@149
13. Soustava lineárních rovnic a matice Definice: Matice je tabulka reálných čísel. U matice rozlišujeme řádky (i=1,..n), sloupce (j=1,..m) a říkáme, že matice je typu (n x m). Označíme-li matici písmenem A, její prvky značíme ai,j. Příklad: matice A typu 3x5
a1,1 a1, 2 a2,1 a2, 2 a3,1 a3, 2
a1, 3 a2, 3 a3, 3
a1, 4 a2, 4 a3, 4
a1, 5 a2, 5 a3, 5
Poznámka: Nepleťte si matici s determinantem: matice je tabulka čísel, determinant je jedno číslo. pokračování
@152 zpět Správně Pro úpravy matic platí (stejně jako pro úpravy soustavy lineárních rovnic) následující jednoduché transformace. Věta: Jestliže s maticí soustavy lineárních rovnic provádíme tyto transformace: 1. přehození dvou řádků matice 2. vynásobení nebo vydělení řádku (všech prvků v řádku) stejným nenulovým reálným číslem 3. přičtení nebo odečtení jednoho řádku k jinému (po prvcích) Pak řešení původní soustavy lineárních rovnic je stejné jako řešení soustavy lineárních rovnic upravené matice soustavy. Příklad: Řešte soustavu rovnic
3x - 5y = 2 2x + 3y = 14
Řešení: rozbor Vytvoříme matici soustavy a budeme ji upravovat
3 2
5 2 3 14
6 0
10 4 19 38
6 0 24 0 1 2
1.řádek vynásobíme 2 2.řádek vynásobíme 3
6 6
10 4 9 42
od 2.řádku odečteme 1.řádek
2.řádek vydělíme 19
6 0
10 4 1 2
2.řádek vynásobíme 10 a přičteme k 1.řádku
1.řádek vydělíme 6
1 0 4 0 1 2
poslední úpravě odpovídá tato soustava lineárních rovnic x
=4 y =2 a kandidáta řešení máme jako na dlani [4; 2] Zkouška: L1 = 3.4 – 5.2 = 2 = P1 L2 = 2.4 + 3.2 = 14 = P2
Úkol: Řešte soustavu lineárních rovnic
2x + 3y - 2z = 11 5x + 2y - 7z = 9 3x - 4y + 5z = -1 výsledek
@157
Bohužel
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 2 3 4
Této matici odpovídá řešení [1; 2; 3; 4], které, jak snadno ověříme zkouškou, není řešením původní soustavy a tedy tato matice nemůže být ani echelonem původní soustavy. znovu prostudujte
@160 zpět Příklad: Řešte soustavy rovnic x-y = 3 y- z= 2 -x +z= 1
(A)
(B)
x-y = 1 y- z= 0 -x + z = -1
Řešení: určíme matice soustav a upravíme pokud možno do tvaru echelon soustava A
matice soustavy
1 0 1
1 1 0
echeleon
0 3 1 2 1 1
~
1 0
1 5
0 1 0 0
1 2 0 6
V posledním řádku poslední matice sestavy se nalézají samé nuly až na poslední prvek. Tomu odpovídá rovnice 0.x + 0.y + 0.z = 6 Tuto rovnici nemůže splnit žádná trojice reálných čísel. Proto tato soustava rovnic nemá žádné řešení. soustava B
matice soustavy
1 0 1
1 1 0
0 1 1
echeleon
1 0 1
~
1 0
1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
Poslední řádek v matice sestavy obsahuje samé nulové prvky. Tomu odpovídá rovnice 0.x + 0.y + 0.z = 0 která je splněna každou trojicí reálných čísel. Tedy tato soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení. Řešení jsme schopni popsat jen parametrizací. Je to snadné. Prvnímu a druhému řádku poslední matice odpovídají rovnice x
-z=1 y -z=0
V obou vystupuje neznámá z, kterou vezmeme za parametr a snadno vypočítáme x=1+z , y=z Tedy kandidátem řešení je uspořádaná trojice [z+1; z; z], kde z R
Zkoušku lze provést snadno zpaměti. Poznámka: Poslední příklad nám dává návod, jak řešit soustavy lineárních rovnic, v nichž je méně rovnic než neznámých. Úkol: Řešte soustavu rovnic 2x - y + 3z = 3 x+y =0 výsledek
@163 zpět Řešte soustavu rovnic x - 3y + 4z - 5t = -3 x+ y + 3t = 5 Řešení: matice soustavy
1 1
3 4 1 0
5 3
3 5
echeleon
~
1 0 0 1
1 1 3 1 2 2
Máme 2 rovnice pro 4 neznámé, proto musíme použít 2 (=4-2) parametry k zápisu uspořádané čtveřice, která představuje kandidáta řešení; volíme z a t. [3-z-t; 2+z-2t; z; t] , z,t R Ověřte zkouškou. Úkol: Řešte soustavu rovnic x- y+z- t=3 -x + y - z + t = 5 výsledek
@150 zpět Mějme dvě soustavy lineárních rovnic 3x - 5y = 2 2x + 3y = 14
2x + 3y - 2z = 11 5x + 2y - 7z = 9 3x - 4y + 5z = -1
Maticí soustavy rozumíme tabulku sestavenou z koeficientů u neznámých a z hodnot pravých stran. Tj. následující matice typu 2x3 a 3x4
3 2
5 2 3 14
2
3
2
11
5 3
2 4
7 5
9 1
Úkol: Který zápis je správný varianta A: a1,2 = -5
b3,2 = -4
b2,1 = 5
varianta B: a2,1 = -5
b2,3 = -4
b1,2 = 5
varianta C: a3,2 = 14
b2,3 = -7
b3,3 = 5
@153 zpět Řešte soustavu lineárních rovnic 2x + 3y - 2z = 11 5x + 2y - 7z = 9 3x - 4y + 5z = -1 Řešení: rozbor Mohli jste postupovat jinak; pořadí následujících úprav není závazné. Důležité je, zdali jste se dostali ke stejnému výsledku.
2
3
2
11
5 3
2 4
7 5
9 1
1 2 0
7 3 3
7 2 10
12 11 1
1 0 0
7 1 3
7 44 10
12 41 1
1 0 0 1 0 0
57 44 122
1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1
55 41 122
přehodíme řádky, protože s jedničkou se lépe počítá
2.ř – 2*(1.ř.)
1.ř + 2*(3.ř)
3.ř / 122
3
4
5
1
2 5
3 2
2 7
1 0 0
7 17 3
7 16 10
12 35 1
1 0 0
1 1 3
13 44 10
14 41 1
1 0 0 1 0 0
57 44 1
11 9
2.ř – 1.ř 3.ř – (1.ř + 2.ř)
55 41 1
2.ř – 6*(3.ř)
1.ř + 2.ř 3.ř - 3*(2.ř) 1ř. + 57*(3.ř) 2.ř + 44*(3.ř)
kandidátu řešení odpovídá
[2; 3; 1]
Zkouška musí být provedena do původní soustav rovnic L1 = 2.2 + 3.3 – 2.1 = 11 = P1 L2 = 5.2 + 2.3 - 7.1 = 9 = P2 L3 = 3.2 – 4.3 + 5.1 = -1 = P3 Poznámka: Myšlená čára spojující prvky matice a1,1,a2,2,a3,3,... tj. 1.řádek,1.sloupec , 2.řádek, 2.sloupec , 3.,3. ,... se nazývá hlavní diagonála.
Poznámka: Poslední matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky (mohou být i nuly) a prvky pod touto hlavní diagonálou jsou všechny nulové, a ve sloupcích nad jedničkami v hlavní diagonále jsou také nulové prvky, pak takovou matici nazývají Angličané echelon, v češtině neznám žádné zvláštní označení. Úkol: Proč musíme dělat zkoušku? Vždyť jsme formulovali větu o tom, že původní i výsledná soustava lineárních rovnic má identické řešení. To je snad zbytečné, ne ? odpověď
@158
Bohužel
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3 4 1 2
Této matici odpovídá řešení [3; 4; 1; 2], které, jak snadno ověříme zkouškou, není řešením původní soustavy a tedy tato matice nemůže být ani echelonem původní soustavy. znovu prostudujte
@161 zpět Řešte soustavu rovnic 2x - y + 3z = 3 x+y =0 Řešení:
Matici soustavy rovnic a její echelon snadno sestavíme
2 1
1 3 3 1 0 0
~
1 0 0 1
1 1
1 1
Z poslední matice dostáváme kandidáta na řešení, tj. uspořádanou trojici [1-z; z-1; z] , z R Zkouška potvrdí, že je to řešení původní soustavy rovnic. Poznámka: Vyřešíme-li původní soustavu rovnic metodou substitucí, pak budeme nejspíš postupovat tak, že z druhé rovnice vypočítáme neznámou x x = -y dosadíme do první rovnice a vypočítáme neznámou z 2.(-y) - y + 3z = 3 z=1+y a odtud usoudíme, že kandidátem řešení soustavy je uspořádaná trojice [-y; y; 1+y] , y R Úkol: Které řešení je správné ?
varianta A:
[1-z; z-1; z] , z R
varianta B:
[-y; y; 1+y] , y R
varianta C:
obě řešení jsou správná
@164 zpět Řešte soustavu rovnic x- y+z- t=3 -x + y - z + t = 5 Řešení: matice soustavy
1 1
1 1
1 1
1 3 1 5
echeleon
~
1 0
1 1 0 0
1 3 0 8
Protože echelonu odpovídá rovnice, která nemá řešení, nemá žádné řešení ani původní soustava rovnic. Úkol: Když získáme jednu nebo více uspořádaných n-tic jako kandidáty řešení zadané soustavy lineárních rovnic, můžeme vždycky pomocí zkoušky zjistit, zdali jsme někde neudělali numerickou chybu, tím, že provedeme zkoušku. Jak eliminovat lidský faktor, když nám vyjde, že soustava nemá žádné řešení a tedy zkoušku není s čím provést? odpověď
@151 Bohužel
znovu prostudujte
@156 zpět Zkoušku musíme dělat proto, že jsme jen chybující lidé. Teoreticky je zkouška zbytečná, ale stačí se podívat do libovolných skript, učebnic, sbírek příkladů, a najdeme v nich mnoho ukázek selhání lidského faktoru, jak se dnes vznešeně označují vlastní chyby. Úkol: Řešte soustavu lineárních rovnic w + x + y + z = 10 w - x + y - z = -2 2w + 3x - y + 4z = 27 3w - 2x + 7y - 3z = 0 Echelon této soustavy je echelon A
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
echelon B
1 2 3 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
echelon C
3 2 1 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3 4 1 2
@159 zpět
Správně
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3 2 1 4
Této matici odpovídá řešení [3; 2; 1; 4], které, jak snadno ověříme zkouškou, je řešením původní soustavy a tedy tato matice je echelonem původní soustavy. pokračování
@162 zpět Ovšemže obě řešení jsou správná, obě metody jsou správné, jak snadno dokážeme zkouškou (proveďte sami). [1-z; z-1; z] , z R
a
[-y; y; 1+y] , y R
Jde tedy o vyjádření téhož jiným způsobem. Vskutku, nahradíme-li v prvním řešení parametr z důsledně výrazem 1+y dostaneme druhý zápis z = 1+y
=>
z-1= y
=>
1 - z = -y
Volíme-li za parametr z výraz 2t-3, dostaneme další vyjádření uspořádaných trojic, které jsou řešením původně zadané soustavy lineárních rovnic. [4-2t; 2t-4; 2t-3] , t R POZOR, zde nelze krátit dvěma (není to vektor)!!! Trojice tvaru [2-t; t-2; t-3/2] , t R nejsou řešením původní soustavy rovnic, jak potvrdí dosazení do první rovnice L1 = 2(2-t) - (t-2) + 3(t-3/2) = 3/2 ≠ 3 = P1 Úkol: Řešte soustavu rovnic x - 3y + 4z - 5t = -3 x+ y + 3t = 5 výsledek
@165 zpět Otázka: Když získáme jednu nebo více uspořádaných n-tic jako kandidáty řešení zadané soustavy lineárních rovnic, můžeme vždycky pomocí zkoušky zjistit, zdali jsme někde neudělali numerickou chybu, tím, že provedeme zkoušku. Jak eliminovat lidský faktor, když nám vyjde, že soustava nemá žádné řešení a tedy zkoušku není s čím provést? 1. možnost Necháme soustavu vyřešit nezávisle někoho jiného a pak svoje řešení s ním porovnáme. Vyjde-li (zákon schválnosti praví, že nevyjde) i jemu totéž, výrazně snížíme riziko, že naše řešení je chybné. 2.možnost Soustavu rovnic vyřešíme jinou metodou, abychom se vyvarovali zacyklení myšlení typu 7.3 = 22. Vyjde-li nám totéž, opět tím snižujeme riziko chybného výpočtu. Všimněte si, že opět jen snižujeme riziko. Jistotu nemůžeme mít nikdy. Ale nezaměňujme teoretickou jistotu, kterou máme, s jistotou našeho praktického konání.
KONEC LEKCE
