Mechanika hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je skupina objektů, o kterých je vhodné uvažovat jako o celku. Prvky HS se pohybují účinkem sil
r r r r Σ (Fi1 + Fi 2 + L + FiN ) = 0 N
a) vnitřních: b) vnějších:
i =1
síly od objektů, které do HS nepatří.
V některých případech s výhodou reprezentujeme HS pomocí hmotného středu soustavy. HS rozdělíme na elementy s hmotnostmi mk a polohovými r vektory rk v souř. soust. Oxyz . Hmotný střed HS je bod o hmotnosti m = ∑ mk a polohovým k
vektorem
r 1 r rc = ∑ mk rk . m k V případě spojitého rozložení hmoty
1 r r 1 r rc = ∫ r dm = ∫ r ρ dV , mm mV
kde ρ je hustota tělesa.
HS soustavy je bod, který se pohybuje tak , jako by v něm byla soustředěna veškerá hmota soustavy a působily v něm všechny vnější síly působící na soustavu
Vlastnosti hmotného středu HS. • Jeho pohyb závisí jen na vnějších silách. • Jeho poloha nezávisí na volbě souř. soustavy Oxyz . • Pomocí něj se lehce vyjádří například hybnost HS, otáčivý moment tíhových sil na HS, potenciální energie HS v tíhovém poli.
Kinetická energie HS Kinetická energie HS v dané souř. soustavě je rovna součtu kinetických energií jejích částí v téže souř. soustavě.
1 1 1 2 2 2 E k = m1v1 + m2 v 2 + L + m N v N . 2 2 2 Pro spojité rozložení hmoty v HS:
1 2 ( ) ( x, y, z )dV , kde ρ x , y , z v ∫ 2V ρ ( x, y , z ) je hustota tělesa v bodě x, y , z ; dV je objem elementu tělesa v místě x, y , z ; v ( x, y , z ) je jeho rychlost. Ek =
Opět platí:
E kII − E kI = WI → II ,
kde
E kI je kinetická energie HS v pohybovém stavu I, E kII je kinetická energie HS v pohybovém stavu II, WI → II je práce všech sil (vnějších i vnitřních), které na HS působí při přechodu z pohybového stavu I do pohybového stavu II.
Potenciální energie HS a) v poli vnějších konzervativních sil: Je rovna součtu potenciálních energií jednotlivých částí HS E potes = E potes1 + E potes 2 + L + E potesN .
Opět platí:
E potesI − E potesII = WesI → II ,
kde
E potesI je potenciální energie HS v polohovém stavu I, E potesII je potenciální energie HS v polohovém stavu II, WesI → II je práce vnějších sil, které na HS působí při přechodu z polohového stavu I do polohového stavu II.
b) v poli vnitřních konzervativních sil (vnitřní pot. energie): Pro konzervativní vnitřní síly platí: Jestliže se dějem s HS její konfigurace nezměnila, vykonaly tyto síly během děje nulovou práci ⇒HS má v poli vnitřních konzervativních sil potenciální energii E potis . Analogicky jako u externích sil platí:
E potisI − E potisII = WisI → II .
Celková potenciální energie E pot HS
E pot je součet všech potenciálních energií v polích vnějších i vnitřních konzervativních sil. Přejde-li HS z polohového stavu I do polohového stavu II, vykonají vnější i vnitřní konzervativní síly práci WI → II = E potI − E potII .
Pozn.: Vnitřní síly mohou být i nekonzervativní (např. vnitřní tření mezi jednotlivými částmi HS) Mechanická energie Em HS
Em = Ek + E pot
Stejným způsobem jako u HB lze ukázat: EmII − EmI = W j , kde W j je práce nekonzervativních sil působících na HS při přechodu I → II Zákon zachování mechanické energie pro HS Opět Je-li W j = 0 , je E m 2 = E m1 = konst .
Kinetická energie rotujícího tuhého tělesa Tuhé těleso (abstrakce) – těleso, v němž jsou vzájemné vzdálenosti jeho elementů stálé (je speciálním případem HS). Řešme rotaci takového tělesa kolem osy.
Rozdělme těleso na velmi malé elementy (HB). mk - hmotnost k tého elementu, rk - vzdálenost k tého elementu od osy rotace. Kinetická energie rotujícího tuhého tělesa:
1 1 1 2 2 E k = ∑ mk v k = ω 2 ∑ mk rk = Iω 2 , 2 2 k 2 k kde veličinu
I = ∑ mk rk
2
k
nazveme momentem setrvačnosti tělesa k dané ose rotace. Pro spojité rozložení hmoty
I = ∫ r 2 ( P ) ρ (P ) dV , V
kde ρ ( P ) je hustota tělesa v bodě P tělesa, V je objem tělesa. Moment setrvačnosti k dané ose je aditivní. Těleso sestávající z částí, které mají k dané ose momenty setrvačnosti I j , má k téže ose moment setrvačnosti
I = ∑I j . j
Při výpočtu momentu setrvačnosti tuhého tělesa k dané ose rotace se často používá Steinerova věta: I p = I q + md 2 , kde I p je moment setrvačnosti tělesa k zadané přímce p ,
I q je moment setrvačnosti tělesa k přímce q jdoucí hmotným středem tělesa a rovnoběžné s přímkou p , m je hmotnost tělesa, d je vzdálenost přímek p, q .
Kinetická energie tuhého tělesa v těžišťové soustavě Nechť se tuhé těleso pohybuje v souřadné soustavě S obecným pohybem. Těžišťová soustava SC – soustava, která má počátek v hmotném středu (těžišti) C tělesa a vůči soustavě S koná posuvný pohyb r rychlostí vc . Lze ukázat, že rychlosti elementů tuhého tělesa v SC jsou takové, jako kdyby se elementy otáčely kolem jisté (v čase proměnné) osy p procházející hmotným středem C.
vc
Kinetickou energii tuhého tělesa v soustavě S lze pak vyjádřit ve tvaru:
1 1 2 Ek = mvc + I pω 2 , 2 2
kde m je hmotnost tělesa, I p je moment setrvačnosti tělesa k přímce p a ω je okamžitá úhlová rychlost rotace kolem p. Kinetická energie tuhého tělesa konajícího obecný pohyb je rovna součtu kinetických energií postupného a rotačního pohybu.
Pohybové rovnice HS (nejen tuhé těleso) Translační pohyb HS Je to pohyb, při kterém se orientace tělesa vůči dané souřadné soustavě nemění.
Definice hybnosti HS
r r p = ∑ pk k r p lze zakreslit kamkoliv. Nejčastěji se kreslí do hmotného středu
HS.
První pohybová rovnice HS (rovnice pro translační pohyb HS) Platí jen v inerciální souřadné soustavě !!!
r r r dp = ∑ Fek (= Fev ) dt k
(1)
Vnitřní síly nemají rna pohyb HS vliv! Splňují totiž princip akce a r reakce, tj. ∑ Fik = 0 . k
Pozn.: Rovnice (1) plyne z pohybové rovnice pro HB (sečtením poh. rovnic pro všechny HB dostaneme (1)).
První impulsová věta Platí jen v inerciální souřadné soustavě !!! t II r r r p II − p I = ∫ Fev dt , tI
kde
r p II je hybnost HS v pohybovém stavu II v čase t II , r p I je hybnost HS v pohybovém stavu II v čase t I , t II r F ∫ ev dt je tzv. impuls výslednice vnějších sil v časovém intervalu tI
t I , t II . Zákon zachování hybnosti Je-li
→ r r r ∑ Fek = 0 ⇒ p = konst k
Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy Definice: Moment hybnosti HB vzhledem k dané ose.
r
r r r bk = rk × mk vk ,
kde rk je polohový vektor elementu tuhého tělesa, který má r hmotnost mk a rychlost v k . Definice: Moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k dané ose. r r
b = ∑ bk k
Platí: Důkaz:
r r b = I oω .
r π 2 b = ∑ rk mk v k sin = ∑ rk mk rk ω = ω ∑ mk rk = I oω 2 rk k k r b ↑↑ ω
Definice: Moment síly vzhledem k dané ose a) působící na k-tý element:r r r M k = rk × Fk⊥ ,
r
kde Fk⊥ je v rovině kolmé na osu ležící složka síly.
r M k umísťujeme do středu trajektorie k-tého elementu.
b) Působící na tuhé těleso: r
r M = ∑Mk . k
Druhá pohybová rovnice pro rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy r
r db = Me dt
nebo
r r dω r r Io = M e neboli I oε = M e . dt
Důkaz přičemž se bere v úvahu, že rlze r provést výpočtem, r r M Fri = 0 , M Frrovnoběžné = 0 .
Druhá impulsová věta
r r t II r bII − bI = ∫ M e dt . tI
Zákon zachování momentu hybnosti → r r r Je-li M e = 0 , je b = konst .
