8.2.9
Úlohy s geometrickou posloupností
Předpoklady: 8204, 8208 Pedagogická poznámka: Při řešení příkladů postupujeme tak, aby Ti nejpomalejší spočítali alespoň příklady 1, 3, 4, 5. Souhrn vzorců a pravidel pro geometrickou posloupnost: • an +1 = an ⋅ q - poznávací znamení •
an = a1 ⋅ q n −1
- vzorec pro n-tý člen
•
a s = ar ⋅ q s − r
- vztah mezi as a ar
•
sn = a1 + a2 + ... + an −1 + an = a1
qn −1 pro q ≠ 1 , sn = na1 pro q = 1 q −1
- součet
prvních n členů posloupnosti.
Př. 1:
Urči a1 a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a1 − a3 = −16 ; a1 + a2 = 8 .
Máme zdánlivě neřešitelný problém: tři neznámé, ale pouze dvě rovnice. Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a1 a q ⇒ provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: a2 = a1 ⋅ q a3 = a1 ⋅ q 2 Dosadíme do rovnic: a1 − a3 = −16 ⇒ a1 − a1 ⋅ q 2 = −16 a1 + a2 = 8 ⇒ a1 + a1 ⋅ q = 8 Upravíme rovnice: a1 (1 − q 2 ) = −16
a1 (1 + q ) = 8 ⇒ a1 i (1 − q ) jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ⇒ rovnice vydělíme: a1 (1 − q 2 ) −16 = a1 (1 + q ) 8 1 − q = −2 ⇒ q = 3 Dosazením do druhé rovnice určíme a1 : a1 (1 + q ) = a1 (1 + 3) = 8 ⇒ a1 = 2 Pro hledanou posloupnost platí: a1 = 2 , q = 3 .
Poznámka: Příklad jsme samozřejmě mohli řešit také dosazovací metodou: a1 (1 + q ) = 8 ⇒ a1 =
8 a dosadit do první rovnice. 1− q
1
Př. 2:
Urči a1 a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a7 − a3 = 15 ; a6 − a4 = −6 .
Máme zdánlivě neřešitelný problém: čtyři neznámé, ale pouze dvě rovnice. Řešení: všechny členy geometrické posloupnosti můžeme vyjádřit pomocí a1 a q ⇒ provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: a3 = a1 ⋅ q 2 , a4 = a1 ⋅ q 3 , a6 = a1 ⋅ q 5 , a7 = a1 ⋅ q 6 Dosadíme do rovnic: a7 − a3 = 15 ⇒ a1 ⋅ q 6 − a1 ⋅ q 2 = 15 a6 − a4 = −6 ⇒ a1 ⋅ q 5 − a1 ⋅ q 3 = −6 Upravíme rovnice: a1 ⋅ q 2 ( q 4 − 1) = 15
a1 ⋅ q 3 ( q 2 − 1) = −6 ⇒ a1 i (1 − q ) jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla
0) ⇒ rovnice vydělíme: a1 ⋅ q 2 ( q 4 − 1) 15 = a1 ⋅ q 3 ( q 2 − 1) −6
(q
2
− 1)( q 2 + 1)
q ( q 2 − 1)
=−
5 2
q2 + 1 5 =− /⋅ 2q q 2 2 q 2 + 2 = − 5q 2 q 2 + 5q + 2 = 0 −b ± b2 − 4ac −5 ± 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 −5 ± 3 = = 2a 2⋅2 4 −5 + 3 1 q1 = =− 4 2 Dosazením do jedné z rovnic dopočítáme a1 : q1,2 =
1 a1 ⋅ q 2 ( q 4 − 1) = a1 ⋅ − 2
2
1 4 − − 1 = 15 2
a1 1 a 15 − 1 = 1 − = 15 ⇒ a1 = −64 4 16 4 16 −5 − 3 q2 = = −2 4 Dosazením do jedné z rovnic dopočítáme a1 : 2 4 a1 ⋅ q 2 ( q 4 − 1) = a1 ⋅ ( −2 ) ( −2 ) − 1 = 15 1 4a1 (16 − 1) = 4a1 ⋅15 = 15 ⇒ a1 = 4
Zadání vyhovují dvě geometrické posloupnosti: a1 = −64 , q = −
2
1 1 a a1 = , q = −2 . 2 4
Poznámka: Příklad jsme mohli řešit také vyjádřením všech členů posloupnosti pomocí a3 a q. Př. 3:
Urči a1 a q geometrické posloupnosti, pro kterou platí a2 ⋅ a4 = 36 ; a2 + a4 = 13 .
Zdánlivě stejný příklad jako dva předchozí, ale pozor jsou zde dva rozdíly: • v rovnicích figurují pouze dva členy posloupnosti • v jedné z rovnic je součin těchto členů ⇒ dosazení a1 a q do rovnic by situaci zkomplikovalo (jedna z rovnic by byla kvadratická pro obě neznámé) ⇒ určíme ze soustavy členy a2 a a4 a s jejich pomocí pak určíme členy posloupnosti Řešíme soustavu: a2 ⋅ a4 = 36 a2 + a4 = 13 ⇒ a2 = 13 − a4 dosadím do první rovnice
(13 − a4 ) a4 = 36
dále značím neznámou už pouze jako a
13a − a 2 = 36 a 2 − 13a + 36 = 0 ( a − 9 )( a − 4 ) = 0 ⇒ 2. řešení 1. řešení a4 = 9 , a2 = 13 − a4 = 13 − 9 = 4
použijeme vztah mezi členy ar a as : as = ar ⋅ q s − r a4 = a2 ⋅ q 4 − 2 9 = 4 ⋅ q2 9 3 q2 = ⇒ q = ± 4 2 a2 4 8 a2 = a1 ⋅ q a1 = = = q 3 3 2 a 4 8 a2 = a1 ⋅ q a1 = 2 = =− q −3 3 2
8 3 8 3 Pro hledanou posloupnost platí: a1 = , q = nebo a1 = − , q = − 3 2 3 2
2. řešení a4 = 4 , a2 = 13 − a4 = 13 − 4 = 9 použijeme vztah mezi členy ar a as : as = ar ⋅ q s − r a4 = a2 ⋅ q 4 − 2 4 = 9 ⋅ q2 4 2 q2 = ⇒ q = ± 9 3 3
a2 9 27 = = q 2 2 3 a 9 27 =− a2 = a1 ⋅ q a1 = 2 = 2 q − 2 3 a2 = a1 ⋅ q a1 =
Pro hledanou posloupnost platí: a1 =
27 2 27 2 , q = nebo a1 = − , q=− 2 3 2 3
Pedagogická poznámka: Studenti často zapomínají na řešení se zápornými koeficienty. Jinak příklad je podle mě hezký právě proto, že vyžaduje orientaci v rychle rostoucí množině řešení. Př. 4:
Urči tři reálná čísla větší než 32 a menší než 162 taková, že spolu s čísly 32 a 162 tvoří pět po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti.
Vypíšeme si, jak by hledaná posloupnost vypadala: a1 = 32 , a2 = ? , a3 = ? , a4 = ? , a5 = 162 Známe členy a1 a a5 , člen a5 musí jít vyjádřit pomocí vzorce pro n-tý člen: an = a1 ⋅ q n −1 a5 = a1 ⋅ q 5−1 162 = 32 ⋅ q 4 162 81 3 q4 = = ⇒ q = ± , zápornou hodnotu q můžeme vyloučit protože druhý člen 32 16 2 posloupnosti by byl záporný a tím menší než 32, což zakazuje zadání Teď můžeme snadno dopočítat zbývající členy posloupnosti: 3 a2 = a1 ⋅ q = 32 ⋅ = 48 2 3 a3 = a2 ⋅ q = 48 ⋅ = 72 2 3 a4 = a3 ⋅ q = 72 ⋅ = 108 2 3 pro kontrolu: a5 = a4 ⋅ q = 108 ⋅ = 162 2 Hledaná čísla jsou 48, 72, 108.
Př. 5:
Urči a1 v geometrické posloupnosti s kvocientem q = 2 , jestliže platí: an = 384 a sn = 765 .
Pro součet geometrické řady sn platí vzorec sn = a1 rovnici: a1
qn −1 = 765 q −1
Dosadíme q = 2 : a1
2n − 1 = 765 2 −1
4
qn −1 a platí sn = 765 ⇒ sestavíme q −1
a1 ( 2n − 1) = 765 Neznáme n, zkusíme hodnotu určit z rovnice pro n-tý člen: an = a1 ⋅ q n −1 384 = a1 ⋅ 2n −1 ⇒ pokud bychom chtěli určit přímo n, museli bychom logaritmovat, ale nám 2 stačí určit hodnotu 2n , to z předchozí rovnice půjde: 384 = a1 ⋅ 2n −1 / ⋅ a1 768 = 2n ⇒ dosadíme do rovnice a1 ( 2n − 1) = 765 a1
768 a1 − 1 = 765 a1 768 − a1 = 765 a1 = 3 Prvním členem posloupnosti je číslo 3. Př. 6:
Vyřeš rovnici: x − 3 x + 9 x − 27 x + ... + 729 x = 2735 .
Na levé straně je součet prvních n členů geometrické řady: a1 = x ; q = −3 ; an = 729 x .
qn −1 Všechny členy pravé strany můžeme sečíst pomocí vzorce: sn = a1 . q −1 Musíme dopočítat hodnotu n pomocí členu an = 729 x : an = a1 ⋅ q n −1 729 x = x ⋅ ( −3) 729 = ( −3)
( −3 )
6
n −1
n −1
= ( −3 )
n −1
⇒ n −1 = 6 ⇒ n = 7
( −3) − 1 = x −2188 = 547 x qn −1 Dosadíme do vztahu pro součet: sn = a1 =x q −1 −4 ( −3 ) − 1 Sestavíme rovnici: 547 x = 2735 2735 x= =5 547 Řešením rovnice je číslo 5. 7
Př. 7:
Petáková: strana 68/cvičení 20 c) e) strana 68/cvičení 33 strana 69/cvičení 44 strana 69/cvičení 46 strana 70/cvičení 51 d) e) strana 70/cvičení 53 b)
Shrnutí:
5
