Název projektu Registrační číslo Autor Datum Ročník Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Metodický list/anotace
Typ DUMu Jazyk Očekávaný výstup
Speciální vzdělávací potřeby Cílová skupina Stupeň a typ vzdělávání Typická věková skupina
Život jako leporelo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Ing. Renata Dupalová 18.7.2014 9. Matematika a její aplikace Matematika Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých Slovní úlohy řešené rovnicemi Pracovní list je určen žákům k procvičení nebo opakování slovních úloh, u kterých je využito sestavení dvou rovnic o dvou neznámých, a jejich vyřešení. Pracovní list Český Zvládnutí řešení slovních úloh, vedoucích k sestavení dvou rovnic o dvou neznámých žádné Žáci 9. ročníku 2. stupeň základní školy 15 let
Slovní úlohy
EU – O 2 – 3 URB 18
Soustava dvou rovnic o dvou neznámých Zadání 1. Rozdíl dvou čísel je20. Jejich součet je 40. Jaká jsou to čísla? 2. Součet trojnásobku prvního čísla a dvojnásobku druhého čísla je 12. Součet dvojnásobku prvního čísla a trojnásobku druhého čísla je 13. Jaká jsou obě čísla?
3. Máme za úkol zjistit ceny zeleniny. Známe výsledky dvou nákupů. První nákup: 2kg papriky a 3kg brambor jsme zaplatili 117 Kč Druhý nákup: 7 kg papriky a 8 kg brambor jsme zaplatili 387 Kč Urči cenu 1kg papriky a 1kg brambor.
4. Ve váze jsou dvě kytice s cenovkami. V první jsou 3 lilie a 2 karafiáty a stojí 77 Kč a ve druhé je 1 lilie a 5 karafiátů a stojí 87 Kč. Kolik stojí 1 lilie a kolik stojí 1 karafiát?
5. Jednu slunečnou neděli navštívilo muzeum 458 osob. Na vstupném se vybralo 15 480 Kč. Dospělý člověk platil 60 Kč, dítě 20 Kč. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo muzeum?
6. Z Afriky poslali do evropských ZOO plameňáky a velbloudy. Dohromady měli 74 hlav a 240 nohou. Kolik bylo plameňáků a kolik velbloudů?
7. Žáci osmých a devátých tříd sbírali starý papír. Celkem odevzdali 32 000kg starého papíru. Pětina sběru žáku osmých tříd se rovná třetině žáků devátých tříd. Kolik kg papíru donesli žíci osmých tříd a kolik kg žáci devátých tříd.
8. Kus látky délky 40m máme rozdělit na dvě části tak, aby polovina první části se rovnala třetině druhé části. Kolik měří každá část látky?
9. Jirka a Milan si kupují stejné malé a velké kuličky. Jirka si koupil 4 velké a 20 malých kuliček a zaplatil 112 Kč. Milan za 10 velkých a 24 malých zaplatil 176 Kč. Kolik stála velká a malá kulička?
10. Směs pralinek. Jeden kilogram pralinek s oříšky stojí 60Kč. Jeden kilogram pralinek s mandlemi stojí 35Kč. Máme připravit pět kilogramů směsi po 45Kč za jeden kilogram. Kolik kilogramů jednotlivých druhů pralinek je třeba smíchat? 11. Máme dva roztoky chemické soli. Jeden je 5%ní a druhý je 30%ní. Vypočítej, kolik kterého z těchto roztoků je třeba použít, abychom dostali 1kg 25% roztoku této soli.
12. V laboratoři dostali za úkol připravit 0,5l 40% kyseliny dusičné. V láhvích mají připravenou 60% a 10% kyselinu dusičnou. Kolik které z nich použijí do roztoku?
13. Během víkendu spadlo 31,5 mm srážek. Kolik napršelo v sobotu a kolik v neděli jestliže v neděli byly srážky ještě o 25% vydatnější?
14. Žáci devátých tříd byli na výletě ubytování v penzioně. Bylo tam 27 pokojů. Některé byly třílůžkové a některé čtyřlůžkové, v penzionu může být ubytováno nejvíce 87 hostů. Urči, kolik třílůžkových a kolik čtyřlůžkových pokojů může být v penzionu.
15. Kontejnerová loď veze červené a černé kontejnery. Má naloženo 29 kontejnerů, které váží dohromady 550 tun. Červené kontejnery jsou 20 tunové a černé 15 tunové. Kolik je kterých?
16. Z depa vyjel 7h 30min nákladní vlak průměrnou rychlostí 40km/hod. V 8h za ním vyjela pomocná lokomotiva průměrnou rychlostí 80 km/hod. V kolik hodin dohoní lokomotiva nákladní vlak a v jaké vzdálenosti od depa?
17. V 6h ráno vyjelo osobní auto z města A průměrnou rychlostí 68km/h do vesnice B. Ve stejnou dobu vyjel z vesnice B směrem k městu A kombajn průměrnou rychlostí 40 km/hod. V kolik hodin se potkají, jestliže vzdálenost obou míst je 80,5km?
Slovní úlohy Soustava dvou rovnic o dvou neznámých Řešení 1. Rozdíl dvou čísel je20. Jejich součet je 40. Jaká jsou to čísla? x – y = 20
rozdíl dvou čísel
x + y = 40
součet dvou čísel
2x
= 60
x
= 60 : 2
x
= 30
y
= 40 – x
y
= 40 – 30
y
= 10
První číslo je třicet, druhé číslo je deset.
2. Součet trojnásobku prvního čísla a dvojnásobku druhého čísla je 12. Součet dvojnásobku prvního čísla a trojnásobku druhého čísla je 13. Jaká jsou obě čísla? 3.x
+ 2 . y = 12
|. (-3)
2.x
+ 3 . y = 13
|. 2
-9x
-9y
= -36
4x
+6y
= 26
-5x=
-10
x
= -10 : (-5)
x
=2
3.2
+ 2y
6+ 2y = 12
= 12
2y
= 12 -6
2y
=6
y
=
6 2
Zk.: 2 . 2 + 3 . 3= 13 4 + 9 = 13
=3
13
= 13
První číslo je 2, druhé číslo je 3.
3. Máme za úkol zjistit ceny zeleniny. Známe výsledky dvou nákupů. První nákup: 2kg papriky a 3kg brambor jsme zaplatili 117 Kč Druhý nákup: 7kg papriky a 8 kg brambor jsme zaplatili 387 Kč Urči cenu 1kg papriky a 1kg brambor. Paprika
cena za 1 kg
x Kč
Brambory
cena za 1 kg
y Kč
I nákup
2x
+ 3y
= 117 Kč
|.(7)
II.nákup
7x
- 8y
= 387 Kč
|.(-8)
14x
+ 21y
= 919
-14x
- 16y
= -774
5y
=
y
=
2x
+
3. 9
=
117
2x
+
27
=
117
2x
=
117 - 27
2x
=
90
x
=
45 45 5
= 9 Kč
90 2
= 45 Kč
Paprika stojí 45 Kč za 1 kg, brambory stojí 9 Kč za 1 kg.
4. Ve váze jsou dvě kytice s cenovkami. V první jsou 3 lilie a 2 karafiáty a stojí 77 Kč a ve druhé je 1 lilie a 5 karafiátů a stojí 87 Kč. Kolik stojí 1 lilie a kolik stojí 1 karafiát? Cena za 1 lilii ………………………………….x Kč Cena za 1 karafiát …………………………..y Kč I. kytice
3x
+
2y
= 79 Kč
II. kytice
x
+
5y
= 87 Kč
=> x = 87 – 5y
Dosadíme do první rovnice za x 3 . (87-5y) + 2y
=
79
261 -15y + 2y
=
79
-13y
=
79 – 261
-13y
=
-182
y
=
182 : 13
y
=
14 Kč
x
=
87 – 5y
x
=
87 - 5 . 14
x
=
87 – 70
x
=
17 Kč
|. (-1)
Lilie stojí 17 Kč a jeden karafiát stojí 14 Kč.
5. Jednu slunečnou neděli navštívilo muzeum 458 osob. Na vstupném se vybralo 15 480 Kč. Dospělý člověk platil 60 Kč, dítě 20 Kč. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo muzeum? Celkem osob 450 Celkem peněz 15 480 Kč Dospělý za vstup
60 Kč
počet dospělých x
Dítě za vstup
20 Kč
počet dospělí y
Počet osob
x+y
Zaplacené peníze
60 . x + 20 . y =
=
450
=> 450 – y
15 480 Kč
Dosadíme do druhé rovnice za x 60 (450-y) + 20y
=
15 480
27 000 – 60y + 20y
=
15 480
27 000 – 40y
=
15 480
- 40y
=
15 480 – 27 000
-40y
=
-11 520
40y
=
11 520
y
=
11 520 : 40
y
=
288
x
=
Zk.:
60 162 + 288 . 10
=
15 480
9 720 + 5 760
=
15 480
15 480 =
15 480
|. (-1)
450 – 288 =162
Muzeum v přírodě navštívilo 162 dospělých a 288 dětí.
6. Z Afriky poslali do evropských ZOO plameňáky a velbloudy. Dohromady měli 74 hlav a 240 nohou. Kolik bylo plameňáků a kolik velbloudů? Počet plameňáků
x
1 hlava
2 nohy
Počet velbloudů
y
1 hlava
4 nohy
Hlavy
x+y
=
74
Nohy
2 . y + 4y
=
240
|. (-2)
Zk.:
-2x – 2y
=
-148
2x + 4y
=
240
2y
=
92
y
=
x+y
=
74
x + 46
=
74
x
=
74 – 46
x
=
28
92 2
= 46
2 . 28 + 4 . 46 = 240 56+ 184
= 240
240
= 240
Plameňáků bylo 28 a velbloudů 46. 7. Žáci osmých a devátých tříd sbírali starý papír. Celkem odevzdali 32 000kg starého papíru. Pětina sběru žáku osmých tříd se rovná třetině žáků devátých tříd. Kolik kg papíru donesli žíci osmých tříd a kolik kg žáci devátých tříd. Celkem třídy odevzdaly
32 000 kg sběru
8. třídy
x kg
9. třídy
y kg
1 5
1
z x se rovná z y 3
x+y
=
𝑥
=
5 32 000−𝑦 5 15 .(32 000−𝑦) 5
=
=
32 000 => 𝑦 3 𝑦 3 15𝑦 3
|. 15
x = 32 000 – y
3 . (32 000 – y)=
5y
96 000 – 3y
=
5y
-3y – 5y
=
-96 000
-8y
=
-96 000
y
=
y
=
=
32 000 – 12 000
x Zk.:
20 000 5
4 000
= =
|. (-1)
96 000 8
12 000 kg
=
20 000 kg
12 000 3
4 000
Žáci 8. Tříd nasbírali 20 000 kg a záci 9. Tříd nasbírali 12 000 kg starého papíru. 8. Kus látky délky 40 m máme rozdělit na dvě části tak, aby polovina první části se rovnala třetině druhé části. Kolik měří každá část látky? Celý kus látky
40 m
Část jedna
xm
Část dvě
ym
1
1
2
z x se rovná
x+y 𝑥
= =
2 40−𝑦 2 6 .(40−𝑦) 2
zy
3
=
=
=>
40 𝑦 3 𝑦 3 6 .𝑦 3
3 . (40 – y)
=
2y
120 – 3y
=
2y
|. 6
x = 40 – y
-3y – 2y
=
-120
-5y
=
-120
y
=
x Zk.:
16 2
8
=
= =
120 5
|. (-1)
= 24m
40 -12 = 16 m 24 3
8
První kus látky měří 16 metrů, druhý 24 metrů.
9. Jirka a Milan si kupují stejné malé a velké kuličky. Jirka si koupil 4 velké a 20 malých kuliček a zaplatil 112 Kč. Milan za 10 velkých a 24 malých zaplatil 176 Kč. Kolik stála velká a malá kulička? Cena velké kuličky
x Kč
Cena malé kuličky
y Kč
Nákup Jirka
4x + 20y
= 112
|. 5
Nákup Milan
10x + 24y
= 176
|. (-2)
20x
+
100y =
560
-20x
-
48y
=
-352
52y
=
208
y
=
4x + 20 . 4
=
112
4x + 80
=
112
4x
=
112 – 80
4x
=
32
x
=
32 4
=8
208 52
=4
Zk.:
10 . 8 + 24 . 4 =
176
80 + 9 =
176
176
176
=
Velká kulička stojí 8 korun, malá kulička 4 koruny. 10. Směs pralinek. Jeden kilogram pralinek s oříšky stojí 60Kč. Jeden kilogram pralinek s mandlemi stojí 35Kč. Máme připravit pět kilogramů směsi po 45Kč za jeden kilogram. Kolik kilogramů jednotlivých druhů pralinek je třeba smíchat? 1 kg pralinek oříškových
60 Kč
1 kg pralinek mandlových
35 Kč
1 kg směsi
45 Kč
Máme připravit 5 kg směsi
5 . 45 = 225 Kč
Pralinek oříškových
x kg
Pralinek mandlových
y kg
Kilogramy
x+y=5
=> y = 5 – x
Peníze
60x + 35y = 225
Dosadíme za x 60 . (5 – y) + 35 y
=
225
300 – 60y + 35 y
=
225
-25y
=
225 – 300
-25y
=
-75
y
=
x
=
5–3
x
=
2
75 25
|. (-1) =3
Zk.:
60 . 2 + 35 . 3
= 225
120 + 105
=225
225
= 225
Směs připravíme z 2 kg pralinek oříškových a 3 kg pralinek mandlových. 11. Máme dva roztoky chemické soli. Jeden je 5%ní a druhý je 30%ní. Vypočítej, kolik kterého z těchto roztoků je třeba použít, abychom dostali 1kg 25% roztoku této soli. Máme připravit 1 kg
25%ního roztoku
5%ního roztoku
x kg
30%ního roztoku
y kg =1
=> x = 1 – y
Kilogramy
x+y
Koncentrace
0,05x + 0,30y = 0,25 . 1
Dosadíme za x 0,05 . (1-y) + 0,30y
=
0,25
0,05 – 0,05y + 0,30y
=
0,25
0,25y
=
0,25 -0,05
0,25y
=
0,20
y
=
0,20 0,25
= 0,8
x=1–y x = 1 – 0,8 = 0,2 Zk.:
0,05 . 0,2 + 0,3 . 0,8 = 0,25 0,01 + 0,24
= 0,25
0,25
= 0,25
Pěti procentního roztoku použijeme 0,2 kg a třicetiprocentního použijeme 0,8 kg. 12. V laboratoři dostali za úkol připravit 0,5l 40% kyseliny dusičné. V láhvích mají připravenou 60% a 10% kyselinu dusičnou. Kolik které z nich použijí do roztoku?
Máme připravit 0,5 l
40 %ní kyseliny
60%ní kyseliny
x kg
10%ní kyseliny
y kg
Litry
x + y = 0,5
Koncentrace
0,60x + 0,10y = 0,40 . 0,5 0,6x + 0,1y
=> x = 0,5 – y
= 0,2
Dosadíme za x do druhé rovnice 0,6 . (0,5 – y) + 0,1y
= 0,2
0,3 – 0,6y + 0,1y
= 0,2
-0,5
= 0,2 -0,3
-0,5
= -0,1
y
=
0,1 0,5
|. (-1)
= 0,2
x = 0,5 – 0,2 x = 0,3 Zk.:
0,6 . 0,3 + 0,1 . 0,2
= 0,20
0,18 + 0,02
= 0,20
0,20
= 0,20
Pro přípravu roztoku kyseliny použijeme 0,3 litru 60%ní kyseliny a 0,2 listru 10%ní kyseliny.
13. Během víkendu spadlo 31,5 mm srážek. Kolik napršelo v sobotu a kolik v neděli, jestliže v neděli byly srážky ještě o 25% vydatnější? O víkendu napršelo
31,5 mm srážek
V sobotu
x mm
V neděli
y = x + 0,25x x+y
= 31,5
x + y + 0,25x = 31,5
2,25x = 31,5 31,5
x
= 2,25
x
= 14 mm
y = 14 + 0,25. 14 = 14 + 3,5 = 17,5 mm Zk.:
14 + 17,5 = 31,5
V sobotu napršelo 14 mm a v neděli 17,5 mm srážek.
14. Žáci devátých tříd byli na výletě ubytování v penzionu. Bylo tam 27 pokojů. Některé byly třílůžkové a některé čtyřlůžkové, v penzionu může být ubytováno nejvíce 87 hostů. Urči,kolik třílůžkových a kolik čtyřlůžkových pokojů může být v penzionu. Počet pokojů
87 nejvíce
Celkem pokojů
27
Třílůžkových
x
Čtyřlůžkových
y
Pokoje
x+y
=
27
Hosté
3x + 4y
=
87
-3x – 3y
=
-81
3x + 4y
=
87
=
6
y
Zk.:
>+6 =
27
x
=
27 – 6
x
=
21
3 . 21 + 6 . 4
=
87
63 + 24
=
87
=
87
87
|.(-3)
V penzionu je 21 třílůžkových pokojů a jen 6 čtyřlůžkových.
15. Kontejnerová loď veze červené a černé kontejnery. Má naloženo 29 kontejnerů, které váží dohromady 550 tun. Červené kontejnery jsou 20 tunové a černé 15 tunové. Kolik je kterých? Loď veze
29 kontejnerů
celková hmotnost
Červené jsou na
20 t
počet x
Černé jsou na
15 t
počet y
Kontejnery
x+y
=
29
Hmotnosti
20x + 15y
=
550
-20x – 20y
=
-580
20x + 15y
=
550
-5y
=
-30
y
=
30 5
550 t
|. (-20)
|. (-1)
=6
x = 29 – y x = 29 – 6 = 23 Zk.:
20 . 23 + 15 . 6 460 + 90 550
= 550 = 550 = 550
Loď veze 23 červených a 6 černých kontejnerů. 16. Z depa vyjel 7h 30min nákladní vlak průměrnou rychlostí 40 km/hod. V 8h za ním vyjela pomocná lokomotiva průměrnou rychlostí 80 km/hod. V kolik hodin dohoní lokomotiva nákladní vlak a v jaké vzdálenosti od depa? Vlak v 7,30 h
rychlost v1 = 40 km/hod
t hod
Lokomotiva v 8,00 h
rychlost v2 = 70 km/hod
(t-0,5) hod
Potkají se v čase t a jejich dráhy v době setkání budou stejné s1
=
s2
v1t
=
v2 . (t – 0,5)
40 . t =
70 . (t – 0,5)
7
280
6
6
s1 = v1 . t = 40 . =
=
140 3
40 t
=
70 t – 35
-30 t
=
-35
t
=
35
|. (-1) 7
1
6
6
= hod = 1 hod = 1 hod 10 min
30
2
= 46 km 3
Zk.: 7 1
7 3
4
6 2
6 6
6
s2 = v2 . (t – 0,5) = 70 . ( - ) = 70 . ( - ) = 70
=
280 6
2
= 46 km 3
2
Lokomotiva vlak dohoní za 1 hodinu a 10 minut a ujedou dráhu 46 km. 3
17. V 6h ráno vyjelo osobní auto z města A průměrnou rychlostí 68km/h do vesnice B. Ve stejnou dobu vyjel z vesnice B směrem k městu A kombajn průměrnou rychlostí 40 km/hod. V kolik hodin se potkají, jestliže vzdálenost obou míst je 80,5km? Osobní auto v 6,00 hod
v1 = 68 km/h
Kombajn v 6,00 hod
v2 = 40 km/h
Vzdálenost obou měst z A do B
s = 80,5 km
Potkají se za čas t (hod) Každý ujede za čas t různou dráhu Auto
s1
Kombajn
s2
Celkem urazí dráhu
Potkají se přibližně za 45 minut.
s1 + s2
=
s
v1. t + v2 .t
=
s
68t + 40t
=
80,5
108t
=
80,5
t
=
80,5 : 108
t
=
0,75 hod = 4 hod = 45 min
3
