Soustava rovnic o dvou neznámých Soustavou rovnic nazýváme dvojici rovnic, která má platit současně. Řešením takové soustavy je uspořádaná dvojice kořenů [𝑥 , 𝑦],která splňuje obě rovnice.
Ekvivalentní úpravy soustavy rovnic v oboru reálných čísel: 1. Nahrazení libovolné rovnice rovnicí s ní ekvivalentní 2. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice s libovolnou jinou rovnicí soustavy 3. Dosazení neznámé nebo výrazu s neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné
Metody řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých: Metoda sčítací: jednu nebo obě rovnice násobíme vhodnou konstantou tak, abychom po sečtení obou rovnic vyloučili jednu neznámou. Metoda dosazovací: vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice a dosadíme do druhé rovnice Metoda srovnávací: vyjádříme z obou rovnic stejnou neznámou a porovnáme Nejčastěji metody při řešení kombinujeme.
PS 60 – 63 9. Ověřte, zda je uspořádaná dvojice [−4; 1] řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. a) 𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0
b) 0,5𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
𝑥+𝑦+3=0
10. Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou a proveďte zkoušku a) 5𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
b) 2𝑥 − 𝑦 = 0
4𝑥 − 𝑦 + 17 = 0
𝑥−4=0
11. Řešte soustavu rovnic srovnávací metodou a proveďte zkoušku. a) 3𝑥 + 5𝑦 = 0
b) 2𝑥 − 7𝑦 + 1 = 0
𝑥−𝑦+8=0
𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0
12. Řešte soustavu rovnic sčítací metodou a proveďte zkoušku. a) 9𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
b) 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0
6𝑥 − 𝑦 − 10 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
14. Milada koupila 2 kg třešní a 3kg jahod. Zaplatila 290 Kč. Soňa koupila ve stejném obchodě 4 kg třešní a 2 kg jahod a platila 340 Kč. Kolik Kč stál kilogram třešní a kolik kilogram jahod?
15. Tibor si střádal dvoukoruny a pětikoruny. Když měl přesně 100 mincí, zjistil, že má našetřeno 326 Kč. Kolik měl dvoukorun a kolik pětikorun?
16. Pavel a Vojta vysazovali na lesní brigádě stromky. Pavel vysadil za šestihodinovou směnu o dva stromky více než Vojta. Společně za tři takové směny vysadili 156 stromků. Kolik stromků během brigády vysadil Pavel a kolik Vojta?
17. V množině R řešte dané soustavy rovnic. a)
5𝑥 = 3 − 5𝑦
3𝑦 − 5 = 3𝑥
b) (𝑥 − 1) ∙ (𝑦 + 2) = (𝑥 + 4) ∙ (𝑦 − 3) (2𝑥 + 5) ∙ (𝑦 − 3) = 2𝑥𝑦 − (1 − 𝑥)
c) 2𝑥 + 7𝑦 − 18 = 4 ∙ (𝑥 + 𝑦) 5𝑥 − 2 ∙ (𝑥 − 𝑦) = 13 + 4𝑦
d)
𝑥 2
𝑦
+ =1 3
𝑥 𝑦 =1− 3 4
Slovní úlohy řešené rovnicí či soustavou Slovní úlohy o společné práci
I.
Více objektů se současně podílí na společné práci. Jedná se o práci celou, pravá strana rovnice je rovna 1. Levá strana rovnice je součtem dílů, které jednotlivé objekty vykonají za daný čas.
1. Př. Lucie, Tereza a Petra se rozhodly, že společně zpracují záznamy z povinné četby, aby si urychlili přípravu k maturitě. Lucii samotné by zpracování trvalo 30 dnů, Tereze 36 dnů a nejpečlivější Petře 45 dnů. Za jak dlouho záznamy zpracují, budou-li pracovat společně? 1
Lucie…………………. 30 dnů………….. za den 30 1
Tereza………………. 36 dnů…………… za den 36
1
Petra …………………45 dnů …………. za den 45
Společně …………… .x dnů x 30
+
x 36
+
x 45
= 1
/∙ 180
6x+5x+4x = 180 15𝑥 = 180 /: 15
Zk: 𝐿=
12 30
𝑃=1
+
12 36
+
12 45
=
72+60+48 180
=
180 180
=1
𝐿=𝑃
𝑥 = 12 Pokud budou studentky pracovat společně, zpracují záznamy za 12 dnů.
PS68-73 5. Martin s Vojtou skládali uhlí. Vojta by ho sám složil za 3 hodiny. Pomalejší Martin by to sám zvládl za 6 hodin. Za jak dlouho složí uhlí, budou-li pracovat společně?
6. Sedlák má koně a vola. Čeledín Pepa s koněm zorá sedlákovo pole za 5 hodin. Čeledín Vašek stejné pole s volem oral o dvě hodiny déle. Vypočítejte, jak dlouho by trvalo pole zorat oběma současně.
8. Chladící nádrž jaderné elektrárny musela být po odstávce co nejrychleji naplněna. K napouštění byla použita dvě čerpadla a celý proces trval 3,75 hodiny. Kdyby bylo spuštěno jen méně výkonné čerpadlo, trvalo by napouštění 10 hodin. Vypočtěte, za jak dlouho by byla nádrž naplněna pouze výkonnějším čerpadlem.
13. Tři středověcí mniši mají za úkol opsat 600 stran Bible. Jeden přepíše za 3 dny 1 stranu, druhý za 2 dny 3 strany a třetí za 4 dny 2 strany. Vypočítejte za kolik dnů a v jaký den budou mít mniši opsanou celou bibli, když začnou ve středu a neděle věnují výhradně modlitbám a rozjímání.
II.
Slovní úlohy o směsích Vytváříme směs množství 𝑚1 první látky s vlastností 𝑤1 A množství 𝑚2 druhé látky s vlastností 𝑤2 a získáme tím množství 𝑚1 + 𝑚2 látky s vlastností 𝑤. Při řešení pak vycházíme z rovnice 𝑚1 ∙ 𝑤1 + 𝑚2 ∙ 𝑤2 = (𝑚1 + 𝑚2 ) ∙ 𝑤 ve které je neznámá vždy pouze jedna z hodnot
1. Př. Paní Nováková potřebuje vykoupat tříměsíčního syna. Z vodovodu tekla pouze studená voda o teplotě 23℃. Do vaničky napustila 28 𝑙 vody z kohoutku. Kolik horké vody o teplotě 90℃ ohřáté na sporáku musí ještě přidat, aby teplota dosáhla pro kojence vhodných 37℃? Studená voda(23℃)…………………….28 l Horká voda(90℃)……………………….x l Míchaná voda(37℃)………………….(28 + 𝑥) l x ∙ 90 + 28 ∙ 23 = (28 + 𝑥) ∙ 37 90x + 664 = 1036 + 37x 53x = 392 x ≐ 7,4 l Zk: 𝐿 = 7,4 ∙ 90 + 28 ∙ 23 = 666 + 644 = 1310 𝑃 = (28 + 7,4) ∙ 37 = 35,4 ∙ 37 ≐ 1310 𝐿≐𝑃 Paní Nováková bude muset přidat necelých sedm a půl litru horké vody.
9. Obchodník s kávou má k dispozici kávu druhu robusta a arabika. 1 kg robusty stojí 450 Kč, 1 kg arabiky je o 300 Kč dražší. Vypočítejte, kolik kg robusty a kolik kg arabiky bude potřebovat k vytvoření 30 kg jejich směsi tak, aby 1 kg směsi stál 490 Kč?
10.Vinař má k dispozici dvě odrůdy červeného vína, Merlot a Svatovavřinecké. Hektolitr Merlotu prodává za 7500 Kč, hektolitr Vavřineckého za 5000 Kč. Vinař se rozhodl vytvořit jejich směs – cuvée. Kolik hl jednotlivých odrůd bude potřebovat k vytvoření 15 hl směsi, aby 1 l stál zákazníka 60 Kč.
III.
Slovní úlohy o pohybu Využíváme vztahu mezi dráhou, rychlostí a dobou pohybu 𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕, kterým popisujeme rovnoměrný pohyb. Tyto příklady bývají dvou základních typů: objekty se pohybují stejným proti sobě, při sestavení rovnice využijeme skutečnost, že 𝑠 = 𝑠1 + 𝑠2 objekty se pohybují stejným směrem 𝑠1 = 𝑠2 1. Př. Anna poprosila manžela, aby pro ni přijel na chatu vzdálenou 27 km. Manžel se tedy vydal na cestu rychlostí 50 km/h. Ve stejné chvíli mu Anna vyšla naproti rychlostí 4 km/h. Po jaké době se setkají? Kolik km do té doby Anna ujde? 𝑠 = 𝑠1 + 𝑠2 27 = 50𝑡 + 4𝑡 54𝑡 = 27 𝑡 = 0,5 ℎ = 30 min 𝑠2 = 4 ∙ 0,5 = 2𝑘𝑚 Anna manžela potkala po 30 minutách a ušla do té doby 2 km.
7. Průměrná rychlost zdatného cyklisty je 30 km/h. Průměrná rychlost méně zdatného cyklisty je 20 km/h. Oba vyjeli současně na stejnou trasu. Zdatnější cyklista ji zvládl o 2 hodiny dříve. Jak dlouhá byla tato trasa?
11. Sprinter běží při štafetě 4x1400m na předávku rychlostí 42 km/h. Druhý běžec stojící na začátku předávkového území dlouhého 20m, vyběhne v okamžiku, kdy je od něj první atlet vzdálen 10m. Vypočítejte, jakou rychlostí musí druhý atlet běžet, aby k předání došlo na samém konci předávkového území.
15. Pan Rychlý potřebuje jet autem z Brna do Prahy. Po dálnici D1 je na trase nadměrný náklad, který Brno opouští ve 23.00 hod. a jeho rychlost je 12 km/h. V kolik hodin nejdříve má vyrazit pan Rychlý, aby se vyhnul koloně, tedy aby se potkali na sjezdu u Humpolce na 110 km trasy, když počítá s průměrnou rychlostí 120 km/h?
17. Z Košic vyjel vlak ve 14:45 hod. do 120 km vzdáleného Popradu. V 17:45 hod. se potkal přesně v Popradu s protijedoucím vlakem ze Žiliny, která je od Popradu vzdálená 140 km. Vypočítejte, v kolik hodin vyjížděl vlak ze Žiliny, jestliže víte, že jel o 8 km/h rychleji, než vlak z Košic.
20. Ze dvou míst vzdálených od sebe 49 km vyjeli proti sobě dva kamarádi na kole. První vyrazil v 8:00 hodin rychlostí 20 km/h, druhý o 12 minut později rychlostí 25 km/h. V kolik hodin se setkají? Kolik km každý z nich do té doby ujede?
Příklady k domácí přípravě
1. V množině R najdi řešení soustavy rovnic a proveď zkoušku: a)
2𝑥 − 3𝑦 = 12 3𝑥 + 2𝑦 = 5
b) 2𝑥 = 6𝑦 + 1 3𝑦 = 7 − 4𝑥
2. Mistr zlatník by sám vyrobil šperk za 10 dnů, jeho učeň by takovou práci sám dělal o 5 dnů déle. Kolik dnů jim bude trvat výroba šperku společně?
3. Na dvoře je celkem 35 králíků a slepic. Dohromady mají 94 nohou. Kolik je králíků a kolik je slepic?
4. Z letiště vyletělo letadlo rychlostí 300 km/h. Když bylo 50 km od letiště, vyletěla za ním z téhož místa stíhačka rychlostí 550 km/h. Kdy a v jaké vzdálenosti od letiště stíhačka letadlo dohoní?
