Matematika II
9.5.
9.5. Soustavy diferenci´aln´ıch rovnic
Soustavy diferenci´ aln´ıch rovnic
C´ıle Budeme se nyn´ı zab´yvat u ´ lohami, v nichˇz je c´ılem naj´ıt dvojici funkc´ı y(x), z(x), pro kter´e jsou zad´any dvˇe line´arn´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu, obsahuj´ıc´ı tyto funkce a jejich derivace.
V´ yklad Omez´ıme-li se na line´ arn´ı soustavy s konstantn´ımi koeficienty, m˚ uˇzeme z´akladn´ı u ´ lohu zadat ve tvaru a1 y ′ + a2 z ′ + a3 y + a4 z = b1 (x) , c1 y ′ + c2 z ′ + c3 y + c4 z = b2 (x) , kde a1 , . . . , a4 , c1 , . . . , c4 jsou re´aln´e konstanty a b1 (x), b2 (x) zn´am´e funkce (prav´e strany soustavy). Je-li specielnˇe b1 (x) = b2 (x) = 0, hovoˇr´ıme o homogenn´ı soustavˇ e rovnic. ˇ sen´ı takov´eto (mal´e) soustavy nevyˇzaduje hlubˇs´ı teoretick´e poznatky neReˇ zbytn´e pro u ´ lohy s vˇetˇs´ım poˇctem nezn´am´ych, tj. i rovnic. Eliminaˇ cn´ı metodou m˚ uˇzeme totiˇz tuto soustavu pˇrev´est na diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu pro jednu z nezn´am´ych funkc´ı a vyuˇz´ıt tak dˇr´ıve z´ıskan´e znalosti. Postup bude zˇrejm´y po prostudov´an´ı n´asleduj´ıc´ıch ˇreˇsen´ych u ´ loh.
ˇ sen´ Reˇ e´ ulohy Pˇ r´ıklad 9.5.1.
M´ame naj´ıt funkce y(x) a z(x), kter´e jsou ˇreˇsen´ım soustavy y ′ − 4z ′ + 2y − 8z = 0, z′ − y + z = 0
pˇri tˇechto poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach: y(0) = 3, z(0) = 2.
- 402 -
Matematika II
9.5. Soustavy diferenci´aln´ıch rovnic
ˇ sen´ı: Druh´a z rovnic t´eto homogenn´ı soustavy je podstatnˇe jednoduˇsˇs´ı, Reˇ proto z n´ı snadno vyj´adˇr´ıme funkci y a n´aslednˇe jej´ı derivaci: y = z′ + z ,
y ′ = z ′′ + z ′ .
Po dosazen´ı do prvn´ı rovnice a u ´ pravˇe m´ame diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu bez prav´e strany pro funkci z(x): z ′′ − z ′ − 6z = 0 . Jej´ı charakteristick´a rovnice r 2 − r − 6 = 0 m´a koˇreny r1 = −2, r2 = 3, kter´ym odpov´ıd´a obecn´e ˇreˇsen´ı z(x) = C1 e−2x + C2 e3x
a jeho derivace z ′ (x) = −2C1 e3x + 3C2 e2x .
Funkci y(x) vytvoˇr´ıme pomoc´ı vztahu, kter´y jsme pouˇzili u ´ vodem pˇri eliminaci: y(x) = z ′ + z = −C1 e−2x + 4C2 e3x . Nyn´ı zb´yv´a urˇcit z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek konstanty C1 a C2 . Poloˇz´ıme-li x = 0 v obecn´em ˇreˇsen´ı y(x) = −C1 e−2x + 4C2 e3x , z(x) = C1 e−2x + C2 e3x , obdrˇz´ıme soustavu 3 = −C1 + 4C2 , 2 = C1 + C2 . Jej´ım ˇreˇsen´ım jsou hodnoty C1 = C2 = 1, takˇze m˚ uˇzeme napsat hledan´y v´ysledek poˇc´ateˇcn´ı u ´ lohy: yp (x) = 4 e3x − e−2x , zp (x) = e3x + e−2x . Pˇ r´ıklad 9.5.2.
M´ame naj´ıt obecn´e ˇreˇsen´ı soustavy y ′ + y − z = − cos x , z ′ + 2y − z = − sin x .
- 403 -
Matematika II
9.5. Soustavy diferenci´aln´ıch rovnic
ˇ sen´ı: Tentokr´at jde o nehomogenn´ı soustavu s prav´ymi stranami tvoˇren´ymi Reˇ goniometrick´ymi funkcemi. Pro eliminaci je nejv´yhodnˇejˇs´ı vyj´adˇrit z prvn´ı rovnice funkci z(x): z = y ′ + y + cos x ,
z ′ = y ′′ + y ′ − sin x .
Dosazen´ım do druh´e rovnice z´ısk´ame po u ´ pravˇe diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu s pravou stranou y ′′ + y = cos x . Charakteristick´a rovnice r 2 +1 = 0 m´a koˇreny r1,2 = ±i, kter´ym odpov´ıd´a obecn´e ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice y ′′ + y = 0 ve tvaru line´arn´ı kombinace goniometrick´ych funkc´ı yˆ = C1 cos x + C2 sin x ´ (protoˇze α = 0, β = 1 – viz kap. 9.2). Uplnou rovnici m˚ uˇzeme ˇreˇsit metodou neurˇcit´ych koeficient˚ u, nebot’ na prav´e stranˇe je funkce cos x. Pro ni ale vych´az´ı λ = 0 = α, ω = 1 = β, a proto mus´ıme v souladu s teori´ı v kapitole 9.4 zvolit partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru v(x) = x(A cos x + B sin x) . Protoˇze jej´ı druh´a derivace je (ovˇeˇrte samostatnˇe v´ ypoˇctem) v ′′ (x) = −2A sin x + 2B cos x − x(A cos x + B sin x) , dost´av´ame po dosazen´ı do u ´ pln´e rovnice −2A sin x + 2B cos x = cos x . Zde porovn´ame koeficienty u jednotliv´ych goniometrick´ych funkc´ı: cos x :
2B = 1 ,
sin x :
−2A = 0 ,
uˇzeme napsat v´ysledn´y tvar funkce y(x): takˇze A = 0, B = 21 , v(x) = 12 x sin x a m˚ 1 y = C1 cos x + C2 sin x + x sin x . 2
- 404 -
Matematika II
9.5. Soustavy diferenci´aln´ıch rovnic
V´ypoˇcet funkce z(x) ze vztahu z = y ′ + y + cos x je uˇz pouze technick´y probl´em, kter´y vede k v´ysledku 1 1 z = (C2 + C1 ) cos x + (C2 − C1 ) sin x + (x + 1) sin x + (2x + 1) cos x . 2 2 Z´avˇerem je vhodn´e si povˇsimnout, ˇze podobnˇe jako byly v zad´an´ı funkce y(x) a z(x) spolu v´az´any v rovnic´ıch, jsou jejich v´ysleden´e tvary propojeny prostˇrednictv´ım konstant.
Kontroln´ı ot´ azky Ot´ azka 1. Popiˇste rozd´ıl mezi homogenn´ı a nehomogenn´ı soustavou line´ arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. Ot´ azka 2. Jak´y je u ´ˇcel pouˇzit´ı eliminaˇcn´ı metody pˇri ˇreˇsen´ı soustav rovnic?
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı ˇ ste homogenn´ı soustavy: 1. Reˇ y ′ = 2y + z,
a)
b)
z ′ = 3y + 4z
y ′ + z ′ = 4y − 2z, y ′ − z ′ = −2y − 4z
ˇ ste nehomogenn´ı soustavy: 2. Reˇ a)
y ′ + 2z ′ − y + 6z = −e2t ,
b)
z ′ + y − z = e2t
2y ′ + z ′ − 3z − y = 2x − 1, y ′ − z ′ + 4y = x + 1
3. Najdˇete ˇreˇsen´ı soustav pˇri zadan´ych poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach: a)
y ′ + z ′ = y + 5z,
y(0) = 1 , z(0) = 2
z ′ = −y + 4z
b)
y ′ − z = tg2 x + 1, z ′ + y = tg x
- 405 -
y(0) = 2 , z(0) = −2
Matematika II
9.5. Soustavy diferenci´aln´ıch rovnic
V´ ysledky ´ uloh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. a) y = C1 ex + C2 e5x ,
z = −C1 ex + 3C2 e5x
b) y = C1 ex cos 3x + C2 ex sin 3x ,
2. a) y = −4C1 e5x + 2C2 e−x +
11 2x e 9
z = C1 ex sin 3x − C2 ex cos 3x z = C1 e5x + C2 e−x − 29 e2x
,
b) y = C1 ex cos 3x + C2 ex sin 3x ,
3. a) y = (x + 1)e3x ,
z = C1 ex sin 3x − C2 ex cos 3x
z = (x + 2)e3x
b) y = −4 sin x + tg x ,
z = −4 cos x + 2
- 406 -
