Lineární algebra Matice, operace s maticemi
Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Obsah 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 93
Základní definice a označení
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
3 / 93
Základní definice a označení
Základní definice a označení
Definice Maticí typu m × n (popř. (m, n))rozumíme uspořádanou soustavu m.n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m × n zapisujeme a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . .. .. .. . .. . . . am1 am2 . . . amn Čísla a11 , a12 , . . . , amn nazýváme prvky matice, prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci značíme aij . První index se nazývá řádkový, druhý sloupcový.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
4 / 93
Základní definice a označení
Základní definice a označení
Definice Nechť A je matice typu (m, n). Je-li m 6= n, nazýváme A obdélníkovou maticí, pro m = n čtvercovou maticí. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice. Prvky a11 , a22 , . . . , ann tvoří hlavní diagonálu, prvky a1 n , a2 n−1 , . . . , an1 vedlejší diagonálou. Matici typu (1, n) nazýváme řádkovou maticí (též řádkovým vektorem), matici typu (n, 1) sloupcovou maticí (sloupcovým vektorem). Definice Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jsou-li všechny její prvky mimo hlavní diagonálu nulové, tj. aij = 0 pro i 6= j (i, j = 1, 2, . . . , n). V případě, že navíc platí aii = 1 nazývá se diagonální matice jednotková a značí se E (nebo I ).
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
5 / 93
Základní definice a označení
Základní definice a označení
Definice Čtvercovou matici nazýváme dolní, resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad, resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže aij = 0 pro j > i, resp. i > j. Definice Čtvercovou matici A = (aij ) nazýváme symetrickou, je-li aij = aji pro i, j = 1, 2, . . . , n. Čtvercovou matici A = (aij ) nazýváme antisymetrickou, je-li aij = −aji pro i, j = 1, 2, . . . , n. Matici typu (m, n) nazýváme nulovou, je-li aij = 0 pro i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. (Značíme ji O.)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
6 / 93
Základní definice a označení
Základní definice a označení
Příklady matic 1 −1 2 2 0 6 0 1 −3
4 0 0 0
0 −1 0 0
1 2 −4 1
2 3 −1 4
0 0 2 0
3 1 0
4 −1 1
0 0 , 0 1 −4 −1 2 3
1 4 , 3 −1
Lucie Doudová (UO Brno)
0 1 , 4
1 0 0
2 0 , 1
1
0 1 0
−3
0 0 , 1
1 −2 4 −1
2 3 1 −4
1 ,
0
1 0 0 0 −4 −1 2 −3
Lineární algebra
2 2 0 0
1 1 −1 0
1 4 , 3 −1
−4 5 , 2 −3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
7 / 93
Operace s maticemi
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
8 / 93
Operace s maticemi
Rovnost matic
Rovnost matic
Definice (Rovnost matic) Dvě matice A = (aij ), B = (bij ) téhož typu (m, n) jsou si rovny (píšeme A = B), právě když aij = bij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n). Věta Rovnost matic má tyto vlastnosti: 1
A = A (reflexivnost)
2
A = B ⇒ B = A (symetrie)
3
A = B, B = C ⇒ A = C (tranzitivnost)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
9 / 93
Operace s maticemi
Rovnost matic
Rovnost matic
Poznámka 1
Relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, se nazývá ekvivalence.
2
Každá rovnost mezi maticemi je stručným zápisem právě jedné soustavy rovností mezi čísly.
Příklad x1 1+t x2 = t x3 3 − 4t
Lucie Doudová (UO Brno)
⇔
Lineární algebra
x1 x2 x3
= = =
1+t t 3 − 4t
10 / 93
Operace s maticemi
Součet matic a násobení matice číslem
Součet matic a násobení matice číslem
Definice Nechť A = (aij ), B = (bij ) jsou matice téhož typu (m, n). Součtem matic A, B rozumíme matici C = (cij ) (píšeme C = A + B) typu (m, n), jejíž prvky jsou cij = aij + bij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n). Definice (Násobení matice číslem) Součinem matice A = (aij ) s číslem k rozumíme matici C (píšeme C = kA) téhož typu jako A, pro jejíž prvky cij platí cij = kaij Poznámka 1
Matici (−1)A nazýváme maticí opačnou k matici A a označujeme ji −A.
2
Jsou-li A, B téhož typu, nazýváme A + (−B) rozdílem matic A, B a píšeme A + (−B) = A − B.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
11 / 93
Operace s maticemi
Součet matic a násobení matice číslem
Součet matic a násobení matice číslem
Příklad Pro zadané matice A a B spočtěte matice C = A + B, D = −2A a E = 3A − B. 1 2 3 −1 −2 3 A= ; B= . 3 1 −5 2 5 −3
1 + (−1) 3+2
−2 · 1 −2 · 3
3 · 1 − (−1) 3·3−2
C = D= E =
Lucie Doudová (UO Brno)
3+3 0 = −5 + (−3) 5 −2 · 3 −2 −4 = −2 · (−5) −6 −2
2 + (−2) 1+5
−2 · 2 −2 · 1
3 · 2 − (−2) 3·1−5
0 6
6 −8
−6 10 3·3−3 4 = 3 · (−5) − (−3) 7
Lineární algebra
8 −2
6 −12
12 / 93
Operace s maticemi
Součet matic a násobení matice číslem
Součet matic a násobení matice číslem
Věta Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k1 , k2 libovolná čísla, pak platí: 1
A + B = B + A (komutativní zákon)
2
A + (B + C ) = (A + B) + C (asociativní zákon)
3
A + O = O + A = A (O je nulová matice téhož řádu jako A)
4
Ke každé maitci A existuje matice opačná (−A) tak, že A + (−A) = (−A) + A = O
5
1.A = A
6
k1 (k2 A) = (k1 k2 )A (asociativní zákon pro násobení číslem)
7
(k1 + k2 )A = k1 A + k2 A
8
k(A + B) = kA + kB
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
13 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Definice (Součin matic) Nechť A = (aij ) je matice typu (m, n), B = (bjk ) je matice typu (n, p). Součinem matice A s maticí B (v daném pořadí) rozumíme matici C = (cik ) typu (m, p), pro jejíž prvky platí cik =
n X
aij bjk ,
i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , p.
j=1
Píšeme C = AB.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
14 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Součin matic Pro zadané matice A a B spočtěte matice AB a BA
A=
Lucie Doudová (UO Brno)
2 −1
3 1
0 6
4 −2
,
Lineární algebra
4 −3 B= 2 3
0 1 3 −1
15 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Součin matic
2 −1
3 1
=
4 −2
4 −3 2 3
0 1 = 3 −1
2 · 4 + 3 · (−3) + 0 · 2 + 4 · 3
=
0 6
11
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
16 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Součin matic
2 −1
3 1
=
4 −2
4 −3 2 3
0 1 = 3 −1
2 · 4 + 3 · (−3) + 0 · 2 + 4 · 3
=
0 6
11
−1
2 · 0 + 3 · 1 + 0 · 3 + 4 · (−1)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
17 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Součin matic
2 −1
0 6
4 −2
4 −3 2 3
0 1 = 3 −1
2 · 4 + 3 · (−3) + 0 · 2 + 4 · 3 (−1) · 4 + 1 · (−3) + 6 · 2 + (−2) · 3
11 −1
=
=
3 1
−1
2 · 0 + 3 · 1 + 0 · 3 + 4 · (−1)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
18 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Součin matic
2 −1
0 6
4 −2
4 −3 2 3
0 1 = 3 −1
2 · 4 + 3 · (−3) + 0 · 2 + 4 · 3 (−1) · 4 + 1 · (−3) + 6 · 2 + (−2) · 3
11 −1
=
=
3 1
−1 21
2 · 0 + 3 · 1 + 0 · 3 + 4 · (−1) (−1) · 0 + 1 · 1 + 6 · 3 + (−2) · (−1)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
19 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Součin matic
4 −3 2 3
0 2 1 3 −1 −1
3 1
4 · 2 + 0 · (−1) (−3) · 2 + 1 · (−1) = 2 · 2 + 3 · (−1) 3 · 2 + (−1) · (−1)
8 −7 = 1 7
12 −8 9 8
0 6 18 −6
Lucie Doudová (UO Brno)
0 6
4 −2
=
4·3+0·1 (−3) · 3 + 1 · 1 2·3+3·1 3 · 3 + (−1) · 1
4·0+0·6 (−3) · 0 + 1 · 6 2·0+3·6 3 · 0 + (−1) · 6
4 · 4 + 0 · (−2) (−3) · 4 + 1 · (−2) 2 · 4 + 3 · (−2) 3 · 4 + (−1) · (−2)
16 −14 2 14
Lineární algebra
20 / 93
Operace s maticemi
Součin matic
Součin matic
Věta (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, k-číslo. Pro násobení matic platí: 1
(AB)C = A(BC ) (asociativní zákon)
2
k(AB) = (kA)B = A(kB) (asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem)
3
(A + B)C = AC + BC
4
A(B + C ) = AB + AC
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
21 / 93
Operace s maticemi
Transpnování matic
Transpnování matic
Definice Nechť matice A = (aij ) je typu (m, n). Potom matici a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 AT = . .. .. .. . . a1n a2n . . . amn typu (n, m) nazýváme transponovanou maticí k matici A. Věta (Základní vlastnosti transponování matic) 1
(AT )T = A
2
(A + B)T = AT + B T
3
(AB)T = B T AT
4
(kA)T = kAT
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
22 / 93
Operace s maticemi
Transpnování matic
Transpnování matic Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici 3X − 5A + B T = X + 3B T + 3A 2 1 0 1 −2 A= , B = 0 −1 3 −2 1 1 0 Řešení: 2X = 8A + 2B T X = 4A + B T
0 3
1 −2
0 12
4 −8
2 13
4 −9
X =4
X = X =
Lucie Doudová (UO Brno)
T 2 1 + 0 −1 1 0 −8 2 0 1 + 1 −1 0 4 −7 4 −2 1
Lineární algebra
23 / 93
Hodnost matice
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
24 / 93
Hodnost matice
Hodnost matice
Definice Čtvercovou matici typu (p, p), která vznikne z matice A typu (m, n) vypuštěním m − p řádků a n − p sloupců, nazveme submaticí řádu p matice A. Determinant této submatice nazveme subdeterminantem (též minorem) řádu p matice A. Věta Jsou-li v matici A všechny subdeterminanty řádu p rovny nule, jsou rovny nule i všechny subdeterminanty řádu vyššího než p. Definice (Hodnost matice) Řekneme, že matice A má hodnost h, jestliže existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu h různý od nuly a všechny její subdeterminanty řádu h + 1 (pokud existují) jsou rovny nule. Nulové matici přiřazujeme hodnost rovnu nule.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
25 / 93
Hodnost matice
Hodnost matice
Věta (Elementární operace) Hodnost matice se nemění: 1
vyměníme-li v matici řádky za sloupce (transponování)
2
výměnou dvou řádků nebo sloupců
3
násobením některého řádku nebo sloupce číslem k 6= 0
4
přičtením k-násobku řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci)
5
přičteme-li k nějakému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců)
6
připojením nového řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců)
7
vynecháním řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
26 / 93
Hodnost matice
Hodnost matice
Věta Každou nenulovou matici lze převést úpravami z předchozí věty na lichoběžníkový (resp. stupňový) tvar. Věta Nechť A je nenulová matice typu (m, n), která má hodnost h. Pak existuje právě h řádků matice A tak, že ostatní řádky matice A jsou jejich lineární kombinací. Poznámka Na základě předchozích vět můžeme tedy stanovit hodnost matice i tak, že ji nejprve převedeme na lichoběžníkový (stupňový) tvar a její hodnost je pak rovna počtu nenulových řádků.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
27 / 93
Hodnost matice
Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A.
1 2 A= −2 1 Řešení: 1 2 −2 1
3 2 0 6 9 7 −5 2 4 4 8 4 r20 = −2r1 + r2 r30 = 2r1 + r3 r40 = −r1 + r4
3 6 −5 4
2 9 2 8
0 7 4 4
5 12 5 20
5 1 3 2 0 5 1 3 2 0 0 5 7 12 2 ∼ ∼ 0 1 6 5 0 1 6 4 15 0 0 5 20 0 1 6 4 15 Prohodíme r2 a r3 . V matici jsou 2 stejné řádky. Jeden tedy můžeme vynechat.
0 4 7
5 15 2
z nich
Matici A jsme převedli na lichoběžníkový tvar, ve kterém jsou tři nenulové řádky. Hodnost matice je tedy 3 (h(A) = 3). Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
28 / 93
Hodnost matice
Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A.
Řešení: 2 4 6 2
−1 −1 3 −2 −1 1 −3 −1 −1 −1 2 −12 r20 = −2r1 + r2 r30 = −3r1 + r3 r40 = −r1 + r4
2 0 ∼ 0 0
−1 0 0 0
−1 1 0 0
Lucie Doudová (UO Brno)
3 −5 0 0
2 4 A= 6 2
−1 −2 −3 −1
1 5 ∼ 9 10
2 0 0 0
−1 −1 −1 2
3 1 −1 −12
−1 0 0 0
−1 1 2 3
1 5 9 10
3 −5 −10 −15
1 3 ∼ 6 9
r30 = −2r2 + r3 r40 = −3r2 + r4 1 3 0 0
Matici A jsme převedli na stupňovitý tvar. Máme 2 nenulové řádky. Proto h(A) = 2. Lineární algebra
29 / 93
Determinanty
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
30 / 93
Determinanty
Determinanaty
Definice Determinantem n-tého řádu rozumíme přiřazené schématu a11 a21 . .. an1
číslo (které značíme A, popř. |A|, det(A), |aij |) a12 a22 .. . an2
... ... .. . ...
a1n a2n .. , . ann
kde aij jsou reálná nebo komplexní čísla a nazýváme je prvky determinantu, čísla a11 , a22 , . . . , ann tvoří tzv. hlavní diagonálu, čísla a1n , a2,n−1 , . . . , an1 tzv. vedlejší diagonálu.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
31 / 93
Determinanty
Sarrusovo pravidlo
Determinanaty
Poznámka Přechod od schématu k číslu nazýváme vyčíslením (výpočtem) determinantu. Samotné číslo nazýváme hodnotou determinantu. Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 2 a 3 Determinanty řádu 2 a11 a21 Determinanty řádu 3 a11 a21 a31
a12 a22 a32
a12 = a11 a22 − a12 a21 . a22
a13 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a33 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11 .
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
32 / 93
Determinanty
Sarrusovo pravidlo
Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3
Příklad 1
2
2 3 . Vypočtěte determinant 1 −2 2 3 1 −2 = 2 · (−2) − 3 · 1 = −7 6 −3 4 2 1 . Vypočtěte determinant 1 5 −5 2 6 −3 4 1 2 1 = 6 · 2 · 2 + (−3) · 1 · 5 + 4 · 1 · (−5) − . . . 5 −5 2
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
33 / 93
Determinanty
Sarrusovo pravidlo
Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3
Příklad 1
2
2 3 . Vypočtěte determinant 1 −2 2 3 1 −2 = 2 · (−2) − 3 · 1 = −7 6 −3 4 2 1 . Vypočtěte determinant 1 5 −5 2 6 −3 4 1 2 1 = 6 · 2 · 2 + (−3) · 1 · 5 + 4 · 1 · (−5) − 5 −5 2 − 4 · 2 · 5 + (−3) · 1 · 2 + 6 · 1 · (−5) = = 24 − 15 − 20 − (40 − 6 − 30) = −15
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
34 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Definice Nechť A = |aij | je determinant. 1
Subdeterminantem Mij přidruženým k prvku aij rozumíme determinant, který vznikne z determinantu A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce, tj. řádku a sloupce, ve kterém leží prvek aij . (Hovoříme též o minoru Mij .)
2
Algebraickým doplňkem Aij prvku aij rozumíme subdeterminant přidružený k prvku aij vynásobený číslem (−1)i+j . Platí tedy Aij = (−1)i+j Mij .
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
35 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Příklad Určete subdeterminant a algebraický doplněk k 1 −3 3 A = −2 3 −2
Lucie Doudová (UO Brno)
prvku a32 v determinantu 2 1 , 2
1 M32 = −2
= 5,
A32
1 −2
2 1 = (−1)3+2
Lineární algebra
2 = −5 1
36 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Věta Determinant je roven součtu prvků libovolného (ale pevně zvoleného) řádku (sloupce) násobených příslušnými algebraickými doplňky, tj. X X A= aij Aij = aij Aij . j
i
Tento vztah nazýváme rozvojem determinantu A podle i tého řádku (j-tého sloupce).
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
37 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle prvního řádku 1 0 0 2 1 3 =1· 1 3 −0· 2 3 3 2 1 2 3 1 2
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
+0· 2 3
1 = −1 1
38 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce 1
2
3
4
0 −5 −1 1 3 −1 2 2 = 1 −1 0 3 1 2 1 4 1 3 −1 2+4 1 −1 +(−1) (2) 3 −2 1 2 1 0 −5 3 −1 + (−1)4+4 (1) 2 3 1 2
1 2 A= 3 −2 2 (−1) (−1) 3 −2 1 (−1)3+4 (0) 2 −2 1+4
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
0 1 1 0 3 1
+ −5 −1 −1 −5 −1 2
39 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce 1
2
3
4
0 −5 −1 1 3 −1 2 2 = 1 −1 0 3 1 2 1 4 1 2 3 −1 2+4 1+4 1 −1 +(−1) (2) 3 (−1) (−1) 3 −2 −2 1 2 1 1 0 −5 3 −1 (−1)4+4 (1) 2 +(−1)3+4 (0) 2 −2 3 1 2 1 2 A= 3 −2
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
0 1 1 0 3 1
+ −5 −1 −1 −5 −1 2
40 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce 1
2
3
4
0 −5 −1 1 3 −1 2 2 = 1 −1 0 3 1 2 1 4 1 3 −1 2+4 1 −1 + (−1) (2) 3 −2 1 2 1 0 −5 3 −1 +(−1)4+4 (1) 2 3 1 2
1 2 A= 3 −2 2 (−1) (−1) 3 −2 1 (−1)3+4 (0) 2 −2 1+4
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
0 1 1 0 3 1
+
−5 −1 2 −5 −1 −1
41 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty
Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce 1
2
3
4
0 −5 −1 1 3 −1 2 2 = 1 −1 0 3 1 2 1 4 1 3 −1 2+4 1 −1 + (−1) (2) 3 −2 1 2 1 0 −5 3 −1 +(−1)4+4 (1) 2 3 1 2
1 2 A= 3 −2 2 (−1) (−1) 3 −2 1 (−1)3+4 (0) 2 −2 1+4
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
0 1 1 0 3 1
+
−5 −1 2 −5 −1 −1
42 / 93
Determinanty
Rozvoj determinantu
Determinanaty Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce 1
2
3
4
1 2 A= 3 −2
0 3 1 1
−5 −1 −1 2
−1 2 0 1
1 2
=
3 4
1 2 3 −1 2+4 1+4 3 1 −1 = (−1) (−1) + (−1) (2) 3 −2 −2 1 2 1 0 0 −5 1 3 3 −1 + (−1)4+4 (1) 2 + (−1)3+4 (0) 2 −2 3 1 2 1
−5 −1 + 2 −5 −1 = −1 0 1 1
= (−1)6 · (−11) + (−1)6 · 2 · (−22) + (−1)7 · 0 · (−24) + (−1)8 · 33 = = −11 − 44 + 0 + 33 = −22 Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
43 / 93
Determinanty
Vlastnosti
Determinanaty
Vlastnosti determinantů 1 Hodnota determinantu se nezmění, vyměníme-li sloupce se řádky (transponováním). 2 Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva různé řádky (sloupce), změní se znaménko determinantu. 3 Obsahuje-li některý řádek (sloupec) determinantu samé nuly, je hodnota determinantu rovna nule. 4 Determinant, který má dva stejné řádky (sloupce), je roven nule. 5 Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) determinantu číslem k, je hodnota nově vzniklého determinantu rovna k-násobku hodnoty původního determinantu. 6 Je-li některý řádek (sloupec) determinantu roven k-násobku jiného řádku (sloupce), je determinant roven nule.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
44 / 93
Determinanty
Vlastnosti
Determinanaty
Vlastnosti determinantů 7 Jsou-li A, B, C determinanty lišící se pouze v k-tém řádku (sloupci), přičemž k-tý řádek (sloupec) determinantu C je součtem k-tých řádků (sloupců) determinantů A a B, je C = A + B. 8 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) k-násobek jiného řádku (sloupce). 9 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k danému řádku (sloupci) lineární kombinai zbylých řádků (sloupců). 10 Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále. 11 Determinant je roven 0, právě když je některý jeho řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců).
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
45 / 93
Determinanty
Vlastnosti
Determinanaty
Příklad Vypočtěte determinant úpravou na schodovitý 1 0 2 3 A= 1 3 −2 1
Lucie Doudová (UO Brno)
tvar −5 −1 −1 2
Lineární algebra
−1 2 0 1
46 / 93
Determinanty
Vlastnosti
Determinanaty Příklad 1 2 A = 3 −2
0 3 1 1
−5 −1 −1 2
−1 2 0 1
=
1 0 0 0
r20 = −2r1 + r2 r30 = −3r1 + r3 r40 = 2r1 + r4 = −
1 0 0 0
0 1 1 3
−5 −8 14 9
−5 9 14 −8
−1 4 3 −1
=
−1 −1 4 7
=
r20 = r4 r40 = r2
−1 −1 3 4
=−
r30 = −r2 + r3 r40 = −3r2 + r4
Lucie Doudová (UO Brno)
0 3 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
−5 −8 22 33
r30 = 12 r3
Lineární algebra
47 / 93
Determinanty
Vlastnosti
Determinanaty
Příklad −2
1 0 0 0
0 1 0 0
−5 −8 11 33
−1 −1 2 7
= − 2
1 0 0 0
0 1 0 0
−5 −8 11 0
−1 −1 2 1
=
r40 = −3r3 + r4 = (−2) · 1 · 1 · 11 · 1 = − 22
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
48 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Věta Nechť je v determinantu A řádu n ≥ 3 prvek a11 6= 0. Pak pro hodnotu determinantu platí vztah 2−n det A = a11 det A0 , kde det A0 je determinant řádu n − 1, jejíž prvky aij0 , i, j = 1, . . . , n − 1, jsou tvaru a11 a1,j+1 . aij0 = ai+1,1 ai+1,j+1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
49 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Kondenzační metoda výpočtu determinantů
Poznámky 1
Prvek a11 se nazývá vůdčí prvek nebo pivot.
2
Je-li v determinantu prvek a11 = 0, pak výměnou řádků, případně sloupců docílíme toho, aby na místě pivota bylo nenulové číslo, přičemž je třeba dbát na to, že při každé výměně řádků (sloupců) se mění znaménko determinantu.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
50 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty Příklad Vypočtěte determinant kondenzační metodou 1 0 −5 −1 2 3 −1 2 = A = 3 1 −1 0 −2 1 2 1 =12−4 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
51 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
52 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
53 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
54 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
55 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
56 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
57 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
58 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Příklad 1 2 A = 3 −2 2−4 =1 ·
Lucie Doudová (UO Brno)
−5 −1 −1 2
0 3 1 1
−1 2 0 1
=
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
Lineární algebra
−1 2 −1 = 0 −1 1
59 / 93
Determinanty
Kondenzační metoda
Determinanaty
Pokračování příkladu 2−4 =1 · =1 ·
3 1 1
Lucie Doudová (UO Brno)
1 2
0 3
1 2
−5 −1
1 2
1 3
0 1
1 3
−5 −1
1 3
1 −2
0 1
1 −2
−5 2
1 −2
9 14 −8
4 3 −1
−1 2 −1 = 0 −1 1
= −42 + 27 − 32 − (56 − 72 − 9) = −22
Lineární algebra
60 / 93
Inverzní matice
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
61 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice
Definice Nechť A je daná matice. Existuje-li matice Z tak, že platí AZ = ZA = E , nazýváme ji inverzní maticí k dané maici A a značíme Z = A−1 .
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
62 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice Označení Nechť A = (aij ) je čtvercová matice. Matici A11 A21 . . . A12 A22 . . . . .. .. .. . . A1n A2n . . .
An1 An2 .. , . Ann
kde Aij je algebraický doplněk prvku aij , budeme nazývat adjungovanou maticí k matici A a značit adjA (resp. A∗ ). Věta Nechť A je čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly. Pak matice A−1 =
1 adjA det A
je inverzní maticí k matici A.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
63 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice
Definice Čtvercová matice se nazývá regulární, je-li její determinant různý od nuly. Je-li det A = 0, hovoříme o singulární matici. Věta Inverzní matice ke čtvercové matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární matice. Poznámka Inverzní matici k matici A lze také nalézt pomocí řádkových úprav matice. Sestavíme novou matici tak, že nejdříve napíšeme matici A a za ni matici E . Pro přehlednost je oddělíme čarou. Pomocí řádkových úprav převedeme matici před čarou na jednotkovou matici a matice za čarou se převede (pomocí stejných úprav) na matici inverzní k matici A. A|E ∼ · · · ∼ E |A−1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
64 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice Příklad Určete matici inverzní k matici
A11 = (−1)1+1 A12 = (−1)1+2 A13 = (−1)1+3 A21 = (−1)2+1 A22 = (−1)2+2
−1 2 1 1 1 1 1 2 2 1
2 A= 1 1
2 = −2 −2 2 =4 −2 −1 =3 2 −3 = −4 −2 −3 = −1 −2
−3 2 . −2
1 −1 2
A23 = (−1)2+3 A31 = (−1)3+1 A32 = (−1)3+2 A33 = (−1)3+3
1 = −3 2 1 −3 = −1 −1 2 2 −3 = −7 1 2 2 1 = −3 1 −1 2 1
|A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = 2 · (−2) + 1 · 4 + (−3) · 3 = −9 Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
65 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice Pokračování příkladu Určete matici inverzní k matici
A−1
2 A= 1 1
1 −1 2
−3 2 . −2
−1 2
2 −2
1 − 2
−3 −2
2 1
−3 −2
−
2 1
1 2
2 1
1 − = −9
1 1
2 −2
1 1
−1 2
−2 1 4 =− 9 3
−4 −1 −3
Lucie Doudová (UO Brno)
−
2 1
1 −1
−3 2 −3 = 2 1 −1
−1 −7 −3 Lineární algebra
66 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice Příklad - jiný postup Určete matici inverzní k matici
A
z
2 1 1
}| 1 −1 2
2 A= 1 1
E
{ z −3 2 −2
1 0 0
}| 0 1 0
{ 1 0 0 ∼ 2 1 1
−1 1 2
Zaměníme 1. a 2. řádek
1 0 0
−1 3 3
−3 2 . −2
1 −1 2
2 0 1 −7 1 −2 −4 0 −1 −r2 + r3
Lucie Doudová (UO Brno)
0 1 0 ∼ 0 1 0
−1 3 0
2 0 1 −3 1 0 −2 0 0 −2r1 + r2 −r1 + r3 2 −7 3
Lineární algebra
0 1 −1 r3 /3
1 −2 1
0 0 ∼ 1
0 0 ∼ 1
67 / 93
Inverzní matice
Inverzní matice
Pokračování příkladu 0 1 −1 2 0 3 −7 1 0 0 1 − 13 r2 + 7r3 r1 − 2r3
1 0 0
−1 1 0
2 0 3 0 − 49 1 − 13 r1 + r3
1 0 0 ∼ 0 1 0 3
1 −2 1 3
−1 3 0
1 3 1 9 1 3
A
Lucie Doudová (UO Brno)
2 3 − 34 − 31
1 3 1 3 1 3
− 23 7 3 1 3
∼
r2 /3 − 23 7 9 1 3
1 0 0
∼
|
−1
0 0 1
=
2 9 − 49 − 13
4 9 1 9 1 3
1 9 7 9 1 3
0 1 0 {z E
0 0 1
2 9 − 49 − 13
} |
−2 1 =− 4 9 3
Lineární algebra
4 9 1 9 1 3
{z
A−1
−4 −1 −3
1 9 7 9 1 3
} −1 −7 −3
68 / 93
Maticové rovnice
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
69 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Maticové rovnice typu A · X = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A−1 zleva (za podmínky, že inverzní matice existuje): A−1 AX = A−1 B Protože pro inverzní matici platí A−1 A = E dostáváme: EX = A−1 B A konečně protože EX = X můžeme psát výsledek X = A−1 B
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
70 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AX = B 2 3 1 A= , B= 5 8 2
−3 1
0 4
5 −1
Řešení bude ve tvaru X = A−1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. 8 −3 A−1 = −5 2 Pro matici X tedy platí 8 −3 1 X = −5 2 2
Lucie Doudová (UO Brno)
−3 1
0 4
5 −1
Lineární algebra
=
2 −1
−27 17
−12 8
43 −27
71 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici AX = B 3 −1 2 3 A = 4 −3 3 , B= 1 1 3 0 7
9 11 5
7 7 7
Řešení bude ve tvaru X = A−1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. |A| = 0 − 3 + 24 − (−6 + 27 + 0) = 0 Determinanat vyšel roven 0 což znamená, že k matici A neexistuje matice inverzní a danou maticovou rovnici nelze řešit pomocí inverzních matic. Lze však použít obecného postupu, kdy maticovou rovnici přepíšeme do soustavy rovnic. 3x1 − x4 + 2x7 = 3
3x2 − x5 + 2x8 = 9
3x3 − x6 + 2x9 = 7
4x1 − 3x4 + 3x7 = 1
4x2 − 3x5 + 3x8 = 11
4x3 − 3x6 + 3x9 = 7
x1 + 3x4 = 7
x2 + 3x5 = 5
x3 + 3x6 = 7 Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
72 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Maticové rovnice typu X · A = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A−1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existuje): XAA−1 = BA−1 Protože pro inverzní matici platí AA−1 = E dostáváme: XE = BA−1 A konečně protože XE = X můžeme psát výsledek X = BA−1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
73 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B. 6 4 5 A = 2 1 2 , 3 3 3
1 B = 10 10
Nejdříve určíme matici inverzní k matici A. 1 −1 A = 0 −1
−1 −1 2
Pro matici X platí X = BA−1 . 1 −3 0 1 2 7 0 X = 10 10 7 8 −1
Lucie Doudová (UO Brno)
−1 −1 2
−3 2 7
−1 2/3 2/3
−1 1 2/3 = 3 2/3 2
Lineární algebra
0 7 8
2 2 −1
−2 −4 0
74 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B. 1 −1 0 2 2 , A = −2 0 1 2
−1
X = BA
=
Lucie Doudová (UO Brno)
6 7
−4 1
0 2
1 −2 0
B=
−1 2 1
Lineární algebra
6 7
−4 1
0 2
0 2 2 = −7 2
−2 −7
2 8
75 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Maticové rovnice typu A · X · B = C Uvedenou rovnici vynásobíme matící A−1 zleva a maticí B −1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existují): A−1 AXBB −1 = A−1 CB −1 Protože pro inverzní matici platí A−1 A = E (a samozřejmě také BB −1 = E ) dostáváme: EXE = A−1 CB −1 A konečně protože EXE = X můžeme psát výsledek X = A−1 CB −1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
76 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AXB = C . 0 −2 −1 −1 0 5 , A= 2 B= 0 1 −2 1 1
1 3 2
2 1 , 0
0 C = 0 0
6 −14 0
3 −7 . 0
Pro matici x platí X = A−1 CB −1 . Nejdříve vypočteme matice inverzní k maticím A a B. 10 2 −10 1 −1 3 1 −2 , A = −2 −4 −2 4 −2 4 −5 1 1 −2 1 B −1 = −3 −3 3 −3
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
77 / 93
Maticové rovnice
Maticové rovnice
Pokračování příkladu 10 4 −10 0 6 1 1 3 1 −2 0 −14 − X = − 3 2 −4 −2 4 0 0 0 4 2 −2 4 −5 11 0 4 2 1 −2 1 = 32 0 4 2 −3 3 −3 0 2 1 −2 4 −5 1 0 2 1 1 −2 1 = 3 0 2 1 −3 3 −3 −1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 = − 1 1 1 = 3 3 −1 −1 −1 1 1 1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
3 −2 −7 1 0 −3
4 −2 3
−5 1 −3
78 / 93
Příklady
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
79 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Operace s maticemi
1
2
Určete x, y a z tak aby platilo A = B. x 7 −1 A= , 2 0 z
B=
−3 2
7 y
−1 5
Pro dané matice A, B a C spočtěte 3A, A − C , 2A − B + 3C a kterou platí A + 3X = 2B − C + 2X . 0 −1 2 1 1 −1 0 2 1 0 , B = 0 −2 3 A= 3 −2 4 0 1 2 1 6 0 2 0 −1 0 C = 2 −4 1 −3 2 0 1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
určete matici X pro 2 1 , 4
80 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Součin matic
a) Pro matice A a B, spočtěte matice AB a BA b) A =
1 3
2 4
1 c) A = −2 4
1
1
A=
1 2
2 3
,B=
−1 6
−1 1 2 , B = −2 −4 3 1 3 2 , B = 1 4 1 2 2
−1 2 −4
2 −4 6
3 −6 9
Vypočtěte
2
4 5
0 4 · 1 3
−1 −1
−3 1 · −1 1
0 1
Vypočtěte
Lucie Doudová (UO Brno)
1 3
2 1 · 1 2
Lineární algebra
−3 −1
T
81 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Hodnost matice Určete hodnost matice 2 5 −3 1 3 −2 1 3 8 −5 0 1 −1 6 17 −11 1 −1 3 5 4 2 3 0 −1 6 2 1 1 4 2 0 4 3 7 6 10 2 1 3 −1 3 −1 2 0 3 1 3 4 −2 4 −3 1 1 1 −1 1 1 1 2 3 2 0 1 4 3 1 1 1 1 2 −3 0 2 2 6 4 4 2 3 Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
82 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Determinanty
Vypočítejte hodnoty determinantů. 2 1 1 −3 1 x e e −x 2 1 2e −x √ √ 1+ 3 3− 5 √ √ 3 3+ 5 1− 3 1 1 1 4 1 2 3 1 3 6 1 1 −1 5 3 −1 4 1 5 −8
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
83 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Determinanty
Řešte v R 1 2 1 x x 2 4x 2x 2 x −1 2 x 4 3 x 2 1 1 3x 0 4 −2 0 1 x
=0 −3 ≥0 1−x 9 3 = 0 1 3 −1 < 0 7
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
84 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Determinanty
Různými způsoby vypočítejte hodnotu determinantu. 2 −5 1 2 −3 −7 −1 4 1 5 −9 2 7 4 −6 1 2 2 0 0 2 0 1 3 0 2 −4 0 2 4 2 1 5 10 2 2 1 0 −1 2 1 0 −1 0 3 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 2 −1 0 1 2 2
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
85 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Inverzní matice
K daným maticím určete inverzní matice (pokud existují). 2 1 1 1 0 1 2 2 2 2 1 −2 2 −2 1 1 −2 3 3 2 0 −1 4 −4 5 1 0 −1 2 1 1 −1 1 4 −2 0 3 −6 −4 −1 6 −10
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
86 / 93
Příklady
Příklady k procvičení: Maticové rovnice
Nalezněte matici X , která vyhovuje dané rovnici. 3 5 −1 5 1 X · = 2 4 −2 6 1 2 −3 1 −3 0 2 3 2 −4 · X = 10 2 7 2 −1 0 10 7 8 1 0 1 0 1 −3 3 ·X · = −1 1 1 1 1 2 2 5 0 2 5 0 −1 2 6 4 2 + 3X = 7 + 7 −1 3 7 −1 3 −2 5 0 1 0 1 3 2 5 C + XA = BA, kde A = ,B= ,C = 2 3 0 2 0
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
3 . 1
87 / 93
Příklady pro samostatné studium
Obsah přednášky 1
Základní definice a označení
2
Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic
3
Hodnost matice
4
Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda
5
Inverzní matice
6
Maticové rovnice
7
Příklady
8
Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
88 / 93
Příklady pro samostatné studium
Příklady pro samostatné studium
Příklad 1: Najděte matici X pro kterou 1 2 −1 0 1 1 A= 3 −1 0 −1 0 2
0 −1 C = −2 1
2 2 0 4
7 0 1 −1
Příklad 2: Vypočtěte AB, BA a AT B 3 1 A= 2 1 1 2
Lucie Doudová (UO Brno)
platí: 3(A − X ) + B = A − 2X + C + 2B, kde −1 3 5 0 1 2 0 1 −2 0 , B= 0 1 −1 2 2 3 −4 0 1 1
1 4 4 1 pro matice 1 1 2 , B = 2 3 1
Lineární algebra
1 −1 0
−1 1 1
89 / 93
Příklady pro samostatné studium
Příklady pro samostatné studium
Příklad 3: Určete hodnost matice A A= Příklad 4: Vypočtěte determinant 4 4 4 a) 3 0 −3 5 5 0 2 1 0 3 0 −1 −2 0 b) 3 −3 1 0 1 2 0 −1
Lucie Doudová (UO Brno)
2 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1
1 1 4 1 3 1
1 1 1 5 4 1
Lineární algebra
90 / 93
Příklady pro samostatné studium
Příklady pro samostatné studium
Příklad 5: Kdaným maticím určete inverzní matice 3 5 a) 2 4 1 1 −1 6 b) −4 −5 −3 −3 4 1 0 2 −1 2 1 −1 0 c) 1 2 2 1 1 1 1 1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
91 / 93
Příklady pro samostatné studium
Příklady pro samostatné studium
Příklad 6: Nalezněte matici X , která vyhovuje dané 1 1 −1 1 −1 1 0 = 4 3 a) X 2 1 −1 1 1 −2 2 3 7 5 b) X = 4 2 6 1 2 3 1 0 7 5 c) X = 4 2 2 1 6 1 d) A + BX = C + 2AX , kde 1 2 3 A= , B= 0 2 −1
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
rovnici 3 2 5
1 2
,
C =
2 1
−1 3
92 / 93
Konec
Následuje téma Soustavy lineárních rovnic.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
93 / 93