Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra Soustavy lineárních rovnic

Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Obsah

1

Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo

2

Příklady

3

Příklady pro samostatné studium

Lucie Doudová (UO Brno)

Lineární algebra

2 / 28

Obsah

1


2

Příklady

3



Lineární algebra

2 / 28

Obsah

1


2

Příklady

3



Lineární algebra

2 / 28

Soustavy lineárních rovnic

Obsah přednášky

1


2

Příklady

3



Lineární algebra

3 / 28


Základní označení


Definice Soustava m lineárních rovnic pro n neznámých má tvar: a11 x1 a21 x1 am1 x1

+ + +

a12 x2 a22 x2 am2 x2

+ + +

... ... .. . ...

+ +

a1n xn a2n xn

= =

b1 b2 (1)

+

amn xn

=

bm ,

kde čísla aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n nazýváme koeficienty, čísla b1 , . . . , bm nazýváme absolutními členy, x1 , . . . , xn jsou neznámé.


Lineární algebra

4 / 28




Označení 

a11  a21  Matice soustavy: A =  .  .. am1

...

 a1n a2n   ..  .  amn

a11 a21 .. . am1

a12 a22 .. . am2

a12 a22 .. . am2 

  Rozšířená matice soustavy: R =   Vektor neznámých: ~ x = (x1 , . . . , xn )

... ...

... ... ...

a1n a2n .. . amn

b1 b2 .. . bm

    

0

Vektor absolutních členů: ~ b = (b1 , . . . , bm )0


Lineární algebra

5 / 28




Poznámka Pomocí matic můžeme soustavu (1) zapsat následovně: A∗~ x =~ b Definice Je-li b1 = · · · = bn = 0 nazýváme systém lineárních rovnic homogenní systém. Značíme ho S0 (m, n). V opačném případě se systém lineárních rovnic nazývá nehomogenní systém. Značí se S(m, n).


Lineární algebra

6 / 28




Příklad x1 - 2x2 + x3 = 0 2x1 - 3x2 x3 = 0 Homogenní systém 2 lineárních rovnic pro tři neznámé x1 , x2 , x3 . Příklad x1 + x2 x3 = x1 2x2 x3 = x1 3x2 + 2x3 = Nehomogenní systém 3 lineárních


1 0 -2 rovnic pro tři neznámé x1 , x2 , x3 .

Lineární algebra

7 / 28



Řešitelnost systému

Definice Uspořádanou n-tici X = (r1 , r2 , . . . , rn ) nazýváme řešením soustavy (1), jestliže po dosazení r1 za x1 , . . . , rn za xn do (1) dostaneme m platných identit mezi čísly. Soustavu považujeme za vyřešenou, známe-li všechna její řešení. Soustava, která má aspoň 1 řešení, se nazývá řešitelná, v opačném případě se nazývá neřešitelná.


Lineární algebra

8 / 28




Příklad x1 2x1

+ –

2x2 x2

= =

3 1

řešitelný systém: ~ x = (1, 1)

Příklad x1 x1

+ +

x2 x2

= =

4 5

neřešitelný systém

Příklad 2x1 4x1

+ +

x2 2x2

= =


3 6

řešitelný systém: ~ x = (t, 3 − 2t), t ∈ R

Lineární algebra

9 / 28




Věta (Forbeniova) Soustava lineárních rovnic (1) má řešení právě tehdy, je-li hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (h(A) = h(R)). Označíme-li tuto společnou hodnost h, pak pro h = n má soustava (1) právě jedno řešení, pro h < n má soustava (1) nekonečně mnoho řešení a (n − h) neznámých lze libovolně volit jako parametry.


Lineární algebra

10 / 28



Ekvivalentní úpravy

Definice 1

Dvě soustavy S(m1 , n) a S(m2 , n) o stejných neznámých se nazývají ekvivalentní, mají-li identické množiny řešení.

2

Úprava, po které vznikne ze systému S(m, n) systém ekvivalentní, se nazývá ekvivalentní úprava.

Věta (Ekvivalentní úpravy) 1

Vzájemnou výměnou dvou rovnic systému S.

2

Vynásobením některé rovnice systému S číslem k 6= 0.

3

Přičtením k-násobku jedné rovnice systému S k jiné rovnici systému S.

4

Přičtením libovolné lineární kombinace rovnic systému S k jiné rovnici systému S.

5

Připojením rovnice, která je lineární kombinací rovnic systému S.

6

Vynecháním rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic systému S.


Lineární algebra

11 / 28


Gaussova eliminační metoda


Gaussova eliminační metoda Rozšířenou matici R soustavy S(m, n) pomocí ekvivalentních úprav převedeme na schodovitý tvar. Napíšeme soustavu rovnic, která odpovídá upravené matici R. Novou soustavu rovnic řešíme „zdola nahoruÿ.


Lineární algebra

12 / 28




Příklad x1 2x1 x1

+ + –



x1

2x2 x2 x2

+ – –

1  2 1

2 1 −1

1 −1 −1

+

2x2 x2

+ +


x3 x3 x3

= = =

1 −4 −1

  1 1 −4  ∼  0 −1 0 x3 x3 x3

= = =

1 2 4

2 −3 −3

  1 1 −6  ∼  0 −2 0

1 −3 −2 x1 x2 x3

= = =

Lineární algebra

1 −2 4

2 −3 0

1 −3 1

 1 −6  4

~ x = (1, −2, 4)

13 / 28




Pokračování příkladu Uvedený „zpětnýÿ výpočet můžeme provádět přímo v matici a to její úpravou na jednotkovou matici. x1 + 2x2 + x3 = 1 2x1 + x2 – x3 = −4 x1 – x2 – x3 = −1 

1  2 1

2 1 −1

  1 1 −4  ∼  0 −1 0

1 −1 −1



1  0 0

2 −3 0

0 0 1

2 −3 −3

1 −3 −2

  1 1 −6  ∼  0 −2 0

  −3 1 6 ∼ 0 4 0

0 1 0

0 0 1

2 −3 0

1 −3 1

 1 −6  4

 1 −2  4

~ x = (1, −2, 4)


Lineární algebra

14 / 28




Příklad x1 2x1 4x1

+

x2

+ 

2x2 1 0 2

1  2 4

+ 2x3 = – 5x3 = – x3 =   2 1 −5 2  ∼  −1 6

1 2 6 1 0 0

1 −2 −2

2 −9 −9

  1 1 0 ∼ 0 2 0

1 −2 0

2 −9 0

 1 0  2

poslednímu řádku odpovídá rovnice: 0 = 2 → soustava nemá řešení


Lineární algebra

15 / 28




Příklad x1

+

2x1 3x1

+ +

x2 + x2 x2 + 2x2 +  1  0   2 3

2x3 4x3 6x3 1 1 1 2

2 0 4 6

– + – –

x4 = x4 = 3x4 = 4x4 =   −1 2  1 3  ∼ −3 1   −4 3 1 1 2 ∼ 0 1 0

2 3 1 3 1 0 0 0

1 1 −1 −1 −1 1

2 3

2 −1 0 1 0 −1 0 −1

 2 3  ∼ −3  −3

Soustava má nekonečně mnoho řešení, 2 neznámé je třeba zvolit.


Lineární algebra

16 / 28



Gaussova eliminační metoda Pokračování příkladu 1 1 2 −1 2 0 1 0 1 3 x1

+

x2 x2

+

2x3

– +

x4 x4

= =

2 3

x1

+

x2 x2

= =

2 3

– –

2x3 x4

+

x4

x3 = a, x4 = b; a, b jsou libovolná reálná čísla x1

+

x2 x2

= =

2 − 2a + b 3−b

x1 x2

= =

−1 − 2a + 2b 3−b

~ x = (−1 − 2a + 2b, 3 − b, a, b)


Lineární algebra

17 / 28



Jordanova metoda

Pokračování příkladu Uvedenou přípravu lze provádět přímo v matici například tak, že sloupce odpovídající x3 a x4 převedeme za svislou čáru. Při převodu musíme změnit znaménka. 1 1 2 −1 2 1 1 1 2 −2 ∼ ∼ 0 1 0 1 3 0 1 3 0 −1 2 1 0 −1 −2 ∼ 0 1 3 0 −1 x3 = a, x4 = b; a, b jsou libovolná reálná čísla ~ x = (−1 − 2a + 2b, 3 − b, a, b) Tento postup se nazývá Jordanova metoda.


Lineární algebra

18 / 28


Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo

Věta (Cramerovo pravidlo) Nechť determinant matice soustavy (1) je různý od nuly. Pak má systém (1) právě jedno řešení. Nechť D je determinant matice soustavy a Di jsou determinanty vzniklé z D nahrazením i-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Pak xi =


Di , D

i = 1, . . . , n

Lineární algebra

19 / 28


Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo

Příklad x x

– +

y y

= =

4 6 A= A1 = A2 =

x=

1 1 4 6 1 1

−1 , 1 −1 , 1 4 , 6

D1 = 5, D

D = |A1 | = 2 D1 = |A| = 10 D2 = |A2 | = 2

y=

D2 =1 D

~ x = (5, 1)


Lineární algebra

20 / 28


Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo

Příklad x1 3x1 7x1

– – –

2x2 5x2 3x2

+ x3 = 0 – 2x3 = −3 + x3 = 16 1 −2 1 D = 3 −5 −2 = 49, 7 −3 1

1 D2 = 3 7

0 −3 16

x1 =

1 −2 1

= 98,

147 = 3, 49

x2 =

0 D1 = −3 16 1 D3 = 3 7 98 = 2, 49

−2 −5 −3 −2 −5 −3

x3 =

1 −2 1 0 −3 16

= 147

= 49

49 =1 49

~ x = (3, 2, 1)


Lineární algebra

21 / 28

Příklady

Obsah přednášky

1


2

Příklady

3



Lineární algebra

22 / 28

Příklady

Příklady k procvičení

Vyřešte soustavy rovnic 1

2x 5x x

+ + +

3y 3y 4y

+ + +

3z 2z 3z

= = =

1 −1 2

2

2x x x

− − −

y y 2y

− + +

3x2 2x2 3x2 4x2

+

x3

+ −

x3 x3

2z z 5z

= = =

1 2 4

x4 x4 3x4 2x4

= = = =

3

x1 2x1 2x1 3x1


+ − + +

Lineární algebra

− + − +

2 −3 −6 0

23 / 28

Příklady

Příklady k procvičení

Vyřešte soustavy rovnic 1

− − −

x1 x1 x1

2x2 2x2 2x2

+ + +

x3 x3 x3

y y y

− + −

− + +

z 2z z

+ − +

x4 x4 5x4

= = =

z z 2z

= = =

0 0 0

− −

2u u

= = =

1 −1 5

2

x 3x x

+ + −

3

x x


+

y y

Lineární algebra

0 0 0

24 / 28


Obsah přednášky

1


2

Příklady

3



Lineární algebra

25 / 28



Příklad 1: 2x x 3x

− − −

4y 2y y

+ + +

3x1 −2x1 x1 4x1

+ − − −

2x2 x2 2x2 2x2

− + + −

x3 x3 2x3 2x3

+ + − +

x4 2x4 x4 3x4

= = = =

0 −2 16 5

x1 3x1

+

2x2

4x1 x1

+ +

x2 3x2 2x2

+ + − + +

3x3 x3 2x3 2x3 5x3

+ − + + +

x4 x4 3x4 3x4 4x4

− + + + +

2x5 4x5 x5 3x5 x5

= = = = =

3y 4z 5z

= = =

1 3 2

Příklad 2:

příklad 3:


Lineární algebra

1 0 2 7 3

26 / 28



Příklad 4: x1 2x1 3x1 4x1

− + + +

x2 x2 3x3 5x2

+ − − −

x3 x3 3x3 5x3

+ − − −

x4 x4 3x4 5x4

− + + +

2x5 2x5 6x5 10x5

= = = =

0 1 2 3

Příklad 5: 2x x 3x

+ + +

y 2y y

− + −

2z 2z 4z

= = =

0 0 0

2x x x

− + −

y y 2y

− − +

z 2z 2z

= = =

0 0 0

Příklad 6:


Lineární algebra

27 / 28

Konec

Následuje téma Funkce jedné proměnné.


Lineární algebra

28 / 28

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Recommend Documents