Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina)
Soustavy rovnic a nerovnic Sylva Potuˇ ˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín
Zlín, 12. záˇrí 2011
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z
= = =
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky:
= = =
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y
= = =
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z
= = =
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
Substituce:
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
Substituce: 1 x+y = a
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
Substituce: 1 x+y = a 1 x−z
=b
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
Substituce: 1 x+y = a 1 x−z 1 y−z
=b =c
3 2 7 3 1 − . 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
Substituce: 1 x+y = a 1 x−z 1 y−z
=b =c
3 2 7 3 1 − . 4
Soustava:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Pˇríklad 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: 3 2 + x+y x−z 10 1 − x+y y−z 3 5 + x−z y−z ˇ Rešení: Podmínky: x + y 6= 0 → x 6= −y x − z 6= 0 → x 6= z y − z 6= 0 → y 6= z
= = =
3 2 7 3 1 − . 4
Substituce: 1 x+y = a
Soustava: 3a + 2b =
1 x−z 1 y−z
=b
a − 10c =
=c
3b + 5c =
3 2 7 3 − 14
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
3 2 7 3 − 14
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
3 2 7 3 − 14
/·2 /·3 /·4
6a + 4b ⇒
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
6 3 0
3 2 7 3 − 14
4 0 0 −30 12 20
/·2 /·3 /·4
3 7 ∼ −1
6a + 4b ⇒
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
6 3 0
3 2 7 3 − 14
4 0 0 −30 12 20
/·2 /·3 /·4
6a + 4b ⇒
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
3 6 4 0 7 ∼ 0 4 60 −1 0 12 20
3 −11 ∼ −1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
6 3 0
3 2 7 3 − 14
4 0 0 −30 12 20
6 ∼ 0 0
4 4 0
/·2 /·3 /·4
6a + 4b ⇒
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
3 6 4 0 7 ∼ 0 4 60 −1 0 12 20
0 60 −160
3 −11 32
3 −11 ∼ −1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
6 3 0
3 2 7 3 − 14
4 0 0 −30 12 20
6 ∼ 0 0
4 4 0
/·2 /·3
6a + 4b ⇒
/·4
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
3 6 4 0 7 ∼ 0 4 60 −1 0 12 20
0 60 −160
3 −11 32
⇒
3 −11 ∼ −1 −160c = 32 c = − 51
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
6 3 0
3 2 7 3 − 14
4 0 0 −30 12 20
6 ∼ 0 0
4 4 0
/·2 /·3
6a + 4b ⇒
/·4
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
3 6 4 0 7 ∼ 0 4 60 −1 0 12 20
0 60 −160
4b + 60c = −11 b = 14
3 −11 32
⇒
3 −11 ∼ −1 −160c = 32 c = − 51
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
3a + 2b = a − 10c = 3b + 5c =
6 3 0
3 2 7 3 − 14
4 0 0 −30 12 20
6 ∼ 0 0
4 4 0
/·2 /·3
6a + 4b ⇒
/·4
=
3
3a − 30c =
7
12b + 20c =
−1
3 6 4 0 7 ∼ 0 4 60 −1 0 12 20
0 60 −160
4b + 60c = −11 b = 14
3 −11 32
⇒
3 −11 ∼ −1 −160c = 32 c = − 51
6a + 4b = 3 a = 13
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Návrat k puvodním ˚ neznámým:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Návrat k puvodním ˚ neznámým: 1 y−z
=
− 15
1 x+y
=
1 3
1 x−z
=
1 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Návrat k puvodním ˚ neznámým: 1 y−z
=
− 15
1 x+y
=
1 3
1 x−z
=
1 4
−y + z x+y x−z
= = =
5 3 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
Návrat k puvodním ˚ neznámým: 1 y−z
=
− 15
1 x+y
=
1 3
1 x−z
=
1 4
−y + z x+y x−z
0 1 1
= = =
−1 1 1 0 0 −1
5 3 4 5 3 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 −1 −1 −1 1
3 1 ∼ 5
1 0 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
1 0 −1 −1 −1 1
1 3 1 ∼ 0 0 5
1 0 −1 −1 0 2
3 1 4
1 0 0
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
1 0 −1 −1 −1 1
1 3 1 ∼ 0 0 5
1 0 −1 −1 0 2
3 1 4
1 0 0
2z = 4 z = 2
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
1 0 −1 −1 −1 1
1 3 1 ∼ 0 0 5
1 0 −1 −1 0 2
3 1 4
1 0 0
2z = 4 z = 2
−y − z = 1 y = −3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
1 0 −1 −1 −1 1
1 3 1 ∼ 0 0 5
1 0 −1 −1 0 2
3 1 4
1 0 0
2z = 4 z = 2
−y − z = 1 y = −3
x+y = 3 x = 6
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 1
0 1 1
−1 1 1 0 0 −1
1 5 3 ∼ 1 4 0
1 0 0 −1 −1 1
3 4 ∼ 5
1 0 −1 −1 −1 1
1 3 1 ∼ 0 0 5
1 0 −1 −1 0 2
3 1 4
1 0 0
2z = 4 z = 2 ˇ Rešení: (6; −3; 2)
−y − z = 1 y = −3
x+y = 3 x = 6
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3|
= =
15 3.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3| ˇ Rešení: Substituce:
= =
15 3.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3| ˇ Rešení: Substituce:
|x + 2| = a, |y − 3| = b
= =
15 3.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3| ˇ Rešení: Substituce:
|x + 2| = a, |y − 3| = b a + 2b a − 4b
= =
15 3
= =
15 3.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3| ˇ Rešení: Substituce:
|x + 2| = a, |y − 3| = b a + 2b a − 4b
= =
15 3
a + 2b −a + 4b
= =
15 −3
= =
15 3.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3|
= =
15 3.
ˇ Rešení: Substituce:
|x + 2| = a, |y − 3| = b a + 2b a − 4b
= =
15 3
a + 2b −a + 4b
= =
15 −3
6b
=
12
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3|
= =
15 3.
ˇ Rešení: Substituce:
|x + 2| = a, |y − 3| = b a + 2b a − 4b
= =
15 3
a + 2b −a + 4b
= =
15 −3
6b b
= =
12 2
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Pˇríklad 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + 2| + 2 · |y − 3| |x + 2| − 4 · |y − 3|
= =
15 3.
ˇ Rešení: Substituce:
|x + 2| = a, |y − 3| = b a + 2b a − 4b
= =
15 3
a + 2b −a + 4b
= =
15 −3
6b b a
= = =
12 2 11
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11 11
−13
11
−2
9
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11 11
−13
11
−2
9
x1 = −13, x2 = 9
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11 11
−13
|y − 3| = 2
11
−2
9
x1 = −13, x2 = 9
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11 11
−13
|y − 3| = 2
11
−2
2 9
x1 = −13, x2 = 9
1
2
3
5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11 11
−13
|y − 3| = 2
11
−2
2 9
x1 = −13, x2 = 9
1
2
3
5
y1 = 1, y2 = 5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 2
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + 2| = a, |y − 3| = b, a = 11, b = 2 |x + 2| = 11 11
−13
|y − 3| = 2
11
−2
2 9
x1 = −13, x2 = 9 ˇ Rešení:
[−13; 1], [−13; 5], [9; 1], [9; 5]
1
2
3
5
y1 = 1, y2 = 5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x x−y ≥0→x≥y
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x x−y ≥0→x≥y
Substituce:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x x−y ≥0→x≥y
Substituce: √ x+y =a
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x x−y ≥0→x≥y
Substituce: √ x+y =a √ x−y =b
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x x−y ≥0→x≥y
Substituce: √ x+y =a √ x−y =b
Soustava:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Pˇríklad 3 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ x+y+ x−y = 4 √ √ 2 x + y − 3 x − y = 3. ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → y ≥ −x x−y ≥0→x≥y
Substituce: √ x+y =a √ x−y =b
Soustava: a+b
= 4
2a − 3b = 3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5 b =
1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5 b =
1
a =
3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5 b =
1
a =
3
Návrat k puvodním ˚ neznámým:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5 b =
1
a =
3
Návrat k puvodním ˚ neznámým: √ x+y = 3 √ x−y = 1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5 b =
1
a =
3
Návrat k puvodním ˚ neznámým: √ x+y = 3 √ x−y = 1 x+y = 9 x−y = 1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5 b =
1
a =
3
Návrat k puvodním ˚ neznámým: √ x+y = 3 √ x−y = 1 x+y = 9 x−y = 1 2x = 10
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5
Návrat k puvodním ˚ neznámým: √ x+y = 3 √ x−y = 1 x+y = 9 x−y = 1
b =
1
2x = 10
a =
3
x = 5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5
Návrat k puvodním ˚ neznámým: √ x+y = 3 √ x−y = 1 x+y = 9 x−y = 1
b =
1
2x = 10
a =
3
x = 5 y = 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
a+b
=
4
2a − 3b
=
3
−2a − 2b = −8 2a − 3b =
3
− 5b = −5
Návrat k puvodním ˚ neznámým: √ x+y = 3 √ x−y = 1 x+y = 9 x−y = 1
b =
1
2x = 10
a =
3
x = 5 y = 4 vyhovují podmínkám
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška:
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4 P1 = 4
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4 P1 = 4 L1 = P1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4 P1 = 4 L1 = P1 L2 = 2 ·
√
5+4−3·
√
5−4=2·
√
9−3=3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4 P1 = 4 L1 = P1 L2 = 2 · P2 = 3
√
5+4−3·
√
5−4=2·
√
9−3=3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4 P1 = 4 L1 = P1 L2 = 2 · P2 = 3 L2 = P2
√
5+4−3·
√
5−4=2·
√
9−3=3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 3
Zkouška: √ √ L1 = 5 + 4 + 5 − 4 = 3 + 1 = 4 P1 = 4 L1 = P1 L2 = 2 ·
√
5+4−3·
P2 = 3 L2 = P2 ˇ Rešení:
[5; 4]
√
5−4=2·
√
9−3=3
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 4
Pˇríklad 4 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + y| − |x − y|
=
4
|x + y| + 2 · |x − y|
=
13.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 4
Pˇríklad 4 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: |x + y| − |x − y|
=
4
|x + y| + 2 · |x − y|
=
13.
ˇ Rešení: Substituce: |x + y| = a |x − y| = b
Soustava:
a−b = 4 a + 2b = 13
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 4
2a − 2b = 8 a + 2b = 13 3a = 21 a = 7, b = 3 Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + y| = 7, |x − y| = 3 1)
x+y ≥0
⇒
|x + y| = x + y
⇒
x+y = 7
x−y ≥0
⇒
|x − y| = x − y
⇒
x−y = 3 2x = 10 x = 5, y = 2
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 4
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + y| = 7, |x − y| = 3 2)
x+y ≥0
⇒
|x + y| = x + y
⇒
x+y = 7
x−y <0
⇒
|x − y| = −x + y
⇒
−x + y = 3 2y = 10 y = 5, x = 2
3)
x+y <0
⇒
|x + y| = −x − y
⇒
−x − y = 7
x−y ≥0
⇒
|x − y| = x − y
⇒
x−y = 3 −2y = 10 y = −5, x = −2
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 4
Návrat k puvodním ˚ neznámým: |x + y| = 7, |x − y| = 3 3)
x+y <0
⇒
|x + y| = −x − y
⇒
−x − y = 7
x−y <0
⇒
|x − y| = −x + y
⇒
−x + y = 3 −2x = 10 x = −5, y = −2
ˇ Rešení:
[5; 2], [2; 5], [−2; −5], [−5; −2]
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 5
Pˇríklad 5 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: x2 + 4
x −
√ √
y
=
14
y
=
6.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 5
Pˇríklad 5 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: x2 + 4
x −
√ √
y
=
14
y
=
6.
ˇ Rešení: Podmínky: y≥0
Substituce: 2
x =a √ y=b
Soustava: a + b = 14 a2 − b = 6
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 5
a + b = 14 ⇒ b = 14 − a a2 − b = 6 a2 − (14 − a) = 6 a2 + a − 20 = 0 a1 = 4
b1 = 10
a2 = −5
b2 = 19
Návrat k puvodním ˚ neznámým: x2 = 4 √ y = 10 x1,2 = ±2 y = 100 - vyhovuje podmínce
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 5
Zkouška:
L1 (2; 100) = 22 +
√
100 = 4 + 10 = 14
P1 (2; 100) = 14 L1 = P1 L2 (2; 100) = 24 −
√
100 = 16 − 10 = 6
P2 (2; 100) = 6 L2 = P2 L1 (−2; 100) = (−2)2 +
√
100 = 4 + 10 = 14
P1 (−2; 100) = 14 L1 = P1 L2 (−2; 100) = (−2)4 − P2 (−2; 100) = 6 L2 = P2 ˇ Rešení:
[2; 100], [−2; 100]
√
100 = 16 − 10 = 6
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
Pˇríklad 6 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: x2 − y 2 +
√
x+y √ (x − y ) · x + y 2
2
=
1,5
=
0,5.
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
Pˇríklad 6 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: x2 − y 2 +
√
x+y √ (x − y ) · x + y 2
2
=
1,5
=
0,5.
ˇ Rešení: Podmínky: x + y ≥ 0 → x ≥ −y
Substituce: 2
2
x −y =a √ x+y =b
Soustava: a + b = 1,5 a · b = 0,5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
a + b = 1,5
⇒ b = 1,5 − a
a · b = 0,5 a · (1,5 − a) = 0,5 2
−a + 1,5a − 0,5 = 0 a2 − 1,5a + 0,5 = 0 √ 1,5 ± 2,25 − 2 a1,2 = 2 a1 = 1 b1 = a2 =
1 2
1 2
b2 = 1
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
Návrat k puvodním ˚ neznámým: x2 − y 2 = 1 √ x + y = 12
1)
/2
x2 − y 2 = 1 x+y = 2
1 16
−
1 4 −y 1 2 2y + y
1 4
⇒ x=
− y2 = 1 − y2 = 1 1 2y
= − 15 16
y = − 15 8 x =
17 8
1 4
−y
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
Zkouška: L1
15 17 8 ;− 8
=
289 64
−
225 64
+
q
17 8
+ − 15 = 1,5 8
P1 = 1,5 L1 = P1 L2
17 15 8 ;− 8
=
289 64
P2 = 0,5 L2 = P2
−
225 64
q1 · 4 = 0,5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
Návrat k puvodním ˚ neznámým: 2)
x2 − y 2 = 12 √ x + y = 1 /2 x2 − y 2 =
1 2
/·2
x+y = 1 ⇒ 2
2 · (1 − y) − 2y 2 = 1 2 − 4y + 2y 2 − 2y 2 = 1 −4y = −1 y = x =
1 4 3 4
x=1−y
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Pˇríklad 6
Zkouška: L1
3 1 4; 4
=
9 16
−
1 16
+
q
3 4
+
1 4
=
8 16
+ 1 = 1,5
P1 = 1,5 L1 = P1 L2
3 1 4; 4
=
9 16
P2 = 0,5 L2 = P2 ˇ Rešení:
17 8
3 1 ; − 15 8 , 4; 4
−
1 16
q3 · 4+
1 4
=
8 16
· 1 = 0,5
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Cviˇcení
Cviˇcení 1 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: a)
b)
1 x
+
3 y
= 5
2 x
−
6 y
= 6
2 x+y
−
5 x−y
= 1
1 x+y
+
4 x−y
=
9 5
c)
1 3−x+2y
+
1 3+x−2y
=
3 4
1 3+x−2y
−
1 3−x+2y
=
1 4
x+1 x+y
+
y x−y
=
3 2
x+1 x+y
−3·
=
1 2
d) 2· h a) 14 ; 3 ,
b) [3; −2],
y x−y c)
h t;
t+1 2
i
, t ∈ R,
d) [3; 1]
i
Soustavy rovnic a nerovnic Rovnice, nerovnice a jejich soustavy, užití substituce. (5. - 6. hodina) Cviˇcení
Cviˇcení 2 Urˇcete všechna cˇ ísla x, y, z ∈ R tak, aby byla ˇrešením dané soustavy: √ √ a) x1 + y1 + z1 = 9 b) x+3· y+5 = 9 √ √ 2 3 4 x+3+ y+5 = 6 x − y + z = 11 4 x
+
3 y
−
2 z
= 9 1 a) 2 ;
1 1 3; 4
,
b) [6; 4]
