Lineární algebra Soustavy lineárních rovnic
Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Obsah
1
Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo
2
Příklady
3
Příklady pro samostatné studium
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 28
Obsah
1
Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo
2
Příklady
3
Příklady pro samostatné studium
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 28
Obsah
1
Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo
2
Příklady
3
Příklady pro samostatné studium
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
2 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Obsah přednášky
1
Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo
2
Příklady
3
Příklady pro samostatné studium
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
3 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Základní označení
Definice Soustava m lineárních rovnic pro n neznámých má tvar: a11 x1 a21 x1 am1 x1
+ + +
a12 x2 a22 x2 am2 x2
+ + +
... ... .. . ...
+ +
a1n xn a2n xn
= =
b1 b2 (1)
+
amn xn
=
bm ,
kde čísla aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n nazýváme koeficienty, čísla b1 , . . . , bm nazýváme absolutními členy, x1 , . . . , xn jsou neznámé.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
4 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Základní označení
Označení
a11 a21 Matice soustavy: A = . .. am1
...
a1n a2n .. . amn
a11 a21 .. . am1
a12 a22 .. . am2
a12 a22 .. . am2
Rozšířená matice soustavy: R = Vektor neznámých: ~ x = (x1 , . . . , xn )
... ...
... ... ...
a1n a2n .. . amn
b1 b2 .. . bm
0
Vektor absolutních členů: ~ b = (b1 , . . . , bm )0
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
5 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Základní označení
Poznámka Pomocí matic můžeme soustavu (1) zapsat následovně: A∗~ x =~ b Definice Je-li b1 = · · · = bn = 0 nazýváme systém lineárních rovnic homogenní systém. Značíme ho S0 (m, n). V opačném případě se systém lineárních rovnic nazývá nehomogenní systém. Značí se S(m, n).
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
6 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Základní označení
Příklad x1 - 2x2 + x3 = 0 2x1 - 3x2 x3 = 0 Homogenní systém 2 lineárních rovnic pro tři neznámé x1 , x2 , x3 . Příklad x1 + x2 x3 = x1 2x2 x3 = x1 3x2 + 2x3 = Nehomogenní systém 3 lineárních
Lucie Doudová (UO Brno)
1 0 -2 rovnic pro tři neznámé x1 , x2 , x3 .
Lineární algebra
7 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Řešitelnost systému
Definice Uspořádanou n-tici X = (r1 , r2 , . . . , rn ) nazýváme řešením soustavy (1), jestliže po dosazení r1 za x1 , . . . , rn za xn do (1) dostaneme m platných identit mezi čísly. Soustavu považujeme za vyřešenou, známe-li všechna její řešení. Soustava, která má aspoň 1 řešení, se nazývá řešitelná, v opačném případě se nazývá neřešitelná.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
8 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Řešitelnost systému
Příklad x1 2x1
+ –
2x2 x2
= =
3 1
řešitelný systém: ~ x = (1, 1)
Příklad x1 x1
+ +
x2 x2
= =
4 5
neřešitelný systém
Příklad 2x1 4x1
+ +
x2 2x2
= =
Lucie Doudová (UO Brno)
3 6
řešitelný systém: ~ x = (t, 3 − 2t), t ∈ R
Lineární algebra
9 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Řešitelnost systému
Věta (Forbeniova) Soustava lineárních rovnic (1) má řešení právě tehdy, je-li hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (h(A) = h(R)). Označíme-li tuto společnou hodnost h, pak pro h = n má soustava (1) právě jedno řešení, pro h < n má soustava (1) nekonečně mnoho řešení a (n − h) neznámých lze libovolně volit jako parametry.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
10 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Základní označení
Ekvivalentní úpravy
Definice 1
Dvě soustavy S(m1 , n) a S(m2 , n) o stejných neznámých se nazývají ekvivalentní, mají-li identické množiny řešení.
2
Úprava, po které vznikne ze systému S(m, n) systém ekvivalentní, se nazývá ekvivalentní úprava.
Věta (Ekvivalentní úpravy) 1
Vzájemnou výměnou dvou rovnic systému S.
2
Vynásobením některé rovnice systému S číslem k 6= 0.
3
Přičtením k-násobku jedné rovnice systému S k jiné rovnici systému S.
4
Přičtením libovolné lineární kombinace rovnic systému S k jiné rovnici systému S.
5
Připojením rovnice, která je lineární kombinací rovnic systému S.
6
Vynecháním rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic systému S.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
11 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda Rozšířenou matici R soustavy S(m, n) pomocí ekvivalentních úprav převedeme na schodovitý tvar. Napíšeme soustavu rovnic, která odpovídá upravené matici R. Novou soustavu rovnic řešíme „zdola nahoruÿ.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
12 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda
Příklad x1 2x1 x1
+ + –
x1
2x2 x2 x2
+ – –
1 2 1
2 1 −1
1 −1 −1
+
2x2 x2
+ +
Lucie Doudová (UO Brno)
x3 x3 x3
= = =
1 −4 −1
1 1 −4 ∼ 0 −1 0 x3 x3 x3
= = =
1 2 4
2 −3 −3
1 1 −6 ∼ 0 −2 0
1 −3 −2 x1 x2 x3
= = =
Lineární algebra
1 −2 4
2 −3 0
1 −3 1
1 −6 4
~ x = (1, −2, 4)
13 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda
Pokračování příkladu Uvedený „zpětnýÿ výpočet můžeme provádět přímo v matici a to její úpravou na jednotkovou matici. x1 + 2x2 + x3 = 1 2x1 + x2 – x3 = −4 x1 – x2 – x3 = −1
1 2 1
2 1 −1
1 1 −4 ∼ 0 −1 0
1 −1 −1
1 0 0
2 −3 0
0 0 1
2 −3 −3
1 −3 −2
1 1 −6 ∼ 0 −2 0
−3 1 6 ∼ 0 4 0
0 1 0
0 0 1
2 −3 0
1 −3 1
1 −6 4
1 −2 4
~ x = (1, −2, 4)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
14 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda
Příklad x1 2x1 4x1
+
x2
+
2x2 1 0 2
1 2 4
+ 2x3 = – 5x3 = – x3 = 2 1 −5 2 ∼ −1 6
1 2 6 1 0 0
1 −2 −2
2 −9 −9
1 1 0 ∼ 0 2 0
1 −2 0
2 −9 0
1 0 2
poslednímu řádku odpovídá rovnice: 0 = 2 → soustava nemá řešení
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
15 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda
Příklad x1
+
2x1 3x1
+ +
x2 + x2 x2 + 2x2 + 1 0 2 3
2x3 4x3 6x3 1 1 1 2
2 0 4 6
– + – –
x4 = x4 = 3x4 = 4x4 = −1 2 1 3 ∼ −3 1 −4 3 1 1 2 ∼ 0 1 0
2 3 1 3 1 0 0 0
1 1 −1 −1 −1 1
2 3
2 −1 0 1 0 −1 0 −1
2 3 ∼ −3 −3
Soustava má nekonečně mnoho řešení, 2 neznámé je třeba zvolit.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
16 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda Pokračování příkladu 1 1 2 −1 2 0 1 0 1 3 x1
+
x2 x2
+
2x3
– +
x4 x4
= =
2 3
x1
+
x2 x2
= =
2 3
– –
2x3 x4
+
x4
x3 = a, x4 = b; a, b jsou libovolná reálná čísla x1
+
x2 x2
= =
2 − 2a + b 3−b
x1 x2
= =
−1 − 2a + 2b 3−b
~ x = (−1 − 2a + 2b, 3 − b, a, b)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
17 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Gaussova eliminační metoda
Jordanova metoda
Pokračování příkladu Uvedenou přípravu lze provádět přímo v matici například tak, že sloupce odpovídající x3 a x4 převedeme za svislou čáru. Při převodu musíme změnit znaménka. 1 1 2 −1 2 1 1 1 2 −2 ∼ ∼ 0 1 0 1 3 0 1 3 0 −1 2 1 0 −1 −2 ∼ 0 1 3 0 −1 x3 = a, x4 = b; a, b jsou libovolná reálná čísla ~ x = (−1 − 2a + 2b, 3 − b, a, b) Tento postup se nazývá Jordanova metoda.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
18 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Cramerovo pravidlo
Cramerovo pravidlo
Věta (Cramerovo pravidlo) Nechť determinant matice soustavy (1) je různý od nuly. Pak má systém (1) právě jedno řešení. Nechť D je determinant matice soustavy a Di jsou determinanty vzniklé z D nahrazením i-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Pak xi =
Lucie Doudová (UO Brno)
Di , D
i = 1, . . . , n
Lineární algebra
19 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Cramerovo pravidlo
Cramerovo pravidlo
Příklad x x
– +
y y
= =
4 6 A= A1 = A2 =
x=
1 1 4 6 1 1
−1 , 1 −1 , 1 4 , 6
D1 = 5, D
D = |A1 | = 2 D1 = |A| = 10 D2 = |A2 | = 2
y=
D2 =1 D
~ x = (5, 1)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
20 / 28
Soustavy lineárních rovnic
Cramerovo pravidlo
Cramerovo pravidlo
Příklad x1 3x1 7x1
– – –
2x2 5x2 3x2
+ x3 = 0 – 2x3 = −3 + x3 = 16 1 −2 1 D = 3 −5 −2 = 49, 7 −3 1
1 D2 = 3 7
0 −3 16
x1 =
1 −2 1
= 98,
147 = 3, 49
x2 =
0 D1 = −3 16 1 D3 = 3 7 98 = 2, 49
−2 −5 −3 −2 −5 −3
x3 =
1 −2 1 0 −3 16
= 147
= 49
49 =1 49
~ x = (3, 2, 1)
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
21 / 28
Příklady
Obsah přednášky
1
Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo
2
Příklady
3
Příklady pro samostatné studium
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
22 / 28
Příklady
Příklady k procvičení
Vyřešte soustavy rovnic 1
2x 5x x
+ + +
3y 3y 4y
+ + +
3z 2z 3z
= = =
1 −1 2
2
2x x x
− − −
y y 2y
− + +
3x2 2x2 3x2 4x2
+
x3
+ −
x3 x3
2z z 5z
= = =
1 2 4
x4 x4 3x4 2x4
= = = =
3
x1 2x1 2x1 3x1
Lucie Doudová (UO Brno)
+ − + +
Lineární algebra
− + − +
2 −3 −6 0
23 / 28
Příklady
Příklady k procvičení
Vyřešte soustavy rovnic 1
− − −
x1 x1 x1
2x2 2x2 2x2
+ + +
x3 x3 x3
y y y
− + −
− + +
z 2z z
+ − +
x4 x4 5x4
= = =
z z 2z
= = =
0 0 0
− −
2u u
= = =
1 −1 5
2
x 3x x
+ + −
3
x x
Lucie Doudová (UO Brno)
+
y y
Lineární algebra
0 0 0
24 / 28
Příklady pro samostatné studium
Obsah přednášky
1
Soustavy lineárních rovnic Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo
2
Příklady
3
Příklady pro samostatné studium
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
25 / 28
Příklady pro samostatné studium
Příklady pro samostatné studium
Příklad 1: 2x x 3x
− − −
4y 2y y
+ + +
3x1 −2x1 x1 4x1
+ − − −
2x2 x2 2x2 2x2
− + + −
x3 x3 2x3 2x3
+ + − +
x4 2x4 x4 3x4
= = = =
0 −2 16 5
x1 3x1
+
2x2
4x1 x1
+ +
x2 3x2 2x2
+ + − + +
3x3 x3 2x3 2x3 5x3
+ − + + +
x4 x4 3x4 3x4 4x4
− + + + +
2x5 4x5 x5 3x5 x5
= = = = =
3y 4z 5z
= = =
1 3 2
Příklad 2:
příklad 3:
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
1 0 2 7 3
26 / 28
Příklady pro samostatné studium
Příklady pro samostatné studium
Příklad 4: x1 2x1 3x1 4x1
− + + +
x2 x2 3x3 5x2
+ − − −
x3 x3 3x3 5x3
+ − − −
x4 x4 3x4 5x4
− + + +
2x5 2x5 6x5 10x5
= = = =
0 1 2 3
Příklad 5: 2x x 3x
+ + +
y 2y y
− + −
2z 2z 4z
= = =
0 0 0
2x x x
− + −
y y 2y
− − +
z 2z 2z
= = =
0 0 0
Příklad 6:
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
27 / 28
Konec
Následuje téma Funkce jedné proměnné.
Lucie Doudová (UO Brno)
Lineární algebra
28 / 28