Soustavy line´arn´ıch rovnic a determinanty Petr Hasil Pˇredn´ aˇska z matematiky
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu (reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇ en´ı finanˇ cn´ıch prostˇredk˚ u EU ˇ a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu Cesk´ e republiky. c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty Matematika MT 1 / 51
Obsah 1
Soustavy line´arn´ıch rovnic I Definice a pojmy ˇ sen´ı soustav line´arn´ıch rovnic Reˇ
2
Determinanty Definice a determinanty do ˇr´adu 3 Determinanty vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u ´ Upravy determinant˚ u
3
Soustavy line´arn´ıch rovnic II Cramerovo pravidlo
4
Pˇr´ıklady
5
Aplikace Leslieho model r˚ ustu - pˇr´ıklad
6
Wolfram|Alpha c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
2 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
Definice a pojmy
Definice (Soustava line´arn´ıch rovnic) Necht’ aij ∈ R, bi ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Soustavou m line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´ych x1 , x2 , . . . , xn rozum´ıme soustavu rovnic a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .
(SLR)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm Vˇeta ˇ sen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic (SLR) rozum´ıme uspoˇr´adanou n-tici Reˇ re´aln´ych ˇc´ısel r1 , r2 , . . . , rn , po jejichˇz dosazen´ı za nezn´am´e x1 , x2 , . . . , xn (v tomto poˇrad´ı) do soustavy line´arn´ıch rovnic dostaneme ve vˇsech rovnic´ıch identity.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
4 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
Definice a pojmy
Definice (Matice soustavy) Matici
a11 a21 A= . ..
··· ··· .. .
a12 a22 .. .
a1n a2n .. .
am1 am2 · · · amn naz´yv´ame matic´ı soustavy (SLR). Matici
Ar =
··· ··· .. .
a1n a2n .. .
b1 b2 .. .
am1 am2 · · · amn
bm
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
naz´yv´ame rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy (SLR).
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
5 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
Definice a pojmy
Pozn´amka Soustavu (SLR) m˚ uˇzeme zapsat v maticov´e formˇe: b1 x1 a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n x2 b2 .. .. .. · .. = .. , .. . . . . . . bm xn am1 am2 · · · amn po pˇr´ısluˇsn´em oznaˇcen´ı Ax = b.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
6 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
Definice a pojmy
Definice (Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic) Jestliˇze v soustavˇe (SLR) plat´ı b1 = b2 = · · · = bm = 0, naz´yv´ame tuto soustavu homogenn´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se naz´yv´a soustava nehomogenn´ı. Pozn´amka Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic m´a bud’ pouze trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı (jestliˇze h(A) = n), nebo nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı (jestliˇze h(A) < n), kter´a lze vyj´adˇrit pomoc´ı n − h(A) nez´avisl´ych parametr˚ u. Vˇeta (Frobeniova) Soustava line´arn´ıch rovnic Ax = b je ˇreˇsiteln´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz matice soustavy A a rozˇs´ıˇren´a matice soustavy Ar = (A|b) maj´ı stejnou hodnost. c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
7 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
Definice a pojmy
Poˇcet ˇreˇsen´ı SLR Jestliˇze h(A) 6= h(Ar ), soustava nem´a ˇreˇsen´ı. Jestliˇze h(A) = h(Ar ) = n, soustava m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. Jestliˇze h(A) = h(Ar ) < n, soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, kter´a lze vyj´adˇrit pomoc´ı n − h(A) nez´avisl´ych parametr˚ u.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
8 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
Definice (Ekvivalentn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic) Dvˇe soustavy line´arn´ıch rovnic se naz´yvaj´ı ekvivalentn´ı, jestliˇze maj´ı shodn´e ˇreˇsen´ı. Postup (i) Pomoc´ı GEM pˇrevedeme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy Ar = (A|b) na schodovit´y tvar. (ii) Pomoc´ı Frobeniovy vˇety rozhodneme, zda m´a soustava ˇreˇsen´ı. (iii) Je-li soustava ˇreˇsiteln´a, pˇriˇrad´ıme schodovit´e matici soustavu line´arn´ıch rovnic. Tato je ekvivalentn´ı s p˚ uvodn´ı soustavou. (iv) Postupnˇe ˇreˇs´ıme rovnice od posledn´ı a z´ıskan´e v´ysledky dosazujeme do n´asleduj´ıc´ıch rovnic. M´a-li soustava nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, zvol´ıme vhodn´e promˇenn´e za nez´avisl´e parametry.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
10 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
Pozn´amka Je-li matice A soustavy Ax = b regul´arn´ı, pak m´a tato soustava vˇzdy jedin´e ˇreˇsen´ı. Toto ˇreˇsen´ı je moˇzn´e z´ıskat pouˇzit´ım inverzn´ı matice A−1 . −1 /A −−→ A−1 Ax = A−1 b
Ax = b
Ix = A−1 b x = A−1 b.
Pozor, obˇe strany rovnice mus´ıme vyn´asobit matic´ı ze stejn´e strany, protoˇze n´asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
11 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic I
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
Pˇr´ıklad x +y +z =3 2x + 7y + z = −2 x + 2y + z = 4
1 1 1 3 5 1 −6 1 A = 2 7 1 , b = −2 , A−1 = −1 0 1 2 1 4 −3 −1 5 x 5 1 −6 3 −11 y = A−1 · b = −1 0 1 · −2 = 1 z −3 −1 5 4 13 ˇ sen´ı je tedy x = −11, y = 1, z = 13. Reˇ c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
12 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
Definice (Permutace) Necht’ jsou d´ana ˇc´ısla 1, 2, . . . , n. Permutac´ı tˇechto prvk˚ u rozum´ıme uspoˇr´adanou n-tici, kter´a vznikla jejich pˇreskl´ad´an´ım. Inverz´ı rozum´ıme z´amˇenu i-t´eho a j-t´eho prvku v permutaci. Pozn´amka Poˇcet permutac´ı n-prvkov´e mnoˇziny je n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1. Napˇr. permutac´ı prvk˚ u 1, 2, 3 je 3! = 3 · 2 · 1 = 6: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
14 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
Definice (Determinant) Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Determinant matice A je ˇc´ıslo det A = |A| ∈ R, X det A = (−1)p a1k1 a2k2 · · · ankn , kde sˇc´ıt´ame pˇres vˇsechny permutace (k1 , k2 , . . . , kn ) sloupcov´ych index˚ u. ˇ C´ıslo p znaˇc´ı poˇcet inverz´ı pˇr´ısluˇsn´e permutace. Pozn´amka Podle definice tedy staˇc´ı“ vz´ıt po jednom prvku z kaˇzd´eho ˇr´adku tak, aby ” ˇz´adn´e dva nebyly ze stejn´eho sloupce. Tyto prvky mezi sebou vyn´asobit. Determinant je pr´avˇe souˇctem vˇsech tˇechto souˇcin˚ u. Z toho je vidˇet, ˇze definice nen´ı vhodn´a pro poˇc´ıt´an´ı determinant˚ u matic vˇetˇs´ıch rozmˇer˚ u.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
15 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 1: det(a11 ) = a11 .
Determinant ˇr´adu 2 – kˇr´ıˇzov´e pravidlo: a11 a12 a11 a12 = det = a21 a22 a21 a22
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
16 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 1: det(a11 ) = a11 .
Determinant ˇr´adu 2 – kˇr´ıˇzov´e pravidlo: a11 a12 a11 a12 = a11 · a22 det = a21 a22 a21 a22
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
17 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 1: det(a11 ) = a11 .
Determinant ˇr´adu 2 – kˇr´ıˇzov´e pravidlo: a11 a12 a11 a12 = a11 · a22 −a21 · a12 . det = a21 a22 a21 a22
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
18 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
c Petr Hasil (MENDELU)
a11 a21 a13 a23 = a31 a33 a11 a21
SLR a determinanty
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
Matematika MT
19 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
a11 a21 a13 a23 = a31 a11 a33 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
20 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
a11 a21 a13 a23 = a31 a11 a33 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33 +a21 a32 a13
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
21 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
a11 a21 a13 a23 = a31 a11 a33 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
22 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
a11 a21 a13 a23 = a31 a11 a33 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 −a31 a22 a13
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
23 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
a11 a21 a13 a23 = a31 a11 a33 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 −a31 a22 a13 −a11 a32 a23
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
24 / 51
Determinanty
Definice a determinanty do ˇr´ adu 3
V´ypoˇcet determinant˚ u niˇzˇs´ıch ˇr´ad˚ u Determinant ˇr´adu 3 – Sarrusova pravidlo
a11 a12 det A = det a21 a22 a31 a32
a11 a21 a13 a23 = a31 a11 a33 a21
a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 −a31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33 .
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
25 / 51
Determinanty
Determinanty vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u
Definice Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Vynech´ame-li v matici A i-t´y ˇr´adek j-t´y sloupec, oznaˇcujeme derminant vznikl´e submatice Mij a naz´yv´ame jej ˇ ıslo minor pˇr´ısluˇsn´y prvku aij . C´ Aij = (−1)i+j Mij naz´yv´ame algebraick´y doplnˇek prvku aij . Vˇeta (Laplace˚ uv rozvoj) Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Pro libovoln´y ˇr´adek (sloupec) determinantu det A plat´ı det A = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj =
det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain =
n X i=1 n X
aij Aij
aij Aij .
j=1 c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
27 / 51
Determinanty
Pˇr´ıklad Je d´an determinant
Determinanty vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u
−2 3 1 5 0 . det A = 4 3 −1 −4
Protoˇze druh´y ˇr´adek a tˇret´ı sloupec obsahuje nulu, je vhodn´e zvolit pro Laplace˚ uv rozvoj jeden z nich. Zvolme druh´y ˇr´adek a poˇc´ıtejme: −2 3 1 3 1 4 , 5 0 , a21 = 4, M21 = −1 −4 3 −1 −4 A21 = (−1)2+1 · M21 = (−1) · [−12 − (−1)] = 11
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
28 / 51
Determinanty
−2 3 1 4 5 0 , 3 −1 −4
Determinanty vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u
a22 = 5,
M22
−2 1 , = 3 −4
A22 = (−1)2+2 · M22 = 1 · [8 − 3] = 5
−2 3 1 4 5 0 , 3 −1 −4
a23 = 0,
M23
−2 3 , = 3 −1
A23 = (−1)2+3 · M23 = (−1) · [2 − 9] = 7. Odtud det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = 4 · 11 + 5 · 5 + 0 · 7 = 69.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
29 / 51
Determinanty
Determinanty vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u
Pozn´amka Determinant ˇr´adu n se pomoc´ı Laplaceova rozvoje pˇrevede na nejv´yˇse n determinant˚ u ˇr´adu n − 1. Pˇritom c´ılem je pˇrev´est determinant vyˇsˇs´ıho ˇr´adu na determinanty ˇr´adu 2 nebo 3, kter´e lze snadno spoˇc´ıtat kˇr´ıˇzov´ym, resp. Sarrusov´ym pravidlem. Napˇr. determinantˇr´adu 5 vede na nejv´yˇse 5 determinant˚ u ˇr´adu 4. Z nich kaˇzd´y vede na nejv´yˇse 4 determinanty ˇr´adu 3. Celkem tedy determinant ˇr´adu 5 vede na nejv´yˇse 20 determinant˚ u ˇr´adu 3, popˇr. na 60 determinant˚ u ˇr´adu 2. Proto je velmi vhodn´e vyb´ırat pro rozvoj ˇr´adek, nebo sloupec obsahuj´ıc´ı co nejvˇetˇs´ı poˇcet nulov´ych prvk˚ u.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
30 / 51
Determinanty
´ Upravy determinant˚ u
Vˇeta (Operace nemˇen´ıc´ı hodnotu determinantu) Ponech´an´ı jednoho ˇr´adku/sloupce beze zmˇeny a pˇriˇcten´ı jeho n´asobku k jin´emu ˇr´adku/sloupci nemˇen´ı hodnotu determinantu. Pˇr´ıklad 1 2 3 I 1 2 3 2 0 1 II − 2I = 0 −4 −5 −3 2 −1 III + 3I 0 8 8 1+1 −4 −5 = 1 · (−1) · = 1 · (−32 + 40) = 8. 8 8
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
32 / 51
Determinanty
´ Upravy determinant˚ u
Vˇeta (Operace mˇen´ıc´ı hodnotu determinantu) Z´amˇena dvou ˇr´adk˚ u/sloupc˚ u determinantu zmˇen´ı jeho znam´enko. Vyn´asoben´ı ˇr´adku/sloupce nenulov´ym ˇc´ıslem α zvˇetˇs´ı hodnotu determinantu α-kr´at. (Tj. z ˇr´adk˚ u/sloupc˚ u lze vyt´ykat pˇred determinant.) Pˇr´ıklad 4 2 8 1 0 2 1 0 2 I ↔ II 1 0 2 4 2 8 = −2 · 2 1 4 = − 3 5 4 3 5 4 3 5 4
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
33 / 51
Determinanty
´ Upravy determinant˚ u
Vˇeta Jsou d´any ˇctvercov´e matice A, B ˇr´adu n. (i) |A| = 0 ⇔ ˇr´adky nebo sloupce matice A jsou line´arnˇe z´avisl´e, (ii) matice A obsahuje nulov´y ˇr´adek nebo sloupec ⇒ |A| = 0, (iii) |AT | = |A|, (iv) jestliˇze je |A| = 6 0, pak |A−1 | =
1 |A| ,
(v) |A · B| = |A| · |B|, (vi) determinant matice ve schodovit´em tvaru je roven souˇcinu prvk˚ u na jej´ı hlavn´ı diagon´ale.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
34 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic II
Cramerovo pravidlo
Uvaˇzujme soustavu n line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´ych Ax = b. Matice A takov´eto soustavy je tedy ˇctvercov´a matice ˇr´adu n. Jestliˇze je determinant matice A nenulov´y, tedy soustava Ax = b m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, lze pouˇz´ıt k jej´ımu vyˇreˇsen´ı tzv. Cramerovo pavidlo. Jeho v´yhodou je, ˇze je moˇzn´e spoˇc´ıtat libovolnou nezn´amou bez znalosti ostatn´ıch. Vˇeta (Cramerovo pravidlo) Necht’ je A ˇctvercov´a regul´arn´ı matice ˇr´adu n. Potom m´a soustava line´arn´ıch rovnic Ax = b jedin´e ˇreˇsen´ı x, pro jehoˇz i-tou sloˇzku plat´ı xi =
Di , D
kde D = det A a Di je determinant matice ˇr´adu n vznikl´e z matice A n´ahradou jej´ıho i-t´eho sloupce za sloupec prav´ych stran b.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
36 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic II
Cramerovo pravidlo
Pˇr´ıklad Urˇcete hodnotu nezn´am´e promˇenn´e x2 ze soustavy line´arn´ıch rovnic 2x1 + x2 − x3 = 1 x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 2x2 + x3 = 3. ˇ s´ıme tedy soustavu line´arn´ıch rovnic Ax = b Reˇ 2 1 −1 x1 1 1 3 1 · x2 = 0 . −1 2 1 x3 3 Pro v´ypoˇcet nezn´am´e x2 je nutn´e urˇcit 2 D = det A = 1 −1 c Petr Hasil (MENDELU)
determinanty D a D2 : 1 −1 3 1 = −5. 2 1
SLR a determinanty
Matematika MT
37 / 51
Soustavy line´ arn´ıch rovnic II
Cramerovo pravidlo
Protoˇze je det A 6= 0, lze pouˇz´ıt Cramerov pravidlo. 2 1 −1 D2 = 1 0 1 = −11. −1 3 1 Tedy x2 =
D2 D
=
−11 −5
c Petr Hasil (MENDELU)
=
11 5 .
SLR a determinanty
Matematika MT
38 / 51
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Vyˇreˇste soustavu line´arn´ıch rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y − z = −1, 2x + 5y + 3z = 8. ˇ sen´ı: Reˇ x = 2, y = −1, z = 3.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
40 / 51
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Vyˇreˇste soustavu line´arn´ıch rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y +6z = −1, 2x + 5y + 3z = 8. ˇ sen´ı: SLR nem´a ˇreˇsen´ı. Reˇ
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
41 / 51
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Vyˇreˇste soustavu line´arn´ıch rovnic. x + 3y + z = 2, 2x + 2y +6z = 20, 2x + 5y + 3z = 8. ˇ sen´ı: Reˇ
c Petr Hasil (MENDELU)
x 14 − 4p y = p − 4 , p ∈ R. z p
SLR a determinanty
Matematika MT
42 / 51
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete determinant. −2 4 3 −1 3 −3 2 4 2 −2 0 1 1 2 0 −2 ˇ sen´ı: Reˇ 25.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
43 / 51
Pˇr´ıklady
Pˇr´ıklad Urˇcete nezn´amou x2 ze SLR. −2x1 + 4x2 + 3x3 − x4 = 1, 3x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3, 2x1 − 2x2 + x4 = 0, x1 + 2x2 − 2x4 = 1. ˇ sen´ı: Reˇ x2 = 2.
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
44 / 51
Aplikace
Leslieho model r˚ ustu - pˇr´ıklad
Pˇr´ıklad Mˇejme d´an zjednoduˇsen´y model populace jist´eho modr´eho pt´aˇcka (lat. Ptacchus modrus). Populace je rozdˇelena do ˇctyˇr vˇekov´ych skupin – vaj´ıˇcko, ml´adˇe v hn´ızdˇe, l´etaj´ıc´ı ml´adˇe a dospˇel´y jedinec. Je zn´amo, ˇze b´yv´a zniˇceno sedm vaj´ıˇcek ze ˇsestn´acti, osmina ml´ad’at v hn´ızdˇe uhyne a dalˇs´ı osmina zemˇre pˇri pokusu o prvn´ı let. Z l´etaj´ıc´ıch ml´ad’at se dospˇelosti doˇzij´ı tˇri ze ˇctyˇr a p´ar dospˇel´ych pt´aˇck˚ u pˇrivede na svˇet pr˚ umˇernˇe 32 vaj´ıˇcek. Napiˇste matici modelu, urˇcete pˇr´ır˚ ustek populace a v´ysledn´y pomˇer mezi vˇekov´ymi skupinami. ˇ sen´ı: Leslieho matice je Reˇ
0
9 16 A= 0 0
c Petr Hasil (MENDELU)
0 0 3 4
0
0 16 0 0 . 0 0 3 0 4
SLR a determinanty
Matematika MT
46 / 51
Aplikace
Leslieho model r˚ ustu - pˇr´ıklad
Pˇr´ır˚ ustek a v´ysledn´y pomˇer populace z´ısk´ame pomoc´ı tzv. vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u. Protoˇze n´as zaj´ım´a jen algoritmick´e ˇreˇsen´ı dan´eho probl´emu, nebudeme se zab´yvat teori´ı na pozad´ı. Vlastn´ı ˇc´ısla z´ısk´ame tak, ˇze od kaˇzd´eho prvku na hlavn´ı diagon´ale Leslieho matice odeˇcteme nezn´amou λ a spoˇc´ıt´ame determinant. Determinantem je polynom s promˇennou λ a jeho koˇreny jsou pr´avˇe vlastn´ı ˇc´ısla naˇs´ı matice. Z nich n´as zaj´ım´a pouze jedin´e – nejvˇetˇs´ı re´aln´e. To ud´av´a pˇr´ır˚ ustek dan´e populace. −λ 0 0 16 9 4 3 0 0 4 16 −λ 3 0 =λ − 2 . −λ 0 4 3 0 0 −λ 4 4 Tedy ˇreˇs´ıme rovnici λ4 − 23 = 0. Ta m´a pouze dva re´aln´e koˇreny a to − 23 a 32 . Vˇetˇs´ı jsou 23 = 1, 5, takˇze po jednom obdob´ı bude m´ıt populace ustkem 50%. 1, 5 n´asobek Ptacchus˚ u. Populace tedy roste s pˇr´ır˚ c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
47 / 51
Aplikace
Leslieho model r˚ ustu - pˇr´ıklad
Nyn´ı zb´yv´a urˇcit v´ysledn´e sloˇzen´ı populace. To ud´av´a vlastn´ı vektor pˇr´ısluˇsn´y jiˇz pouˇzit´emu (dominantn´ımu) vlastn´ımu ˇc´ıslu. Z´ısk´ame ho jako ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic dan´e Leslieho matic´ı, ve kter´e od kaˇzd´eho prvku na hlavn´ı diagon´ale odeˇcteme pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı ˇc´ıslo. 3 −2 9 16 0 0
0
0
16
− 23
0
3 4
− 23
0 0
0
3 4
c Petr Hasil (MENDELU)
− 32 x1 + 16x4 = 0
9 16 x1 3 4 x2 3 4 x3
− 32
SLR a determinanty
− 32 x2 = 0 − 32 x3 = 0 − 32 x4 = 0
Matematika MT
48 / 51
Aplikace
Leslieho model r˚ ustu - pˇr´ıklad
Soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı z´avisl´ych na jednom parametru: 32 x1 3 p x2 4p = x3 2p , p ∈ R. x4 p N´am staˇc´ı kter´ekoli nenulov´e z nich. Zvolme tedy napˇr. parametr p = 1. T´ım z´ısk´eme jedin´e ˇreˇsen´ı (jedin´y vlastn´ı vektor), jehoˇz sloˇzky ud´avaj´ı pomˇer sloˇzen´ı ke kter´emu populace smˇeˇruje, tedy 32 3
: 4 : 2 : 1.
Srozumitelnˇejˇs´ı je samozˇrejmˇe ud´avat v´ysledn´e sloˇzen´ı v procentech. Nejprve se zbav´ıme zlomku – cel´y vektor vyn´asob´ıme trojkou ⇒ 32 : 12 : 6 : 3, pot´e vydˇel´ıme jejich souˇctem a vyn´asob´ıme stovkou (tj. kr´at 100 ı z´ısk´ame sloˇzen´ı populace v procentech: 53 ). Odtud po zaokrouklen´ 60 : 23 : 11 : 6. Tedy na 60 vaj´ıˇcek pˇripad´a 23 ml´ad’at v hn´ızdˇe, 11 ml´ad’at letc˚ ua6 dospˇel´ych. c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
49 / 51
Wolfram|Alpha
ˇ sen´ı soustavy line´ Reˇ arn´ıch rovnic. ~ ~ solve 2x+3y-z=2,5x-y-4z=7,x-y+6z=1 solve x1+3x2-5x3+x4=12,2x1-x2+x3-x4=-5,x3-5x4=1 V´ ypoˇ cet determinantu. ~ det{(2,-1,1,3),(6,2,0,1),(-2,5,3,1),(2,2,0,1)} V´ ypoˇ cet vlastn´ıch ˇ c´ısel matice. ~ eigenvalues{(0,0,0,16),(9/16,0,0,0),(0,3/4,0,0),(0,0,3/4,0)} V´ ypoˇ cet vlastn´ıch vektor˚ u matice. ~ eigenvectors{(0,0,0,16),(9/16,0,0,0),(0,3/4,0,0),(0,0,3/4,0)}
c Petr Hasil (MENDELU)
SLR a determinanty
Matematika MT
51 / 51
