2.3.10
Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I
Předpoklady: 2308 Pedagogická poznámka: Hodina má trochu netradiční charakter. U každé metody si studenti opíší postup a pak ho zkusí uplatnit na stále stejnou soustavu rovnic. Hlavní cílem je právě to, aby zkusili sami z popisu algoritmu soustavu jednotlivými způsoby vyřešit. Některé z postupů znají, nejvíce problémů bývá se srovnávací metodou. Př. 1:
Urči věk otce a věk syna, víš-li, že za 3 roky bude otec 5krát starší než syn a za 5 let bude otec 4krát starší než syn.
Sestavíme rovnice: Dvě neznámé: věk otce…x věk syna…y
věk otce za 3 roky… x + 3 věk syna za 3 roky… y + 3
Za 3 roky bude otec 5krát starší než syn.
⇒
Za 5 let bude otec 4krát starší než syn.
⇒
věk otce za 5 let… x + 5 věk syna za 5 let… y + 5
( x + 3) = 5 ( y + 3) ( x + 5) = 4 ( y + 5)
Pedagogická poznámka: Při sestavování rovnic je opět největším problém ukvapený postup ústící do rovnic typu x + 3 = 5 y + 3 … Upravíme rovnice: ( x + 3) = 5 ( y + 3) ( x + 5) = 4 ( y + 5) x + 3 = 5 y + 15 x + 5 = 4 y + 20 x − 5 y = 12 x − 4 y = 15 Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: x − 5 y = 12 ⇒ dvě možnosti volby a dvě omezující podmínky. x − 4 y = 15
Soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých rozumíme soustavu rovnic, kterou lze zapsat ve tvaru: a1 x + b1 y = c1 , kde x a y jsou proměnné a a1 ; a2 ; b1 ; b2 ; c1 ; c2 koeficienty z R. a2 x + b2 y = c2 Řešení soustavy rovnic můžeme pojmout, jako řešení příkladu, ve kterém máme dvě možnosti volby (neznámé x a y) a dvě podmínky omezující tuto volbu.
Poznámka: Hlavně na vysokoškolské úrovni se používá častěji zápis:
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
.
Pedagogická poznámka: Při kontrole je třeba ukázat zápis výsledku ve formě K = [ 27;3] .
1
Pedagogická poznámka: O řešení soustavy pomocí uvedených metod se žáci po zkráceném opsání algoritmu snaží sami. Předem je upozorním, aby si u každé metody vynechali několik řádek na poznámky, které si řekneme při společné kontrole. Rychlejší žáci mohou řešit příklad 5 a přemýšlet o výhodách a nevýhodách jednotlivých metod. Existuje několik metod řešení naší soustavy.
Dosazovací metoda 1. Jednu z neznámých vyjádříme pomocí jedné z rovnic jako výraz. 2. Výraz dosadíme za neznámou do druhé rovnice ⇒ získáme rovnici s jedinou neznámou. 3. Spočítáme rovnici a tím určíme hodnotu druhé neznáme. 4. Pomocí spočtené proměnné určíme hodnotu zbývající proměnné. Př. 2:
Vyřeš soustavu rovnic
x − 5 y = 12 x − 4 y = 15
dosazovací metodou.
x − 5 y = 12 ⇒ x = 12 + 5 y (jednu z neznámých vyjádříme pomocí jedné z rovnic jako výraz)
x − 4 y = 15 ⇒ (12 + 5 y ) − 4 y = 15
(12 + 5 y ) − 4 y = 15
(výraz dosadíme za neznámou do druhé rovnice) (spočteme rovnici)
12 + 5 y − 4 y = 15 y =3 Hodnotu zbývající proměnné dopočteme z vyjádřeného výrazu. x = 12 + 5 y = 12 + 5 ⋅ 3 = 27 K = [ 27;3] Otci je 27 let, synovi jsou tři roky.
Dodatek: První rovnici jsme vyjádřením neznámé nezapomněli, jen jsme ji trochu přeměnili a jakmile jsme chtěli dopočítat x, opět jsme ji použili. Výsledek nezávisí na tom, kterou neznámou a ze které rovnice jsme vyjadřovali. Na této volbě může záviset délka a obtížnost výpočtu. Vyřešíme soustavu vyjádřením y ze druhé rovnice: x − 15 (jednu z neznámých vyjádříme pomocí jedné x − 4 y = 15 ⇒ 4 y = x − 15 ⇒ y = 4 z rovnic jako výraz) x − 15 x − 5 y = 12 ⇒ x − 5 = 12 (výraz dosadíme za neznámou do druhé rovnice) 4 x − 15 x−5 = 12 /⋅ 4 (spočteme rovnici) 4 4 x − 5 x + 75 = 48 x = 27 Hodnotu zbývající proměnné dopočteme z vyjádřeného výrazu. x − 15 27 − 15 y= = =3 K = [ 27;3] 4 4 ⇒ Pokud se rozhodneme pro dosazovací metodu, je dobré si rozmyslet jakou neznámou a z jaké rovnice budeme vyjadřovat.
2
Pedagogická poznámka: Při dalších příkladech na dosazovací metodu, vždycky diskutujeme o výhodnosti jednotlivých postupů. Poznámka: Dosazovací metodu už jsme fakticky používali při řešení slovních úloh, kdy jsme si na začátku zvolili více neznámých a pak jsme jejich počet postupných dosazováním a vyjadřováním snižovali.
Srovnávací metoda 1. Z obou rovnic vyjádříme jednu z neznámých. 2. Z vzniklých výrazů sestavíme novou rovnici (oba se rovnají stejnému číslu – neznámé). 3. Spočítáme rovnici. 4. Pomocí spočtené neznámé určíme hodnotu druhé neznámé. Př. 3:
Vyřeš soustavu rovnic
x − 5 y = 12 x − 4 y = 15 x − 5 y = 12 ⇒ x = 12 + 5 y x − 4 y = 15 ⇒ x = 15 + 4 y
x − 5 y = 12 x − 4 y = 15
srovnávací metodou.
V obou rovnicích se vyskytuje samotné x, necháme ho na jedné straně, zbytek rovnic převedeme na druhou stranu. Na levé straně obou rovnic je stejné číslo, z toho vyplývá, že i na pravé straně musí být stejné číslo (obě strany každé rovnice musí být stejné číslo) ⇒ pravé strany se také rovnají.
12 + 5 y = 15 + 4 y y =3 x spočteme dosazením do jedné z rovnic. x = 12 + 5 y = 12 + 5 ⋅ 3 = 27 K = [ 27;3]
Dodatek: Výraz shodný v obou rovnicích nemusí být nutně jedna z neznámých, může být i značně složitější. Aby bylo možné soustavu srovnávací metodou vyřešit, musí oba rozdílné výrazy na pravé straně obsahovat, pouze jednu stejnou proměnou. Jinak bychom jejich porovnáním získali rovnici o dvou neznámých (která má obecně nekonečně mnoho řešení). Poznámka: Srovnávací metoda je hodně efektivní v některých situacích, ale není použitelná vždy. Sčítací metoda 1. Rovnice vhodně vynásobíme. 2. Vynásobené rovnice sečteme (vynásobení musí být takové, aby se při sčítaní jedna z proměnných odečetla). 3. Spočítáme rovnici získanou rovnici s jedinou neznámou. 4. Pomocí spočtené neznámé určíme hodnotu druhé dosazením do jedné z původních rovnic.
3
Př. 4:
Vyřeš soustavu rovnic
x − 5 y = 12 x − 4 y = 15
sčítací metodou.
x - 5 y = 12 x − 4 y = 15 /⋅ (−1) x − 5 y = 12 − x + 4 y = −15 Teď rovnice sečteme: K pravé straně první rovnice přičteme pravou stranu druhé (číslo –15), k levé straně první rovnice přičteme levou stranu druhé (výraz ( − x + 4 y ) ). Protože druhá rovnice je rovnicí, je hodnota obou jejich stran stejná ⇒ k levé straně první rovnice tak připočítáváme také číslo –15, ale napsané složitěji. x + ( − x ) − 5 y + 4 y = 12 + ( −15 ) 0 ⋅ x − y = −3 y =3 Dosadíme do jedné z rovnic (například té první). x − 5 y = 12 ⇒ x − 5 ⋅ 3 = 12 ⇒ x = 27 K = [ 27;3]
Dodatek: Sčítací metoda není nic jiného než uplatnění ekvivalentní úpravy rovnice – přičtením stejného čísla k oběma stranám rovnice se její řešení nezmění. Číslo, které přičítáme, je však pokaždé jinak zapsané. Poznámka: Sčítací metoda je při řešení soustav rovnic s více než dvěma rovnicemi zdaleka nejpoužívanější. Na první pohled se zdá, že sečtením jsme ze dvou rovnic udělali jednu. Není to pravda! Sečtením jsme získali jednu rovnici, ale abychom určili i hodnotu druhé proměnné, museli jsme jako druhou použít jednu ze dvou původních rovnic. Správně jsme tedy měli stále sadu dvou rovnic, v níž jsme jednu z původních nahradili součtem obou rovnic. Správný striktní zápis totální sčítací metody by vypadal takto: x − 5 y = 12 x − 4 y = 15 x − 5 y = 12 x − x − 4 y − ( −5 y ) = 15 − 12 x − 5 y = 12 y=3 x − 5 y + 5 y = 12 + 5 ⋅ 3 y=3
(místo druhé rovnice píšeme rozdíl druhé rovnice a první rovnice)
(k první rovnici přičítáme pětinásobek druhé)
x = 27 y=3 Zápis je zdlouhavý, ale je z něj vidět, že jsme měli dvě podmínky pro neznámé a tyto podmínky jsme postupně zprůhledňovali tak, aby bylo co nejlépe vidět, jaké hodnoty neznámých připouštějí. Při první úpravě jsme rovnice odečítali, mělo by se tedy jednat o odčítací metodu. Tento název se ale nepoužívá, odečítání bereme jako přičítání opačného čísla (viz. původní postup).
4
Pedagogická poznámka: Diskuse o zachovávání počtu rovnic je důležitá. Právě ztrácení rovnic a celkově malý přehled o tom, kolik rovnic soustava vlastně obsahuje, je zdrojem řady problémů u složitějších příkladů. Existují i další metody.
Př. 5:
Vyřeš libovolnou metodou soustavu rovnic
xy − x = 2 xy 2 − x = 6
.
Upravíme soustavu: x ( y − 1) = 2 x ( y 2 − 1) = 6
x ( y − 1) = 2
x ( y − 1)( y + 1) = 6
/ : ( y + 1) , y ≠ −1
x ( y − 1) = 2 6 y +1
x ( y − 1) =
Použijeme srovnávací metodu: 6 2= / ⋅ ( y + 1) y +1 2 ( y + 1) = 6 2y + 2 = 6 2y = 4 y=2 Dosazením do první rovnice určíme x: x ( 2 − 1) = 2
K = [ 2; 2]
x=2
Dodatek: Soustavu je možné řešit i dosazovací metodou, naopak sčítací metoda by šla uplatnit jen těžko. Soustavu je možné vyřešit efektivněji pomocí nové metody. Metoda dělicí xy − x = 2 xy 2 − x = 6
x ( y − 1) = 2
x ( y 2 − 1) = 6
x ( y − 1) = 2
x ( y − 1) 2
x ( y − 1)
=
6 2
Druhou rovnici jsme vydělili první rovnicí. Dělili jsme obě rovnice číslem 2, jednou ale bylo napsáno jako x ( y − 1) . Podmínky jsou zbytečné. Víme, že nedělíme nulou (dělíme číslem 2) .
5
x ( y − 1) = 2
x ( y − 1)( y + 1) x ( y − 1)
=
6 2
x ( y − 1) = 2 y +1 = 3 x ( y − 1) = 2 y=2
(teď dosadíme hodnotu y do první rovnice)
x ( 2 − 1) = 2 y=2 x=2 y=2
K = [ 2; 2] Podobně jako dělicí metodu můžeme odvodit i další metody, které vycházejí z ekvivalentních úprav a jejich hlavní myšlenky – pokud provedeme s oběma stranami rovnice takovou úpravu, která změní obě hodnoty stejně, řešení se nezmění.
Shrnutí: Pro řešení soustav dvou rovnic můžeme používat různé metody, které však vždy vycházejí z principu ekvivalentní úpravy rovnice.
6
