . . , an ). Matici (libovolne´ho typu), jejı´zˇ vsˇechny prvky jsou rovny 0, budeme nazy´vat nulovou a znacˇit O. Pro nulovy´ vektor (rˇa´dkovy´ i sloupcovy´) budeme pouzˇ´ıvat symbol o. Je-li A matice typu (m, n), kde m = n, nazy´va´ se cˇtvercova´ n-te´ho rˇa´du. Hlavnı´ diagona´lou cˇtvercove´ matice A = (aij ) n-te´ho ˇra´du rozumı´me n-tici jejı´ch prvku˚ a11 , a22 , . . . , ann . Vy´znamnou roli mezi cˇtvercovy´mi maticemi majı´ matice troju´helnı´kove´ a diagona´lnı´. Cˇtvercova´ matice A = (aij ) n-te´ho rˇa´du se nazy´va´ hornı´ troju´helnı´kova´, je-li aij = 0 pro i > j, i, j = 1, . . . n, dolnı´ troju´helnı´kova´, je-li aij = 0 pro i < j, i, j = 1, . . . n a diagona´lnı´ , je-li aij = 0 pro i 6 = j, i, j = 1, . . . n. Diagona´lnı´ matice je tedy soucˇasneˇ hornı´ i dolnı´ troju´helnı´kova´. Naprˇ´ıklad matice 3 1 A= 0 4 je hornı´ troju´helnı´kova´,
je dolnı´ troju´helnı´kova´,
1 0 0 B= 4 7 0 0 3 2
5 0 0 D= 0 3 0 0 0 0 5
Kapitola 1
6
je diagona´lnı´. Pro diagona´lnı´ matici A s diagona´lnı´mi prvky a11 , a22 , . . . , ann zava´dı´me take´ oznacˇenı´ A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ). Diagona´lnı´ matice, jejı´zˇ diagona´lnı´ prvky jsou rovny 1, se nazy´va´ jednotkova´ a znacˇ´ı E. Diagona´lnı´ matice je zvla´sˇtnı´m prˇ´ıpadem matice blokoveˇ diagona´lnı´. Jsou-li A11 , A22 , . . . , Ann cˇtvercove´ matice (ne nutneˇ stejne´ho ˇra´du), pak matici A11 O12 . . . O1n O21 A22 . . . O2n A= . .. . . .. .. . . .
On1 On2 . . . Amn
nazy´va´me blokoveˇ diagona´lnı´. Zde Oij jsou nulove´ matice, jejichzˇ typ je urcˇen rˇa´dy matic Aii a Ajj . I pro blokoveˇ diagona´lnı´ matici A zavedeme zkra´ceny´ za´pis A = diag A11 , . . . Ann .
Nynı´ budeme definovat za´kladnı´ algebraicke´ operace s maticemi.
1.1 Operace s maticemi Definice. Jsou-li A = (aij ) a B = (bij ) matice te´hozˇ typu (m, n), definujeme jejich soucˇet A + B jako matici C = (cij ) typu (m, n), pro nı´zˇ cij = aij + bij ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Definice. Je-li A = (aij ) matice typu (m, n) a α libovolne´ komplexnı´ cˇ´ıslo, pak α-na´sobkem matice A nazy´va´me matici B = (bij ) typu (m, n), pro nı´zˇ bij = α aij ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Maticoveˇ zapisujeme B = α A, mı´sto (−1) A budeme psa´t −A a mı´sto A +(−B) budeme psa´t A − B. Prˇ´ıklad 1.1 Necht’
A= Pak
A+B=
2 −1 4 1 0 −3
5 1 2 1 −3 −2
a
B=
3 2 −2 0 −3 1
a 3A − 2B =
.
0 −7 16 3 6 −11
.
Scˇ´ıta´nı´, odcˇ´ıta´nı´ a skala´rnı´ na´sobek matic jsou tedy definova´ny „po jednotlivy´ch prvcı´ch“. Definice na´sobenı´ matic ma´ odlisˇny´ charakter. Definice. Je-li A = (aij ) matice typu (m, p) a B = (bij ) matice typu (p, n), pak definujeme jejich soucˇin A B jako matici C = (cij ) typu (m, n), pro nı´zˇ cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =
p X k=1
aik bkj ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
1.1. Operace s maticemi
7
B
b1j b2j b3j .. .
A
C = AB ai1 ai2 ai3 . . .
cij
C : cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · ·
Obr. 1.1 Na´sobenı´ matic. Vy´pocˇet soucˇinu matic A a B zna´zornˇuje obr. 1.1. Je z neˇj patrne´ a lze i forma´lneˇ uka´zat (veˇta 1.1), zˇe pro vy´pocˇet prvku˚ v k-te´m sloupci matice C = A B nepotrˇebujeme celou matici B, ale vystacˇ´ıme jen s jejı´m k-ty´m sloupcem. Veˇta 1.1 Necht’ A je matice typu (m, p) a B matice typu (p, n). Uvazˇujme sloupce matice B jako matice typu (p, 1) a oznacˇme je porˇadeˇ B1 , B2 , . . . , Bn . Oznacˇme da´le C = A B a sloupce matice C oznacˇme C1 , C2 , . . . , Cn jde o matice typu (m, 1) . Pak
Ck = A Bk ,
k = 1, . . . , n.
(1.2)
Du˚kaz. Necht’ A = (aij ), B = (bij ) a Cj = (cij ) pro prˇ´ıslusˇne´ indexy i, j. Pak jak (1.2), tak i vztah C = A B jsou ekvivalentnı´ pozˇadavku˚m cik =
p X
aij bj k ,
j =1
i = 1, . . . m, k = 1, . . . , n.
△
Z du˚kazu prˇedesˇle´ veˇty vyply´va´, zˇe platı´ i tvrzenı´ obra´cene´. Veˇta 1.2 Necht’ A je matice typu (m, p), necht’ B1 , B2 , . . . , Bn jsou matice typu (p, 1) a necht’ Ck = A Bk pro k = 1, . . . , n. Necht’ da´le B je matice, jejı´zˇ sloupce jsou B1 , B2 , . . . , Bn a C matice, jejı´zˇ sloupce jsou C1 , C2 , . . . , Cn . Pak C = A B. Vlastnosti scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ matic uvedeme ve dvou souhrnny´ch veˇta´ch. Jde vlastneˇ o rˇadu na sobeˇ neza´visly´ch tvrzenı´ se zcela odlisˇny´mi prˇedpoklady na typy jednotlivy´ch matic. Veˇty je tedy trˇeba cha´pat tak, zˇe v kazˇde´m tvrzenı´ prˇedpokla´da´me takove´ typy matic na leve´ straneˇ rovnosti, zˇe vsˇechny pouzˇite´ operace majı´ smysl. Veˇta 1.3 Pro matice A, B, C vhodne´ho typu platı´ (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C)
Kapitola 1
8 (c) (A + B) C = A C + B C (d) A (B + C) = A B + A C (e) (A B) C = A (B C)
Du˚kaz. Podle definice rovnosti matic je trˇeba proveˇˇrit, zˇe matice na obou strana´ch rovnostı´ jsou te´hozˇ typu a na odpovı´dajı´cı´ch pozicı´ch majı´ stejne´ prvky. To je v tvrzenı´ch (a) i (b) snadno viditelne´, nebot’ jde o du˚sledek analogicky´ch vlastnostı´ cˇ´ısel. Jsou-li v tvrzenı´ (c) matice A a B typu (m, p) a matice C typu (p, n), pak na obou strana´ch rovnosti jsou matice typu (m, n) a protozˇe p p p X X X bik ckj , aik ckj + (aik + bik ) ckj = k=1
k=1
k=1
jsou obeˇ strany totozˇne´. Tvrzenı´ (d) vyplyne analogicky. Pokud je v tvrzenı´ (e) matice A typu (m, p), B typu (p, r) a C typu (r, n), pak (AB) C i A (B C) jsou typu (m, n). Oveˇrˇenı´ rovnosti jejich odpovı´dajı´cı´ch prvku˚ p r X X l=1
k=1
aik bkl
!
clj
a
p X k=1
aik
r X
bkl clj
l=1
!
na pozici (i, j ) vyzˇaduje nejdrˇ´ıve „rozna´sobenı´ “ obou za´vorek (celkem 2pr na´sobenı´) a potom porovna´nı´ scˇ´ıtancu˚ se stejny´mi indexy. Viz naprˇ. [15]. △ Veˇta 1.4 Pro matice A, B vhodne´ho typu a libovolna´ cˇ´ısla α, β platı´ (a) α(β A) = (αβ)A (b) (α + β)A = α A + β A (c) α(A + B) = α A + α B (d) A(α B) = α(AB) = (α A)B Du˚kaz. Vsˇechny rovnosti jsou snadny´m du˚sledkem asociativnosti na´sobenı´ cˇ´ısel a distributivnosti cˇ´ıselne´ho na´sobenı´ vu˚cˇi scˇ´ıta´nı´. △ Z veˇty (1.3) vyply´va´, zˇe scˇ´ıta´nı´ matic, stejneˇ tak jako scˇ´ıta´nı´ cˇ´ısel, je komutativnı´ a asociativnı´ a take´ distributivnı´ vu˚cˇi maticove´mu na´sobenı´. Na´sobenı´ matic pak je na za´kladeˇ tvrzenı´ (e), rovneˇzˇ ve shodeˇ s na´sobenı´m cˇ´ısel, asociativnı´ operacı´. Prˇes tyto analogie vsˇak nelze u´plneˇ vsˇechny vlastnosti scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ cˇ´ısel prˇene´st do maticove´ho oboru. Na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad uka´zˇe, zˇe maticove´ na´sobenı´ nenı´ komutativnı´, tedy zˇe pro libovolne´ matice A, B nemusı´ platit AB = BA. To ostatneˇ nenı´ prˇ´ılisˇ prˇekvapive´, nebot’ existence soucˇinu AB nemusı´ ani zarucˇovat, zˇe soucˇin BA je definova´n. Je uzˇitecˇne´ si uveˇdomit, zˇe AB i BA budou mı´t smysl pra´veˇ tehdy, bude-li A typu (m, n) a B typu (n, m). Odtud je videˇt, zˇe oba soucˇiny povedou na matici te´hozˇ typu pra´veˇ tehdy, budou-li A a B cˇtvercove´ matice te´hozˇ rˇa´du. Ani v tomto prˇ´ıpadeˇ si vsˇak soucˇiny AB a BA nemusejı´ by´t rovny.
1.1. Operace s maticemi
9
Prˇ´ıklad 1.2 Necht’
A= Pak
AB =
2 −4 −3 6
0 0 0 0
,
a
B=
BA =
kdezˇto
2 4 1 2
.
−8 16 . −4 8
Prˇ´ıklad soucˇasneˇ ukazuje jinou vlastnost maticove´ho na´sobenı´, ktera´ nema´ analogii v na´sobenı´ cˇ´ısel: soucˇin dvou nenulovy´ch matic mu˚zˇe by´t matice nulova´. Take´ je trˇeba mı´t na pameˇti, zˇe v maticovy´ch rovnostech nelze kra´tit. Nenı´ totizˇ obecneˇ pravda, zˇe pokud pro matice A, B a C platı´ AC = BC, pak platı´ take´ A = B. Ukazuje to na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad. Prˇ´ıklad 1.3 Je-li
A=
1 −1 , 2 3
B=
2 1 1 1
pak
AC = BC =
a C=
6 −3 2 −1
4 −2 , −2 1
,
prˇestozˇe je ocˇividneˇ A 6 = B. Vzhledem k asociativnosti maticove´ho scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ nenı´ trˇeba prˇi soucˇtu ani prˇi soucˇinu trˇ´ı nebo vı´ce matic psa´t za´vorky. Distributivnı´ za´kon umozˇnˇuje nejen „rozna´sobovat za´vorky“, ale i „vyty´kat“. Je vsˇak trˇeba si uveˇdomit, zˇe vyty´ka´nı´ ma´ dvojı´ podobu: „prˇed“ za´vorku a „za“ za´vorku. Je zrˇejme´ zˇe soucˇin jake´koliv matice s maticı´ nulovou vhodne´ho typu je matice nulova´. Roli jednotky prˇi na´sobenı´ matic hraje jednotkova´ matice E. Platı´ Veˇta 1.5 Je-li A matice typu (m, n), Em jednotkova´ matice m-te´ho rˇa´du, En jednotkova´ matice n-te´ho rˇa´du, pak A En = Em A = A. Du˚kaz. Oznacˇ´ıme-li prvky jednotkove´ matice eij , pak eii = 1 a eij = 0 pro i 6 = j. Je tedy n X k=1
aik ekj = aij
a
m X k=1
eik akj = aij . △
Odtud jizˇ obeˇ rovnosti plynou. Matice B se nazy´va´ komutujı´cı´ (te´zˇ za´meˇnna´) s maticı´ A, jestlizˇe platı´
AB = BA. Je zrˇejme´, zˇe komutujı´cı´ matice mohou existovat pouze ke cˇtvercovy´m maticı´m. Prˇ´ıkladem komutujı´cı´ matice je jednotkova´ matice E. Ta komutuje s libovolnou cˇtvercovou maticı´ te´hozˇ rˇa´du. Na´sobı´me-li mezi sebou matice neˇktery´ch specia´lnı´ch typu˚, vy´pocˇet se cˇasto zjednodusˇ´ı. Tak naprˇ´ıklad soucˇinem diagona´lnı´ch matic stejne´ho ˇra´du je opeˇt matice diagona´lnı´ (viz cvicˇenı´ 1.2), soucˇinem hornı´ch (resp. dolnı´ch) troju´helnı´kovy´ch matic te´hozˇ typu je matice hornı´ (resp. dolnı´) troju´helnı´kova´ (cvicˇenı´ 1.4). Pro blokoveˇ diagona´lnı´ matice platı´
Kapitola 1
10
Veˇta 1.6 Necht’ A = diag(A1 , . . . , An ) a B = diag(B1 , . . . , Bn ) jsou blokoveˇ diagona´lnı´ matice a necht’ pro i = 1, . . . , n jsou Ai a Bi cˇtvercove´ matice stejne´ho rˇa´du. Pak matice AB je blokoveˇ diagona´lnı´ a platı´ AB = diag(A1 B1 , . . . , An Bn ). Du˚kaz. Prvek na pozici (i, j ) v matici AB je soucˇtem soucˇinu˚ prvku˚ i-te´ho rˇa´dku matice A a j -te´ho rˇa´dku matice B. Tyto soucˇiny budou nenulove´ pouze tehdy, budou li se oba cˇinitele´ nacha´zet ve shodneˇ umı´steˇny´ch diagona´lnı´ch blocı´ch. Odtud plyne, zˇe matice AB bude blokoveˇ diagona´lnı´ a zˇe jejı´ i-ty´ blok bude Ai Bi . △ Soucˇin A A je definova´n pro libovolnou cˇtvercovou matici A; v dalsˇ´ım jej budeme znacˇit A2 . Analogicky An bude znacˇit A A · · · A, celkem n-kra´t. Kromeˇ toho pro libovolnou cˇtvercovou matici A definujeme A0 = E. Da´le zavedeme pojem transponovane´ a symetricke´ matice. Definice. Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n). Matici B = (bij ) typu (n, m) nazy´va´me transponovanou k matici A, pokud bij = aj i ,
i = 1, . . . n, j = 1, . . . m.
Transponovanou matici k matici A budeme znacˇit AT . Matice A, pro kterou platı´ AT = A, se nazy´va´ symetricka´. Prˇ´ıklad 1.4 Je-li 1 0 A = 2 3 , 5 4
pak
AT =
1 2 5 , 0 3 4
2 −1 0 B = 3 −2 1 a C = 1 2 3 , −3 4 −4
2 3 −3 BT = −1 −2 4 a 0 1 −4
1 CT = 2 . 3
Operace transponova´nı´ a scˇ´ıta´nı´ jsou za´meˇnne´, pro libovolne´ matice A, B stejne´ho typu tedy platı´ (A + B)T = AT + BT , cozˇ je z definic obou operacı´ ihned videˇt. Take´ se snadno oveˇˇr´ı, zˇe
AT Pro na´sobenı´ pak platı´
T
= A.
Veˇta 1.7 Je-li A matice typu (m, p) a B matice typu (p, n), pak (AB)T = BT AT .
1.1. Operace s maticemi
11
Du˚kaz. Oznacˇ´ıme-li C = AB = (cij ) a D = BT AT = (dij ), pak CT i D jsou typu (n, m) a pro i = 1, . . . n a j = 1, . . . , m platı´ cj i =
p X k=1
aj k bki =
p X k=1
bki aj k = dij ,
tedy CT = D.
△
Z prˇ´ıkladu˚ 1.2 a 1.3 je take´ videˇt, zˇe nelze ocˇeka´vat, zˇe by bylo mozˇne´ rozumny´m zpu˚sobem definovat deˇlenı´ matic. S pojmem „deˇlenı´ matic“ se opravdu nesetka´me. Existuje vsˇak trˇ´ıda matic, pro nı´zˇ lze definovat operaci, ktera´ v jiste´m smyslu deˇlenı´ nahrazuje. Definice. Matici B nazy´va´me inverznı´ maticı´ k matici A, pokud
AB = BA = E.
(1.3)
Inverznı´ matici k matici A budeme znacˇit A−1 a matici, k nı´zˇ existuje inverznı´ matice budeme nazy´vat regula´rnı´. Cˇtvercove´ matice, ktere´ nejsou regula´rnı´, budeme nazy´vat singula´rnı´. Prˇ´ıklad 1.5 Matice E je regula´rnı´ a E−1 = E, nebot’ EE = E. Z rovnostı´ (1.3) vyply´va´, zˇe matice AB i BA musejı´ by´t stejne´ho typu a tedy regula´rnı´ matice A musı´ by´t cˇtvercova´ a k nı´ inverznı´ matice bude take´ cˇtvercova´ a stejne´ho rˇa´du jako A. Neznamena´ to vsˇak, zˇe inverznı´ matice existuje ke kazˇde´ cˇtvercove´ matici. Ihned je videˇt, zˇe nulova´ matice nenı´ regula´rnı´. Existujı´ vsˇak i nenulove´ cˇtvercove´ matice, ktere´ nejsou regula´rnı´. Prˇ´ıklad 1.6 Necht’
A= Kdyby matice
B=
byla inverznı´ k A, pak by
AB =
0 1 0 0
.
b11 b12 b21 b22
b21 b22 0 0
musela by´t rovna E, cozˇ vsˇak pro zˇa´dnou matici B nelze splnit. Matice A tedy nenı´ regula´rnı´. Ze vztahu (1.3) da´le vyply´va´, zˇe je-li matice B inverznı´ k matici A, pak matice A je inverznı´ k matici B. Platı´ tedy Veˇta 1.8 Pro libovolnou regula´rnı´ matici A je
A−1
−1
= A.
Krite´ria pro stanovenı´ regula´rnosti matice odvodı´me v na´sledujı´ch kapitola´ch. Jizˇ nynı´ vsˇak mu˚zˇeme uka´zat, zˇe za prˇedpokladu regula´rnosti matice A stacˇ´ı, aby inverznı´ matice splnˇovala pouze jednu ze dvou rovnostı´ (1.3).
Kapitola 1
12 Veˇta 1.9 Necht’ A je regula´rnı´ matice a necht’ pro matici X platı´ bud’
AX = E nebo
XA = E.
Pak X = A−1 . Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe pokud pro regula´rnı´ matici A splnˇuje matice X rovnici AX = E, pak splnˇuje take´ rovnici XA = E, cˇ´ımzˇ podle definice bude inverznı´ maticı´ k matici A. Platı´ XA = EXA = A−1 A XA = A−1 AX A = A−1 EA = A−1 A = E. △
Analogicky se oveˇrˇ´ı i alternativnı´ tvrzenı´.
Podobnou u´vahou doka´zˇeme, zˇe k zˇa´dne´ matici nemohou existovat dveˇ ru˚zne´ inverznı´ matice. Veˇta 1.10 Existuje-li k matici A inverznı´ matice, pak je urcˇena jednoznacˇneˇ. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe k matici A existujı´ matice B a C tak, zˇe platı´
AB = BA = E a
AC = CA = E.
Pak platı´
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C, △
tedy matice B a C jsou totozˇne´.
Veˇta 1.9 prˇeva´dı´ vy´pocˇet inverznı´ matice na ˇresˇenı´ maticove´ rovnice AX = E. Podle veˇt (1.1) a (1.2) mu˚zˇeme nezna´mou matici X pocˇ´ıtat postupneˇ po jednotlivy´ch sloupcı´ch. To znamena´, zˇe v prˇ´ıpadeˇ matice n-te´ho rˇa´du budeme mı´sto rovnice AX = E pro nezna´mou matici X o sloupcı´ch X1 , . . . , Xn rˇesˇit n-tici rovnic AXi = Ei , i = 1, . . . , n, pro nezna´me´ vektory Xi , kde Ei jsou sloupce matice E. Vhodnou metodu rˇesˇenı´ popı´sˇeme v na´sledujı´cı´m odstavci. Vztah maticove´ inverze k operacı´m transpozice a soucˇinu vyjadrˇujı´ na´sledujı´cı´ dveˇ veˇty. Veˇta 1.11 Je-li A regula´rnı´ matice, pak AT je take´ regula´rnı´ a platı´ −1 T AT = A−1 . Du˚kaz. Tvrzenı´ plyne z rovnostı´
T T AT A−1 = A−1 A = ET = E a T T A−1 AT = AA−1 = ET = E.
V obou rovnostech jsme prˇi u´prava´ch pouzˇili veˇtu 1.7 o transpozici maticove´ho soucˇinu.
△
Veˇta 1.12 Necht’ A, B jsou regula´rnı´ matice te´hozˇ rˇa´du. Pak AB i BA jsou take´ regula´rnı´ a platı´ (AB)−1 = B−1 A−1
a (BA)−1 = A−1 B−1 .
Du˚kaz. Protozˇe AB B−1 A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1 = AA−1 = E a B−1 A−1 AB = B−1 A−1 A B = B−1 EB = B−1B = E,
jsou matice AB a B−1 A−1 navza´jem inverznı´. Analogicky se doka´zˇe, zˇe i matice BA a A−1 B−1 jsou navza´jem inverznı´. △
1.2. Soustavy linea´rnı´ch rovnic
13
1.2 Soustavy linea´rnı´ch rovnic Jedno z nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch vyuzˇitı´ matic nacha´zı´me prˇi popisu a ˇresˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic. Soustavou linea´rnı´ch rovnic rozumı´me m-tici rovnic tvaru a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .
(1.4)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm . Oznacˇ´ıme-li
A=
a11 a21 .. . am1
a12 · · · a1n a22 · · · a2n .. . . . . .. . am2 · · · amn
pak mı´sto (1.4) mu˚zˇeme psa´t strucˇneˇji
,
x=
x1 x2 .. . xn
a b=
b1 b2 .. . bm
,
Ax = b. Matici A nazy´va´me maticı´ soustavy (1.4), vektor b vektorem pravy´ch stran. Rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy (1.4) pak rozumı´me matici A, ktera´ vznikne prˇida´nı´m vektoru b pravy´ch stran jako (n + 1)-ho sloupce k matici A : a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 (1.5) A= . .. . . .. .. . . . am1 am2 · · · amn bm
Je-li vektor pravy´ch stran b nulovy´, nazy´va´me soustavu homogennı´. Nejcˇasteˇji pouzˇ´ıvanou metodou ˇresˇenı´ soustavy (1.4) je Gaussova eliminacˇnı´ metoda. Spocˇ´ıva´ v prˇevodu dane´ soustavy na soustavu, jejı´zˇ mnozˇina ˇresˇenı´ je totozˇna´ s mnozˇinou rˇesˇenı´ soustavy pu˚vodnı´ a ktera´ ma´ tvar ′ ′ ′ ′ xn = b1′ x3 + · · · + a1n x2 + a13 x1 + a12 a11
′ ′ ′ xn = b2′ x3 + · · · + a2n x2 + a23 a22 ′ x3 a33
+ ··· +
′ xn a3n
= .. .
(1.6)
b3′
V soustaveˇ (1.6) nemusı´ by´t vsˇechny koeficienty aii′ nutneˇ ru˚zne´ od nuly. Platı´ vsˇak, zˇe pokud jsou v i-te´ rovnici koeficienty aii , ai,i+1 , . . . , aik rovny nule pro k > i, pak i ve vsˇech na´sledujı´cı´ch rovnicı´ch jsou nulove´ koeficienty aj,i+1 , . . . , aj k (j > i). Pro u´pravu soustavy (1.4) na tvar (1.6) mu˚zˇeme pouzˇ´ıt ktere´koliv z na´sledujı´cı´ch operacı´: • K jedne´ rovnici prˇicˇteme jaky´koliv na´sobek jine´ rovnice. • Zmeˇnı´me porˇadı´ rovnic. • Kteroukoliv rovnici vyna´sobı´me nenulovy´m cˇ´ıslem.
Kapitola 1
14
Tyto operace budeme souhrnneˇ nazy´vat elementa´rnı´. Jak vyplyne z veˇty 1.14, jejich pouzˇitı´ nemeˇnı´ rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ soustavy. Upravena´ soustava (1.6) prˇitom umozˇnˇuje snadny´ vy´pocˇet nezna´my´ch pocˇ´ınaje poslednı´ rovnicı´ a na´sledujı´cı´m postupny´m dosazova´nı´m do rovnic prˇedcha´zejı´cı´ch. Strategie volby elementa´rnı´ch operacı´ prˇi u´praveˇ soustavy (1.4) na tvar (1.6) za´visı´ na ˇradeˇ faktoru˚ a v tomto textu se jı´ nebudeme zaby´vat. Podrobnosti lze nale´zt naprˇ´ıklad v [4] nebo [5]. Protozˇe soustava (1.4) je jednoznacˇneˇ charakterizova´na svou rozsˇ´ıˇrenou maticı´ (1.5), je vhodne´ elementa´rnı´ operace prova´deˇt s rˇa´dky te´to matice a teprve v za´veˇru prˇejı´t opeˇt k za´pisu ve tvaru rovnic. Mozˇny´ postup uka´zˇeme na konkre´tnı´m prˇ´ıkladeˇ. V neˇm ri znacˇ´ı i-ty´ ˇra´dek prˇ´ıslusˇne´ rozsˇ´ıˇrene´ matice. Prˇ´ıklad 1.7 Vypocˇteˇte vsˇechna ˇresˇenı´ soustavy x1 + x2 −2x3 − x4 + x5 =−2 2x1 +4x2 −3x3 − x4 + x5 =−6 −3x1 + x2 +7x3 +3x4 −3x5 = 0 3x1 + x2 −5x3 − x4 +3x5 = 0
1 2 −3 3
1 −2 −1 1 −2 r1 1 1 −2 −1 1 −2 4 −3 −1 1 −6 r2 := r2 − 2r1 ⇒ 0 2 1 1 −1 −2 0 1 7 3 −3 0 4 1 0 0 −6 r3 := r3 + 3r1 1 −5 −1 3 0 −2 1 2 0 0 6 r4 := r4 − 3r1
1 0 ⇒ 0 0
r1 1 0 r 2 ⇒ 0 r 3 r4 := r4 + 2r3 0
1 −2 −1 1 −2 2 1 1 −1 −2 0 −1 −2 2 −2 4 0 2 3 −1
Poslednı´ matice odpovı´da´ soustaveˇ
r1 r2 r3 := r3 − 2r2 ⇒ r4 := r4 + 1r2
1 −2 −1 1 −2 2 1 1 −1 −2 0 −1 −2 2 −2 0 0 0 −1 3
x1 + x2 −2x3 − x4 + x5 =−2 2x2 + x3 + x4 − x5 =−2 x3 +2x4 −2x5 = 2 − x4 +3x5 = 0 V poslednı´ rovnici mu˚zˇe by´t nezna´ma´ x5 zvolena zcela libovolneˇ: x5 = t, t ∈ R. Pro x4 pak z te´to rovnice vycha´zı´ x4 = 3t. Dosadı´me x4 a x5 do prˇedposlednı´ rovnice a vypocˇteme x3 : x3 = 2 − 4t. Z druhe´ rovnice pak dostaneme x2 = −2 + 4t a z prvnı´ x1 = 2 − 3t. Celkem tedy
x=
2 − 3t −2 + t 2 − 4t 3t t
t ∈ R.
1.2. Soustavy linea´rnı´ch rovnic
15
V dalsˇ´ım prˇ´ıkladu uvedeme vy´sledek pro homogennı´ soustavu rovnic, na neˇjzˇ se pozdeˇji budeme cˇasto odvola´vat. Prˇ´ıklad 1.8 Uvazˇujme soustavu a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, kde m < n. Po u´praveˇ do tvaru (1.6) bude mozˇne´ v poslednı´ rovnici zvolit nejme´neˇ jednu nezna´mou zcela libovolneˇ. Soustava tak kromeˇ na prvnı´ pohled zrˇejme´ho nulove´ho rˇesˇenı´ ma´ jesˇteˇ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´ nenulovy´ch. Protozˇe jednotlive´ kroky Gaussovy eliminace pro ˇresˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic budeme vy´hradneˇ zapisovat pomocı´ rozsˇ´ırˇene´ matice soustavy, bude u´cˇelne´ zave´st pojem elementa´rnı´ operace i pro matice. Zı´ska´me tı´m i u´cˇinny´ na´stroj pro zkouma´nı´ dalsˇ´ıch vlastnostı´ matic. Definice. Elementa´rnı´ rˇa´dkovou operacı´ v matici A nazy´va´me kteroukoliv z na´sledujı´cı´ch operacı´: • K jednomu rˇa´dku matice A prˇicˇteme jaky´koliv na´sobek ˇra´dku jine´ho. • V matici A prohodı´me dva jejı´ ˇra´dky. • Jaky´koliv rˇa´dek matice A vyna´sobı´me nenulovy´m cˇ´ıslem. Analogicky definujeme i elementa´rnı´ sloupcove´ operace. Matici B nazveme rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s maticı´ A a znacˇ´ıme A ∼ B , jestlizˇe B vznikla z A pouzˇitı´m konecˇneˇ mnoha elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch operacı´. Te´meˇrˇ samozrˇejme´ je pak na´sledujı´cı´ tvrzenı´. Veˇta 1.13 Je-li matice A rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s maticı´ B, pak B je rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s A. Du˚kaz. Veˇtu stacˇ´ı doka´zat pro kazˇdou ze trˇ´ı elementa´rnı´ch operacı´ samostatneˇ. (a) Pokud matice B vznikla z A prˇicˇtenı´m α-na´sobku j -te´ho ˇra´dku k i-te´mu, A dostaneme z B odecˇtenı´m α-na´sobku j -te´ho ˇra´dku od ˇra´dku i-te´ho. (b) Pokud matice B vznikla z A vy´meˇnou j -te´ho ˇra´dku s i-ty´m, pak i B vznikne z A vy´meˇnou j -te´ho rˇa´dku s i-ty´m. (c) Pokud matice B vznikla z A vyna´sobenı´m j -te´ho ˇra´dku nenulovy´m cˇ´ıslem α, pak B vznikne z A vyna´sobenı´m j -te´ho rˇa´dku cˇ´ıslem 1/α. △ Prˇ´ımy´m du˚sledkem pra´veˇ doka´zane´ veˇty je na´sledujı´cı´ tvrzenı´, ktere´ zarucˇuje, zˇe pouzˇitı´m Gaussovy eliminacˇnı´ metody se rˇesˇenı´ soustavy nezmeˇnı´. Veˇta 1.14 Necht’ A a B jsou rozsˇ´ırˇene´ matice dvou soustav linea´rnı´ch rovnic a necht’ matice A a B jsou rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´. Pak obeˇ soustavy majı´ stejnou mnozˇinu rˇesˇenı´.
Kapitola 1
16
Du˚kaz. Z definice elementa´rnı´ch operacı´ vyply´va´, zˇe kazˇde´ ˇresˇenı´ „pu˚vodnı´“ soustavy je i rˇesˇenı´m soustavy vznikle´ aplikacı´ ktere´koliv elementa´rnı´ operace. Prˇedcha´zejı´cı´ veˇta pak zajisˇt’ uje, zˇe take´ kazˇde´ rˇesˇenı´ „upravene´“ soustavy je ˇresˇenı´m soustavy pu˚vodnı´. Obeˇ soustavy tak majı´ stejnou mnozˇinu rˇesˇenı´. △ Samostatnou zmı´nku zasluhujı´ soustavy, jejichzˇ matice je cˇtvercova´. Podle nı´zˇe uvedene´ho sche´matu (v neˇm × znacˇ´ı libovolne´ cˇ´ıslo – mu˚zˇe by´t i 0 ) lze elementa´rnı´mi ˇra´dkovy´mi u´pravami kazˇdou cˇtvercovou matici prˇeve´st na matici hornı´ troju´helnı´kovou. × × × × .. . ×
× × × × .. . ×
× × × × .. . ×
× × × × .. . ×
··· ··· ··· ··· .. . ···
× × × × .. . ×
∼
× 0 0 0 .. . 0
× × × × .. . ×
× × × × .. . ×
× × × × .. . ×
··· ··· ··· ··· .. . ···
× × × × .. . ×
∼
× × × × ··· × 0 × × × ··· × 0 0 × × ··· × 0 0 × × ··· × .. .. .. .. . . . . .. . . . . 0 0 × × ··· ×
∼
× × × × ··· × × × × × ··· × 0 × × × ··· × 0 × × × ··· × 0 0 × × ··· × 0 0 × × ··· × ∼ 0 0 0 × ··· × ∼ ··· ∼ 0 0 0 × ··· × (1.7) .. .. .. .. . . . .. .. .. .. . . . . .. . .. . . . . . . . . 0 0 0 × ··· × 0 0 0 0 ··· × Budeme-li nynı´ navı´c prˇedpokla´dat, zˇe v poslednı´ matici jsou vsˇechny diagona´lnı´ prvky nenulove´, mu˚zˇeme dalsˇ´ımi elementa´rnı´mi ˇra´dkovy´mi operacemi, tentokra´t prova´deˇny´mi od poslednı´ho rˇa´dku „smeˇrem nahoru“, matici prˇeve´st azˇ na jednotkovou. Sche´maticky lze postup zna´zornit takto: × × ··· × × 1 × ··· × × 1 × ··· × 0 1 × ··· 0 0 0 × ··· × × 0 1 ··· × × 0 1 ··· × 0 0 1 ··· 0 0 .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. . . . . .. .. . . . ∼ . . . . . ∼ . . . . . ∼ .. .. . . . ∼ · · · ∼ E. . . 0 0 ··· × × 0 0 ··· 1 × 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 0 × 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 1 Uvedeny´ postup se nazy´va´ Gaussova–Jordanova eliminace. Na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad ukazuje konkre´tnı´ vy´pocˇet. Prˇ´ıklad 1.9 Rˇesˇme soustavu Ax = b, 0 2 A = 3 −1 1 −1
kde 1 2 , 1
2 x1 b = −3 a x = x2 . −3 x3
Rˇesˇenı´. Jednotlive´ kroky Gaussovy–Jordanovy eliminace jsou 1 −1 1 −3 1 −1 1 −3 1 −1 1 −3 2 0 2 1 3 −1 2 −3 ∼ 0 2 1 2∼0 2 1 2∼0 2 1 2∼ 6 4 1 −1 1 −3 3 −1 2 −3 0 2 −1 0 0 −2
1 −1 ∼0 2 0 0
1 −3 1 −1 2∼0 2 1 1 −2 0 0
0 −1 1 −1 4∼0 1 0 1 −2 0 0
0 −1 1 0 0 1 2∼ 0 1 0 2 . 0 1 −2 0 0 1 −2
1.3. Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice Soustava ma´ tedy rˇesˇenı´
17
1 x = 2 . −2
Ve veˇteˇ 1.20 na straneˇ 22 uka´zˇeme, zˇe Gaussova–Jordanova eliminace je mozˇna´ pra´veˇ tehdy, je-li vy´chozı´ matice regula´rnı´. Jizˇ nynı´ mu˚zˇeme doka´zat na´sledujı´cı´ krite´rium o vlastnostech rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic a pomocı´ neˇj pak du˚lezˇite´ krite´rium regula´rnosti matice. Veˇta 1.15 Soustava Ax = o se cˇtvercovou maticı´ A ma´ pouze nulove´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, je-li matice A rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s troju´helnı´kovou maticı´ s nenulovy´mi diagona´lnı´mi prvky. Du˚kaz. Podle (1.7) je matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ jiste´ troju´helnı´kove´ matici T = (tij ) n -te´ho rˇa´du. Jsou-li vsˇechny jejı´ diagona´lnı´ prvky nenulove´, pak Gaussova–Jordanova eliminace da´va´ jedine´ rˇesˇenı´, a to x = o. Pokud vsˇak pro neˇjake´ k je tkk = 0, pak v ekvivalentnı´ soustaveˇ Tx = o poslednı´ch n − k rovnic splnı´me volbou xn−k = 0, . . . , xn = 0 a tyto hodnoty pak dosadı´me do prvnı´ch k rovnic. Vznikne tak homogennı´ soustava s k − 1 nezna´my´mi, ktera´ ma´ podle prˇ´ıkladu 1.8 nenulove´ rˇesˇenı´. △ Veˇta 1.16 Kazˇda´ regula´rnı´ matice je rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Du˚kaz. Je-li A regula´rnı´ matice, pak po vyna´sobenı´ obou stran rovnice Ax = o maticı´ A−1 zleva dostaneme ekvivalentnı´ vztah x = o, tedy pro regula´rnı´ matice A ma´ soustava Ax = o pouze nulove´ rˇesˇenı´. Podle prˇedesˇle´ veˇty odtud plyne, zˇe A je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. △
1.3 Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice Algoritmus Gaussovy eliminace je ve spojenı´ s veˇtami 1.1 a 1.2 rozsˇirˇitelny´ i na maticove´ rovnice typu AX = B, kde X je matice o vı´ce sloupcı´ch. Jsou-li totizˇ X1 , . . . Xn sloupce matice X a B1 , . . . , Bn sloupce matice B, pak podle uvedeny´ch veˇt je rovnice AX = B ekvivalentnı´ n-tici rovnic AX1 = B1 , . . . , AXn = Bn . V kazˇde´ z teˇchto rovnic je nezna´mou vektor, jde tedy o soustavy tvaru (1.4), ktere´ mu˚zˇeme rˇesˇit Gaussovou eliminacˇnı´ metodou. Vzhledem k tomu, zˇe vsˇechny soustavy budou mı´t touzˇ matici soustavy A a jejich rozsˇ´ıˇrene´ matice se budou lisˇit pouze v poslednı´m sloupci, lze je upravovat spolecˇneˇ. Spolecˇnou matici vsˇech soustav A rozsˇ´ıˇr´ıme najednou o vsˇechny prave´ strany B1 , . . . , Bn , tedy o matici B a zjednodusˇ´ıme pomocı´ vhodny´ch elementa´rnı´ch operacı´. Prˇ´ıklad 1.10 Rˇesˇte maticovou rovnici AX = B, kde 1 2 4 −1 0 A = 2 −1 3 a B = −2 −5 −1 3 1 1 5
4 3 . 1
Rˇesˇenı´. Matice X = (xij ) bude typu (3, 3); oznacˇ´ıme-li jejı´ sloupce X1 , X2 , X3 , pak rovnice AX = B je ekvivalentnı´ trojici rovnic
AX1 = B1 ,
AX2 = B2 ,
AX3 = B3 ,
Kapitola 1
18
kde B1 , B2 , B3 jsou sloupce matice B. Gaussovu eliminacˇnı´ metodu pouzˇijeme na spolecˇnou rozsˇ´ırˇenou matici teˇchto trˇ´ı rovnic: 1 2 4 −1 0 4 1 2 4 −1 0 4 1 2 4 −1 0 4 2 −1 3 −2 −5 3 ∼ 0 −5 −5 0 −5 −5 ∼ 0 1 1 0 1 1 1 5 1 0 5 5 0 0 0 −1 3 1 0 5 5 0 0 0 Pro sloupec X1 = (x11 , x21 , x31 )T tedy platı´ x11 + 2x21 + 4x31 = −1 x21 + x31 = 0 Odtud vypocˇteme
−1 − 2p , −p X1 = p
p ∈ R.
Pro sloupec X2 = (x12 , x22 , x32 )T platı´
x12 + 2x22 + 4x32 = 0 x22 + x32 = 1, odkud
−2 − 2q X2 = 1 − q , q
q ∈ R.
Pro sloupec X3 = (x13 , x23 , x33 )T platı´
x13 + 2x23 + 4x33 = 4 x23 + x33 = 1, odkud
Celkem
2 − 2r X3 = 1 − r , r
r ∈ R.
−1 − 2p −2 − 2q 2 − 2r −p 1−q 1 − r , X= p q r
p, q, r ∈ R.
Rˇesˇenı´ rovnice AX = B se vy´razneˇ zjednodusˇ´ı, je-li matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Pro rozsˇ´ırˇenou matici (A | B) pak dostaneme (A | B) ∼ (E | C), cozˇ na za´kladeˇ veˇty 1.14 znamena´, zˇe pu˚vodnı´ rovnice AX = B je ekvivalentnı´ s rovnicı´ EX = C a tedy ma´ rˇesˇenı´ X = C. Vypocˇteme je Gaussovou–Jordanovou eliminacı´, anizˇ bychom museli oddeˇleneˇ ˇresˇit rovnice pro jednotlive´ sloupce matice X.
1.3. Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice
19
Prˇ´ıklad 1.11 Rˇesˇte maticovou rovnici AX = B, kde 2 −1 1 −1 −6 4 A = 1 2 −3 a B = 1 1 −2 . 3 0 −2 −2 −8 5 Rˇesˇenı´. Jednotlive´ kroky Gaussovy–Jordanovy eliminace pro rozsˇ´ıˇrenou matici (A | B) ukazuje na´sledujı´cı´ vy´pocˇet. 1 2 −3 1 1 −2 2 −1 1 −1 −6 4 1 1 −2 ∼ 0 −5 7 −3 −8 8 ∼ (A | B) = 1 2 −3 3 0 −2 −2 −8 5 0 −6 7 −5 −11 11
1 1 2 −3 1 1 −2 ∼0 1 0 2 3 −3 ∼ 0 0 −5 7 −3 −8 8 0
1 ∼0 0 Je tedy
2 1 0
2 −3 1 0 0 7 0 0 1
1 2 7
1 1 −2 3 −3 ∼ 0 7 −7 0
1 4 −5 3 −3 ∼ 0 1 −1 0
4 2 1
0 1 0
2 −3 1 0 0 1 0 0 1
1 2 1
1 −2 3 −3 ∼ 1 −1
0 −2 1 2 3 −3 = (E|X). 1 1 −1
0 −2 1 3 −3 . X= 2 1 1 −1
Podle veˇty 1.9 je inverznı´ matice k regula´rnı´ matici A ˇresˇenı´m rovnice AX = E. Ve spojenı´ s veˇtou 1.20, podle ktere´ kazˇda´ matice ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ je regula´rnı´, tak zı´ska´va´me u´cˇinny´ zpu˚sob vy´pocˇtu inverznı´ matice: pomocı´ Gassovy–Jordanovy eliminace vyrˇesˇ´ıme maticovou rovnici AX = E. Prˇ´ıklad 1.12 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici
2 A=1 6
1 1 1 −1 . 4 1
Rˇesˇenı´. Rˇesˇme nejdrˇ´ıve rovnici AX = E :
2 1 6
1 1 1 −1 4 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0 ∼ 2 1 6
1 1 −1 0 1 0 −1 3 1 −2 0 0 1 −2 −2
1 −1 1 1 4 1
1 1 0 0 ∼ 0 −1 1 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 −1 0 0 ∼ 0 −1 3 1 0 −2 7
0 −2 −1 1 1 7 4 −3 ∼ 0 0 1 −2 −2 1 0
0 1 1 −2 0 −6 0 1 0
0 0∼ 1
0 5 3 −2 0 −7 −4 3 . 1 −2 −2 1
Kapitola 1
20 Odtud
5 3 −2 3 . X = −7 −4 −2 −2 1
Protozˇe po vyna´sobenı´ vycha´zı´ XA = E, je
A−1
5 3 −2 = −7 −4 3 . −2 −2 1
Dodejme, zˇe podle veˇt 1.9 a 1.20, kterou doka´zˇeme na straneˇ 22, nenı´ kontrola soucˇinu XA trˇeba. Uvedena´ metoda rˇesˇenı´ maticovy´ch rovnic tvaru AX = B se neda´ prˇ´ımo pouzˇ´ıt na rovnice, kde nezna´ma´ matice X je zna´mou maticı´ na´sobena z opacˇne´ strany, tedy na rovnice typu XA = B. Veˇty 1.1 a 1.2, na nichzˇ byl vy´pocˇet zalozˇen, totizˇ neumozˇnˇujı´ rozlozˇit soucˇin XA na jednotlive´ sloupce matice X a rozklad na sloupce matice A nema´ pro ˇresˇenı´ zˇa´dny´ vy´znam. Stacˇ´ı vsˇak prˇejı´t k rovnosti trasponovany´ch matic na obou strana´ch a pouzˇ´ıt veˇtu 1.7; rovnice pak prˇejde do tvaru AT XT = BT , na kterou jizˇ lze metodu zalozˇenou na ˇra´dkovy´ch u´prava´ch rozsˇ´ıˇrene´ matice (AT | BT ) pouzˇ´ıt. Vypocˇteme tak matici XT , z nı´zˇ po transpozici zı´ska´me X. Prˇ´ıklad 1.13 Rˇesˇte rovnici XA = B, kde 3 −2 A= −1 2
a B=
2 0 5 −2
.
Rˇesˇenı´. „Transponovana´“ rovnice AT XT = BT ma´ rozsˇ´ıˇrenou matici T
T
(A | B ) =
3 −1 2 5 −2 2 0 −2
,
pro nı´zˇ postupneˇ dosta´va´me
5 3 −1 2 −2 2 0 −2
∼
3 −1 2 5 0 4 4 4
Je tedy
X=
∼
1 1 2 1
3 0 3 6 0 1 1 1
∼
1 0 1 2 0 1 1 1
.
.
Na uvedene´ dva typy maticovy´ch rovnic lze pak u´pravami, zalozˇeny´mi na vztazı´ch z veˇt 1.3 a 1.4, prˇeve´st celou rˇadu dalsˇ´ıch maticovy´ch rovnic. Postup ilustrujeme prˇ´ıkladem. Prˇ´ıklad 1.14 Rˇesˇte maticovou rovnici 2 AX − B = A + X, kde 2 −2 1 −5 A= 1 1 1 a B= 0 1 0 0 2
4 −1 4 −6 . 4 2
1.4. Elementa´rnı´ matice
21
Rˇesˇenı´. Rovnici upravı´me na tvar 2 AX − X = A + B, odkud vytknutı´m dostaneme (2 A − E)X = A + B. Vzniklou rovnici lze po vy´pocˇtu matic 2 A − E a A + B ˇresˇit Gaussovou–Jordanovou eliminacı´: 3 −4 2 −3 2 0 2A − E = 2 1 2 , A+B= 1 5 −5 ; 2 0 −1 3 4 2 3 4 2 1 2 0 2 0 −1 1 0 0 3 −4 2 −3 2 0 2 1 2 1 5 −5 ∼ 0 1 3 −2 1 −7 ∼ 0 1 0 1 1 −1 . 2 0 −1 0 0 31 −31 0 −62 0 0 1 −1 0 −2 3 4 2 Je tedy
1 X= 1 −1
2 0 1 −1 . 0 −2
1.4 Elementa´rnı´ matice Elementa´rnı´ operace byly pu˚vodneˇ zavedeny jako pocˇetnı´ prostrˇedek pro zjednodusˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic a pak rozsˇ´ırˇeny i na matice. Nynı´ uvidı´me, zˇe kazˇdou ze trˇ´ı elementa´rnı´ch operacı´ bude mozˇne´ ekvivalentneˇ nahradit na´sobenı´m vhodneˇ zvolenou maticı´. Definice. Matici L nazy´va´me elementa´rnı´, jestlizˇe vznikla neˇjakou elementa´rnı´ operacı´ z jednotkove´ matice. Podobneˇ jako elementa´rnı´ operace je mozˇne´ i elementa´rnı´ matice rozdeˇlit na rˇa´dkove´ a sloupcove´. Prˇi rˇesˇenı´ maticovy´ch rovnic obvykle vystacˇ´ıme s ˇra´dkovy´mi u´pravami a tedy i s rˇa´dkovy´mi elementa´rnı´mi maticemi. Prˇ´ıvlastek rˇa´dkova´ budeme proto v teˇchto situacı´ch vynecha´vat. Veˇta 1.17 Necht’ L1 je elementa´rnı´ matice m-te´ho rˇa´du, ktera´ vznikla elementa´rnı´ rˇa´dkovou operacı´ O1 , necht’ L2 je elementa´rnı´ matice n-te´ho rˇa´du, ktera´ vznikla elementa´rnı´ sloupcovou operacı´ O2 a necht’ A je matice typu (m, n). Pak L1 A je matice, ktera´ vznikne z matice A rˇa´dkovou operacı´ O1 a AL2 je matice, ktera´ vznikne z matice A sloupcovou operacı´ O2 . Kazˇdou elementa´rnı´ rˇa´dkovou operaci lze tedy ekvivalentneˇ nahradit vyna´sobenı´m odpovı´dajı´cı´ elementa´rnı´ maticı´ zleva a kazˇdou elementa´rnı´ sloupcovou operaci lze ekvivalentneˇ nahradit vyna´sobenı´m odpovı´dajı´cı´ elementa´rnı´ maticı´ zprava. Du˚kaz. Stacˇ´ı pouze vypocˇ´ıst soucˇiny L1 A a AL2 pro jednotlive´ elementa´rnı´ matice. Tento snadny´ u´kon prˇenecha´va´me cˇtena´rˇi. △ Prˇ´ıklad 1.15
1 0 0 L1 = 2 1 0 , 0 0 1
0 1 0 L2 = 1 0 0 , 0 0 1
1 0 0 L3 = 0 1 0 0 0 4
1 0 0 a L4 = 0 1 3 0 0 1
jsou prˇ´ıklady elementa´rnı´ch matic trˇetı´ho ˇra´du. Matice L1 reprezentuje prˇicˇtenı´ dvojna´sobku prvnı´ho rˇa´dku ke druhe´mu, matice L2 prohozenı´ prvnı´ho a druhe´ho ˇra´dku, matice L3 vyna´sobenı´ trˇetı´ho rˇa´dku cˇtyrˇmi, matice L4 prˇicˇtenı´ trojna´sobku druhe´ho sloupce ke sloupci trˇetı´mu.
Kapitola 1
22
Z veˇty 1.17 bezprostrˇedneˇ plyne na´sledujı´cı´ tvrzenı´. Pomocı´ neˇj budeme moci odvodit du˚lezˇitou a snadno oveˇrˇitelnou podmı´nku pro to, kdy je matice ˇra´dkoveˇ (prˇ´ıpadneˇ sloupcoveˇ) ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Veˇta 1.18 Matice A je rˇa´dkoveˇ (resp. sloupcoveˇ) ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ pra´veˇ tehdy, je-li soucˇinem rˇa´dkovy´ch (resp. sloupcovy´ch) elementa´rnı´ch matic. Vzhledem k tomu, zˇe ke kazˇde´ elementa´rnı´ operaci existuje operace inverznı´, ktera´ je opeˇt elementa´rnı´ operacı´, neprˇekvapı´, zˇe kazˇda´ elementa´rnı´ matice je regula´rnı´. Veˇta 1.19 Kazˇda´ elementa´rnı´ matice je regula´rnı´ a matice k nı´ inverznı´ je opeˇt elementa´rnı´. Du˚kaz. Pro zjednodusˇenı´ za´pisu uvedeme pouze inverznı´ matice k teˇm elementa´rnı´m maticı´m, ktere´ reprezentujı´ operace s prvnı´m nebo druhy´m ˇra´dkem:
L1 =
L3 =
1 α .. .
0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1
L2 = α 0 .. .
,
0 1 .. .
1 ... 0 ... .. . . . . 0 0 ...
0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1
,
L−1 = 1 0 0 .. . 1
,
1 −α .. .
0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1
L−1 2 = L2 .
L−1 = 3
Analogicky vypocˇteme inverznı´ matice i pro ostatnı´ prˇ´ıpady.
1/α 0 .. . 0
0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 ... 1
.
△
Veˇta 1.20 Cˇtvercova´ matice A je regula´rnı´ pra´veˇ tehdy, je-li rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Du˚kaz. Necht’ matice A je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ E. Pak je podle veˇty 1.18 soucˇinem rˇa´dkovy´ch elementa´rnı´ch matic, ktere´ jsou na za´kladeˇ veˇty 1.19 regula´rnı´. Protozˇe soucˇin regula´rnı´ch matic je opeˇt regula´rnı´ matice (veˇta 1.12, strana 12), je i matice A regula´rnı´. Obra´ceneˇ, je-li A regula´rnı´ matice, pak je podle veˇty 1.16 ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. △ Spojenı´m poslednı´ veˇty s veˇtou 1.18 pak dostaneme dalsˇ´ı charakterizaci regula´rnı´ch matic. Veˇta 1.21 Kazˇda´ regula´rnı´ matice je soucˇinem konecˇneˇ mnoha elementa´rnı´ch matic.
1.5. Cvicˇenı´
23
1.5 Cvicˇenı´ 1.1 Pro matici
R(α) =
cos α − sin α sin α cos α
vypocˇteˇte R2 (α) a inverznı´ matici R−1 (α) a ukazˇte, zˇe R2 (α) = R(2α) a R−1 (α) = R(−α). 1.2 Odu˚vodneˇte, zˇe soucˇinem diagona´lnı´ch matic A = diag(a1 , . . . , an ) a B = diag(b1 , . . . , bn ) je diagona´lnı´ matice C = diag(a1 b1 , . . . , an bn ). Da´le ukazˇte, zˇe Ak = diag(a1k , . . . , ank ). 1.3 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k diagona´lnı´ matici D = diag(d1 , . . . , dn ), kde di 6 = 0, i = 1, . . . , n. 1.4 Odu˚vodneˇte, zˇe soucˇinem dvou hornı´ch (resp. dolnı´ch) troju´helnı´kovy´ch matic stejne´ho rˇa´du je opeˇt matice hornı´ (resp. dolnı´) troju´helnı´kova´. 1.5 Ukazˇte, zˇe pro libovolnou matici A jsou matice A AT a AT A symetricke´. 1.6 Pro matici
S=
n-te´ho rˇa´du vypocˇteˇte S2 , S3 , . . . , Sn .
0 1 0 .. .
0 0 1 .. .
··· ··· ··· .. .
0 0 0 .. .
1 0 1 .. .
0 0 ··· 1 0
1.7 Necht’ A je libovolna´ cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du, jejı´zˇ ˇra´dky jsou a1 , a2 , . . . , an a necht’ 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 . . . . . U = .. .. .. . . .. 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 je rovneˇzˇ n-te´ho rˇa´du. Prˇesveˇdcˇte se, zˇe matice UA ma´ ˇra´dky a2 , a3 , . . . , an , o. 1.8 Vypocˇteˇte vsˇechny matice B, pro ktere´ AB = B A, kde 1 1 A= . 0 2 1.9 Ukazˇte prˇ´ıklad cˇtvercovy´ch matic A, B, pro ktere´ (A + B)2 6 = A2 + 2AB + B2 . 1.10 Odu˚vodneˇte, zˇe pokud pro dveˇ symetricke´ matice A a B platı´ AB = B A, pak soucˇin AB bude opeˇt symetrickou maticı´. Da´le uved’te prˇ´ıklad takovy´ch symetricky´ch matic, jejichzˇ soucˇin nebude symetrickou maticı´. 1.11 Ukazˇte, zˇe pokud jsou A a B regula´rnı´ komutujı´cı´ matice, potom jsou i A−1 a B−1 komutujı´cı´. 1.12 Ukazˇte, zˇe pro soucˇin matice A typu (m, n), jejı´zˇ sloupce jsou a1 , a2 , . . . , an a sloupcove´ho vektoru b = (b1 , b2 , . . . , bn )T platı´
Ab = b1 a1 + b2 a2 + · · · + bn an .
Kapitola 1
24 1.13 Ukazˇte, zˇe pokud pro matici A platı´ A2 − A + E = O, pak A je regula´rnı´. 1.14 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici A, je-li: 0 0 0 1 0 0 1 0 a) A = 0 1 0 0 , b) 1 0 0 0
−1 1 1 1 1 −1 1 1 A= 1 1 −1 1 . 1 1 1 −1
1.15 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici A sude´ho ˇra´du, je-li:
a)
A=
1 0 0 .. . 0
1 1 0 .. . 0
1 1 1 .. . 0
··· ··· ··· .. . ···
1 1 1 .. . 1
,
b)
A=
1 1 0 .. . 0
0 1 1 .. . 0
··· ··· ··· .. . ···
... ... ... .. .
0 0 0 .. .
0 0 0 .. .
1 0 0 .. . 0
0 0 0 .. . 1
.
ˇ esˇenı´ 1.6 R 1.3 D−1 = diag(1/d1 , . . . , 1/dn ). T 1.5 Podle veˇty 1.7 je AT A = AT A. 0 0 ··· 0 1 0 0 0 ··· 0 0 1 1 0 ··· 0 0 0 1.6 S2 = 0 1 · · · 0 0 0 , . . . , .. .. . . .. .. .. . . . . . . 0 0 ··· 1 0 0 a b 1.8 , a, b ∈ R. 0 a+b
0 0 0 .. .
1 0 0 .. .
0 1 0 .. .
1.9 Libovolne´ dveˇ matice, pro neˇzˇ AB 6 = B A, naprˇ. A =
1 1 0 2
Sn−1
= 0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 0
,
,
B=
Sn = S.
1 1 1 1
.
1.10 (AB)T = BT AT = BA = AB. 1.11 A−1 B−1 = (BA)−1 = (AB)−1 = B−1 A−1 . 1.13 Vypocˇteˇte A(E − A). 1.14 a) A−1 = A; 1.15 a) A
−1
=
b) A−1 = 41 A. 1 −1 0 ··· 0 0 1 −1 · · · 0 0 0 1 ··· 0 .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0 ··· 1
b) A
−1
=
1 −1 1 −1 · · · −1 0 1 −1 1 ··· 1 0 0 1 −1 · · · −1 . .. .. .. .. . . .. . . . . . . 0 0 0 0 ··· 1
Kapitola 2
Vektory a vektorove´ prostory
Jednorˇa´dkove´ a jednosloupcove´ matice jsme v prˇedcha´zejı´cı´ kapitole nazvali vektory. Rˇa´dky a sloupce matic lze tedy rovneˇzˇ povazˇovat za vektory. Vlastnostmi vektoru˚ se nynı´ budeme zaby´vat a vyuzˇijeme jich pro doplneˇnı´ dalsˇ´ıch vlastnostı´ matic. Neomezı´me se vsˇak pouze na tento specia´lnı´ typ vektoru˚. Zavedeme pojem obecne´ho vektorove´ho prostoru tak, aby zahrnoval pro na´s nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı prˇ´ıpady rˇa´dkovy´ch a sloupcovy´ch cˇ´ıselny´ch vektoru˚ a zachoval prˇitom jejich hlavnı´ prˇednost, tedy mozˇnost popsat kazˇdy´ vektor pomocı´ „sourˇadnic“. Rea´lny´ vektorovy´ prostor V je nepra´zdna´ mnozˇina prvku˚, nazy´vany´ch vektory, ve ktere´ je definova´na operace scˇ´ıta´nı´, ktera´ kazˇde´ dvojici vektoru˚ u ∈ V , v ∈ V prˇirˇazuje vektor u+v ∈ V a operace na´sobenı´ vektoru˚ rea´lny´m cˇ´ıslem, ktera´ kazˇde´ dvojici α ∈ R, u ∈ V prˇirˇazuje vektor α u ∈ V , prˇicˇemzˇ tyto operace majı´ na´sledujı´cı´ vlastnosti. (1) u + v = v + u pro vsˇechna u, v ∈ V . (2) (u + v) + w = u + (v + w) pro vsˇechna u, v, w ∈ V . (3) Existuje vektor o ∈ V , zvany´ nulovy´ vektor, tak, zˇe v + o = v pro vsˇechna v ∈ V . (4) Ke kazˇde´mu vektoru v ∈ V existuje jednoznacˇneˇ urcˇeny´ vektor −v tak, zˇe v + (−v) = o. (5) (α β) v = α (β v) pro vsˇechna α, β ∈ R a vsˇechna v ∈ V . (6) 1 v = v pro vsˇechna v ∈ V . (7) (α + β) v = α v + β v pro vsˇechna α, β ∈ R a vsˇechna v ∈ V . (8) α (u + v) = α u + α v pro vsˇechna α ∈ R a vsˇechna u, v ∈ V . Analogicky se definuje komplexnı´ vektorovy´ prostor. Vlastnosti rea´lny´ch a komplexnı´ch vektorovy´ch prostoru˚ budeme vysˇetrˇovat najednou pod spolecˇny´m na´zvem vektorovy´ prostor. Termı´n cˇ´ıslo pak bude v prˇ´ıpadeˇ rea´lne´ho vektorove´ho prostoru znamenat rea´lne´ cˇ´ıslo, v prˇ´ıpadeˇ komplexnı´ho vektorove´ho prostoru cˇ´ıslo komplexnı´. Cˇ´ısla budeme take´ nazy´vat skala´ry. Operace scˇ´ıta´nı´ vektoru˚ a na´sobenı´ vektoru˚ cˇ´ısly umozˇnˇujı´ zave´st pojem linea´rnı´ kombinace vektoru˚. Jsou-li α1 , . . . , αn libovolna´ cˇ´ısla a v1 , . . . , vn libovolne´ vektory, pak vektor α1 v 1 + · · · + αn v n nazy´va´me linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ v1 , . . . , vn (s koeficienty α1 , . . . , αn ). 25
Kapitola 2
26
Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ımi prˇ´ıklady vektorovy´ch prostoru˚ jsou prostory rea´lny´ch a komplexnı´ch n-rozmeˇrny´ch aritmeticky´ch vektoru˚. Jimi rozumı´me n-tice rea´lny´ch nebo komplexnı´ch cˇ´ısel ve sloupcove´m usporˇa´da´nı´, tedy matice typu (n, 1) se scˇ´ıta´nı´m definovany´m stejneˇ jako pro matice typu (n, 1) a na´sobenı´m cˇ´ısly take´ definovany´m jako u matic typu (n, 1). Veˇty 1.3 a 1.4 zajisˇt’ujı´ splneˇnı´ vsˇech vlastnostı´ (1)–(8) z definice vektorove´ho prostoru. Prostor rea´lny´ch aritmeticky´ch vektoru˚ znacˇ´ıme Rn a prostor komplexnı´ch aritmeticky´ch vektoru˚ znacˇ´ıme Cn . Prˇ´ıklad 2.1 Uved’me jesˇteˇ neˇkolik dalsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ vektorovy´ch prostoru˚. U vsˇech jsou operace scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ cˇ´ıslem zavedeny jizˇ drˇ´ıve a splnˇujı´ vlastnosti (1)–(8) z definice vektorove´ho prostoru. a) Mnozˇina vsˇech rea´lny´ch matic typu (m, n) tvorˇ´ı rea´lny´ vektorovy´ prostor. b) Mnozˇina P vsˇech polynomu˚ s rea´lny´mi koeficienty tvorˇ´ı rea´lny´ vektorovy´ prostor, mnozˇina vsˇech polynomu˚ s komplexnı´mi koeficienty tvorˇ´ı komplexnı´ vektorovy´ prostor. c) Mnozˇina vsˇech rea´lny´ch (resp. komplexnı´ch) funkcı´ se spolecˇny´m definicˇnı´m oborem tvorˇ´ı rea´lny´ (resp. komplexnı´) vektorovy´ prostor. Pokud je podmnozˇina W vektorove´ho prostoru V take´ vektorovy´m prostorem, budeme ji nazy´vat podprostorem vektorove´ho prostoru V . Ekvivalentneˇ to vyjadrˇuje na´sledujı´cı´ definice. Definice. Podmnozˇinu W vektorove´ho prostoru V nazveme jeho podprostorem, pokud ma´ tyto vlastnosti: (a) o ∈ W, (b) pro vsˇechny vektory u, v ∈ W je u + v ∈ W, (c) pro kazˇdy´ skala´r α a kazˇdy´ vektor v ∈ W je α v ∈ W. Prˇ´ıklad 2.2 Snadno rozpoznatelne´ jsou na´sledujı´cı´ prˇ´ıklady podprostoru˚. a) Mnozˇina Pn vsˇech polynomu˚ stupneˇ mensˇ´ıho nebo rovne´ho n je podprostorem vektorove´ho prosoru P vsˇech polynomu˚. b) Mnozˇina vsˇech symetricky´ch matic n-te´ho ˇra´du je podprostorem vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovy´ch matic rˇa´du n. c) Mnozˇina vsˇech spojity´ch funkcı´ na intervalu ha, bi je podprostorem vektorove´ho prostoru vsˇech funkcı´ definovany´ch na ha, bi. Prˇ´ıklad 2.3 Vy´znamny´m prˇ´ıkladem podprostoru je mnozˇina vsˇech ˇresˇenı´ libovolne´ homogennı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic. Pro matici A typu (m, n) a vektor b ∈ Rm oznacˇme N(A) = {x ∈ Rn : Ax = o}. Pak (a) evidentneˇ o ∈ N(A); (b) jsou-li x, y ∈ N(A), pak Ax = o a Ay = o, odkud secˇtenı´m a vytknutı´m dosta´va´me A(x + y) = o, tedy x + y ∈ N(A); (c) je-li α ∈ R a x ∈ N(A), pak Ax = o, odkud α Ax = A(α x) = o, tedy α x ∈ N(A).
N(A) je tedy podprostorem Rn . Nazy´va´ se nulovy´m prostorem nebo ja´drem matice A.
2.1. Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚
27
2.1 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚ Klı´cˇovy´m pojmem pro vysˇetrˇova´nı´ vlastnostı´ vektoru˚ je jejich linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost. Definice. Vektory v1 , v2 , . . . , vn nazy´va´me linea´rneˇ za´visle´, pokud existujı´ cˇ´ısla α1 , α2 , . . . , αn tak, zˇe asponˇ jedno z nich je ru˚zne´ od nuly a α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αn v n = o .
(2.1)
V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ se vektory v1 , v2 , . . . , vn nazy´vajı´ linea´rneˇ neza´visle´. Vektory v1 , v2 , . . . , vn jsou tedy linea´rneˇ neza´visle´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ rovnost (2.1) platı´ pouze pro α1 = α2 = · · · = αn = 0. Prˇ´ıklad 2.4 Vektory
2 v1 = 0 0
1 v2 = 3 0
jsou linea´rneˇ neza´visle´, nebot’ rovnost
2 v3 = 4 −2
α1 v 1 + α2 v 2 + α3 v 3 = o vede na soustavu 2α1 + α2 + 2α3 = 0 3α2 + 4α3 = 0 − 2α3 = 0, jejı´mzˇ jediny´m rˇesˇenı´m je α1 = α2 = α3 = 0. Naopak, vektory
1 −1 −3 v1 = 2 v2 = 2 v3 = −2 1 3 1
jsou linea´rneˇ za´visle´, nebot’ rovnost (2.2) vede na soustavu
α1 − α2 − 3α3 = 0 2α1 + 2α2 − 2α3 = 0 α1 + 3α2 + α3 = 0 s nenulovy´m rˇesˇenı´m α1 = 2t,
α2 = −t,
α3 = t,
t ∈ R.
(2.2)
Kapitola 2
28
x2 e2
e2
6 6
3 x=x e
1 1
-
+ x2 e2
-
e1
x1 e1
Obr. 2.1 Sourˇadna´ soustava a sourˇadnice v R2
2.2 Sourˇadna´ soustava a ba´ze V kazˇde´m vektorove´m prostoru je mozˇne´ zave´st sourˇadnou soustavu a prvky vektorove´ho prostoru pak popisovat sourˇadnicemi. Jako motivace pro zavedenı´ sourˇadne´ soustavy v obecne´m vektorove´m prostoru na´m mu˚zˇe slouzˇit prostor R2 . Nejcˇasteˇji pouzˇ´ıvanou sourˇadnou soustavu tam reprezentujı´ dva vektory e1 a e2 a kazˇdy´ vektor x ∈ R2 je mozˇne´ vyja´drˇit jako jejich linea´rnı´ kombinaci:
x = x1 e1 + x2 e2 . Koeficienty x1 , x2 v te´to linea´rnı´ kombinaci jsou pak sourˇadnicemi vektoru x v sourˇadne´ soustaveˇ E = (e1 , e2 ) a vektor x jednoznacˇneˇ popisujı´ – viz obr. 2.1. Tata´zˇ mysˇlenka je pouzˇitelna´ v libovolne´m vektorove´m prostoru V . Sourˇadna´ soustava bude tvorˇena takovy´mi vektory b1 , b2 , . . . , bn , ktere´ umozˇnı´ vyja´drˇit libovolny´ vektor x jako jejich linea´rnı´ kombinaci, a to jednoznacˇny´m zpu˚sobem:
x = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn .
(2.3)
To znamena´, zˇe mnozˇina vsˇech linea´rnı´ch kombinacı´ vektoru˚ b1 , b2 , . . . , bn musı´ sply´vat s V a navı´c musı´ by´t pro kazˇdy´ vektor x ∈ V koeficienty x1 , x2 , . . . , xn ve vyja´drˇenı´ (2.3) urcˇeny jednoznacˇneˇ. Prˇesveˇdcˇme se, zˇe tuto jednoznacˇnost zajistı´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ b1 , b2 , . . . , bn . Prˇedpokla´dejme, zˇe pro linea´rneˇ neza´visle´ vektory b1 , b2 , . . . , bn a vektor x ∈ V platı´
x = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn = y1 b1 + y2 b2 + · · · + yn bn . Pak (x1 − y1 )b1 + (x2 − y2 )b2 + · · · + (xn − yn )bn = o.
(2.4)
Odsud podle definice linea´rnı´ neza´vislosti (strana 27) plyne, zˇe vsˇechny koeficienty v linea´rnı´ kombinaci na leve´ straneˇ (2.4) musı´ by´t rovny nule: x1 − y1 = 0, x2 − y2 = 0, . . . , xn − yn = 0,
tedy
x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn . Pro zjednodusˇenı´ formulace definice sourˇadne´ soustavy zaved’me nejdrˇ´ıve pojem linea´rnı´ho obalu.
2.2. Sourˇadna´ soustava a ba´ze
29
Definice. Jsou-li v1 , . . . , vn vektory z vektorove´ho prostoru V , pak jejich linea´rnı´m obalem nazy´va´me mnozˇinu vsˇech jejich linea´rnı´ch kombinacı´, tedy mnozˇinu vsˇech vektoru˚ tvaru α1 v1 + · · · + αn vn , kde α1 , . . . , αn jsou libovolna´ cˇ´ısla. Znacˇ´ıme jej hv1 , . . . , vn i. Veˇta 2.1 Jsou-li v1 , . . . , vn vektory z vektorove´ho prostoru V , pak linea´rnı´ obal W = hv1 , . . . , vn i je podprostorem V . Du˚kaz. Oveˇrˇ´ıme, zˇe W ma´ vsˇechny trˇi vlastnosti z definice podprostoru (strana 26). (a) o ∈ W, nebot’ o = 0 · v1 + · · · + 0 · vn . (b) Pokud u, v ∈ W, pak existujı´ cˇ´ısla α1 , . . . αn , β1 , . . . , βn , tak, zˇe u = α1 v1 + · · · + αn vn a v = β1 v1 + · · · + βn vn , odkud u + v = (α1 + β1 )v1 + · · · + (αn + βn )vn , cozˇ znamena´, zˇe u + v ∈ W. (c) Je-li u ∈ W, pak u = α1 v1 + · · · + αn vn pro jista´ cˇ´ısla α1 , . . . αn , odkud pro libovolne´ cˇ´ıslo β plyne β u = βα1 v1 + · · · + βαn vn a tedy β u ∈ W. △ Definice. Usporˇa´danou mnozˇinu vektoru˚ B = (b1 , . . . , bn ) nazy´va´me sourˇadnou soustavou nebo ba´zı´ ve vektorove´m prostoru V , je-li B linea´rneˇ neza´visla´ a hBi = V . Na´zev sourˇadna´ soustava se pouzˇ´ıva´ te´meˇˇr vy´hradneˇ v geometricky´ch u´vaha´ch, kdezˇto ba´ze se va´zˇe spı´sˇe k algebraicke´mu prostrˇedı´. Jde vsˇak o naprosto ekvivalentnı´ pojmy. Nasˇe definice je omezena pouze na prˇ´ıpad ba´zı´ o konecˇneˇ mnoha prvcı´ch; vektorove´ prostory, v nichzˇ existuje konecˇna´ ba´ze, se nazy´vajı´ konecˇneˇ dimenziona´lnı´. Pokud nebude v dalsˇ´ım uvedeno jinak, budeme pod pojmem vektorovy´ prostor vzˇdy rozumeˇt konecˇneˇ dimenziona´lnı´ vektorovy´ prostor. Prˇ´ıklad 2.5 Ba´zi vektorove´ho prostoru Rn tvorˇ´ı vektory 1 0 0 1 e1 = 0. , e2 = 0. , · · · , .. .. 0 0
en =
0 0 0. .. 1
.
Jejich linea´rnı´ neza´vislost je patrna´ ihned a kazˇdy´ vektor x = (x1 , . . . xn )T ∈ Rn mu˚zˇeme vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci x = x1 e1 + · · · + xn en . Je tedy he1 , . . . en i = Rn a vektory e1 , . . . en tvorˇ´ı ba´zi Rn . Tuto ba´zi budeme nazy´vat standardnı´. Ota´zku existence ba´ze ve vektorove´m prostoru v podstateˇ ˇresˇ´ı tvrzenı´, zˇe kazˇdou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu lze doplnit na ba´zi. I kdyzˇ platı´ pro libovolny´ vektorovy´ prostor, na´sˇ du˚kaz bude omezen pouze na prostory konecˇne´ dimenze. Veˇta 2.2 Necht’ S je linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚ ve vektorove´m prostoru V . Pak existuje mnozˇina S1 ⊂ V tak, zˇe S ∪ S1 je ba´zı´ prostoru V .
Kapitola 2
30
Du˚kaz. Necht’ S ⊂ V je linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚. Pokud je S ba´zı´ V , vezmeme S1 = ∅ a jsme hotovi. Nenı´-li S ba´zı´ V , pak hSi 6 = V a ve V tedy existuje asponˇ jeden nenulovy´ prvek u1 , ktery´ nelezˇ´ı v hSi. Protozˇe u1 nenı´ linea´rnı´ kombinacı´ prvku˚ mnozˇiny S, je mnozˇina S1 = S ∪ {u1 } linea´rneˇ neza´visla´. Pokud je hS1 i = V , jsme hotovi. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ opakujeme prˇedchozı´ postup. Po konecˇneˇ mnoha krocı´ch tak dospeˇjeme k ba´zi prostoru V . △ Za´kladnı´ motivacı´ pro definici ba´ze vektorove´ho prostoru byl pozˇadavek popisovat vektory pomocı´ jejich sourˇadnic – viz vztah (2.3). Mu˚zˇeme tedy vyslovit forma´lnı´ definici sourˇadnic vektoru vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi (to je ba´zi s pevneˇ urcˇeny´m porˇadı´m jejı´ch prvku˚). Definice. Necht’ B = (b1 , . . . , bn ) je usporˇa´dana´ ba´ze vektorove´ho prostoru V . Sourˇadnicemi vektoru x ∈ V v ba´zi B nazy´va´me usporˇa´danou n-tici cˇ´ısel (x1 , . . . , xn ), pro ktera´ platı´
x = x1 b1 + · · · + xn bn . Sourˇadnice jsou tedy aritmeticke´ vektory a na za´kladeˇ u´vahy prˇed definicı´ ba´ze (strana 28) jsou v dane´ ba´zi urcˇeny jednoznacˇneˇ. Je vsˇak zrˇejme´, prˇi zmeˇneˇ ba´ze dojde i ke zmeˇneˇ sourˇadnic. Pokud bude trˇeba zdu˚raznit k jake´ ba´zi jsou sourˇadnice vektoru x vztazˇeny, pouzˇijeme na´sledujı´cı´ho oznacˇenı´: x1 (2.5) [x]B = ... . xn Vektor na prave´ straneˇ (2.5) budeme nazy´vat vektor sourˇadnic x a vzhledem k dalsˇ´ımu vyuzˇitı´ jej budeme vzˇdy zapisovat jako sloupec. Prˇ´ıklad 2.6 Ze prˇ´ıkladu (2.5) vyply´va´, zˇe ve standardnı´ ba´zi E prostoru Rn platı´ pro kazˇdy´ vektor x = (x1 , . . . , xn )T x1 [x]E = ... . xn
Nynı´ uka´zˇeme, zˇe ve vektorove´m prostoru s n-prvkovou ba´zı´ nemu˚zˇe existovat vı´ce nezˇ n linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚. Na za´kladeˇ tohoto tvrzenı´ pak odvodı´me, zˇe vsˇechny ba´ze vektorove´ho prostoru majı´ stejny´ pocˇet prvku˚, cozˇ umozˇnı´ zave´st pojem dimenze vektorove´ho prostoru.
Veˇta 2.3 Necht’ V je vektorovy´ prostor s ba´zı´ b1 , . . . , bn a necht’ v1 , . . . , vm , kde m > n, jsou libovolne´ vektory z V . Pak v1 , . . . , vm jsou linea´rneˇ za´visle´. Du˚kaz. Z vlastnostı´ ba´ze vyply´va´, zˇe kazˇdy´ z vektoru˚ v1 , . . . , vm lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci vektoru˚ b1 , . . . , bn . Bude tedy
v1 = a11 b1 + · · · + an1 bn
v2 = a12 b1 + · · · + an2 bn .. . vm = a1m b1 + · · · + anm bn . Uvazˇme nynı´, kdy bude α1 v 1 + · · · + αm v m = o .
(2.6)
2.2. Sourˇadna´ soustava a ba´ze
31
Dosazenı´m do tohoto vztahu za v1 , . . . , vm z (2.6) dostaneme po u´praveˇ (a11 α1 + · · · + a1m αm ) b1 + · · · + (an1 α1 + · · · + anm αm ) bn = o. Protozˇe vektory b1 , . . . , bn jsou linea´rneˇ neza´visle´, musı´ by´t vsˇechny koeficienty v te´to linea´rnı´ kombinaci rovny nule: a11 α1 + · · · + a1m αm = 0 .. . an1 α1 + · · · + anm αm = 0. V te´to homogennı´ soustaveˇ n rovnic pro m nezna´my´ch α1 , . . . αm je m > n , takzˇe podle prˇ´ıkladu (1.8) ma´ tato soustava nenulove´ ˇresˇenı´. To vsˇak znamena´ zˇe vektory v1 , . . . , vm jsou linea´rneˇ za´visle´. △ Veˇta 2.4 Kazˇde´ dveˇ ba´ze vektorove´ho prostoru V majı´ ty´zˇ pocˇet prvku˚. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe b1 , . . . , bn a c1 , . . . , cm jsou libovolne´ dveˇ ba´ze prostoru V . Protozˇe vektory kazˇde´ z ba´zı´ jsou linea´rneˇ neza´visle´, dosta´va´me dvojna´sobny´m pouzˇitı´m prˇedcha´zejı´cı´ veˇty m≤n a
n ≤ m.
Odtud plyne, zˇe m = n a obeˇ ba´ze majı´ stejny´ pocˇet prvku˚.
△
I kdyzˇ ba´ze vektorove´ho prostoru nenı´ nikdy urcˇena jednoznacˇneˇ, neza´visı´ pocˇet jejı´ch prvku˚ na jejı´m vy´beˇru. Na´sledujı´cı´ definice je tedy korektnı´. Definice. Pocˇet prvku˚ ba´ze vektorove´ho prostoru V nazy´va´me dimenzı´ V a znacˇ´ıme dim V . Prˇipomenˇme znovu, zˇe jsme se omezili pouze na ty vektorove´ prostory, v nichzˇ existujı´ ba´ze o konecˇneˇ mnoha prvcı´ch. Z veˇty 2.3 vyply´va´, zˇe dimenze vektorove´ho prostoru V je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ ve V . Prˇ´ıklad 2.7 Z prˇ´ıkladu 2.5 dosta´va´me te´meˇˇr samozrˇejmy´ vy´sledek: dim Rn = n. Na za´veˇr tohoto odstavce jesˇteˇ doka´zˇeme, zˇe prˇi zna´me´ dimenzi vektorove´ho prostoru je nalezenı´ jeho ba´ze vy´razneˇ jednodusˇsˇ´ım proble´mem a da´le dveˇ veˇty o zachova´nı´ linea´rnı´ za´vislosti, resp. neza´vislosti prˇi na´sobenı´ maticı´. Veˇta 2.5 Necht’ V je vektorovy´ prostor dimenze n a necht’ v1 , . . . , vn jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory z V . Pak vektory v1 , . . . , vn tvorˇ´ı ba´zi V . Du˚kaz. Vzhledem k linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ v1 , . . . , vn stacˇ´ı uka´zat, zˇe jejich linea´rnı´ obal je roven V . Polozˇme W = hv1 , . . . , vn i a ukazˇme, zˇe W = V . Je zrˇejme´, zˇe W ⊂ V , takzˇe stacˇ´ı oveˇrˇit, zˇe V ⊂ W. Zvolme libovolneˇ u ∈ V . Protozˇe dim V = n, jsou podle veˇty 2.3 vektory u, v1 , . . . , vn linea´rneˇ za´visle´, nebot’ jich je n + 1. Existujı´ tedy cˇ´ısla α0 , α1 , . . . , αn tak, zˇe α0 u + α1 v 1 + · · · + αn v n = o ,
(2.7)
prˇicˇemzˇ asponˇ jedno z nich je nenulove´. Pokud by bylo α0 = 0, pak by vektory v1 , . . . , vn byly linea´rneˇ za´visle´, cozˇ podle prˇedpokladu veˇty nenı´ mozˇne´. Je tedy α0 6 = 0 a z (2.7) dosta´va´me 1 α1 v 1 + · · · + αn v n , u=− α0 neboli vektor u jakozˇto linea´rnı´ kombinace vektoru˚ v1 , . . . , vn patrˇ´ı do W. To znamena´, zˇe V ⊂ W a du˚kaz je hotov. △
Kapitola 2
32
Veˇta 2.6 Necht’ A je matice typu (m, n) a necht’ x1 , . . . , xk jsou linea´rneˇ za´visle´ vektory z Cn . Pak vektory Ax1 , . . . Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ za´visle´. Du˚kaz. Z linea´rnı´ za´vislosti vektoru˚ x1 , . . . , xk vyply´va´, zˇe existujı´ cˇ´ısla α1 , . . . , αk , ne vsˇechna nulova´, tak, zˇe α1 x 1 + · · · + αk x k = o . Odtud dosta´va´me po vyna´sobenı´ obou stran maticı´ A zleva:
o = Ao = A(α1 x1 + · · · + αk xk ) = α1 Ax1 + · · · + αk Axk , cozˇ znamena´, zˇe vektory Ax1 , . . . Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ za´visle´.
△
Veˇta 2.7 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho rˇa´du a necht’ x1 , . . . , xk jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory z Cn . Pak vektory Ax1 , . . . Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ neza´visle´. Du˚kaz. Vysˇetrˇeme, pro ktera´ α1 , . . . αk platı´ α1 Ax1 + · · · + αk Axk = o.
(2.8)
´ pravou podle vztahu˚ (d) z veˇt 1.3 a 1.4 dosta´va´me A(α1 x1 + · · · + αk xk ) = o, odkud vyna´sobenı´m U obou stran maticı´ A−1 zleva plyne α1 x 1 + · · · + αk x k = o . Vzhledem k prˇedpokladu linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ x1 , . . . , xk je poslednı´ rovnost, a tedy i rovnost (2.8) splneˇna pouze pro α1 = · · · = αn = 0. To vsˇak znamena´, zˇe vektory Ax1 , . . . , Axk jsou linea´rneˇ neza´visle´. △
2.3 Skala´rnı´ soucˇin ´ vahy o skala´rnı´m soucˇinu omezı´me pouze na aritmeticke´ vektory. Narozdı´l od obecne´ho prˇ´ıstupu U tak budeme pracovat s konkre´tneˇ definovany´m vzorcem pro vy´pocˇet skala´rnı´ho soucˇinu, ktery´ bude navı´c mozˇne´ prˇeve´st i do maticove´ podoby. Je vsˇak trˇeba zdu˚raznit, zˇe pu˚jde nejen o rea´lne´, ale i komplexnı´ aritmeticke´ vektory a definice skala´rnı´ho soucˇinu musı´ tento pozˇadavek zohlednit. Skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ x a y budeme v dalsˇ´ım znacˇit (x, y). Definice. Pro libovolne´ vektory x = (x1 , . . . , xn )T , y = (y1 . . . , yn )T z Cn nebo Rn definujeme jejich skala´rnı´ soucˇin vztahem n X xk y k . (x , y ) = (2.9) k=1
Veˇta 2.8 Skala´rnı´ soucˇin (2.9) ma´ v Cn i Rn na´sledujı´cı´ vlastnosti: (1) (x, y) = (y, x) pro vsˇechny vektory x, y. (2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) pro vsˇechny vektory x, y, z. (3) (α x, y) = α(x, y) pro vsˇechny vektory x, y a vsˇechna cˇ´ısla α.
2.3. Skala´rnı´ soucˇin
33
(4) (x, x) ≥ 0 pro vsˇechny vektory x; rovnost platı´ jen pro x = o. Du˚kaz. Vlastnosti (1) – (3) vyply´vajı´ prˇ´ımo z (2.9) a vlastnost (4) ze vztahu (x , x ) =
n X k=1
xk x k =
n X k=1
|xk |2 .
(2.10)
Du˚sledek 2.1 Pro libovolny´ vektor x a libovolne´ cˇ´ıslo α platı´ (x, α y) = α(x, y). △
Du˚kaz. Je kombinacı´ vlastnostı´ (1) a (3).
Uvedene´ cˇtyrˇi vlastnosti lze take´ povazˇovat za za´klad axiomaticke´ definice skala´rnı´ho soucˇinu v libovolne´m linea´rnı´m prostoru (ne nutneˇ konecˇne´ dimenze). Jsou-li neˇktera´ tvrzenı´ v te´to kapitole vyslovena pro obecny´ linea´rnı´ nebo vektorovy´ prostor V mı´sto Cn nebo Rn , pak skala´rnı´m soucˇinem ve V rozumı´me jake´koliv zobrazenı´ V × V → C, majı´cı´ cˇtyrˇi vy´sˇe uvedene´ vlastnosti. Povsˇimneˇme si, zˇe skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ x a y v Cn i Rn lze vyja´drˇit te´zˇ pomocı´ maticove´ho na´sobenı´: (x , y ) = x T y .
(2.11)
Zde y = (y 1 , . . . , y n )T . Du˚lezˇity´ je vztah skala´rnı´ho soucˇinu a na´sobenı´ rea´lnou maticı´. Veˇta 2.9 Necht’ A je rea´lna´ cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du a x, y ∈ Cn . Pak (Ax, y) = (x, AT y). Du˚kaz. Na za´kladeˇ (2.11) je (Ax, y) = (Ax)T y = (xT AT )y = xT (AT y) = (x, AT y).
△
Du˚sledek 2.2 Pro libovolnou rea´lnou symetrickou matici A a libovolne´ vektory x, y ∈ Cn platı´ (Ax, y) = (x, Ay).
(2.12)
Pomocı´ skala´rnı´ho soucˇinu zavedeme nynı´ pojem velikosti vektoru a ortogona´lnosti (kolmosti) vektoru˚. √ Definice. Cˇ´ıslo (x, x) nazy´va´me velikostı´ vektoru x a znacˇ´ıme ||x||. Vektory x, y se nazy´vajı´ ortogona´lnı´, jestlizˇe (x, y) = 0. Vektory x1 , x2 , . . . , xk se nazy´vajı´ ortonorma´lnı´, jestlizˇe (x i , x j ) =
D 1 pro 0 pro
i=j i 6= j
.
Ba´zi tvorˇenou ortonorma´lnı´mi vektory nazy´va´me ortonorma´lnı´ ba´zı´. Prˇ´ıkladem ortonorma´lnı´ ba´ze v Cn a Rn je standardnı´ ba´ze E. Nynı´ uka´zˇeme, zˇe ortonorma´lnı´ ba´ze existuje v kazˇde´m nenulove´m vektorove´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Nejdrˇ´ıve odvodı´me linea´rnı´ neza´vislost libovolne´ konecˇne´ ortonorma´lnı´ mnozˇiny. Veˇta 2.10 Kazˇda´ konecˇna´ ortonorma´lnı´ mnozˇina je linea´rneˇ neza´visla´.
Kapitola 2
34 Du˚kaz. Necht’ {x1 , . . . , xk } tvorˇ´ı ortonorma´lnı´ mnozˇinu a necht’ α1 x 1 + · · · + αk x k = o .
(2.13)
Vyna´sobme obeˇ strany rovnice 2.13 skala´rneˇ vektorem xl , 1 ≤ l ≤ k. Protozˇe (xi , xl ) = 0 pro i 6 = l, dosta´va´me αl (xl , xl ) = 0. Odtud, vzhledem k tomu, zˇe (xl , xl ) = 1, plyne αl = 0 pro l = 1, . . . , k, cozˇ znamena´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ x1 , . . . , xk . △ Veˇta 2.11 Necht’ a1 , . . . , ak jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory v Cn . Pak existujı´ ortonorma´lnı´ vektory q1 , . . . , qk tak, zˇe ha1 , . . . , ak i = hq1 , . . . , qk i. Du˚kaz. Existenci uka´zˇeme matematickou indukcı´ podle k. Tvrzenı´ je zrˇejme´ pro k = 1 : stacˇ´ı polozˇit q1 = a1 /||a1 ||. Necht’ nynı´ tvrzenı´ platı´ pro k − 1 vektoru˚ a necht’ vektory a1 , . . . , ak jsou linea´rneˇ neza´visle´. Podle indukcˇnı´ho prˇedpokladu existujı´ ortonorma´lnı´ vektory q1 , . . . , qk−1 tak, zˇe ha1 , . . . , ak−1 i = hq1 , . . . , qk−1 i. Oznacˇme rik = (qi , ak )
pro
i = 1, . . . , k − 1
(2.14)
a polozˇme
Pro l = 1, . . . , k − 1 pak je (ql ,e q k ) = (q l , a k ) −
e qk = ak −
k−1 X
rik qi .
(2.15)
i=1
k−1 X (qi , ak )(ql , qi ) = (ql , ak ) − (ql , ak ) = 0.
(2.16)
i=1
Kromeˇ toho e qk 6 = 0, nebo˛ jinak by na za´kladeˇ (2.15) byl vektor ak linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ q1 , . . . , qk a tedy take´ linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ a1 , . . . , ak , cozˇ vzhledem k linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ a1 , . . . , ak nenı´ mozˇne´. Polozˇ´ıme-li nynı´ qk = e qk /||e qk ||, je na za´kladeˇ (2.15) hq1 , . . . , qk i = ha1 , . . . , ak i a z (2.16) vyply´va´ ortogona´lnost vektoru˚ q1 , . . . , qk . △ Postupu, ktery´ byl pouzˇit v tomto du˚kazu se ˇr´ıka´ Gramu˚v–Schmidtu˚v ortonormalizacˇnı´ proces. Umozˇnˇuje „ortonormalizovat“ libovolnou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu vektoru˚, t.j. nahradit libovolnou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu mnozˇinou ortonorma´lnı´, ktera´ ma´ stejny´ linea´rnı´ obal jako mnozˇina pu˚vodnı´, a to nejen v Cn , ale v jake´mkoli linea´rnı´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Du˚kaz veˇty 2.11 je soucˇasneˇ na´vodem, jak hledane´ ortonorma´lnı´ vektory vypocˇ´ıst. Klı´cˇovou roli zde hraje vztah (2.15). Prˇ´ıklad 2.8 K vektoru˚m
a1 = (1, 1, 1, −1),
a2 = (0, 0, −1, 1),
a3 = (1, −2, 0, 3)
vypocˇteˇte ortonorma´lnı´ vektory q1 , q2 , q3 tak, aby ha1 , a2 , a3 i = hq1 , q2 , q3 i.
2.3. Skala´rnı´ soucˇin
35
Rˇesˇenı´. Vy´pocˇet probı´ha´ podle pra´veˇ provedene´ho du˚kazu. Pro usnadneˇnı´ porovna´nı´ pouzˇ´ıva´me stejne´ symboliky jako v du˚kazu. 1) Polozˇ´ıme q1 = a1 /||a1 || = 12 (1, 1, 1, −1). 2) Vektor e q2 hleda´me ve tvaru e q2 = a2 − r12 q1 , (2.17) kde koeficient r12 bude takovy´, aby (q1 ,e q2 ) = 0. Vyna´sobme obeˇ strany rovnosti (2.17) skala´rneˇ vektorem q1 . Pak bude 0 = (q1 , a2 ) − r12 (q1 , q1 ) = −1 − r12 .
q2 || = 1, bude q2 = e q2 . Odtud vycha´zı´ r12 = −1 a e q2 = a2 + q1 = 12 (1, 1, −1, 1). Protozˇe ||e 3) Vektor e q3 hleda´me ve tvaru e q3 = a3 − r13 q1 − r23 q2 , (2.18)
kde koeficienty r13 a r23 budou takove´, aby (q1 ,e q3 ) = 0 a (q2 ,e q3 ) = 0. Vyna´sobme nejdrˇ´ıve obeˇ strany rovnosti (2.18) skala´rneˇ vektorem q1 . Dostaneme 0 = (q1 , a3 ) − r13 (q1 , q1 ) − r23 (q1 , q2 ) = −2 − r13 , odkud r13 = −2. Vyna´sobme da´le obeˇ strany rovnosti (2.18) skala´rneˇ vektorem q2 . Dostaneme 0 = (q2 , a3 ) − r13 (q2 , q1 ) − r23 (q2 , q2 ) = 1 − r23 , odkud vycha´zı´ r23 = 1. Pak e q3 = a3 + 2q1 − q2 = 21 (3, −3, 3, 3). Protozˇe ||e q3 || = 3, je
q3 =
1 2
q2 =
1 2
Celkem tedy je
q1 =
1 2
1, 1, 1, −1 ,
1, −1, 1, 1 .
1, 1, −1, 1 ,
q3 =
1 2
1, −1, 1, 1 .
Uplatnı´me-li Gramu˚v–Schmidtu˚v proces na ba´zi vektorove´ho prostoru, dosta´va´me:
Du˚sledek 2.3 V kazˇde´m nenulove´m vektorove´m prostoru, ve ktere´m je definova´n skala´rnı´ soucˇin, existuje ortonorma´lnı´ ba´ze. Vsˇimneˇme si, zˇe vzorec (2.15) je velice podobny´ vzorci pro maticove´ na´sobenı´; po maly´ch u´prava´ch jej opravdu lze do maticove´ho tvaru prˇeve´st. Prˇedpokla´dejme, zˇe linea´rneˇ neza´visle´ vektory a1 , . . . , am postupneˇ nahrazujeme ortogona´lnı´mi vektory q1 , . . . , qm tak, zˇe pro k = 1, . . . , m platı´ (2.15). Polozˇme jesˇteˇ rkk = ||e qk || pro k = 1, . . . , m a rik = 0 pro i = k + 1, . . . , m. (2.19) Pak z (2.15) dosta´va´me
ak = e qk +
k−1 X i=1
rik qi = rkk qk +
k−1 X i=1
rik qi =
m X i=1
rik qi .
Kapitola 2
36 Pro j -tou sourˇadnici aj k vektoru ak pak je aj k =
m X i=1
m X
rik qj i =
qj i rik .
i=1
To prˇesneˇ odpovı´da´ maticove´mu soucˇinu
A = QR, kde sloupce matice A tvorˇ´ı vektory a1 , . . . , am , sloupce matice Q vektory q1 , . . . , qm a R je troju´helnı´kova´ matice rˇa´du m, jejı´zˇ prvky jsou (jednoznacˇneˇ) urcˇeny vztahy (2.14) a (2.19). Dosta´va´me tı´m veˇtu o QR rozkladu. Veˇta 2.12 Necht’ A je matice typu (n, m) s linea´rneˇ neza´visly´mi sloupci. Pak existuje matice Q typu (n, m) s ortonorma´lnı´mi sloupci a troju´helnı´kova´ matice R rˇa´du m tak, zˇe platı´
A = QR. Prˇ´ıklad 2.9 Vy´sledek prˇ´ıkladu 2.8 lze zapsat ve tvaru A = QR, kde 1 0 1 1 1 1 2 −1 −2 1 1 0 −2 1 1 −1 A= , Q= , R= 0 1 1 . 1 −1 0 1 −1 1 2 0 0 3 −1 1 3 −1 1 1
2.4 Cvicˇenı´ 2.1 Vypocˇteˇte vsˇechna α ∈ R, pro neˇzˇ budou linea´rneˇ neza´visle´ vektory
u = (1, 3, 4),
v = (2, 8, −2),
w = (3, 11, α).
2.2 Vypocˇteˇte, pro ktera´ x, y, z ∈ R budou linea´rneˇ neza´visle´ vektory
u = (1, x, x 2 ),
v = (1, y, y 2 ),
w = (1, z, z2 ).
2.3 Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory u + v, v + w a w + u pokud vı´te, zˇe vektory u, v, w jsou linea´rneˇ neza´visle´. 2.4 Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ za´visle´ matice 1 2 −1 A1 = , A2 = 1 0 3
2 , 1
A3 =
−3 −2 . 1 1
2.5 Dokazˇte, zˇe vektory u1 , . . . un jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ tehdy, je-li jeden z nich linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch. 2.6 Dokazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic te´hozˇ typu s operacemi maticove´ho scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´ cˇ´ıslem tvorˇ´ı linea´rnı´ prostor dimenze mn. Nalezneˇte neˇjakou jeho ba´zi. 2.7 Dokazˇte, zˇe mnozˇina Tn vsˇech hornı´ch troju´helnı´kovy´ch matic ˇra´du n tvorˇ´ı podprostor vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovy´ch matic ˇra´du n a urcˇete dimenzi Tn .
2.5. Rˇesˇenı´
37
2.8 Ukazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic X, pro ktere´ platı´ AX = XA, kde 2 1 A= , 1 1 tvorˇ´ı podprostor vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovy´ch matic druhe´ho ˇra´du. Urcˇete jeho dimenzi a neˇjakou ba´zi. 2.9 Dokazˇte, zˇe vektory x, y ∈ Rn jsou ortogona´lnı´ pra´veˇ tehdy, je-li ||x||2 + ||y||2 = ||x + y||2 . Da´le ukazˇte, zˇe v Cn toto tvrzenı´ neplatı´. 2.10 Dokazˇte, zˇe majı´-li vektory x, y ∈ Rn stejnou velikost, pak x + y a x − y jsou ortogona´lnı´. Uved’te geometricky´ vy´znam tohoto tvrzenı´ v R2 . 2.11 Ukazˇte, zˇe v ortonorma´lnı´ ba´zi (b1 , . . . , bn ) platı´ pro sourˇadnice (x1 , . . . , xn )T vektoru x vztah xi = (x, bi ),
i = 1, . . . , n.
2.12 V prostoru R4 jsou da´ny vektory a = (−1, 0, 1, 2), b = (0, 1, 0, −3) a linea´rnı´ podprostor V = x ∈ R4 ; (x, a) = 0, (x, b) = 0 .
Urcˇete neˇjakou ortogona´lnı´ ba´zi V .
2.13 Urcˇete neˇjakou ortogona´lnı´ ba´zi podprostoru V = x ∈ R3 ; Ax ∈ N(A) , kde
1 1 0 A = 1 1 2 . 1 1 1
ˇ esˇenı´ 2.5 R 2.1 Pro vsˇechna α 6 = 2. 2.2 Musı´ soucˇasneˇ platit x 6 = y, y 6 = z, x 6 = z. 2.3 Vektory u + v, v + w a w + u jsou linea´rneˇ neza´visle´. 2.4 Jsou linea´rneˇ za´visle´, nebot’ 2A1 − A2 + A3 = O. 2.5 Je-li u1 = α2 u2 + · · · + αn un , pak (−1)u1 + α2 u2 + · · · + αn un = o a vektory u1 , . . . un jsou linea´rneˇ za´visle´. Je-li α1 u1 + · · · + αn un = o a α1 6 = 0, pak u1 = − α11 (α2 u2 + · · · + αn un ). Analogicky pro i = 2, . . . , n. 2.6 Ba´zi tvorˇ´ı naprˇ. mn matic (navza´jem ru˚zny´ch), ktere´ majı´ na jedine´m mı´steˇ 1 a vsˇude jinde 0. 2.7 Soucˇtem dvou hornı´ch troju´helnı´kovy´ch matic je opeˇt hornı´ troju´helnı´kova´ matice a na´sobkem hornı´ n(n + 1) . troju´helnı´kove´ matice je take´ matice hornı´ troju´helnı´kova´; dim Tn = 1 + 2 + · · · + n = 2 1 0 0 1 2.8 Dimenze je 2, ba´ze naprˇ. , . 0 1 1 −1
38
Kapitola 2
2.9 Pro x, y ∈ Rn je ||x + y||2 = (x + y), (x + y) = ||x||2 + 2 (x, y) + ||y||2 , kdezˇto pro x, y ∈ Cn platı´ pouze ||x + y||2 = ||x||2 + (x, y) + (y, x) + ||y||2 . 2.10 Geometricka´ interpretace: u´hloprˇ´ıcˇky v kosocˇtverci jsou na sebe kolme´. 2.11 Skala´rneˇ vyna´sobte vektor x = x1 b1 + · · · + xn bn i-ty´m vektorem ba´ze bi . 2.12 {(1, 0, 1, 0, ), (1, 3, −1, 1)}. 2.13 {(1, −1, 0), (1, 1, 2)}.
Kapitola 3
Hodnost matice
ˇ a´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost 3.1 R Guassova eliminace nenı´ jen pocˇetnı´ prostrˇedek pro u´pravu a ˇresˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic. Jizˇ vztah (1.7) naznacˇuje jejı´ vy´znam i pro zkouma´nı´ vlastnostı´ matic jako takovy´ch. V te´to kapitole vyuzˇijeme Gaussovy eliminace pro vy´pocˇet hodnosti matic – pojmu, ktery´ v sobeˇ obsahuje pohled na rˇa´dky a sloupce z hlediska linea´rnı´ neza´vislosti. Znalost hodnosti matice na´m pak kromeˇ jine´ho umozˇnı´ elegantnı´ formulaci krite´ria rˇesˇitelnosti soustav linea´rnı´ch rovnic a take´ charakterizaci mnozˇiny vsˇech jejich rˇesˇenı´. Definice. Rˇa´dkovy´m prostorem matice A nazy´va´me linea´rnı´ obal jejı´ch ˇra´dku˚ a znacˇ´ıme R(A), sloupcovy´m prostorem linea´rnı´ obal jejı´ch sloupcu˚; znacˇ´ıme jej S(A). Je-li tedy A rea´lna´ (resp. komplexnı´) matice typu (m, n), pak R(A) je podprostorem Rn (resp. Cn ) a S(A) je podprostorem Rm (resp. Cm ). Je-li matice A symetricka´, pak jsou oba prostory totozˇne´, pro nesymetricke´ matice budou odlisˇne´. Vzhledem k vy´sledku cvicˇenı´ 1.12 platı´ pro sloupcovy´ prostor S(A) matice A typu (m, n) S(A) = {u ∈ Cm : u = Av
pro neˇjaky´ vektor v ∈ Cn }.
(3.1)
Definice. Hodnostı´ matice A nazy´va´me dimenzi jejı´ho sloupcove´ho prostoru; znacˇ´ıme ji h(A). Z definice dimenze (strana 31) a z veˇty 2.3 vyply´va´, zˇe hodnost matice A je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ matice A. V definici hodnosti matice byl preferova´n „sloupcovy´“ pohled na matici prˇed „rˇa´dkovy´m“. Nenı´ prˇitom vu˚bec samozrˇejme´, zˇe dimenze ˇra´dkove´ho prostoru matice je stejna´ jako dimenze jejı´ho sloupcove´ho prostoru. Prˇes obecnou odlisˇnost ˇra´dkove´ho a sloupcove´ho prostoru matice nenı´ trˇeba definovat take´ „rˇa´dkovou“ hodnost matice. Vyply´va´ to z veˇty, kterou uvedeme bez du˚kazu. Lze jej nale´zt naprˇ´ıklad v [11, str. 27] nebo [15, str. 92]. Veˇta 3.1 Pro kazˇdou matici A je h(A) = h(AT ). Odvod’me nynı´, jaky´ je vztah hodnosti k dalsˇ´ım maticovy´m operacı´m – soucˇinu a rˇa´dkovy´m a sloupcovy´m elementa´rnı´m u´prava´m. Nejme´neˇ lze ˇr´ıci o soucˇtu; zde odkazujeme na u´lohu 3.3. 39
Kapitola 3
40 Veˇta 3.2 Jsou-li A, B matice, pro neˇzˇ existuje soucˇin AB, pak h(AB) ≤ h(B) a
h(AB) ≤ h(A).
Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe matice AB nema´ veˇtsˇ´ı pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ nezˇ matice B. To na za´kladeˇ definice hodnosti a pozna´mky po nı´ na´sledujı´cı´ zarucˇ´ı nerovnost h(AB) ≤ h(B). Jsou-li b1 , . . . , bk sloupce matice B, pak podle veˇty 1.1 jsou Ab1 , . . . , Abk sloupce matice AB. Veˇta 2.7 (str. 32) pak zajisˇt’uje, zˇe mezi sloupci Ab1 , . . . , Abk nebude me´neˇ linea´rneˇ neza´visly´ch, nezˇ mezi b1 , . . . , bk . Druha´ nerovnost v tvrzenı´ veˇty pak plyne z prvnı´ a z veˇty 3.1: h(AB) = h(AB)T = h(BT AT ) ≤ h(AT ) = h(A). Veˇta 3.3 Je-li A regula´rnı´ matice a existuje soucˇin AB, pak h(AB) = h(B). Analogicky, je-li B regula´rnı´ matice a existuje soucˇin AB, pak h(AB) = h(A). Strucˇneˇ lze tedy rˇ´ıci, zˇe na´sobenı´ regula´rnı´ maticı´ nemeˇnı´ hodnost. Du˚kaz. Podle prˇedcha´zejı´cı´ veˇty platı´ h(AB) ≤ h(A); z veˇty 2.6 vyply´va´, zˇe matice A nemu˚zˇe mı´t vı´ce linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ nezˇ matice AB, cozˇ znamena´, zˇe h(AB) ≥ h(A). Celkem tedy je h(AB) = h(B). Druha´ cˇa´st tvrzenı´ veˇty vyply´va´ z rovnostı´ h(AB) = h(AB)T = h(BT AT ) = h(AT ) = h(A). △
Zde jsme dvakra´t pouzˇili veˇtu 3.1 a pra´veˇ doka´zanou prvnı´ cˇa´st. Veˇta 3.4 Jsou-li A, B rˇa´dkoveˇ nebo sloupcoveˇ ekvivalentnı´ matice, pak h(A) = h(B).
Du˚kaz. Vzhledem k platnosti veˇty 3.1 stacˇ´ı tvrzenı´ oveˇˇrit pro matice rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´. Je-li A ∼ B, pak existujı´ elementa´rnı´ matice L1 , . . . , Lk tak, zˇe B = L1 · · · Lk A. Kazˇda´ z elementa´rnı´ch matice je regula´rnı´ (veˇta 1.19, str. 22), tedy podle veˇty 3.3 je h(A) = h(B). △ Vy´znam poslednı´ veˇty spocˇ´ıva´ v mozˇnosti pouzˇ´ıt ˇra´dkove´ nebo sloupcove´ elementa´rnı´ operace prˇi vy´pocˇtu hodnosti matice. Vhodneˇ voleny´mi operacemi prˇevedeme danou matici do takove´ho tvaru, aby „vynikly“ vsˇechny linea´rneˇ neza´visle´ ˇra´dky, resp. sloupce. Postup uka´zˇeme pouze na prˇ´ıkladeˇ. Prˇ´ıklad 3.1
4 8 A= 4 8
3 −5 6 −7 3 1 6 −1
2 3 4 4 2 0 ∼ 2 −5 0 4 −6 0
3 −5 0 3 0 6 0 9
2 3 4 0 −4 0 ∼ 0 −8 0 0 −12 0
Poslednı´ matice ma´ evidentneˇ hodnost rovnu 2, je tedy i h(A) = 2.
3 −5 0 3 0 0 0 0
2 3 0 −4 0 0 0 0
Z prˇ´ıkladu 2.3 na straneˇ 26 jizˇ vı´me, zˇe ˇresˇenı´ homogennı´ soustavy rovnic tvorˇ´ı podprostor, ktery´ nazy´va´me nulovy´ prostor matice A. Nynı´ mu˚zˇeme urcˇit jeho dimenzi a zı´skat tak informaci o „pocˇtu rˇesˇenı´“ homogennı´ soustavy rovnic. Uvedeme ji pro rea´lne´ matice, v analogicke´m zneˇnı´ platı´ i pro matice komplexnı´. Jde o veˇtu za´sadnı´ho vy´znamu a budeme se ni v dalsˇ´ıch kapitola´ch cˇasto odvola´vat. Elegantnı´ mysˇlenka du˚kazu pocha´zı´ z [6]; jejı´ prˇednostı´ je, zˇe nevyzˇaduje komplikovanou analy´zu procesu Gaussovy eliminace.
3.1. Rˇa´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost
41
Veˇta 3.5 Necht’ A je matice typu (m, n) s hodnostı´ h. Pak pro dimenzi jejı´ho nulove´ho prostoru N(A) = {x ∈ Rn : Ax = o}
platı´ dim N(A) = n − h. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe dim N(A) = r a zvolme v N(A) ba´zi tvorˇenou vektory u1 , . . . ur . Podle veˇty 2.2 lze vektory u1 , . . . ur doplnit n−r vektory ur+1 , . . . , un na ba´zi prostoru Rn . Uka´zˇeme, zˇe vektory Aur+1 , . . . , Aun tvorˇ´ı ba´zi prostoru S(A), odkud jizˇ vyplyne, zˇe h = dim S(A) = n − r. Prˇesveˇdcˇme se nejdrˇ´ıve, zˇe vektory Aur+1 , . . . , Aun jsou linea´rneˇ neza´visle´. Necht’ αr+1 Aur+1 + · · · + αn Aun = o. Pak take´
A(αr+1 ur+1 + · · · + αn un ) = o, takzˇe αr+1 ur+1 + · · · + αn un ∈ N(A). Existujı´ tedy cˇ´ısla α1 , . . . , αr tak, zˇe αr+1 ur+1 + · · · + αn un = α1 u1 + · · · + αr ur , nebot’ vektory u1 , . . . , ur tvorˇ´ı ba´zi N(A). Z poslednı´ rovnosti plyne α1 u1 + · · · + αr ur − αr+1 ur+1 − · · · − αn un = o, odkud z linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ u1 , . . . , un vyply´va´ α1 = · · · = αn = 0, cozˇ znamena´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ Aur+1 , . . . , Aun . Da´le ukazˇme, zˇe hAur+1 , . . . , Aun i = S(A). Podle (3.1) je S(A) mnozˇinou vsˇech vektoru˚ Av, v ∈ Rn . Protozˇe kazˇdy´ vektor v ∈ Rn je neˇjakou linea´rnı´ kombinacı´ ba´zovy´ch vektoru˚ u1 , . . . , un , je S(A) = hAu1 , . . . , Aun i = hAur+1 , . . . , Aun i, nebot’ Au1 = · · · = Aun = o. Vektory Aur+1 , . . . , Aun tedy majı´ obeˇ vlastnosti pozˇadovane´ definicı´ (strana 29) a jsou ba´zı´ prostoru S(A). Odtud plyne, zˇe h = dim S(A) = n − r = n − dim N(A) a tedy dim N(A) = n − h. △ Pra´veˇ doka´zanou veˇtu vyuzˇijeme prˇi odvozenı´ tvrzenı´, ktere´ mu˚zˇe vzhledem k veˇteˇ 3.2 vypadat prˇekvapiveˇ. Jeho vy´znam se projevı´ zejme´na prˇi du˚kazu veˇt 9.6 a 9.12. Veˇta 3.6 Pro libovolnou cˇtvercovou matici A platı´ h(A) = h(AT A) = h(AAT ).
(3.2)
Kapitola 3
42
Du˚kaz. Stacˇ´ı doka´zat prvnı´ z rovnostı´; druha´ vyplyne ze vztahu h(A) = h(AT ) (veˇta 3.1). Prˇedpokla´dejme, zˇe matice A je n-te´ho ˇra´du. Pak i AT A je n-te´ho ˇra´du a rovnost (3.2) bude na za´kladeˇ veˇty 3.5 ekvivalentnı´ rovnosti dimenzı´ nulovy´ch prostoru˚ obou matic: dim N(A) = dim N(AT A). Uka´zˇeme, zˇe dokonce platı´ N(A) = N(AT A). Prˇipomenˇme, zˇe N(A) = {x ∈ Rn : Ax = o.} Je-li tedy x ∈ N(A), pak Ax = o a vyna´sobenı´m obou stran te´to rovnosti maticı´ AT zleva dostaneme AT Ax = o, cozˇ znamena´, zˇe x ∈ N(AT A). Naopak, je-li x ∈ N(AT A), pak AT Ax = o, odkud plyne (AT Ax, x) = 0. Pouzˇitı´m veˇty 2.9 odtud dostaneme (Ax, Ax) = 0, tedy ||Ax||2 = 0. To podle veˇty 2.8, tvrzenı´ (4) znamena´, zˇe Ax = o, takzˇe x ∈ N(A). Celkem jsme doka´zali, zˇe N(A) ⊂ N(AT A)
a N(A) ⊃ N(AT A),
z cˇehozˇ plyne N(A) = N(AT A).
△
Hodnost matice je rovneˇzˇ uzˇitecˇny´m na´strojem pro zjisˇteˇnı´ ˇresˇitelnosti soustavy linea´rnı´ch rovnic tvaru Ax = b. V cˇeske´ literaturˇe se uva´dı´ pod na´zvem Frobeniova veˇta. Vyuzˇ´ıva´ porovna´nı´ hodnosti matice soustavy A a hodnosti rozsˇ´ıˇrene´ matice A (viz strana 13). Veˇta 3.7 Necht’ A je libovolna´ matice typu (m, n), b sloupcovy´ vektor z Cn a necht’ A znacˇ´ı rozsˇ´ırˇenou matici soustavy Ax = b. Pak soustava Ax = b ma´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, je-li h(A) = h(A). Du˚kaz. Z (3.1) vyply´va´, zˇe soustava Ax = b ma´ ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, patrˇ´ı-li vektor b do sloupcove´ho prostoru matice A, cozˇ znamena´, zˇe b je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A. Je-li vsˇak vektor b je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A, pak jeho prˇida´nı´ jako dalsˇ´ıho sloupce k matici A nezmeˇnı´ jejı´ hodnost. Obra´ceneˇ, pokud majı´ matice A a A stejnou hodnost, pak prˇidany´ sloupec b musı´ by´t linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A. △
3.2 Cvicˇenı´ 3.1 Rozhodneˇte, ktere´ z vektoru˚ b1 , b2 , b3 patrˇ´ı do sloupcove´ho prostoru matice 2 −1 3 1 9 −4 A = 3 −5 1 ; b1 = −4 , b2 = 1 , b3 = 1 . 1 2 4 −7 1 5
3.2 Vypocˇteˇte neˇjakou ba´zi sloupcove´ho prostoru matice 1 1 2 0 A = 2 −1 −1 −1 . 1 −2 −3 −1
3.2. Cvicˇenı´
43
3.3 Ukazˇte prˇ´ıklad nenulovy´ch matic A, B, pro ktere´ a) h(A + B) = 0; b) h(A + B) = h(A) + h(B). 3.4 Vypocˇteˇte hodosti na´sledujı´cı´ch matic
1 3 5 −1 2 −1 −3 4 a) A = 5 1 −1 7 7 7 9 1
3 5 b) A = 1 7
−1 3 −3 2 −3 −5 −5 1
2 5 3 4 . 0 −7 4 1
3.5 Vypocˇteˇte, pro ktera´ α, β ∈ R bude hodnost matice
0 1 A= 2 1
1 2 α 0
2 3 1 2 0 1 β −4
minima´lnı´ a tuto hodnost stanovte. 3.6 Vypocˇteˇte dimenzi a neˇjakou ba´zi nulove´ho prostoru matice
2 −1 1 −1 2 3 −3 5 0 5 . 1 1 −3 −2 −1 3 0 −2 −3 1 3.7 Vypocˇteˇte vsˇechna α ∈ R, pro neˇzˇ ma´ soustava Ax = o s maticı´
1 2 1 2 −3 0 A= 3 5 −1 4 2 6
2 2 1 α
asponˇ jedno nenulove´ rˇesˇenı´. 3.8 Urcˇete vsˇechna α, β ∈ R, pro neˇzˇ ma´ ˇresˇenı´ soustava s rozsˇ´ıˇrenou maticı´ α 1 1 1 1 β 1 1 . 1 1 2 1 3.9 Vypocˇteˇte vsˇechna α, β ∈ R, pro neˇzˇ ma´ soustava s rozsˇ´ıˇrenou maticı´ α+1 1 0 β α 0 α−2 1 0 1 2 −1 nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´.
Kapitola 3
44
ˇ esˇenı´ 3.3 R 3.1 Pouze b2 ; bi patrˇ´ı do S(A) pra´veˇ tehdy, existuje-li ˇresˇenı´ rovnice Ax = bi . 3.2 Naprˇ´ıklad B = {(1, 2, 1)T , (1, −1, −2)T }. 3.3 Rˇesˇenı´ nenı´ jednoznacˇne´, naprˇ´ıklad a) A = E, B = −E. 1 0 0 0 b) A = a B= . 0 0 0 1 3.4 a) h(A) = 3,
b) h(A) = 3.
3.5 Pro α = 3 a β = −3 je h(A) = 2.
3.6 dim N(A) = 3, ba´ze N(A) je naprˇ. B = (2, 7, 3, 0, 0, )T , (−1, 4, 0, 0, 3)T , (1, 1, 0, 0, 1, 0)T . 3.7 α = 11.
3.8 Bud’ α + β 6 = 2 αβ nebo α = 1, β = 1. 3.9 β = 0 a α = 1 nebo α = −1.
Kapitola 4
Determinanty
Pojem determinantu matice se historicky vyvinul jako na´stroj pro ˇresˇenı´ soustavy rovnic Ax = b s regula´rnı´ maticı´ A. Je-li
A=
a11 a12 a21 a22
,
x=
x1 x2
a b=
b1 b2
,
pak snadno oveˇrˇ´ıme, zˇe x1 =
b1 a22 − b2 a12 a11 a22 − a12 a21
a
x2 =
b2 a11 − b1 a21 . a11 a22 − a12 a21
Definujeme-li det A = a11 a22 − a12 a21 a oznacˇ´ıme
A1 =
b1 a12 b2 a22
a A2 =
a11 b1 a21 b2
(4.1) ,
pak mu˚zˇeme pro rˇesˇenı´ psa´t x1 =
det A1 det A
a
x2 =
det A2 . det A
Analogicke´ vztahy bychom dostali (byt’ se znacˇneˇ veˇtsˇ´ı pocˇetnı´ na´mahou) pro soustavu s regula´rnı´ maticı´ trˇetı´ho rˇa´du, pokud bychom pro matici
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 definovali det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . 45
(4.2)
Kapitola 4
46
4.1 Definice a vlastnosti Pokus o zobecneˇnı´ vztahu˚ (4.1) a (4.2) na matice cˇtvrte´ho a vysˇsˇ´ıch ˇra´du˚ metodou popisu rˇesˇenı´ prˇ´ıslusˇny´ch soustav rovnic nara´zˇ´ı na znacˇnou zdlouhavost a komplikovanost vy´pocˇtu˚. Obecna´ definice determinantu bude zalozˇena na vlastnostech, ktere´ jsou spolecˇne´ pro vy´sˇe uvedene´ determinanty matic druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du. Vsˇimneˇme si, zˇe v obou prˇ´ıpadech je determinant soucˇtem soucˇinu˚ prvku˚ matice, vybrany´ch tak, aby z kazˇde´ho sloupce i ˇra´dku byl zvolen pra´veˇ jeden prvek. Byly utvorˇeny vsˇechny takove´ vy´beˇry, odpovı´dajı´cı´ soucˇiny byly opatrˇeny zname´nky podle za´konitosti, kterou da´le objasnı´me a vsˇechny soucˇiny byly secˇteny. Pro matici n-te´ho ˇra´du tedy vybereme: v prvnı´m rˇa´dku prvek ve sloupci j1 ve druhe´m rˇa´dku prvek ve sloupci j2 ... v n-te´m rˇa´dku prvek ve sloupci jn tak, zˇe kazˇde´ z cˇ´ısel j1 , j2 , . . . , jn je rovno neˇktere´mu z cˇ´ısel 1, 2, . . . , n a vsˇechna jsou navza´jem ru˚zna´. To znamena´, zˇe cˇ´ısla j1 , j2 , . . . , jn jsou permutacı´1 cˇ´ısel 1, 2, . . . , n. Je zna´mo, zˇe takovy´ch permutacı´ existuje celkem n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1. Dvojici (ji , jk ) nazveme inverzı´ v permutaci π = (j1 , j2 , . . . , jn ), jestlizˇe ji > jk a i < k. Je-li p celkovy´ pocˇet inverzı´ v permutaci π = (j1 , j2 , . . . , jn ), pak cˇ´ıslo (−1)p nazy´va´me zname´nkem permutace π a znacˇ´ıme sig π. Prˇ´ıklad 4.1 V permutaci (3, 1, 2, 5, 4) cˇ´ısel (1, 2, 3, 4, 5) jsou trˇi inverze: (3, 1), (3, 2), a (5, 4). Jejı´ znamenko tedy je −1. Veˇta 4.1 Vznikne-li permutace π2 prˇehozenı´m dvou prvku˚ permutace π1 , pak sig π2 = − sig π1 . Du˚kaz. Spocˇ´ıva´ v porovna´nı´ pocˇtu inverzı´ obou permutacı´. Viz naprˇ. [15, str. 123]. Definice. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du. Determinantem matice A nazy´va´me cˇ´ıslo X sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · anjn . (4.3) det A = (j1 ,...,jn )
Determinant matice A znacˇ´ıme te´zˇ |A|. Prˇesveˇdcˇme se nejdrˇ´ıve, zˇe pro matice druhe´ho a trˇetı´ho ˇra´du da´va´ uvedena´ definice stejny´ vy´sledek jako jizˇ uvedene´ vztahy (4.1) a (4.2). Prˇ´ıklad 4.2 Necht’
A=
a11 a12 a21 a22
.
Mnozˇina (1, 2) ma´ 2 permutace: (1, 2) a (2, 1). Je tedy det A = sig(1, 2) a11 a22 + sig(2, 1) a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 . 1 Permutacı´ mnozˇiny (1, 2, . . . , n) rozumı´me libovolnou usporˇa´danou
j1 , j2 , . . . jn jsou prˇitom navza´jem ru˚zne´.
n-tici jejı´ch prvku˚ (j1 , j2 , . . . jn ). Prvky
4.1. Definice a vlastnosti Prˇ´ıklad 4.3 Necht’
47
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33
Je celkem 3 ! = 6 permutacı´ mnozˇiny (1, 2, 3). Jsou zna´zorneˇny v na´sledujı´cı´ tabulce, vcˇetneˇ jim prˇ´ıslusˇny´ch soucˇinu˚, pocˇtu inverzı´ p a zname´nek sig π. π
soucˇin
p sig π
(1, 2, 3) a11 a22 a33
0
1
(1, 3, 2) a11 a23 a32
1
−1
(2, 1, 3) a12 a21 a33
1
−1
(2, 3, 1) a12 a23 a31
2
1
(3, 1, 2) a13 a21 a32
2
1
(3, 2, 1) a13 a22 a31
3
−1
Opravdu tedy po prˇeusporˇa´da´nı´ scˇ´ıtancu˚ vycha´zı´ det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . Pro snadneˇjsˇ´ı zapamatova´nı´ vztahu˚ pro vy´pocˇet determinantu˚ matic druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du lze pouzˇ´ıt na´sledujı´cı´ch obra´zku˚. V nich jsou spojeny prvky, jejichzˇ soucˇin se objevuje v determinantu; spojenı´ plnou cˇarou znamena´, zˇe zname´nko odpovı´dajı´cı´ permutace je 1, prˇerusˇovana´ spojovacı´ cˇa´ra odpovı´da´ permutaci se zname´nkem −1.
a11
a12
a21
a22
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
Uvedeny´ zpu˚sob vy´pocˇtu determinantu matice trˇetı´ho ˇra´du se nazy´va´ Sarrusovo pravidlo. Na vy´pocˇet determinantu˚ matic vysˇsˇ´ıch ˇra´du˚ vsˇak analogii tohoto pravidla nelze pouzˇ´ıt. V na´sledujı´cı´ch veˇta´ch uka´zˇeme, zˇe vy´pocˇet determinantu matice libovolne´ho ˇra´du lze zalozˇit na prˇevodu matice do troju´helnı´kove´ho tvaru pomocı´ elementa´rnı´ch operacı´. Nejdrˇ´ıve uved’me, jak se vypocˇte determinant troju´helnı´kove´ matice. Veˇta 4.2 Je-li A = (aij ) troju´helnı´kova´ matice n-te´ho rˇa´du, pak det A = a11 a22 · · · ann . Du˚kaz. Pro hornı´ i dolnı´ troju´helnı´kovou matici je jediny´m nenulovy´m cˇlenem v (4.3) soucˇin a11 a22 · · · ann . Protozˇe zname´nko odpovı´dajı´cı´ permutace je (−1)0 = 1, je det A = a11 a22 · · · ann . △
Kapitola 4
48 Prˇ´ıklad 4.4
3 7 4 det 0 2 5 = 3 · 2 · 1 = 6. 0 0 1
Drˇ´ıve, nezˇ odvodı´me pravidla pro vy´pocˇet determinantu obecne´ cˇtvercove´ matice, uka´zˇeme, zˇe transpozice matice nemeˇnı´ hodnotu determinantu. Tı´m bude u determinantu˚ „zrovnopra´vneˇn“ pohled na rˇa´dky a sloupce matice a vsˇechna tvrzenı´ o determinantech doka´zana´ pro ˇra´dky budou platit i pro sloupce. Veˇta 4.3 Pro kazˇdou cˇtvercovou matici platı´ det AT = det A. Du˚kaz. Uvazˇujme cˇtvercovou matici A = (aij ) n-te´ho ˇra´du. V transponovane´ matici AT bude na pozici (i, j ) prvek aj i , takzˇe pro jejı´ determinant bude podle definice platit: X det AT = sig(j1 , . . . , jn ) aj1 1 aj2 2 · · · ajn n . (j1 ,...,jn )
Prˇevedeme-li vhodny´mi za´meˇnami permutaci π = (j1 , j2 . . . , jn ) na (1, 2, . . . , n), pak tyte´zˇ za´meˇny prˇevedou za´kladnı´ permutaci (1, 2, . . . , n), na jistou permutaci π ′ = (k1 , k2 , . . . , kn ). Protozˇe obeˇ permutace π a π ′ vznikly stejny´m pocˇtem za´meˇn z (1, 2, . . . , n), majı´ stejnou signaturu. Je tedy X X det AT = sig(j1 , . . . , jn ) aj1 1 aj2 2 · · · ajn n = sig(k1 , . . . , kn ) a1k1 a2k2 · · · ankn = det A. (j1 ,...,jn )
(k1 ,...,kn )
Nynı´ postupneˇ oveˇrˇ´ıme, jaky´ vliv majı´ na hodnotu determinantu elementa´rnı´ rˇa´dkove´ operace. Veˇta 4.4 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du a necht’ matice A′ vznikne z A vy´meˇnou i -te´ho a j -te´ho rˇa´dku (i 6 = j ) . Pak det A′ = − det A. Du˚kaz. Vsˇechny soucˇiny a1j1 a2j2 · · · anjn z determinantu matice A se objevı´ i v determinantu matice A , podle veˇty 4.1 vsˇak vy´meˇnou dvou ˇra´dku˚ zmeˇnı´ vsˇechny permutace sva´ zname´nka. Odtud vy´sledek plyne. △ ′
Veˇta 4.5 Ma´-li cˇtvercova´ matice A dva stejne´ rˇa´dky, je det A = 0. Du˚kaz. Po vy´meˇneˇ stejny´ch ˇra´dku˚ v matici A dosta´va´me z prˇedcha´zejı´cı´ veˇty det A = − det A, odkud plyne det A = 0. △ Veˇta 4.6 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du a necht’matice A′ vznikne z A vyna´sobenı´m i -te´ho rˇa´dku cˇ´ıslem α. Pak det A′ = α det A. Du˚kaz. Podle definice determinantu je X det A′ = sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · αaiji · · · anjn = (j1 ,...,jn )
= α
X
sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · aiji · · · anjn = α det A.
(j1 ,...,jn )
4.1. Definice a vlastnosti
49
Veˇta 4.7 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du a kazˇde´ i, 1 ≤ i ≤ n, platı´ a11 a12 ··· a1n a11 a12 · · · .. .. .. . . . ai−1,2 · · · ai−1,n ai−1,1 ai−1,2 · · · ai−1,1 ai1 + b1 ai2 + b2 · · · ain + bn = ai1 ai2 · · · ai+1,1 ai+1,2 · · · ai+1,n ai+1,1 ai+1,2 · · · .. .. .. . . . an1 an2 ··· ann an1 an2 · · ·
b = (b1 , . . . , bn ) rˇa´dkovy´ vektor. Pak pro a1n .. .
ai−1,n ain ai+1,n .. . ann
+
a11 .. .
a12
ai−1,1 ai−1,2 b1 b2 ai+1,1 ai+1,2 .. . an1 an2
···
a1n .. .
· · · ai−1,n · · · bn · · · ai+1,n .. . · · · ann
.
Du˚kaz. Oznacˇme B matici, ktera´ vznikne z matice A nahrazenı´m jejı´ho i-te´ho rˇa´dku vektorem b a C matici, ktera´ vznikne prˇicˇtenı´m vektoru b k i-te´mu ˇra´dku matice A. Ma´me doka´zat, zˇe det C = det A + det B. Podle definice determinantu je det C = =
X
sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · (aiji + bji ) · · · anjn =
(j1 ,...,jn )
X
sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · aiji · · · anjn +
(j1 ,...,jn )
+
X
sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · bji · · · anjn =
(j1 ,...,jn )
= det A + det B. Veˇta 4.8 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du a necht’ matice A′ vznikne z A prˇicˇtenı´m α -na´sobku jejı´ho k -te´ho rˇa´dku k rˇa´dku i -te´mu (k 6 = i). Pak det A′ = det A. Du˚kaz. Prˇi vy´pocˇtu det A′ postupneˇ pouzˇijeme trˇ´ı prˇedcha´zejı´cı´ch veˇt. Dostaneme a11 a12 ··· a1n .. .. . . ai1 + α ak1 ai2 + α ak2 · · · ain + α akn . ′ . .. .. det A = = ak,1 ak,2 ··· ak,n .. .. . . an1 an2 ··· ann =
a11 .. . ai1 .. . ak1 .. . an1
a12 · · · a1n .. . ai2 · · · ain .. . ak2 · · · akn .. . an2 · · · ann
+α
= det A + α · 0 = det A.
a11 .. . ak1 .. . ak1 .. . an1
a12 · · · a1n .. . ak2 · · · akn .. . ak2 · · · akn .. . an2 · · · ann
=
Kapitola 4
50
I kdyzˇ tedy rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ matice nemusejı´ mı´t stejne´ determinanty, lze prˇevodu matice do troju´helnı´kove´ho tvaru pomocı´ elementa´rnı´ch operacı´ pouzˇ´ıt k vy´pocˇtu determintu libovolne´ cˇtvercove´ matice. Prˇ´ıklad 4.5
= −
2 −3 1 1 4 −2 3 −1
4 1 3 4
1 1 2 3
r1 r2 r3 r4
1 1 := r2 2 −3 := r1 = − := r3 4 −2 3 −1 := r4
1 4 3 4
1 1 2 3
r1 r2 r3 r4
:= r1 := r2 − 2r1 = := r3 − 4r1 := r4 − 3r1
1 1 1 1 r1 1 1 1 1 r1 := r1 1 1 0 −5 2 −1 r2 0 −5 2 −1 r2 := r2 = − · · 0 −6 −1 −2 r3 := 5r3 − 6r2 5 5 0 0 −17 −4 r3 0 0 −3 4 r4 0 −4 1 0 r4 := 5r4 − 4r2 1 1 · =− · 25 17
1 1 1 1 0 −5 2 −1 0 0 −17 −4 0 0 0 80
:= r1 := r2 = := r3 := 17r4 − 3r3
= − 1 · (−5) · (−17) · 80 = −16 25 · 17
Jinou mozˇnostı´ vy´pocˇtu determinantu libovolne´ cˇtvercove´ matice je rozvoj podle neˇktere´ho rˇa´dku, prˇ´ıpadneˇ sloupce. Prˇed formulacı´ a du˚kazem veˇty o vy´pocˇtu determinantu rozvojem podle rˇa´dku zaved’me pojmy subdeterminantu a doplnˇku. Definice. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du, n ≥ 2. Subdeterminantem Aij matice A prˇ´ıslusˇny´m pozici (i, j ) nazy´va´me determinant matice, ktera´ vznikne z matice A vynecha´nı´m i-te´ho rˇa´dku a j -te´ho sloupce. Doplnˇkem Dij matice A prˇ´ıslusˇny´m pozici (i, j ) nazy´va´me cˇ´ıslo Dij = (−1)i+j Aij . Veˇta 4.9 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du n ≥ 2. Pak pro kazˇde´ i = 1, . . . , n platı´ det A = ai1 Di1 + · · · + ain Din =
n X
aik Dik .
(4.4)
k=1
Du˚kaz. Uvazˇujme nejdrˇ´ıve matici A, jejı´zˇ prvnı´ ˇra´dek je (a11 , 0, . . . , 0). Z definice determinantu pak podle (4.3) dosta´va´me X X sig(j2 , . . . , jn ) a2j2 a3j3 · · · anjn = det A = sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · anjn = a11 (j2 ,...,jn )
(j1 ,...,jn )
= a11 A11 = a11 D11 .
Da´le uvazˇme matici A, jejı´zˇ i-ty´ ˇra´dek je (0, . . . , 0, aij , 0, . . . , 0).
(4.5)
4.1. Definice a vlastnosti
51
Pak pomocı´ j − 1 sloupcovy´ch za´meˇn a i − 1 ˇra´dkovy´ch za´meˇn prˇevedeme prvek aij na pozici (1, 1) a protozˇe pro vzniklou matici A′ je det A′ = (−1)i−1+j −1 det A = (−1)i+j det A, je na za´kladeˇ prˇedchozı´ho vy´pocˇtu det A = (−1)−i−j aij Aij = (−1)i+j aij Aij = aij Dij . Libovolny´ rˇa´dkovy´ vektor ai1 , . . . , ain je pak soucˇtem celkem n ˇra´dku˚ tvaru (4.5), takzˇe n-na´sobny´m pouzˇitı´m veˇty 4.7 dostaneme (4.4). △ Prˇ´ıklad 4.6 Pouzˇijme veˇtu o rozvoji determinantu podle ˇra´dku na vy´pocˇet determinantu matice 2 −1 3 −2 0 0 4 0 . A= 3 0 −1 0 1 −3 5 2
Pro rozvoj je vhodne´ zvolit rˇa´dek s maxima´lnı´m pocˇtem nulovy´ch prvku˚, tedy druhy´. Pak bude 2 3 −2 −1 3 −2 det A = 0 · (−1)2+1 0 −1 0 + 0 · (−1)2+2 3 0 0 + 1 5 2 −3 5 2 2 −1 3 2 −1 −2 + 4 · (−1)2+3 3 0 0 + 0 · (−1)2+4 3 0 −1 = 1 −3 5 1 −3 2
2 −1 −2 2+1 −1 −2 = −4 3 0 0 = −4 · 3 · (−1) = 12 (−2 − 6) = −96. −3 2 1 −3 2
Pouze pomocny´ charakter ma´ tvrzenı´, ktere´ se vzorci pro rozvoj determinantu opticky podoba´. Vyuzˇijeme je prˇi du˚kazu veˇty 4.13 ty´kajı´cı´ se vy´pocˇtu inverznı´ matice vyuzˇitı´m determinantu˚. Veˇta 4.10 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du n ≥ 2. Pak pro kazˇde´ i, j = 1, . . . , n, i 6 = j, platı´ n X aik Dj k = 0. ai1 Dj 1 + · · · + ain Dj n = k=1
Du˚kaz. Uvazˇujme matici B, ktera´ ma´ stejne´ prvky jako matice A, kromeˇ j -te´ho rˇa´dku; ten je stejny´ jako rˇa´dek i-ty´ (j 6 = i). Podle veˇty 4.5 je det B = 0. Kromeˇ toho podle veˇty 4.9, kde rozvı´jı´me podle j -te´ho rˇa´dku, je n X aik Dj k . det B = ai1 Dj 1 + · · · + ain Dj n = k=1
Porovna´nı´m obou vy´sleku˚ dosta´va´me tvrzenı´ veˇty.
△
Kapitola 4
52
Na za´veˇr tohoto oddı´lu uvedeme du˚lezˇitou veˇtu o determinantu soucˇinu dvou matic. V literaturˇe existuje neˇkolik prˇ´ıstupu˚ k jejı´mu du˚kazu, ani jeden vsˇak nelze povazˇovat za jednoduchy´. Nejprˇ´ıstupneˇjsˇ´ı du˚kaz lze nale´zt v [13, strana 49]. Veˇta 4.11 Jsou-li A a B cˇtvercove´ matice te´hozˇ rˇa´du, pak det(AB) = det A · det B.
4.2 Soustavy linea´rnı´ch rovnic s regula´rnı´ maticı´ Determinanty umozˇnˇujı´ nahle´dnout hloubeˇji do vlastnostı´ regula´rnı´ch matic, hrajı´ vy´znamnou roli prˇi rozpozna´nı´ regula´rnı´ch matic a vy´pocˇtu matic inverznı´ch. Lze jimi explicitneˇ popsat rˇesˇenı´ libovolne´ soustavy rovnic s regula´rnı´ maticı´. Veˇta 4.12 Je-li A regula´rnı´ matice, pak det A 6 = 0 a det A−1 =
1 . det A
(4.6)
Du˚kaz. K regula´rnı´ matici A existuje inverznı´ matice A−1 a platı´ AA−1 = E. Odtud je s vyuzˇitı´m veˇty 4.11 1 = det E = det AA−1 = det A det A−1 . To znamena´, zˇe jak det A tak i det A−1 jsou nenulove´ a platı´ (4.6).
△
Veˇta 4.13 Ma´-li matice A nenulovy´ determinant, je regula´rnı´ a platı´
A−1 =
1 T Dij . det A
(4.7)
Du˚kaz. Oznacˇme B = (Dij )T , kde Dij je doplneˇk k pozici (i, j ) v matici A a vypocˇteˇme AB = C = (cij ). Je cij = a1,i D1,j + · · · + an,i Dn,j . Pro i = j je podle veˇty o rozvoji determinantu (4.9) cij = det A, kdezˇto pro i 6 = j je podle veˇty 4.10 cij = 0. Tedy C = (det A) E. Stejneˇ se spocˇ´ıta´, zˇe BA = (det A) E, odkud plyne (4.7). △ Prˇ´ıklad 4.7 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k
2 3 −2 A = −1 −1 1 . −1 1 0
4.2. Soustavy linea´rnı´ch rovnic s regula´rnı´ maticı´
53
Rˇesˇenı´. Matice A je regula´rnı´, nebot’ det A = −1. Postupneˇ spocˇ´ıta´me 1 1 1+3 −1 −1 1+2 −1 1+1 −1 = −1, D = (−1) = −1, D = (−1) D11 = (−1) 13 12 −1 1 = −2, −1 0 1 0
D21 = (−1)
2+1
D31 = (−1)
3+1
Odtud vycha´zı´
3 −2 = 1 0
3 −2 −1 1 =
A−1
2,
1,
2 −2 −1 0 = −2,
D22 = (−1)
2+2
D32 = (−1)
3+2
2 −2 −1 1 , =
T −1 −1 −2 1 1 = −2 −2 −5 = 1 −1 1 0 1 2
D23 = (−1)
0 D33 = (−1) 2 −1 2 0 . 5 −1
2 −1
2+3
3 1
= 5,
2 3 −1 −1 = 1.
3+3
Nynı´ jizˇ snadno odvodı´me, zˇe pro existenci a vy´pocˇet inverznı´ matice k libovolne´ cˇtvercove´ matici A stacˇ´ı vyrˇesˇit jedinou rovnici: AX = E. Veˇta 4.14 Necht’ A je cˇtvercova´ matice, k nı´zˇ existuje matice X tak, zˇe platı´ bud’ AX = E nebo XA = E. Pak matice A je regula´rnı´ a X = A−1 . Du˚kaz. Ze vztahu AX = E i XA = E plyne stejny´m zpu˚sobem jako ve veˇteˇ 4.12, zˇe det A 6 = 0. Podle prˇedcha´zejı´cı´ veˇty je tedy matice A regula´rnı´, cozˇ umozˇnˇuje pouzˇ´ıt veˇtu 1.9 na straneˇ 12. Z nı´ plyne X = A−1 . △ Gaussova eliminacˇnı´ metoda je sice univerza´lnı´m prostrˇedkem k vy´pocˇtu rˇesˇenı´ soustavy linea´rnı´ch rovnic, neumozˇnˇuje vsˇak rˇesˇenı´ popsat explicitnı´m vzorcem ani udat jeho vlastnosti. Je tudı´zˇ u´cˇelne´ se zaby´vat i jiny´mi mozˇnostmi pro vy´pocˇet ˇresˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic. Je-li matice soustavy regula´rnı´, mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt matice k nı´ inverznı´. Obeˇ strany rovnice Ax = b vyna´sobı´me zleva maticı´ A−1 , cozˇ da´va´ ekvivalentnı´ rovnost x = A−1 b. (4.8) A protozˇe inverznı´ matice k regula´rnı´ matice je urcˇena jednoznacˇneˇ (veˇta 1.10), platı´ Veˇta 4.15 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho rˇa´du. Pak soustava Ax = b ma´ pro kazˇdy´ vektor b ∈ Cn jedine´ rˇesˇenı´ dane´ vztahem x = A−1 b. Pro homogennı´ soustavu (b = o) s regula´rnı´ maticı´ tak dosta´va´me jedine´ ˇresˇenı´ x = o. Je trˇeba si vsˇak uveˇdomit, zˇe vzorec (4.8) neprˇina´sˇ´ı zˇa´dne´ zjednodusˇenı´ vy´pocˇtu ˇresˇenı´ soustavy. Pro vy´pocˇet matice A−1 pouzˇijeme u´plneˇ stejne´ho postupu, jaky´m bychom ˇresˇenı´ x dostali prˇ´ımo: Gaussovy–Jordanovy eliminace. V (4.8) vsˇak musı´me jesˇteˇ navı´c vektor b vyna´sobit maticı´ A−1 . Znalost determinantu a jeho souvislost s inverznı´ maticı´ na´m dovoluje se navra´tit k mozˇnosti vyja´drˇit rˇesˇenı´ soustavy rovnic s regula´rnı´ maticı´ pomocı´ determinantu˚. Vzorec, ktery´ v na´sledujı´cı´ veˇteˇ odvodı´me, se nazy´va´ Cramerovo pravidlo. Protozˇe bylo zna´mo drˇ´ıve nezˇ Gaussova eliminace, stalo se hned po sve´m objevenı´ velice popula´rnı´. Dnes je jeho vy´znam hlavneˇ teoreticky´.
Kapitola 4
54
Veˇta 4.16 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho rˇa´du a b libovolny´ sloupcovy´ vektor z Cn . Oznacˇme Ai matici, ktera´ vznikne z matice A na´hradou jejı´ho i -te´ho sloupce vektorem b, i = 1, . . . , n. Pak rˇesˇenı´m soustavy Ax = b je vektor x = (x1 , . . . , xn )T , kde xi =
det Ai , det A
i = 1, . . . , n.
Du˚kaz. Pro regula´rnı´ matici A ma´ rovnice Ax = b dostaneme A11 A21 x1 x2 1 A12 A22 . .. = . det A .. xn
A1n A2n
ˇresˇenı´ x = A−1 b. Dosadı´me-li za A−1 z (4.9), . . . An1 . . . An2 . .. . .. . . . Ann
Odtud pak
xi =
b1 b2 .. . bn
.
det Ai A1i b1 + A2i b2 + · · · + Ani bn = , det A det A
nebot’ v cˇitateli je rozvoj determinantu matice Ai podle i-te´ho ˇra´dku.
△
Celkoveˇ lze vlastnosti regula´rnı´ch a singula´rnı´ch matic shrnout do na´sledujı´cı´ch dvou prˇehledny´ch veˇt. Veˇta 4.17 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du. Pak na´sledujı´cı´ vlastnosti jsou ekvivalentnı´: (a) A je regula´rnı´; (b) det A 6 = 0; (c) A je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´; (d) h(A) = n; (e) rˇa´dky matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´; (f) sloupce matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´; (g) soustava Ax = o ma´ jedine´ rˇesˇenı´ x = o; (h) soustava Ax = b ma´ jedine´ rˇesˇenı´ pro kazˇdy´ vektor b ∈ Cn . Du˚kaz. Postup du˚kazu bude na´sledujı´cı´: (a) ⇔ (b), (a) ⇔ (c), (c) ⇒ (d), (d) ⇒ (e),
(e) ⇒ (f),
(f) ⇒ (g),
(g) ⇒ (h),
(h) ⇒ (a).
1) [(a) ⇔ (b)] Ekvivalence tvrzenı´ (a), (b) je obsahem veˇt 4.12 a 4.13. 2) [(a) ⇔ (c)] Ekvivalence tvrzenı´ (a), (c) je obsahem veˇty 1.20. 3) [(c) ⇒ (d)] Je-li A ∼ E, pak obeˇ matice majı´ podle veˇty 3.4 stejnou hodnost. Protozˇe matice E ma´ linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky, je jejı´ hodnost rovna n (viz pozna´mku ze definicı´ hodnosti matice). Hodnost matice A je tedy rovneˇzˇ rovna n. 4) [(d) ⇒ (e)] Plyne z definice hodnosti matice (strana 39) a po nı´ na´sledujı´cı´ pozna´mky. 5) [(e) ⇒ (f)] Plyne z rovnosti h(A) = h(AT ) (veˇta 3.1).
4.3. Cvicˇenı´
55
6) [(f) ⇒ (g)] Necht’ a1 , . . . , an jsou sloupce matice A. Pro x = (x1 , . . . , xn )T je pak
Ax = x1 a1 + · · · + xn an . Z linea´rnı´ neza´vislosti sloupcu˚ a1 , . . . , an plyne, zˇe x1 a1 + · · · + xn an = o jedineˇ pokud platı´ x1 = x2 = · · · = xn = 0, tedy x = o. 7) [(g) ⇒ (h)] Platı´-li (g), pak podle veˇty 1.15 je matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ a podle jizˇ doka´zane´ ekvivalence (a) ⇔ (c) je matice A regula´rnı´; vektor x = A−1 b je pak rˇesˇenı´m rovnice Ax = b. Necht’ vektory u a v jsou ˇresˇenı´mi soustavy Ax = b. Je tedy
Au = b a
Av = b.
Odecˇtenı´m dosta´va´me po u´praveˇ A(u − v) = o, odkud z prˇedpokladu (g) plyne u − v = o a tedy u = v. To znamena´, zˇe ˇresˇenı´ soustavy Ax = b je urcˇeno jednoznacˇneˇ. 8) [(h) ⇒ (a)] Ma´-li soustava Ax = b ˇresˇenı´ pro libovolny´ sloupcovy´ vektor b, pak existujı´ vektory vektory x1 , . . . , xn , pro neˇzˇ Axi = ei , i = 1, . . . , n, kde e1 , . . . , en jsou sloupce jednotkove´ matice E. Podle veˇty 1.2 tedy platı´ AX = E, kde X je matice se sloupci x1 , . . . , xn , z cˇehozˇ podle veˇty 4.14 plyne, zˇe matice A je regula´rnı´. △ Analogicke´ vlastnosti singula´rnı´ch matic pak dostaneme negacı´ odpovı´dajı´cı´ch vlastnostı´ matic regula´rnı´ch. Veˇta 4.18 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du. Pak na´sledujı´cı´ vlastnosti jsou ekvivalentnı´: (a) A je singula´rnı´; (b) det A = 0; (c) h(A) < n; (d) rˇa´dky matice A jsou linea´rneˇ za´visle´; (e) sloupce matice A jsou linea´rneˇ za´visle´; (f) soustava Ax = o ma´ asponˇ jedno nenulove´ rˇesˇenı´.
4.3 Cvicˇenı´ 4.1 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ o determinantech jsou pravdiva´. a) Pro kazˇde´ dveˇ cˇtvercove´ matice A, B stejne´ho ˇra´du platı´ det (A + B) = det A + det B. b) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A a kazˇde´ cˇ´ıslo α platı´ det (α A) = α det A. c) Pro kazˇde´ dveˇ cˇtvercove´ matice A, B stejne´ho ˇra´du platı´ det (AB) = det A · det B.
d) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A platı´ det AT = det A.
e) Pro kazˇdou regula´rnı´ matici A platı´ det A−1 = 1/ det A. f) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A liche´ho ˇra´du platı´ det (−A) = − det A.
g) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A a kazˇde´ prˇirozene´ n platı´ det An = (det A)n .
Kapitola 4
56 h) Elementa´rnı´ operace nemeˇnı´ hodnotu determinantu. i) Determinant regula´rnı´ matice je nenulovy´. j) Determinant singula´rnı´ matice je roven nule. k) Ma´-li matice nenulovy´ determinant, jsou jejı´ ˇra´dky i sloupce linea´rneˇ neza´visle´. l) Ma´-li matice nulovy´ determinant, jsou jejı´ ˇra´dky i sloupce linea´rneˇ za´visle´. 4.2 Vypocˇteˇte na´sledujı´cı´ determinanty: 1 1 1 1 1 −1 1 1 , a) 1 1 −1 1 1 1 1 −1
b)
4.4 Vypocˇteˇte determinanty na´sledujı´cı´ch 1 n n ··· n 0 0 n 2 n ··· n 0 0 n n 3 ··· n . . a) , b) .. .. .. .. .. . . .. . . . 0 1 . . n n n ··· n 1 0
matic n-te´ho ˇra´du ··· 0 1 ··· 1 0 . .. .. , c) . . . . ··· 0 0 ··· 0 0
3 −3 −2 −5 2 5 4 6 , 5 5 8 7 4 4 5 6
c)
0 8 7 0
4.3 Vypocˇteˇte determinant (nazy´va´ se Jacobia´n) cos ϕ sin ψ −r sin ϕ sin ψ r cos ϕ cos ψ J (r, ϕ, ψ) = sin ϕ sin ψ r cos ϕ sin ψ r sin ϕ cos ψ cos ψ 0 −r sin ψ
4.5 Vypocˇteˇte determinant
ˇ esˇenı´ 4.4 R
a0 a1 −1 λ 0 −1 .. .. . . 0 0
0 0
· · · an−1 ··· 0 ··· 0 . .. . .. . 0 .. λ 0 · · · −1
a2 0 λ .. .
5 3 2 4
2 5 4 1
0 4 1 0
.
1−n 1 1 1 1−n 1 1 1 1−n .. .. .. . . . 1 1 1
.
··· ··· ··· .. .
1 1 1 .. .
··· 1 − n
. 0 λ
an 0 0 .. .
4.1 Vsˇechna kromeˇ a), b), h). 4.2 a) −8,
b) 90,
c) 60.
4.3 J (r, ϕ, ψ) = r 2 sin ψ. 4.4 a) (−1)n−1 n!
n
b) (−1) 2 pro sude´ n, (−1)
n−1 2
pro liche´ n,
c) 0.
4.5 a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an . Na´vod: Prvnı´ sloupec vyna´sobte λ a prˇicˇteˇte ke druhe´mu. Vznikly´ sloupec vyna´sobte λ a prˇicˇteˇte ke trˇetı´mu, atd. Nakonec determinant rozvinˇte podle poslednı´ho sloupce.
Kapitola 5
Linea´rnı´ zobrazenı´
Matice jsou nejen u´cˇinny´m na´strojem pro popis a ˇresˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic, ale umozˇnˇujı´ i popis jaky´chkoliv linea´rnı´ch za´vislostı´ mezi vektorovy´mi prostory. Dosta´va´me se tak k pojmu, v neˇmzˇ spojı´me vyuzˇitı´ matic a vektorovy´ch prostoru˚: linea´rnı´ zobrazenı´. Definice. Necht’ V a W jsou vektorove´ prostory, bud’ oba rea´lne´ nebo oba komplexnı´. Zobrazenı´ A : V → W nazy´va´me linea´rnı´m zobrazenı´m, jestlizˇe pro vsˇechny vektory x, y ∈ V a vsˇechna cˇ´ısla α platı´ (a) A(x + y) = A(x) + A(y) (b) A(α x) = αA(x).
V technicky´ch aplikacı´ch se mı´sto na´zvu linea´rnı´ zobrazenı´ pouzˇ´ıva´ take´ linea´rnı´ syste´m. Podmı´nky (a), (b) z definice linea´rnı´ho zobrazenı´ se dajı´ nahradit jedinou podmı´nkou pro vsˇechny vektory x, y ∈ V a vsˇechna cˇ´ısla α, β : A(α x + β y) = αA(x) + βA(y)
(5.1)
nebo podmı´nkou pro obraz jake´koliv linea´rnı´ kombinace A(α1 x1 + · · · + αk xk ) = α1 A(x1 ) + · · · + αk A(xk ).
(5.2)
Vztah (5.2) se take´ nazy´va´ princip superpozice. Z geometricky´ch zobrazenı´ patrˇ´ı mezi linea´rnı´ zobrazenı´ naprˇ´ıklad rotace kolem pocˇa´tku v R2 nebo R3 , kolma´ projekce do roviny procha´zejı´cı´ pocˇa´tkem v R3 , cˇi symetrie kolem prˇ´ımky nebo roviny procha´zejı´cı´ pocˇa´tkem v R3 .
5.1 Matice linea´rnı´ho zobrazenı´ Vztah mezi linea´rnı´mi zobrazenı´mi a maticemi popisujı´ na´sledujı´cı´ dveˇ veˇty. Strucˇny´m zpu˚sobem lze jejich obsah charakterizovat takto: Kazˇda´ matice typu (m, n) urcˇuje linea´rnı´ zobrazenı´ mezi prostory n-rozmeˇrny´ch a m-rozmeˇrny´ch aritmeticky´ch vektoru˚ a kazˇde´ linea´rnı´ zobrazenı´ mezi dveˇma konecˇneˇ dimenziona´lnı´mi vektorovy´mi prostory lze charakterizovat maticı´. Veˇta 5.1 Necht’ A je rea´lna´ matice typu (m, n). Pak zobrazenı´ A definovane´ vztahem A(x) = A x,
je linea´rnı´m zobrazenı´m z Rn do Rm . 57
x ∈ Rn
(5.3)
Kapitola 5
58
Du˚kaz. Vlastnosti (a), (b) z definice linea´rnı´ho zobrazenı´ jsou pro uvedene´ zobrazenı´ ekvivalentnı´ tvrzenı´ (d) ve veˇta´ch 1.3 a 1.4. △ Vztah (5.3) definuje rovneˇzˇ linea´rnı´ zobrazenı´ z Cn do Cm . Stejneˇ tak pro kazˇdou komplexnı´ matici A typu (m, n) urcˇuje (5.3) linea´rnı´ zobrazenı´ z Cn do Cm . Na´sledujı´cı´ veˇta ukazuje obra´ceny´ pohled: k dane´mu linea´rnı´mu zobrazenı´ A sestrojı´me matici A, ktera´ bude A popisovat vztahem analogicky´m k (5.3). Prˇipomenˇme, zˇe symbolem [x]B oznacˇujeme sloupcovy´ vektor sourˇadnic x v ba´zi B. Veˇta 5.2 Necht’ V je vektorovy´ prostor s ba´zı´ B = (b1 , . . . , bn ) a W vektorovy´ prostor s ba´zı´ C = (c1 , . . . , cm ). Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ V do W a necht’ A je matice, jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı vektory [A(b1 )]C , . . . , [A(bn )]C . Pak pro kazˇdy´ vektor x ∈ V platı´ [A(x)]C = A[x]B . Podle te´to veˇty je zobrazenı´ A charakterizova´no maticı´ typu (m, n), jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı sourˇadnice obrazu˚ ba´zovy´ch vektoru˚. Tuto matici nazy´va´me maticı´ zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m B a C. Slovy pak mu˚zˇeme obsah te´to du˚lezˇite´ veˇty vyja´drˇit takto: Sourˇadnice (v ba´zi C ) obrazu libovolne´ho vektoru x ∈ V dostaneme jako soucˇin matice zobrazenı´ a vektoru sourˇadnic x (v ba´zi B ). Du˚kaz. Zvolme x ∈ V a popisˇme jej sourˇadnicemi v ba´zi B :
x = x1 b1 + · · · + xn bn . Je tedy [x]B = (x1 , . . . , xn )T . Ze vztahu (5.2) pak vyply´va´ A(x) = x1 A(b1 ) + · · · + xn A(bn ) a pro sourˇadnice tedy platı´
A(x)
C
= x1 A(b1 ) C + · · · + xn A(bn ) C .
Na za´kladeˇ veˇty 1.2 lze poslednı´ rovnost prˇepsat do tvaru [A(x)]C = A[x]B , cˇ´ımzˇ je veˇta doka´za´na. △ Z tvrzenı´ veˇty 5.2 vyply´va´, zˇe v pevneˇ zvoleny´ch ba´zı´ch prostoru˚ V a W je matice linea´rnı´ho zobrazenı´ A : V → W urcˇena jednoznacˇneˇ, avsˇak prˇi zmeˇneˇ ba´ze v prostoru V nebo W se matice zobrazenı´ A zmeˇnı´. V na´sledujı´cı´m oddı´lu uka´zˇeme, jake´ za´konitosti tato zmeˇna podle´ha´. Prˇ´ıklad 5.1 Ukazˇme, jak vypadajı´ matice dvou nejjednodusˇsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ linea´rnı´ho zobrazenı´, zobrazenı´ nulove´ho a zobrazenı´ identicke´ho. Nulove´ zobrazenı´ prˇirˇazuje vsˇem vektoru˚m sve´ho definicˇnı´ho oboru vektor nulovy´. Protozˇe nulovy´ vektor ma´ v libovolne´ ba´zi nulove´ sourˇadnice, je maticı´ nulove´ho zobrazenı´ pro jakoukoliv volbu ba´zı´ v prostoru V nulova´ matice O. Identicke´ zobrazenı´ I : V → V je bez ohledu na volbu ba´ze definova´no vztahem I (x) = x pro kazˇdy´ vektor x ∈ V .
5.1. Matice linea´rnı´ho zobrazenı´
59
Zvolı´me-li v prostoru V libovolneˇ ba´zi B a na identicke´ zobrazenı´ pohlı´zˇ´ıme jako na zobrazenı´ z prostoru V s ba´zı´ B do prostoru V s touzˇ ba´zı´ B, pak je snadne´ si uveˇdomit, zˇe jeho maticı´ je jednotkova´ matice E. Jinak bude vypadat matice identicke´ho zobrazenı´ I, pokud je uvazˇujeme jako zobrazenı´ z prostoru V s jednou ba´zı´ do prostoru V s ba´zı´ jinou. Zvolme tedy v prostoru V dveˇ ru˚zne´ ba´ze B = (b1 , . . . , bn ) a B ′ = (b′1 , . . . , b′n ) a spocˇ´ıtejme, jakou matici bude mı´t identicke´ zobrazenı´ I z prostoru V s ba´zı´ B ′ do prostoru V s ba´zı´ B. Podle veˇty 5.2 budou sloupce te´to matice tvorˇit sourˇadnice vektoru˚ I (b′1 ), . . . , I (b′n ) vzhledem k ba´zi B. Protozˇe I (b′i ) = b′i pro kazˇde´ i = 1, . . . , n, bude kazˇdy´ ze sloupcu˚ matice identicke´ho zobrazenı´ tvorˇen sourˇadnicemi vektoru˚ b′1 , . . . , b′n vzhledem k ba´zi B. Dostaneme je z na´sledujı´cı´ch rovnic:
b′1 = p11 b1 + p21 b2 + · · · + pn1 bn
b′2 = p12 b1 + p22 b2 + · · · + pn2 bn .. .
b′n = p1n b1 + p2n b2 + · · · + pnn bn Maticı´ zobrazenı´ I pak bude P = (pij ). V dalsˇ´ım prˇ´ıkladu vypocˇteme matici zobrazenı´, ktere´ se velmi cˇasto vyskytuje ve fyzika´lnı´ch i geometricky´ch aplikacı´ch. Prˇ´ıklad 5.2 Definujme zobrazenı´ A : R2 → R2 jako „otocˇenı´ kolem pocˇa´tku o u´hel α v kladne´m smyslu“ a vypocˇteˇme jeho matici vzhledem ke standardnı´ ba´zi R2 . +
A(x) sin α
+
A(e1 )
x
α
α cos α
Obr. 5.1 Otocˇenı´ o u´hel α v R2 .
e1
Obr. 5.2 Otocˇenı´ vektoru e1 .
Rˇesˇenı´. Podle veˇty 5.2 budou sloupce hledane´ matice A tvorˇit sourˇadnice obrazu˚ vektoru˚ standardnı´ ba´ze, tedy vektoru˚ A(e1 ) a A(e2 ). Prˇitom A(e1 ) vznikne otocˇenı´m vektoru e1 o u´hel α (viz obr. 5.2) a A(e2 ) je vektor e2 otocˇeny´ o u´hel α. Vy´pocˇet sourˇadnic je jednoduchy´m trigonometricky´m proble´mem a pro vektor A(e1 ) jej zna´zornˇuje jej obr. 5.2. Vyply´va´ z neˇj, zˇe A(e1 ) = cos α e1 + sin α e2
a podobneˇ vyjde
Pro vy´slednou matici A tedy dosta´va´me
A=
A(e2 ) = − sin α e1 + cos α e2 .
cos α − sin α sin α cos α
.
Pomocı´ matice A vypocˇteme sourˇadnice libovolne´ho otocˇene´ho vektoru x = (x1 , x2 )T : cos α − sin α x1 cos α − x2 sin α x1 A(x) = = . sin α cos α x2 x1 sin α + x2 cos α
Kapitola 5
60
5.2 Transformace sourˇadnic Uvazˇujme ve vektorove´m prostoru V dveˇ ru˚zne´ ba´ze B = (b1 , . . . , bn ) a B ′ = (b′1 , . . . , b′n ) a vyja´drˇeme pro kazˇdy´ vektor x ∈ V jeho sourˇadnice v obou ba´zı´ch:
x = x1 b1 + · · · + xn bn Oznacˇme
X= x B =
x1 .. . xn
a
x = x1′ b′1 + · · · + xn′ b′n .
a X′ = x B ′ =
x1′ .. . . xn′
(5.4)
Vysˇetrˇujme nynı´, jak lze popsat zmeˇnu sourˇadnic vektoru x prˇi prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B ′ . Vyja´drˇ´ıme-li vsˇechny vektory ba´ze B ′ jako linea´rnı´ kombinace vektoru˚ ba´ze B :
b′1 = p11 b1 + p21 b2 + · · · + pn1 bn
b′2 = p12 b1 + p22 b2 + · · · + pn2 bn .. .
(5.5)
b′n = p1n b1 + p2n b2 + · · · + pnn bn a oznacˇ´ıme-li P = (pij ), pak sloupce matice P tvorˇ´ı sourˇadnice vektoru˚ b′1 , . . . , b′n vzhledem k ba´zi B. To znamena´, zˇe P je maticı´ identicke´ho zobrazenı´ prostoru V s ba´zı´ B ′ do prostoru V s ba´zı´ B (viz prˇ´ıklad 5.1) a tudı´zˇ pro kazˇdy´ vektor x ∈ V platı´ X = x B = I (x) B = P x B ′ = PX′ . (5.6)
Matici P nazy´va´me maticı´ prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B ′ . Na´zev je motivova´n vztahy 5.5, nikoliv rovnicı´ 5.6. Protozˇe sloupce matice P tvorˇ´ı sourˇadnice vektoru˚ ba´ze, jsou linea´rneˇ neza´visle´. To podle veˇty 4.17 (a), (g) na straneˇ 54 znamena´, zˇe P je regula´rnı´ a existuje k nı´ matice inverznı´. Ze vztahu 5.6 tak dosta´va´me rovnost, umozˇnˇujı´cı´ vypocˇ´ıst „nove´“ sourˇadnice X′ z „pu˚vodnı´ch“ sourˇadnic X :
X′ = P−1 X.
(5.7)
Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme odvodit vztah, ktery´ popı´sˇe jak se zmeˇnı´ matice linea´rnı´ho zobrazenı´ A : V → W prˇi zmeˇneˇ ba´zı´ v prostorech V a W. Pro zjednodusˇenı´ za´pisu budeme uvazˇovat pouze nejcˇasteˇji se vyskytujı´cı´ prˇ´ıpad V = W. Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe V je vektorovy´ prostor s ba´zı´ B = (b1 , . . . , bn ) a uvazˇujme linea´rnı´ zobrazenı´ A : V → V . Oznacˇme matici tohoto zobrazenı´ (vzhledem k ba´zi B) jako A. Zvolme da´le v prostoru V jinou ba´zi B ′ = (b′1 , . . . , b′n ) a oznacˇme matici prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B ′ jako P. Pro popis sourˇadnic vektoru˚ x, y v obou ba´zı´ch pouzˇijme oznacˇenı´ podle (5.4). Je-li nynı´ y = A(x), pak Y = AX. Dosazenı´m z (5.6) dostaneme
PY′ = APX′ , odkud vyna´sobenı´m obou stran maticı´ P−1 zleva plyne
Y′ = P−1 APX′ = A′ X′ , kde jsme oznacˇili
A′ = P−1 AP.
(5.8)
Vidı´me tedy, zˇe prˇi zmeˇneˇ ba´ze z B na B ′ se pu˚vodnı´ matice A zmeˇnı´ na matici A′ = P−1 AP, kde P je matice prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B ′ .
5.3. Cvicˇenı´
61
5.3 Cvicˇenı´ 5.1 Linea´rnı´ zobrazenı´ A : R2 → R2 je da´no vztahy A(1, 2) = (3, 1), A(2, 3) = (6, 2).
Vypocˇteˇte matici tohoto zobrazenı´ v ba´zi B = {(1, 2), (2, 3)}. 5.2 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ z R3 do R3 , jehozˇ matice v ba´zi B = {b1 , b2 , b3 } je 5 0 2 A = 2 1 3 . 4 3 0 Urcˇete matici zobrazenı´ A v ba´zi B ′ = {b2 , b1 , b3 }.
5.3 Oznacˇme M2 linea´rnı´ prostor vsˇech cˇtvercovy´ch matic druhe´ho ˇra´du a zvolme v neˇm ba´zi 1 0 0 1 0 0 0 0 B= , , , . 0 0 0 0 1 0 0 1 Necht’ T je zobrazenı´, ktere´ kazˇde´ matici A z M2 prˇirˇadı´ transponovanou matici AT : T (A) = AT . Ukazˇte, zˇe T je linea´rnı´ a vypocˇteˇte matici zobrazenı´ T vzhledem k ba´zi B. 5.4 Zobrazenı´ Z : R2 → R2 je definova´no jako symetrie kolem prˇ´ımky p procha´zejı´cı´ pocˇa´tkem a svı´rajı´cı´ s „kladnou osou x1 “ u´hel α (t.j. Z je zrcadlenı´ podle prˇ´ımky p ). Nalezneˇte jeho matici Z ve standardnı´ ba´zi R2 . 5.5 Zobrazenı´ P : R3 → R3 je definova´no jako ortogona´lnı´ projekce na rovinu π procha´zejı´cı´ osou x3 a svı´rajı´cı´ s osou x1 u´hel α. Vypocˇteˇte jeho matici P ve standardnı´ ba´zi R3 . 5.6 Linea´rnı´ zobrazenı´ A : R2 → R2 ma´ ve standardnı´ ba´zi R2 matici 1 1 A= . 1 −1 Vypocˇteˇte jeho matici v ba´zi tvorˇene´ vektory b1 = (3, 1)T a b2 = (2, 1)T . 5.7 Dokazˇte, zˇe linea´rnı´ zobrazenı´ A : V → V je proste´ pra´veˇ tehdy, ma´-li v neˇjake´ ba´zi prostoru V regula´rnı´ matici. 5.8 Ukazˇte, zˇe matice slozˇene´ho zobrazenı´ je soucˇinem matic jednotlivy´ch zobrazenı´, t.j. zˇe platı´: Jsou-li B1 , B2 , B3 ba´ze vektorovy´ch prostoru˚ V1 , V2 , V3 , A linea´rnı´ zobrazenı´ V1 do V2 , jehozˇ matice vzhledem k ba´zı´m B1 a B2 je A a B je linea´rnı´ zobrazenı´ V2 do V3 , jehozˇ matice vzhledem k ba´zı´m B2 a B3 je B, pak slozˇene´ zobrazenı´ BA : BA(x) = B A(x) , x ∈ V1 ma´ vzhledem k ba´zı´m B1 a B3 matici BA.
5.9 Ukazˇte, zˇe matice inverznı´ho zobrazenı´ je inverznı´ matice k matici zobrazenı´ pu˚vodnı´ho.
Kapitola 5
62
ˇ esˇenı´ 5.4 R 5.1 A = 5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
−7 −14 5 10
.
1 2 3 A′ = 0 5 2 . 3 4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 T= 0 1 0 0 . 0 0 0 1 cos 2α sin 2α . Z= sin 2α − cos 2α cos2 α cos α sin α 0 sin2 α 0 . P = cos α sin α 0 0 1 0 1 ′ A = . 2 0
5.7 A je proste´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro libovolne´ vektory x 6 = y platı´ A(x) 6 = A(y), takzˇe v ba´zi B prostoru V bude platit x 6 = y ⇐⇒ A(x) 6 = A(y) ⇐⇒ A(x − y) 6 = o ⇐⇒ A[x − y]B 6 = o ⇐⇒ Au 6 = o pro u 6 = o. To je podle veˇty 4.14 (g) ekvivalentnı´ regula´rnosti matice A. 5.8 B A(x) B3 = B A(x) B2 = BA x B1 . 5.9 Je-li y = A−1 (x), pak x = A(y) a tedy [x] = A [y], odkud plyne [y] = A−1 [x].
Kapitola 6
Charakteristicke´ vektory
Nynı´ se budeme zaby´vat vlastnostmi matic linea´rnı´ch zobrazenı´ A : V → V , kde V je vektorovy´ prostor dimenze n. Podle veˇty 5.2 je matice linea´rnı´ho zobrazenı´ z V do V jednoznacˇneˇ urcˇena volbou ba´ze prostoru V . Vzorec (5.8), odvozeny´ v za´veˇru prˇedesˇle´ kapitoly, pak odpovı´da´ na ota´zku, jak se zmeˇnı´ matice linea´rnı´ho zobrazenı´ z V do V , dojde-li ke zmeˇneˇ ba´ze v prostoru V . Soucˇasneˇ vsˇak vznikajı´ dveˇ nove´ ota´zky: • Jak pozna´me, zda dveˇ matice A, B reprezentujı´ tote´zˇ linea´rnı´ zobrazenı´? Prˇitom odpoveˇd’, zˇe splnˇujı´ vztah B = P−1 AP, nenı´ prˇ´ılisˇ uspokojiva´, nebot’ nerˇ´ıka´, jak nale´zt matici P. • Lze mezi vsˇemi maticemi, ktere´ reprezentujı´ stejne´ linea´rnı´ zobrazenı´, nale´zt neˇjakou, ktera´ bude vynikat obzvla´sˇtnı´ jednoduchostı´, naprˇ. diagona´lnı´ matici? Odpoveˇdi na obeˇ ota´zky vyzˇadujı´ hlubsˇ´ı zkouma´nı´ vztahu
B = P−1AP.
(6.1)
Matice sva´zane´ vztahem (6.1) budeme vysˇetrˇovat v na´sledujı´cı´m odstavci.
6.1 Podobne´ matice Definice. Cˇtvercovou matici B nazveme podobnou cˇtvercove´ matici A (znacˇ´ıme A ≈ B), jestlizˇe existuje regula´rnı´ matice P tak, zˇe B = P−1AP. (6.2) Z definice jsou viditelne´ na´sledujı´cı´ vlastnosti podobnosti matic. a) Kazˇda´ cˇtvercova´ matice je podobna´ sama sobeˇ. b) Je-li B podobna´ A, pak A je podobna´ B. c) Je-li A podobna´ B a B podobna´ C, pak A je podobna´ C. Vlastnost a) plyne ze vztahu
A = EAE = E−1AE. Vlastnost b) dostaneme vyna´sobenı´m obou stran v (6.2) maticı´ P zleva a maticı´ P−1 zprava:
A = PBP−1 = Q−1 BQ, 63
kde
Q = P−1 .
Kapitola 6
64 Konecˇneˇ, je-li
A = P−1 BP a B = Q−1 CQ, pak dosazenı´m dosta´va´me
A = P−1 Q−1 CQP = (QP)−1 CQP = R−1 CR, kde R = PQ. Platı´ tedy i c). Vzhledem k vlastnosti b) mu˚zˇeme mı´sto A je podobna´ B nebo B je podobna´ A te´zˇ rˇ´ıkat, zˇe matice A a B jsou (si) podobne´. Podobnost je tedy reflexivnı´, symetricka´ a tranzitivnı´ relace a tudı´zˇ je ekvivalencı´ na mnozˇineˇ vsˇech cˇtvercovy´ch matic stejne´ho ˇra´du. Mnozˇina cˇtvercovy´ch matic te´hozˇ rˇa´du se proto rozpada´ na trˇ´ıdy vza´jemneˇ ekvivalentnı´ch (tj. podobny´ch) matic. Jednı´m z nasˇich cı´lu˚ bude vybrat v kazˇde´ trˇ´ıdeˇ ekvivalence jednu matici, tzv. reprezentanta trˇ´ıdy. V te´to kapitole se budeme zaby´vat ota´zkou pro ktere´ trˇ´ıdy je tı´mto reprezentantem diagona´lnı´ matice. Uveˇdomı´me-li si, zˇe na za´kladeˇ (6.1) jedna trˇ´ıda podobny´ch matic obsahuje matice jednoho linea´rnı´ho zobrazenı´ V → V ve vsˇech mozˇny´ch ba´zı´ch V , pak pra´veˇ uvedena´ ota´zka se da´ ekvivalentnı´m zpu˚sobem formulovat takto: Existuje pro dane´ linea´rnı´ zobrazenı´ A : V → V takova´ ba´ze V , zˇe A v nı´ ma´ diagona´lnı´ matici? Odpoveˇd’ bude zformulova´na v na´sledujı´cı´ch odstavcı´ch pomocı´ charakteristicky´ch vektoru˚ matic a linea´rnı´ch zobrazenı´.
6.2 Charakteristicka´ cˇ´ısla, charakteristicke´ vektory Definice. Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V . Cˇ´ıslo λ nazy´va´me charakteristicky´m cˇ´ıslem zobrazenı´ A, jestlizˇe existuje nenulovy´ vektor x ∈ V tak, zˇe A(x) = λx. Vektor x pak nazy´va´me charakteristicky´m vektorem zobrazenı´ A prˇ´ıslusˇny´m charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ. Necht’ A je komplexnı´ cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du. Cˇ´ıslo λ nazy´va´me charakteristicky´m cˇ´ıslem matice A, jestlizˇe existuje nenulovy´ vektor x ∈ Cn tak, zˇe
Ax = λx. Vektor x pak nazy´va´me charakteristicky´m vektorem matice A prˇ´ıslusˇny´m charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ. Charakteristicka´ cˇ´ısla a charakteristicke´ vektory by´vajı´ take´ nazy´va´ny vlastnı´ cˇ´ısla a vlastnı´ vektory a mnozˇina vsˇech charakteristicky´ch cˇ´ısel se nazy´va´ spektrum. Objasneˇme nejdrˇ´ıve souvislost mezi charakteristicky´mi cˇ´ısly linea´rnı´ho zobrazenı´ a charakteristicky´mi cˇ´ısly matice tohoto zobrazenı´. Veˇta 6.1 Necht’ V je vektorovy´ prostor a B neˇjaka´ ba´ze V . Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ V do V a A matice tohoto zobrazenı´ v ba´zi B. Pro kazˇdy´ vektor x ∈ V oznacˇme [x]B vektor jeho sourˇadnic v ba´zi B. Pak platı´: (a) λ je charakteristicke´ cˇ´ıslo zobrazenı´ A pra´veˇ tehdy, je-li charakteristicky´m cˇ´ıslem matice A.
6.2. Charakteristicka´ cˇ´ısla, charakteristicke´ vektory
65
(b) Vektor x je charakteristicky´m vektorem zobrazenı´ A pra´veˇ tehdy, kdyzˇ [x]B je charakteristicky´m vektorem matice A. Du˚kaz. Podle veˇty 5.2 platı´ vztah y = A(x) pra´veˇ tehdy, kdyzˇ [y]B = A[x]B . Odtud plyne, zˇe A(x) = λx pra´veˇ tehdy, kdyzˇ A[x]B = λ[x]B , cozˇ je ekvivalentnı´ obeˇma tvrzenı´m veˇty. △ Z pra´veˇ doka´zane´ veˇty vyply´va´, zˇe pojmy charakteristicke´ho cˇ´ısla linea´rnı´ho zobrazenı´ a charakteristicke´ho cˇ´ısla ktere´koliv jeho matice jsou totozˇne´ a da´le zˇe existuje jednoznacˇne´ prˇirˇazenı´ mezi charakteristicky´mi vektory linea´rnı´ho zobrazenı´ a charakteristicky´mi vektory kazˇde´ jeho matice. Vlastneˇ tedy nenı´ trˇeba od sebe odlisˇovat charakteristicke´ vektory zobrazenı´ a matic. V dalsˇ´ım vy´kladu bude veˇtsˇina tvrzenı´ pro charakteristicke´ vektory zformulova´na pro matice; analogicka´ tvrzenı´ pro linea´rnı´ zobrazenı´ jisteˇ doka´zˇe cˇtena´rˇ zformulovat sa´m. Formulace prostrˇednictvı´m linea´rnı´ho zobrazenı´ bude pouzˇita pouze tehdy, prˇinese-li neˇjake´ zjednodusˇenı´ (naprˇ. dı´ky neza´vislosti na volbeˇ ba´ze). Veˇta 6.2 Cˇ´ıslo λ je charakteristicky´m cˇ´ıslem matice A pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det (A − λ E) = 0.
(6.3)
Du˚kaz. Rovnice Ax = λx je splneˇna pra´veˇ tehdy, kdyzˇ (A − λ E)x = o; prˇitom λ bude charakteristicky´m cˇ´ıslem matice A pra´veˇ tehdy, kdyzˇ poslednı´ rovnice bude splneˇna pro nenulovy´ vektor x, cozˇ je pode veˇty 4.18 (f) ekvivalentnı´ vztahu (6.3). △ Je-li A cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du, vyply´va´ z veˇty 4.9 o rozvoji determinantu, zˇe det (A − λ E) je polynom n-te´ho stupneˇ v promeˇnne´ λ : det (A − λ E) = (−λ)n + d1 λn−1 + · · · + dn .
(6.4)
Podle za´kladnı´ veˇty algebry ma´ polynom (6.4) celkem n komplexnı´ch korˇenu˚ λ1 , . . . , λn (z nichzˇ neˇktere´ mohou sply´vat – jsou vı´cena´sobne´). Z prˇedcha´zejı´cı´ veˇty pak plyne, zˇe charakteristicka´ cˇ´ısla matice A jsou rovna korˇenu˚m polynomu (6.4), takzˇe det (A − λ E) = (λ1 − λ) · · · (λn − λ). Dosazenı´m λ = 0 z tohoto vztahu dosta´va´me zajı´mavy´ vztah pro soucˇin vsˇech charakteristicky´ch cˇ´ısel matice A : λ1 λ2 · · · λn = det A. (6.5) Definice. Necht’ A je cˇtvercova´ matice. Pak polynom det (A − λ E) nazy´va´me charakteristicky´m polynomem matice A a vztah det (A − λ E) = 0 charakteristickou rovnicı´ matice A. Je-li λ k-na´sobny´m korˇenem charakteristicke´ rovnice, nazy´va´me jej charakteristicky´m cˇ´ıslem na´sobnosti k ( k-na´sobny´m charakteristicky´m cˇ´ıslem). Veˇta 6.2 prˇeva´dı´ vy´pocˇet charakteristicky´ch cˇ´ısel matice na vy´pocˇet determinantu a rˇesˇenı´ algebraicke´ rovnice. Tento zpu˚sob vy´pocˇtu vsˇak nenı´ prˇ´ılisˇ efektivnı´ a pouzˇ´ıva´ se jen ve specia´lnı´ch prˇ´ıpadech (zejme´na maly´ rˇa´d matice). Jednoducha´ je situace pro troju´helnı´kove´ matice.
Kapitola 6
66
Veˇta 6.3 Necht’ A = (aij ) je troju´helnı´kova´ matice n-te´ho rˇa´du. Pak jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla jsou a11 , . . . , ann . Du˚kaz. Podle veˇty 4.2 je determinant troju´helnı´kove´ matice roven soucˇinu jejı´ch diagona´lnı´ch prvku˚. Odtud plyne, zˇe charakteristicka´ rovnice matice A je (a11 − λ)(a22 − λ) · · · (ann − λ) = 0 △
a jejı´ korˇeny jsou a11 , . . . , ann .
Jsou-li zna´ma charakteristicka´ cˇ´ısla λi , je vy´pocˇet jim prˇ´ıslusˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ ekvivalentnı´ rˇesˇenı´ soustav linea´rnı´ch homogennı´ch rovnic (A − λi E)x = o. Prˇ´ıklad 6.1 Necht’
4 0 1 A = 2 3 2 . 1 0 4
Pak det (A − λ E) = −(λ − 5)(λ − 3)2 , takzˇe A ma´ dveˇ charakteristicka´ cˇ´ısla: λ1 = 5 (jednoduche´) a λ2 = 3 (dvojna´sobne´). Pro λ1 = 5 je −1 0 1 (A − λ1 E) = 2 −2 2 1 0 −1
a vektor x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ C3 bude charakteristicky´m vektorem prˇ´ıslusˇny´m λ1 pra´veˇ tehdy, kdyzˇ x 6= o a −1 0 1 x1 0 2 −2 2 x2 = 0 . 1 0 −1 x3 0 Rˇesˇenı´m poslednı´ soustavy je
1 x = t 2 . 1
Podobneˇ pro charakteristicke´ vektory prˇ´ıslusˇne´ λ2 = 3 dostaneme soustavu 1 0 1 x1 0 2 0 2 x2 = 0 , 1 0 1 x3 0
jejı´mzˇ rˇesˇenı´m je kazˇdy´ vektor tvaru
1 0 x = r 0 + s 1 , 0 −1
r, s ∈ C.
Charakteristicke´ vektory matice A tedy jsou vektory t r 2t , t 6 = 0, s , |r| + |s| 6 = 0. t −r
6.3. Podobnost diagona´lnı´ matici
67
Souvislost mezi podobnostı´ matic a jejich charakteristicky´mi cˇ´ısly vyjadrˇuje tato veˇta. Veˇta 6.4 Podobne´ matice majı´ stejne´ charakteristicke´ polynomy a tudı´zˇ stejna´ charakteristicka´ cˇ´ısla vcˇetneˇ na´sobnosti. Du˚kaz. Necht’ B = P−1AP. Pak
det (B − λE) = det P−1AP − λE = det P−1AP − λP−1EP = = det P−1 (A − λ E)P = det P−1 det (A − λ E) det P = = det (A − λ E),
nebot’ det P det P−1 = 1 (veˇta 4.12).
△
Jak ukazuje na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad, nelze poslednı´ veˇtu obra´tit; existujı´ matice se stejny´m charakteristicky´m polynomem, ktere´ si nejsou podobne´. Prˇ´ıklad 6.2 Necht’
A=
1 1 0 1
a E znacˇ´ı jednotkovou matici druhe´ho ˇra´du. Pak det (A − λ E) = det(E − λE) = (λ − 1)2 . Avsˇak matice E nenı´ podobna´ zˇa´dne´ jine´ matici nezˇ sobeˇ samotne´, nebot’ pro kazˇdou regula´rnı´ matici P je P−1EP = (P−1E)P = P−1 P = E. Znalost charakteristicky´ch cˇ´ısel a vektoru˚ matice A se jednoduchy´m zpu˚sobem promı´ta´ do jejı´ch mocnin i do maticovy´ch polynomu˚. Veˇta 6.5 Necht’ p(x) = a0 + a1 x + · · · + an x n je komplexnı´ polynom a A libovolna´ cˇtvercova´ matice. Necht’ λ je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicky´ vektor x. Polozˇme p(A) = a0 E + a1 A + · · · + an An . Pak matice p(A) ma´ charakteristicke´ cˇ´ıslo p(λ), jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicky´ vektor x. Du˚kaz. Postupny´m na´sobenı´m obou stran rovnosti Ax = λx maticı´ A zleva dostaneme pro kazˇde´ prˇirozene´ k vztah Ak x = λk x Oznacˇme B = p(A). Pak
Bx = a0 Ex + a1 Ax + · · · + an An x = a0 x + a1 λx + · · · + an λn x = p(λ)x. a p(λ) je tedy charakteristicky´m cˇ´ıslem matice B = p(A).
△
6.3 Podobnost diagona´lnı´ matici Nynı´ mu˚zˇeme da´t prvnı´ z odpoveˇdı´ na ota´zku zformulovanou na zacˇa´tku te´to kapitoly: Kdy ma´ matice linea´rnı´ho zobrazenı´ diagona´lnı´ matici? Tvrzenı´ ma´ podobu nutne´ a postacˇujı´cı´ podmı´nky a pro zvy´sˇenı´ srozumitelnosti bude zformulova´no ve dvou samostatny´ch veˇta´ch. Veˇta 6.6 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a necht’ B je ba´ze prostoru V tvorˇena´ charakteristicky´mi vektory zobrazenı´ A. Pak A ma´ v ba´zi B diagona´lnı´ matici, jejı´zˇ diagona´lnı´ prvky tvorˇ´ı charakteristicka´ cˇ´ısla zobrazenı´ A.
Kapitola 6
68
Du˚kaz. Necht’ v1 , . . . , vn jsou charakteristicke´ vektory zobrazenı´ A prˇ´ıslusˇne´ charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m λ1 , . . . , λn a necht’ tyto vektory tvorˇ´ı ba´zi prostoru V . Ze vztahu˚ A(vk ) = λk vk plyne, zˇe obrazy vektoru˚ ba´ze v zobrazenı´ A majı´ v te´to ba´zi sourˇadnice λ1 0 0 0 .. , . . . , .. , . . 0
λn
cozˇ podle veˇty 5.2 znamena´, zˇe matice zobrazenı´ A v te´to ba´zi je D = diag(λ1 , . . . , λn ).
Veˇta 6.7 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a necht’ B = {b1 , . . . , bn } je takova´ ba´ze prostoru V , v nı´zˇ ma´ zobrazenı´ A diagona´lnı´ matici D = diag(d1 , . . . , dn ). Pak b1 , . . . , bn jsou charakteristicke´ vektory zobrazenı´ A a d1 , . . . , dn jim prˇ´ıslusˇna´ charakteristicka´ cˇ´ısla. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe zobrazenı´ A ma´ v usporˇa´dane´ ba´zi B = {b1 , . . . , bn } diagona´lnı´ matici D = diag(d1 , . . . , dn ). Pro obrazy vektoru˚ b1 , . . . , bn pak v ba´zi B platı´ 0 0 0 0 . . . . . . A(bk ) B = D bk B = D = = dk bk B , k = 1, . . . , n, 1 dk .. .. . . 0 0
takzˇe b1 , . . . , bn jsou charakteristicke´ vektory zobrazenı´ A a d1 , . . . , dn jim prˇ´ıslusˇna´ charakteristicka´ cˇ´ısla. △
Neme´neˇ du˚lezˇite´ je krite´rium podobnosti cˇtvercove´ matice diagona´lnı´ matici. Ma´ take´ podobu nutne´ a postacˇujı´cı´ podmı´nky a bude vysloveno ve dvou na´sledujı´cı´ch veˇta´ch. I kdyzˇ jsou obeˇ prˇ´ımy´m du˚sledkem pra´veˇ doka´zany´ch veˇt, uvedeme jejich samostatny´ du˚kaz. Veˇta 6.8 Necht’ λ1 , . . . , λn jsou charakteristicka´ cˇ´ısla matice A n-te´ho rˇa´du (ne nutneˇ ru˚zna´), jimzˇ prˇ´ıslusˇ´ı linea´rneˇ neza´visle´ charakteristicke´ vektory v1 , . . . , vn . Oznacˇme P matici, jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı vektory v1 , . . . , vn a D = diag(λ1 , . . . , λn ). Potom A je podobna´ matici D a platı´
A = PDP−1 . Poznamenejme, zˇe porˇadı´ sloupcu˚ v matici P nenı´ libovolne´ – odpovı´da´ jim porˇadı´ prˇ´ıslusˇny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel na diagona´le matice D. Veˇta 6.9 Necht’ pro matici A platı´
A = PDP−1 ,
kde D = diag(d1 , . . . , dn ). Pak d1 , . . . , dn jsou charakteristicka´ cˇ´ısla matice A. Jim odpovı´dajı´cı´ charakteristicke´ vektory jsou po rˇadeˇ sloupce matice P.
6.3. Podobnost diagona´lnı´ matici Prˇ´ıklad 6.3 Matice
69 4 0 1 A= 2 3 2 1 0 4
z prˇ´ıkladu 6.1 ma´ charakteristicke´ vektory 1 1 x1 = t 2 , x2 = r 0 , 1 −1
0 x3 = s 1 , 0
t, r, s 6 = 0.
Protozˇe vektory x1 , x2 , x3 jsou pro nenulove´ hodnoty r, s, t linea´rneˇ neza´visle´, je podle veˇty 6.8 matice A podobna´ diagona´lnı´ matici 5 0 0 D = 0 3 0 . 0 0 3
Kromeˇ toho je D = P−1AP, kde naprˇ´ıklad
1 1 P=2 0 1 −1 Prˇ´ıklad 6.4 Matice
A=
1 2 0 1
0 1 . 0
ma´ jedno dvojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 1, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicke´ vektory 1 x=t , t 6 = 0. 0 Mezi nimi neexistujı´ 2 linea´rneˇ neza´visle´, takzˇe matice A nenı´ podobna´ zˇa´dne´ diagona´lnı´ matici. Nutnou a postacˇujı´cı´ podmı´nkou podobnosti matice A ˇra´du n neˇjake´ diagona´lnı´ matici je tedy existence n linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚ matice A. Jejı´ oveˇrˇenı´ vyzˇaduje nejdrˇ´ıve vy´pocˇet vsˇech charakteristicky´ch cˇ´ısel a pak vsˇech charakteristicky´ch vektoru˚. Nynı´ uka´zˇeme, zˇe k podobnosti diagona´lnı´ matici stacˇ´ı i splneˇnı´ vy´razneˇ jednodusˇsˇ´ı podmı´nky, vyzˇadujı´cı´ pouze znalost charakteristicky´ch cˇ´ısel. Vyplyne z na´sledujı´cı´ veˇty, ktera´ ma´ i samostatny´ vy´znam. Veˇta 6.10 Necht’ x1 , . . . , xk jsou charakteristicke´ vektory matice A prˇ´ıslusˇne´ navza´jem ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m λ1 , . . . , λk . Pak vektory x1 , . . . , xk jsou linea´rneˇ neza´visle´. Du˚kaz. Du˚kaz provedeme matematickou indukcı´. Je-li k = 1, pak x1 6 = o a x1 je tedy linea´rneˇ neza´visly´. Necht’ nynı´ tvrzenı´ platı´ pro kazˇdy´ch k charakteristicky´ch vektoru˚ a necht’ x1 , . . . , xk+1 jsou charakteristicke´ vektory prˇ´ıslusˇne´ navza´jem ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m λ1 , . . . , λk+1 . Uka´zˇeme, zˇe tyto vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Prˇedpokla´dejme, zˇe pro cˇ´ısla a1 , . . . , ak+1 , platı´ a1 x1 + · · · + ak+1 xk+1 = o.
(6.6)
Kapitola 6
70 Vyna´sobenı´m obou stran rovnice (6.6) maticı´ (A − λk+1 E) dostaneme po u´praveˇ a1 (λ1 − λk+1 )x1 + · · · + ak (λk − λk+1 )xk = o. Podle indukcˇnı´ho prˇedpokladu jsou vektory x1 , . . . , xk linea´rneˇ neza´visle´, takzˇe a1 (λ1 − λk+1 ) = · · · = ak (λk − λk+1 ) = 0.
Protozˇe cˇ´ısla λ1 , . . . , λk+1 jsou navza´jem ru˚zna´, plyne odtud, zˇe a1 = · · · = ak = 0 a rovnice (6.6) se redukuje na ak+1 xk+1 = o. Avsˇak xk+1 6 = o a i ak+1 = 0. Vektory x1 , . . . , xk+1 jsou tedy linea´rneˇ neza´visle´. △ Veˇta 6.11 Ma´-li cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du n navza´jem ru˚zny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel, je podobna´ diagona´lnı´ matici. Du˚kaz. Podle prˇedcha´zejı´cı´ veˇty zajisˇt’uje n navza´jem ru˚zny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel existenci n linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚, z cˇehozˇ podle veˇty 6.8 vyply´va´ podobnost diagona´lnı´ matici. △ Prˇ´ıklad jednotkove´ matice ukazuje, zˇe tvrzenı´ poslednı´ veˇty nelze obra´tit. Da´le je videˇt, zˇe pokud ma´ matice pouze jednoducha´ charakteristicka´ cˇ´ısla, prˇ´ıslusˇ´ı ke kazˇde´mu z nich pra´veˇ jeden linea´rneˇ neza´visly´ charakteristicky´ vektor. Uka´zˇeme nynı´, zˇe existuje obecneˇjsˇ´ı souvislost mezi na´sobnostı´ charakteristicky´ch cˇ´ısel a maxima´lnı´m pocˇtem k nim existujı´cı´ch linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Definice. Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ linea´rnı´ho prostoru V do V a λ jeho charakteristicke´ cˇ´ıslo. Mnozˇinu Cλ (A) = {x ∈ V ; A(x) = λx} nazy´va´me charakteristicky´m prostorem zobrazenı´ A prˇ´ıslusˇny´m charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ. Analogicky se definuje charakteristicky´ prostor cˇtvercove´ matice. Charakteristicky´ prostor tedy obsahuje vsˇechny charakteristicke´ vektory prˇ´ıslusˇne´ uvazˇovane´mu charakteristicke´mu cˇ´ıslu a nulovy´ vektor prostoru V . Je snadne´ se prˇesveˇdcˇit, zˇe Cλ (A) je linea´rnı´ podprostor prostoru V , t.j. zˇe libovolna´ linea´rnı´ kombinace charakteristicky´ch vektoru˚ prˇ´ıslusˇny´ch jednomu charakteristicke´mu cˇ´ıslu je opeˇt charakteristicky´ vektor prˇ´ıslusˇny´ te´muzˇ charakteristicke´mu cˇ´ıslu. Veˇta 6.12 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a λ1 jeho charakteristicke´ cˇ´ıslo na´sobnosti k. Potom platı´ 1 ≤ dim Cλ1 (A) ≤ k. Du˚kaz. Oznacˇme p = dim Cλ1 (A) a zvolme v Cλ1 (A) ba´zi {x1 , . . . , xp }. Tuto ba´zi doplnˇme na ba´zi B = {x1 , . . . , xp , xp+1 , . . . , xn } cele´ho prostoru V a oznacˇme A matici zobrazenı´ A vzhledem k ba´zi B . Protozˇe xi , i = 1, . . . , p jsou charakteristicke´ vektory prˇ´ıslusˇne´ cˇ´ıslu λ1 , plyne ze vztahu˚
6.3. Podobnost diagona´lnı´ matici
71
A(xi ) = λ1 xi , zˇe vsˇechny sourˇadnice A(xi ) vzhledem k ba´zi B jsou kromeˇ i-te´ rovny 0; i-ta´ sourˇadnice je λ1 . To znamena´, zˇe matice A ma´ tvar λE B A= 1 p O C kde Ep je jednotkova´ matice ˇra´du p. Postupny´m rozvojem determinantu matice (A − λ E) podle prvnı´ch p ˇra´dku˚ dostaneme det (A − λ E) = (λ1 − λ)p det (C − λEn−p ), odkud vyply´va´, zˇe λ1 je asponˇ p-na´sobny´m korˇenem charakteristicke´ rovnice a tedy p ≤ k.
△
Pokud budou mı´t vsˇechny charakteristicke´ prostory zobrazenı´ A : V → V maxima´lnı´ mozˇnou dimenzi, t.j. dimenzi rovnou na´sobnosti prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla, bude soucˇet jejich dimenzı´ roven stupni charakteristicke´ho polynomu, tedy dimenzi V . Pak je nadeˇje, zˇe z charakteristicky´ch vektoru˚ zobrazenı´ A pu˚jde sestavit ba´ze prostoru V a zobrazenı´ A bude mı´t v te´to ba´zi diagona´lnı´ matici. K sestavenı´ ba´ze se nabı´zı´ vzı´t dohromady vektory ba´zı´ jednotlivy´ch charakteristicky´ch prostoru˚. Tak opravdu dostaneme pozˇadovany´ pocˇet prvku˚, musı´me vsˇak oveˇˇrit jejich linea´rnı´ neza´vislost. Veˇta 6.13 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a λ1 , . . . , λk jeho navza´jem ru˚zna´ charakteristicka´ cˇ´ısla. Necht’ xi ∈ Cλi (A), i = 1, . . . , k a necht’
x1 + · · · + xk = o.
Pak xi = 0, i = 1, . . . , k. Du˚kaz. Necht’ asponˇ jeden vektor xi je nenulovy´. Pak lze vektory prˇerovnat tak, zˇe xi 6 = o pro 1 ≤ i ≤ m, kde 1 ≤ m ≤ k a xi = o pro ostatnı´ i. Platı´ tedy
x1 + · · · + xm = o. To vsˇak je spor s tvrzenı´m veˇty 6.10, nebot’ vektory x1 , . . . , xm prˇ´ıslusˇ´ı navza´jem ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m a musı´ by´t tudı´zˇ linea´rneˇ neza´visle´. △ Veˇta 6.14 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a necht’ λ1 , . . . , λk jsou navza´jem ru˚zna´ charakteristicka´ cˇ´ısla zobrazenı´ A. Necht’ Si je linea´rneˇ neza´visla´ podmnozˇina charakteristicke´ho prostoru Cλi (A), i = 1, . . . , k. Pak mnozˇina S = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sk je linea´rneˇ neza´visla´. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe Si = {xi1 , xi2 , . . . , xini }. Pak S = {xij ; 1 ≤ j ≤ ni , 1 ≤ i ≤ k}. Prˇedpokla´dejme da´le, zˇe ni k X X i=1 j =1
aij xij = o.
Kapitola 6
72 Oznacˇ´ıme-li pro i = 1, . . . , k
yi =
ni X
aij xij ,
j =1
pak yi ∈ Cλi (A) a y1 + · · · + yk = o. Z prˇedcha´zejı´cı´ veˇty nynı´ vyply´va´, zˇe vsˇechny vektory yi jsou nulove´; z linea´rnı´ neza´vislosti prvku˚ Si pak plyne aij = 0 pro vsˇechna i, j, cozˇ znamena´, zˇe S je linea´rneˇ neza´visla´. △ Veˇta 6.15 Matice A je podobna´ diagona´lnı´ matici pra´veˇ tehdy, kdyzˇ na´sobnost kazˇde´ho jejı´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla je rovna dimenzi prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´ho prostoru. Du˚kaz. Necht’ A je matice n-te´ho ˇra´du s charakteristicky´mi cˇ´ısly λ1 , . . . , λk a necht’ dim Cλi (A) = ni ,
i = 1, . . . , k.
Z prˇedpokladu veˇty vyply´va´, zˇe n1 + · · · + nk = n. V kazˇde´m charakteristicke´m prostoru Cλ?i (A) lze vybrat ni linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚; dohromady tedy dosta´va´me n charakteristicky´ch vektoru˚, ktere´ jsou podle veˇty 6.14 linea´rneˇ neza´visle´. Na za´kladeˇ veˇty 6.8 je tedy matice A podobna´ diagona´lnı´ matici. △ Protozˇe charakteristicky´ prostor Cλ (A) je vlastneˇ nulovy´m prostorem matice (A − λ E), spocˇ´ıta´me jeho dimenzi podle veˇty 3.5 na straneˇ 41: dim Cλ (A) = n − h(A − λ E), kde n je rˇa´d matice A. Za´veˇrem mu˚zˇeme tedy shrnout, zˇe matice A n-te´ho ˇra´du je podobna´ diagona´lnı´ matici D pra´veˇ tehdy, ma´-li n linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚, cozˇ nastane pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro kazˇde´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ na´sobnosti k je hodnost matice (A − λ E) rovna n − k. Tato podmı´nka je splneˇna naprˇ´ıklad ma´-li A n ru˚zny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel. Matice D ma´ na sve´ hlavnı´ diagona´le vzˇdy charakteristicka´ cˇ´ısla matice A – je tedy urcˇena jednoznacˇneˇ azˇ na porˇadı´ svy´ch diagona´lnı´ch prvku˚. Samostatnou zmı´nku zasluhujı´ rea´lne´ matice. Ma´-li rea´lna´ matice A pouze rea´lna´ charakteristicka´ cˇ´ısla, bude podobna´ rea´lne´ diagona´lnı´ matici za vy´sˇe uvedeny´ch podmı´nek. Je-li neˇktere´ z charakteristicky´ch cˇ´ısel matice A imagina´rnı´, nebude A podobna´ zˇa´dne´ rea´lne´ diagona´lnı´ matici. Z komplexnı´ho diagona´lnı´ho tvaru rea´lne´ matice lze vsˇak odvodit rea´lny´ kanonicky´ tvar velice blı´zky´ (svou rˇ´ıdkostı´) matici diagona´lnı´. Podrobnosti lze nale´zt v [10].
6.4 Cvicˇenı´ 6.1 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´. a) Je-li matice A podobna´ B, pak A + C je podobna´ B + C. b) Je-li matice A podobna´ B, pak AC je podobna´ BC pro kazˇdou matici C, pro nı´zˇ majı´ soucˇiny smysl.
6.4. Cvicˇenı´
73
c) Je-li α 6 = 0, pak matice α A je podobna´ A. d) Je-li det A = det B, je A podobna´ B. e) Je-li matice A podobna´ B, je A2 podobna´ B2 . f) Je-li matice A regula´rnı´ a podobna´ B, je A−1 podobna´ B−1 . g) Jestlizˇe matice B vznikne z A elementa´rnı´mi u´pravami, je podobna´ A. h) Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a necht’ A a A′ jsou jeho matice vzhledem ke dveˇma ru˚zny´m ba´zı´m prostoru V . Pak A je podobna´ A′ . i) Podobne´ matice majı´ stejnou hodnost. j) Majı´-li matice A a B stejnou hodnost, jsou si podobne´. 6.2 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´: a) Majı´-li dveˇ matice stejna´ charakteristicka´ cˇ´ısla, jsou si podobne´. b) Je-li matice A podobna´ diagona´lnı´ matici D = diag(d1 , . . . , dn ), pak d1 , . . . , dn jsou charakteristicka´ cˇ´ısla matice A. c) Je-li matice A podobna´ diagona´lnı´ matici, pak vsˇechna jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla majı´ na´sobnost 1. d) Je-li neˇktere´ z charakteristicky´ch cˇ´ısel rea´lne´ matice A imagina´rnı´, nenı´ matice A podobna´ zˇa´dne´ rea´lne´ diagona´lnı´ matici. e) Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V a necht’ B je ba´ze prostoru V tvorˇena´ charakteristicky´mi vektory zobrazenı´ A. Pak A ma´ v ba´zi B diagona´lnı´ matici. f) Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V . Neexistuje-li zˇa´dna´ ba´ze V tvorˇena´ charakteristicky´mi vektory zobrazenı´ A, nema´ zobrazenı´ A v zˇa´dne´ ba´zi diagona´lnı´ matici. g) Rea´lna´ matice A rˇa´du n je podobna´ rea´lne´ diagona´lnı´ matici pra´veˇ tehdy, kdyzˇ existuje ba´ze Rn tvorˇena´ charakteristicky´mi vektory matice A. h) Ke kazˇde´mu charakteristicke´mu cˇ´ıslu na´sobnosti k existuje k linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚. i) Je-li matice A podobna´ diagona´lnı´ matici D, pak matice B je podobna´ A pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je podobna´ D. j) Kazˇdy´ charakteristicky´ vektor matice A je take´ charakteristicky´m vektorem matice A2 . 6.3 Nalezneˇte charakteristicka´ cˇ´ısla a charakteristicke´ vektory na´sledujı´cı´ch linea´rnı´ch zobrazenı´: a) rotace kolem neˇktere´ sourˇadne´ osy v R3 o u´hel α; b) A : V3 → V3 ; A(x) = a × x, kde a je pevny´ nenulovy´ vektor ve V3 (vektorove´ na´sobenı´ v prostoru volny´ch vektoru˚ V3 ); c) transpozice cˇtvercove´ matice.
Kapitola 6
74
6.4 U kazˇde´ z na´sledujı´cı´ch matic vypocˇteˇte jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla a charakteristicke´ vektory. Da´le urcˇete, zda matice je podobna´ diagona´lnı´ matici; v kladne´m prˇ´ıpadeˇ nalezneˇte matici P tak, aby P−1AP byla diagona´lnı´. 2 −1 −1 3 5 3 1 −1 0 a) A = 0 −1 0 , b) A = −4 −9 −6 , c) A = 0 1 −4 , 0 2 1 6 15 10 −1 0 4
d) A =
2 1 −1
1 0 3 −1 , 2 3
6.5 Odu˚vodnˇete, zˇe matice
2 −1 0 0 3 −1 e) A = 0 1 1 0 −1 0
S=
0 1 0 .. .
0 0 1 .. .
1 0 . 0 3
··· ··· ··· .. .
0 0 0 .. .
1 0 1 .. .
0 0 ··· 1 0
n-te´ho rˇa´du je podobna´ diagona´lnı´ matici.
6.6 Nalezneˇte matici A, ktera´ ma´ dvojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = −2 s charakteristicky´m prostorem Cλ1 (A) = {(t, s, −t − s)T , t, s ∈ R} a charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 = 4 s charakteristicky´m prostorem Cλ2 (A) = {(r, r, r)T , r ∈ R}. 6.7 Ukazˇte, zˇe kazˇde´ dveˇ matice tvaru
cos α sin α sin α − cos α
,
α∈R
jsou si podobne´, zatı´mco zˇa´dne´ dveˇ matice tvaru cos α sin α cos β sin β , , − sin α cos α − sin β cos β
α, β ∈ h0, π i, α 6 = β,
si podobne´ nejsou. 6.8 Matice A typu 3 x 3 ma´ charakteristicka´ cˇ´ısla −2, 1, 2 . Vypocˇteˇte charakteristicka´ cˇ´ısla matice A2 + A + E a rozhodneˇte, zda A2 + A + E je podobna´ neˇktere´ diagona´lnı´ matici. 6.9 Dokazˇte, zˇe ma´-li matice A trˇetı´ho ˇra´du charakteristicka´ cˇ´ısla λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 2, je A3 − 2A2 − A = −2E. 6.10 Urcˇete takovou ba´zi R3 , aby linea´rnı´ zobrazenı´ A : R3 → R3 dane´ vztahem A(x1 , x2 , x3 ) = (0, x3 , x2 ) meˇlo v te´to ba´zi diagona´lnı´ matici.
6.4. Cvicˇenı´
75
6.11 Rozhodneˇte a zdu˚vodneˇte, zda jsou si podobne´ matice 0 2 1 1 0 A = −1 1 −1 , B= 0 1 −1 2 2 0 −2
6.12 Odu˚vodneˇte, zˇe matice
2 A= 0 0
1 −1 2 0 a 1 1
0 B= 0 −1
jsou navza´jem podobne´ a vypocˇteˇte matici P tak, aby B = P−1 AP.
0 2 0
0 2 . 1 2 0 3
6.13 Prˇevodem na diagona´lnı´ tvar vypocˇteˇte
5 0 1 1 1 0 1 . 1 1 0
6.14 Urcˇete vsˇechny matice, ktere´ jsou podobne´ pouze samy sobeˇ. 6.15 Vypocˇteˇte vsˇechna rea´lna´ α, pro neˇzˇ je matice 3 α A= 2 −1 podobna´ a) rea´lne´ diagona´lnı´ matici, b) komplexnı´ diagona´lnı´ matici. 6.16 Odu˚vodneˇte, zˇe jeden charakteristicky´ vektor matice A nemu˚zˇe prˇ´ıslusˇet dveˇma jejı´m ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m. 6.17 Ukazˇte, zˇe kazˇda´ rea´lna´ cˇtvercova´ matice druhe´ho ˇra´du se za´porny´m determinantem je podobna´ rea´lne´ diagona´lnı´ matici. 6.18 Ukazˇte, zˇe existuje jedina´ matice A takova´, zˇe N(A) = h (0, 2, 1)T i a λ = 2 je jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı mnozˇina charakteristicky´ch vektoru˚ v = (t − s, t, s) , kde t 6 = 0 nebo s 6 = 0. Matici vypocˇteˇte. 6.19 V linea´rnı´m prostoru P3 vsˇech polynomu˚ nejvy´sˇe trˇetı´ho stupneˇ je da´no zobrazenı´ A, prˇirˇazujı´cı´ polynomu p polynom q dany´ vztahem 1 q(x) = p (x) + x ′
Zx
p(t) dt.
0
Prˇesveˇdcˇte se, zˇe A je linea´rnı´ a rozhodneˇte, zda existuje takova´ ba´ze P3 , v nı´zˇ ma´ A diagona´lnı´ matici. 6.20 Dokazˇte, zˇe je-li A takova´ matice, zˇe A2 = A, pak A nemu˚zˇe mı´t jina´ charakteristicka´ cˇ´ısla nezˇ 0 a 1.
Kapitola 6
76
6.21 Dokazˇte, zˇe cˇtvercova´ matice je singula´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ asponˇ jedno jejı´ charakteristicka´ cˇ´ıslo je rovno nule. 6.22 Dokazˇte, zˇe cˇtvercova´ matice je regula´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ vsˇechna jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla jsou nenulova´. 6.23 Necht’ A je regula´rnı´ matice s charakteristicky´m cˇ´ıslem λ, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicky´ vektor x. Dokazˇte, zˇe A−1 ma´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ−1 s charakteristicky´m vektorem x. 6.24 Dokazˇte, zˇe jsou-li A a B regula´rnı´ matice, pak AB a BA jsou podobne´. 6.25 Dokazˇte, zˇe pro libovolne´ cˇtvercove´ matice A, B te´hozˇ ˇra´du majı´ matice AB a BA stejna´ charakteristicka´ cˇ´ısla. 6.26 Dokazˇte, zˇe podobne´ matice majı´ stejne´ determinanty. 6.27 Dokazˇte, zˇe pro kazˇdou cˇtvercovou matici A majı´ A a AT stejne´ charakteristicke´ polynomy a tudı´zˇ i stejna´ charakteristicka´ cˇ´ısla. 6.28 Nalezneˇte asponˇ jednu matici tak, aby jejı´ charakteristicky´ polynom byl a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an .
ˇ esˇenı´ 6.5 R 6.1 Pravdiva´ tvrzenı´: e), f), h), i). 6.2 Pravdiva´ tvrzenı´: b), d), e), f), g), i), j). 6.3 a) λ = 1, charakteristicky´ vektor je kazˇdy´ smeˇrovy´ vektor prˇ´ıslusˇne´ sourˇadne´ osy; jina´ rea´lna´ vlastnı´ cˇ´ısla a jine´ rea´lne´ vlastnı´ vektory zobrazenı´ nema´; b) λ = 0, x = a; jina´ rea´lna´ vlastnı´ cˇ´ısla a jine´ rea´lne´ vlastnı´ vektory zobrazenı´ nema´; c) λ = 1; vsˇechny symetricke´ matice. 0 1 1 6.4 a) λ = −1, 1, 2; P = 1 0 0 −1 1 0 −5 −3 1 b) λ = 1, 1, 2; P = 2 0 −2 0 2 3 1 4 c) λ1 = 0, λ2 = 3; x1 = 4 , x2 = −2 1 1 1 1 1 d) λ = 2, 3 ± j; P = 0 1 + j 1 − j 1 2−j 2+j
6.5. Rˇesˇenı´
77
1 0 e) λ1 = 3, x1 = 0 ; 1
1 1 λ2 = λ3 = λ4 = 2, x2 = 1 , 1
−1 1 x3 = 1 . 1
6.5 Rozvojem podle prvnı´ho ˇra´dku vypocˇteˇte det (S − λE) = (−1)n (λn − 1), odkud plyne n navza´jem 2kπ ru˚zny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel λk = ej n , k = 0, 1, . . . , n − 1. Da´le pouzˇijte veˇtu 6.11. 0 2 2 6.6 A = 2 0 2 . 2 2 0 6.7 Vyuzˇijte charakteristicky´ch cˇ´ısel obou matic.
6.8 λ = 3, 3, 7; je podobna´ diagona´lnı´ matici D = diag(3, 3, 7). 6.9 Ukazˇte, zˇe A je podobna´ diagona´lnı´ matici D = diag(−1, 1, 2) a odtud odvod’te, zˇe matice A3 − 2A2 − A je podobna´ a tudı´zˇ i rovna matici −2E. 0 0 1 6.10 Naprˇ. 0 , 1 , 1 . 1 −1 0
6.11 Obeˇ jsou podobne´ te´zˇe diagona´lnı´ matici, takzˇe na za´kladeˇ tranzitivnosti podobnosti je matice A podobna´ matici B. 6.12 Matice A i B jsou podobne´ te´zˇe B = R DR−1 , kde 1 Q= 0 1
diagona´lnı´ matici D = diag(1, 2, 2), prˇicˇemzˇ A = QDQ−1 a 1 0 1 1 1 1
2 1 1 a R = 0 0 1 . 1 1 1
Na za´kladeˇ tranzitivnosti je matice B podobna´ matici A a platı´ B = P−1 AP, kde 0 −1 1 P = QR−1 = −1 0 2 . 0 0 1
10 11 11 6.13 11 10 11 . 11 11 10
6.14 Vsˇechny na´sobky jednotkove´ matice. 6.15 a) α > −2;
b) α 6 = −2.
6.16 Pouzˇijte veˇtu 6.10. 6.17 Ukazˇte, zˇe diskriminant charakteristicke´ rovnice je kladny´. 2 0 0 6.18 A = 4 −2 4 . 2 −2 4
6.19 Existuje ba´ze P3 , v nı´zˇ matice zobrazenı´ A bude D = diag 1, 12 , 13 , 14 .
78
Kapitola 6
6.20 Ukazˇte, zˇe pro kazˇde´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ matice A platı´ λ2 = λ. 6.21 det (A − 0 E) = 0 ⇐⇒ det A = 0. 6.22 Vyuzˇijte vy´sledku cvicˇenı´ 6.21. 6.23 Vyna´sobte rovnost Ax = λx zleva maticı´ A−1 . 6.24 Vyna´sobte matici AB zleva maticı´ B−1 B. 6.25 Na´vod: Necht’ λ je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice AB s charakteristicky´m vektorem x. Vyna´sobte obeˇ strany rovnosti ABx = λx maticı´ B zleva. 6.26 Je-li B = P−1 AP, pak det B = det P−1 AP = det P−1 det A det P = det A.
6.27 det (A − λ E) = det (A − λ E)T = det(AT − λET ) = det(AT − λE). 6.28 Vyuzˇijte cvicˇenı´ 4.5.
Kapitola 7
Jordanu˚v kanonicky´ tvar
V prˇedcha´zejı´cı´ kapitole jsme vysˇetrˇovali ta linea´rnı´ zobrazenı´, ktera´ lze ve vhodneˇ zvolene´ ba´zi popsat diagona´lnı´ maticı´. Existujı´ vsˇak linea´rnı´ zobrazenı´, ktera´ nemajı´ v zˇa´dne´ ba´zi diagona´lnı´ matici. V te´to kapitole budeme pro neˇ hledat reprezentaci maticemi, ktere´ jsou v jiste´m smyslu blı´zke´ diagona´lnı´m maticı´m. Navı´c se uka´zˇe, zˇe zvoleny´ zpu˚sob popisu bude jako zvla´sˇtnı´ prˇ´ıpad zahrnovat i matice diagona´lnı´. Pro libovolne´ linea´rnı´ zobrazenı´ A vektorove´ho prostoru V do V nalezneme takovou ba´zi prostoru V (bude se nazy´vat Jordanova kanonicka´ ba´ze), v nı´zˇ bude mı´t matice zobrazenı´ A kromeˇ prvku˚ na dvou diagona´la´ch vsˇechny ostatnı´ prvky nulove´. Jordanova kanonicka´ ba´ze bude slozˇena ze zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚.
7.1 Zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory Vı´me jizˇ, zˇe pokud se da´ ba´ze definicˇnı´ho oboru linea´rnı´ho zobrazenı´ A sestavit z jeho charakteristicky´ch vektoru˚, bude mı´t A v te´to ba´zi diagona´lnı´ matici. V maticove´ terminologii to znamena´, zˇe pokud ma´ cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du n linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚, je podobna´ diagona´lnı´ matici. Jak vsˇak ukazuje prˇ´ıklad 6.4, existujı´ matice, ktere´ nejsou podobne´ zˇa´dne´ diagona´lnı´ matici a tedy existujı´ i linea´rnı´ zobrazenı´, ktera´ nemajı´ v zˇa´dne´ ba´zi sve´ho definicˇnı´ho oboru diagona´lnı´ matici. Nynı´ zobecnı´me pojem charakteristicke´ho vektoru tak, aby pro kazˇde´ linea´rnı´ zobrazenı´ A vektorove´ho prostoru V do V bylo mozˇne´ sestrojit ba´zi prostoru V z teˇchto zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Definice. Nenulovy´ vektor v ∈ Cn se nazy´va´ zobecneˇny´m charakteristicky´m vektorem matice A, jestlizˇe existuje λ ∈ C a cele´ k ≥ 1 tak, zˇe (A − λ E)k v = o a
(A − λ E)k−1 v 6 = o.
Analogicky se definuje zobecneˇny´ charakteristicky´ vektor linea´rnı´ho zobrazenı´: Je-li A linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V , pak nenulovy´ vektor v ∈ V se nazy´va´ zobecneˇny´m charakteristicky´m vektorem zobrazenı´ A, jestlizˇe existuje λ ∈ C a cele´ k ≥ 1 tak, zˇe1 (A − λI )k (v) = o a
(A − λI )k−1 (v) 6 = o.
1 Poznamenejme, zˇe I znacˇ´ı identicke´ zobrazenı´: I (x) = x pro kazˇde´ x ∈ V .
79
Kapitola 7
80
Pokud je v uvedene´ definici k = 1, je vektor v charakteristicky´m vektorem a pojem zobecneˇne´ho a „obycˇejne´ho“ charakteristicke´ho vektoru zde sply´va´. Pro k > 1 dosta´va´me pojem novy´. V tomto smyslu jde tedy opravdu o zobecneˇnı´ jizˇ zna´me´ho pojmu charakteristicky´ vektor. Nedocha´zı´ vsˇak k zˇa´dne´mu zobecneˇnı´ charakteristicky´ch cˇ´ısel. Je-li totizˇ v zobecneˇny´m charakteristicky´m vektorem matice A, pak v1 = (A − λ E)k−1 v 6 = o a vyna´sobenı´m maticı´ (A − λ E) dosta´va´me (A − λ E)v1 = o. Odtud plyne, zˇe λ je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A a v1 jemu prˇ´ıslusˇny´ charakteristicky´ vektor. Ukazuje se tedy, zˇe kazˇdy´ zobecneˇny´ charakteristicky´ vektor matice A je sva´za´n s neˇjaky´m jejı´m charakteristicky´m cˇ´ıslem a jemu odpovı´dajı´cı´m charakteristicky´m vektorem. Tuto souvislost mu˚zˇeme jesˇteˇ uprˇesnit. Vyjdeˇme od zobecneˇne´ho charakteristicke´ho vektoru v a polozˇme
v1 v2
= (A − λ E)k−1 v
= (A − λ E)k−2 v .. .
(7.1)
vk−1 = (A − λ E)v vk
= v.
Vyna´sobme kazˇdy´ ze vztahu˚ (7.1) maticı´ (A − λ E). Dostaneme (A − λ E)v 1 = (A − λ E)k v (A − λ E)v 2 = (A − λ E)
k−1
=o
v = v1
(A − λ E)v3 = (A − λ E)k−2 v = v2 .. .. . . (A − λ E)v k = (A − λ E)v
(7.2)
= vk−1 .
Opakovany´m na´sobenı´m prvnı´ rovnice z (7.2) maticı´ A − λE da´le dosta´va´me (A − λ E)i v i = o ,
i = 1, . . . , k.
Vidı´me tedy, zˇe se zobecneˇny´m charakteristicky´m vektorem v je sva´za´n charakteristicky´ vektor v1 a dalsˇ´ı zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory v2 , . . . , vk−1 . To na´s vede k na´sledujı´cı´ definici. Definice. Usporˇa´danou k-tici (v1 , . . . , vk ) v (7.1) nazy´va´me rˇeteˇzcem zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ prˇ´ıslusˇny´ch cˇ´ıslu λ, cˇ´ıslo k nazy´va´me de´lkou ˇreteˇzce. Podle te´to definice povazˇujeme samotny´ charakteristicky´ vektor za ˇreteˇzec de´lky 1. Vlastnosti zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ prˇ´ıslusˇny´ch cˇ´ıslu λ a tvorˇ´ıcı´ch ˇreteˇzec de´lky k tak mu˚zˇeme shrnout do na´sledujı´cı´ho prˇehledu: (A − λ E)v 1 = o (A − λ E)v 2 = v 1
(A − λ E) v 1 = o
(A − λ E)2 v 2 = o
v1 ∈ N(A − λ E)
v2 ∈ N(A − λ E)2
(A − λ E)v 3 = v 2 .. .
(A − λ E)3 v 3 = o .. .
v3 ∈ N(A − λ E)3 .. .
(A − λ E)vk = vk−1
(A − λ E)k v k = o
vk ∈ N(A − λ E)k .
(7.3)
7.1. Zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory
81
Kazˇdy´ ze vztahu˚ v prvnı´m sloupci (7.3) lze pro i = 2, . . . , k zapsat take´ ve tvaru
Avi = λvi + vi−1 .
(7.4)
Vztahy v prvnı´m sloupci (7.3) umozˇnˇujı´ postupny´ vy´pocˇet zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚, patrˇ´ıcı´ch do jednoho rˇeteˇzce, tedy zacˇ´ınajı´cı´ch jednı´m konkre´tneˇ zvoleny´m charakteristicky´m vektorem v1 . Existuje-li k v1 dalsˇ´ı vektor ˇreteˇzce v2 , musı´ vzhledem k (7.3) platit (A − λ E)v 2 = v 1 .
(7.5)
(A − λ E)x = v 1 .
(7.6)
Vektor v2 je tedy rˇesˇenı´m soustavy Soustava (7.6) ma´ podle veˇty 3.7 na straneˇ 42 ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ hodnost matice te´to soustavy je rovna hodnosti matice rozsˇ´ırˇene´. To prakticky znamena´, zˇe ne ke vsˇem charakteristicky´m vektoru˚m bude existovat rˇeteˇzec de´lky veˇtsˇ´ı nezˇ 1. Pokud vektor v2 existuje, je dalsˇ´ı vy´pocˇet analogicky´ – vektor v3 hleda´me jako rˇesˇenı´ soustavy (A − λ E)x = v2 , atd. Pozdeˇji uka´zˇeme, zˇe cely´ proces vy´pocˇtu vektoru˚ ˇreteˇzce ma´ vzˇdy pouze konecˇny´ pocˇet kroku˚. Prˇ´ıklad 7.1 Vypocˇteˇte rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ matice 4 1 A= . −1 2 Rˇesˇenı´. Charakteristicka´ rovnice je det(A − λ E) = (λ − 3)2 = 0, takzˇe matice A ma´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 3. Pro charakteristicke´ vektory v1 platı´ (A − 3E) v1 = o; protozˇe 1 1 1 A − 3E = , je v1 = t , t 6 = 0. −1 −1 −1 Pokud bude existovat zobecneˇny´ charakteristicky´ vektor v2 , tvorˇ´ıcı´ s v1 rˇeteˇzec, musı´ podle (7.5) splnˇovat rovnici (A − 3E) v2 = v1 . Rozsˇ´ıˇrena´ matice soustavy, jejı´mzˇ ˇresˇenı´m bude vektor v2 , je t 1 1 , t 6 = 0. −1 −1 −t Hodnost matice te´to soustavy i hodnost rozsˇ´ıˇrene´ matice jsou stejne´ pro vsˇechna prˇ´ıpustna´ t a podle veˇty 3.7 pro vsˇechna tato t existuje ˇresˇenı´: u v2 = , t 6 = 0. t −u Dalsˇ´ı zobecneˇny´ charakteristicky´ vektor v3 by byl ˇresˇenı´m soustavy (A − 3E) v3 = v2 . Rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy je 1 1 u 1 1 u ∼ . −1 −1 t − u 0 0 t Tato soustava vsˇak pro t 6 = 0 nema´ ˇresˇenı´ a vektor v3 neexistuje. Znamena´ to tedy, zˇe rˇeteˇzec koncˇ´ı vektorem v2 a de´lka rˇeteˇzce je 2. Vsˇimneˇme si, zˇe vsˇechny soustavy meˇly stejnou matici soustavy,
Kapitola 7
82
meˇnila se pouze prava´ strana. Vy´pocˇet cele´ho ˇreteˇzce, prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ, lze tedy strucˇneˇ popsat jedinou maticı´, ktera´ vznikne z matice (A − λ E) postupny´m prˇida´va´nı´m pravy´ch stran v1 , v2 : t u 1 1 . −1 −1 −t t − u Prˇ´ıklad 7.2 Vypocˇteˇte zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory matice 2 0 0 A = 1 2 0 . −1 0 2 Rˇesˇenı´. Charakteristicky´ polynom matice A je det(A trojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 2. 0 A − 2E = 1 −1
− λ E) = (2 − λ)3 ; matice ma´ tedy jedno 0 0 0 0 0 0
a rˇesˇenı´m soustavy (A − 2E) x = o dostaneme charakteristicke´ vektory: 0 x = t , |t| + |s| 6 = 0. s
Pocˇ´ıtejme nynı´ zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory. Ty budou ˇresˇenı´m soustavy, jejı´zˇ rozsˇ´ırˇena´ matice je 0 0 0 0 1 0 0 t . (7.7) −1 0 0 s
Hodnost matice soustavy A − 2E je 1 a podle veˇty 3.7 bude soustava ˇresˇitelna´, pokud i rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy bude mı´t hodnost 1. To nastane pra´veˇ tehdy, kdyzˇ s = −t. Vidı´me tedy, zˇe druhy´ vektor rˇeteˇzce bude existovat pouze k vektoru˚m 0 v1 = t , t 6 = 0 −t
a zby´vajı´cı´ charakteristicke´ vektory budou tvorˇit ˇreteˇzec de´lky 1. Rozsˇ´ıˇrena´ matice (7.7) prˇecha´zı´ tedy do tvaru 0 0 0 0 1 0 0 t . −1 0 0 −t Rˇesˇenı´m soustavy s touto rozsˇ´ıˇrenou maticı´ je druhy´ vektor ˇreteˇzce: t v2 = u , t 6 = 0. v
7.1. Zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory
83
Zde u, v jsou libovolna´ cˇ´ısla a podmı´nka t 6 = 0 je urcˇena jizˇ vektorem v1 . Vy´pocˇet dalsˇ´ıho vektoru rˇeteˇzce vede na soustavu s rozsˇ´ıˇrenou maticı´ 0 0 0 t 1 0 0 u . (7.8) −1 0 0 v
I zde je podmı´nkou rˇesˇitelnosti soustavy, aby hodnost matice (7.8) byla 1, to vsˇak pro t 6 = 0 nenı´ mozˇne´. Rˇeteˇzec tudı´zˇ nema´ dalsˇ´ı pokracˇova´nı´, jeho de´lka je 2. Celkem ma´ matice A dva rˇeteˇzce (prˇesneˇji rˇecˇeno dveˇ mnozˇiny ˇreteˇzcu˚) – jeden de´lky 2, tvorˇeny´ vektory 0 t v1 = t , v2 = u , t 6 = 0 −t v a druhy´ de´lky 1, tvorˇeny´ libovolny´m charakteristicky´m vektorem ru˚zny´m od v1 , tedy 0 w1 = r , s 6 = −r. s
Vy´pocˇet rˇeteˇzce v1 , v2 lze strucˇneˇ zapsat pomocı´ na´sledujı´cı´ matice
x 0 0 1 0 −1 0
0 0 0
0 t s
v1 | | |
v2
0 t −t
t . u v
U na´sledujı´cı´ho prˇ´ıkladu uvedeme postup ˇresˇenı´ pouze v tomto strucˇne´m za´pisu. Prˇ´ıklad 7.3 Vypocˇteˇte zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory matice −3 1 2 0 0 −3 1 0 . A= 0 0 −3 0 0 0 0 −2
Rˇesˇenı´. A je troju´helnı´kova´, jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla na´sobne´). a) λ1 = −2 : −1 1 2 0 −1 1 0 0 −1 0 0 0 Pro λ1 = −2 existuje rˇeteˇzec de´lky 1:
0 0 v1 = 0 , u
jsou λ1 = −2 (jednoduche´) a λ2 = −3 (troj0 0 0 0
0 0 . 0 u
u 6 = 0.
Kapitola 7
84 b) λ2 = −3 : 0 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 0 1
w1
w2
w3
t 0 0 0
s t 0 0
r s − 2t t 0
Pro λ2 = −3 existuje rˇeteˇzec de´lky 3 (t 6 = 0) : t 0 w1 = 0 , w2 = 0
s t , 0 0
t 6 = 0.
r s − 2t . w3 = t 0
Uvedene´ prˇ´ıklady ukazujı´, zˇe vektory ˇreteˇzcu˚ nejsou charakteristicky´m vektorem urcˇeny jednoznacˇneˇ; ve vsˇech prˇ´ıkladech lze vsˇak prˇ´ımy´m vy´pocˇtem oveˇˇrit, zˇe vektory v ˇreteˇzci jsou pro vsˇechny uvedene´ hodnoty parametru˚ linea´rneˇ neza´visle´. Doka´zˇeme nynı´, zˇe jde o obecnou vlastnost. Veˇta 7.1 Necht’ {v1 , v2 , . . . , vk } je rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ matice A, prˇ´ıslusˇny´ch charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ. Pak vektory {v1 , v2 , . . . , vk } jsou linea´rneˇ neza´visle´.
Du˚kaz. Veˇtu doka´zˇeme matematickou indukcı´ podle de´lky ˇreteˇzce. Pro k = 1 je tvrzenı´ zrˇejme´ – v1 6 = o, nebot’ jde o charakteristicky´ vektor. Prˇedpokla´dejme da´le, zˇe ˇreteˇzce de´lky k − 1 jsou linea´rneˇ neza´visle´ a uvazˇujme rˇeteˇzec {v1, . . . , vk }. Necht’ α1 v 1 + · · · + αk v k = o .
(7.9)
Vyna´sobenı´m obou stran rovnice (7.9) maticı´ (A − λ E) zleva dostaneme po u´praveˇ vyuzˇ´ıvajı´cı´ vztahy z prvnı´ho sloupce (7.3) α2 v1 + · · · + αk vk−1 = o. Protozˇe vektory v1 , v2 , . . . , vk−1 tvorˇ´ı take´ ˇreteˇzec a jsou podle indukcˇnı´ho prˇedpokladu linea´rneˇ neza´visle´, je α2 = · · · = αk = 0 a rovnice (7.9) se redukuje na α1 v1 = o. Avsˇak v1 je charakteristicky´ vektor a tudı´zˇ v1 6 = o, cozˇ znamena´, zˇe i α1 = 0 a vektory v1 , . . . , vk jsou linea´rneˇ neza´visle´. △
7.2 Jordanova kanonicka´ ba´ze Linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ rˇeteˇzce linea´rnı´ho zobrazenı´ A : V → V vede k domneˇnce, zˇe z nich bude mozˇne´ sestavit ba´zi prostoru V . Vysˇetrˇeme nejdrˇ´ıve, jak by v takove´ ba´zi vypadala matice zobrazenı´ A. Veˇta 7.2 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V . Necht’ λ je charakteristicke´ cˇ´ıslo zobrazenı´ A, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ v1 , . . . , vn . Necht’ vektory v1 , . . . , vn tvorˇ´ı ba´zi prostoru V . Pak zobrazenı´ A ma´ vzhledem k te´to ba´zi matici λ 1 0 0 ... 0 0 λ 1 0 . . . 0 0 0 λ 1 . . . 0 J = . . . . . (7.10) .. .. .. .. .. . . .. 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 ... λ
7.2. Jordanova kanonicka´ ba´ze
85
Du˚kaz. Sloupce matice linea´rnı´ho zobrazenı´ A tvorˇ´ı podle veˇty 5.2 na straneˇ 58 vektory sourˇadnic obrazu˚ A(vk ), k = 1, . . . , n. Tvrzenı´ tedy ihned vyply´va´ ze vztahu˚ A(v1 ) = λv1
a A(vk ) = λvk + vk−1 , k = 2, . . . , n,
ktere´ jsou ekvivalentnı´ s (7.2). Z nich totizˇ pro sourˇadnice v ba´zi B = (v1 , . . . , vn ) 1 λ λ 0 0 0 A(vn ) B = A(v2 ) B = . , . . . , A(v1 ) B = . , .. .. 0 0 0 0
Tyto vektory tvorˇ´ı sloupce matice J.
dosta´va´me 0 0 0 .. . . 1 λ
△
Vy´znamna´ je maticova´ analogie veˇty 7.2. Veˇta 7.3 Necht’ pro cˇtvercovou matici A rˇa´du n existuje ba´ze B prostoru Cn (resp. Rn ) tvorˇena´ rˇeteˇzcem zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ (v1 , v2 , . . . , vn ) prˇ´ıslusˇny´m charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ. Pak A je podobna´ matici (7.10) a platı´
A = PJP−1 ,
kde P je matice, jejı´zˇ sloupce jsou v1 , v2 , . . . , vn . Du˚kaz. Vektory v1 , v2 , . . . , vn splnˇujı´ vztahy (7.4), ktere´ lze na za´kladeˇ veˇty 1.2 zapsat jedinou maticovou rovnostı´ AP = PJ, kde P je matice, jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı vektory v1 , v2 , . . . , vn . Tyto vektory jsou podle veˇty 7.1 linea´rneˇ neza´visle´, takzˇe matice P je regula´rnı´ (veˇta 4.17). Z rovnosti AP = PJ tedy plyne A = PJP−1 , cozˇ je vztah, ktery´ jsme meˇli doka´zat. △ Obeˇ poslednı´ veˇty je snadne´ rozsˇ´ıˇrit na prˇ´ıpad vı´ce nezˇ jednoho ˇreteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Nenı´ prˇitom vu˚bec du˚lezˇite´, zda ˇreteˇzce na´lezˇ´ı jednomu nebo neˇkolika charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m. Veˇta 7.4 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ vektorove´ho prostoru V do V . Necht’ existuje usporˇa´dana´ ba´ze prostoru V tvorˇena´ rˇeteˇzci zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Pak matice zobrazenı´ A ma´ v te´to ba´zi tvar J1 O · · · O O J2 · · · O (7.11) J=. .. , .. . . .. . . .
O
kde Ji je cˇtvercova´ matice bud’to tvaru (λj ) λj 0 0 Ji = . .. 0 0
O · · · Jk
typu (1, 1) nebo tvaru 1 0 0 ... 0 λj 1 0 . . . 0 0 λj 1 . . . 0 .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0 ... 1 0 0 0 . . . λj
(7.12)
pro neˇjake´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λj zobrazenı´ A. Prˇitom kazˇde´mu rˇeteˇzci zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ v ba´zi odpovı´da´ jedna matice Ji ; jejı´ rˇa´d je roven de´lce prˇ´ıslusˇne´ho rˇeteˇzce.
Kapitola 7
86
Du˚kaz. Vyply´va´ opakovany´m pouzˇitı´m prˇedcha´zejı´cı´ veˇty; kazˇdy´ ˇreteˇzec prˇispeˇje do matice zobrazenı´ jednı´m blokem Ji . Vzhledem k tomu, zˇe k jednomu charakteristicke´mu cˇ´ıslu mu˚zˇe existovat vı´ce rˇeteˇzcu˚, mu˚zˇe by´t pocˇet teˇchto bloku˚ v (7.11) veˇtsˇ´ı nezˇ pocˇet charakteristicky´ch cˇ´ısel a mu˚zˇe se i rozcha´zet jejich indexova´nı´ v (7.12). △ Ba´ze z veˇty (7.4) a matice (7.11) a (7.12) jsou natolik du˚lezˇite´, zˇe si zaslouzˇ´ı samostatne´ pojmenova´nı´. Definice. Matici (7.12) nazy´va´me Jordanovy´m blokem odpovı´dajı´cı´m charakteristicke´mu cˇ´ıslu λj , matice (7.11) se nazy´va´ Jordanova kanonicka´ matice. Ba´zi, v nı´zˇ ma´ linea´rnı´ zobrazenı´ matici v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru, budeme nazy´vat Jordanovou kanonickou ba´zı´. Zdu˚razneˇme, zˇe usporˇa´da´nı´ vektoru˚ do Jordanovy ba´ze nenı´ sice jednoznacˇne´, nenı´ vsˇak zcela libovolne´. Jednotlive´ rˇeteˇzce nejsou „roztrzˇeny“ a usporˇa´da´nı´ jejich vektoru˚ zu˚sta´va´ zachova´no. Porˇadı´ rˇeteˇzcu˚ v ba´zi je libovolne´. Tote´zˇ platı´ i v na´sledujı´cı´ veˇteˇ. Veˇta 7.5 Necht’ pro cˇtvercovou matici A rˇa´du n existuje ba´ze B prostoru Cn tvorˇena´ zobecneˇny´mi charakteristicky´mi vektory (v1 , v2 , . . . , vn ). Pak A je podobna´ matici v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru (7.11) a platı´ J = P−1 AP,
kde P je matice, jejı´zˇ sloupce jsou v1 , v2 , . . . , vn . Prˇitom porˇadı´ bloku˚ Ji v matici (7.11) odpovı´da´ porˇadı´ rˇeteˇzcu˚, v neˇmzˇ jsou jejich vektory zarˇazeny do ba´ze. Du˚kaz. I zde jde o neˇkolikana´sobne´ opakova´nı´ u´vahy z du˚kazu veˇty 7.3.
△
Z du˚kazu˚ veˇt 7.2 – 7.4 vyply´vajı´ du˚lezˇite´ souvislosti ty´kajı´cı´ se Jordanovy kanonicke´ matice. Pocˇet Jordanovy´ch bloku˚ v kanonicke´m tvaru odpovı´da´ pocˇtu ˇreteˇzcu˚ v Jordanoveˇ ba´zi a rˇa´d kazˇde´ho bloku je roven de´lce odpovı´dajı´cı´ho ˇreteˇzce. Je take´ videˇt, zˇe pokud je matice podobna´ diagona´lnı´ matici D, je D take´ jejı´ Jordanovou kanonickou maticı´, v nı´zˇ vsˇechny bloky jsou prvnı´ho rˇa´du. Da´le platı´ Veˇta 7.6 Necht’ λ je m-na´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo linea´rnı´ho zobrazenı´ A. Pak soucˇet de´lek vsˇech rˇeteˇzcu˚ v Jordanoveˇ kanonicke´ ba´zi prˇ´ıslusˇny´ch cˇ´ıslu λ je roven m. Du˚kaz. Necht’ J je Jordanova matice odpovı´dajı´cı´ Jordanoveˇ kanonicke´ ba´zi. Protozˇe matice J je troju´helnı´kova´ a ma´ stejny´ charakteristicky´ polynom jako A, odpovı´da´ pocˇet vy´skytu˚ kazˇde´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla na diagona´le J jeho na´sobnosti. Soucˇasneˇ vsˇak se pocˇet vy´skytu˚ cˇ´ısla λ na diagona´le J rovna´ pocˇtu zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ v Jordanoveˇ ba´zi odpovı´dajı´cı´ch cˇ´ıslu λ, cozˇ je ekvivalentnı´ soucˇtu de´lek vsˇech ˇreteˇzcu˚ prˇ´ıslusˇny´ch cˇ´ıslu λ. △ Vsˇimneme-li si, zˇe sjednocenı´m vektoru˚ ˇreteˇzcu˚ v kazˇde´m z prˇ´ıkladu˚ 7.1, 7.2 a 7.3 vznikne vzˇdy linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina, mu˚zˇeme ke kazˇde´ z matic v teˇchto prˇ´ıkladech nale´zt jejich Jordanu˚v kanonicky´ tvar. Prˇ´ıklad 7.4 a) Matice
A=
4 1 −1 2
z prˇ´ıkladu 7.1 ma´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 3 s ˇreteˇzcem t u v1 = , v2 = , −t t −u
t 6 = 0.
7.2. Jordanova kanonicka´ ba´ze
87
Vektory v1 , v2 tvorˇ´ı tedy pro kazˇde´ t 6 = 0 a kazˇde´ u Jordanovu kanonickou ba´zi C2 . Jeden rˇeteˇzec de´lky 2 v Jordanoveˇ kanonicke´ ba´zi znamena´ jeden Jordanu˚v blok ˇra´du 2 v matici J : 3 1 J= . 0 3 Podle veˇty 7.5 je
J = P−1AP, kde sloupce matice P tvorˇ´ı vektory v1 a v2 (volı´me naprˇ. t = 1, u = 0 ): 1 0 P= −1 1 b) Matice
2 0 0 A= 1 2 0 −1 0 2
z prˇ´ıkladu 7.2 ma´ jedno trojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 2 se dveˇma ˇreteˇzci; jeden ma´ de´lku 2 a tvorˇ´ı ho vektory t 0 u , t 6 = 0, t , v2 = v1 = v −t druhy´ de´lku 1, tvorˇeny´ libovolny´m charakteristicky´m vektorem ru˚zny´m od v1 : 0 w1 = r , s 6 = −r, |r| + |s| 6 = 0. s
Vektory v1 , v2 , w1 jsou pro kazˇdou prˇ´ıpustnou volbu parametru˚ r, s, t linea´rneˇ neza´visle´, takzˇe tvorˇ´ı Jordanovu kanonickou ba´zi C3 . Protozˇe ba´ze sesta´va´ z vektoru˚ dvou ˇreteˇzcu˚, bude mı´t Jordanova kanonicka´ matice 2 bloky rˇa´du˚ rovnajı´cı´ch se de´lka´m odpovı´dajı´cı´ch ˇreteˇzcu˚: 2 a 1. 2 1 0 J= 0 2 0 0 0 2 Matici P, pro nı´zˇ J = P−1AP, opeˇt dostaneme podle veˇty 7.5. Jejı´ sloupce budou tvorˇit vektory Jordanovy kanonicke´ ba´ze (volı´me t = 1, u = v = s = 0, r = 1 ): 0 1 0 P = 1 0 1 . −1 0 0
c) Matice
−3 1 2 0 0 −3 1 0 A= 0 0 −3 0 0 0 0 −2
Kapitola 7
88
z prˇ´ıkladu 7.3 ma´ dveˇ charakteristicka´ cˇ´ısla: λ1 = −2 (jednoduche´) a λ2 = −3 (trojna´sobne´). Pro λ1 ma´ matice rˇeteˇzec de´lky 1 0 0 v1 = 0 , u 6 = 0. u
K λ2 existuje rˇeteˇzec de´lky 3 ( t 6 = 0 ) t 0 w1 = 0 , 0
s t w2 = 0 , 0
r s − 2t . w3 = t 0
Pro u 6 = 0 a t 6 = 0 jsou vektory v1 , w1 , w2 , w3 linea´rneˇ neza´visle´ a tvorˇ´ı Jordanovu kanonickou ba´zi C4 . Jı´ odpovı´da´ Jordanova matice
−2 0 0 0 0 −3 1 0 J= 0 0 −3 1 0 0 0 −3 a transformacˇnı´ matice
pro nı´zˇ A = PJP−1 .
0 0 P= 0 1
1 0 0 0
0 0 1 −2 , 0 1 0 0
Nynı´ zby´va´ doka´zat, zˇe existence Jordanovy´ch ba´zı´ v prˇedcha´zejı´cı´m prˇ´ıkladu nenı´ na´hodna´; tedy, zˇe kazˇda´ cˇtvercova´ matice A je podobna´ neˇjake´ matici v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru, nebo, cozˇ je ekvivalentnı´, zˇe pro kazˇde´ linea´rnı´ zobrazenı´ na vektorove´m prostoru V existuje Jordanova kanonicka´ ba´ze V . K tomu je trˇeba uka´zat, zˇe se vzˇdy podarˇ´ı nale´zt „dostatecˇne´“ mnozˇstvı´ linea´rneˇ neza´visly´ch zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Z veˇty 7.1 jizˇ vı´me, zˇe vektory kazˇde´ho rˇeteˇzce jsou linea´rneˇ neza´visle´. Podobneˇ jako u charakteristicky´ch vektoru˚ (veˇta 6.14) lze uka´zat, zˇe sjednocenı´m vektoru˚ rˇeteˇzcu˚ odpovı´dajı´cı´ch ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m dostaneme linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu a zˇe sjednocenı´m vektoru˚ rˇeteˇzcu˚ zacˇ´ınajı´cı´ch linea´rneˇ neza´visly´mi charakteristicky´mi vektory dostaneme take´ linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu. Nakonec zbude nejobtı´zˇneˇjsˇ´ı cˇa´st: doka´zat, zˇe pocˇet vektoru˚ vznikly´ch sjednocenı´m prvku˚ vsˇech rˇeteˇzcu˚ je roven dimenzi prostoru V resp. ˇra´du uvazˇovane´ matice A. Obeˇ avizovana´ tvrzenı´ zde uvedeme bez du˚kazu; ten lze nale´zt v [10], strana 50–53. Veˇta 7.7 Kazˇda´ cˇtvercova´ matice je podobna´ neˇjake´ matici v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru. Veˇta 7.8 Pro kazˇde´ linea´rnı´ zobrazenı´ A : V → V existuje Jordanova kanonicka´ ba´ze prostoru V .
7.3. Jordanova kanonicka´ matice
89
7.3 Jordanova kanonicka´ matice Z prˇedcha´zejı´cı´ho odstavce vlastneˇ jizˇ vyplynul tvar matic, jimizˇ budeme reprezentovat jednotlive´ trˇ´ıdy podobnosti. Soucˇasneˇ se take´ ukazuje, jak tuto Jordanovu kanonickou matici nale´zt. Jde vsˇak o pomeˇrneˇ komplikovany´ zpu˚sob – vy´pocˇet vsˇech ˇreteˇzcu˚ zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚, z nichzˇ lze sestavit Jordanovu kanonickou ba´zi a teprve pak na za´kladeˇ veˇty 7.4 Jordanovu kanonickou matici J. Prˇestozˇe k urcˇenı´ J stacˇ´ı pouze de´lky vsˇech ˇreteˇzcu˚ ba´ze, nenı´ uvedeny´ zpu˚sob jejich stanovenı´ prˇ´ılisˇ efektivnı´. Navı´c zatı´m nenı´ jasne´, zda a prˇ´ıpadneˇ jak se lisˇ´ı Jordanovy kanonicke´ matice odpovı´dajı´cı´ ru˚zny´m ba´zı´m. Prˇitom Jordanova kanonicka´ ba´ze nenı´ zdaleka urcˇena jednoznacˇneˇ. V tomto odstavci uka´zˇeme jiny´ mozˇny´ zpu˚sob vy´pocˇtu Jordanovy kanonicke´ matice, z neˇjzˇ za´rovenˇ vyplyne jejı´ jednoznacˇnost azˇ na porˇadı´ jednotlivy´ch bloku˚. Podle veˇty 7.4 je Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice je urcˇen pocˇtem a de´lkou ˇreteˇzcu˚ v Jordanoveˇ kanonicke´ ba´zi. Protozˇe kazˇdy´ rˇeteˇzec zacˇ´ına´ charakteristicky´m vektorem, je pocˇet ˇreteˇzcu˚ prˇ´ıslusˇny´ch cˇ´ıslu λ roven maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚ prˇ´ıslusˇny´ch λ, t.j. dim Cλ (A). De´lku vsˇech rˇeteˇzcu˚ v Jordanoveˇ ba´zi lze pro kazˇde´ λ odvodit z hodnosti matic (A − λ E)i , i = 1, 2, . . . Namı´sto ne prˇ´ılisˇ prˇehledne´ho explicitnı´ho vztahu pro de´lky ˇreteˇzcu˚ v za´vislosti na h(A −λ E)i uvedeme sche´maticke´ zna´zorneˇnı´ jejich ´ vaha se bude ty´kat jednoho libovolneˇ zvolene´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla λ a jemu prˇ´ıslusˇny´ch vy´pocˇtu. U charakteristicky´ch vektoru˚, zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ a ˇreteˇzcu˚ v pevneˇ zvolene´ Jordanoveˇ kanonicke´ ba´zi matice A rˇa´du n. Polozˇme h1 = n − h(A − λ E); z prˇedchozı´ u´vahy vyply´va´, zˇe cˇ´ıslo h1 uda´va´ celkovy´ pocˇet ˇreteˇzcu˚ v ba´zi. Oznacˇme da´le h2 = h(A − λ E) − h(A − λ E)2
h3 = h(A − λ E)2 − h(A − λ E)3
h4 = h(A − λ E)3 − h(A − λ E)4 .. .
Protozˇe z veˇty 3.2 na straneˇ 40 vyply´va´ nerovnost h(A −λ E)i ≥ h(A −λ E)i+1, jsou cˇ´ısla hi neza´porna´. Soucˇasneˇ lze take´ hi vyja´drˇit pomocı´ dimenzı´ nulovy´ch prostoru˚ matic (A − λ E)j h1 = dim N(A − λ E)
h2 = dim N(A − λ E)2 − dim N(A − λ E)
h3 = dim N(A − λ E)3 − dim N(A − λ E)2 .. .
Odtud vyply´va´, zˇe cˇ´ıslo hi uda´va´ prˇ´ıru˚stek dimenze nulove´ho prostoru matice (A − λ E)i proti dimenzi nulove´ho prostoru matice (A − λ E)i−1 . Vzhledem k tomu, zˇe pro tyto nulove´ prostory platı´ N(A − λ E)i−1 ⊆ N(A − λ E)i , je hi rovno maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚, ktere´ prˇibudou v N(A − λ E)i oproti N(A − λ E)i−1 . Kazˇdy´ takovy´ vektor je tudı´zˇ i-ty´ vektor rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ a hi tı´m uda´va´ pocˇet ˇreteˇzcu˚ v ba´zi, jejichzˇ de´lka je asponˇ i nebo, cozˇ je ekvivalentnı´, kolik ˇreteˇzcu˚ de´lky i − 1 ma´ pokracˇova´nı´. Posloupnost h1 , h2 , . . . je tedy
Kapitola 7
90
nerostoucı´ a existuje prˇirozene´ k tak, zˇe hk 6 = 0 a hk+1 = hk+2 = · · · = 0. Podrobnosti zdu˚vodneˇnı´ lze nale´zt v [6], str. 432–434. Prˇirˇad’me hodnota´m h1 , h2 , . . . , hk symbolickou tabulku podle tohoto pravidla: hodnoteˇ hi odpovı´da´ i-ty´ rˇa´dek tabulky, v neˇmzˇ je odleva do prvnı´ch hi sloupcu˚ zapsa´n symbol ⋆ . Z vy´sˇe uvedeny´ch vlastnostı´ cˇ´ısel h1 , h2 , . . . , hk pak vyply´va´, zˇe k charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ existuje v ba´zi tolik rˇeteˇzcu˚, kolik ma´ tabulka sloupcu˚ a jejich de´lky jsou reprezentova´ny pocˇtem hveˇzdicˇek v kazˇde´m sloupci. Sche´ma budeme nazy´vat hveˇzdicˇkovy´ diagram. Hlavnı´ vy´znam hveˇzdicˇkove´ho diagramu spocˇ´ıva´ ve faktu, zˇe jeho konstrukci prova´dı´me jednoduchy´m zpu˚sobem po rˇa´dcı´ch a informace o rˇeteˇzcı´ch pak odecˇ´ıta´me z jeho sloupcu˚. Prˇ´ıklad 7.5 Stanovte Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice
A=
−1 1 1 0 0 0 −1 0 1 2 0 0 −1 −1 −2 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1
.
Rˇesˇenı´. Matice A ma´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = −1 na´sobnosti 5. Pocˇ´ıtejme postupneˇ mocniny matice A + E. 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 2 A+E= 0 0 0 −1 −2 , (A + E) = 0 0 0 0 −1 , (A + E) = O. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Odtud h(A + E) = 3, takzˇe h1 = 5 − 3 = 2. Da´le h2 = h(A + E) − h(A + E)2 = 3 − 1 = 2,
h3 = h(A + E)2 − h(A + E)3 = 1 − 0 = 1,
h4 = h(A + E)3 − h(A + E)4 = 0 − 0 = 0. Hveˇzdicˇkovy´ diagram ma´ tedy tvar ⋆ ⋆ ⋆
⋆ ⋆
a matice ma´ jeden rˇeteˇzec de´lky 3 a jeden ˇreteˇzec de´lky 2, oba prˇ´ıslusˇne´ charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ = −1. Odtud dosta´va´me Jordanu˚v kanonicky´ tvar
J=
−1 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1
.
7.3. Jordanova kanonicka´ matice
91
Prˇ´ıklad 7.6 Stanovte Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 A= 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 3 0 0
1 0 0 0 2 3 0
0 1 0 0 0 1 3
.
Rˇesˇenı´. Matice A je troju´helnı´kova´ a jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla jsou prvku˚m: λ1 = 2 je cˇtyrˇna´sobne´ a λ2 = 3 je trojna´sobne´. 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 A − 2E = 0 0 0 0 0 0 0 , (A − 2E) = 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
tedy rovna jejı´m diagona´lnı´m 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 2 2 0 1 0 0
1 0 4 0 4 1 0
1 1 2 0 4 2 1
Odtud je h(A − 2E) = 5 a h(A − 2E)2 = 4, takzˇe h1 = n − h(A − 2E) = 7 − 5 = 2 a h2 = h(A − 2E) − h(A − 2E)2 = 2 − 1 = 1. To znamena´ zˇe pro λ1 = 2 existujı´ 2 rˇeteˇzce, z nichzˇ jeden ma´ de´lku pouze 1 a tudı´zˇ druhy´ musı´ mı´t de´lku 3, nebot’ soucˇet de´lek rˇeteˇzcu˚ je roven na´sobnosti charakteristicke´ho cˇ´ısla λ1 , tedy 4. Da´le je −1 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 0 0 1 0 0 −1 1 2 0 0 . A − 3E = 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 h(A − 3E) = 6.
Hveˇzdicˇkove´ diagramy pro λ1 = 2 a λ2 = 3 majı´ tuto podobu: λ1 = 2
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Vy´sledny´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A tedy je 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 J= 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
λ2 = 3 ⋆ ⋆ ⋆
0 0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 1 3 0
0 0 0 0 0 1 3
Kapitola 7
92
Veˇta 7.9 Matice A a B jsou si podobne´ pra´veˇ tehdy, majı´-li stejny´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar (azˇ na porˇadı´ jednotlivy´ch bloku˚). Du˚kaz. Majı´-li A a B stejny´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar J, jsou obeˇ podobne´ te´zˇe matici J a tudı´zˇ jsou podobne´ (tranzitivnost podobnosti – viz vlastnosti podobnosti za jejı´ definicı´). Jsou-li naopak matice A a B podobne´ a JA a JB jsou jejich Jordanovy kanonicke´ matice, pak (opeˇt na za´kladeˇ tranzitivnosti podobnosti) JA je podobna´ JB . Obeˇ tedy patrˇ´ı do stejne´ trˇ´ıdy podobnosti a majı´ tudı´zˇ stejnou Jordanovu kanonickou matici. Ta je urcˇena hveˇzdicˇkovy´m diagramem jednoznacˇneˇ azˇ na porˇadı´ svy´ch bloku˚, takzˇe i JA a JB se lisˇ´ı nejvy´sˇe porˇadı´m svy´ch bloku˚. △ Prˇ´ıklad 7.7 Rozhodneˇte, zda jsou si podobne´ matice
A=
2 0 0 0 0
1 3 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 2 2 0
1 0 0 0 2
a
B=
3 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 2
.
Rˇesˇenı´. Oznacˇme JA Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A a JB Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice B. Podle prˇedcha´zejı´cı´ veˇty bude A ≈ B pra´veˇ tehdy, podarˇ´ı-li se usporˇa´dat bloky v JA a JB tak, aby JA = JB . Pro vy´pocˇet JA i JB pouzˇijeme hveˇzdicˇkove´ho diagramu. Matice A i matice B majı´ cˇtyrˇna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 2 a jednoduche´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 = 3. Pro matici A a λ1 = 2 dosta´va´me 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 A − λ1 E = A − 2E = 0 0 0 2 0 , (A − 2E) = 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Odtud plyne, zˇe h(A − 2E) = 3 a
h(A − 2E) 2 = 2.
Matice A tedy ma´ pro λ1 = 2 celkem 5 − 3 = 2 ˇreteˇzce a z nich 3 − 2 = 1 ma´ de´lku asponˇ 2. Z toho jizˇ jednoznacˇneˇ vyply´va´ cely´ hveˇzdicˇkovy´ diagram matice A : λ1 = 2 ⋆ ⋆ ⋆ Pro matici B a λ1 = 2 dosta´va´me B − λ1 E = B − 2E =
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
λ2 = 3
⋆
0 1 0 0 0
⋆
0 0 0 0 0
2 0 1 0 1
,
(B − 2E) = 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2 1 1 0 1
.
7.4. Prˇ´ıklady
93
Protozˇe h(B − λE) = 3 = h(A − 2E)
a h(B − λE)2 = 2 = h(A − 2E) 2 ,
bude mı´t matice B stejny´ hveˇzdicˇkovy´ diagram jako kanonicky´ tvar 3 0 0 2 JA = JB = 0 0 0 0 0 0 Matice A a B si jsou podobne´.
matice A a obeˇ matice majı´ i stejny´ Jordanu˚v 0 1 2 0 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 2
.
Z konstrukce hveˇzdicˇkove´ho diagramu vyply´va´ take´ nova´ nutna´ a postacˇujı´cı´ podmı´nka podobnosti diagona´lnı´ matici. Veˇta 7.10 Cˇtvercova´ matice A je podobna´ neˇjake´ diagona´lnı´ matici pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro kazˇde´ jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ platı´ h(A − λ E) = h(A − λ E)2 . Du˚kaz. Nulovy´ rozdı´l h(A − λ E) − h(A − λ E)2 znamena´, zˇe zˇa´dny´ ˇreteˇzec nema´ de´lku veˇtsˇ´ı nezˇ jedna a v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru J matice A jsou tudı´zˇ pouze bloky prvnı´ho rˇa´du. J je tedy diagona´lnı´. △
7.4 Prˇ´ıklady Prˇ´ıklad 7.8 A je linea´rnı´ zobrazenı´ z R3 do R3 , jehozˇ matice ve standardnı´ ba´zi je 3 −4 0 A = 1 −1 0 . −1 2 1 Nalezneˇte matici J v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru podobnou matici A a urcˇete takovou ba´zi R3 , v nı´zˇ bude J maticı´ zobrazenı´ A . Rˇesˇenı´. Podle veˇt 7.4 a 7.5 bude mı´t zobrazenı´ A Jordanovu kanonickou matici J v ba´zi tvorˇene´ rˇeteˇzci zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ matice A a tvar J bude urcˇen pocˇtem a de´lkou rˇeteˇzcu˚. Rˇeteˇzce vypocˇteme stejny´m zpu˚sobem jako v prˇ´ıkladech 7.1–7.3. Charakteristicka´ rovnice matice A je (1 − λ)3 = 0, takzˇe A ma´ jedno trojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 1. Charakteristicke´ vektory vypocˇteme z rovnice (A − λ1 E)x = o : 2 −4 0 x1 0 1 −2 0 x2 = 0 . −1 2 0 x3 0 Protozˇe h(A − λ1 E) = 1, dostaneme z poslednı´ rovnice 3 − 1 = 2 linea´rneˇ neza´visle´ charakteristicke´ vektory x a matice A bude tudı´zˇ mı´t 2 ˇreteˇzce. Podle veˇty 7.6 bude soucˇet jejich de´lek roven 3; de´lky
Kapitola 7
94 tedy budou 2 a 1. Vy´pocˇet rˇeteˇzce v1 , v2 de´lky 2 popisuje na´sledujı´cı´ rozsˇ´ırˇena´ matice
x 2 −4 0 1 −2 0 −1 2 0
2r r s
Podle veˇty 7.4 bude v matici J kazˇde´mu ˇreteˇzci rˇeteˇzce: 1 J= 0 0
| | |
v1
v2
2r r −r
r + 2t t u
odpovı´dat Jordanu˚v blok rˇa´du shodne´ho s de´lkou 1 0 1 0 . 0 1
Prvnı´ dva sloupce matice P budou podle veˇty 7.5 vektory v1 , v2 (volı´me naprˇ. r = 1, t = u = 0 ) a trˇetı´ sloupec bude vektor druhe´ho ˇreteˇzce. Dostaneme jej z obecne´ho tvaru vektoru x volbou parametru˚ r 6 = −s, naprˇ. r = 0, s = 1. 2 1 0 P = 1 0 0 . −1 0 1 Prˇ´ıklad 7.9 Dokazˇte platnost na´sledujı´cı´ho tvrzenı´. Necht’ A je regula´rnı´ matice, jejı´zˇ Jordanu˚v kanonicky´ tvar je λ 1 0 J = 0 λ 1 . 0 0 λ Pak matice A2 ma´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar
λ2 1 0 0 λ2 1 . 0 0 λ2
Rˇesˇenı´. Podle prˇedpokladu je matice A podobna´ matici J – existuje tedy regula´rnı´ matice P tak, zˇe A = PJP−1 . Protozˇe A je regula´rnı´, je podle veˇty 3.2 i J regula´rnı´, takzˇe λ 6 = 0. Da´le je
A2 = PJP−1PJP−1 = PJ2 P−1 . Vyna´sobenı´m dostaneme
λ2 2λ 1 J2 = 0 λ2 2λ . 0 0 λ2
Vypocˇteˇmeˇ nynı´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice J2 . Matice J2 a tedy i matice A2 majı´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 na´sobnosti 3. Protozˇe h(J2 − λ2 E) = 2 (nebot’ λ 6 = 0 ), ma´ J2 pouze jeden linea´rneˇ neza´visly´ charakteristicky´ vektor (t.j. dim Cλ2 (A2 ) = 1). Podle veˇty 7.6 k neˇmu existuje rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ de´lky 3. Z veˇty 7.4 pak vyply´va´, zˇe Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice J2 je 2 λ 1 0 J1 = 0 λ2 1 . 0 0 λ2
7.4. Prˇ´ıklady
95
Existuje tedy regula´rnı´ matice Q tak, zˇe J2 = QJ1 Q−1 . Odtud A2 = PQJ1 Q−1P−1 , cozˇ znamena´, zˇe Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A2 je J1 . △ Prˇ´ıklad 7.10 Necht’ λ 6 = 0 je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı rˇeteˇzec v1 , v2 , v3 . Dokazˇte, zˇe matice A2 ma´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 s ˇreteˇzcem
w1 = 4λ2 v1 , w2 = 2λv2 + v1 , w3 = v3 . Rˇesˇenı´. Protozˇe vektory v1 , v2 , v3 tvorˇ´ı ˇreteˇzec matice A prˇ´ıslusˇny´ cˇ´ıslu λ, platı´
Av1 = λv1 ,
Av2 = λv2 + v1 ,
Av3 = λv3 + v2 .
Vyna´sobenı´m kazˇde´ z rovnic maticı´ A zleva dosta´va´me po u´praveˇ
A2 v 1 = λ 2 v 1
A2 v2 = λ2 v2 + 2λv1
A2 v3 = λ2 v3 + 2λv2 + v1 . Vyuzˇitı´m teˇchto vztahu˚ pak vycha´zı´
A2 w1 = A2 (4λ2 v1 ) = 4λ2 A2 v1 = 4λ2 (λ2 v1 ) = λ2 w1 ,
A2 w2 = A2 (2λv2 + v1 ) = 2λ(λ2 v2 + 2λv1 ) + λ2 v1 = λ2 (2λv2 + v1 ) + 4λ2 v1 = λ2 w2 + w1 ,
A2 w3 = λ2 v3 + 2λv2 + v1 = λ2 w3 + w2 . Je tedy
A2 w1 = λ 2 w1 ,
A2 w2 = λ 2 w2 + w1 ,
A2 w3 = λ 2 w3 + w2 ,
cozˇ znamena´, zˇe λ2 je charakteristicky´m cˇ´ıslem matice A2 , jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı ˇreteˇzec w1 , w2 , w3 . Prˇ´ıklad 7.11 Matice A se nazy´va´ idempotentnı´, jestlizˇe A2 = A (viz te´zˇ u´lohu 6.20). Ukazˇte, zˇe matice A je idempotentnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je podobna´ diagona´lnı´ matici, jejı´zˇ kazˇdy´ diagona´lnı´ prvek je bud’ 0 nebo 1. Rˇesˇenı´. a) Necht’ A = PDP−1 , kde D je diagona´lnı´ matice, jejı´zˇ diagona´lnı´ prvky jsou nuly nebo jednicˇky. Pak D2 = D, takzˇe
A2 = PDP−1PDP−1 = PD2 P−1 = PDP−1 = A. b) Necht’ A2 = A. Ukazˇme nejdrˇ´ıve, zˇe matice A nema´ jina´ charakteristicka´ cˇ´ısla nezˇ 0 nebo 1. Prˇedpokla´dejme, zˇe λ je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A. Pak Ax = λx pro x 6 = o. Odtud vyna´sobenı´m maticı´ A zleva dosta´va´me A2 x = λAx = λ2 x.
Kapitola 7
96 Protozˇe A2 = A, plyne z poslednı´ch rovnostı´ λx = Ax = A2 x = λ2 x,
odkud (λ − λ2 )x = o. Vzhledem k tomu, zˇe x 6 = o, je λ − λ2 = 0 a tedy bud’ λ = 0 nebo λ = 1. K tomu, aby A byla podobna´ diagona´lnı´ matici stacˇ´ı nynı´ podle veˇty 7.10 uka´zat, zˇe h(A − 0E) 2 = h(A − 0E)
a h(A − E) 2 = h(A − E) .
Prvnı´ z teˇchto vztahu˚ je ekvivalentnı´ definici idempotentnosti, druhy´ dosta´va´me z rovnostı´ (A − E) 2 = A2 − 2A + E = A − 2A + E = E − A. Matice A je tudı´zˇ podobna´ diagona´lnı´ matici; na jejı´ diagona´le jsou podle veˇty 6.9 charakteristicka´ cˇ´ısla matice A, cozˇ jsou hodnoty 0 nebo 1 a tvrzenı´ je doka´za´no.
7.5 Cvicˇenı´ 7.1 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´. a) Kazˇdy´ rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ zacˇ´ına´ charakteristicky´m vektorem. b) De´lka rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ je rovna na´sobnosti prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla. c) Vektory kazˇde´ho rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ jsou linea´rneˇ neza´visle´. d) Ma´-li matice pouze jednoducha´ charakteristicka´ cˇ´ısla, pak vsˇechny jejı´ zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory sply´vajı´ s charakteristicky´mi vektory. e) Ke kazˇde´ cˇtvercove´ matici n-te´ho ˇra´du existuje n linea´rneˇ neza´visly´ch zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. f) Zobecneˇne´ charakteristicke´ vektory na´lezˇejı´cı´ ˇreteˇzcu˚m s ru˚zny´mi charakteristicky´mi cˇ´ısly mohou by´t linea´rneˇ za´visle´. g) K jednomu charakteristicke´mu cˇ´ıslu mohou existovat ˇreteˇzce ru˚zny´ch de´lek. h) Zˇa´dny´ vektor nemu˚zˇe patrˇit do dvou ˇreteˇzcu˚ prˇ´ıslusˇny´ch ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m. 7.2 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ jsou pravdiva´. a) Je-li D diagona´lnı´ matice, pak jejı´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar je D. b) Je-li matice A podobna´ diagona´lnı´ matici, pak kazˇda´ jejı´ Jordanova kanonicka´ ba´ze je tvorˇena charakteristicky´mi vektory A. c) Majı´-li matice A a B stejny´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar, jsou si podobne´. d) Kazˇda´ cˇtvercova´ matice je podobna´ neˇktere´ Jordanoveˇ kanonicke´ matici. e) Je-li matice A rea´lna´, je jejı´ Jordanova kanonicka´ matice take´ rea´lna´. f) Jordanu˚v kanonicky´ tvar kazˇde´ matice je urcˇen na´sobnostı´ jejich charakteristicky´ch cˇ´ısel.
7.5. Cvicˇenı´
97
g) Ke kazˇde´mu charakteristicke´mu cˇ´ıslu na´sobnosti m existuje m linea´rneˇ neza´visly´ch zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. h) Soucˇet de´lek vsˇech rˇeteˇzcu˚ v Jordanoveˇ ba´zi prˇ´ıslusˇny´ch charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ je roven na´sobnosti cˇ´ısla λ. 7.3 Vypocˇteˇte Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A a odpovı´dajı´cı´ Jordanovu kanonickou ba´zi.
3 1 −2 a) A = −1 0 5 , −1 −1 4
2 −1 0 0 3 −1 b) A = 0 1 1 0 −1 0
1 0 . 0 3
7.4 Urcˇete Jordanu˚v kanonicky´ tvar J matice A a matici P tak, aby J = P−1AP .
−3 1 0 a) A = 0 −2 1 , 1 −1 −1
2 −1 −1 b) A = 2 −1 −2 , −1 1 2
2 c) A = 0 1
1 0 2 4 . 0 −1
7.5 Urcˇete Jordanu˚v kanonicky´ tvar J matice A a matici P tak, aby J = P−1AP .
1 1 0 0 1 0 a) A = 1 0 0 1 −1 −1
0 0 , 1 2
2 −3 −4 2 0 4 2 −1 b) A = 0 −2 0 1 , 0 0 0 2
−5 1 c) A = −3 −4
−1 −1 −1 −1
2 2 0 −1 . 1 1 2 1
7.6 Urcˇete Jordanu˚v kanonicky´ tvar J matice A a matici P tak, aby J = P−1AP;
1 0 A= 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
0 −1 0 −1 0 0 . 1 1 0 1
7.7 A je linea´rnı´ zobrazenı´ z R3 do R3 , jehozˇ matice ve standardnı´ ba´zi je
1 −6 −3 A = 0 −3 −2 . 0 8 5 Nalezneˇte matici J v Jordanoveˇ kanonicke´m tvaru podobnou matici A a urcˇete takovou ba´zi R3 , v nı´zˇ J bude maticı´ zobrazenı´ A . 7.8 Urcˇete vsˇechna rea´lna´ a, b pro neˇzˇ jsou podobne´ matice
1 1 0 A = 0 1 0 , 0 0 1
1 0 0 B = 1 1 0 . 2 a b
Kapitola 7
98 7.9 Vysˇetrˇete, zda jsou si podobne´ matice A a B ; sve´ rozhodnutı´ odu˚vodneˇte. 2 0 1 0 1 3 1 0 0 0 0 2 4 0 4 0 2 1 0 0 A = 0 0 2 1 1 , B = 0 0 3 1 1 . 0 0 0 3 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2
7.10 Ktere´ z na´sledujı´cı´ch matic A, B, 0 −3 3 −2 A = −7 6 −3 , B = −4 −2 1 −1 2
C, D jsou si podobne´? 0 −1 −1 1 −1 4 −2 , C = −3 −1 −2 , 7 5 6 1 1
7.11 A je linea´rnı´ zobrazenı´ z R3 do R3 , jehozˇ matice ve standardnı´ ba´zi je 4 4 0 0 0 . A = −1 −2 −4 2 Nalezneˇte takovou ba´zi R3 , v nı´zˇ maticı´ zobrazenı´ 2 J= 0 0
0 1 2 D = 0 1 1 . 0 0 2
A bude 0 0 2 1 . 0 2
7.12 Ukazˇte, zˇe existuje jedina´ matice A, pro nı´zˇ N(A) = h (0, 2, 1) i a ktera´ ma´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 2 , jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ v1 = (−1, 0, 1) a v2 = (1, 1, 0) . Matici nalezneˇte. 7.13 Urcˇete vsˇechna rea´lna´ a, b, pro neˇzˇ ma´ matice 4 0 4 A = −2 a b −1 0 0 charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 2 s ˇreteˇzcem de´lky 2 .
7.14 Oveˇrˇte, zˇe λ = 0 je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice 1 1 0 0 −1 1 A= −1 −1 0 1 2 −1
0 0 0 0
a vypocˇteˇte k neˇmu asponˇ jeden ˇreteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ de´lky veˇtsˇ´ı nezˇ 2. 7.15 Matice A ma´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar
Vypocˇteˇte Jordanu˚v tvar matice A2 .
0 0 J= 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 . 0 1
7.5. Cvicˇenı´
99
7.16 Pro a1 6 = 0 urcˇete Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice a0 a1 a2 · · · an 0 a0 a1 · · · an−1 A = 0 0 a0 · · · an−2 .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0 · · · a0
7.17 Dokazˇte, zˇe je-li A matice, jejı´zˇ Jordanu˚v kanonicky´ tvar je 1 1 0 J = 0 1 0 , 0 0 1
.
pak Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A2 je rovneˇzˇ J.
7.18 Dokazˇte, zˇe je-li A matice, jejı´zˇ Jordanu˚v kanonicky´ tvar je 1 1 0 J = 0 1 0 , 0 0 1
pak A je regula´rnı´ a Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A−1 je rovneˇzˇ J. 7.19 Nalezneˇte vsˇechny cˇtvercove´ matice druhe´ho ˇra´du, ktere´ jsou podobne´ sve´mu dvojna´sobku. Na´vod: vyuzˇijte nejdrˇ´ıve vztahu mezi charakteristicky´mi cˇ´ısly podobny´ch matic a pak nalezneˇte Jordanu˚v kanonicky´ tvar hledane´ matice. 7.20 Dokazˇte, zˇe platı´-li pro matici A dim N(A) < dim N(A2 ) < · · · < dim N(Ak ) = dim N(Ak+1 ), pak λ = 0 je jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo a prˇ´ıslusˇ´ı mu ˇreteˇzec de´lky k . 7.21 Dokazˇte, zˇe kazˇda´ cˇtvercova´ matice A je podobna´ AT . 7.22 Dokazˇte platnost na´sledujı´cı´ho tvrzenı´: Je-li λ = 0 n-na´sobny´m charakteristicky´m cˇ´ıslem cˇtvercove´ matice A n- te´ho rˇa´du, pak existuje prˇirozene´ k tak, zˇe Ak = O. 7.23 Dokazˇte, zˇe kazˇda´ cˇtvercova´ matice A n-te´ho ˇra´du, pro nı´zˇ An = O a An−1 6 = O, ma´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar 0 1 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 J = ... ... ... . . . ... . 0 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 0
7.24 Dokazˇte, zˇe pro cˇtvercovou matici A existuje prˇirozene´ k tak, zˇe Ak = O pra´veˇ tehdy, kdyzˇ vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla matice A jsou rovna 0.
Kapitola 7
100
7.25 Dokazˇte platnost na´sledujı´cı´ho tvrzenı´: Existuje-li pro nenulovou cˇtvercovou matici A prˇirozene´ k > 1 tak, zˇe Ak = O, pak A nenı´ podobna´ zˇa´dne´ diagona´lnı´ matici. 7.26 Nalezneˇte Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A, pro kterou platı´ A2 = A. 7.27 Nalezneˇte Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A, pro kterou platı´ A2 = E.
ˇ esˇenı´ 7.6 R 7.1 Pravdiva´: a), c), d), e), g), h). 7.2 Pravdiva´: a), b), c), d), g), h), i). 3 0 0 7.3 a) J = 0 2 1 ; B = 0 0 2 2 1 0 0 0 2 0 0 ; B = b) J = 0 0 2 0 0 0 0 3
−1 2 , 1 −1 −1 , −1 −1
1 −3 , −1 1 0 1 0 , 2 0 0 0
−2 1 0 1 −1 1 7.4 a) J = 0 −2 1 ; P = 1 0 0 . 0 0 −2 0 1 0 1 1 0 1 2 1 b) J = 0 1 0 ; P = 2 0 0 . 0 0 1 −1 1 1 3 0 0 4 1 1 c) J = 0 0 1 ; P = 4 −2 −1 . 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 ; P = 0 1 0 1 . 7.5 a) J = 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 −1 0 0 0 0 1 1 −1 0 2 2 1 0 0 0 2 1 0 ; P = 0 1 1 0 . b) J = 0 −1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 1 2 −1 1 0 0 1 0 1 0 0 −1 1 0 ; P = 0 1 0 2 . c) J = 0 0 −1 0 1 1 2 1 0 0 0 −1 1 0 0 0
−1 2 . 0 1 0 , . 0 1
7.6. Rˇesˇenı´
7.6 J =
101 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
7.9 Ano; JA = JB =
;
1 1 0 7.7 J = 0 1 0 , 0 0 1
7.8 a = 0, b = 1.
2 0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 0 P= 0 0 0 3 0 2 , 0 −4 1
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 1 3
7.10 Pouze A je podobna´ C. 2 1 0 7.11 0 , −1 , 0 . 1 −2 1 0 1 −2 7.12 A = 4 −2 4 . 4 −3 6
0 0 0 0 0 1 . 1 0 0 1 1 , 0 . 0 0 0 1 −1 0 2 1 0 0 1
.
7.13 a 6 = 2 a b libovolne´ nebo a = 2 a b = −4 (pro a = 2 a b 6 = −4 je rˇeteˇzec de´lky 3 ). 7.14 v1 = (1, −1, −1, 2)T , v2 = (1, 0, −1, 1)T , v3 = (1, 0, 0, 1)T . 0 1 0 0 0 0 0 0 7.15 0 0 0 0 . 0 0 0 1 a0 1 0 · · · 0 0 a0 1 · · · 0 7.16 J = 0 0 a0 · · · 0 . .. .. .. . . . . . . . .. 0 0 0 · · · a0 7.17 Ukazˇte, zˇe A2 je podobna´ J2 a J2 je podobna´ J.
7.18 Ukazˇte, zˇe A−1 je podobna´ J−1 a J−1 je podobna´ J. 7.19 Kazˇda´ singula´rnı´ matice A, pro nı´zˇ a11 + a22 = 0. 7.20 Nejdrˇ´ıve ukazˇte, zˇe matice A je singula´rnı´, pak pouzˇijte vy´sledku cvicˇenı´ 6.21 a nakonec stanovte hveˇzdicˇkovy´ diagram pro λ = 0. 7.21 Porovnejte charakteristicka´ cˇ´ısla obou matic, ukazˇte, zˇe pro kazˇde´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ matice A a kazˇde´ prˇirozene´ k platı´ h(A − λE)k = h(AT − λE)k a porovnejte Jordanovy kanonicke´ tvary obou matic.
102 7.22 Vyuzˇijte hveˇzdicˇkove´ho diagramu. 7.23 Vyuzˇijte vy´sledku u´lohy 7.22. 7.24 Pouzˇijte veˇtu (6.5) a vy´sledku u´lohy 7.22. 7.25 Sporem s vyuzˇitı´m vy´sledku u´lohy 7.24 7.26 Diagona´lnı´ matice, jejı´zˇ diagona´lnı´ prvky jsou bud’nuly nebo jednicˇky. 7.27 Diagona´lnı´ matice, jejı´zˇ diagona´lnı´ prvky jsou rovny ±1.
Kapitola 7
Kapitola 8
Funkce matic
Funkcemi matic budeme rozumeˇt zobrazenı´, jejichzˇ definicˇnı´m oborem i oborem hodnot je neˇjaka´ mnozˇina cˇtvercovy´ch matic. V prˇedcha´zejı´cı´ch kapitola´ch jsme se jizˇ s nejjednodusˇsˇ´ımi funkcemi matic setkali. Byly to celocˇ´ıselna´ mocnina matice, maticovy´ polynom, inverznı´ matice – tedy funkce zalozˇene´ na za´kladnı´ch maticovy´ch operacı´ch: scˇ´ıta´nı´ a na´sobenı´. Cı´lem te´to kapitoly je definovat v maticove´m oboru dalsˇ´ı funkce jako exponencia´lu, logaritmus, odmocninu, sinus a podobneˇ. Ocˇeka´va´me prˇitom, zˇe funkce matic budou mı´t vlastnosti podobne´ vlastnostem analogicky´ch cˇ´ıselny´ch funkcı´. Existuje rˇada prˇ´ıstupu˚, navza´jem ekvivalentnı´ch, jak funkce matic zave´st. Na´sˇ prˇ´ıstup bude vyuzˇ´ıvat prˇevodu matice na Jordanu˚v kanonicky´ tvar – bude tedy prˇirozeny´m pokracˇova´nı´m dosud vylozˇene´ la´tky. Samotna´ mysˇlenka definice nenı´ komplikovana´ a v matematicky´ch u´vaha´ch je pomeˇrneˇ cˇasta´. Nalezneme takovou vlastnost maticovy´ch polynomu˚, ktera´ nebude pouzˇ´ıvat scˇ´ıta´nı´ ani na´sobenı´ matic a vezmeme ji jako za´klad definice ostatnı´ch funkcı´. Tı´m bude zajisˇteˇno, zˇe maticove´ polynomy vyjdou podle nove´ definice stejneˇ jako polynomy definovane´ tradicˇnı´m zpu˚sobem. Proto budeme nejdrˇ´ıve vysˇetrˇovat vlastnosti maticovy´ch polynomu˚.
8.1 Maticove´ polynomy Prˇestozˇe pojem maticove´ho polynomu je velice intuitivnı´ a vlastneˇ se jizˇ objevil ve veˇteˇ 6.5, uved’me jeho forma´lnı´ definici. Definice. Necht’ a0 , a1 , . . . , ar jsou libovolna´ komplexnı´ cˇ´ısla. Zobrazenı´ p, ktere´ kazˇde´ cˇtvercove´ matici A prˇirˇadı´ matici p(A) = a0 E + a1 A + a2 A2 + · · · + ar Ar , nazy´va´me maticovy´m polynomem. Je-li v uvedene´ definici matice A prvnı´ho ˇra´du, t.j. A = x ∈ C, pak p nenı´ nic jine´ho nezˇ komplexnı´ polynom s koeficienty a0 , . . . , ar . Kazˇdy´ komplexnı´ polynom lze tedy cha´pat jako restrikci (zu´zˇenı´) maticove´ho polynomu na obor komplexnı´ch cˇ´ısel a obra´ceneˇ, kazˇdy´ maticovy´ polynom dostaneme rozsˇ´ırˇenı´m definicˇnı´ho oboru vhodne´ho komplexnı´ho polynomu na mnozˇinu cˇtvercovy´ch matic. Z tohoto du˚vodu budeme maticovy´ polynom a jemu odpovı´dajı´cı´ komplexnı´ polynom znacˇit stejny´m symbolem. Pro pozdeˇjsˇ´ı potrˇebu zdu˚razneˇme, zˇe operace na´sobenı´ cˇ´ıselny´ch polynomu˚ p a q se prˇena´sˇ´ı na maticove´ polynomy jako maticove´ na´sobenı´, cozˇ mimo jine´ znamena´, zˇe matice p(A) a q(A) jsou pro libovolnou cˇtvercovou matici A za´meˇnne´: 103
Kapitola 8
104
Veˇta 8.1 Necht’ p, q jsou libovolne´ komplexnı´ polynomy a necht’ polynom r je jejich soucˇinem: r(x) = p(x) q(x), x ∈ C. Pak pro kazˇdou cˇtvercovou matici A platı´ r(A) = p(A) q(A) = q(A) p(A). Du˚kaz. Obeˇ rovnosti snadno vyply´vajı´ porovna´nı´m r(A) a rozna´sobeny´ch soucˇinu˚ p(A) q(A) a q(A) p(A). △ Zkoumejme, nynı´ jake´ vlastnosti ma´ matice p(A), je-li A podobna´ diagona´lnı´ matici D. Pak existuje regula´rnı´ matice P tak, zˇe A = PDP−1 , odkud
A2 = PDP−1PDP−1 = PD2 P−1 , .. . Ak = PDk P−1 . Je tedy p(A) = a0 PEP−1 + a1 PDP−1 + · · · + ar PDr P−1 = = P a0 E + a1 D + · · · + ar Dr P−1 =
(8.1)
= Pp(D)P−1 .
To znamena´, zˇe matice p(A) je nejen podobna´ diagona´lnı´ matici p(D), ale lze ji pomocı´ (8.1) vypocˇ´ıst, mnohdy dokonce efektivneˇji nezˇ prˇ´ımy´m dosazenı´m A do polynomu p. Je-li totizˇ
λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 D=. .. . . .. = diag(λ1 , . . . , λn ), .. . . . 0 0 . . . λn pak podle cvicˇenı´ 1.2 je Dk = diag(λk1 , . . . , λkn ) a p(D) = a0 E + a1 D + · · · + ar Dr =
= a0 diag(1, . . . , 1) + a1 diag(λ1 , . . . , λn ) + · · · + ar diag(λr1 , . . . , λrn ) =
= diag(a0 + a1 λ1 + · · · + ar λr1 , . . . , a0 + a1 λn + · · · + ar λrn ) = = diag p(λ1 ), . . . , p(λn ) =
p(λ1 ) 0 0 p(λ2 ) = . .. . . . 0 0
... ... .. .
0 0 .. .
. . . p(λn )
.
Vy´znamne´ rovneˇzˇ je, zˇe prˇi vy´pocˇtu matice p(D) nenı´ trˇeba pouzˇ´ıt zˇa´dne´ maticove´ operace; vystacˇ´ıme pouze s operacemi cˇ´ıselny´mi. Zcela stejny´m zpu˚sobem se odvodı´ i na´sledujı´cı´ obecneˇjsˇ´ı tvrzenı´.
8.1. Maticove´ polynomy
105
Veˇta 8.2 Necht’ pro matici A platı´ A = PJP−1 . Pak pro libovolny´ polynom p je p(A) = Pp(J)P−1. Pokud by bylo mozˇne´ podobneˇ jednodusˇe jako u diagona´lnı´ matice, t.j. bez maticovy´ch operacı´, vycˇ´ıslit i hodnotu maticove´ho polynomu pro libovolnou Jordanovu matici J, mohla by se tato metoda prˇevzı´t jako za´klad definice ostatnı´ch maticovy´ch funkcı´. Prˇi vysˇetrˇova´nı´ maticove´ho polynomu p(J) evidentneˇ stacˇ´ı se omezit na jeden Jordanu˚v blok. Veˇta 8.3 Necht’ p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + ar x r je komplexnı´ polynom a J Jordanu˚v blok n -te´ho rˇa´du prˇ´ıslusˇny´ charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ0 . Pak 1 p (n−1) (λ0 ) p(λ0 ) p ′ (λ0 ) 2!1 p ′′ (λ0 ) . . . (n−1)! 1 0 p(λ0 ) p ′ (λ0 ) . . . (n−2)! p (n−2) (λ0 ) 1 (n−3) . (8.2) p(J) = 0 0 p(λ0 ) . . . (n−3)! p (λ0 ) .. .. .. .. .. . . . . . 0
0
0
...
p(λ0 )
Du˚kaz. Polynom p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + ar x r ma´ vsˇechny derivace rˇa´du veˇtsˇ´ıho nezˇ r rovny nule, mu˚zˇeme jej tedy vyja´drˇit ve tvaru Taylorova polynomu ([2, str. 410]) se strˇedem λ0 : r
p(x) = p(λ0 ) +
X p k (λ0 ) p ′ (λ0 ) p ′′ (λ0 ) p r (λ0 ) (x − λ0 ) + (x − λ0 )2 + · · · + (x − λ0 )r = (x − λ0 )k . 1! 2! r! k! k=0
Pro p(J) pak dosta´va´me p ′ (λ0 ) p ′′ (λ0 ) p r (λ0 ) (J − λ 0 E) + (J − λ 0 E)2 + · · · + (J − λ 0 E)r . 1! 2! r! Oznacˇme J − λ0 E = U; pak je 0 1 0 ... 0 0 0 1 . . . 0 .. .. .. . . .. U = . . . . . . 0 0 0 . . . 1 0 0 0 ... 0 p(J) = p(λ0 )E +
Postupny´m na´sobenı´m se uka´zˇe, zˇe (viz te´zˇ cvicˇenı´ 1.7) 0 0 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 1 . . . 0 .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . . . . . . . . U3 = U2 = , 0 0 0 0 0 0 0 . . . 1 . . . . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0
1 0 .. . 0 ... 0
0 1 .. . 0 .. 0
... ... .. . ... ... ...
0 0 .. . , 1 . . 0
...,
U n = O,
(8.3)
(8.4)
Protozˇe pro k > r je p k (λ0 ) = 0 a pro k ≥ n je Uk = O, lze (8.3) psa´t ve tvaru p(J) =
cozˇ po dosazenı´ za Uk z (8.4) da´va´ (8.2).
n−1 k X p (λ0 ) k=0
k!
Uk , △
Kapitola 8
106
Veˇta 8.3 umozˇnˇuje vypocˇ´ıst hodnotu maticove´ho polynomu p(A) me´neˇ tradicˇnı´m zpu˚sobem. Mı´sto „dosazenı´“ matice A do p ji prˇevedeme do Jordanova kanonicke´ho tvaru A = PJP−1 a p(A) pak dostaneme jako Pp(J)P−1, kde p(J1 ) O ... O O p(J2 ) . . . O .. .. p(J) = ; (8.5) .. ... . . . O O . . . p(Jk ) jednotlive´ Jordanovy bloky p(Ji ) prˇitom pocˇ´ıta´me podle vztahu (8.2). Matice p(A) je tedy jednoznacˇneˇ urcˇena hodnotami p(λ1 ), p ′ (λ1 ), . . . , p (m1 −1) (λ1 ), . . . , p(λk ), p ′ (λk ), . . . , p (mk −1) (λk ), vyskytujı´cı´mi se v Jordanovy´ch blocı´ch matice A. Prˇitom λ1 , . . . , λk jsou vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla matice A a kazˇde´ z cˇ´ısel mi , i = 1, . . . , k uda´va´ ˇra´d nejveˇtsˇ´ıho z Jordanovy´ch bloku˚ prˇ´ıslusˇny´ch charakteristicke´mu cˇ´ıslu λi . Podle veˇty 7.4 je mi soucˇasneˇ rovno de´lce nejdelsˇ´ıho z rˇeteˇzcu˚ prˇ´ıslusˇny´ch cˇ´ıslu λi . Platı´ tedy Veˇta 8.4 Necht’ mnozˇina vsˇech charakteristicky´ch cˇ´ısel matice A je {λ1 , . . . , λk }. Necht’ pro kazˇde´ i = 1, . . . , k znacˇ´ı mi de´lku nejdelsˇ´ıho rˇeteˇzce prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´mu cˇ´ıslu λi . Necht’ p, q jsou libovolne´ komplexnı´ polynomy, pro neˇzˇ platı´ p (j ) (λi ) = q (j ) (λi ),
i = 1, . . . , k, j = 0, . . . , mi − 1.
Pak p(A) = q(A).
8.2 Minima´lnı´ polynom matice Polozˇme si nynı´ ota´zku, pro ktere´ polynomy p bude dana´ matice A splnˇovat rovnost p(A) = O. Prvnı´ odpoveˇd’da´va´ klasicka´ veˇta Cayleyova-Hamiltonova: Kazˇda´ matice splnˇuje svou charakteristickou rovnici. Veˇta je vlastneˇ neprˇ´ılisˇ komplikovany´m du˚sledkem veˇty 8.3. Veˇta 8.5 (Cayley–Hamilton) Necht’ p(x) je charakteristicky´ polynom matice A. Pak p(A) = O. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe charakteristicky´ polynom p ma´ korˇeny λ1 , . . . λk , jejichzˇ na´sobnosti po rˇadeˇ jsou n1 , . . . , nk . Pak p(x) = (x − λ1 )n1 · · · (x − λk )nk . Postupny´m derivova´nı´m se snadno oveˇˇr´ı, zˇe v kazˇde´m bodeˇ x = λi , i = 1, . . . , k jsou vsˇechny derivace polynomu p azˇ do rˇa´du ni − 1 rovny nule: p (j ) (λi ) = 0,
j = 0, 1, . . . , ni − 1.
(8.6)
Necht’nynı´ J je Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A – existuje tedy regula´rnı´ matice P tak, zˇe A = PJP−1 . Podle veˇty 8.2 pak je p(A) = P p(J) P−1 , kde p(J) lze vypocˇ´ıst po jednotlivy´ch blocı´ch podle (8.5). Pro kazˇdy´ Jordanu˚v blok p(Ji ) matice p(J) vsˇak z veˇty 8.3 a z (8.6) plyne p(Ji ) = O, odkud p(J) = O a tudı´zˇ take´ p(A) = O. △
8.2. Minima´lnı´ polynom matice
107
Polynom p, pro ktery´ platı´ p(A) = O, budeme nazy´vat anulujı´cı´ polynom matice A. Cayleyova– Hamiltonova veˇta tedy rˇ´ıka´, zˇe charakteristicky´ polynom matice A je take´ jejı´m anulujı´cı´m polynomem. Protozˇe kazˇdy´ na´sobek (nejen cˇ´ıselny´, ale i polynomia´lnı´) anulujı´cı´ho polynomu je opeˇt anulujı´cı´m polynomem, ma´ kazˇda´ matice nekonecˇneˇ mnoho anulujı´cı´ch polynomu˚. Hledejme mezi nimi ten, ktery´ ma´ nejmensˇ´ı stupenˇ. Uvidı´me, zˇe azˇ na koeficient u nejvysˇsˇ´ı mocniny bude tento polynom urcˇen jednoznacˇneˇ. Anulujı´cı´ polynom matice A nejmensˇ´ıho stupneˇ s koeficientem 1 u nejvysˇsˇ´ı mocniny budeme nazy´vat minima´lnı´ polynom matice A. Minima´lnı´ polynom matice A je tedy polynom m, pro neˇjzˇ m(A) = O, prˇicˇemzˇ pro zˇa´dny´ polynom p nizˇsˇ´ıho stupneˇ nezˇ m nenı´ p(A) = O. Navı´c koeficient u nejvysˇsˇ´ı mocniny v polynomu m je roven 1. Veˇta 8.6 Necht’ λ1 , . . . , λk jsou charakteristicka´ cˇ´ısla matice A a necht’ pro i = 1, . . . , k je mi de´lka nejdelsˇ´ıho rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ prˇ´ıslusˇne´ho cˇ´ıslu λi . Pak minima´lnı´ polynom matice A ma´ tvar m(x) = (x − λ1 )m1 · · · (x − λk )mk . Du˚kaz. Nejdrˇ´ıve uka´zˇeme, zˇe m je anulujı´cı´ polynom matice A; vyuzˇijeme k tomu stejnou mysˇlenku jako u du˚kazu Cayleyovy–Hamiltonovy veˇty. I pro polynom m se postupny´m derivova´nı´m spocˇ´ıta´, zˇe m(j ) (λi ) = 0, j = 0, 1, . . . , mi − 1, i = 1, . . . , k (8.7)
Necht’ A = PJP−1 , kde J je Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A. Podle veˇty 8.2 pak pro polynom m bude m(A) = Pm(J) P−1, kde m(J) vypocˇteme po jednotlivy´ch blocı´ch podle vztahu (8.5). Ze vztahu˚ (8.2) a (8.7) vsˇak plyne, zˇe pro kazˇdy´ Jordanu˚v blok Ji bude m(Ji ) = O, odkud pak dosta´va´me m(J) = O a tudı´zˇ take´ m(A) = O. Za´rovenˇ vidı´me, zˇe vztahy (8.7) jsou nutne´ pro to, aby polynom m byl anulujı´cı´m polynomem matice A a nenı´ mozˇne´ je splnit polynomem s nizˇsˇ´ım stupneˇm. △ Prˇ´ıklad 8.1 Vypocˇteˇte minima´lnı´ polynom matice 2 −1 −1 0 1 −1 A= 0 0 2 0 −1 −1 a vyuzˇijte jej k vy´pocˇtu
1 1 0 3
p(A) = A4 − 2A3 − 3A2 + 2A + 3E.
Rˇesˇenı´. Rozvojem det(A − λ E) podle prvnı´ho sloupce a pak trˇetı´ho ˇra´dku vypocˇteme det(A − λ E) = (λ − 2)4 . Minima´lnı´ polynom bude tedy mı´t tvar m(x) = (x − 2)r , kde r je de´lka nejdelsˇ´ıho rˇeteˇzce pro charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 2. Protozˇe 0 −1 −1 1 0 −1 −1 1 A − 2E = 0 0 0 0 , 0 −1 −1 1
Kapitola 8
108
je h(A − 2E) = 1, odkud plyne, zˇe pro λ = 2 budou existovat 4 − 1 = 3 rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Soucˇet vsˇech jejich de´lek je roven na´sobnosti charakteristicke´ho cˇ´ısla λ = 2, tedy 4. Nejdelsˇ´ı rˇeteˇzec bude tudı´zˇ mı´t de´lku 2 a pro minima´lnı´ polynom dosta´va´me m(x) = (x − 2)2 = x 2 − 4x + 4. Protozˇe minima´lnı´ polynom matice je jejı´m anulujı´cı´m polynomem, platı´
A2 − 4A + 4E = O,
odkud
A2 = 4(A − E).
Da´le spocˇ´ıta´me A3 = AA2 = 4A(A − E) = 4(A2 − A) = 4 4(A − E) − A = 4(3A − 4E).
Podobneˇ vyjde A4 = 16(2A − 3E) a odtud po dosazenı´ −1 −2 −2 0 −3 −2 p(A) = 2A − 5E = 0 0 −1 0 −2 −2
2 2 . 0 1
8.3 Funkce matic Z veˇty 8.3 mu˚zˇeme udeˇlat jesˇteˇ jeden vy´znamny´ za´veˇr. Vztah (8.2) je vlastneˇ ekvivalentnı´ definici hodnoty maticove´ho polynomu p(J) a s vyuzˇitı´m rovnosti A = PJP−1 je ekvivalentnı´ i definici hodnoty p(A) pro libovolnou matici A. Avsˇak vztah (8.2) ma´ smysl nejen pro libovolny´ polynom, ale te´zˇ pro kazˇdou komplexnı´ funkci, majı´cı´ potrˇebny´ pocˇet derivacı´. Lze jej tedy prˇijmout jako za´klad definice obecneˇjsˇ´ı maticove´ funkce, ktera´ pak pro vsˇechny polynomy bude sply´vat s jizˇ uvedenou definicı´ maticove´ho polynomu. Definice. Necht’ A je libovolna´ cˇtvercova´ matice, jejı´zˇ Jordanu˚v kanonicky´ tvar je J1 O . . . O O J2 . . . O J=. . . .. , . . . . . . . O O . . . Jk
kde Ji jsou Jordanovy bloky a necht’ A = PJP−1 . Necht’ je otevrˇena´ mnozˇina v C obsahujı´cı´ vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla matice A a necht’ f je funkce holomorfnı´1 v . Pak matici f (A) definujeme vztahem f (A) = Pf (J)P−1 , (8.8) kde
f (J1 ) O O f (J2 ) f (J ) = . .. .. . O O
... ... .. .
O O .. .
. . . f (Jk )
(8.9)
1 Prˇipomenˇme, zˇe komplexnı´ funkce f se nazy´va´ holomorfnı´ v otevrˇene´ mnozˇineˇ ⊂ C, existuje-li v kazˇde´m bodeˇ z ∈ jejı´ derivace f ′ (z) podle komplexnı´ promeˇnne´ z. Z holomorfnosti f pak vyply´va´ existence vsˇech jejı´ch derivacı´
vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚.
8.3. Funkce matic
109
a pro kazˇdy´ Jordanu˚v blok Ji , i = 1, . . . , k je f (λi ) f ′ (λi ) 2!1 f ′′ (λi ) 0 f (λi ) f ′ (λi ) f (J i ) = 0 0 f (λi ) .. .. .. . . . 0 0 0
... ... ... .. . ...
1 f (n−1) (λi ) (n−1)! 1 f (n−2) (λi ) (n−2)!
1 ; f (n−3) (λi ) (n−3)!
.. . f (λi )
zde λi je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A prˇ´ıslusˇne´ bloku Ji .
(8.10)
V uvedene´ definici je symbol f uzˇit ve dvojı´m vy´znamu. Jednak oznacˇuje komplexnı´ funkci komplexnı´ promeˇnne´, tedy zobrazenı´ f : C → C a take´ zobrazenı´, ktere´ prˇirˇadı´ cˇtvercove´ matici A matici f (A). I kdyzˇ, podobneˇ jako u maticovy´ch polynomu˚, jde vlastneˇ o rozsˇ´ıˇrenı´ definicˇnı´ho oboru, bylo by √ srozumitelneˇjsˇ´ı oznacˇit tato dveˇ zobrazenı´ odlisˇny´mi symboly. V konkre´tnı´ch prˇ´ıpadech (naprˇ. , exp ) by vsˇak odlisˇenı´ pu˚sobilo velice na´silny´m dojmem. Prˇ´ıklad 8.2 Uvazˇujme funkci f (x) = ex , matici 2 1 0 A= 0 2 0 0 0 0
a vypocˇteˇme matici f (A) = eA . Matice A ma´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar se dveˇma Jordanovy´mi bloky; prvnı´ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ1 = 2 a je druhe´ho ˇra´du, druhy´ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ2 = 0 a je prve´ho rˇa´du. Stacˇ´ı tedy na kazˇdy´ blok pouzˇ´ıt vztah (8.10) a pak (8.9). Dostaneme 2 2 e e 0 f (A) = eA = 0 e2 0 . 0 0 1 Prˇ´ıklad 8.3 Vypocˇteˇte odmocninu z matice
1 0 A= 0 0
0 1 0 0
1 1 . 1 1
1 1 1 0
Rˇesˇenı´. Nejdrˇ´ıve vypocˇteme Jordanu˚v kanonicky´ tvar J matice A a transformacˇnı´ matici P tak, aby A = PJP−1 . Matice A ma´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 1 o na´sobnosti 4. Pro neˇ vypocˇteme h(A − λ1 E) = h(A − E) = 2; budou tedy k λ1 = 1 existovat 4 − 2 = 2 rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Jejich vy´pocˇet ve strucˇnosti popisuje na´sledujı´cı´ rozsˇ´ırˇena´ matice
v1 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
t u 0 0
| | | |
v2 t t 0 0
r s t 0
| | | |
v3 r r t 0
p q r −t t
t 6 = 0.
Kapitola 8
110 Jeden rˇeteˇzec ma´ tedy de´lku 3, druhy´ 1 1 0 1 J= 0 0 0 0 √ Pro f (x) = x je
1. Odtud vycha´zı´ 0 0 1 1 0 1 a P= 0 1 0 0 1 0
−1 a f ′′ (x) = √ . 4 x3
1 f ′ (x) = √ 2 x
Podle (8.10) a (8.9) da´le bude √
1
0 J= 0
Pro vy´slednou odmocninu pak dosta´va´me 1 0 0 1 1 √ 1 0 0 0 0 √ A = P JP−1 = 0 1 −1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 . 0 0
0 0 0 0 1 −1 0 1
1 2
1
− 41 1
0
0
0
1 2
− 41
0
1 2
0
1
0
0
0 . 0 1
1 2
0
1
0
0
1
0 0 0 0 0 0 1 1 −1
0 1 0 0
0
1 0
1 2 1 2
3 8 3 8 1 2
1 0 1 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0
.
Poslednı´ prˇ´ıklad naznacˇuje, zˇe vy´pocˇet podle definice je pomeˇrneˇ pracny´, hlavnı´ obtı´zˇ prˇitom spocˇ´ıva´ v „prˇ´ıpravne´m“ rozkladu matice A, zejme´na ve vy´pocˇtu transformacˇnı´ matice P. Nynı´ odvodı´me alternativnı´ metodu vy´pocˇtu, ktera´ se bez vy´pocˇtu transformacˇnı´ matice obejde. Mysˇlenka je jednoducha´. Stacˇ´ı si uveˇdomit, zˇe prˇi dane´ matici A jsou pro vy´pocˇet f (A) urcˇujı´cı´ hodnoty f (j ) (λi )
pro
j = 0, . . . , mi − 1,
i = 1, . . . , k,
(8.11)
tedy hodnoty derivacı´ (vcˇetneˇ nulte´) funkce f ve vsˇech charakteristicky´ch cˇ´ıslech, a to azˇ do rˇa´du o 1 mensˇ´ıho nezˇ je mi , cozˇ je de´lka nejdelsˇ´ıho ˇreteˇzce prˇ´ıslusˇne´ho λi . To znamena´, zˇe pokud pro neˇjakou funkci g budou hodnoty g (j ) (λi ) stejne´ jako (8.11), bude take´ f (A) = g(A). Takovou funkci g lze urcˇiteˇ nale´zt ve tvaru polynomu. Pak f (A) dostaneme dosazenı´m matice A do tohoto polynomu. Platı´ tedy Veˇta 8.7 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du s charakteristicky´mi cˇ´ısly λ1 , . . . , λk . Necht’ pro i = 1, . . . , k uda´va´ mi de´lku nejdelsˇ´ıho rˇeteˇzce prˇ´ıslusˇne´ho cˇ´ıslu λi . Necht’ f je libovolna´ komplexnı´ funkce, pro nı´zˇ existujı´ hodnoty j -ty´ch derivacı´ v bodech λi : fij = f (j ) (λi ),
j = 0, . . . , mi − 1, i = 1, . . . , k.
Zvolme libovolneˇ polynom p tak, aby p (j ) (λi ) = fij ,
j = 0, . . . , mi − 1, i = 1, . . . , k.
Pak f (A) = p(A).
(8.12)
8.3. Funkce matic
111
Polynom p, pro ktery´ platı´ vztahy (8.12), budeme nazy´vat urcˇujı´cı´ polynom matice f (A). Poznamenejme, zˇe k dane´ funkci f a matici A existuje vı´ce urcˇujı´cı´ch polynomu˚; matice f (A) je vsˇak podle veˇty 8.4 na volbeˇ urcˇujı´cı´ho polynomu p neza´visla´. Na prˇ´ıklad je mozˇne´ zvolit urcˇujı´cı´ polynom p tak, aby vztahy (8.12) byly splneˇny pro vsˇechna j azˇ do na´sobnosti charakteristicky´ch cˇ´ısel λi vcˇetneˇ. Z veˇty 7.6 totizˇ plyne, zˇe de´lka mi kazˇde´ho ˇreteˇzce je mensˇ´ı nebo rovna na´sobnosti prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla λi . Navı´c je mozˇno uka´zat, zˇe polynom p splnˇujı´cı´ (8.12) nejen existuje pro libovolnou sadu cˇ´ısel fij , ale lze i explicitneˇ popsat jeho tvar – viz naprˇ. [1], str. 102. U matic nı´zky´ch rˇa´du˚ jej obvykle vypocˇteme elementa´rnı´mi u´vahami. Prˇ´ıklad 8.4 Vezmeˇme jesˇteˇ jednou matici
√
z prˇ´ıkladu 8.3 a vypocˇteˇme
1 0 A= 0 0
0 1 0 0
1 1 1 0
1 1 . 1 1
A pomocı´ urcˇujı´cı´ho polynomu.
√
Rˇesˇenı´. Oznacˇme f (x) = x. Z vy´pocˇtu˚ v prˇ´ıkladu 8.3 jizˇ vı´me, zˇe matice A ma´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 1, k neˇmuzˇ existujı´ dva ˇreteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚; nejdelsˇ´ı ma´ √ de´lku 3. Urcˇujı´cı´ polynom p pro A musı´ tedy splnˇovat 3 podmı´nky: p ′ (λ1 ) = f ′ (λ1 ),
p(λ1 ) = f (λ1 ),
p ′′ (λ1 ) = f ′′ (λ1 ).
(8.13)
Podle pocˇtu podmı´nek, ktery´m musı´ polynom p vyhovovat, urcˇ´ıme jeho stupenˇ. Uveˇdomı´me-li si, zˇe kazˇda´ z podmı´nek znamena´ po dosazenı´ jednu rovnici, kterou musı´ splnˇovat koeficienty polynomu p, dosta´va´me pozˇadavek na jeho minima´lnı´ stupenˇ: o jednu me´neˇ, nezˇ je pocˇet podmı´nek. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ ocˇeka´va´me tedy p ve tvaru p(x) = ax 2 + bx + c. Dosazenı´m do (8.13) pak dosta´va´me soustavu trˇ´ı rovnic pro nezna´me´ koeficienty polynomu p : a+b+c = 2a + b = 2a =
1 1 2 − 14
Z nı´ vycha´zı´
Odtud p(x) = √
1 8
b = 43 , c = 38 : a = − 18 , √ − x 2 + 6x + 3 a A = p(A) = 18 −A2 + 6A + 3E .
1 0 0 1 1 − A= 8 0 0 0 0
2 2 1 0
3 1 0 0 1 3 + 6 0 0 2 1 0 0
1 1 1 0
1 1 0 0 1 1 + 3 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0
1 0
1 2 1 2
3 8 3 8 1 2
0 0 1 0 = 0 0 0 1 1 0 0 0 1
.
Kapitola 8
112
Relativneˇ jednoduchy´m zpu˚sobem lze urcˇujı´cı´ polynom p vypocˇ´ıst pro matice, ktere´ jsou podobne´ diagona´lnı´m maticı´m. Pak totizˇ vsˇechny ˇreteˇzce majı´ de´lku 1 a (8.12) prˇecha´zı´ na p(λi ) = f (λi ) = fi ,
i = 1, . . . , k,
(8.14)
ktere´ lze splnit jednoznacˇneˇ urcˇeny´m polynomem stupneˇ k −1. Jeden z mozˇny´ch tvaru˚ tohoto polynomu (tzv. Lagrangeu˚v tvar) je p(x) =
k X
fi Li (x),
i=1
Protozˇe Li (λj ) = je ihned videˇt, zˇe p ma´ pozˇadovane´ vlastnosti. Prˇ´ıklad 8.5 Vypocˇteˇte eA , kde
kde
D 1 0
Li (x) =
k Y x − λj . λi − λj
(8.15)
j =1 j 6 =i
pro i = j , pro i 6 = j
1 −1 1 A= 0 0 1 . 0 0 1
Rˇesˇenı´. Charakteristicka´ rovnice (A − λ E) = −λ(λ − 1)2 = 0 ma´ dva korˇeny – jednoduchy´ λ1 = 0 a dvojna´sobny´ λ2 = 1. Protozˇe h(A − λ2 E) = 1, je dimenze charakteristicke´ho prostoru prˇ´ıslusˇne´ho λ2 rovna 2 (dim Cλ2 (A) = 2) a matice je podle du˚sledku veˇty 6.14 podobna´ diagona´lnı´ matici. Bude tedy eA = p(A), kde x − λ2 λ 1 x − λ1 λ 2 p(x) = e + e = (e − 1)x + 1. λ1 − λ2 λ2 − λ1
Odtud
e 1−e e−1 eA = (e − 1)A + E = 0 1 e − 1 . 0 0 e
Uvedena´ definice umozˇnˇuje zave´st maticove´ analogie teˇch komplexnı´ch funkcı´, ktere´ majı´ dostatecˇny´ pocˇet derivacı´ ve vsˇech bodech, odpovı´dajı´cı´ch hodnota´m charakteristicky´ch cˇ´ısel. Takovy´ prˇedpoklad budou splnˇovat vsˇechny funkce, ktere´ jsou holomorfnı´ (tj. majı´cı´ derivaci podle komplexnı´ promeˇnne´) na neˇjake´ otevrˇene´ mnozˇineˇ ⊂ C, obsahujı´cı´ vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla uvazˇovane´ matice. Zcela samozrˇejmy´m du˚sledkem definice f (A) pak je na´sledujı´cı´ tvrzenı´. Veˇta 8.8 Necht’ 3 = {λ1 , . . . , λk } je mnozˇina vsˇech charakteristicky´ch cˇ´ısel matice A. Necht’ p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + ar x r , x ∈ C je komplexnı´ polynom, necht’ f je funkce holomorfnı´ na otevrˇene´ mnozˇineˇ ⊂ C. Necht’ 3 ⊂ a necht’ f (x) = p(x) pro vsˇechna x ∈ . Pak f (A) = a0 E + a1 A + a2 A2 + · · · + ar Ar . Funkce matic majı´ rˇadu vlastnostı´, ktere´ jsou analogiemi vlastnostı´ odpovı´dajı´cı´ch funkcı´m cˇ´ıselny´m. I kdyzˇ jejich platnost nenı´ prˇekvapiva´, nemusı´ by´t du˚kaz u´plneˇ trivia´lnı´.
8.3. Funkce matic
113
Veˇta 8.9 Necht’ f a g jsou funkce holomorfnı´ v otevrˇene´ mnozˇineˇ ⊂ C a necht’ funkce h je v definova´na vztahem h(x) = f (x) g(x), x ∈ . Pak pro kazˇdou cˇtvercovou matici A, jejı´zˇ vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla lezˇ´ı v , platı´ h(A) = f (A) g(A). Du˚kaz. Necht’ A je cˇtvercova´ matice, jejı´zˇ charakteristicka´ cˇ´ısla jsou λ1 , . . . , λk . De´lky jim prˇ´ıslusˇny´ch nejdelsˇ´ıch rˇeteˇzcu˚ oznacˇme m1 , . . . , mk . Necht’ da´le p je urcˇujı´cı´ polynom matice f (A) a q urcˇujı´cı´ polynom matice g(A). Podle (8.12) platı´ p (j ) (λi ) = f (j ) (λi ), q (j ) (λi ) = g (j ) (λi ),
j = 0, . . . , mi − 1, i = 1, . . . , k, j = 0, . . . , mi − 1, i = 1, . . . , k,
neboli f (A) = p(A) a
g(A) = q(A).
(8.16)
Nejdrˇ´ıve uka´zˇeme, zˇe polynom r(x) = p(x) g(x) je urcˇujı´cı´m polynomem matice h(A). Platı´ totizˇ (pouzˇ´ıva´me Leibnizovo pravidlo pro derivaci soucˇinu) j X j (k) h (λi ) = (f g) (λi ) = f (λi ) g (j −k) (λi ) = k k=0 j X j = p (k) (λi ) q (j −k) (λi ) = (pq)(j ) (λi ) = k k=0 (j )
(j )
= r (j ) (λi ). Podle definice maticove´ funkce je tedy h(A) = r(A) = (pq)(A). Podle veˇty 8.1 je vsˇak (pq)(A) = p(A)q(A), takzˇe celkem je po dosazenı´ ze vztahu˚ (8.16) h(A) = f (A)g(A) a veˇta je doka´za´na. △ Veˇty 8.8 a 8.9 umozˇnˇujı´ jednodusˇe prˇene´st platnost neˇktery´ch funkcˇnı´ch identit i na matice. Veˇta 8.10 Matice eA je regula´rnı´ pro libovolnou matici A a platı´ eA
−1
= e−A .
Du˚kaz. Polozˇme f (x) = ex e−x . Je tedy f (x) = 1 pro kazˇde´ x, cozˇ znamena´, zˇe f je polynomem a na za´kladeˇ veˇt 8.9 a 8.8 je f (A) = eA e−A = E. Odtud plyne, zˇe matice e−A je inverznı´ k matici eA . △ Veˇta 8.11 Pro kazˇdou regula´rnı´ matici A je
√ 2 A = A.
Kapitola 8
114
Du˚kaz. Zvolme otevrˇenou mnozˇinu ⊂ C tak, aby obsahovala vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla matice A a aby na existovala spojita´ veˇtev odmocniny. Protozˇe 0 nenı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo matice √ 2 A (nebot’ A je regula´rnı´), lze opravdu mnozˇinu nale´zt. Pro x ∈ polozˇme f (x) = x . Je tedy f (x) = x, x ∈ , a podle veˇt 8.9 a 8.8 je √ 2 A = A. f (A) = △
Prˇestozˇe poslednı´ dveˇ tvrzenı´ vypadajı´ naprosto samozrˇejmeˇ, je trˇeba si uveˇdomit, zˇe jejich platnost nenı´ prˇ´ımo z definice maticove´ funkce vu˚bec zrˇejma´. Navı´c, ne vsˇechny vlastnosti cˇ´ıselny´ch funkcı´ se prˇena´sˇejı´ na analogicke´ maticove´ funkce. Naprˇ. eA+B nenı´ obecneˇ rovno eA eB , nebot’ eA+B = eB+A , zatı´mco eA eB mu˚zˇe by´t vzhledem k nekomutativnosti maticove´ho na´sobenı´ ru˚zne´ od eB eA (viz u´lohu √ 8.13). Nenı´ take´ pravda, zˇe kazˇdou matici B, pro nı´zˇ B2 = A, lze vyja´drˇit jako A (ve smyslu zde uvedene´ definice). Vezmeme-li 0 0 1 0 1 0 A = 0 0 0 , B = 0 0 1 , 0 0 0 0 0 0
√ pak B2 = A, avsˇak A neexistuje, nebot’ 0 je trojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A se dveˇma √ rˇeteˇzci o de´lka´ch 2 a 1 a pro A by tedy byla trˇeba hodnota derivace odmocniny v bodeˇ 0, ktera´ vsˇak neexistuje. Patrneˇ nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı maticovou funkcı´ je et A , t ∈ R. Jejı´ vy´znam bude uka´za´n v poslednı´ kapitole. Vy´pocˇet matice et A je nejle´pe zalozˇit na funkci f (x) = et x , x ∈ C. Prˇ´ıklad 8.6 Vypocˇteˇte et A pro
0 0 A= 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 . 2 1
Rˇesˇenı´. Matice A je troju´helnı´kova´ a jejı´ charakteristicka´ rovnice je λ (λ − 1)3 = 0. Ma´ tedy jednoduche´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 0 a trojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 = 1. Vyjdeˇme od funkce f (x) = et x , x ∈ C a vypocˇteˇme urcˇujı´cı´ polynom p (x) matice et A . Abychom minimalizovali jeho stupenˇ, vypocˇteme de´lky ˇreteˇzcu˚ pro λ2 = 1. −1 1 0 0 0 0 0 0 (A − λ 2 E) = A − E = 0 0 0 2 , 0 0 0 0
takzˇe h(A − λ2 E) = 2. Odtud plyne, zˇe pro λ2 = 1 budou existovat 4 − h(A − λ2 E) = 4 − 2 = 2 rˇeteˇzce. Soucˇet jejich de´lek je podle veˇty 7.6 na straneˇ 86 roven na´sobnosti prˇ´ıslusˇne´ho charakteristicke´ho cˇ´ısla, tedy 3. U dvou rˇeteˇzcu˚ tomu odpovı´da´ jedina´ mozˇnost: jeden ˇreteˇzec bude mı´t de´lku 2, druhy´ 1.
8.4. Prˇ´ıklady
115
Pro jednoduche´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 0 je samozrˇejmeˇ jeden ˇreteˇzec de´lky 1. Urcˇujı´cı´ polynom p musı´ tedy vyhovovat trˇem podmı´nka´m: p (λ1 ) = f (λ1 ),
p ′ (λ2 ) = f ′ (λ2 ).
p (λ2 ) = f (λ2 ),
(8.17)
Tuto trojici podmı´nek lze splnit polynomem p(x) = ax 2 + bx + c s vhodneˇ zvolenou trojicı´ koeficientu˚ a, b, c. Vypocˇteme je po dosazenı´ do (8.17) z rovnic c = 1,
a + b + c = et ,
2a + b = tet .
Rˇesˇenı´m je a = tet − et + 1,
b = −tet + 2et − 2,
c = 1.
Urcˇujı´cı´ polynom ma´ tedy tvar p (x) = (tet − et + 1) x 2 − (tet − 2et + 2) x + 1 a matice et A je rovna et A = p (A) = (tet − et + 1) A2 − (tet − 2et + 2) A + E. Po vy´pocˇtu matice A2 a dosazenı´ vycha´zı´ et A
1 et − 1 0 et = 0 0 0 0
0 0 0 0 . et 2tet 0 et
8.4 Prˇ´ıklady Prˇ´ıklad 8.7 Vypocˇteˇte eO . Rˇesˇenı´. Polozˇme f (x) = ex , x ∈ C. Nulova´ matice O libovolne´ho ˇra´du je diagona´lnı´ a ma´ jedine´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 0. Vztahy (8.14) se tedy pro matici O redukujı´ na p(0) = f (0) = e0 = 1. Za urcˇujı´cı´ polynom matice eO lze tudı´zˇ zvolit p(x) = 1, cozˇ vede na
Prˇ´ıklad 8.8 Vypocˇteˇte
√
eO = E.
A, je-li A=
2 1 −1 0
.
Rˇesˇenı´. Charakteristicka´ rovnice matice A je (λ − 1)2 = 0, odkud jizˇ vyply´va´ jejı´ Jordanu˚v kanonicky´ tvar 1 1 J= 0 1 (jinak by A musela by´t podobna´ E, cozˇ vsˇak nenı´ mozˇne´, nebot’ E je na za´kladeˇ prˇ´ıkladu 6.2 podobna´ pouze sama sobeˇ). Da´le je A = PJP−1 , kde 1 1 0 −1 P= , takzˇe P−1 = . −1 0 1 1
Kapitola 8
116 Polozˇ´ıme-li f (x) =
√ x, je podle (8.10) f (J ) =
Potom
√
J=
f (1) f ′ (1) 0 f (1)
√ √ 1 A = P JP−1 = ± 2
=±
3 1 −1 1
1 21 0 1
.
.
Prˇ´ıklad 8.9 Ukazˇte, zˇe inverznı´ matice je ekvivalentnı´ hodnoteˇ maticove´ funkce odvozene´ z funkce f (x) =
1 . x
Rˇesˇenı´. Necht’ f (x) = 1/x, x 6 = 0. Z definice vyply´va´, zˇe f (A) je definova´na pro vsˇechny matice A s nenulovy´mi charakteristicky´mi cˇ´ısly, tedy pro vsˇechny regula´rnı´ matice. Polozˇ´ıme-li da´le g(x) = x, pak pro x 6 = 0 je f (x)g(x) = 1 a podle veˇt 8.9 a 8.8 je f (A) g(A) = f (A) A = E. Matice f (A) je tedy inverznı´ maticı´ k A. Prˇ´ıklad 8.10 Dokazˇte tvrzenı´ veˇty 8.9 pomocı´ prˇevodu matice A na Jordanu˚v tvar. Rˇesˇenı´. Na za´kladeˇ vztahu˚ 8.8 a 8.9 z definice funkce matic stacˇ´ı doka´zat, zˇe pro kazˇdy´ Jordanu˚v blok J platı´ h(J) = f (J) g(J). Polozˇme tedy H = f (J) g(J), cozˇ po dosazenı´ z (8.10) da´va´ g(λ) g ′ (λ) 2!1 g ′′ (λ) . . . f (λ) f ′ (λ) 2!1 f ′′ (λ) . . . ′ ′ 0 0 f (λ) f (λ) . . . g(λ) g (λ) . . . H= . 0 0 f (λ) . . . 0 0 g(λ) . . . .. . .. . .. . .. .. .. .. .. . . . . .
Vyna´sobenı´m matic vpravo vycha´zı´ hik hii
= 0 pro
i > k,
′
′
= f (λ) g(λ)
hi,i+1 = f (λ) g (λ) + f (λ) g(λ)
hi,i+2 = .. . hi,i+k =
1 k!
+ =
=
1 k!
1 2!
f (λ)g ′′ (λ) + f ′ (λ)g ′ (λ) +
f (λ) g (k) (λ) + 1 2!(k−2)!
= (f g)(λ),
1 (k−1)!
1 2!
f ′′ (λ)g(λ) =
f ′ (λ) g (k−1)(λ) +
f (k−2) (λ)g ′′ (λ) +
1 (k−1)!
= (f g)′ (λ),
1 2!(k−2)!
1 (f g)′′ (λ), 2!
f ′′ (λ)g (k−2)(λ) + · · · +
f (k−1)(λ) g ′ (λ) +
1 k!
f (k) (λ) g(λ) =
f (λ) g (k) (λ) + k1 f ′ (λ) g (k−1)(λ) + k2 f ′′ (λ)g (k−2) (λ) + · · · +
+
k k−2
1 k!
fg
f (k−2) (λ)g ′′ (λ) +
(k)
k k−1
(λ).
To znamena´, zˇe H = h(J) a tvrzenı´ je doka´za´no.
f (k−1) (λ) g ′ (λ) + f (k) (λ) g(λ) =
8.5. Cvicˇenı´
117
8.5 Cvicˇenı´ 8.1 Vypocˇteˇte matici p(A), je-li
5 6 −12 A = 0 −1 0 2 2 −5
a p(x) = x 7 − 2x 5 + 2x 4 + 3x 3 − 2. Vyuzˇijte vztahu (8.1). 8.2 Pro matici
n-te´ho rˇa´du vypocˇteˇte p(S), je-li
S=
0 1 0 .. .
0 0 1 .. .
··· ··· ··· .. .
0 0 0 .. .
1 0 1 .. .
0 0 ··· 1 0
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 x n−1 . 8.3 Vypocˇteˇte minima´lnı´ polynom na´sledujı´cı´ch matic 4 −2 2 3 1 −1 7 −5 0 b) A = −5 a) A = 0 2 −6 6 −4 1 1 1 8.4 Popisˇte vsˇechny matice A, pro neˇzˇ je jejich minima´lnı´ polynom roven polynomu charakteristicke´mu. 8.5 Ukazˇte, zˇe jsou-li λ1 , . . . , λk charakteristicka´ cˇ´ısla matice A s na´sobnostmi n1 , . . . , nk , pak f (λ1 ), . . . , f (λk ) jsou charakteristicka´ cˇ´ısla matice f (A) s na´sobnostmi n1 , . . . , nk . 8.6 Vypocˇteˇte eA , je-li
A=
1 −π π 1
.
8.7 Vypocˇteˇte asponˇ jednu nenulovou matici A druhe´ho ˇra´du, pro nı´zˇ je eA = E. 8.8 Vypocˇteˇte neˇjakou matici A , pro nı´zˇ je 0 4 −3 a) A2 = −4 8 −3 , −3 3 1 Charakteristicke´ polynomy dany´ch matic jsou po ˇradeˇ √ 8.9 Vypocˇteˇte A, je-li 1 0 0 1 A= 0 0 0 0
3 −2 3 b) A2 = 2 −1 3 . 3 −3 4
(λ − 4)2 (1 − λ) a (4 − λ)(λ − 1)2 . 2 2 1 0
3 3 . 2 1
Kapitola 8
118 8.10 Vypocˇteˇte rea´lnou matici A , pro nı´zˇ je
2 −1 1 A3 = 1 0 1 . 0 0 1 8.11 K matici
A=
−2 1 2 −3
vypocˇteˇte asponˇ jednu matici B, pro nı´zˇ je B2 = A a ukazˇte, zˇe zˇa´dna´ takova´ matice B nenı´ rea´lna´. 8.12 Pomocı´ vy´sledku prˇ´ıkladu 8.9 vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici
4 0 A= 0 0 8.13 Ukazˇte, zˇe pro matice
A=
0 1 0 0
0 2 0 0
,
0 1 2 0
B=
0 0 . 1 2
0 0 1 0
si nejsou zˇa´dne´ dveˇ z matic eA eB , eB eA a eA+B rovny. 8.14 Ukazˇte, zˇe det eA = ea11 +···+ann . 8.15 Vypocˇteˇte et A , je-li a) A = 8.16 Vypocˇteˇte et A , je-li
1 −1 2 3
b) A =
−1 2 2 A = 0 0 0 . 0 1 1
8.17 Vypocˇteˇte sin A, je-li
A=
π −1 1 −1 π + 1
.
8.18 Dokazˇte, zˇe pro kazˇdou cˇtvercovou matici je sin2 A + cos2 A = E.
2 5 −1 4
8.6. Rˇesˇenı´
119
ˇ esˇenı´ 8.6 R
10 12 −24 8.1 p(A) = 2A = 0 −2 0 . 4 4 −10 a0 an−1 an−2 . . . a1 a1 a0 an−1 . . . a2 a2 a1 a0 . . . a3 8.2 p(S) = .. .. .. . . .. . . . . .
an−1 an−2 an−3 . . . a0
8.3 a) m(λ) = (λ − 2)2 ;
. Vyuzˇijte vy´sledku cvicˇenı´ 1.6.
b) m(λ) = λ2 − 5λ + 6.
8.4 Ke kazˇde´mu charakteristicke´mu cˇ´ıslu matice A existuje v Jordanoveˇ ba´zi pouze jeden rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚. 8.5 Vyuzˇijte vztahu˚ (8.10) a (8.9). −e 0 8.6 . 0 −e 0 −2π 8.7 Naprˇ. A = . 2π 0 3 5 −4 1 8.8 a) A = −5 13 −4 ; 4 −4 4 4
1 √ 0 8.9 A = − 18 A2 + 43 A + 83 E = 0 0 4 −1 1 1 8.10 A = 1 2 1 . 3 0 0 3 j 4 −1 ; 8.11 A = 5 3 −2
3 −1 2 1 1 2 . b) A = 1 2 2 −2 4 0 1 1 1 1 1 . 0 1 1 0 0 1
vyuzˇijte vztahu mezi charakteristicky´mi cˇ´ısly matic A a B. 2 0 0 0 1 0 4 −2 1 . 8.12 4 −2 8 0 0 0 0 0 4 2 1 1 1 cosh 1 sinh 1 A B B A A +B 8.13 e e = , e e = , e = . 1 1 1 2 sinh 1 cosh 1 8.14 Je-li A = PJP−1 , pak det eA = det eJ = eλ1 +···+λn = ea11 +···+ann .
Kapitola 8
120
tA
8.15 a) e
tA
b) e
2t
=e
2t
A sin t + E(cos t − 2 sin t) = e
cos t − sin t − sin t 2 sin t cos t + sin t
e3t e3t = A sin 2t + E(2 cos 2t − 3 sin 2t) = 2 2
e−t et − e−t et − e−t . 8.16 0 1 0 0 et − 1 et 1 −1 8.17 . 1 −1
8.18 Polozˇte f (x) = sin2 x + cos2 x a vyuzˇijte veˇty 8.7.
2 cos 2t − sin 2t 5 sin 2t − sin 2t 2 cos 2t + sin 2t
Kapitola 9
Matice specia´lnı´ch typu˚
Azˇ doposud jsme se zaby´vali vlastnostmi cˇtvercovy´ch matic zcela obecne´ho typu. V te´to kapitole se zameˇrˇ´ıme na trˇi vy´znamne´ podmnozˇiny cˇtvercovy´ch matic: matice ortogona´lnı´, symetricke´ a pozitivneˇ definitnı´. Postupneˇ odhalı´me specificke´ vlastnosti kazˇde´ z nich.
9.1 Ortogona´lnı´ matice Definice. Cˇtvercova´ matice A se nazy´va´ ortogona´lnı´, jestlizˇe platı´
AT A = E.
(9.1)
Na´zev ortogona´lnı´ matice je motivova´n vlastnostmi jejı´ch ˇra´dku˚ a sloupcu˚, jak ukazuje na´sledujı´cı´ veˇta. Veˇta 9.1 Necht’ A je cˇtvercova´ matice. Pak tyto vlastnosti jsou ekvivalentnı´. (a) A je ortogona´lnı´; (b) A je regula´rnı´ a A−1 = AT ; (c) A AT = E;
(d) AT je ortogona´lnı´; (e) A ma´ ortonorma´lnı´ rˇa´dky; (f) A ma´ ortonorma´lnı´ sloupce. Vlastnosti (e) a (f) naznacˇujı´, zˇe vhodneˇjsˇ´ı na´zev pro tento typ matic by byl „ortonorma´lnı´“. Ten se vsˇak v literaturˇe nevzˇil a nepouzˇ´ıva´ se. Du˚kaz. Veˇtu doka´zˇeme posloupnostı´ implikacı´ (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (f) ⇒ (a).
1. [(a) ⇒ (b)] Platı´-li (9.1), pak podle veˇty 4.14 na straneˇ 53 je matice A regula´rnı´ a AT je inverznı´ maticı´ k matici A. 2. [(b) ⇒ (c)] Plyne z definice inverznı´ matice. T 3. [(c) ⇒ (d)] AAT = AT AT , takzˇe (9.1) platı´ i pro matici AT .
T 4. [(d) ⇒ (e)] Je-li matice AT ortogona´lnı´, pak podle (9.1) platı´ E = AT AT = AAT . V soucˇinu AAT se skala´rneˇ na´sobı´ ˇra´dky matice A sloupci matice AT , cozˇ vsˇak jsou rˇa´dky matice A. Je tedy skala´rnı´ soucˇin i-te´ho a j -te´ho ˇra´dku matice A pro i 6 = j roven 0 a pro i = j roven 1. To znamena´, zˇe rˇa´dky matice A jsou ortonorma´lnı´. 121
Kapitola 9
122
5. [(e) ⇒ (f)] Sloupce matice A jsou ˇra´dky matice AT . Ty jsou podle prˇedchozı´ho ortonorma´lnı´. 6. [(f) ⇒ (a)] Z ortonorma´lnosti sloupcu˚ matice A plyne na za´kladeˇ veˇty 1.2 vztah (9.1) a tedy i ortogona´lnost matice A. △ Prˇ´ıklad 9.1 Matice
R=
cos α − sin α sin α cos α
je ortogona´lnı´ pro kazˇde´ rea´lne´ α, cozˇ se oveˇˇr´ı vyna´sobenı´m RTR. Matice reprezentuje otocˇenı´ v rovineˇ o u´hel α kolem pocˇa´tku (viz prˇ´ıklad 5.2). Prˇ´ıklad 9.2 Oveˇrˇte, zˇe matice
W = E − 2wwT je ortogona´lnı´ pro libovolny´ vektor w ∈ Rn , ||w|| = 1.
Rˇesˇenı´. Matice W je symetricka´, nebot’ WT = E − 2wwT
T
= E − 2wwT = W. Da´le je
WT W = E − 2wwT E − 2wwT = E − 4wwT + 4wwT wwT = E − 4wwT + 4wwT = E,
nebot’ wT w = ||w||2 = 1. Matice W se nazy´va´ matice zrcadlenı´ odpovı´dajı´cı´ vektoru w.
Jednou z prˇ´ıjemny´ch vlastnostı´ ortogona´lnı´ch matice je jejich snadna´ inverze Podle veˇty 9.1 (b) se redukuje na pouhou transpozici. Dalsˇ´ı dveˇ du˚lezˇite´ vlastnosti ortogona´lnı´ch matic jsou obsazˇeny v na´sledujı´cı´ veˇteˇ. Obeˇ majı´ vy´znam zejme´na v numericky´ch vy´pocˇtech. I bez podrobneˇjsˇ´ı analy´zy z nich cˇtena´rˇ jisteˇ rozpozna´, zˇe na´sobenı´ ortogona´lnı´ maticı´ je „numericky stabilnı´“ operacı´. Tato vlastnost je motivacı´ pro formulaci ru˚zny´ch veˇt o rozkladu matice na soucˇin matic, jehozˇ prvky jsou matice ortogona´lnı´ (veˇty 9.3, 9.6, 9.12). Veˇta 9.2 Je-li Q = (qij ) ortogona´lnı´ matice n-te´ho rˇa´du, pak |qij | ≤ 1 pro vsˇechna 1 ≤ i, j ≤ n a pro kazˇdy´ sloupcovy´ vektor x ∈ Rn platı´ ||Qx|| = ||x||. Du˚kaz. Vztah |qij | ≤ 1 vyply´va´ z jednotkove´ velikosti sloupcovy´ch vektoru˚ matice Q : n X i=1
|qij |2 = 1.
Pro velikost vektoru Qx pak s vyuzˇitı´m veˇty 2.12 (strana 33) platı´
Tı´m je veˇta doka´za´na.
||Qx||2 = Qx, Qx = x, QTQx = (x, x) = ||x||2 .
△
Pro ortogona´lnı´ matice naby´va´ veˇta 2.12 o QR rozkladu na´sledujı´cı´ podoby. Veˇta 9.3 Ke kazˇde´ regula´rnı´ matici A existuje ortogona´lnı´ matice Q a hornı´ troju´helnı´kova´ matice R tak, zˇe A = QR.
9.2. Symetricke´ matice
123
Prˇ´ıklad 9.3 Rozlozˇte matici
2 0 1 A= 2 2 1 1 2 2
na soucˇin A = QR, kde Q je ortogona´lnı´ matice a R matice hornı´ troju´helnı´kova´. Rˇesˇenı´. Sloupce hledane´ matice Q budou tvorˇit ortonorma´lnı´ vektory q1 , q2 , q3 , jejichzˇ linea´rnı´ obal bude totozˇny´ s linea´rnı´m obalem sloupcu˚ a1 , a2 , a3 dane´ matice A. Pro jejich vy´pocˇet pouzˇijeme Gramu˚v–Schmidtu˚v proces, zalozˇeny´ na vztahu (2.15). Cˇ´ısla rik pak budou tvorˇit hornı´ troju´helnı´k matice R a pro zby´vajı´cı´ prvky matice R bude platit (2.19). Bude tedy T q1 = a1 /||a1 || = 13 2, 2, 1 a r11 = ||a1 || = 3.
Da´le vypocˇteme e q2 = a2 − r12 q1 tak, aby (q1 ,e q2 ) = 0. Vyjde r12 = 2 a tedy e q2 = a2 − 2q1 = 2 T (−2, 1, 2) , odkud 3 T a r22 = ||e q2 || = 2. q2 = e q2 /||e q2 || = 13 − 2, 1, 2
Nakonec vypocˇteme e q3 = a3 − r13 q1 − r23 q2 tak, aby (q1 ,e q3 ) = 0 a (q2 ,e q3 ) = 0. Vyjde r13 = 2 a 1 r13 = 1 a tedy e q3 = a3 − 2q1 − q2 = 3 (1, −2, 2). Protozˇe ||e q3 || = 1, je T q3 = e q3 = 13 1, −2, 2 a r33 = ||e q3 || = 1. Vy´sledne´ matice jsou
2 −2 1 1 2 1 −2 a Q= 3 1 2 2
3 2 2 R = 0 2 1 . 0 0 1
9.2 Symetricke´ matice Symetricke´ matice majı´ mezi vsˇemi maticemi vy´znamne´ postavenı´. Nejen, zˇe se cˇasteˇji vyskytujı´ v aplikacı´ch, ale i jejich matematicke´ vlastnosti jsou specificke´. Uka´zˇeme dveˇ du˚lezˇite´ vlastnosti teˇchto matic: • Kazˇda´ rea´lna´ symetricka´ matice A je podobna´ neˇjake´ rea´lne´ diagona´lnı´ matici D :
A = PDP−1
(9.2)
• Matice P v (9.2) je ortogona´lnı´ .
Protozˇe diagona´lnı´ prvky matice D tvorˇ´ı charakteristicka´ cˇ´ısla matice A a sloupce matice P tvorˇ´ı jim odpovı´dajı´cı´ charakteristicke´ vektory, musı´ by´t vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla libovolne´ rea´lne´ symetricke´ matice rea´lna´ a jim odpovı´dajı´cı´ charakteristicke´ vektory musı´ by´t navza´jem ortogona´lnı´. Obeˇ tyto vlastnosti jsou du˚lezˇite´ samy o sobeˇ; budou jim veˇnova´ny na´sledujı´cı´ dveˇ veˇty. Veˇta 9.4 Charakteristicka´ cˇ´ısla rea´lne´ symetricke´ matice jsou rea´lna´. Du˚kaz. Necht’ A je symetricka´ matice a λ jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo, jemuzˇ prˇ´ıslusˇ´ı charakteristicky´ vektor v. Uka´zˇeme, zˇe λ = λ. Z vlastnostı´ skala´rnı´ho soucˇinu (veˇta 2.8 a jejı´ du˚sledek) a z (2.12) vyply´va´ λ(v, v) = (λv, v) = (A v, v) = (v, A v) = (v, λv) = λ(v, v). Protozˇe v 6 = o (charakteristicky´ vektor), je λ = λ a λ je tedy rea´lne´.
△
Kapitola 9
124
Veˇta 9.5 Jsou-li λ1 a λ2 ru˚zna´ charakteristicka´ cˇ´ısla rea´lne´ symetricke´ matice A, pak jim odpovı´dajı´cı´ charakteristicke´ vektory jsou ortogona´lnı´. Du˚kaz. Necht’ v1 a v2 jsou charakteristicke´ vektory odpovı´dajı´cı´ cˇ´ıslu˚m λ1 a λ2 . Pak postupny´m vyuzˇitı´m (2.12), du˚sledku veˇty 2.8 a veˇty 9.4 dosta´va´me λ1 (v1 , v2 ) = (λ1 v1 , v2 ) = (A v1 , v2 ) = (v1 , A v2 ) = (v1 , λ2 v2 ) = λ2 (v1 , v2 ) = λ2 (v1 , v2 ). Odtud plyne (λ1 − λ2 )(v1 , v2 ) = 0. Protozˇe podle prˇedpokladu veˇty je λ1 6 = λ2 , je (v1 , v2 ) = 0 a vektory v1 a v2 jsou ortogona´lnı´.
△
Veˇta 9.6 Kazˇdou rea´lnou symetrickou matici A lze rozlozˇit na soucˇin
A = PDPT ,
(9.3)
kde P je ortogona´lnı´ matice a D rea´lna´ diagona´lnı´ matice. Du˚kaz. Du˚kaz veˇty provedeme ve dvou krocı´ch. Nejdrˇ´ıve uka´zˇeme, zˇe kazˇda´ rea´lna´ symetricka´ matice A je podobna´ diagona´lnı´ matici. K tomu stacˇ´ı podle veˇty 7.10 na straneˇ 93 uka´zat, zˇe pro kazˇde´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ matice A platı´ h(A − λ E) = h (A − λE)2 .
Necht’ A je rea´lna´ symetricka´ matice a λ jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo. Pak (A − λE)2 = (A − λE)(A − λE) = (A − λE)(AT − λET ) = (A − λE)(A − λE)T .
S vyuzˇitı´m veˇty (3.6) na straneˇ 41 pak je
h (A − λE)2 = h (A − λE)(A − λE)T = h(A − λE).
Existuje tedy rea´lna´ diagona´lnı´ matice D a matice P tak, zˇe A = PDP−1 . Zby´va´ uka´zat, zˇe sloupce matice P, cozˇ podle veˇty 6.8 jsou charakteristicke´ vektory matice A, lze nale´zt v ortonorma´lnı´ podobeˇ. Ty charakteristicke´ vektory, ktere´ odpovı´dajı´ navza´jem ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m, jsou na za´kladeˇ veˇty 9.5 ortogona´lnı´ a volbou jednotkove´ velikosti dosa´hneme ortonorma´lnosti. Stacˇ´ı tedy pro kazˇde´ k-na´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ matice A nale´zt k ortonorma´lnı´ch charakteristicky´ch vektoru˚. Podle veˇty 6.15 je dim Cλ (A) rovna k, v Cλ (A) tedy existuje k linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚. Jejich ortonorma´lnosti docı´lı´me pomocı´ Gramova–Schmidtova procesu z veˇty 2.11 a du˚kaz je hotov. △ Prˇ´ıklad 9.4 Rozlozˇte matici
−1 4 8 A = 4 −7 4 8 4 −1
na soucˇin A = PDPT tak, aby matice D byla diagona´lnı´ a P orotgona´lnı´.
9.3. Pozitivneˇ definitnı´ matice
125
Rˇesˇenı´. Pro ortogona´lnı´ matici P je pozˇadavek A = PDPT ekvivalentnı´ vztahu A = PDP−1 , takzˇe hledana´ matice D bude podobna´ matici A. Podle veˇty 6.8 budou diagona´lnı´ prvky matice D rovny charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m matice A a sloupce matice P budou tvorˇit jim odpovı´dajı´cı´ charakteristicke´ vektory. Prˇitom veˇta 9.5 zajisˇt’uje, charakteristicke´ vektory prˇ´ıslusˇne´ ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m jizˇ vyjdou ortogona´lnı´; stacˇ´ı tedy zajistit jejich jednotkovou velikost. U vı´cena´sobny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel zajistı´me ortogona´lnost charakteristicky´ch vektoru˚ pomocı´ Gramova–Schmidtova algoritmu. Vy´znamne´ je, zˇe ortogonalizaci nemusı´me prova´deˇt pro vsˇechny charakteristicke´ vektory najednou, ale stacˇ´ı v kazˇde´m charakteristicke´m prostoru samostatneˇ. To vede k u´sporˇe ortogonalizacˇnı´ch kroku˚. Charakteristicka´ rovnice matice A vyjde (λ − 9)(λ + 9)2 = 0;
A tedy ma´ jednoduche´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 9 a dvojna´sobne´ λ2 = −9. Pro λ1 = 9 dostaneme v1 = t (2, 1, 2)T , t 6 = 0 a pro λ2 = −9 vyjdou charakteristicke´ vektory ve tvaru v = (r, −2r − 2s, s)T , |r|+|s| 6 = 0. Vyberme z nich dvojici v2 = (1, 2, −2)T a v3 = (1, −4, 1)T a nahrad’me ji ortogona´lnı´mi charakteristicky´mi vektory q2 , q3 . Vypocˇteme je Gramovou–Scmidtovou ortogonalizacı´: q2 = v 2
a q3 = v 3 − r q2 .
Vyjde r = −1 a q3 = (2, −2, −1)T . Hledane´ sloupce p1 , p2 , p3 matice P pak budou
p1 = a celkem
v1 , ||v1 ||
p2 =
9 0 0 D = 0 −9 0 , 0 0 −9
q2 , ||q2 ||
p3 =
q3 ||q3 ||
2 1 2 1 2 −2 . P= 1 3 2 −2 −1
9.3 Pozitivneˇ definitnı´ matice Pozitivneˇ definitnı´ matice lze povazˇovat za maticove´ zobecneˇnı´ kladny´ch cˇ´ısel. Pozitivnost se vsˇak neprˇena´sˇ´ı na prvky matice A, ale na hodnoty skala´rnı´ho soucˇinu (Ax, x). Definice. Rea´lna´ symetricka´ matice A n-te´ho ˇra´du se nazy´va´ pozitivneˇ definitnı´, je-li pro kazˇdy´ nenulovy´ sloupcovy´ vektor x ∈ Rn (Ax, x) > 0. (9.4) Platı´-li mı´sto vztahu (9.4) pro kazˇdy´ vektor x ∈ Rn (Ax, x) ≥ 0, nazy´va´ se A pozitivneˇ semidefinitnı´. Kazˇda´ pozitivneˇ definitnı´ matice je podle te´to definice take´ pozitivneˇ semidefinitnı´. Podmı´nku, kdy je pozitivneˇ semidefinitnı´ matice pozitivneˇ definitnı´, uvedeme ve veˇteˇ 9.9.1 1 V neˇktery´ch ucˇebnicı´ch se v definici semidefinitnosti prˇida´va´ podmı´nka (Ax, x) = 0 asponˇ pro jeden vektor
Pak jsou mnozˇiny definitnı´ch a semidefinitnı´ch matic disjunktnı´.
x 6 = o.
Kapitola 9
126
Vlastnost pozitivnı´ definitnosti a semidefinitnosti je definova´na pouze pro rea´lne´ symetricke´ matice. Rozsˇ´ırˇenı´ na matice komplexnı´ je sice mozˇne´, nelze je vsˇak udeˇlat zcela mechanicky. Podrobnosti lze nale´zt v [5]. Povsˇimneˇme si, zˇe pro n = 1 se vztah (9.4) redukuje na podmı´nku Ax 2 > 0 pro kazˇde´ nenulove´ rea´lne´ x; ta je splneˇna pra´veˇ tehdy, je-li A > 0. Mnozˇina pozitivneˇ definitnı´ch matic prvnı´ho rˇa´du tedy sply´va´ s mnozˇinou vsˇech kladny´ch cˇ´ısel a pozitivneˇ definitnı´ matice tak opravdu mu˚zˇeme cha´pat jako maticove´ zobecneˇnı´ kladny´ch cˇ´ısel. Prˇ´ıklad 9.5 Pro libovolnou rea´lnou cˇtvercovou matici A jsou matice A AT a ATA pozitivneˇ semidefinitnı´. Je-li navı´c matice A regula´rnı´, budou obeˇ matice A AT i ATA pozitivneˇ definitnı´. Z u´lohy 1.5 totizˇ vyply´va´ symetrie obou matic a da´le je s vyuzˇitı´m veˇty 2.9 (ATAx, x) = (Ax, Ax) = ||Ax||2 ≥ 0;
(9.5)
navı´c pro regula´rnı´ matici A a nenulovy´ vektor x je Ax 6 = o (veˇta 4.17 g) a v (9.5) platı´ ostra´ nerovnost. Podmı´nka (9.4) je pro oveˇˇrenı´ pozitivnı´ definitnosti matice A veˇtsˇinou nevhodna´. Postupneˇ uka´zˇeme trˇi vlastnosti, ktere´ jsou pozitivnı´ definitnosti ekvivalentnı´. Zˇa´dna´ z nich vsˇak nenı´ natolik jednoducha´, aby umozˇnila poznat pozitivneˇ definitnı´ matici pouhy´m pohledem na jejı´ prvky. Veˇta 9.7 Rea´lna´ symetricka´ matice A je pozitivneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, jsou-li vsˇechna jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla kladna´. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme nejdrˇ´ıve, zˇe A je pozitivneˇ definitnı´ matice a λ jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo s charakteristicky´m vektorem v; je tedy Av = λv. Z (9.4) dosta´va´me (Av, v) > 0,
odkud plyne
(λv, v) = λ(v, v) = λ ||v||2 > 0.
To vsˇak znamena´, zˇe λ > 0 a protozˇe λ bylo libovolne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo matice A, jsou vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla matice A kladna´. Obra´ceneˇ, necht’ vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla matice A jsou kladna´. Protozˇe A je rea´lna´ symetricka´, existujı´ podle veˇty 9.6 ortogona´lnı´ matice P a diagona´lnı´ matice D tak, zˇe A = PDPT ; prˇitom podle veˇty 6.9 jsou na diagona´le matice D charakteristicka´ cˇ´ısla matice A. Pro kazˇdy´ vektor x ∈ Rn tedy bude platit (Ax, x) = (PDPTx, x) = (DPTx, PTx) = (Dy, y) = d1 y12 + · · · + dn yn2 .
Prˇi u´praveˇ jsme zde pouzˇili veˇty 2.9 a oznacˇili y = PTx. Diagona´lnı´ prvky d1 , . . . , dn matice D jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A a ta jsou podle prˇedpokladu kladna´; odtud plyne kladnost soucˇinu (Ax, x) pro x 6 = o a tedy i pozitivnı´ definitnost matice A. △
Veˇta 9.8 (Sylvestrovo krite´rium) Necht’ A je rea´lna´ symetricka´ matice n-te´ho rˇa´du. Pro k = 1, . . . , n oznacˇme Dk hlavnı´ subdeterminanty matice A : a11 a12 · · · a1k a21 a22 · · · a2k Dk = det . .. .. . . . . . . . ak1 ak2 · · · akk
Pak A je pozitivneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ Dk > 0 pro k = 1, . . . , n.
9.4. Kvadraticke´ formy
127
Du˚kaz. Viz [5]. Poznamenejme, zˇe matice, jejı´zˇ vsˇechny hlavnı´ subdeterminanty jsou neza´porne´, nemusı´ by´t pozitivneˇ semidefinitnı´. Dokumentuje to na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad. Prˇ´ıklad 9.6 Necht’
0 0 −1 A = 0 −1 0 . −1 0 1
Pak, v souhlase se znacˇenı´m veˇty 9.8, je A1 = A2 = 0 a A3 = 1. Avsˇak pro vektor x = (1, 1, 1)T je (Ax, x) = −2, takzˇe matice A nenı´ pozitivneˇ semidefinitnı´. O prˇesne´m vymezenı´ vztahu mezi pozitivneˇ definitnı´mi a pozitivneˇ semidefinitnı´mi maticemi hovorˇ´ı na´sledujı´cı´ veˇta. Veˇta 9.9 Pozitivneˇ semidefinitnı´ matice je pozitivneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, je-li regula´rnı´. Du˚kaz. Pozitivneˇ definitnı´ matice je podle definice take´ pozitivneˇ semidefinitnı´ a podle veˇty 9.8 ma´ nenulovy´ determinant, takzˇe je regula´rnı´. Je-li obra´ceneˇ matice A regula´rnı´ pak podle veˇty 4.17 je det A 6 = 0; z veˇty 6.2 tedy plyne, zˇe zˇa´dne´ jejı´ charakteristicke´ cˇ´ıslo nenı´ 0. Je-li matice A navı´c pozitivneˇ semidefinitnı´, pak podle veˇty 9.7 jsou jejı´ charakteristicka´ cˇ´ısla neza´porna´; dohromady ma´ tedy kazˇda´ regula´rnı´ pozitivneˇ semidefinitnı´ matice vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla kladna´, cozˇ podle veˇty 9.7 znamena´, zˇe je pozitivneˇ definitnı´. △
9.4 Kvadraticke´ formy Skala´rnı´ soucˇin (Ax, x), ktery´ je pro danou matici A = (aij ) ˇra´du n prˇirˇazen kazˇde´mu vektoru x = (x1 , . . . , xn )T slouzˇ´ı nejen k urcˇenı´ vlastnostı´ matice A, ale ma´ i samostatny´ vy´znam. Prˇedstavuje zobrazenı´, jehozˇ oborem hodnot je mnozˇina rea´lny´ch cˇ´ısel. Takova´ zobrazenı´ se cˇasto nazy´vajı´ formy. Rozepı´sˇeme-li soucˇin (Ax, x) dostaneme (Ax, x) = xTAx =
n n X X i=1 j =1
aij xi xj ;
jde tedy o linea´rnı´ kombinaci kvadraticky´ch cˇlenu˚ xi xj . To vede k te´to definici. Definice. Je-li A rea´lna´ symetricka´ matici ˇra´du n, pak se zobrazenı´ Q : Rn → R definovane´ vztahem Q(x) = (Ax, x) nazy´va´ kvadraticka´ forma. Prˇ´ıklad 9.7 Pro matici
je
1 2 −1 A= 2 2 −4 −1 −4 3
Q(x) = (Ax, x) = x12 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 2x22 − 8x2 x3 + 3x32 .
Kapitola 9
128 Je-li naopak da´na kvadraticka´ forma Q v Rn prˇedpisem Q(x) =
n n X X
aij xi xj ,
(9.6)
i=1 j =1
kde aij = aj i , pak jı´ jednoznacˇneˇ odpovı´da´ symetricka´ matice A = (aij ). Mu˚zˇeme tedy podle potrˇeby prˇecha´zet od rea´lny´ch symetricky´ch matic ke kvadraticky´m forma´m a naopak. Prˇ´ıklad 9.8 Kvadraticka´ forma Q(x) = 2x12 + 3x22 + 5x32 + 6x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 definovana´ v R3 je urcˇena maticı´
2 3 1 A = 3 3 2 . 1 2 5
Prˇ´ıklad 9.9 Nejjednodusˇsˇ´ı tvar bude mı´t kvadraticka´ forma, ktera´ je urcˇena diagona´lnı´ maticı´. Pokud je A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ), pak Q(x) = (Ax, x) = a11 x12 + a22 x22 + · · · + ann xn2 .
(9.7)
Podle hodnot, ktere´ kvadraticke´ formy naby´vajı´, rozezna´va´me peˇt jejich typu˚. Definice. Kvadratickou formu Q v Rn nazy´va´me a) pozitivneˇ definitnı´, je-li Q(x) > 0 pro kazˇdy´ nenulovy´ vektor x ∈ Rn ,
b) pozitivneˇ semidefinitnı´, je-li Q(x) ≥ 0 pro kazˇdy´ vektor x ∈ Rn ,
c) negativneˇ definitnı´, je-li Q(x) < 0 pro kazˇdy´ nenulovy´ vektor x ∈ Rn ,
d) negativneˇ semidefinitnı´, je-li Q(x) ≤ 0 pro kazˇdy´ vektor x ∈ Rn ,
e) indefinitnı´, existujı´-li vektory x a y v Rn tak, zˇe Q(x) > 0 a Q(y) < 0.
Prˇ´ıklad 9.10 a) Kvadraticka´ forma Q(x) = 2x12 + 3x22 + x32 je pozitivneˇ definitnı´ v R3 .
b) Kvadraticka´ forma Q(x) = 2x12 + 3x22 je pozitivneˇ semidefinitnı´ v R3 a nenı´ pozitivneˇ definitnı´. c) Kvadraticka´ forma Q(x) = −2x12 − 3x22 − x32 je negativneˇ definitnı´ v R3 .
d) Kvadraticka´ forma Q(x) = −2x12 −3x22 je negativneˇ semidefinitnı´ v R3 a nenı´ nagativneˇ definitnı´.
e) Kvadraticka´ forma Q(x) = x12 − x22 je indefinitnı´, nebot’ pro vektory standardnı´ ba´ze e1 , e2 platı´ Q(e1 ) = 1 > 0 a Q(e2 ) = −1 < 0.
Je ihned viditelne´, zˇe forma Q bude pozitivneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, bude-li jejı´ matice pozitivneˇ definitnı´ a pozitivneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, bude-li jejı´ matice pozitivneˇ semidefinitnı´. Pro definici semidefinitnosti kvadraticky´ch forem platı´ stejna´ pozna´mka jako pro semidefinitnı´ matice (viz strana 126). Ve skala´rnı´m soucˇinu (Ax, x), pomocı´ neˇhozˇ je kvadraticka´ forma definova´na, vystupujı´ sourˇadnice vektoru x ve standardnı´ ba´zi prostoru Rn a tı´m i prˇedpis (9.6) je na tyto sourˇadnice pevneˇ va´za´n.
9.4. Kvadraticke´ formy
129
Kvadratickou formu je mozˇne´ uvazˇovat i v jine´ sourˇadne´ soustaveˇ, avsˇak jejı´ matice se zmeˇnı´. Je-li totizˇ P matice prˇechodu od standardnı´ ba´ze v Rn k ba´zi jine´, pak pro „nove´“ sourˇadnice x′ platı´ na za´kladeˇ vztahu (5.7) na straneˇ 60
x = Px′ . Odtud dosazenı´m a vyuzˇitı´m vztahu (2.12) dosta´va´me Q(x) = (Ax, x) = (APx′ , Px′ ) = (PTAPx′ , x′ );
(9.8)
vidı´me tedy, zˇe v novy´ch sourˇadnicı´ch je matice kvadraticke´ formy rovna A′ = PTAP, kde P je matice prˇechodu od standardnı´ ba´ze. Tı´m dosta´va´me mozˇnost vyuzˇ´ıt veˇty 9.6 k prˇevodu matice libovolne´ kvadraticke´ formy na diagona´lnı´ tvar a zjednodusˇit tak jejı´ prˇedpis do podoby (9.7). Vede to k na´sledujı´cı´ definici. Definice. Necht’ Q(x) = (Ax, x) =
n n X X
aij xi xj
i=1 j =1
je kvadraticka´ forma v Rn urcˇena´ rea´lnou symetrickou maticı´ A = (aij ). Rˇ´ıka´me, zˇe jsme formu Q prˇevedli do kanonicke´ho tvaru Q(x) =
d1 (x1′ )2
+
d2 (x2′ )2
+ ··· +
dn (xn′ )2
=
n X
di (xi′ )2 ,
i=1
jestlizˇe existuje regula´rnı´ matice P tak, zˇe matice D = PTAP je diagona´lnı´ a jejı´ diagona´lnı´ prvky jsou d1 , . . . , dn . Prˇ´ıklad 9.11 Podle prˇ´ıkladu 9.4 pro matici
−1 4 8 4 A = 4 −7 8 4 −1 platı´ A = PDPT, kde
9 0 0 2 1 2 1 D = 0 −9 0 a P= 1 2 −2 , 3 0 0 −9 2 −2 −1
prˇicˇemzˇ matice P je ortogona´lnı´, takzˇe D = PTAP. To znamena´, zˇe kvadratickou formu Q(x) = (Ax, x) = −x12 − 7x22 − x32 + 8x1 x2 + 16x1 x3 + 8x2 x3
(9.9)
urcˇenou maticı´ A lze prˇeve´st do kanonicke´ho tvaru Q(x) = 9(x1′ )2 − 9(x2′ )2 − 9(x3′ )2 ,
(9.10)
Kapitola 9
130
kde mezi pu˚vodnı´mi sourˇadnicemi x = (x1 , x2 , x3 )T a novy´mi x′ = (x1′ , x2′ , x3′ )T platı´ vztah x = Px′ , cozˇ po rozepsa´nı´ do sourˇadnic da´va´ x1 = 13 2x1′ + x2′ + 2x3′ (9.11) x2 = 13 x1′ + 2x2′ − 2x3′ x3 = 13 2x1′ − 2x2′ − x3′ .
Dosazenı´m rovnic (9.11) do (9.9) se lze prˇesveˇdcˇit, zˇe opravdu vyjde kanonicky´ tvar (9.10). Poznamenejme, zˇe z tohoto du˚vodu by bylo prˇesneˇjsˇ´ı ve vzorci (9.10) psa´t na leve´ straneˇ Q(Px′ ) mı´sto Q(x). Za´pis ale nenı´ nekorektnı´, nebot’ Px′ = x. Nespra´vne´ by vsˇak bylo psa´t na leve´ straneˇ Q(x′ ).
Prˇevod kvadraticke´ formy do kanonicke´ho tvaru je vy´znamny´m prostrˇedkem pro rozpozna´nı´ jejı´ch vlastnostı´. Metoda zalozˇena´ na prˇedcha´zejı´cı´m prˇ´ıkladu je sice obecneˇ pouzˇitelna´, ale pocˇetneˇ znacˇneˇ na´rocˇna´. Jejı´ prˇednostı´ vsˇak je, zˇe koeficienty d1 , . . . , dn ve vznikle´m kanonicke´m tvaru jsou rovny charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m matice A a nova´ sourˇadna´ soustava je opeˇt ortonorma´lnı´. Pokud tyto vlastnosti od kanonicke´ho tvaru nepozˇadujeme, mu˚zˇeme pouzˇ´ıt jednodusˇsˇ´ı metody zalozˇene´ pouze na elementa´rnı´ch maticovy´ch operacı´ch, kterou nynı´ odvodı´me. Vı´me jizˇ, zˇe kazˇdou cˇtvercovou matici lze elementa´rnı´mi ˇra´dkovy´mi operacemi prˇeve´st do troju´helnı´kove´ho tvaru. Postup vy´pocˇtu je schematicky zna´zorneˇn v (1.7) na straneˇ 16. Podle veˇty 1.17 to znamena´, zˇe existuje regula´rnı´ matice P tak, zˇe matice PA je hornı´ troju´helnı´kova´. Matice P prˇitom je soucˇinem elementa´rnı´ch rˇa´dkovy´ch matic, pomocı´ nichzˇ byla matice A prˇevedena do troju´helnı´kove´ho tvaru. Je-li navı´c matice A symetricka´, pak ji ty´mizˇ elementa´rnı´mi operacemi aplikovany´mi na jejı´ sloupce prˇevedeme na dolnı´ troju´helnı´kovou, t.j. matice APT je dolnı´ troju´helnı´kova´. Spojenı´m obou postupu˚ pak bude matice PAPT hornı´ i dolnı´ troju´helnı´kova´, tedy diagona´lnı´. Porovna´nı´m se vztahem (9.8) navı´c vidı´me, zˇe prˇi tomto postupu bude PT maticı´ prˇechodu od standardnı´ ba´ze k ba´zi, v nı´zˇ Q bude mı´t kanonicky´ tvar. Sche´maticky lze postup vy´pocˇtu zna´zornit zpu˚sobem pouzˇ´ıvany´m prˇi vy´pocˇtu inverznı´ matice (E|A|E) ∼ · · · ∼ (P|D|PT ). Matici A tedy rozsˇ´ırˇ´ıme zleva i zprava jednotkovou maticı´ a strˇ´ıdaveˇ aplikujeme rˇa´dkove´ a sloupcove´ elementa´rnı´ operace tak, aby matice A prˇesˇla na diagona´lnı´ tvar. Rˇa´dkove´ operace prˇitom prova´dı´me pouze s maticı´ vlevo od A, kdezˇto sloupcove´ pouze s maticı´ vpravo. Je vsˇak zrˇejme´, zˇe je nadbytecˇne´ prova´deˇt a zapisovat operace s obeˇma jednotkovy´mi maticemi, nebot’ se po skoncˇenı´ vy´pocˇtu lisˇ´ı pouze transpozicı´. Obvykle´ je pouzˇ´ıt stejne´ho usporˇa´da´nı´ za´pisu jako prˇi vy´pocˇtu inverznı´ matice: matici A rozsˇ´ırˇ´ıme o jednotkovou matici E, do nı´zˇ „zaznamena´va´me“ vsˇechny ˇra´dkove´ u´pravy prova´deˇne´ s maticı´ A. Sloupcove´ u´pravy prova´dı´me pouze s maticı´ A. Pak (A|E) ∼ · · · ∼ (D|PT ), kde P je matice prˇechodu k nove´ ba´zi. Prˇ´ıklad 9.12 Prˇeved’te do kanonicke´ho tvaru kvadratickou formu Q(x) = 2x22 + x32 + 4x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 definovanou v R3 a popisˇte potrˇebnou transformaci sourˇadnic.
9.4. Kvadraticke´ formy
131
Rˇesˇenı´. Matice kvadraticke´ formy je
0 2 3 A = 2 2 1 . 3 1 1
Pro snadneˇjsˇ´ı rozpozna´nı´ jednotlivy´ch kroku˚ vy´pocˇtu budeme kazˇdy´ z nich zapisovat samostatnou rozsˇ´ırˇenou maticı´. Jak bylo uvedeno, prova´dı´me ˇra´dkove´ u´pravy z celou rozsˇ´ırˇenou maticı´, sloupcove´ pouze s maticı´ nerozsˇ´ırˇenou. Po ˇra´dkove´ operaci vzˇdy na´sleduje odpovı´dajı´cı´ operace sloupcova´.
0 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 (A|E) = 2 2 1 0 1 0 ∼ 0 2 3 1 0 0 ∼ 2 0 3 1 0 0 ∼ 3 1 1 0 0 1 3 1 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1
2 2 ∼ 0 −2 1 3
1 2 1
2 0 0 ∼ 0 −2 −4 0 −4 2
0 1 1 −1 0 0
2 0 0 0 ∼ 0 −2 1 1 2
1 2 1
0 1 1 −1 0 0
2 0 1 0 0 ∼ 0 −2 2 1 0 −4 −1
0 1 0 1 −1 0 ∼ 0 1 −2
0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 0 1 −1 0 ∼ 0 −2 −4 1 −1 0 ∼ 0 −2 0 1 −1 0 . 0 0 10 −2 3 −2 0 0 10 −2 3 −2 0 1 −2
Kanonicky´ tvar formy Q tedy je Q(x) = 2(x1′ )2 − 2(x2′ )2 + 10(x3′ )2 , kde x = Px′ a
0 1 −2 P = 1 −1 3 . 0 0 −2
Rozepsa´nı´m vztahu x = Px′ do sourˇadnic pak dosta´va´me popis odpovı´dajı´cı´ transformace sourˇadnic x1 = x2′ − 2x3′
x2 = x1′ − x2′ + 3x3′
x3 = − 2x3′ .
Upozorneˇme na neˇkolik odlisˇnostı´ vy´sledku tohoto prˇ´ıkladu od prˇ´ıkladu 9.11. • Koeficienty 2, −2 a 10 nejsou charakteristicky´mi cˇ´ısly matice A. • Matice A nenı´ podobna´ matici D = diag(2, −2, 10). • Matice P nenı´ ortogona´lnı´. Je trˇeba si take´ uveˇdomit, zˇe vy´sledny´ kanonicky´ tvar bude za´visly´ na pouzˇity´ch rˇa´dkovy´ch a od nich odvozeny´ch sloupcovy´ch u´prava´ch. A ty lze volit mnoha zpu˚soby. Je tedy prˇirozene´ polozˇit si ota´zku, zda a prˇ´ıpadneˇ co budou mı´t dva kanonicke´ tvary jedne´ kvadraticke´ formy spolecˇne´. Odpoveˇd’na ni da´va´ na´sledujı´cı´ veˇta, kterou uva´dı´me bez du˚kazu. Mysˇlenka du˚kazu je ilustrova´na konkre´tnı´m prˇ´ıkladem, ktery´ je zarˇazen bezprostrˇedneˇ za veˇtou.
Kapitola 9
132
Veˇta 9.10 Kazˇde´ dva kanonicke´ tvary kvadraticke´ formy Q majı´ stejny´ pocˇet kladny´ch koeficientu˚, stejny´ pocˇet za´porny´ch koeficientu˚ a stejny´ pocˇet nulovy´ch koeficientu˚. Du˚kaz. Lze nale´zt naprˇ´ıklad v [6, str. 377]. Prˇ´ıklad 9.13 Ukazˇte, zˇe pro zˇa´dnou kvadratickou formu Q v R3 nemohou by´t Q(x) = 2x12 + 3x22 − x32
a Q(x) = 3(x1′ )2 − (x2′ )2 − 4(x3′ )2
jejı´ kanonicke´ tvary. Rˇesˇenı´. Prˇedpokla´dejme, zˇe pro jistou kvadratickou formu Q existujı´ v prostoru R3 takove´ dveˇ ba´ze B = (b1 , b2 , b3 ) a B ′ = (b′1 , b′2 , b′3 ), zˇe Q ma´ v ba´zi B kanonicky´ tvar Q(x) = 2x12 + 3x22 − x32 a v ba´zi B ′ kanonicky´ tvar Q(x) = 3(x1′ )2 − (x2′ )2 − 4(x3′ )2 . Zvolme takovy´ nenulovy´ vektor x, zˇe jeho sourˇadnice v ba´zi B budou x B = (α1 , α2 , 0)T a v ba´zi B ′ budou x B ′ = (0, β2 , β3 )T . Pak dostaneme Q(x) = 2α12 + 3α22 > 0 a soucˇasneˇ Q(x) = −β22 − 4β32 < 0, cozˇ evidentneˇ nenı´ mozˇne´. Pokud uka´zˇeme, zˇe vektor x s uvedeny´mi sourˇadnicemi opravdu existuje, dostaneme spor s pocˇa´tecˇnı´m prˇedpokladem a du˚kaz bude zavrsˇen. Na za´kladeˇ pozˇadovany´ch sourˇadnic hleda´me cˇ´ısla α1 , α2 , β2 , β3 tak, aby platilo
x = α1 b1 + α2 b2 = β2 b′2 + β3 b′3 , odkud plyne α1 b1 + α2 b2 − β2 b′2 − β3 b′3 = o. To je homogennı´ soustava rovnic pro 4 nezna´me´, jejı´zˇ matice je typu (3, 4) a tedy ma´ hodnost nejvy´sˇe 3. Z toho pomocı´ veˇty 3.5 na straneˇ 41 plyne, zˇe soustava ma´ asponˇ jednodimenziona´lnı´ rˇesˇenı´ a pozˇadovany´ nenulovy´ vektor x opravdu existuje. Tı´m je doka´za´no, zˇe Q nemu˚zˇe mı´t prˇedpokla´dane´ kanonicke´ tvary. Veˇta 9.10 zajisˇt’uje, zˇe na´sledujı´cı´ definice je korektnı´. Definice. Necht’ kvadraticka´ forma Q ma´ kanonicky´ tvar 2 2 Q(x) = q1 x12 + · · · + qr xr2 − qr+1 xr+1 − · · · − qr+s xr+s ,
kde qi > 0, i = 1, . . . , r + s. Pak usporˇa´danou dvojici (r, s) nazy´va´me signaturou kvadraticke´ formy Q a znacˇ´ıme sig Q = (r, s). Signatura tedy v sobeˇ obsahuje informaci o pocˇtu kladny´ch a o pocˇtu za´porny´ch koeficientu˚ v ktere´mkoliv kanonicke´m tvaru kvadraticke´ formy. Pomocı´ nı´ se velmi snadno rozpozna´ typ te´to formy. Veˇta 9.11 Necht’ Q je kvadraticka´ forma v Rn a necht’ sig Q = (r, s). Pak platı´ (a) Q je pozitivneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, je-li r = n. (b) Q je pozitivneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, je-li s = 0.
9.5. SVD rozklad
133
(c) Q je negativneˇ definitnı´ pra´veˇ tehdy, je-li s = n. (d) Q je negativneˇ semidefinitnı´ pra´veˇ tehdy, je-li r = 0. (e) Q je indefinitnı´ pra´veˇ tehdy, je-li r > 0 a s > 0. Du˚kaz. Mysˇlenka je stejna´ pro vsˇech peˇt tvrzenı´, stacˇ´ı tedy, kdyzˇ doka´zˇeme pouze tvrzenı´ (a). Prˇedpokla´dejme, zˇe forma Q ma´ kanonicky´ tvar Q(x) = q1 x12 + · · · + qn xn2 a zˇe jejı´ signatura je sig Q = (r, s). Je-li nejdrˇ´ıve r = n, pak s = 0 a Q(x) > 0 pro kazˇdy´ nenulovy´ vektor x ∈ Rn ; Q je tudı´zˇ pozitivneˇ definitnı´. Obra´cene´ tvrzenı´ doka´zˇeme sporem. Prˇedpokla´dejme, zˇe Q je pozitivneˇ definitnı´ kvadraticka´ forma, pro nı´zˇ r < n. To znamena´, zˇe qi ≤ 0 asponˇ pro jedno i. Bez u´jmy na obecnosti mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe i = 1, tedy q1 ≤ 0. Pak ale bude Q(e1 ) ≤ 0, cozˇ je spor s prˇedpokladem pozitivnı´ definitnosti a cele´ tvrzenı´ (a) je doka´za´no. △ Ve spojenı´ s prˇevodem na kanonicky´ tvar je tedy veˇta 9.11 relativneˇ jednoduchy´m na´strojem na zjisˇteˇnı´ typu kvadraticke´ formy. Prˇ´ıklad 9.14 Urcˇete, jake´ho typu je kvadraticka´ forma Q(x) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 8x2 x3 . Rˇesˇenı´. Kvadratickou formu Q prˇevedeme na kanonicky´ tvar a z neˇj urcˇ´ıme signaturu sig Q. Pak pouzˇijeme veˇtu 9.11. Protozˇe pro rozhodnutı´ nebudeme potrˇebovat popis pouzˇite´ transformace sourˇadnic, stacˇ´ı pracovat s nerozsˇ´ırˇenou maticı´ formy Q. 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A = 1 2 4 ∼ 0 1 2 ∼ 0 1 2 ∼ 0 1 2 ∼ 0 1 0 . 2 4 3 0 2 −1 0 2 −1 0 0 −5 0 0 −5
Z poslednı´ matice vidı´me, zˇe sig Q = (2, 1), takzˇe Q je indefinitnı´.
Neˇktera´ vyuzˇitı´ kvadraticky´ch forem budou uka´za´na v na´sledujı´cı´ kapitole.
9.5 SVD rozklad Ortogona´lnı´ matice jsou vzhledem ke sve´ snadne´ invertovatelnosti idea´lnı´m na´strojem maticove´ho pocˇtu. Vsˇimneˇme si naprˇ´ıklad, jak snadno se vypocˇte inverznı´ matice k regula´rnı´ symetricke´ matici A na za´kladeˇ rozkladu, vyply´vajı´cı´ho z ortogona´lnı´ podobnosti matice A diagona´lnı´ matici D (veˇta 9.6):
A = PDPT ,
(9.12)
kde P je ortogona´lnı´ a D = diag(d1 , . . . , dn ). Pro A−1 odtud po u´prava´ch zalozˇeny´ch na dvojna´sobne´m pouzˇitı´ veˇt 1.12 a 9.1 (b), (d) dosta´va´me
A−1 = PDPT
−1
= (PT )−1 D−1 P−1 = PD−1 PT .
Kapitola 9
134
Prˇitom D−1 = diag(1/d1 , . . . , 1/dn ) (viz cvicˇenı´ 1.3), takzˇe k inverzi postacˇ´ı dveˇ maticova´ na´sobenı´ a n cˇ´ıselny´ch deˇlenı´. Ve srovna´nı´ s metodou zalozˇenou na Gaussoveˇ–Jordanoveˇ eliminaci to sice nenı´ zˇa´dna´ u´spora pocˇtu pouzˇity´ch aritmeticky´ch operacı´, jde vsˇak o metodu, ktera´ je algoritmicky vy´razneˇ jednodusˇsˇ´ı a hlavneˇ numericky stabilneˇjsˇ´ı. V tomto oddı´le uka´zˇeme, zˇe rozklad (9.12) lze zobecnit na libovolne´ rea´lne´ obde´lnı´kove´ matice a naznacˇ´ıme, jak jej lze efektivneˇ a spolehliveˇ spocˇ´ıtat. Podle anglicke´ho origina´lu Singular Value Decomposition se rozklad nazy´va´ SVD. Veˇta 9.12 (SVD rozklad) Necht’ A je rea´lna´ matice typu (m, n) s hodnostı´ r. Pak existujı´ ortogona´lnı´ matice U rˇa´du m, ortogona´lnı´ matice V rˇa´du n a matice S = (σij ) typu (m, n) tak, zˇe
A = U S VT ,
(9.13)
kde σ11 ≥ σ22 ≥ · · · ≥ σrr > 0 a ostatnı´ σij = 0.
(9.14)
Du˚kaz. Pro ortogona´lnı´ matice U a V je vztah (9.13) ekvivalentnı´ rovnosti AV = US. Budou-li u1 , . . . , um sloupce matice U a v1 , . . . , vn sloupce matice V, lze za prˇedpokladu (9.14) tuto rovnost da´le rozepsat na
A vi = σi ui , i = 1, . . . , r,
A v i = o,
i = r + 1, . . . , n.
(9.15) (9.16)
Uka´zˇeme nynı´, jak pro danou matici A nale´zt cˇ´ısla σ1 , . . . , σr , ortogona´lnı´ vektory u1 , . . . , um a v1 , . . . , vn tak, aby platilo (9.15) a (9.16). Prˇedpokla´dejme, zˇe m ≤ n (v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ prˇejdeme k matici AT ). Doplnˇme matici A celkem n − m nulovy´mi ˇra´dky na cˇtvercovou matici b A n-te´ho rˇa´du tak, zˇe nulove´ rˇa´dky jsou na poslednı´ch n − m mı´stech a polozˇme b ATb A = B = (bij ). Protozˇe matice A ab A majı´ evidentneˇ stejnou hodnost, je podle veˇty 3.6 h(B) = h(b ATb A) = h(b A) = h(A) = r.
Matice B je da´le symetricka´ ( B = BT ) a na za´kladeˇ prˇ´ıkladu 9.5 je pozitivneˇ semidefinitnı´. Protozˇe bij =
n X k=1
b akib akj =
m X
aki akj ,
k=1
je take´ B = ATA. Oznacˇme λ1 , . . . , λn charakteristicka´ cˇ´ısla matice B. Ta jsou podle veˇty 9.7 neza´porna´. Usporˇa´dejme je podle velikosti; pak prvnı´ch r je ru˚zny´ch od nuly, nebot’ pocˇet nenulovy´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel rea´lne´ symetricke´ matice je roven jejı´ hodnosti (viz cvicˇenı´ 9.12). Polozˇme √ σi = λi , i = 1, 2, . . . , n. Je tedy σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > 0, σr+1 = · · · = σn = 0. K matici B existuje podle veˇty 9.6 ortogona´lnı´ matice V tak, zˇe matice VTBV je diagona´lnı´, prˇicˇemzˇ sloupce matice V jsou charakteristicke´ vektory matice B odpovı´dajı´cı´ po ˇradeˇ charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m λ1 , . . . , λn . Z definice charakteristicky´ch vektoru˚ plynou pro i = r + 1, . . . , n vztahy
ATA vi = o,
(9.17)
9.5. SVD rozklad
135
odkud vyna´sobenı´m vektorem vTi dosta´va´me 0 = vTi ATA vi = (A vi , A vi ) = ||A vi ||2 . Odtud podle vlastnosti (4) veˇty 2.8 plyne, zˇe A vi = o pro i = r + 1, . . . , n a tedy platı´ (9.16). Pro i = 1, . . . , r definujme 1 ui = A v i . σi Vektory u1 , . . . ur tak budou splnˇovat (9.15) a zby´va´ uka´zat, zˇe takto definovane´ vektory tvorˇ´ı ortonorma´lnı´ mnozˇinu. To vyply´va´ z rovnostı´ 1 pro i = j σj 1 1 1 T 2 A vi , A vj = vi , A A vj = vi , σj vj = vi , vj = (u i , u j ) = σi σj σi σj σi σj σi 0 pro i 6 = j a z ortonorma´lnosti vektoru˚ v1 , . . . vn . Vektory u1 , . . . ur lze podle veˇt 2.2 a 2.11 doplnit vektory ur+1 , . . . , um na ortonorma´lnı´ ba´zi Rm . Matice U pak bude mı´t sloupce tvorˇene´ vektory u1 , . . . , um a du˚kaz je hotov. △ Popsany´ du˚kaz veˇty o singula´rnı´m rozkladu je vlastneˇ i na´vodem, jak matice U, V a S vypocˇ´ıst. Nenulove´ prvky matice S se nazy´vajı´ singula´rnı´ cˇ´ısla a dostaneme je jako charakteristicka´ cˇ´ısla matice ATA. Matice U a V jsou odvozeny z charakteristicky´ch vektoru˚ matice ATA. Protozˇe zna´me´ numericke´ algoritmy na vy´pocˇet charakteristicky´ch cˇ´ısel a vektoru˚ nevynikajı´ numerickou stabilitou, nelze uvedeny´ postup doporucˇit a beˇzˇneˇ pouzˇ´ıvane´ numericke´ algoritmy vy´pocˇtu SVD na neˇm take´ zalozˇeny nejsou. Acˇkoliv existence singula´rnı´ho rozkladu je zna´ma jizˇ od minule´ho stoletı´, byl spolehliveˇ fungujı´cı´ algoritmus jeho vy´pocˇtu popsa´n teprve neda´vno. Jeho odvozenı´ nenı´ elementa´rnı´ a lze je nale´zt naprˇ. v [7]. Vy´pocˇet se prova´dı´ ve dvou fa´zı´ch. V prvnı´ fa´zi se matice A postupny´m na´sobenı´m vhodny´mi ortogona´lnı´mi maticemi prˇevede do bidiagona´lnı´ho tvaru (pouze hlavnı´ diagona´la a diagona´la „nad“ nı´ jsou nenulove´). Vyuzˇ´ıvajı´ se prˇi tom matice zrcadlenı´ podle prˇ´ıkladu 9.2. Druha´ fa´ze je na rozdı´l od prvnı´ fa´ze iteracˇnı´. Sestrojı´ se v nı´ posloupnost bidiagona´lnı´ch matic Bk konvergujı´cı´ k diagona´lnı´ matici D se singula´rnı´mi cˇ´ısly na diagona´le. Matice Bk+1 se z Bk vypocˇte opeˇt vyna´sobenı´m ortogona´lnı´mi maticemi zprava a zleva Bk+1 = RTk Bk Rk . Matice Rk jsou tentokra´t odvozene´ z matice otocˇenı´ R v prˇ´ıkladu 9.1. Cely´ algoritmus vyuzˇ´ıva´ tedy pouze na´sobenı´ ortogona´lnı´mi maticemi, cozˇ minimalizuje jeho citlivost na zaokrouhlovacı´ chyby. Matice U a V vycha´zejı´ jako soucˇin ortogona´lnı´ch matic a ke kumulaci chyb v nich nedocha´zı´. Rovneˇzˇ se lze spolehnout na prˇesnost teˇch singula´rnı´ch cˇ´ısel, jejichzˇ velikost je ˇra´doveˇ veˇtsˇ´ı nezˇ tzv. hodnota strojove´ho epsilon ǫ = 101−d , (9.18) kde d je pocˇet cˇ´ıslic pouzˇ´ıvane´ mantisy (prˇedpokla´da´ se vy´pocˇet v desı´tkove´ soustaveˇ). Soucˇasneˇ je te´meˇrˇ jiste´, zˇe singula´rnı´ cˇ´ısla s velikostı´ ˇra´doveˇ ǫ nebo mensˇ´ı jsou zatı´zˇena velkou relativnı´ chybou – nasˇteˇstı´ ve veˇtsˇineˇ aplikacı´ lze tuto nevy´hodu obejı´t vhodneˇ volenou strategiı´ pouzˇitı´ SVD. Jako prˇ´ıklad uka´zˇeme postup pro rˇesˇenı´ soustavy Ax = b (9.19)
Kapitola 9
136
se cˇtvercovou maticı´ A rˇa´du n. Je-li A = UDVT singula´rnı´ rozklad matice A, pak (9.19) prˇecha´zı´ na
UDVT x = b, kde U a V jsou ortogona´lnı´ matice ( U−1 = UT , V−1 = VT ) a D = diag(σ1 , . . . , σn ). Vyna´sobenı´m maticı´ UT zleva dosta´va´me DVT x = UT b. Polozˇ´ıme-li UT b = c a VT x = y, prˇejde soustava na tvar
Dy = c.
(9.20)
Tato soustava ma´ diagona´lnı´ matici, cozˇ umozˇnˇuje jejı´ snadne´ vyrˇesˇenı´. Pokud je matice A regula´rnı´, je i D regula´rnı´ a vsˇechna singula´rnı´ cˇ´ısla jsou tudı´zˇ nenulova´. Pak
y = D−1 c. V rozepsane´ formeˇ to je
ci , i = 1, . . . , n. (9.21) σi Je-li matice A singula´rnı´ a jejı´ hodnost je m < n, pak σm+1 = · · · = σn = 0. Soustava (9.20) bude mı´t rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ cm+1 = · · · = cn = 0, cozˇ je ekvivalentnı´ pozˇadavku, aby vektor b byl linea´rnı´ kombinacı´ prvnı´ch m sloupcu˚ matice U (tj. aby patrˇil do linea´rnı´ho obalu hu1 , . . . , um i ). Potom bude ci yi libovolne´ pro i = m + 1, . . . , n. yi = , i = 1, . . . , m, σi Rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ rovnice (9.19) se vypocˇte ze vztahu yi =
x = Vy. Pro regula´rnı´ matici A tedy je
x = VD−1 UT b
(9.22)
Zmı´nku zaslouzˇ´ı specia´lnı´ prˇ´ıpad, kdy b = o. Pak i c = o a pro regula´rnı´ matici A ma´ soustava samozrˇejmeˇ pouze trivia´lnı´ rˇesˇenı´ x = o. Je-li vsˇak h(A) = m < n, vyjde y1 = · · · = ym = 0 a zby´vajı´cı´ hodnoty ym+1 , . . . yn mu˚zˇeme opeˇt volit libovolneˇ. Zvolı´me-li postupneˇ ym+1 = 1, ym+2 = 0, . . . , yn = 0, ym+1 = 0, ym+2 = 1, . . . , yn = 0, .. . ym+1 = 0, ym+2 = 0, . . . , yn = 1, ma´me celkem n − m linea´rneˇ neza´visly´ch ˇresˇenı´ soustavy (9.20). Tvorˇ´ı je vlastneˇ vektory em+1 , . . . en standardnı´ ba´ze. Jim odpovı´dajı´ ˇresˇenı´ (opeˇt linea´rneˇ neza´visla´)
xi = Vei ,
i = m + 1, . . . , n
soustavy (9.19). Je snadne´ si uveˇdomit, zˇe to jsou (m + 1)-nı´ azˇ n-ty´ sloupec matice V. Mu˚zˇeme tedy shrnout:
9.5. SVD rozklad
137
Veˇta 9.13 Je-li A rea´lna´ cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du, jejı´zˇ singula´rnı´ rozklad je
A = UDVT ,
kde D = diag(σ1 , . . . , σm , 0, . . . , 0), σm 6 = 0, pak h(A) = m, ba´zi nulove´ho prostoru N(A) matice A tvorˇ´ı poslednı´ch n − m sloupcu˚ matice V a ba´zi sloupcove´ho prostoru S(A) matice A tvorˇ´ı prvnı´ch m sloupcu˚ matice U. Singula´rnı´ rozklad tedy znacˇneˇ zjednodusˇuje postup ˇresˇenı´ soustavy (9.19) jak v prˇ´ıpadeˇ regula´rnı´ matice A (nenı´ trˇeba zˇa´dne´ eliminace ani inverze matice, stacˇ´ı dveˇ maticova´ na´sobenı´ a n deˇlenı´), tak i v prˇ´ıpadeˇ singula´rnı´ matice. To vsˇak nenı´ nejpodstatneˇjsˇ´ı prˇ´ınos SVD. Ten se projevı´ v situacı´ch, kdy matice A je sice regula´rnı´, avsˇak v pocˇ´ıtacˇi je obtı´zˇneˇ odlisˇitelna´ od matice singula´rnı´ – neˇktera´ singula´rnı´ cˇ´ısla jsou velice blı´zko nuly. Jizˇ bylo zdu˚razneˇno, zˇe v nich je soustrˇedeˇna veˇtsˇina chyb, ktere´ v pru˚beˇhu rozkladu vznikly. Singula´rnı´ rozklad nejen umozˇnı´ rozpoznat a kvantifikovat sˇpatnou podmı´neˇnost matice, ale take´ nabı´zı´ mozˇnost prˇechodu ke spolehliveˇ ˇresˇitelne´ soustaveˇ, jejı´zˇ ˇresˇenı´ ma´ prˇedem determinovane´ vlastnosti; toto rˇesˇenı´ se vsˇak mu˚zˇe neˇkdy lisˇit od ˇresˇenı´ „ocˇeka´vane´ho“. Ja´drem cele´ho postupu je pojem pseudoinverznı´ matice. Definice. Necht’ A je rea´lna´ matice typu (m, n) a hodnosti k, jejı´zˇ singula´rnı´ rozklad je
A=U
D O O O
VT ,
kde D je diagona´lnı´ matice rˇa´du k a U a V jsou ortogona´lnı´ matice. Pak matici
A+ = V
D−1 O O O
UT
(9.23)
typu (n, m) nazy´va´me pseudoinverznı´ maticı´ k A. Pro spra´vne´ pochopenı´ definice pseudoinverznı´ matice je trˇeba si uveˇdomit, zˇe u obde´lnı´kove´ matice A bude kazˇda´ z sˇesti nulovy´ch matic zde vystupujı´cı´ch take´ obde´lnı´kova´ a budou v obecne´m prˇ´ıpadeˇ vsˇechny odlisˇny´ch typu˚. Jejich typ je jednoznacˇneˇ urcˇen existencı´ prˇ´ıslusˇny´ch maticovy´ch soucˇinu˚ (viz na´sledujı´cı´ obra´zek). V matici D jsou soustrˇedeˇna vsˇechna nenulova´ singula´rnı´ cˇ´ısla. Ihned je videˇt, zˇe pro regula´rnı´ matici A vycha´zı´ AA+ = A+A = E, takzˇe A+ = A−1 . Pseudoinverznı´ matice je tedy zobecneˇnı´m pojmu inverznı´ matice. Neˇkdy se te´zˇ nazy´va´ Mooreova–Penroseova zobecneˇna´ inverznı´ matice. Prˇ´ıklad 9.15 Vypocˇteˇte pseudoinverznı´ matici k matici
2.8 0.4 A = 3.8 −1.6 2.0 −4.0 a vyna´sobte AA+ a A+A.
Kapitola 9
138
=
A (m,n)
U (m,m)
D
O
(k,k)
(k,n−k)
O
O
D−1 (k,k)
A+ (n,m)
=
VT
(n,n)
O
V (n,n) O
O
UT
(m,m)
(k,n−k)
Obr. 9.1 Pseudoinverznı´ matice A+ k matici A. Rˇesˇenı´. Vy´pocˇtem singula´rnı´ho rozkladu matice A dostaneme 4 3 1 2 2 6 0 1 5 5 . A = 2 1 −2 0 3 3 3 4 2 −2 1 0 0 − 5 5 Podle (9.23) pak je 1 0 0 ! 1 2 2 1 4 −3 6 2 1 −2 = 1 16 14 −4 . A+ = 4 15 3 90 13 2 −22 0 13 0 2 −2 1
Vyna´sobenı´m vycha´zı´
1 AA+ = 9
5 4 −2
4 −2 5 2 , 2 8
A+A =
1 0 0 1
.
Vzhledem k poslednı´mu vy´sledku bychom mohli matici A+ v tomto prˇ´ıpadeˇ nazvat levou inverznı´ maticı´ k A. Prˇ´ıbuznost vztahu˚ (9.22) a (9.23) navozuje ota´zku, zda a prˇ´ıpadneˇ kdy lze pseudoinverznı´ matice vyzˇ´ıt prˇi rˇesˇenı´ soustavy Ax = b. (9.24)
Tak jako u soustavy s regula´rnı´ maticı´ A je vektor xo = A−1 b jejı´m ˇresˇenı´m, lze ocˇeka´vat, zˇe za jisty´ch prˇedpokladu˚ mu˚zˇe by´t vektor x+ = A+ b ˇresˇenı´m soustavy (9.24) i pro jine´ typy matic. Uka´zˇeme, zˇe tomu opravdu tak je. V dalsˇ´ı kapitole pak uka´zˇeme, zˇe pokud soustava (9.24) zˇa´dne´ rˇesˇenı´ nema´, je vektor x+ rˇesˇenı´ „nejblı´zˇe“.
9.5. SVD rozklad
139
Veˇta 9.14 Necht’ A je rea´lna´ matice typu (m, n), necht’ A+ je pseudoinverznı´ matice k A a necht’ b je takovy´ vektor z Rm , pro neˇjzˇ existuje rˇesˇenı´ soustavy Ax = b. Pak vektor x+ = A+ b je rˇesˇenı´m soustavy Ax = b. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe hodnost matice A je rovna k. Podle veˇty 9.12 existuje singula´rnı´ rozklad matice A ve tvaru D O T A = USV , kde S = a D = diag(σ1 , . . . , σk ), σk 6 = 0. O O +
Oznacˇme S =
D−1 O , takzˇe A+ = VS+ UT . Pak bude O O
E O Ax = USV VS U b = U U T b. O O +
T
+
T
Oznacˇme da´le u1 , . . . , um sloupce matice U. Z prˇedpokladu ˇresˇitelnosti soustavy Ax = b vyply´va´, zˇe vektor b patrˇ´ı do sloupcove´ho prostoru matice A, takzˇe je podle veˇty 9.13 je linea´rnı´ kombinacı´ prvnı´ch k sloupcu˚ matice U : b = α1 u1 + · · · + αk uk . Z toho a z ortogona´lnosti matice U plyne, zˇe vektor b je ortogona´lnı´ ke sloupcu˚m uk+1 , . . . , um , takzˇe
UT b = (α1 , . . . , αk , 0, . . . , 0)T . Da´le je
E O U O O odkud
U
= (u1 , . . . , uk , o, . . . , o),
E O U T b = α1 u 1 + · · · + αk u k = b . O O
To znamena´, zˇe vektor x+ je ˇresˇenı´m soustavy Ax = b.
△
Dodejme, zˇe pokud ma´ soustava Ax = b vı´ce ˇresˇenı´, je vektor x+ = A+ b pouze jednı´m z nich. Je-li take´ vektor x1 rˇesˇenı´m te´to soustavy, pak pro vektor x0 = x1 − x+ platı´
Ax0 = A(x1 − x+ ) = Ax1 − Ax+ = b − b = o. Je tedy x1 = x+ + x0 , kde x0 je ˇresˇenı´m homogennı´ soustavy Ax = o. Podle veˇty 9.13 je kazˇde´ rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy rovno linea´rnı´ kombinaci poslednı´ch n − k sloupcu˚ matice V. Vsˇechna rˇesˇenı´ soustavy Ax = b majı´ za prˇedpokladu˚ prˇedchozı´ veˇty tedy tvar
x = A+ b + αk+1 vk+1 + · · · + αn vn , kde αk+1 , . . . , αn jsou libovolna´ rea´lna´ cˇ´ısla. Singula´rnı´ rozklad je tak mozˇno povazˇovat za univerza´lnı´ metodu rˇesˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic. Vzhledem ke sve´ numericke´ stabiliteˇ dosta´va´ v soucˇasne´ dobeˇ prˇednost prˇed vsˇemi ostatnı´mi metodami.
Kapitola 9
140
9.6 Cvicˇenı´ 9.1 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ o ortogona´lnı´ch maticı´ch jsou pravdiva´. a) Je-li matice A ortogona´lnı´, je i AT ortogona´lnı´. b) Je-li matice A ortogona´lnı´, je i A−1 ortogona´lnı´. c) Kazˇda´ ortogona´lnı´ matice je regula´rnı´. 9.2 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ o rea´lny´ch symetricky´ch maticı´ch jsou pravdiva´. a) Soucˇin dvou symetricky´ch matic je symetricka´ matice. b) Vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla symetricke´ matice jsou rea´lna´. c) Vsˇechna charakteristicka´ cˇ´ısla symetricke´ matice jsou jednona´sobna´. d) Kazˇda´ symetricka´ matice je podobna´ neˇjake´ diagona´lnı´ matici. e) Vsˇechny rˇeteˇzce zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ symetricke´ matice majı´ de´lku jedna. f) Pro kazˇdou symetrickou matici A n-te´ho ˇra´du existuje n linea´rneˇ neza´visly´ch charakteristicky´ch vektoru˚. g) Charakteristicke´ vektory symetricke´ matice, odpovı´dajı´cı´ ru˚zny´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m, jsou vzˇdy ortogona´lnı´. h) Kazˇda´ symetricka´ matice n-te´ho ˇra´du ma´ n ortogona´lnı´ch charakteristicky´ch vektoru˚. i) Matice podobna´ symetricke´ matici je take´ symetricka´. 9.3 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ o pozitivneˇ definitnı´ch maticı´ch jsou pravdiva´. a) Pozitivneˇ definitnı´ matice je regula´rnı´. b) Pozitivneˇ semidefinitnı´ matice je singula´rnı´. c) Pozitivneˇ semidefinitnı´ matice nema´ zˇa´dna´ za´porna´ charakteristicka´ cˇ´ısla. d) Pozitivneˇ definitnı´ matice ma´ kladny´ determinant. e) Vsˇechny prvky pozitivneˇ definitnı´ matice jsou neza´porne´. 9.4 Ukazˇte, zˇe kazˇda´ ortogona´lnı´ matice druhe´ho ˇra´du ma´ tvar cos α − sin α cos α sin α nebo sin α cos α sin α − cos α pro jiste´ α ∈ h0, 2π ). 9.5 Ukazˇte, zˇe pro kazˇdou symetrickou ortogona´lnı´ matici Q platı´ Q2 = E. 9.6 Dokazˇte, zˇe matice A = 2P − E je ortogona´lnı´ pro kazˇdou symetrickou matici P, pro nı´zˇ P 2 = P. 9.7 Rozlozˇte matici
1 4 7 A= 0 1 −2 −2 −3 6
na soucˇin A = QR , kde Q je ortogona´lnı´ cˇtvercova´ matice a R hornı´ troju´helnı´kova´.
9.6. Cvicˇenı´
141
9.8 Dokazˇte, zˇe pro kazˇde´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ ortogona´lnı´ matice je |λ| = 1. 9.9 Dokazˇte, zˇe symetricka´ ortogona´lnı´ matice nema´ jina´ charakteristicka´ cˇ´ısla nezˇ ±1. 9.10 Ukazˇte, zˇe pro kazˇdou ortogona´lnı´ matici Q platı´ | det Q| = 1. 9.11 Urcˇete ortogona´lnı´ matici P a diagona´lnı´ matici D tak, aby pro matici 2 0 −4 −2 1 −3 1 1 0 2 2 4 −3 1 1 1 a) A = b) A = −4 2 2 0 1 1 1 −3 −2 4 0 2 1 1 −3 1
platilo A = PDPT . Charakteristicky´ polynom matice A je a) p(λ) = λ(λ − 4)(λ + 4)(λ − 8), b) p(λ) = λ(λ + 4)(λ − 4)2 .
9.12 Dokazˇte, zˇe hodnost symetricke´ matice je rovna pocˇtu jejı´ch nenulovy´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel. Ukazˇte, zˇe tvrzenı´ neplatı´ pro nesymetricke´ matice. 9.13 Dokazˇte, zˇe majı´-li dveˇ symetricke´ matice stejne´ charakteristicke´ polynomy, jsou si podobne´. 9.14 Dokazˇte, zˇe pokud pro symetrickou matici A existuje matice f (A), pak je take´ symetricka´. 9.15 Vypocˇteˇte vsˇechna α ∈ R, pro neˇzˇ budou pozitivneˇ definitnı´ na´sledujı´cı´ matice 5 2 −1 2 α 1 1 α 5 a) A = 2 1 −1 b) A = α 1 0 c) A = α 4 3 . −1 −1 α 1 0 3 5 3 1 9.16 Dokazˇte, zˇe pokud pro rea´lnou symetrickou matici A = (aij ) n-te´ho ˇra´du platı´ aii >
n X j =1 j 6 =i
|aij |,
i = 1, . . . , n,
pak je pozitivneˇ definitnı´. 9.17 Dokazˇte, zˇe soucˇet pozitivneˇ definitnı´ch matic je opeˇt pozitivneˇ definitnı´ matice. 9.18 Ukazˇte, zˇe pozitivneˇ definitnı´ matice je regula´rnı´ a matice k nı´ inverznı´ je te´zˇ pozitivneˇ definitnı´. 9.19 Ukazˇte, zˇe pro kazˇdou pozitivneˇ definitnı´ matici A a kazˇde´ α > 0 je matice α A take´ pozitivneˇ definitnı´. 9.20 Dokazˇte, zˇe pro kazˇdou pozitivneˇ definitnı´ matici A = (aij ) jsou aii > 0. 9.21 Dokazˇte, zˇe pro kazˇdou rea´lnou symetrickou matici A je matice B = A2 + 2A + 5E pozitivneˇ definitnı´. 9.22 Dokazˇte, zˇe pro kazˇdou rea´lnou symetrickou matici A je eA pozitivneˇ definitnı´. 9.23 Odu˚vodneˇte, zˇe pro kazˇdou pozitivneˇ definitnı´ matici A a kazˇdou regula´rnı´ matici P je matice PTAP rovneˇzˇ pozitivneˇ definitnı´.
Kapitola 9
142
9.24 Ukazˇte, zˇe ke kazˇde´ pozitivneˇ definitnı´ matici A existuje pozitivneˇ definitnı´ matice B tak, zˇe B2 = A. 9.25 Urcˇete pocˇet kladny´ch, za´porny´ch a imagina´rnı´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel matice 0 2 − 21 A= 2 0 − 21 . 1 1 0 −2 −2 Na´vod: vyuzˇijte signaturu kvadraticke´ formy urcˇene´ maticı´ A.
9.26 Prˇeved’te dane´ kvadraticke´ formy na kanonicky´ tvar, popisˇte potrˇebnou transformaci sourˇadnic a urcˇete typ kvadraticke´ formy. a) Q(x) = 2x12 + 9x22 + 9x32 − 8x1 x2 + 4x1 x3 − 4x2 x3 b) Q(x) = 2x1 x2 − x2 x3 9.27 Urcˇete vsˇechna rea´lna´ a, pro neˇzˇ jsou kvadraticke´ formy Q1 (x) = x12 + x22 + x32 + ax1 x2
Q2 (x) = x12 + x22 + x32 + 2ax2 x3 stejne´ho typu. Tento typ specifikujte. 9.28 Na za´kladeˇ du˚kazu veˇty 9.12 vypocˇteˇte singula´rnı´ rozklad matice 1 2 0 A= . 2 0 2 9.29 Ukazˇte, zˇe pseudoinverznı´ matice A+ k matici A ma´ na´sledujı´cı´ vlastnosti: a) AA+A = A,
b) A+AA+ = A+ ,
c) (AA+ )T = AA+ ,
d) (A+A)T = A+A.
9.30 Dokazˇte, zˇe pokud A+ je pseudoinverznı´ matice k A, pak A je pseudoinverznı´ matice k A+ . 9.31 Dokazˇte, zˇe pokud ma´ matice A (ne nutneˇ cˇtvercova´) linea´rneˇ neza´visle´ sloupce, pak matice ATA je regula´rnı´ a A+ = (ATA)−1AT . 9.32 Ukazˇte, zˇe pro kazˇdou cˇtvercovou matici A existujı´ ortogona´lnı´ matice U a pozitivneˇ semidefinitnı´ matice P tak, zˇe A = UP. 9.33 Dokazˇte, zˇe pseudoinverznı´ matice k matici A s ortonorma´lnı´mi sloupci (ne nutneˇ cˇtvercove´) je matice AT . 9.34 Dokazˇte, zˇe singula´rnı´ cˇ´ısla rea´lne´ symetricke´ matice A jsou rovna absolutnı´m hodnota´m charakteristicky´ch cˇ´ısel matice A.
9.7. Rˇesˇenı´
143
ˇ esˇenı´ 9.7 R 9.1 Vsˇechna. 9.2 Pravdiva´ tvrzenı´: b), d), e), f), g), h). 9.3 Pravdiva´ tvrzenı´: a), c), d). 9.4 Je-li A = (aij ) ortogona´lnı´ matice 2. ˇra´du, pak pro jejı´ prvky musı´ platit: 2 2 = 1, + a21 a11
2 2 =1 a + a22 a12
a11 a12 + a21 a22 = 0.
Existujı´ tedy α a β ∈ h0, 2π ) tak, zˇe a11 = cos α, a21 = sin α, a12 = cos β, a22 = sin β. Dosazenı´m do poslednı´ rovnice pak vyjde bud’ β = α + π/2 nebo β = α + 3π/2, odkud oba tvary vy´sledku plynou. 9.5 Q2 = QT Q = E. 9.6 Vypocˇteˇte QT Q. 1 9.7 Q =
√ 5
√2 6
0
√1 6
− √25
√1 6
√2 30
− √530 , √1 30
√
R=
√ √ 5 2 5 − 5 √ √ 0 6 3 6 . √ 0 0 30
9.8 Pro charakteristicke´ cˇ´ıslo λ a jemu prˇ´ıslusˇny´ charakteristicky´ vektor v upravte skala´rnı´ soucˇin (λv, λv). 9.9 Vyuzˇijte tvrzenı´ prˇedcha´zejı´cı´ u´lohy a rea´lnosti charakteristicky´ch cˇ´ısel symetricke´ matice. 9.10 Vyuzˇijte vztahu 0 0 9.11 a) D = 0 0
det Q = det QT . 0 0 0 4 0 0 , 0 −4 0 0 0 8
1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 ; P= 1 −1 1 1 2 −1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 . P= 1 −1 2 1 −1 1 −1 −1 1 0 1 tvrzenı´ neplatı´. 9.12 Vyuzˇijte veˇt 9.6 a 3.3. Pro matici A = 0 0 0 0 0 −4 b) D = 0 0 0 0
0 0 4 0
0 0 , 0 4
9.13 Vyuzˇijte podobnosti symetricke´ matice matici diagona´lnı´. 9.14 Rozlozˇte matici A na za´kladeˇ veˇty 9.6, vyja´drˇete odtud f (A), vypocˇteˇte f (A)T a porovnejte s f (A). q 9.15 a) α > 2, b) |α| < 53 , c) zˇa´dne´. P 9.16 Pouzˇijte definice a ukazˇte, zˇe pro x 6 = o je aij xi xj > 0.
Kapitola 9
144 9.17 (α Ax, x) = α(Ax, x). 9.18 Vyuzˇijte vlastnostı´ charakteristicky´ch cˇ´ısel pozitivneˇ definitnı´ch matic. 9.19 (A + B)x, x = (Ax, x) + (Bx, x).
9.20 Uvazˇte kvadratickou formu Q urcˇenou maticı´ A a ukazˇte, zˇe aii je hodnota, kterou Q prˇirˇazuje i -te´mu vektoru standardnı´ ba´ze. 9.21 Vypocˇteˇte vztah mezi charakteristicky´mi cˇ´ısly matic A a B pouzˇijte veˇtu 9.7. 9.22 Vysˇetrˇete charakteristicka´ cˇ´ısla matice eA a pouzˇijte veˇty 9.7. 9.23 (PT APx, x) = (APx, Px) = (Ay, y) > 0 pro x 6 = o.
9.24 Vyuzˇijte rozkladu A = PDPT = PD21 PT = PD1 PT PD1 PT = B2 .
9.25 Jedno kladne´, dveˇ za´porna´, zˇa´dne´ imagina´rnı´.
9.26 a) 2y12 + y22 + 3y32 , kde y1 = x1 − 2x2 + x3 , y2 = x2 + 2x3 , y3 = x3 – pozitivneˇ definitnı´. b) 2y12 − 2y22 , kde y1 = 14 (2x1 + 2x2 − x3 ), y2 = 14 (2x1 − 2x2 − x3 ), y3 = x3 – indefinitnı´. 9.27 Pozitivneˇ definitnı´ pro |a| < 1, indefinitnı´ pro |a| > 2. 1 9.28 U = √ 5
1 2 , 2 −1
S=
9.29 Pouzˇijte vztah (9.23). 9.30 Vypocˇteˇte matici A+ 9.31 Pouzˇijte vztah (9.23).
+
3 0 0 0 2 0
,
√ 5 0 −2√5 1 V= √ 2 6 √5 3 5 4 −3 2 5
.
9.32 Vyuzˇijte singula´rnı´ho rozkladu A = U1 SV1T a polozˇte P = V1 SV1T a U = U1 V1T . 9.33 Vyuzˇijte vy´sledku cvicˇenı´ 9.31. 9.34 Vypocˇteˇte vztah mezi vlastnı´mi cˇ´ısly matice A a matice B = ATA z du˚kazu veˇty 9.12.
Kapitola 10
Dodatky a aplikace
10.1 Soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic Matice jsou idea´lnı´m na´strojem pro ˇresˇenı´ soustav linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic s konstantnı´mi koeficienty. Takova´ soustava ma´ tvar x1′ (t) = a11 x1 (t) + a12 x2 (t) + · · · + a1n xn (t)
x2′ (t) = a21 x1 (t) + a22 x2 (t) + · · · + a2n xn (t) .. .
xn′ (t) = an1 x1 (t) + an2 x2 (t) + · · · + ann xn (t), kde a11 , . . . , ann jsou dana´ rea´lna´ cˇ´ısla, x1 (t), . . . , xn (t) jsou hledane´ rea´lne´ diferencovatelne´ funkce rea´lne´ promeˇnne´ t, jejichzˇ derivace jsou x1′ (t), . . . , xn′ (t). Oznacˇ´ıme-li
A=
a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2
. . . a1n . . . a2n . .. . .. . . . ann
mu˚zˇeme soustavu psa´t te´zˇ ve tvaru
,
x=
x1 (t) x2 (t) .. . xn (t)
a
x′ =
x1′ (t) x2′ (t) .. . xn′ (t)
x′ = Ax.
(10.1)
Ukazˇme nejdrˇ´ıve, jak lze nale´zt ˇresˇenı´ soustavy (10.1), bude-li matice A podobna´ diagona´lnı´ matici D = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ). Pak platı´ A = PDP−1 . Dosad’me za matici A do (10.1) a vyna´sobme obeˇ strany vznikle´ rovnosti maticı´ P−1 . Dostaneme
P−1 x′ = DP−1 x. Polozˇ´ıme-li nynı´ P−1 x = y, bude pro derivace platit P−1 x′ = y′ a soustava prˇejde do tvaru
y′ = Dy. 145
(10.2)
Kapitola 10
146 Zde y = y1 (t), . . . , yn (t) vztahem
T
prˇedstavuje vektor novy´ch nezna´my´ch funkcı´, ktere´ s pu˚vodnı´mi souvisı´
x = Py.
Protozˇe soustava (10.2) ma´ diagona´lnı´ matici, rozpada´ se na n navza´jem neza´visly´ch rovnic y2′ = λ2 y2 ,
y1′ = λ1 y1 ,
...
yn′ = λn yn ,
jejichzˇ obecny´m rˇesˇenı´m jsou funkce y1 (t) = C1 eλ1 t , y2 (t) = C2 eλ2 t , . . . , yn (t) = Cn eλn t , kde C1 , . . . , Cn jsou libovolne´ konstanty. Je tedy C1 eλ1 t C2 eλ2 t y= , .. . Cn eλn t
odkud jizˇ jednodusˇe vyply´va´ ˇresˇenı´ pu˚vodnı´ soustavy: x = Py. Sloupce matice P jsou podle veˇty 6.8 tvorˇeny linea´rneˇ neza´visly´mi charakteristicky´mi vektory v1 , v2 , . . . , vn matice A, takzˇe s vyuzˇitı´m vy´sledku cvicˇenı´ 1.12 pro rˇesˇenı´ x da´le dosta´va´me λ1 t
x = Py = C1 v1 e
λ2 t
+ C2 v 2 e
λn t
+ · · · + Cn v n e
=
n X
Ci vi eλi t .
i=1
Rˇesˇenı´ x je tedy linea´rnı´ kombinacı´ vektorovy´ch funkcı´ v1 eλ1 t , . . . , vn eλn t . Ty jsou linea´rneˇ neza´visle´, nebot’ pro t = 0 jsou jejich hodnoty rovny v1 , . . . , vn , cozˇ je n-tice linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚. Protozˇe dimenze prostoru vsˇech ˇresˇenı´ soustavy (10.1) je n (viz naprˇ. [3], str. 216), tvorˇ´ı tyto funkce ba´zi prostoru vsˇech rˇesˇenı´ a kazˇde´ ˇresˇenı´ soustavy (10.1) ma´ tvar
x(t) =
n X
Ci vi eλi t .
(10.3)
i=1
Nazy´va´me je obecny´m rˇesˇenı´m soustavy (10.1). Prˇ´ıklad 10.1 Nalezneˇte obecne´ ˇresˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x1′ = 3x1 + x2 + x3
x2′ = 2x1 + 4x2 + 2x3
x3′ Rˇesˇenı´. Oznacˇme
Pak
x1 (t) x = x2 (t) x3 (t)
(10.4)
= −x1 − x2 + x3
a
3 1 A= 2 4 −1 −1
x1′ (t) x′ = x2′ (t) x3′ (t)
1 2 . 1
10.1. Soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic
147
a soustavu (10.4) mu˚zˇeme zapsat v maticove´m tvaru x′ = Ax. Bude-li mı´t matice A trˇi rea´lne´ linea´rneˇ neza´visle´ charakteristicke´ vektory v1 , v2 , v3 , bude podle (10.3) mı´t jejı´ obecne´ rˇesˇenı´ tvar
x(t) = C1 v1 eλ1 t + C2 v2 eλ2 t + C3 v3 eλ3 t , kde λ1 , λ2 , λ3 jsou charakteristicka´ cˇ´ısla odpovı´dajı´cı´ vektoru˚m v1 , v2 , v3 a C1 , C2 , C3 libovolne´ rea´lne´ konstanty. Charakteristicka´ rovnice matice A je det(A − λ E) = (4 − λ)(λ − 2)2 = 0. Matice A ma´ tedy jedno jednoduche´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 4 a jedno dvojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 = 2. Rˇesˇenı´m soustavy (A − λ1 E)x = o dostaneme vektory charakteristicke´ho prostoru Cλ1 (A). Rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy je −1 1 1 0 2 0 2 0 . −1 −1 −3 0 Odtud
1 x = p 2 , −1
p ∈ R.
Analogicky dosta´va´me pro vektory z Cλ2 (A) soustavu (A − λ2 E)x = o, jı´zˇ odpovı´da´ rozsˇ´ırˇena´ matice 1 1 1 0 2 2 2 0 . −1 −1 −1 0 Rˇesˇenı´m soustavy jsou vektory
Polozˇ´ıme-li
1 0 x = r 0 + s 1 , −1 −1
1 v1 = 2 , −1
pak obecne´ ˇresˇenı´ soustavy (10.4) ma´ tvar
1 v2 = 0 , −1
r, s ∈ R.
0 v3 = 1 , −1
x(t) = C1 v1 e4t + C2 v2 e2t + C3 v3 e2t , cozˇ rozepsa´no do sourˇadnic da´va´ x1 (t) = C1 e4t
+ C2 e2t
x2 (t) = 2C1 e4t + C3 e2t
x3 (t) = −C1 e4t − C2 e2t − C3 e2t .
Kapitola 10
148
Dalsˇ´ı prˇ´ıklad uka´zˇe, jak vypocˇ´ıtat rea´lne´ ˇresˇenı´ soustavy v prˇ´ıpadeˇ, zˇe matice soustavy ma´ imagina´rnı´ charakteristicka´ cˇ´ısla. Uvedeny´ postup lze cha´pat i jako obecny´ na´vod, nebot’ jej lze aplikovat na kazˇdou dvojici komplexneˇ sdruzˇeny´ch charakteristicky´ch cˇ´ısel. Prˇ´ıklad 10.2 Vypocˇteˇte obecne´ rea´lne´ ˇresˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ = Ax, kde 1 −1 −1 A= 1 1 0 . 3 0 1
Rˇesˇenı´. Charakteristicka´ rovnice (A − λ E) = (1 − λ)(λ2 − 2λ + 5) = 0 ma´ korˇeny λ1 = 1, λ2 = 1 + 2j, λ3 = λ2 = 1 − 2j. Jim po ˇradeˇ odpovı´dajı´ charakteristicke´ vektory −2j 0 2j 1 , v1 = 1 , v2 = 1 , v3 = v2 = 3 −1 3 ktere´ jsou linea´rneˇ neza´visle´. Ba´zi prostoru ˇresˇenı´ dane´ soustavy tedy tvorˇ´ı funkce
y1 (t) = v1 et ,
y2 (t) = v2 e(1+2j)t ,
y3 (t) = v3 e(1−2j)t ; jsou vsˇak komplexnı´ a lze je nahradit ˇresˇenı´mi rea´lny´mi. Polozˇ´ıme-li 0 x1 (t) = y1 (t) = 1 et , −1 −2 sin 2t y2 (t) + y3 (t) = Re y2 (t) = et cos 2t , x2 (t) = 2 3 cos 2t 2 cos 2t y2 (t) − y3 (t) x3 (t) = = Im y2 (t) = et sin 2t , 2j 3 sin 2t
budou x1 , x2 , x3 jako linea´rnı´ kombinace ˇresˇenı´ y1 , y2 , y3 rovneˇzˇ ˇresˇenı´mi dane´ soustavy; navı´c jsou rea´lna´ a take´ linea´rneˇ neza´visla´. Obecne´ ˇresˇenı´ je pak jejich libovolnou linea´rnı´ kombinacı´:
x(t) = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3
Ci ∈ R,
cozˇ rozepsa´no do sourˇadnic da´va´ x1 (t) = et (−2C2 sin 2t + 2C3 cos 2t)
x2 (t) = et (C1 + C2 cos 2t + C3 sin 2t)
x3 (t) = et (−C1 + 3C2 cos 2t + 3C3 sin 2t).
10.1. Soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic
149
Znalost Jordanovy ba´ze da´va´ mozˇnost vypocˇ´ıst obecne´ ˇresˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic
x′ = Ax
(10.5)
pro libovolnou cˇtvercovou matici A n-te´ho ˇra´du. Ukazˇme nejdrˇ´ıve, zˇe pro kazˇdy´ rˇeteˇzec zobecneˇny´ch charakteristicky´ch vektoru˚ v1 , . . . , vk prˇ´ıslusˇejı´cı´ charakteristicke´mu cˇ´ıslu λ jsou funkce i−1 j X t2 t t i−1 xi (t) = vi + t vi−1 + vi−2 + · · · + v1 eλt = vi−j eλt , 2! (i − 1)! j ! j =0
i = 1, . . . , k
linea´rneˇ neza´visla´ rˇesˇenı´ soustavy (10.5). Linea´rnı´ neza´vislost funkcı´ x1 , . . . , xk se odvodı´ prˇ´ımo z definice. Je-li totizˇ pro kazˇde´ t ∈ R α1 x1 (t) + · · · + αk xk (t) = o, pak pro t = 0 dosta´va´me α1 v1 + · · · + αk vk = o. Avsˇak podle veˇty 7.1 jsou vektory v1 , . . . , vk linea´rneˇ neza´visle´, takzˇe α1 = · · · = αk = 0 a i funkce x1 , . . . , xk jsou linea´rneˇ neza´visle´. Kazˇda´ z funkcı´ xi , i = 1, . . . , k, take´ splnˇuje soustavu (10.5). Je totizˇ t i−2 t2 v1 eλt + x′i (t) = vi−1 + t vi−2 + vi−3 + · · · + 2! (i − 2)! t2 t i−2 t i−1 + λ vi + t vi−1 + vi−2 + · · · + v2 + v1 eλt = 2! (i − 2)! (i − 1)! t i−2 t i−1 = (λvi + vi−1 ) + t (λvi−1 + vi−2 ) + · · · + (λv2 + v1 ) + λv1 eλt = (i − 2)! (i − 1)! t i−2 t i−1 = Avi + t Avi−1 + · · · + Av2 + Av1 eλt = Ax(t). (i − 2)! (i − 1)! Prˇi u´praveˇ jsme vyuzˇili vztahu˚ mezi vektory ˇreteˇzce ve tvaru Avj = λvj + vj −1 . Ke kazˇde´mu rˇeteˇzci de´lky k tedy obdrzˇ´ıme k linea´rneˇ neza´visly´ch ˇresˇenı´ soustavy (10.5). Pro celou Jordanovu ba´zi matice A to pak da´va´ celkem n rˇesˇenı´. Stejny´m zpu˚sobem jako pro jeden ˇreteˇzec se doka´zˇe, zˇe tato rˇesˇenı´ jsou linea´rneˇ neza´visla´. Protozˇe dimenze linea´rnı´ho prostoru vsˇech ˇresˇenı´ soustavu (10.5) je rovna n, tvorˇ´ı tato rˇesˇenı´ ba´zi a obecne´ rˇesˇenı´ je libovolnou linea´rnı´ kombinacı´ prvku˚ te´to ba´ze. Prˇ´ıklad 10.3 Vypocˇteˇte obecne´ ˇresˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ = Ax, kde
0 −2 1 −1 −1 0 1 0 . A= −2 −3 3 −1 1 1 −1 1
Rˇesˇenı´. Na za´kladeˇ prˇedesˇle´ho rozboru bude obecne´ ˇresˇenı´ soustavy urcˇeno kteroukoliv Jordanovou ba´zı´ matice A. Ta bude tvorˇena vektory ˇreteˇzcu˚ odpovı´dajı´cı´ch jednotlivy´m charakteristicky´m cˇ´ıslu˚m.
Kapitola 10
150
Charakteristicka´ rovnice matice A je (λ − 1)4 = 0 a vede na jedno cˇtyrˇna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ = 1. Vyrˇesˇenı´m soustavy −1 −2 1 −1 x1 0 −1 −1 1 0 x2 0 (A − λ E)x = = −2 −3 2 −1 x3 0 1 1 −1 0 x4 0 dosta´va´me charakteristicke´ vektory matice A : p q x= p+q −q
,
|p| + |q| 6 = 0.
Dimenze charakteristicke´ho prostoru Cλ (A) je tedy 2 a Jordanovu ba´zi budou tvorˇit vektory dvou rˇeteˇzcu˚. Polozˇme nejdrˇ´ıve v1 = x a hledejme vektory v2 tak, aby (A − λ E)v2 = v1 . Rozsˇ´ırˇena´ matice te´to soustavy je p −1 −2 1 −1 −1 −1 1 0 q . −2 −3 2 −1 p + q 1 1 −1 0 −q
Jejı´ hodnost je pro vsˇechna p, q rovna 2, stejneˇ tak jako hodnost matice (A − λ E). Soustava ma´ tedy rˇesˇenı´ pro vsˇechna p, q. To zajisˇt’uje, zˇe de´lka obou ˇreteˇzcu˚ Jordanovy ba´ze je asponˇ 2. Protozˇe podle veˇty 7.6 je soucˇet de´lek vsˇech ˇreteˇzcu˚ charakteristicke´ho cˇ´ısla λ roven jeho na´sobnosti, musı´ oba rˇeteˇzce mı´t de´lku 2. Rˇesˇenı´m poslednı´ soustavy jsou vektory r s v2 = q +r +s q −p−s
a kazˇda´ dvojice v1 , v2 tvorˇ´ı ˇreteˇzec prˇ´ıslusˇny´ λ = 1. Hledanou volbou parametru˚; naprˇ. p = 1, q = r = s = 0 a q = 1, p vektory u1 , u2 resp. w1 , w2 , bude 0 0 1 0 1 0 u1 = 1 , u 2 = 0 , w1 = 1 0 −1 −1 Obecne´ rˇesˇenı´ dane´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic ma´ pak tvar
Jordanovu ba´zi lze sestavit vhodnou = r = s = 0. Oznacˇ´ıme-li vznikle´
,
0 0 w2 = 1 . 1
x(t) = C1 u1 et + C2 (u2 + t u1 )et + C3 w1 et + C4 (w2 + t w1 )et . Pro jednotlive´ sourˇadnice odtud plyne x1 (t) = (C1 + C2 t)et
x2 (t) = (C3 + C4 t)et
x3 (t) = C1 + C3 + C4 + (C2 + C4 )t et x4 (t) = C4 − C2 + C3 − C4 t et .
10.1. Soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic
151
Za´sadnı´ vy´znam pro rˇesˇenı´ soustav typu x′ = Ax ma´ funkce et A . Vyply´va´ z na´sledujı´cı´ veˇty. Veˇta 10.1 Pro cˇtvercovou matici A a t ∈ R polozˇme X(t) = et A . Pak1
X′ (t) = AX(t). Du˚kaz. Necht’ J = diag(J1 , . . . , Jk ) je Jordanu˚v kanonicky´ tvar matice A a necht’ A = PJP−1 . Z definice funkce matic pak plyne X(t) = et A = Pet J P−1 , kde et J = diag(et J1 , . . . , et Jk ). Da´le bude
AX(t) = PJP−1 Pet J P−1 = PJet J P−1 .
Pro X′ (t) pak s vyuzˇitı´m vy´sledku cvicˇenı´ 10.1 platı´
X′ (t) =
d dt
et A =
d dt
Stacˇ´ı tedy oveˇrˇit, zˇe platı´ d dt
Pet J P−1 = P dtd et J P−1 .
et J = Jet J .
(10.6)
Na prave´ straneˇ (10.6) jde o soucˇin dvou blokoveˇ diagona´lnı´ch matic, jejichzˇ diagona´lnı´ bloky na odpovı´dajı´cı´ch si pozicı´ch jsou te´hozˇ ˇra´du. Mu˚zˇeme tedy na tento soucˇin pouzˇ´ıt veˇtu 1.6 a rovnost (10.6) pak prˇejde na d diag et J1 , . . . , et Jk = diag J1 et J1 , . . . , Jk et Jk . dt Tı´m je cely´ du˚kaz prˇeveden na oveˇˇrenı´ rovnosti (10.6) pro kazˇdy´ Jordanu˚v blok Ji samostatneˇ. Necht’
Ji =
λi 1 0 0 λi 1 0 0 λi .. .. .. . . . 0 0 0
... 0 ... 0 ... 0 . .. . . . . λi
Pak podle vztahu (8.10), kde bereme f (x) = et x , dosta´va´me
et Ji
1 Zde
=
eλi t teλi t
t2 2!
eλi t . . .
0
eλi t
teλi t
0 .. .
0 .. .
eλi t .. .
0
0
0
t n−1 (n−1)!
eλi t
eλi t t n−3 λ i t . . . . (n−3)! e .. .. . . λi t ... e ...
t n−2 (n−2)!
X′ (t) je matice, jejı´zˇ kazˇdy´ prvek, je derivacı´ odpovı´dajı´cı´ho prvku matice X(t).
Kapitola 10
152 Odtud derivova´nı´m podle t plyne
d dt
t Ji
e
=
λi eλi t (λi t + 1)eλi t 0 0 .. . 0
λi t
λi e
0 .. . 0
n−1 λi t + t eλi t . . . (n−1)! n−2 λi t (λi t + 1)eλi t . . . (n−2)! n−3 λi t λi eλi t . . . (n−3)! .. .. . . 0 ...
λi t 2 2!
+
t n−2 (n−2)!
+
t n−3 (n−3)!
+
t n−4 (n−4)!
.. . λi eλi t
Vyna´sobenı´m Ji et Ji a porovna´nı´m s poslednı´m vy´sledkem vidı´me, zˇe Ji et Ji = doka´za´na.
eλi t
eλi t
d dt
λi t
e
.
et Ji , cˇ´ımzˇ je veˇta △
Uva´zˇ´ıme-li, zˇe na´sobenı´ maticı´ lze rozdeˇlit na na´sobenı´ jejı´mi jednotlivy´mi sloupci (veˇta 1.1), pak z pra´veˇ doka´zane´ veˇty plyne, zˇe kazˇdy´ sloupec matice et A je ˇresˇenı´m soustavy
x′ = Ax
(10.7)
Vzhledem k tomu, zˇe matice et A je regula´rnı´ pro kazˇde´ t, jsou jejı´ sloupce linea´rneˇ neza´visle´ a tvorˇ´ı tudı´zˇ fundamenta´lnı´ syste´m rˇesˇenı´ soustavy (10.7). Kromeˇ toho pro t = 0 naby´va´ matice X(t) = et A hodnoty X(0) = E (viz prˇ´ıklad 8.7), takzˇe X(t) je tzv. fundamenta´lnı´ maticı´. Pomocı´ nı´ lze okamzˇiteˇ vypocˇ´ıst rˇesˇenı´ soustavy (10.7) vyhovujı´cı´ pocˇa´tecˇnı´ podmı´nce x(0) = xo . Ma´ tvar
x(t) = et A xo ,
t ∈ R.
Prˇ´ıklad 10.4 Vypocˇteˇte rˇesˇenı´ x(t) soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ (t) = Ax, vyhovujı´cı´ pocˇa´tecˇnı´ podmı´nce x(0) = (2, 1, 1)T ; 1 −1 −1 A= 0 1 1 . 1 −2 −2 Rˇesˇenı´. Nejdrˇ´ıve vypocˇteme matici et A ; vyjdeme prˇitom od funkce f (x) = et x . Charakteristicka´ rovnice matice A vyjde po u´praveˇ λ3 = 0. Matice A ma´ tedy jedno trojna´sobne´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ1 = 0. Protozˇe h(A − λ1 E) = hA = 2, bude k neˇmu existovat 3 − 2 = 1 Jordanu˚v ˇreteˇzec, a to de´lky 3. Urcˇujı´cı´ polynom p matice et A musı´ tedy splnˇovat 3 podmı´nky: p(λ1 ) = f (λ1 ) = et λ1 ,
p ′ (λ1 ) = f ′ (λ1 ) = tet λ1 ,
p ′′ (λ1 ) = f ′′ (λ1 ) = t 2 et λ1 .
Pocˇtem podmı´nek je urcˇen i minima´lnı´ stupenˇ r hledane´ho polynomu p : r = 2. Bude tedy p(x) = ax 2 + bx + c.
(10.8)
10.1. Soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic
153
Po dosazenı´ do (10.8) pak dosta´va´me c = 1, Odtud p(x) = a et A
2a = t 2 .
b = t,
t2 x + tx + 1 2
2t + 2 −2t −2t t 1 = p(A) = A2 + t A + E = t2 −t 2 + 2t + 2 −t 2 + 2t . 2 2 −t 2 + 2t t 2 − 4t t 2 − 4t + 2 2
Vy´sledne´ rˇesˇenı´ soustavy bude x(t) = et A x(0) :
2 x(t) = 2t + 1 . −2t + 1
Uved’me jesˇteˇ jeden pohled na maticovou funkci et A ; setka´va´me se s nı´m zejme´na v teorii rˇ´ızenı´. Umozˇnˇuje vyja´drˇit matici et A pomocı´ Laplaceovy transformace. Tento zajı´mavy´ a na prvnı´ pohled prˇekvapivy´ vy´sledek je zalozˇen na faktu, zˇe jak et A , tak i Laplaceova transformace jsou na´stroje na rˇesˇenı´ soustav diferencia´lnı´ch rovnic tvaru x′ = Ax. Pouzˇijme pro Laplaceu˚v obraz libovolne´ funkce f (t) symbolu {f } a analogicky pro {x1 } x1 (t) x2 (t) {x2 } (10.9) x(t) = . {x} = oznacˇme . .. . . .
L
L
L L
L {x }
xn (t)
n
Vyjdeˇme od zna´me´ho vztahu pro Laplaceu˚v obraz derivace funkce f (t) :
L {f } = pL {f } − f (0). ′
(10.10)
Rozepisˇme soustavu x′ = Ax do jednotlivy´ch rovnic x1′ = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
x2′ = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn .. . ′ xn = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn a pouzˇijme (10.10) na kazˇdou rovnici. Dostaneme
L {x } − x (0) p L {x } − x (0) p L {x } − x (0) p
1
1
2
2
n
n
= a11
= a21 .. . = an1
L {x } + a L {x } + · · · + a L {x } L {x } + a L {x } + · · · + a L {x } L {x } + a L {x } + · · · + a L {x } 1
12
2
1n
n
1
22
2
2n
n
1
n2
2
nn
n
Pouzˇitı´m oznacˇenı´ (10.9) mu˚zˇeme tuto soustavu zapsat v maticove´ formeˇ: p
L {x} − x(0) = AL {x}.
Kapitola 10
154
Tato rovnice platı´ pro kazˇde´ ˇresˇenı´ x(t) soustavy x′ (t) = Ax(t), tedy i pro kazˇdy´ ze sloupcu˚ x1 (t), . . . , xn (t) matice X(t) = et A , (viz strana 152). Rovnice p {xi } − xi (0) = A {xi } pro i = 1, . . . , n pak mu˚zˇeme s vyuzˇitı´m veˇty (1.2) na straneˇ 7 zapsat jedinou rovnicı´
L
p
L
L {X} − X(0) = AL {X},
kde
L
X(t) = et A .
(10.11)
Zde {X} je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du, jejı´zˇ kazˇdy´ prvek je Laplacevou transformacı´ odpovı´dajı´cı´ho prvku matice X(t). Protozˇe X(0) = e0A = eO = E, vyply´va´ z (10.11) {et A } = (p E − A)−1 a tedy et A = Prˇ´ıklad 10.5 Je-li
A=
(p E − A)−1 Odtud
2 1 −2 1
L
pak
−1
{(p E − A)−1 }
pE − A =
(10.12)
p − 2 −1 2 p−1
1 2 3 − 2 p − 3p + 4 1 p − 4 p + 1 = 5 −2 p−2 2 + p 2 − 3p + 4 p−4 p+1
p−1 p 2 − 3p + 4 = −2 p 2 − 3p + 4 et A =
,
L
L
1 −1 {(p E − A)−1 } = 5
3e4t + 2e−t −2e4t + 2e−t
e4t − e−t 2e4t + 3e−t
a 1 1 − p−4 p+1 . 2 3 + p−4 p+1 !
.
10.2 Loka´lnı´ extre´my funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch Kvadraticke´ formy nacha´zejı´ vyuzˇitı´ prˇi klasifikaci loka´lnı´ch extre´mu˚ funkcı´ vı´ce promeˇnny´ch. Uvazˇujme funkci f (x1 , . . . , xn ) definovanou na jiste´ mnozˇineˇ v Rn , majı´cı´ v bodeˇ a te´to mnozˇiny spojite´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du. Pak vektor ∂f (a) ∂f (a) ∂f (a) , ,..., grad f (a) = ∂x1 ∂x2 ∂xn nazy´va´me gradientem funkce f v bodeˇ a a kvadratickou formu n n X X ∂ 2 f (a ) d f (a)(u) = ui uj ∂xi ∂xj i=1 j =1 2
nazy´va´me diferencia´lem druhe´ho ˇra´du funkce maticı´ 2 ∂ f (a ) ∂x 2 1 ∂ 2 f (a ) A = ∂x2 ∂x1 .. . 2 ∂ f (a ) ∂xn ∂x1
f v bodeˇ a. Diferencia´l d2 f (a) je tedy charakterizova´n ∂ 2 f (a ) ∂ 2 f (a ) ... ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂xn 2 2 ∂ f (a ) ∂ f (a ) ... ∂x2 ∂xn . ∂x22 .. .. .. . . . ∂ 2 f (a ) ∂ 2 f (a ) ... ∂xn ∂x2 ∂xn2
10.3. Kvadraticke´ krˇivky v rovineˇ
155
Matice A je symetricka´, nebot’ ze spojitosti parcia´lnı´ch derivacı´ druhe´ho ˇra´du plyne ∂ 2 f (a ) ∂ 2 f (a ) = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi
pro vsˇechna
i, j = 1, . . . , n.
Postacˇujı´cı´ podmı´nku existence loka´lnı´ho extre´mu funkce f v bodeˇ a vyjadrˇuje tato veˇta (viz [3], str. 127). Veˇta 10.2 Necht’ funkce f (x1 , . . . , xn ) ma´ v bodeˇ a ∈ Rn spojite´ parcia´lnı´ derivace druhe´ho rˇa´du a necht’ grad f (a) = o. Pak platı´ (a) Je-li d2 f (a) pozitivneˇ definitnı´, ma´ f v bodeˇ a ostre´ loka´lnı´ minimum.
(b) Je-li d2 f (a) negativneˇ definitnı´, ma´ f v bodeˇ a ostre´ loka´lnı´ maximum. (c) Je-li d2 f (a) indefinitnı´, nema´ f v bodeˇ a zˇa´dny´ loka´lnı´ extre´m. Prˇ´ıklad 10.6 Uvazˇujme funkci f (x1 , x2 , x3 ) = x13 + x22 + x33 − 3x1 x3 − 4x2 . V bodech a = (0, 2, 0) a b = (1, 2, 1) je grad f (a) = grad f (b) = o. Pro diferencia´ly druhe´ho rˇa´du v bodech a = (0, 2, 0) a b = (1, 2, 1) pak vycha´zejı´ matice 0 0 −3 6 0 −3 A = 0 2 0 a B = 0 2 0 . −3 0 0 −3 0 6
Jejich prˇevodem na digona´lnı´ tvar dostaneme signaturu obou diferencia´lu˚ druhe´ho rˇa´du. Vyjde sig d2f (a) = (2, 1)
a
sig d2f (b) = (3, 0).
Protozˇe d2f (a) je indefinitnı´, nema´ f v bodeˇ a zˇa´dny´ loka´lnı´ extre´m a z pozitivnı´ definitnosti d2f (b) plyne existence ostre´ho loka´lnı´ho minima funkce f v bodeˇ b.
10.3 Kvadraticke´ krˇivky v rovineˇ V tomto odstavci uka´zˇeme geometricky´ vy´znam kvadraticky´ch forem v R2 . Je-li totizˇ d libovolne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a Q(x) = Q(x1 , x2 ) = a x12 + 2b x1 x2 + c x22 kvadraticka´ forma v R2 , pak rovnice Q(x1 , x2 ) = a x12 + 2b x1 x2 + c x22 = d
(10.13)
popisuje jistou rovinnou kvadratickou krˇivku (elipsa, hyperbola, ale mu˚zˇe by´t i pra´zdna´ nebo „degenerovana´“) v sourˇadne´ soustaveˇ urcˇene´ standardnı´ ba´zı´ R2 , tedy vektory e1 = (1, 0) a e2 = (0, 1). Pro b 6 = 0 nenı´ prˇitom z rovnice (10.13) ihned viditelne´ ani o jaky´ typ se jedna´, natozˇ jake´ dalsˇ´ı geometricke´ vlastnosti krˇivka ma´. Ty vyniknou po prˇevodu kvadraticke´ formy Q na kanonicky´ tvar. Prˇevod vyzˇaduje transformaci sourˇadnic, tedy zmeˇnu ba´ze v R2 . Nova´ ba´ze by meˇla opeˇt by´t tvorˇena dvojicı´ ortonorma´lnı´ch vektoru˚, jinak nebudeme schopni z transformovane´ rovnice krˇivky jejı´ geometricke´ vlastnosti
Kapitola 10
156
jednodusˇe rozpoznat. Nabı´zı´ se tedy vyuzˇ´ıt prˇevodu matice kvadraticke´ formy Q na diagona´lnı´ tvar ortogona´lnı´ transformacı´ na za´kladeˇ veˇty 9.6. Matice formy Q je
Q=
a b b c
a (10.13) lze pak vyja´drˇit ve tvaru Q(x1 , x2 ) = Q(x) = (Qx, x) = d. Podle veˇty 9.6 platı´ Q = PDPT , kde P je ortogona´lnı´ matice a D = diag(λ1 , λ2 ) matice diagona´lnı´. Dosazenı´m a u´pravou pak pro Q dosta´va´me (Qx, x) = (PDPTx, x) = (DPTx, PTx) = (Dx′ , x′ ) kdyzˇ jsme oznacˇili PTx = x′ = (x1′ , x2′ )T . Rovnice (10.13) tak ma´ v novy´ch sourˇadnicı´ch (x1′ , x2′ ) tvar λ1 x1′
2
+ λ2 x2′
2
= d.
(10.14)
Vy´znamne´ je, zˇe nova´ sourˇadna´ soustava ma´ ortogona´lnı´ osy. Z veˇty 6.7 na straneˇ 68 totizˇ vyply´va´, zˇe je urcˇena charakteristicky´mi vektory matice Q a ty jsou podle veˇty 9.6 ortogona´lnı´. Rovnice (10.14) tak umozˇnˇuje snadnou geometrickou klasifikaci. Je-li naprˇ´ıklad λ1 > 0, λ2 > 0 a d > 0, jde o elipsu, pro λ1 λ2 < 0 a d 6 = 0 jde o hyperbolu atd. Zdu˚razneˇme vsˇak, zˇe rovnice (10.13) nenı´ obecnou rovnicı´ kvadraticke´ krˇivky, nebot’ neobsahuje linea´rnı´ cˇleny. Tı´m jsou vyloucˇeny paraboly a take´ vsˇechny krˇivky se strˇedem mimo pocˇa´tek sourˇadne´ soustavy. Protozˇe cı´lem tohoto odstavce bylo spı´sˇe pouka´zat na mozˇnou geometrickou aplikaci kvadraticky´ch forem nezˇ prove´st obecnou klasifikaci kvadraticky´ch krˇivek, nebudeme da´le toto te´ma rozvı´jet. Cˇtena´rˇe odkazujeme naprˇ. na knihu [9]. Prˇ´ıklad 10.7 Urcˇete, jaka´ krˇivka je popsa´na rovnicı´ 2x12 − 2x1 x2 + 2x22 = 1
(10.15)
a krˇivku graficky zna´zorneˇte. Rˇesˇenı´. Definujme kvadratickou formu Q v R2 vztahem Q(x) = Q(x1 , x2 ) = 2x12 − 2x1 x2 + 2x22 . Jejı´ matice 2 1 Q= . 1 2 ma´ charakteristickou rovnici (2 − λ)2 − 1 = 0, z nı´zˇ plynou charakteristicka´ cˇ´ısla λ1 = 3 a λ2 = 1. V transformovane´ sourˇadne´ soustaveˇ prˇejde rovnice (10.15) do tvaru 3(x1′ )2 + (x2′ )2 = 1, cozˇ je rovnice elipsy v za´kladnı´m tvaru. Smeˇry jejı´ch os sply´vajı´ se smeˇry novy´ch sourˇadny´ch os a ty jsou podle prˇedchozı´ u´vahy urcˇeny charakteristicky´mi vektory v1 , v2 matice Q. Jejich hodnoty vyjdou v1 = (1, 1)T a v2 = (−1, 1)T . Odtud jizˇ dosta´va´me graf elipsy.
10.4. Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚
157
x1
v2 ⇒ x2′
1
v1 ⇒ x1′
x2 −1
1
−1
Obr. 10.1 Graf elipsy 2x12 − 2x1 x2 + 2x22 = 1.
10.4 Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ Proble´m aproximace dany´ch cˇi nameˇˇreny´ch dat cˇasto vede na soustavu linea´rnı´ch rovnic Ax = b, jejı´zˇ prava´ strana b nepatrˇ´ı do sloupcove´ho prostoru matice A a soustava tudı´zˇ nenı´ rˇesˇitelna´. Prˇesto vznika´ pozˇadavek nale´zt asponˇ neˇjaky´ vektor x, ktery´ se k „rˇesˇenı´“ blı´zˇ´ı. Obvykle je takovy´ vektor x charakterizova´n prˇirozenou podmı´nkou, aby velikost vektoru Ax − b byla co nejmensˇ´ı. Existuje rˇada metod, jak minimalizovat ||Ax − b||; elegancı´ mezi nimi vynika´ metoda zalozˇena´ na pouzˇitı´ pseudoinverznı´ matice A+ . Je opodstatneˇna touto veˇtou. Veˇta 10.3 Necht’ A je rea´lna´ matice typu (m, n), necht’ A+ je pseudoinverznı´ matice k A a b ∈ Rm . Polozˇme x+ = A+ b. Potom ||Ax − b|| je minima´lnı´ pro x = x+ . Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe singula´rnı´ rozklad matice A je A = USVT a zˇe jejı´ hodnost je k. Vysˇetrˇujme velikost vektoru r = Ax − b pro libovolny´ vektor x ∈ Rn . Zapisˇme x ve tvaru x = x+ + x′ ; pak Ax = Ax+ + b′ , kde Ax′ = b′ . Z veˇty 9.12 plyne, zˇe b′ je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ u1 , . . . , uk matice U. Platı´ tedy ||r|| = ||Ax − b|| = ||Ax+ + b′ − b|| = ||USVT VS+ UT b − b + b′ || = = ||(USS+ UT − E)b + b′ || = ||(USS+ UT − UUT )b + UUT b′ || = = ||U (SS+ − E)UT b + UT b′ || = ||(SS+ − E)UT b + UT b′ ||,
Kapitola 10
158
nebot’ podle veˇty 9.2 na´sobenı´ ortogona´lnı´ maticı´ nemeˇnı´ velikost vektoru. Matice SS+ − E je diagona´lnı´ a prvnı´ch k prvku˚ na jejı´ hlavnı´ diagona´le jsou nuly. Odtud plyne, zˇe i vektor (SS+ − E)UT b ma´ prvnı´ch k sourˇadnic nulovy´ch. Na druhe´ straneˇ, vektor b′ je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ u1 , . . . , uk a je tedy ke zby´vajı´cı´m sloupcu˚m matice U ortogona´lnı´. To znamena´, zˇe sourˇadnice vektoru UT b′ jsou pocˇ´ınaje (k + 1) -nı´ rovny nule a ||r|| bude minima´lnı´, pokud UT b′ = o. To vsˇak nastane pra´veˇ tehdy, kdyzˇ b′ = o, tedy kdyzˇ x = x+ . △ Protozˇe velikost vektoru Ax − b je rovna odmocnineˇ ze soucˇtu cˇtvercu˚ jeho sourˇadnic, jehozˇ nejmensˇ´ı hodnota se hleda´, nazy´va´ se cely´ postup metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚. Prˇ´ıklad 10.8 Metodou nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ nalezneˇte prˇ´ımku, ktera´ aproximuje trojici bodu˚ [2, 1], [1, 1] a [3, 2]. Rˇesˇenı´. Rovnici hledane´ prˇ´ımky prˇedpokla´da´me ve tvaru y = kx + q. Dosazenı´m sourˇadnic vsˇech trˇ´ı dany´ch bodu˚ do te´to rovnice vede na soustavu trˇ´ı rovnic pro nezna´me´ k a q. Matice te´to soustavy je 2 1 1 A = 1 1 , prava´ strana b = 1 . 3 1 2 Oznacˇ´ıme-li p = (k, q)T , pak podle prˇedesˇle´ veˇty bude p = A+ b, kde A+ je pseudoinverznı´ matice k matici A. Vypocˇteme ji pomocı´ singula´rnı´ho rozkladu matice A. Je-li A = USVT , pak A+ = VSUT . Vyjde (jednotlive´ kroky vy´pocˇtu neuva´dı´me) ! 1 0 − 21 2 + A = 1 . 4 − 23 3 3
Odtud
1 2 1 3
+
p=A b=
!
,
takzˇe hledana´ prˇ´ımka ma´ rovnici y=
1 x + . 2 3
4 3 2 1
−1
+ +
+
1
2
3
4
5
Obr. 10.2 Linea´rnı´ aproximace metodou nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚.
10.5. Diskre´tnı´ Fourierova transformace
159
10.5 Diskre´tnı´ Fourierova transformace V tomto odstavci budeme sourˇadnice vektoru˚ z Cn indexovat od 0 do n−1. Dosa´hneme tı´m jiste´ho forma´lnı´ho zjednodusˇenı´ vy´sledny´ch vztahu˚ a take´ forma´lnı´ shody s vy´sledky zna´my´mi z teorie zpracova´nı´ diskre´tnı´ch signa´lu˚. : Cn → Cn vztahem y = (x), kde Definujme zobrazenı´
F
F
yk =
F
n−1 X
xi e−j
2π ik n
i=0
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
je linea´rnı´; v technicky´ch aplikacı´ch se nazy´va´ diskre´tnı´ Fourierova transformace. VyZobrazenı´ pocˇteˇme jeho matici F vzhledem ke standardnı´ ba´zi Cn . Pro zjednodusˇenı´ za´pisu oznacˇ´ıme 2π
w = e−j n . Pak yk =
n−1 X
xi w ik ,
i=0
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Sloupce hledane´ matice F budou tvorˇit vektory sourˇadnic obrazu˚ ba´zi. Dosazenı´m do (10.16) vyjde
F=
1 w2 w4 w6 .. .
1 w3 w6 w9 .. .
... ... ... ... .. .
(10.16)
F (e ), . . . , F (e 0
1 1 1 1 .. .
1 w w2 w3 .. .
1 w n−1 w 2(n−1) w 3(n−1) .. .
1
w n−1 w 2(n−1) w 3(n−1) . . . w (n−1)
2
n−1 )
ve standardnı´
.
(10.17)
Vztahy (10.16) lze pak nahradit ekvivalentnı´ rovnostı´
F (x) = Fx. Acˇkoliv je poslednı´ vzorec velice jednoduchy´, je jeho pouzˇitı´ limitova´no pocˇtem potrˇebny´ch aritmeticky´ch operacı´. Vyzˇaduje totizˇ n2 komplexnı´ch na´sobenı´ a scˇ´ıta´nı´, cozˇ pro n rˇa´du stovek jizˇ cˇasto prˇed2kπ stavuje neprˇijatelne´ omezenı´. Vhodnou strategiı´ na´sobenı´, vyuzˇ´ıvajı´cı´ periodicity hodnot w k = e−j n , lze pocˇet operacı´ snı´zˇit na rˇa´doveˇ n ln n. Postup se nazy´va´ rychla´ Fourierova transformace, zkra´ceneˇ FFT.
10.6 Statistika S 2 V matematicke´ statistice se setka´va´me s na´hodnou velicˇinou, ktera´ by´va´ tradicˇneˇ znacˇena S 2 a ktera´ je definova´na vztahem n n 2 1 X 1X 2 S = Xi (10.18) Xi − X , kde X = n − 1 i=1 n i=1
Kapitola 10
160
a X1 , . . . , Xn jsou na´hodne´ velicˇiny s norma´lnı´m rozdeˇlenı´m N(µ, σ ). Z algebraicke´ho pohledu je S 2 kvadratickou funkcı´ promeˇnny´ch X1 , . . . , Xn , tedy kvadratickou formou. Vztah (10.18) je vsˇak prˇ´ılisˇ slozˇity´ na to, abychom mohli urcˇit rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnosti velicˇiny S 2 . Zjednodusˇenı´ docı´lı´me prˇevodem formy na kanonicky´ tvar. Pro lepsˇ´ı prˇehlednost za´pisu budeme pracovat s (n − 1)-na´sobkem S 2 a oznacˇ´ıme n X 2 Q= Xi − X . i=1
Po dosazenı´ za X a u´praveˇ dostaneme Q=
n X i=1
n
Xi2 −
n
2 XX Xi Xj . n j =1 i=1 i6 =j
Kvadraticke´ formeˇ Q odpovı´da´ symetricka´ matice − n1 − n1 1 − n1 1 − n1 − n1 − n1 Q= −1 − n1 1 − n1 n .. .. .. . . . 1 1 −n − n1 −n
···
− n1
···
− n1
··· .. . ···
− n1 .. . 1−
1 n
.
Prˇevod kvadraticke´ formy Q na kanonicky´ tvar je ekvivalentnı´ diagonalizaci jejı´ matice Q. Pouzˇijeme metodu zalozˇenou na veˇteˇ 9.6 na straneˇ 124. Podle nı´ existuje ortogona´lnı´ matice P a diagona´lnı´ matice D tak, zˇe Q = PDPT , prˇicˇemzˇ diagona´lnı´ prvky matice D jsou tvorˇeny charakteristicky´mi cˇ´ısly matice Q. Ta lze urcˇit i bez charakteristicke´ rovnice. Protozˇe 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 Q−E= − . . . . , n .. .. . . .. 1 1 ... 1
je det (Q − E) = 0 a tudı´zˇ λ1 = 1 je charakteristicke´ cˇ´ıslo matice Q a kazˇdy´ charakteristicky´ vektor pro λ1 = 1 je rˇesˇenı´m rovnice x1 + x2 + · · · + xn = 0. (10.19)
Da´le vidı´me, zˇe h(Q − E) = 1, takzˇe dimenze charakteristicke´ho prostoru dim Cλ1 = n − 1. Podle veˇty 6.3 ma´ tedy λ1 na´sobnost asponˇ n − 1. Veˇtsˇ´ı na´sobnost nezˇ n − 1 vsˇak mı´t nemu˚zˇe, nebot’ pak by matice Q musela by´t rovna jednotkove´ matici E. Na´sobnost charakteristicke´ho cˇ´ısla λ1 = 1 je tedy rovna n − 1 a matice Q ma´ jesˇteˇ jedno jednoduche´ charakteristicke´ cˇ´ıslo λ2 6 = λ1 . Tı´m je λ2 = 0, nebot’ Q je singula´rnı´. Vyply´va´ to z linea´rnı´ za´vislosti jejı´ch sloupcu˚ – soucˇet vsˇech sloupcu˚ matice Q je totizˇ roven nulove´mu vektoru. Je tedy
D = diag(1, 1, . . . , 1, 0).
(10.20)
10.7. Cvicˇenı´
161
Oznacˇ´ıme-li x = (X1 , . . . , Xn )T , pak pro kvadratickou formu Q dosta´va´me Q(x) = (Qx, x) = (PDPTx, x) = (DPTx, PTx) = (Dy, y).
(10.21)
y = PTx = (Y1 , . . . , Yn ).
(10.22)
Zde jsme zavedli
Na za´kladeˇ (10.20) a (10.21) dosta´va´me na´sledujı´cı´ kanonicky´ tvar Q 2 . Q = Y12 + Y22 + · · · + Yn−1
V neˇm jsou Y1 , . . . , Yn−1 nove´ na´hodne´ velicˇiny, ktere´ s pu˚vodnı´mi X1 , . . . , Xn souvisı´ vztahem (10.22). Z neˇj pro jednotlive´ slozˇky vyply´va´ Yi = p1i X1 + · · · + pni Xn ,
i = 1, . . . , n − 1,
kde p1i , . . . , pni jsou prvky i-te´ho sloupce matice P a tedy i-te´ho charakteristicke´ho vektoru matice Q pro λ1 = 1. Z rovnice (10.19) a ortogona´lnosti matice P pro neˇj vyply´va´ p1i + · · · + pni = 0 a
2 2 = 1. + · · · + pni p1i
Tyto dveˇ vlastnosti zajisˇt’ujı´, zˇe kazˇda´ z velicˇin Y1 , . . . , Yn−1 ma´ rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnosti N(0, σ 2 ) a tudı´zˇ velicˇina Q n−1 2 = S 2 σ σ2 bude mı´t rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnosti χ 2 (n − 1).
10.7 Cvicˇenı´ 10.1 Dokazˇte platnost vzorce
d AX(t) = AX′ (t), dt kde A = (aij ) je konstantnı´ matice, X(t) = xij (t) , obeˇ cˇtvercove´ ˇra´du n a xij (t) diferencovatelne´ funkce v R.
10.2 Vypocˇteˇte obecne´ rˇesˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ = Ax, s maticı´ soustavy 1 −2 −1 −2 1 −2 2 1 0 a) A = −1 1 1 , b) A = 1 −2 2 , c) A = 1 3 −1 . 1 0 −1 3 −3 5 −1 2 3
10.3 Nalezneˇte obecne´ rˇesˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ = Ax, kde −3 −2 4 2 2 −1 −1 0 1 −1 4 4 −5 −3 . a) A = 2 −1 −2 , b) A = 1 0 −1 , c) A = −1 0 1 0 −1 1 2 2 2 −3 1 1 −1 0
Kapitola 10
162
10.4 Vypocˇteˇte rˇesˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ = Ax, pro ktere´ x(0) = (2, 1, 0)T a kde 2 −1 −1 A = 2 −1 −2 . −1 1 2
10.5 Vypocˇteˇte rˇesˇenı´ soustavy diferencia´lnı´ch rovnic x′ = Ax, pro ktere´ x(0) = (1, 1, 1, 1)T a kde 0 −1 1 0 −2 1 1 −1 A= 2 −1 −1 1 0 2 −2 0
10.6 Urcˇete, jaka´ krˇivka je popsa´na rovnicı´ 4x12 + 3x1 x2 = 45 a krˇivku graficky zna´zorneˇte. 10.7 Ukazˇte, zˇe pro matici
n-te´ho rˇa´du platı´
0 1 0 .. .
S=
0 0 1 .. .
··· ··· ··· .. .
0 0 0 .. .
1 0 1 .. .
0 0 ··· 1 0
S = FDF−1 ,
kde F je matice (10.17) a D diagona´lnı´ matice s prvky ej
2kπ n
, k = 0, 1, . . . , n − 1 na hlavnı´ diagona´le.
ˇ esˇenı´ 10.8 R 10.1 Oznacˇme Y(t) = yij (t) = AX(t). Pak yij′ (t) =
d dt
Pn
k=1
aik xkj (t) =
Pn
k=1 aik
′ xkj (t).
10.2 a) x1 (t) = 3C2 e2t + C3 , x2 (t) = C1 e−t − 2C2 e2t , x3 (t) = −2C1 e−t + C2 e2t + C3 .
b) x1 (t) = C1 e−t + C3 e3t , x2 (t) = (C1 + 2C2 )e−t − C3 e3t , x3 (t) = C2 e−t − 3C3 e3t . c) x1 = C1 e2t + (C2 cos t + C3 sin t), x2 = (C2 + C3 ) cos t + (C3 − C2 ) sin t e3t , x3 = C1 e2t + (2C2 − C3 ) cos t + (2C3 + C2 ) sin t e3t . 10.3 a) x1 (t) = C2 (t + 2) + C1 + C3 et , x2 (t) = 2(C2 t + C1 ) et , x3 (t) = C2 (1 − t) − C1 + C3 et . b) x1 (t) = C1 + C2 (t + 1) + C3 e−t , x2 (t) = (C1 + C2 t)e−t , x3 (t) = (2C1 + 2C2 t + C3 )e−t . x2 (t) = (C1 + C2 t)et − C3 sin t + C4 cos t, x4 (t) = C1 + C2 (t + 2) et .
c) x1 (t) = (C3 − C4 ) cos t + (C4 − C3 ) sin t,
x3 (t) = C2 et + C3 cos t + C4 sin t, 2+ t 10.4 x(t) = et 1 + 2t −t
10.5 x(t) = (1 + t 2 , 1 − t, 1 + t, 1 − 2t 2 )T . 10.6 Hyperbola, jejı´zˇ osy majı´ smeˇr (3, 1) a (−1, 3). 10.7 Pouzˇijte vy´sledku cvicˇenı´ 6.5 a pak vypocˇteˇte charakteristicke´ vektory prˇ´ıslusˇne´ charakteristicky´m 2kπ cˇ´ıslu˚m λk = ej n , k = 0, 1, . . . , n − 1.
Literatura [1] J. Brabec, Vybrane´ kapitoly z teorie matic. Vydavatelstvı´ CˇVUT, Praha, 1975. [2] J. Brabec, F. Martan, Z. Rozensky´, Matematicka´ analy´za I. SNTL, Praha, 1985. [3] J. Brabec, B. Hru˚za, Matematicka´ analy´za II. SNTL, Praha, 1986. [4] M. Demlova´, B. Pondeˇlı´cˇek, U´vod do algebry. Vydavatelstvı´ CˇVUT, Praha, 1996. [5] M. Fiedler, Specia´lnı´ matice a jejich pouzˇitı´ v numericke´ matematice. SNTL, Praha, 1981. [6] S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, Linear Algebra. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989. [7] G. H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix Computations. The John Hopkins University Press, Baltimore, 1983. [8] P. R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer, New York, 1987. [9] V. Havel, J. Holenda, Linea´rnı´ algebra. SNTL Praha, 1984. [10] E. Krajnı´k, Maticovy´ pocˇet. Vydavatelstvı´ CˇVUT, Praha, 2000. [11] P. Olsˇa´k, Linea´rnı´ algebra. Online http://math.feld.cvut.cz/olsak/linal.html [12] M. O’Nan, Linear Algebra. Harcourt Brace Jovanovich, Inc., New York, 1976. [13] P. Pta´k, Introduction to Linear Algebra. Vydavatelstvı´ CˇVUT, Praha, 1997. [14] M. Ra´b, Metody rˇesˇenı´ diferencia´lnı´ch rovnic, 2.dı´l. Vydavatelstvı´ VUT, Brno, 1989. [15] J. Rohn, Linea´rnı´ algebra a optimalizace. Karolinum, Praha 2004.
163
Rejstrˇ´ık anulujı´cı´ polynom matice, 107
identicke´ zobrazenı´, 58
aritmeticke´ vektory, 25
inverze v permutaci, 46
ba´ze, 29
ja´dro, 26 Jordanova ba´ze, 86
Cramerovo pravidlo, 53 Jordanova kanonicka´ matice, 86 Jordanu˚v blok, 86
de´lka rˇeteˇzce, 80 determinant matice, 46
kvadraticka´ forma, 127
dimenze vektorove´ho prostoru, 31
kanonicky´ tvar, 129
doplneˇk, 50
signatura, 132 elementa´rnı´ rˇa´dkove´ operace, 15 linea´rnı´ kombinace vektoru˚, 25
elementa´rnı´ sloupcove´ operace, 15
linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚, 27 Frobeniova veˇta, 42
linea´rnı´ obal, 28
funkce matice, 108
linea´rnı´ za´vislost vektoru˚, 27 linea´rnı´ zobrazenı´, 57
Gaussova eliminacˇnı´ metoda, 13 Gaussova–Jordanova eliminace, 16
matice, 5
Gramu˚v–Schmidtu˚v proces, 34
blokoveˇ diagona´lnı´, 6 cˇtvercova´, 5
hodnost matice, 39
diagona´lnı´, 5, 67, 68, 70, 72
homogennı´ soustava rovnic, 13, 15, 16, 26, 53
elementa´rnı´, 21 charakteristicka´ rovnice, 65
hodnost, 39
charakteristicke´ cˇ´ıslo, 64
idempotentnı´, 95
charakteristicky´ polynom, 65
inverznı´, 11, 19
charakteristicky´ prostor, 70
jednotkova´, 5
charakteristicky´ vektor, 64
komutujı´cı´, 9 164
RejstrˇI´k linea´rnı´ho zobrazenı´, 58
165 rozvoj determinantu, 50
Mooreova–Penroseova, 137 ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ matice, 15 nulova´, 5 ˇra´dkovy´ prostor matice, 39 pozitivneˇ definitnı´, 125 ˇreteˇzec, 80 pozitivneˇ semidefinitnı´, 125 prˇechodu, 60
Sarrusovo pravidlo, 47
pseudoinverznı´, 137
signatura kvadraticke´ formy, 132
regula´rnı´, 11, 53, 54
singula´rnı´ cˇ´ısla matice, 135
singula´rnı´, 11, 55
singula´rnı´ rozklad, 134
soustavy, 13
skala´rnı´ soucˇin, 32
rozsˇ´ırˇena´, 13
sloupcovy´ prostor matice, 39
symetricka´, 10
sourˇadna´ soustava, 28, 29
transponovana´, 10
sourˇadnice, 30
troju´helnı´kova´, 5, 47, 65
soustavy linea´rnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic, 145
dolnı´, 5
spektrum matice, 64
hornı´, 5
standardnı´ ba´ze, 29, 30
za´meˇnna´, 9
subdeterminant, 50
maticovy´ polynom, 103
SVD, 134
metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚, 158
Sylvestrovo kriterium, 126
minima´lnı´ polynom matice, 107
urcˇujı´cı´ polynom, 111
mocnina matice, 10 vektor, 5, 25 nulovy´ prostor, 26 ortogona´lnı´ vektory, 33
vektorovy´ prostor, 25 konecˇneˇ dimenziona´lnı´, 29
ortonorma´lnı´ ba´ze, 33
velikost vektoru, 33
ortonorma´lnı´ vektory, 33
veˇta Cayleyova–Hamiltonova, 106 vlastnı´ cˇ´ıslo, 64
permutace, 46 podobne´ matice, 67
vlastnı´ prostor, 70 vlastnı´ vektor, 64
podprostor, 26 princip superpozice, 57
zname´nko permutace, 46 zobecneˇny´ vlastnı´ vektor, 79
QR rozklad, 36
