Transformace sou adnic v digitální kartografii a geoinformatice 1. Úvod V tšina ze známých kartografických a geoinforma ních programových produkt umož uje transformovat sou adnice, ale málokterý z nich dává uživateli možnost jejich výb ru podle vlastností transforma ní metody. Máme-li dv rovinné sou adnicové soustavy - p vodní (x, y), novou (X, Y) a jistý po et identických bod , pak m žeme body, u nichž jsou známy sou adnice pouze v p vodní soustav , p ímo p evést do sou adnic nové soustavy adou jednoduchých transformací. Dá se také p edpokládat, že v mnoha p ípadech po izování, organizace a vizualizací kartografických a geoinformatických dat budou užity pracovní trojrozm rné sou adnicové soustavy. 2. Shodná transformace Shodná transformace vychází z translace a rotace p vodní soustavy (x, y) do soustavy nové (X, Y). Podle obrázku 1 lze sestavit tyto rovnice shodné transformace X = x cos α − y sin α + Ox Y = x sin α + y cos α + O y a duáln x = X cos α + Y sin α − o x y = − X sin α + Y cosα − o y K výpo tu koeficient transforma ních rovnic sta í sou adnice dvou identických bod . 3. Podobnostní transformace Podobnostní transformace zavádí navíc m ítko, které m že být dáno pom rem odpovídajících si délek v obou soustavách sou adnic. Je-li m ítko q = S : s , pak mají transforma ní rovnice tvar X = q x cos α − q y sin α + O x Y = q x sin α + q y cos α + O y Rovn ž v tomto p ípad sta í k výpo tu koeficient transforma ních rovnic sou adnice dvou identických bod . Shodná i podobnostní transformace m že být po substitucích
a = q cos α b = q sin α c = Ox d = Oy vyjád ena obecnými rovnicemi
X = ax−by + c
Y =bx + ay + d
1
2
4. Projektivní transformace Projektivní transformace je založena na kolineaci, p i níž se nem ní dvojpom ry tve ic bod na odpovídajících si p ímkách. Projektivní transformace je dána vzorci
X =
a1 x + b1 y + c1 a3 x + b3 y + 1
Y=
a 2 x + b2 y + c 2 a3 x + b3 y + 1
Transforma ní klí , to znamená koeficienty a1 , a 2 , a 3 , b1 , b2 , b3 , c 1 , c 2 se vypo ítají z osmi p vodních rovnic pro ty i identické body. Transforma ní prostor je ur en minimáln ty úhelníkem. Transformace zp sobí posun, oto ení, zm ny délek a úhl . Celý prostor transformace lze rozd lit na navazující ty úhelníky, nutno však po ítat s tím, že na hranicích sousedních ty úhelník získáme r zné dvojpom ry, takže p echod mezi díl ími prostory transformace není spojitý. 5. Afinní transformace Afinní transformace vychází z konstantního d lícího pom ru p ímých vzdáleností mezi odpovídajícími si bodovými dvojicemi. P ímky z stávají p ímkami, zachovává se jejich rovnob žnost, d lící pom r délek a ploch, ale m ní se úhly. Transformace není konformní a platí pro ni vzorce X = a1 x + b1 y + c1
Y = a 2 x + b2 y + c 2
K ur ení šestí neznámých koeficient sta í t i identické body, takže základní transforma ní prostor je trojúhelník. Afinní transformace je jednoduchá a dává shodné výsledky i na hranicích trojúhelník , je-li celý transformovaný prostor na n rozd len. Pro každý trojúhelník však platí jiné koeficienty, takže obrazem p ímky jdoucí více základními transforma ními prostory je lomená ára složená z p ímkových ástí. 6. Transformace pr m rováním posun identických bod Transformace pr m rováním posun identických bod vychází z p edpokladu uplatn ní polohy transformovaného bodu pomocí jednoduše stanovené váhy. Transformace založená na vahách
pi = 12 si pro n - identických bod , kde si2 = ( xi − x ) + ( yi − y ) 2
2
jsou vzdálenosti transformovaného bodu od bod identických, spl uje podmínku nejmenší deformace úhl a délek. Transformace má kompenza ní charakter. Posuny n - identických bod lze vyjád it vztahy dxi = xi − X i dy i = y i − Yi
Transforma ní rovnice pak mají tvar 3
X =x−
Y = y−
i=n i =1
i=n i =1
dxi : si2 dy i s i2
:
i =n i =1
i =n i =1
1 si2 1 si2
Transformace vyžaduje pro spln ní podmínky minima deformací aspo p ibližn rovnom rné rozložení identických bod . Kompenzace úhl a délek je nejlepší pro st ed transformovaného prostoru. 7. Komformní transformace Konformní transformace p edpokládá zachování úhl , což zp sobí, že obrazem p ímky ze soustavy ( x, y ) je obecná k ivka v soustav ( X, Y ) . Pom ry odpovídajících si délek - m ítka transformace, budou obecn prom nná. K vyjád ení transforma ní funkce lze užít mocninnou adu c0 + c1 z + c2 z 2 + c3 z 3 + ....... =
i =n
ci z i
i =0
Konformitu - nezávislost m ítka na sm ru v jednotlivých bodech zajistí výchozí vztah X + iY = f ( x + iy ) . Po substitucích ci = ai + ibi z = x + iy
získáme X + iY = ( a0 + ib0 ) + ( a1 + ib1 )( x + iy ) + ( a 2 + ib2 )( x + iy ) 2 + ( a 3 + ib3 )( x + iy )3 + .....
Po algebraických úpravách a odd lení reálné a imaginární složky mají rovnice konformní transformace tvar X = a0 + a1 x − b1 y + a 2 (x 2 − y 2 ) − 2b2 xy + a 3 x(x 2 − 3y 2 ) + b3 y(y 2 − 3x 2 )+... Y = b0 + b1 x + a1 y + b2 (x 2 − y 2 ) + 2a 2 xy + b3 x(x 2 − 3y 2 ) − a 3 y(y 2 − 3x 2 ) +...
Prvními t emi leny rovnic je definována lineární (podobnostní) transformace, rozší ením o ád vzniká kvadratická konformní transformace, pak kubická a další transformace. N identických bod umož uje stanovit transforma ní funkci (n - 1) stupn . Dva identické body dají ty i rovnice pro ty i koeficienty lineární konformní transformace, t i identické body 6 rovnic pro šest koeficient kvadratické konformní transformace atd. Základní prostor konformní transformace odpovídá jejímu ádu. Mezi prostory navzájem vznikají nespojitosti a obrazy p ímek jsou zkresleny více se stoupající vzdáleností od st edu prostoru. 8. Vyrovnání v rovinných transformacích Zatím uvedené transforma ní metody mohou být vyjma transformace pr m rováním posun identických bod aplikovány s vyšším po tem identických bod než je nezbytn nutné. M žeme 4
proto využít metody nejmenších tverc vždy pro konkrétní tvar transforma ních rovnic. V dalším textu je pro sou et od i=1 do i=n užíván symbol [ ]. Ukažme, jak m že být vyrovnání ešeno pro podobnostní (lineární konformní) transformaci s výchozími rovnicemi ve tvaru
X = ax − by + c
Y = bx + ay + d
Uvažujeme-li t žišt obou sou adnicových soustav
[ x] n [X] Xt = n
[ y] n [Y ] Yt = n
xt =
yt =
platí X T = axt − byt + c
YT = bxt + ayt + d
nebo také
c =
[X] [ x] [ y] −a +b n n n
d =
Ve výchozích rovnicích lze pomocí p edchozích vzorc
[Y ] [ x] [ y] −b −a n n n substituovat neznámou c a neznámou d
[X] [ x] [ y] −a +b n n n [Y ] [ x] [ y] Y = bx + ay + −b − a n n n X = ax − by +
a po úprav vzniknou rovnice
X =a x−
[ x] [ y] [X] −b y − + n n n
Y = b x−
[Y ] [ x] [ y] +a y− + n n n
Do t chto rovnic lze zavést redukované sou adnice
[ x] n
x r = x − xt
xr = x −
Xr = X − XT
Xr = X −
[X] n
y r = y − yt
yr = y −
[ y] n
Yr = Y − Yt
Yr = Y −
[Y ] n
takže X r = ax r − by r
Yr = bx r + ay r
5
Odvozené rovnice zahrnují jen redukované sou adnice, které lze snadno ur ovat bez stanovení neznámých c, d . Protože uplat ujeme metodu nejmenších tverc , definujeme opravy pro všechny identické body takto
v xi = ax ri − by ri − X ri
v yi = bx ri + ay ri − Yri
Podmínka
( [ v x v x ] + [ v y v y ]) = minimální vede k ešení
∂ ( [ vx vx ] + [ v y v y ] ) =0 ∂a
∂ ( [ vx vx ] + [ v y v y ] ) =0 ∂b
Rovnice oprav umocníme a se teme
[ v x v x ] = a 2 [ x r2 ] − 2ab [ x r y r ] − 2a [ x r X r ] + b 2 [ y r2 ] +2b [ y r X r ] + [ X r2 ] [ v y v y ] = b 2 [ x r2 ] + 2 ab [ x r y r ] − 2b [ x r Yr ] + a 2 [ y r2 ] −2a [ y r Yr ] + [ Yr2 ] . Získané rovnice podrobíme parciálním derivacím podle a, b
∂ ( [ vx vx ] + [ v y v y ] ∂a ∂ ( [ vx vx ] + [ v y v y ] ∂b
) )
= 2 a [ xr2 ] − 2 [ xr X r ] + 2 a [ yr2 ] − 2 [ yrYr ] = 2b [ yr2 ] + 2 [ yr X r ] + 2b [ xr2 ] − 2 [ xrYr ]
Anulováním derivací v souladu s podmínkou metody nejmenších tverc
( b([ x
) ] ) − ([ x Y
a [ x r2 ] + [ y r2 ] − ([ x r X r ] + [ y r Yr ] ) = 0 2 r
] + [ y r2
r
r
] − [ yr X r ] ) = 0
a osamostatn ním neznámých a, b máme
a=
[ xr X r ] + [ yrYr ] [ xr2 ] + [ yr2 ]
Známe-li a, b m žeme ur it v xi , v yi b žných bod
b=
[ xr Yr ] − [ yr X r ] [ xr2 ] + [ yr2 ]
pro všechny identické body. Pro vlastní transformaci
uplat ujeme výhodn rovnice
X =a x−
[ x] [ y] [X] −b y − + n n n
[ x] [ y] [Y ] Y = b x− +a y− + n n n 6
,
kde sou adnice x, y, X, Y v sumách jsou sou adnice identických bod . Transformace s vyrovnáním ze soustavy (x, y) do soustavy (X, Y) vychází z principu nalezení st edních hodnot translací, rotací a zm n m ítka vzhledem k nadbyte ným identickým bod m. Obdobn jako u podobnostní transformace m že být vyrovnání ešeno pro ostatní uvedené transformace v etn výpo tu t žiš obou sou adnicových soustav a výpo tu redukovaných sou adnic. 9. Transformace sou adnic v prostoru Ned íve zave me ozna ení pro pravoúhlé pravoto ivé sou adnicové soustavy :
( x, y, z ) ( X ,Y , Z ) x, y, z X, Y, Z α 1 , β 1 ,γ 1
-
sou adnice p vodní soustavy, sou adnice nové soustavy, translace po átku nové soustavy v sou adnicích p vodní soustavy, translace po átku nové soustavy v sou adnicích nové soustavy, úhly mezi osou X a osami x, y, z
α 2 , β 2 ,γ 2 α3 ,β3 , γ 3
-
úhly mezi osou Y a osami x, y, z
-
úhly mezi osou Z a osami x, y, z.
Pro shodnou transformaci, která zahrnuje rotace a translace platí vzorce: X
cos α 1 cos β 1 cos γ 1
Y = cos α 2 cos β 2 cos γ 2 Z cos α 3 cos β 3 cos γ 3 x
∆X y + ∆Y z ∆Z x
cos α 1 cos α 2 cos α 3
y = cos β 1 cos β 2 cos β 3 z cos γ 1 cos γ 2 cos γ 3
∆x Y + ∆ y Z ∆z X
Protože jsou matice se sm rovými kosiny ortogonálními maticemi, platí pro vztahy mezi sm rovými kosiny vzorce : cos 2 α 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1
cos 2 α 1 + cos 2 α 2 + cos 2 α 3 = 1
cos 2 α 2 + cos 2 β 2 + cos 2 γ 2 = 1
cos 2 β 1 + cos 2 β 2 + cos 2 β 3 = 1
cos 2 α 3 + cos 2 β 3 + cos 2 γ 3 = 1
cos 2 γ 1 + cos 2 γ 2 + cos 2 γ 3 = 1
cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 = 0
cos α 1 cos β 1 + cos α 2 cos β 2 + cos α 3 cos β 3 = 0
cos α 2 cos α 3 + cos β 2 cos β 3 + cos γ 2 cos γ 3 = 0
cos β 1 cos γ 1 + cos β 2 cos γ 2 + cos β 3 cos γ 3 = 0
cos α 3 cos α 1 + cos β 3 cos β 1 + cos γ 3 cos γ 1 = 0
cos γ 1 cos α 1 + cos γ 2 cos α 2 + cos γ 3 cos α 3 = 0
Víme, že pro rotaci ve shodné transformaci mezi rovinnými kartézskými pravoúhlými sou adnicovými soustavami p i matematicky definované orientaci os, tj. kladný smysl osy x zleva doprava a kladný smysl kolmé osy y zdola nahoru a rota ním úhlem proti sm ru hodinových ru i ek, platí transforma ní rovnice:
X = x cos α + y sin α Y = − x sin α + y cosα 7
a duáln
x = X cos α − Y sin α y = X sin α + Y cos α Realizujme postupn na sou adnicové soustav ( x , y , z ) kolem osy z rotaci o úhel γ tak, aby vznikla soustava ( x ′, y ′, z ′ ) , na sou adnicové soustav ( x ′, y ′, z ′ ) kolem ose y ′ rotaci o úhel β tak, aby vznikla soustava ( x ′′, y ′′, z ′′ ) a na této soustav kolem osy x ′′ rotaci o úhel α , aby vznikla soustava ( x ′′′, y ′′′, z ′′′ ) . Matice rotace R γ , R β , R α ur íme s ohledem na správnou orientaci os. Celý proces je dán rovnicemi:
x ′ = x cos γ + y sin γ y ′ = − x sin γ + y cosγ , z′ = z
cos γ R γ = − sin γ
kde
sin γ
0
cos γ
0
0
x ′′ = x ′ cos β − z ′ sinβ y ′′ = y ′ , z ′′ = x ′ sin β + z ′ cosβ x ′′′ = x ′′ y ′′′ = y ′′ cos γ + z ′′ sin γ , z ′′′ = − y ′′ sin γ + z ′′ cosγ
0
− sin β
0
1
0
sin β
0
cos β
1 Rα = 0 0
kde
1
cos β Rβ =
kde
0
0
0
cos α − sin α
sin α cos α
Matici rotace R, která platí pro transformaci mezi soustavami ( x , y , z ) a ( X ,Y , Z ) získáme vynásobením matic R γ , R β , R α : cos γ R = − sin γ 0
sin γ
0
cos β
0
− sin β
1
0
0
cos γ 0
0 1
0 sin β
1 0
0 cos β
0 0
cos α − sin α
sin α cos α
cos β cos γ
sin γ
− sin β cos γ
1
0
0
− cos β sin γ
cos γ
sin β sin γ
0
cos α
sin α
sin β
0
cos β
0
− sin α
cos α
=
cos β cos γ cos α sin γ + sin α sin β cos γ sin α sin γ − cos α sin β cos γ − cos β sin γ sin β
cos α cos γ − sin α sin β sin γ sin α cos γ + cos α sin β sin γ − sin α cos β cos α cos β
Transformace se t emi rotacemi a t emi translacemi je pak dána rovnicemi:
8
=
( x ′′′, y ′′′, z ′′′ ) =
X
cos β cos γ cos α sin γ + sin α sin β cos γ sin α sin γ − cos α sin β cos γ
Y = − cos β sin γ Z sin β
cos α cos γ − sin α sin β sin γ sin α cos γ + cos α sin β sin γ − sin α cos β cos α cos β
∆X y + ∆Y z ∆Z x
Nyní m žeme vyjád it vztahy mezi úhly odklon sou adnicových os α i , β i , γ i ( i = 1, 2 , 3 ) a úhly rotace α , β , γ . Z porovnání prvk matice rotace R a matice sm rových kosin vyplývá: cos α 1 = cos β cos γ cos α 2 = − cos β sin γ cos α 3 = sin β cos β 1 = cos α sin γ + sin α sin β cos γ cos β 2 = cos α cos γ − sin α sin β sin γ cos β 3 = − sin α cos β cos γ 1 = sin α sin γ − cos α sin β cos γ cos γ 2 = sin α cos γ + cos α sin β sin γ cos γ 3 = cos α cos β
Dosazením do vztah pro sm rové kosiny získáme rovnosti jako d kaz správného ur ení matice rotace R. Jestliže jsou úhly α , β , γ malé, m žeme goniometrické funkce rozvést podle Taylorovy v ty a ponechat pouze lineární leny, takže pokládáme
sin α = α , sin β = β , sin γ = γ , cos α = 0 , cos β = 0 , cos γ = 0 a zanedbáváme sou iny malých hodnot. Matice rotace nabude obsah
R =
1
γ
−β
−γ
1
α
β
−α
1
.
Pokud do transforma ních rovnic zavedeme m ítko q = 1 + m, kde m je zkreslení, získáváme rovnice 7 - prvkové Helmertovy transformace viz (Veverka, 2001): X Y = ( 1 + m) Z
1
γ
−β
−γ
1
α
β
−α
1
∆X y + ∆Y z ∆Z x
Tato zjednodušená transformace se užívá pro p echody mezi geocentrickými systémy. My se však nadále zajímáme o nezjednodušenou transformaci. Zavedením jediného m ítka q zm níme prostorovou shodnou transformaci na transformaci podobnostní, zavedením m ítek m x , m y , m z pro každou sou adnici p ejdeme k transformaci afinní. V b žných p ípadech neznáme hodnoty zmín ných 7 prvk , ale máme obvykle k dispozici nadbyte ný po et identických bod . Pro 9
shodnou transformaci bez vyrovnání pot ebujeme 7 rovnic, to znamená dva úplné body pro a jednu rovnici pro t etí bod. P i v tším než nezbytném po tu bod realizujeme vyrovnání metodou nejmenších tverc . Rovnice oprav p i podobnostní transformaci by byly dány vztahy: v xi = q [ xi cos β cos γ + yi (cos α sin γ + sin α sin β cos γ ) + zi (sin α sin γ − cos α sin β cos γ )] + ∆X − X i v yi = q [ − xi cos β sin γ + yi (cos α cos γ − sin α sin β sin γ ) + zi (sin α cos γ + cos α sin β sin γ )] + ∆Y − Yi v zi = q [ xi sin β − yi sin α cos β + zi cos α cos β ] + ∆Z − Z i
Obvyklým postupem se m žeme propracovat k normálním rovnicím, vypo ítat neznámé, ur it vyrovnané sou adnice identických bod a transformovat další body. Uvažujme však transformace podle rovnic a1 a 2
a3
Y = a4 a5 Z a7 a 8
a6
X
a9
∆X y + ∆Y z ∆Z x
a1 a 4
a7
y = a2 a5 z a 3 a6
a8
x
a9
∆x Y + ∆ y Z ∆z X
.
Koeficienty a i mohou nahrazovat jak sm rové kosiny násobené m ítkem q nebo m ítky
m x , m y , m z , tak koeficienty dané tvary s goniometrickými funkcemi rota ních úhl α , β ,γ také násobené m ítkem nebo m ítky . Je z ejmé, že pro p edchozí transformace m žeme p i znalosti nadbyte ného po tu identických bod napsat rovnice oprav s 12 neznámými, z toho pro 9 koeficient a i a t i translace ∆X , ∆Y , ∆Z :
v xi = a1 xi + a2 yi + a3 zi + ∆X − X i v yi = a4 xi + a5 yi + a6 zi + ∆Y − Yi v zi = a7 xi + a8 yi + a9 zi + ∆Z − Z i Rovnice oprav jsou lineární, takže m žeme jednoduše sestavit normální rovnice ve tvaru podle schematu 1. Schéma ukazuje, že vzhledem ke koeficient m ai jde o t i nezávislé soustavy rovnic. Jejich odd leným nebo spole ným výpo tem nap . klasickou elimina ní metodou získáme hodnoty neznámých, které použijeme pro transformaci libovolného po tu bod , pokud možno v prostoru vymezeném identickými body. Tímto zp sobem m žeme jednoduše transformovat body bez zkoumání úhl rotací α , β ,γ pravoúhlých prostorových sou adnicových soustav. 10. Záv r V lánku jsou popsány shodná, podobnostní, afinní, projektivní a konformní rovinná transformace v etn použití metody nejmenších tverc . Transformace vycházejí z principu ur ení hodnot rotace, translace a zm ny m ítka z identických bod . Transforma ní metody jsou popsány s ohledem na jejich vlastnosti. Digitální kartografie postupn p ikra uje k modelování a vizualizacím v prostoru. Objekty t chto model a vizualizací budou lokalizovány v obecných trojrozm rných kartézských sou adnicových soustavách. Domnívám se proto, že obecná prostorová transformace, vycházející s nadbyte ného po tu identických bod , bude pro trojrozm rnou digitální kartografii a geoinformatiku zna n aktuální. Literatura 10
Cimbálník, M. a L. Mervart. 1997. Vyšší geodézie. Praha, vydavatelství VUT. Hearnshaw, H. 1999. Visualization in geographical information. Chichester: John Wiley & Sons. Kraak, M. 1993. Cartographic Terrain Modeling in a Three-Dimensional GIS Enviroment. Cartography and Geographical Information Systems 20 (1): 13-18. Moravec, D. 2000. Transformation in Planar Cartesian Coordinate Systems. Kartografie a geoinformatika 2 (1): 8-24. Moravec, D. 2001. Kartografické a geoinformatické modelování. Praha, Karolinum. Veverka, B. 2000 . Topografická a tematická kartografie. Praha, vydavatelství VUT. Kolektiv autor . 1998. Geodetické referen ní systémy v eské republice. Praha: Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický a Vojenský zem pisný ústav.
11
