2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
V této kapitole se dozvíte: •
jak jsou definována vlastn í (charakteristická) čísla a vekto ry čtv ercov é matice;
•
co je to ch arakteristick á matice a charak teristický polyno m p ří slu šn ý k d a n é čtvercové matici;
•
jak vypočítat vlastní čísla ob ecn ý ch matic a sp eciálně trojúhel níkový ch matic;
•
definici hermitovské, ortogonáln í a unitární mati ce, jejich vla stno sti týkající se vlastních čísel a vektorů;
•
co jsou to p odobnostní tran sfo rmace a jak sou v isejí s v lastními čísly matic.
Klíčová slova této kapitoly: vlastní (charakteristické) číslo a vektor matice, charakteristická matice, charakteristický polynom, hermitovská, ortogonální a unitární matice, podobnost matic, podobnostní transformace.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,75 + 1 ,0 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Definice. Nechť je dána čtvercová matice A řádu n a nenulový vektor (sloupcová matice) u typu ( n, 1) . Platí-li Au = λu , tzn. vynásobení vektoru u zleva maticí A je ekvivalentní vynásobení vektoru u určitým číslem λ , nazýváme vektor u vlastním (charakteristickým) vektorem matice A a číslo λ příslušným vlastním (charakteristickým) číslem matice A . Charakteristická matice a polynom. Definice. a11 a12 Charakteristickou maticí čtvercové matice A = a...21 a...22 an1 an 2 λ −a11 − a12 λ E − A = − a21 λ −a22 ... ... −a −a n2 n1
... ... ... ...
... ... ... ...
a1n a2 n nazýváme matici ... ann
− a1n − a2 n , ... λ −ann
kde veličina λ je reálná nebo komplexní proměnná. Poznámka. Charakteristická matice je zřejmě funkcí proměnné λ . Definice. Polynom det ( λ E − A ) n -tého řádu v proměnné λ , tj. determinant matice charakteristické k matici A , nazýváme charakteristickým polynomem. Výpočet vlastních čísel. Věta. Vlastními čísly matice A jsou kořeny λ1 , λ2 , ..., λn charakteristického polynomu det ( λ E − A ) .
Poznámka. Uvedená věta teoreticky řeší problém nalezení vlastních čísel, ale prakticky není situace tak růžová, protože nalezení kořenů polynomu vyššího než třetího stupně je obecně komplikovaný úkol. Věta. Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou rovna prvkům v hlavní diagonále (hlavním prvkům).
Důkaz. Protože determinant trojúhelníkové matice je roven součinu hlavních prvků, je charakteristický polynom trojúhelníkové matice dán jednoduchým součinem ( λ − a11 )( λ − a22 ) ... ( λ − ann ) , jehož kořeny jsou zjevně čísla a11 , a22 , ..., ann . Cbd. Hermitovské, ortogonální a unitární matice a jejich vlastní čísla a vektory. Definice. a) Hermitovskou (hermitovsky symetrickou) maticí nazýváme matici, pro niž A T = A , neboli A = A T ≡ A + (pruh značí komplexní sdružení, horní index + tzv. hermitovské sdružení, tzn. současnou transpozici matice a její komplexní sdružení). b) Ortogonální maticí rozumíme matici, pro kterou platí A −1 = A T . c) Unitární maticí rozumíme matici, pro kterou platí A −1 = A T ≡ A + . Poznámka. Všechny tři typy matic mají v přírodních vědách velmi významné uplatnění. Věta. a) Vlastní čísla hermitovské matice jsou reálná. b) Vlastní čísla reálné symetrické matice jsou reálná. c) Modul (absolutní hodnota) každého vlastního čísla unitární matice je roven jedné. d) Vlastní vektory hermitovské nebo unitární matice příslušné různým vlastním číslům jsou navzájem ortogonální. Vlastní čísla a podobnostní transformace. Definice. Čtvercové matice A , B téhož řádu nazýváme podobnými, existuje-li taková matice P , že platí B = P −1AP . Uvedený přechod od matice A k matici B nazýváme podobnostní transformací. Věta. Podobné matice mají stejný charakteristický mnohočlen, stejná vlastní čísla a stejnou stopu. Věta. a) Nechť A je hermitovská matice. Pak existuje unitární matice U taková, že matice U −1AU je diagonální (a reálná). b) Nechť A je reálná symetrická matice. Pak existuje reálná ortogonální matice P taková, že matice P −1AP je diagonální (a samozřejmě také reálná). Poznámka. V posledních dvou větách je skryta základní idea numerických výpočtů vlastních čísel. Matice se vhodnou podobnostní transformací převede na trojúhelníkový (nebo dokonce diagonální) tvar, pro který, jak již víme, platí, že vlastní čísla jsou totožná s hlavními prvky. Protože podobnostní transformace nemění vlastní čísla, jsou nalezená čísla také vlastními čísly původní matice.
Shrnutí kapitoly: Problém vlastních čísel a vlastních vektorů hraje v moderních partiích přírodních věd nezastupitelnou roli. K jeho pochopení je nutno nadefinovat základní pojmy. Vlastní číslo λ a příslušný vlastní vektor (sloupcová matice) u jsou definovány rovnicí Au = λu . Charakteristickou maticí čtvercové matice A nazýváme matici λ E − A , kde veličina λ je reálná nebo komplexní proměnná. Charakteristickým polynomem nazýváme determinant matice charakteristické k matici A , tj. det ( λ E − A ) . Problém nalezení vlastních čísel matice teoreticky řeší tato věta: Vlastními čísly matice A jsou kořeny charakteristického polynomu det ( λ E − A ) . Prakticky je ale hledání kořenů polynomů vyšších stupňů obecně náročným problémem. Pouze u trojúhelníkových matic platí jednoduchý výsledek, že jejich vlastní čísla jsou přímo rovna hlavním prvkům. Často používají tzv. hermitovské, ortogonální a unitární matice. Jejich vlastní čísla a vektory mají zajímavé vlastnosti. Numerické metody výpočtu vlastních čísel jsou založeny na tzv. podobnostních transformacích, tj. na transformacích tvaru B = P −1AP . Platí totiž, že podobnostní transformace vlastní čísla nemění. Stačí proto vhodnou podobnostní transformací přejít od dané matice k matici trojúhelníkové, u které vlastní čísla určíme přímo. Otázky: •
Definujte v lastn í (ch arakteristická) čísla a vek tory čtverco vé matice.
•
Definujte charakteristickou matici a chara kteristick ý polyn o m p říslušné k dané čtvercové matici.
•
Jak souvisejí v lastn í čísla a charakterist ický po lyno m dané čtv ercové matice?
•
Jak vypočteme vlastní čísla troj úhelníkov é (n ebo diag onální) ma tice? Po dejte důkaz!
•
Jak je definována hermitovská, ortogonální a unitární matice? C o je to hermitovské sdružení?
•
Co platí p ro vlastn í čísla hermitovské, reálné symetrické a uni tárn í matice?
•
A co platí pro Vlastní vektory hermitov ské neb o un itárn í matice , p říslušné různým vlastním číslům?
•
Co je to podobno stní transformace a kter é matice nazýváme podob ný mi?
•
Co platí pro charakteristick ý mn oh očlen a vlastní čísla pod obný ch matic?
•
Jaká je základní idea numerický ch algoritmů pro výpočet vlastní ch čísel?
Řešený příklad. −5 3 Nalezněte vlastní čísla a vektory matice A ≡ . −2 2 Řešení. Vlastní čísla nalezneme jako kořeny charakteristického polynomu, tzn. jako řešení rovnice det ( λ E − A ) = 0 :
λ + 5 −3 = ( λ + 5 )( λ − 2 ) − ( −3) 2 = λ 2 + 3λ − 4 = 0 . 2 λ −2 Řešením této kvadratické rovnice jsou čísla λ1 = 1 , λ2 = −4 . Vlastní vektor 1 u , příslušný vlastnímu číslu λ1 = 1 , je podle definice vektor, vyhovující
maticové rovnici A 1 u = λ1 1 u , kterou snadno upravíme na tvar ( λ1E − A ) 1 u = 0 . Jedná se
o maticově zapsanou homogenní (tj. bez pravé strany) soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, jejíž maticí je charakteristická matice k matici A s dosazenou hodnotou λ1 za proměnnou λ . Tuto soustavu snadno vyřešíme. Protože matice soustavy je singulární (determinant je roven nule), očekáváme nekonečně mnoho řešení: 1 + 5 −3 1 6 −3 1 2 −1 1 u= u=0⇔ u=0. 2 1− 2 2 −1 0 0
( λ1E − A ) 1u =
Volíme např. 1u1 = k , kde k je reálný (nebo i komplexní) parametr, pak z první rovnice soustavy 1u2 = 2k . Vlastním vektorem 1 u , příslušným vlastnímu číslu λ1 = 1 , je tedy libovolný nenulový vektor tvaru 1
k 1 u = = k , k ≠ 0. 2k 2
Obdobně nalezneme vlastní vektory 2 u , příslušné vlastnímu číslu λ2 = −4 : −3 2 −4 + 5 1 −3 2 1 −3 2 u= u=0⇔ u = 0. −4 − 2 2 2 −6 0 0
( λ2E − A ) 2 u =
Volbou např. 2u2 = k obdržíme z první rovnice soustavy 2u1 = 3k . Vlastním vektorem 2
u , příslušným vlastnímu číslu λ2 = −4 , je tedy libovolný nenulový vektor tvaru 2
3k 3 u = = k , k ≠ 0. k 1
Poznámka. Vlastní vektory jsou tedy určeny až na libovolný nenulový multiplikativní činitel k , což plyne z definice vlastních vektorů a platí zcela obecně.
Příklad 1: Nalezněte vlastní čísla a vektory matice: 1 −2 4 −1 a) A ≡ ; b) B ≡ . 4 −5 −6 − 1
Řešení příkladů: 1 1 1a) λ1 = −1 , λ2 = −3 , 1 u = k , 2 u = k , k ≠ 0 ; 1 2 1 1 1b) λ1 = 5 , λ2 = −2 , 1 u = k , 2 u = k , k ≠ 0 . −1 6
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
