Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
obsah 1.a) x + y = 5 x2+ y2 = 13
3
3. a) x + 2y = 9 x . y = 10
12
5
b) x - 3y = 1 x . y = 14
13
c) x - y = 3 x2+ y2 = 5
6
c) x + 2y = 13 x . y = 15
14
2.a) x - y = -3 x2- y2 = -21
7
b) x + y = 9 x2- y2 = -63
8
c) -x - y = 3 x2- y2 = -39
9
d) x + y + 5 = 0 x2- y2 = 5
10
e) x + y = 7 x2- y2 = 35
11
b) x - y = 7 x2+ y2 = 65
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 1.a) x+y=5 x2+ y2 = 13
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x=5–y a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice ( 5 – y )2 + y2 = 13 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B)2=A2-2AB+B2 25 – 10y + y2 + y2 = 13 / -13, seřadíme do tvaru ax2+bx+c=0 2y2 – 10y + 12 = 0 /:2 y2
rovnici pro zjednodušení dělíme dvěma
– 5y + 6 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice lze využít Vietovy vztahy
+5 2+3 2.3 2+3=5 2.3=6 y1 = 2 y2 = 3 ke každé neznámé y1, y2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x1, x2 dle vyjádřeného vztahu x=5–y x1 = 5 – y1 x2 = 5 – y2 x1 = 5 – 2 x2 = 5 - 3 x1 = 3 x2 = 2 1 1 2 2 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice
K x , y , x , y
K 3,2, 2,3
Zkouška Pro ověření správnosti není zkouška nutná, neboť jsme po celou dobu užívali ekvivalentní úpravy, tj. úpravy, při kterých se během řešení nemění počet kořenů.
x+y=5 x2+ y2 = 13
x+y=5 x2+ y2 = 13
x1 = 3 y1 = 2
x2 = 2 y2 = 3
3+2=5
…rovnost platí
32+
…rovnost platí
22
= 13
2+3=5 22+ 32 = 13
…rovnost platí …rovnost platí
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 1.b) x-y=7 x2+ y2 = 65
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x=7+y a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( 7 + y )2 + y2 = 65 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A+B)2=A2 +2AB+B2 49 + 14y + y2 + y2 = 65 / -65, seřadíme do tvaru ax2+bx+c=0 2y2 + 14y - 16 = 0 /:2 y2
rovnici pro zjednodušení dělíme dvěma
+ 7y - 8 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice lze využít Vietovy vztahy
-7 -8+1 -8.1 -8+1=-7 -8.1=-8 y1 = -8 y2 = 1 ke každé neznámé y1, y2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x1, x2 dle vyjádřeného vztahu x=7+y x1 = 7 + y1 x2 = 7 + y2 x1 = 7 + (-8) x2 = 7 + 1 x1 = -1 x2 = 8 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice
K x1 , y1 , x2 , y2
K 1,8, 8,1
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 1.c) x-y=3 x2+ y2 = 5
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x=3+y a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( 3 + y )2 + y2 = 5 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A+B)2=A2 +2AB+B2 9 + 6y + y2 + y2 = 5 / -5, seřadíme do tvaru ax2+bx+c=0 2y2 + 6y + 4 = 0 /:2 y2
rovnici pro zjednodušení dělíme dvěma
+ 3y + 2 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice lze využít Vietovy vztahy
-3 -2+(-1) -2.(-1) -2-1=-3 -2.(-1)=2 y1 = -2 y2 = -1 ke každé neznámé y1, y2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x1, x2 dle vyjádřeného vztahu x=3+y x1 = 3 + y1 x2 = 3 + y2 x1 = 3 + (-2) x2 = 3 + (-1) x1 = 1 x2 = 2 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice
K x1 , y1 , x2 , y2
K 1,2, 2,1
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.a) x - y = -3 x2- y2 = -21
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x=y-3 a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( y - 3 )2 - y2 = -21 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B)2=A2 -2AB+B2 y2 -6y + 9 - y2 = -21 / -9 -6y = -30 /: (-6)
rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici
y=5 k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x=y–3 x=5–3 x=2 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici
K 2,5
K x, y
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.b) x+y=9 x2- y2 = -63
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x=9-y a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( 9 - y )2 - y2 = -63 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B)2=A2 -2AB+B2 81 – 18y + y2 - y2 = -63 / -81 -18y = -144 /: (-18)
rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici
y=8 k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x=9–y x=9–8 x=1 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici
K 1,8
K x, y
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.c) -x - y = 3 x2- y2 = -39
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x = -y - 3 a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( - y - 3 )2 - y2 = -39 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (-A-B)2 = (A + B)2 = A2 +2AB+B2 y2 + 6y + 9 - y2 = -39 / -9 6y = -48 /: 6
rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici
y = -8 k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x=–y-3 x = – ( - 8) – 3 x=5 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici
K 5,8
K x, y
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.d) x+y+5=0 x2- y2 = 5
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x = -y - 5 a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( - y - 5 )2 - y2 = 5 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (-A-B)2= (A+B)2= A2 +2AB+B2 y2 + 10y + 25 - y2 = 5 / -25 10y = -20 /: 10
rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici
y = -2 k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x=–y-5 x = – ( - 2) – 5 x = -3 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici
K 3,2
K x, y
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 2.e) x+y=7 x2- y2 = 35
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x=7-y a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice
( 7 - y )2 - y2 = 35 řešíme rovnici s neznámou y závorku roznásobíme dle vzorce (A-B)2=A2 -2AB+B2 49 – 14y + y2 - y2 = 35 / -49 -14y = -14 /: (-14)
rovnici dělíme, jedná se o lineární rovnici
y=1 k neznámé y dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x dle vyjádřeného vztahu x=7–y x=7–1 x=6 Množina všech kořenů K obsahuje jednu uspořádanou dvojici
K 6,1
K x, y
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 3.a) x + 2y = 9 x . y = 10
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x = 9 - 2y a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice ( 9 – 2y ).y = 10 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme 9y - 2y2 = 10 / -10, seřadíme do tvaru ax2+bx+c=0 -2y2
+ 9y - 10 = 0 /. (-1)
rovnici pro zjednodušení násobíme
2y2 - 9y + 10 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice využijeme výpočtu přes diskriminant určíme koeficienty a, b, c 2y2 - 9y + 10 = 0 a=2, b= -9, c=10 D = b2 - 4ac D = (-9)2 – 4.2.10 = 81 – 80 = 1
vypočteme druhou odmocninu z diskriminantu
D 1 1
použijeme vzorec pro výpočet kořenů
y1, 2 y1 = 2,5
9 1 9 1 22 4
x1, 2
9 1 10 5 4 4 2
b D 2a
9 1 8 2 4 4
y2 = 2
ke každé neznámé y1, y2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x1, x2 dle vyjádřeného vztahu x = 9 - 2y x1 = 9 - 2y1 x2 = 9 - 2y2 x1 = 9 – 2 . 2,5 x2 = 9 – 2 . 2 x1 = 9 - 5 x2 = 9 - 4 x1 = 4 x2 = 5 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice 1 1 2 2
K x , y , x , y
K 4;2,5, 5,2
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 3.b) x - 3y = 1 x . y = 14
lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x = 1 + 3y
a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice ( 1 + 3y ).y = 14 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme y + 3y2 = 14 / -14, seřadíme do tvaru ax2+bx+c=0 3y2
+ y - 14 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice využijeme výpočtu přes diskriminant určíme koeficienty a, b, c
3y2 + 1y - 14 = 0 a=3, b= +1, c= -14 D = b2 - 4ac D = 12 – 4.3.(-14) = 1 + 168 = 169
vypočteme druhou odmocninu z diskriminantu použijeme vzorec pro výpočet kořenů
y1, 2
1 169 1 13 23 6
y1 = 2
1 13 12 2 6 6
D 169 13
x1, 2
1 13 14 7 6 6 3
b D 2a
y2 = -7/3
ke každé neznámé y1, y2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x1, x2 dle vyjádřeného vztahu x = 1 + 3y x1 = 1 + 3y1 x2 = 1 + 3y2 x1 = 1 + 3.2 x2 = 1 + 3(-7/3) x1 = 1 + 6 x2 = 1 - 7 1 1 2 2 x1 = 7 x2 = -6 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice
K x , y , x , y
7 K 7,2, 6, 3
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic řešíme metodou dosazovací Př. 3.c) lineární rovnice kvadratická rovnice z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých
x + 2y = 13 x . y = 15 x = 13 – 2y
a dosadíme v závorce do kvadratické rovnice ( 13 - 2y ).y = 15 řešíme kvadratickou rovnici s neznámou y závorku roznásobíme 13y - 2y2 = 15 / -15, seřadíme do tvaru ax2+bx+c=0 - 2y2 + 13y - 15 = 0 / .(-1) 2y2 – 13y + 15 = 0 pro řešení této kvadratické rovnice využijeme výpočtu přes diskriminant určíme koeficienty a, b, c 2y2 - 13y + 15 = 0 a =2, b = - 13, c = 15 D = b2 - 4ac D = (-13)2 – 4.2.15 = 169 - 120 = 49
D 49 7 vypočteme druhou odmocninu z diskriminantu použijeme vzorec pro výpočet kořenů
y1, 2 y1 = 5
13 49 13 7 22 4 y2 = 1,5
13 7 20 5 4 4
x1, 2
b D 2a
13 7 6 3 1,5 4 4 2
ke každé neznámé y1, y2 dopočítáme příslušnou hodnotu neznámé x1, x2 dle vyjádřeného vztahu x = 13 - 2y x1 = 13 - 2y1 x2 = 13 - 2y2 x1 = 13 – 2.5 x2 = 13 – 2.1,5 x1 = 13 - 10 x2 = 13 - 3 x1 = 3 x2 = 10 Množina všech kořenů K obsahuje dvě uspořádané dvojice
K x1 , y1 , x2 , y2
3 K 3,5, 10, 2
Děkuji za pozornost Zdroj: -
Hudcová, Milada, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, PROMETHEUS 2002, ISBN 80-7196-165-5 www.novamaturita.cz vlastní příklady
-
klipart
