Vektory, operace s vektory – Ž3
Orientovaná úse ka M jme dvojici bod A, B (na p ímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úse ka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k A, íkáme, že vzniká orientovaná úse ka AB (pokud spojujeme od A k B) nebo BA (opa n ) a první bod (v p ípad orientované úse ky AB je to bod A) nazýváme po áte ním bodem a druhý (v p ípad AB bod B) koncovým bodem. Pokud platí A = B, pak úse ku nazýváme nulovou orientovanou úse kou AA, která má týž po áte ní i koncový bod A. Velikost orientované úse ky AB je velikost úse ky AB („bez orientace") – tedy vzdálenost bod A a B.
Vektory Vektor je objekt, který získáme tak, že „namnožíme“ orientovanou úse ku AB. Každá orientovaná úse ka AB nám ur uje sm r a velikost (vzdálenost mezi A, B) a zárove je umíst na v prostoru (rovin , p ímce), což umož ují pevn dané body A, B. Pokud zachováme pouze sm r a velikost a „zkopírujeme“ AB kamkoliv (vznikne tím další orientovaná úse ka s jinými body), vznikne nekone n mnoho kopií AB a získáme vektor. Úse ky na obrázku jsou pak umíst ní vektoru, což zapisujeme u = AB nebo u = GH. Z toho již vyplývá definice vektoru: Vektor je množina všech souhlasn orientovaných úse ek téže velikosti. Nulový vektor (ozna ujeme – o) je množina všech nulových orientovaných úse ek.
Sou adnice vektor M jme vektor u (nenulový) a jedno jeho umíst ní AB (orientovaná úse ka). Bod A má sou adnice [a1; a2; a3] (v prostoru jsou sou adnice 3, v rovin 2 a na p ímce 1) a bod B [b1; b2; b3], pak pro sou adnice vektoru u platí u1 = b1 – a1, u2 = b2 – a2, u3 = b3 – a3, což zapisujeme u = (u1; u2; u3) (v rovin má vektor pouze dv sou adnice a na p ímce jen jednu). Nulový vektor má sou adnice o = (0; 0; 0). Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF se st edem S kružnice opsané. Rozhodn te, které z uvedených dvojic orientovaných úse ek mají týž sm r: a) AB, DF b) AB, FC c) ES, EB d) AB, EF e) AB, ED f) CS, FC Nakreslíme obrázky každé situace a podle sm ru šipek rozhodneme: a) šipky sm ují opa ným sm rem → úse ky nemají stejný sm r
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
D
E F
C A
B
b) šipky sm ují stejným sm rem → úse ky mají stejný sm r D E F
C A
B
c) šipky sm ují stejným sm rem → úse ky mají stejný sm r D E F
C
S A
B
d) šipky sm ují r zným sm rem → úse ky nemají stejný sm r D E F
C A
B
e) šipky sm ují stejným sm rem → úse ky mají stejný sm r D E F
C A
B
f) šipky sm ují opa ným sm rem → úse ky nemají stejný sm r
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
D
E F
C
S A
B
Zobrazte pravidelný šestiúhelník ABCDEF a jeho st ed ozna te S. Pomocí uvedených sedmi bod (vrchol a st edu šestiúhelníku) zapište všechna možná umíst ní vektoru a) u = SC b) v = AC. Nakreslíme šestiúhelník a vyzna íme zadané umíst ní vektoru. Poté postupn umis ujeme daný vektor na jiná místa: a) u = AB, u = ED, u = FS, D E F
C
S A
B
b) v = AC, v = FD D
E F
C
S A
B
V rovin jsou dány bod A, B. Vypo ítejte vektor v = AB, je-li dáno: a) A[3, 2], B[–2, 4] b) A[3, 2, –1], B[2, 2, 1] Dosadíme do vzorce pro výpo et sou adnic vektoru. a) v = (v1; v2) v1 = b1 – a1 v2 = b2 – a2 v1 = –2 – 3 = –5 v2 = 4 – 2 = 2 v = (–5; 2) b) v = (v1; v2; v3) v1 = b1 – a1 v2 = b2 – a2 v3 = b3 – a3
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
v1 = 2 – 3 = –1 v = (–1; 0; 2)
v2 = 2 – 2 = 0
v3 = 1 – (–1) = 2
Zjist te, zda orientovaná úse ka AB je umíst ním vektoru u = (5, –3), je-li dáno A[–3, 2], B[2, –1].
AB = ( 2 − ( −3) ; −1 − 2 ) = ( 5; −3) → úse ka je umíst ním vektoru u.
Zjist te, zda orientovaná úse ka CD je umíst ním vektoru v = (3, 1, –4), je-li dáno C[2, –3, 1], D[5, –2, –3].
CD = ( 5 − 2, −2 − ( −3) , −3 − 1) = ( 3,1, −4 ) → úse ka je umíst ním vektoru v.
Orientovaná úse ka AB je umíst ním vektoru u. Ur ete sou adnice koncového bodu B, je-li dáno A[1, 7], u = (3, –8). P edpokládejme, že bod B má sou adnice B[xB, yB]. Dosa me op t do vzorce pro výpo et sou adnic vektoru: 3 = xB − 1 −8 = y B − 7 xB = 4 y B = −1 Sou adnice bodu B jsou B[4, –1]. Orientovaná úse ka CD je umíst ním vektoru v. Ur ete sou adnice po áte ního bodu C, je-li dáno D[10, 3, 6] v = (8, 3, 9). P edpokládejme, že bod C má sou adnice C[xC, yC]. Dosa me op t do vzorce pro výpo et sou adnic vektoru: 8 = 10 − xC 3 = 3 − yC 9 = 6 − zC xC = 2 yC = 0 zC = −3 Sou adnice bodu C jsou C[2, 0, –3].
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Znázorn te pravidelný šestiboký hranol ABCDEFA'B'C'D'E'F'. Vyhledejte na n m všechny orientované úse ky ur ené uspo ádanými dvojicemi vrchol hranolu, které jsou dalšími umíst ními vektoru a) a = BC b) b = AC
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
V rovin jsou dány bod A, B. Vypo ítejte vektor v = AB, je-li dáno: a) A[–1, –6], B[2, –5] 3 5 1 1 b) A , − , B − , − 2 6 2 3 c) A[–2, –3, –2], B[1, –2, –4] 4 5 3 9 2 1 d) A , − , − , B ,− ,− 5 6 8 10 3 6
Zjist te, zda orientovaná úse ka AB je umíst ním vektoru u = (5, –3), je-li dáno a) A[1, –1], B[4, –2] b) A[–8, –2], B[–3,1] c) A[–6, 5], B[–1, 2]
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Zjist te, zda orientovaná úse ka CD je umíst ním vektoru v = (3, 1, –4), je-li dáno a) C[–7, –1, 5], D[–4, 2, 1] b) C[–3, –2, –2], D[0, –1, 2] c) C[–4, –1, 2], D[–1, 0, –2]
Orientovaná úse ka AB je umíst ním vektoru u. Ur ete sou adnice koncového bodu B, je-li dáno a) A[–5, 2], u = (–1, 3) b) A[–6, 11], u = (6, 9) c) A[–7, –4], u = (–3, –5)
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Orientovaná úse ka CD je umíst ním vektoru v. Ur ete sou adnice po áte ního bodu C, je-li dáno a) D[5, –2, 1], v = (7, –3, –1) 1 3 1 7 1 5 b) D 1 , −3 , 2 , v = 2 , −3 , − 5 10 2 10 2 2 2 9 3 c) D , , − , v = ( 0, 4; −0,1; −1) 5 10 2
Operace s vektory Rovnost vektor M jme vektory u = (u1; u2; u3) a v = (v1; v2; v3), jejich rovnost ozna ujeme u = v a zavádíme následovn : u1 = v1; u2 = v2; u3 = v3 Sou et vektor (u + v) M jme vektory u = (u1; u2; u3) a v = (v1; v2; v3), jejich sou et ozna ujeme u + v a zavádíme následovn : zvolíme umíst ní vektoru u = AB, pak zvolíme umíst ní vektoru v = BC. Spojíme body A a C a vzniká orientovaná úse ka AC, která je umíst ním sou tu vektor u, v. u + v = (u1 + v1; u2 + v2; u3 + v3) Rozdíl vektor (u – v) M jme vektory u, v, jejich rozdílem nazýváme sou et vektoru u s vektorem k v opa ným, tedy s –v. Rozdíl jsme tedy p evedli na sou et, jehož postup je uveden výše. u – v = (u1 – v1; u2 – v2; u3 – v3)
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Vypo ítejte sou ty a rozdíly vektor u, v je-li dáno u = ( 5, −5 ) , v = ( −1, 2 ) P i ešení použijeme vztahy pro s ítání a od ítání: u + v = ( u1 + v1 ; u2 + v2 ) = ( 5 + ( −1) ; −5 + 2 ) = ( 4; −3)
v + u = ( v1 + u1 ; v2 + u2 ) = ( −1 + 5; 2 + ( −5) ) = ( 4; −3)
u − v = ( u1 − v1 ; u2 − v2 ) = ( 5 − ( −1) ; −5 − 2 ) = ( 6; −7 ) v − u = ( v1 − u1 ; v2 − u2 ) = ( −1 − 5; 2 − ( −5 ) ) = ( −6;7 )
Sou et vektor je komutativní, proto je jedno jestli s ítáme u + v nebo v + u. Pozor! Rozdíl komutativní není → je velmi d ležité, zda po ítáme u – v nebo v – u. Jsou dány vektory a = ( 3, −5, 7 ) , b = ( −1, 4, −9 ) , c = ( −4,3, 2 ) . Ur ete sou adnice vektoru u = a+b−c
u = a + b − c = ( 3, −5, 7 ) + ( −1, 4, −9 ) − ( −4,3, 2 ) =
= ( 3 + ( −1) − ( −4 ) ; −5 + 4 − 3; 7 + ( −9 ) − 2 ) = ( 6; −4; −4 )
Vypo ítejte sou ty a rozdíly vektor u, v je-li dáno: a) u = ( 6, −5 ) , v = ( 4,3) 1 3 3 7 b) u = − , , v = − , 2 5 2 10 c) u = ( 7, −3, 4 ) , v = ( 3, −2, −5) d) u =
2 3 1 1 3 , −1, − , v = 1 , , 3 2 3 2 4
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Jsou dány vektory a = ( 3, −5, 7 ) , b = ( −1, 4, −9 ) , c = ( −4,3, 2 ) . Ur ete sou adnice vektoru: a) v = a − b − c b) w = a − b + c
Násobení vektoru íslem (ku) M jme libovolné (reálné) íslo k a vektor u. Sou inem ísla k a vektoru u nazýváme vektor, který má stejný sm r jako u, ale má velikost rovnu |k| |u| - je tedy k-krát delší než vektor u. Pokud je k záporné, musíme ješt p evrátit sm r vektoru. Pokud je k nula, pak je výsledný vektor nulový. k ⋅ u = ( k ⋅ u1 ; k ⋅ u2 ; k ⋅ u3 ) Vektor opa ný Vektor opa ný k vektoru v je vektor –v. Vznikne tedy vynásobením vektoru v íslem –1, což má za následek zachování velikosti, ale zm nu sm ru. Lineární kombinací vektor Lineární kombinací vektor v1, v2, …, vn nazýváme vektor v, který lze vyjád it pomocí vektor v1, v2, …, vn a ísel k1,k2, …, kn ve tvaru: v = k1v1 + k2v2 + … + knvn. Vektory v1, v2, …, vn se nazývají lineárn závislé (LZ), lze-li jeden z nich vyjád it jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li lineárn závislé, pak se nazývají lineárn nezávislé (LN).
Je dán vektor u = ( 5, −5 ) . Vypo ítejte sou adnice vektor a) 2u 1 b) u 5 Dosadíme do vzorce pro násobení vektor íslem. a) 2u = 2 ⋅ ( 5, −5 ) = ( 2 ⋅ 5, 2 ⋅ ( −5) ) = (10, −10 ) b)
1 1 1 1 u = ⋅ ( 5, −5 ) = ⋅ 5, ⋅ ( −5 ) = (1, −1) 5 5 5 5
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete lineární kombinaci au + bv + cw vektor u = (1, −2,3) , v = ( 6, 0, −4 ) , w = ( −3, 2,1) , je-li a = –1, b = 2, c = 0. Dosadíme do zadaného vztahu a vypo teme nazna ené operace. au + bv + cw = −1⋅ (1, −2,3) + 2 ⋅ ( 6, 0, −4 ) + 0 ⋅ ( −3, 2,1) = ( −1, 2, −3) + (12, 0, −8 ) + ( 0, 0,0 ) =
= ( −1 + 12 + 0, 2 + 0 + 0, −3 + ( −8 ) + 0 ) = (11, 2, −11)
Zjist te, zda vektory u = (1,3) , v = ( 3,1) jsou rovnob žné. Vektory jsou rovnob žné, jestliže jeden je násobkem druhého, neboli zda u = k ⋅ v . Do daného vztahu dosadíme: u = k⋅v (1,3) = k ⋅ ( 3,1)
(1,3) = ( 3k , k )
1 = 3k 3=k
1 3 dv r zné hodnoty → neexistuje k , tak aby u = k ⋅ v k =3 k=
Ur ete neznámé sou adnice vektor u = ( u1 , 2, −2 ) , v = (1, v2 , 2 ) tak, aby tyto vektory byly rovnob žné. Využijeme postupu p edchozího cvi ení. Vyjdeme ze vztahu u = k ⋅ v . ( u1 , 2, −2 ) = k ⋅ (1, v2 , 2 )
( u1 , 2, −2 ) = ( k , k ⋅ v2 , 2k ) u1 = k 2 = k ⋅ v2
−2 = 2 k Z t etí rovnice je z ejmé, že k = −1 . Po dosazení do prvních dvou rovnic již získáváme požadované sou adnice u1 = −1 a v2 = −2 . Rozhodn te, zda vektor w = ( 0, 6,3) je lineární kombinací vektor u = ( 2, 0,1) , v = ( −1,3, 2 ) . Podle zadání je z ejmé, že w = k ⋅ u + l ⋅ v , neboli hledáme k a l, která vyhovují zadanému vztahu. Pokud takové k a l existují, pak i w je vektor, který vznikne jako lineární kombinace vektor u a v. w = k ⋅u + l ⋅ v
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
( 0, 6,3) = k ⋅ ( 2, 0,1) + l ⋅ ( −1,3, 2 ) ( 0, 6,3) = ( 2k , 0, k ) + ( −l ,3l , 2l ) ( 0, 6,3) = ( 2k − l ,3l , k + 2l ) 0 = 2k − l 6 = 3l 3 = k + 2l Z druhé rovnice je z ejmé, že l = 2 . Dosadíme do první i t etí rovnice a vypo teme k. 0 = 2k − 2 k = 1 3 = k + 4 k = −1 Zjistili jsme r zné hodnoty pro k. Je tedy z ejmé, že neexistuje ešení pro k i l. Vektor w není lineární kombinací vektor u a v. Jsou dány vektory u = ( 3, −5) , v = ( −2, 6 ) . Vypo ítejte sou adnice vektor a) 2u
b)
1 v 2
c) u − 4 v
I N V E S T I C E
d) 3u + 2 v
D O
R O Z V O J E
e)
V Z D
1 1 u+ v 3 4
f) 2 ( u − v ) − 3 ( u + v )
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete lineární kombinaci au + bv + cw vektor u = (1, −2,3) , v = ( 6, 0, −4 ) , w = ( −3, 2,1) , je-li: a) a = 2, b = 3, c = −4 1 1 b) a = 3, b = , c = − 3 2 1 3 1 c) a = , b = − , c = 2 4 3
Jsou dány vektory b = (1, −2, −5) , c = ( 2, −7,1) , d = ( 3, −9, 2 ) . Ur ete sou adnice vektoru a, platí-li: a) a − b + 2c = 3d b) 2a + b = 3c − d
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Zjist te, zda vektory u, v jsou rovnob žné:
a) u = ( 2, −3) , v = ( −4, 6 )
b) u = ( −3,9 ) , v = ( 2, −6 )
c) u =
1 3 , , v = ( −0, 4; −1, 2 ) 2 2
Zjist te, zda vektory u, v jsou rovnob žné:
a) u = (1, 2, −3) , v = ( −1, −2,3)
1 2 1 4 b) u = 1, , −2 , v = − , − , 2 3 3 3 c) u = ( 3, −4, 6 ) , v = ( 0, 0, 0 )
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete neznámé sou adnice vektor u, v tak, aby tyto vektory byly rovnob žné. a) u = ( u1 , 2, 6 ) , v = (1, v2 , −2 )
b) u = ( −6, u2 , −9 ) , v = ( 8, 2, v3 )
Rozhodn te, zda vektor w je lineární kombinací vektor u, v .
a) w = ( 2, −1,1) , u = ( 3,1,3) , v = (1,1, 2 )
b) w = ( 2, −3, 0 ) , u = ( 3, −2, 4 ) , v = ( 4,5; −3; 6 ) c) w = ( −1,1, 2 ) , u = (1,5, 2 ) , v = (1, 2, 0 )
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete neznámou sou adnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektor v, w: a) u = ( 3, u2 ,5) , v = ( 4, −1, 0 ) , w = ( 3, 2,1) b) u = ( u1 ,8, 2 ) , v = (1, 2,1) , w = ( 2,12,5 )
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Velikost vektoru (|u|) Velikost vektoru u je dána vzorcem
u = u12 + u22 + u32 Skalární sou in vektor (u v) Skalární sou in vektor u, v ozna ujeme u v a platí: u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 = u ⋅ v ⋅ cos ϕ ,
kde ϕ je úhel mezi vektory u, v. Pokud je skalární sou in dvou vektor v rovin nulový, pak jsou na sebe tyto vektory kolmé. Vypo ítejte skalární sou in u v, je-li dáno: u = 7, v = 6, ϕ = 60° . Dosadíme do vzorce pro výpo et skalárního sou inu. 1 u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos ϕ = 7 ⋅ 6 ⋅ cos 60° = 42 ⋅ = 21 2 Vypo ítejte skalární sou in u v, je-li dáno: u = ( 3, −4 ) , v = ( −2,1) . Dosadíme do vzorce pro výpo et skalárního sou inu. u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 = 3 ⋅ ( −2 ) + ( −4 ) ⋅1 = −6 − 4 = −10 Zjist te, zda vektory u = ( 6,3) , v = ( 4, −8 ) jsou kolmé. Vektory jsou kolmé, když jejich skalární sou in je roven nule. Spo ítejme tedy skalární sou in vektor . Dosadíme do vzorce pro výpo et skalárního sou inu. u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 = 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( −8 ) = 24 − 24 = 0 Skalární sou in je roven nule, proto vektory jsou kolmé.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Vypo ítejte skalární sou in u v, je-li dáno: a) u = 4, v = 3 2, ϕ = 45° b) u = 4 3, v = 5, ϕ = 150° . c) u = 3, 5, v = 5 2, ϕ = 90° .
Vypo ítejte skalární sou in u v, je-li dáno: a) u = ( 6,8) , v = ( −4,3) b) u = ( 3, −3,5 ) , v = ( 3, −7, −6 )
c) u = ( 4, −2, 0 ) , v = ( 3, 2,8)
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Zjist te, zda vektory u, v jsou kolmé: a) u = ( −1,3) , v = ( −3,1)
b) u = ( 7, −3, −9 ) , v = ( −3,8, −5 )
c) u = ( 2,17, −4 ) , v = ( 6, 0,3)
Vektorový sou in vektor ( u × v ) Vektorový sou in vektor u, v ozna ujeme u × v a platí u × v = ( u2 v3 − v2u3 ; u3v1 − v3u1 ; u1v2 − v1u2 ) Výsledkem vektorového sou inu je vektor kolmý k vektor m u, v a jeho sm r ur uje pravidlo pravé ruky. Má smysl ho tedy zavád t pouze v t írozm rném prostoru. Úhel mezi vektory u, v Úhel mezi vektory u, v s umíst ním AB, AC je konvexní úhel BAC o velikosti ϕ = BAC , kde
ϕ ∈ ( 0°,180° ) . Úhel nedefinujeme, pokud je jeden z vektor nulový. Úhel mezi vektory u, v m žeme spo ítat ze vzorce
cos ϕ =
u⋅v u⋅v
Ur ete vektorový sou in vektor u = ( −2, −3,1) , v = ( 3, 4, −2 ) . Dosadíme do vzorce pro vektorový sou in. u × v = ( u2 v3 − v2u3 ; u3v1 − v3u1 ; u1v2 − v1u2 ) = ( ( −3) ⋅ ( −2 ) − 4 ⋅1;1⋅ 9 − ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ; ( −2 ) ⋅ 4 − 3 ⋅ ( −3) ) =
= ( 6 − 4;3 − 4; −8 + 9 ) = ( 2; −1;1)
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete vektorový sou in vektor u, v , jestliže platí a) u = ( 3, −5, 7 ) , v = ( −1, 2, −3)
b) u = ( 4, 7, −12 ) , v = ( 2,3, −5 )
c) u = ( 5, −6,8 ) , v = ( 6, −8,9 )
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
