2 Vektory a vektorové prostory Lineární závislost a nezávislost vektorů Souřadná soustava a báze... 26

Obsah 1 Matice 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic . . . . . . . . . Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice Elementa´rnı´ matice . . . . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3 4 11 15 19 21 22

. . . . .

23 25 26 30 34 35

2 Vektory a vektorove´ prostory 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚ Sourˇadna´ soustava a ba´ze . . . . . . . . Skala´rnı´ soucˇin . . . . . . . . . . . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 Hodnost matice 3.1 3.2 3.3

37 ˇ Ra´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Determinanty 4.1 4.2 4.3 4.4

Definice a vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . Soustavy linea´rnıćh rovnic s regula´rnı´ maticı´ Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

43 44 50 53 54

. . . .

55 55 58 59 60

5 Linea´rnı´ zobrazenı´ 5.1 5.2 5.3 5.4

Matice linea´rnı´ho zobrazenı´ Transformace sourˇadnic . . . Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . Rˇesˇenı´ . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Seznam literatury

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61

1

Kapitola 1

Matice

Maticı´ A typu (m, n) rozumı´me soustavu mn cˇ´ısel usporˇa´danyćh do m ˇra´dku˚ a n sloupcu˚:   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    A= . ..  ; .. ..  .. . .  . am1 am2 . . . amn

(1.1)

aij nazy´va´me prvek matice na mı´steˇ (i, j ), tedy v i-te´m ˇra´dku a j -te´m sloupci. Mı´sto (1.1) pı´sˇeme take´ strucˇneˇ A = (aij ). Prvky matice jsou obvykle cˇ´ısla. Jsou-li vsˇechna rea´lna´, mluvı´me o rea´lne´ matici, jsou-li komplexnı´, mluvı´me o matici komplexnı´. Pokud nebude v dalsˇ´ım uvedeno jinak, budeme pracovat s komplexnı´mi maticemi a prˇ´ıvlastek komplexnı´ budeme vynecha´vat. Matice A = (a ij ) a B = (bij ) se rovnajı´, jsou-li stejne´ho typu a na odpovı´dajıćıćh si mı´stech majı´ stejne´ prvky, t.j. a ij = bij pro vsˇechna i, j. Matice o jedine´m ˇra´dku nebo jedine´m sloupci budeme take´ nazy´vat vektory (rˇa´dkove´ nebo sloupcove´). Pro oznacˇenı´ vektoru˚ budeme obvykle pouzˇ´ıvat pı´smena male´ abecedy a jejich prvky budeme indexovat jediny´m indexem, tedy naprˇ. a = (a1 , . . . , an ). Matici (libovolne´ho typu), jejı´zˇ vsˇechny prvky jsou rovny 0, budeme nazy´vat nulovou a znacˇit O. Pro nulovy´ vektor (rˇa´dkovy´ i sloupcovy´) budeme pouzˇ´ıvat symbol o. Je-li A matice typu (m, n), kde m = n, nazy´va´ se cˇtvercova´ n-te´ho rˇa´du. Hlavnı´ diagona´lou cˇtvercove´ matice A = (aij ) n-te´ho ˇra´du rozumı´me n-tici jejıćh prvku˚ a 11 , a22 , . . . , ann . Vy´znamnou roli mezi cˇtvercovy´mi maticemi majı´ matice troju´helnı´kove´ a diagona´lnı´. Cˇ tvercova´ matice A = (aij ) n-te´ho ˇra´du se nazy´va´ hornı´ troju´helnı´kova´, je-li a ij = 0 pro i > j, i, j = 1, . . . n, dolnı´ troju´helnı´kova´, je-li aij = 0 pro i < j, i, j = 1, . . . n a diagona´lnı´ , je-li a ij = 0 pro i 6 = j, i, j = 1, . . . n. Diagona´lnı´ matice je tedy soucˇasneˇ hornı´ i dolnı´ troju´helnı´kova´. Naprˇ´ıklad matice 3 1 A= 0 4 je hornı´ troju´helnı´kova´,

je dolnı´ troju´helnı´kova´,



 1 0 0 B= 4 7 0  0 3 2 

 5 0 0 D= 0 3 0  0 0 0 3

Kapitola 1

4

je diagona´lnı´. Pro diagona´lnı´ matici A s diagona´lnı´mi prvky a 11 , a22 , . . . , ann zava´dı´me take´ oznacˇenı´ A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ). Diagona´lnı´ matice, jejı´zˇ diagona´lnı´ prvky jsou rovny 1, se nazy´va´ jednotkova´ a znacˇ´ı E. Diagona´lnı´ matice je zvla´sˇtnı´m prˇ´ıpadem matice blokoveˇ diagona´lnı´. Jsou-li A 11 , A22 , . . . , Ann cˇtvercove´ matice (ne nutneˇ stejne´ho ˇra´du), pak matici   A11 O12 . . . O1n  O21 A22 . . . O2n    A= . .. . . ..   .. . . . 

On1 On2 . . . Amn

nazy´va´me blokoveˇ diagona´lnı´. Zde O ij jsou nulove´ matice, jejichzˇ typ je urcˇen ˇra´dy matic A ii a Ajj . I pro blokoveˇ diagona´lnı´ matici A zavedeme zkraćeny´ za´pis A = diag A11 , . . . Ann .

Nynı´ budeme definovat za´kladnı´ algebraicke´ operace s maticemi.

1.1 Operace s maticemi Definice. Jsou-li A = (aij ) a B = (bij ) matice te´hozˇ typu (m, n), definujeme jejich soucˇet A + B jako matici C = (cij ) typu (m, n), pro nı´zˇ cij = aij + bij ,

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Definice. Je-li A = (aij ) matice typu (m, n) a α libovolne´ komplexnı´ cˇ´ıslo, pak α-na´sobkem matice A nazy´va´me matici B = (bij ) typu (m, n), pro nı´zˇ bij = α aij ,

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

Maticoveˇ zapisujeme B = α A, mı´sto (−1) A budeme psa´t −A a mı´sto A +(−B) budeme psa´t A − B. Prˇ´ıklad 1.1 Necht’

A= Pak

A+B=

2 −1 4 1 0 −3

5 1 2 1 −3 −2

B=

a

a

3 2 −2 0 −3 1

3A − 2B =

.

0 −7 16 3 6 −11

.

Scˇ´ıtańı´, odcˇ´ıtańı´ a skala´rnı´ na´sobek matic jsou tedy definovańy „po jednotlivyćh prvcıćh“. Definice na´sobenı´ matic ma´ odlisˇny´ charakter. Definice. Je-li A = (aij ) matice typu (m, p) a B = (bij ) matice typu (p, n), pak definujeme jejich soucˇin A B jako matici C = (cij ) typu (m, n), pro nı´zˇ cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =

p X k=1

aik bkj ,

i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

1.1. Operace s maticemi

5

B

b1j b2j b3j .. .

A

C = AB ai1 ai2 ai3 . . .

cij

C : cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · ·

Obr. 1.1 Na´sobenı´ matic. Vy´pocˇet soucˇinu matic A a B zna´zornˇuje obr. 1.1. Je z neˇj patrne´ a lze i forma´lneˇ uka´zat (veˇta 1.1), zˇe pro vy´pocˇet prvku˚ v k-te´m sloupci matice C = A B nepotrˇebujeme celou matici B, ale vystacˇ´ıme jen s jejı´m k-ty´m sloupcem. Veˇta 1.1 Necht’ A je matice typu (m, p) a B matice typu (p, n). Uvazˇujme sloupce matice B jako matice typu (p, 1) a oznacˇme je porˇadeˇ B1 , B2 , . . . , Bn . Oznacˇme da´le C = A B a sloupce matice C oznacˇme C1 , C2 , . . . , Cn jde o matice typu (m, 1) . Pak

Ck = A B k ,

k = 1, . . . , n.

(1.2)

Du˚kaz. Necht’ A = (aij ), B = (bij ) a Cj = (cij ) pro prˇ´ıslusˇne´ indexy i, j. Pak jak (1.2), tak i vztah C = A B jsou ekvivalentnı´ pozˇadavku˚m cik =

p X

aij bj k ,

j =1

i = 1, . . . m, k = 1, . . . , n.

4

Z du˚kazu prˇedesˇle´ veˇty vyply´va´, zˇe platı´ i tvrzenı´ obraćene´. Veˇta 1.2 Necht’ A je matice typu (m, p), necht’ B1 , B2 , . . . , Bn jsou matice typu (p, 1) a necht’ Ck = A Bk pro k = 1, . . . , n. Necht’da´le B je matice, jejı´zˇ sloupce jsou B1 , B2 , . . . , Bn a C matice, jejı´zˇ sloupce jsou C1 , C2 , . . . , Cn . Pak C = A B. Vlastnosti scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ matic uvedeme ve dvou souhrnnyćh veˇtaćh. Jde vlastneˇ o ˇradu na sobeˇ neza´vislyćh tvrzenı´ se zcela odlisˇny´mi prˇedpoklady na typy jednotlivyćh matic. Veˇty je tedy trˇeba cha´pat tak, zˇe v kazˇde´m tvrzenı´ prˇedpokla´da´me takove´ typy matic na leve´ straneˇ rovnosti, zˇe vsˇechny pouzˇite´ operace majı´ smysl. Veˇta 1.3 Pro matice A, B, C vhodne´ho typu platı´ (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C)

Kapitola 1

6 (c) (A + B) C = A C + B C (d) A (B + C) = A B + A C (e) (A B) C = A (B C)

Du˚kaz. Podle definice rovnosti matic je trˇeba proveˇˇrit, zˇe matice na obou stranaćh rovnostı´ jsou te´hozˇ typu a na odpovı´dajıćıćh pozicıćh majı´ stejne´ prvky. To je v tvrzenıćh (a) i (b) snadno viditelne´, nebot’ jde o du˚sledek analogickyćh vlastnostı´ cˇ´ısel. Jsou-li v tvrzenı´ (c) matice A a B typu (m, p) a matice C typu (p, n), pak na obou stranaćh rovnosti jsou matice typu (m, n) a protozˇe p p p X X X (aik + bik ) ckj = aik ckj + bik ckj , k=1

k=1

k=1

jsou obeˇ strany totozˇne´. Tvrzenı´ (d) vyplyne analogicky. Pokud je v tvrzenı´ (e) matice A typu (m, p), B typu (p, r) a C typu (r, n), pak (AB) C i A (B C) jsou typu (m, n). Oveˇˇrenı´ rovnosti jejich odpovı´dajıćıćh prvku˚ p r X X l=1

k=1

aik bkl

!

clj

a

p X k=1

aik

r X

bkl clj

l=1

!

na pozici (i, j ) vyzˇaduje nejdrˇ´ıve „rozna´sobenı´ “ obou za´vorek (celkem 2pr na´sobenı´) a potom porovnańı´ scˇ´ıtancu˚ se stejny´mi indexy. Viz naprˇ. [15]. 4 Veˇta 1.4 Pro matice A, B vhodne´ho typu a libovolna´ cˇ´ısla α, β platı´ (a) α(β A) = (αβ)A (b) (α + β)A = α A + β A (c) α(A + B) = α A + α B (d) A(α B) = α(AB) = (α A)B Du˚kaz. Vsˇechny rovnosti jsou snadny´m du˚sledkem asociativnosti na´sobenı´ cˇ´ısel a distributivnosti cˇ´ıselne´ho na´sobenı´ vu˚cˇi scˇ´ıtańı´. 4 Z veˇty (1.3) vyply´va´, zˇe scˇ´ıtańı´ matic, stejneˇ tak jako scˇ´ıtańı´ cˇ´ısel, je komutativnı´ a asociativnı´ a take´ distributivnı´ vu˚cˇi maticove´mu na´sobenı´. Na´sobenı´ matic pak je na za´kladeˇ tvrzenı´ (e), rovneˇzˇ ve shodeˇ s na´sobenı´m cˇ´ısel, asociativnı´ operacı´. Prˇes tyto analogie vsˇak nelze u´plneˇ vsˇechny vlastnosti scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ cˇ´ısel prˇene´st do maticove´ho oboru. Na´sledujıćı´ prˇ´ıklad uka´zˇe, zˇe maticove´ na´sobenı´ nenı´ komutativnı´, tedy zˇe pro libovolne´ matice A, B nemusı´ platit AB = BA. To ostatneˇ nenı´ prˇ´ılisˇ prˇekvapive´, nebot’ existence soucˇinu AB nemusı´ ani zarucˇovat, zˇe soucˇin BA je definovań. Je uzˇitecˇne´ si uveˇdomit, zˇe AB i BA budou mı´t smysl pra´veˇ tehdy, bude-li A typu (m, n) a B typu (n, m). Odtud je videˇt, zˇe oba soucˇiny povedou na matici te´hozˇ typu pra´veˇ tehdy, budou-li A a B cˇtvercove´ matice te´hozˇ ˇra´du. Ani v tomto prˇ´ıpadeˇ si vsˇak soucˇiny AB a BA nemusejı´ by´t rovny.


7

Prˇ´ıklad 1.2 Necht’

A= Pak

AB =

2 −4 −3 6

0 0 0 0

,

a

B=

2 4 1 2

BA =

kdezˇto

.

−8 16 . −4 8

Prˇ´ıklad soucˇasneˇ ukazuje jinou vlastnost maticove´ho na´sobenı´, ktera´ nema´ analogii v na´sobenı´ cˇ´ısel: soucˇin dvou nenulovyćh matic mu˚zˇe by´t matice nulova´. Take´ je trˇeba mı´t na pameˇti, zˇe v maticovyćh rovnostech nelze kra´tit. Nenı´ totizˇ obecneˇ pravda, zˇe pokud pro matice A, B a C platı´ AC = BC, pak platı´ take´ A = B. Ukazuje to na´sledujıćı´ prˇ´ıklad. Prˇ´ıklad 1.3 Je-li

A=

1 −1 , 2 3

B=

2 1 1 1

pak

AC = BC =

a

6 −3 2 −1

C=

4 −2 , −2 1

,

prˇestozˇe je ocˇividneˇ A 6 = B. Vzhledem k asociativnosti maticove´ho scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ nenı´ trˇeba prˇi soucˇtu ani prˇi soucˇinu trˇ´ı nebo vıće matic psa´t za´vorky. Distributivnı´ za´kon umozˇnˇuje nejen „rozna´sobovat za´vorky“, ale i „vyty´kat“. Je vsˇak trˇeba si uveˇdomit, zˇe vyty´kańı´ ma´ dvojı´ podobu: „prˇed“ za´vorku a „za“ za´vorku. Je zrˇejme´ zˇe soucˇin jake´koliv matice s maticı´ nulovou vhodne´ho typu je matice nulova´. Roli jednotky prˇi na´sobenı´ matic hraje jednotkova´ matice E. Platı´ Veˇta 1.5 Je-li A matice typu (m, n), Em jednotkova´ matice m-te´ho ˇra´du, En jednotkova´ matice n-te´ho ˇra´du, pak A En = Em A = A. Du˚kaz. Oznacˇ´ıme-li prvky jednotkove´ matice e ij , pak eii = 1 a eij = 0 pro i 6 = j. Je tedy n X k=1

aik ekj = aij

a

m X k=1

eik akj = aij . 4

Odtud jizˇ obeˇ rovnosti plynou. Matice B se nazy´va´ komutujıćı´ (te´zˇ za´meˇnna´) s maticı´ A, jestlizˇe platı´

AB = BA. Je zrˇejme´, zˇe komutujıćı´ matice mohou existovat pouze ke cˇtvercovy´m maticı´m. Prˇ´ıkladem komutujıćı´ matice je jednotkova´ matice E. Ta komutuje s libovolnou cˇtvercovou maticı´ te´hozˇ ˇra´du. Na´sobı´me-li mezi sebou matice neˇkteryćh specia´lnıćh typu˚, vy´pocˇet se cˇasto zjednodusˇ´ı. Tak naprˇ´ıklad soucˇinem diagona´lnıćh matic stejne´ho ˇra´du je opeˇt matice diagona´lnı´ (viz cvicˇenı´ 1.2), soucˇinem hornıćh (resp. dolnıćh) troju´helnı´kovyćh matic te´hozˇ typu je matice hornı´ (resp. dolnı´) troju´helnı´kova´ (cvicˇenı´ 1.4). Pro blokoveˇ diagona´lnı´ matice platı´

Kapitola 1

8

Veˇta 1.6 Necht’ A = diag(A1 , . . . , An ) a B = diag(B1 , . . . , Bn ) jsou blokoveˇ diagona´lnı´ matice a necht’ pro i = 1, . . . , n jsou Ai a Bi cˇtvercove´ matice stejne´ho ˇra´du. Pak matice AB je blokoveˇ diagona´lnı´ a platı´ AB = diag(A1 B1 , . . . , An Bn ). Du˚kaz. Prvek na pozici (i, j ) v matici AB je soucˇtem soucˇinu˚ prvku˚ i-te´ho ˇra´dku matice A a j -te´ho ˇra´dku matice B. Tyto soucˇiny budou nenulove´ pouze tehdy, budou li se oba cˇinitele´ nacha´zet ve shodneˇ umı´steˇnyćh diagona´lnıćh blocıćh. Odtud plyne, zˇe matice AB bude blokoveˇ diagona´lnı´ a zˇe jejı´ i-ty´ blok bude Ai Bi . 4 Soucˇin A A je definovań pro libovolnou cˇtvercovou matici A; v dalsˇ´ım jej budeme znacˇit A 2 . Analogicky An bude znacˇit A A · · · A, celkem n-kra´t. Kromeˇ toho pro libovolnou cˇtvercovou matici A definujeme A0 = E. Da´le zavedeme pojem transponovane´ a symetricke´ matice. Definice. Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n). Matici B = (bij ) typu (n, m) nazy´va´me transponovanou k matici A, pokud bij = aj i ,

i = 1, . . . n, j = 1, . . . m.

Transponovanou matici k matici A budeme znacˇit A T . Matice A, pro kterou platı´ AT = A, se nazy´va´ symetricka´. Prˇ´ıklad 1.4 Je-li 

 1 0 A =  2 3 , 5 4



 2 −1 0 B =  3 −2 1  a −3 4 −4

pak

AT =

1 2 5 0 3 4

,

C= 1 2 3 ,



 2 3 −3 BT =  −1 −2 4  a 0 1 −4



 1 C T =  2 . 3

Operace transponovańı´ a scˇ´ıtańı´ jsou za´meˇnne´, pro libovolne´ matice A, B stejne´ho typu tedy platı´ (A + B)T = AT + BT , cozˇ je z definic obou operacı´ ihned videˇt. Take´ se snadno oveˇˇr´ı, zˇe

AT Pro na´sobenı´ pak platı´

T

= A.

Veˇta 1.7 Je-li A matice typu (m, p) a B matice typu (p, n), pak (AB)T = BT AT .


9

Du˚kaz. Oznacˇ´ıme-li C = AB = (cij ) a D = BT AT = (dij ), pak CT i D jsou typu (n, m) a pro i = 1, . . . n a j = 1, . . . , m platı´ cj i =

p X k=1

aj k bki =

p X k=1

bki aj k = dij ,

tedy CT = D.

4

Z prˇ´ıkladu˚ 1.2 a 1.3 je take´ videˇt, zˇe nelze ocˇeka´vat, zˇe by bylo mozˇne´ rozumny´m zpu˚sobem definovat deˇlenı´ matic. S pojmem „deˇlenı´ matic“ se opravdu nesetka´me. Existuje vsˇak trˇ´ıda matic, pro nı´zˇ lze definovat operaci, ktera´ v jiste´m smyslu deˇlenı´ nahrazuje. Definice. Matici B nazy´va´me inverznı´ maticı´ k matici A, pokud

AB = BA = E.

(1.3)

Inverznı´ matici k matici A budeme znacˇit A −1 a matici, k nı´zˇ existuje inverznı´ matice budeme nazy´vat regula´rnı´. Cˇtvercove´ matice, ktere´ nejsou regula´rnı´, budeme nazy´vat singula´rnı´. Prˇ´ıklad 1.5 Matice E je regula´rnı´ a E −1 = E, nebot’ EE = E. Z rovnostı´ (1.3) vyply´va´, zˇe matice AB i BA musejı´ by´t stejne´ho typu a tedy regula´rnı´ matice A musı´ by´t cˇtvercova´ a k nı´ inverznı´ matice bude take´ cˇtvercova´ a stejne´ho ˇra´du jako A. Neznamena´ to vsˇak, zˇe inverznı´ matice existuje ke kazˇde´ cˇtvercove´ matici. Ihned je videˇt, zˇe nulova´ matice nenı´ regula´rnı´. Existujı´ vsˇak i nenulove´ cˇtvercove´ matice, ktere´ nejsou regula´rnı´. Prˇ´ıklad 1.6 Necht’

A= Kdyby matice

B=

byla inverznı´ k A, pak by

AB =

0 1 0 0

.

b11 b12 b21 b22

b21 b22 0 0

musela by´t rovna E, cozˇ vsˇak pro zˇa´dnou matici B nelze splnit. Matice A tedy nenı´ regula´rnı´. Ze vztahu (1.3) da´le vyply´va´, zˇe je-li matice B inverznı´ k matici A, pak matice A je inverznı´ k matici B. Platı´ tedy Veˇta 1.8 Pro libovolnou regula´rnı´ matici A je

A−1

−1

= A.

Krite´ria pro stanovenı´ regula´rnosti matice odvodı´me v na´sledujıćh kapitolaćh. Jizˇ nynı´ vsˇak mu˚zˇeme uka´zat, zˇe za prˇedpokladu regula´rnosti matice A stacˇ´ı, aby inverznı´ matice splnˇovala pouze jednu ze dvou rovnostı´ (1.3).

Kapitola 1

10 Veˇta 1.9 Necht’ A je regula´rnı´ matice a necht’pro matici X platı´ bud’

AX = E nebo

XA = E.

Pak X = A−1 . Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe pokud pro regula´rnı´ matici A splnˇuje matice X rovnici AX = E, pak splnˇuje take´ rovnici XA = E, cˇ´ımzˇ podle definice bude inverznı´ maticı´ k matici A. Platı´ XA = EXA = A−1 A XA = A−1 AX A = A−1 EA = A−1 A = E. 4

Analogicky se oveˇˇr´ı i alternativnı´ tvrzenı´.

Podobnou u´vahou doka´zˇeme, zˇe k zˇa´dne´ matici nemohou existovat dveˇ ru˚zne´ inverznı´ matice. Veˇta 1.10 Existuje-li k matici A inverznı´ matice, pak je urcˇena jednoznacˇneˇ. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe k matici A existujı´ matice B a C tak, zˇe platı´

AB = BA = E a

AC = CA = E.

Pak platı´

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C, 4

tedy matice B a C jsou totozˇne´.

Veˇta 1.9 prˇeva´dı´ vy´pocˇet inverznı´ matice na ˇresˇenı´ maticove´ rovnice AX = E. Podle veˇt (1.1) a (1.2) mu˚zˇeme nezna´mou matici X pocˇ´ıtat postupneˇ po jednotlivyćh sloupcıćh. To znamena´, zˇe v prˇ´ıpadeˇ matice n-te´ho ˇra´du budeme mı´sto rovnice AX = E pro nezna´mou matici X o sloupcıćh X 1 , . . . , Xn ˇresˇit n-tici rovnic AXi = Ei , i = 1, . . . , n, pro nezna´me´ vektory X i , kde Ei jsou sloupce matice E. Vhodnou metodu ˇresˇenı´ popı´sˇeme v na´sledujıćı´m odstavci. Vztah maticove´ inverze k operacı´m transpozice a soucˇinu vyjadrˇujı´ na´sledujıćı´ dveˇ veˇty. Veˇta 1.11 Je-li A regula´rnı´ matice, pak AT je take´ regula´rnı´ a platı´ −1 T AT = A−1 . Du˚kaz. Tvrzenı´ plyne z rovnostı´

T T AT A−1 = A−1 A = ET = E a T T A−1 AT = AA−1 = ET = E.

V obou rovnostech jsme prˇi u´pravaćh pouzˇili veˇtu 1.7 o transpozici maticove´ho soucˇinu.

4

Veˇta 1.12 Necht’ A, B jsou regula´rnı´ matice te´hozˇ ˇra´du. Pak AB i BA jsou take´ regula´rnı´ a platı´ (AB)−1 = B−1 A−1

a (BA)−1 = A−1 B−1 .

Du˚kaz. Protozˇe AB B−1 A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1 = AA−1 = E a B−1 A−1 AB = B−1 A−1 A B = B−1 EB = B−1B = E,

jsou matice AB a B−1 A−1 navza´jem inverznı´. Analogicky se doka´zˇe, zˇe i matice BA a A −1 B−1 jsou navza´jem inverznı´. 4

1.2. Soustavy linea´rnıćh rovnic

11

1.2 Soustavy linea´rnıćh rovnic Jedno z nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch vyuzˇitı´ matic nacha´zı´me prˇi popisu a ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Soustavou linea´rnıćh rovnic rozumı´me m-tici rovnic tvaru a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

(1.4)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm . Oznacˇ´ıme-li



  A= 

a11 a21 .. . am1

a12 · · · a1n a22 · · · a2n . .. . . . .. . am2 · · · amn

pak mı´sto (1.4) mu˚zˇeme psa´t strucˇneˇji



  , 



  x= 

x1 x2 .. . xn

    

a



  b= 

b1 b2 .. . bm



  , 

Ax = b. Matici A nazy´va´me maticı´ soustavy (1.4), vektor b vektorem pravyćh stran. Rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy (1.4) pak rozumı´me matici A, ktera´ vznikne prˇidańı´m vektoru b pravyćh stran jako (n + 1)-ho sloupce k matici A :   a11 a12 · · · a1n b1  a21 a22 · · · a2n b2    (1.5) A= . ..  .. . .  .. . .  . am1 am2 · · · amn bm

Je-li vektor pravyćh stran b nulovy´, nazy´va´me soustavu homogennı´. Nejcˇasteˇji pouzˇ´ıvanou metodou ˇresˇenı´ soustavy (1.4) je Gaussova eliminacˇnı´ metoda. Spocˇ´ıva´ v prˇevodu dane´ soustavy na soustavu, jejı´zˇ mnozˇina ˇresˇenı´ je totozˇna´ s mnozˇinou ˇresˇenı´ soustavy pu˚vodnı´ a ktera´ ma´ tvar 0 0 0 0 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b10

0 0 0 a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b20 0 a33 x3

+ ··· +

0 a3n xn

= .. .

(1.6)

b30

V soustaveˇ (1.6) nemusı´ by´t vsˇechny koeficienty a ii0 nutneˇ ru˚zne´ od nuly. Platı´ vsˇak, zˇe pokud jsou v i-te´ rovnici koeficienty aii , ai,i+1 , . . . , aik rovny nule pro k > i, pak i ve vsˇech na´sledujıćıćh rovnicıćh jsou nulove´ koeficienty aj,i+1 , . . . , aj k (j > i). Pro u´pravu soustavy (1.4) na tvar (1.6) mu˚zˇeme pouzˇ´ıt ktere´koliv z na´sledujıćıćh operacı´: • K jedne´ rovnici prˇicˇteme jaky´koliv na´sobek jine´ rovnice. • Zmeˇnı´me porˇadı´ rovnic. • Kteroukoliv rovnici vyna´sobı´me nenulovy´m cˇ´ıslem.

Kapitola 1

12

Tyto operace budeme souhrnneˇ nazy´vat elementa´rnı´. Jak vyplyne z veˇty 1.14, jejich pouzˇitı´ nemeˇnı´ ˇresˇenı´ pu˚vodnı´ soustavy. Upravena´ soustava (1.6) prˇitom umozˇnˇuje snadny´ vy´pocˇet nezna´myćh pocˇ´ınaje poslednı´ rovnicı´ a na´sledujıćı´m postupny´m dosazovańı´m do rovnic prˇedcha´zejıćıćh. Strategie volby elementa´rnıćh operacı´ prˇi u´praveˇ soustavy (1.4) na tvar (1.6) za´visı´ na ˇradeˇ faktoru˚ a v tomto textu se jı´ nebudeme zaby´vat. Podrobnosti lze nale´zt naprˇ´ıklad v [4] nebo [5]. Protozˇe soustava (1.4) je jednoznacˇneˇ charakterizovańa svou rozsˇ´ıˇrenou maticı´ (1.5), je vhodne´ elementa´rnı´ operace prova´deˇt s ˇra´dky te´to matice a teprve v za´veˇru prˇejı´t opeˇt k za´pisu ve tvaru rovnic. Mozˇny´ postup uka´zˇeme na konkre´tnı´m prˇ´ıkladeˇ. V neˇm r i znacˇ´ı i-ty´ ˇra´dek prˇ´ıslusˇne´ rozsˇ´ıˇrene´ matice. Prˇ´ıklad 1.7 Vypocˇteˇte vsˇechna ˇresˇenı´ soustavy x1 + x2 −2x3 − x4 + x5 =−2 2x1 +4x2 −3x3 − x4 + x5 =−6 −3x1 + x2 +7x3 +3x4 −3x5 = 0 3x1 + x2 −5x3 − x4 +3x5 = 0 

1  2   −3 3

   1 −2 −1 1 −2 1 1 −2 −1 1 −2 r1   4 −3 −1 1 −6   r2 := r2 − 2r1 ⇒  0 2 1 1 −1 −2    1 7 3 −3 0 0 4 1 0 0 −6  r3 := r3 + 3r1 r4 := r4 − 3r1 1 −5 −1 3 0 0 −2 1 2 0 6 

1 0 ⇒  0 0

 r1 1  0 r 2 ⇒  0 r 3 r4 := r4 + 2r3 0

 1 −2 −1 1 −2 2 1 1 −1 −2   0 −1 −2 2 −2  0 2 3 −1 4

Poslednı´ matice odpovı´da´ soustaveˇ

r1 r2 r3 := r3 − 2r2 ⇒ r4 := r4 + 1r2

 1 −2 −1 1 −2 2 1 1 −1 −2   0 −1 −2 2 −2  0 0 −1 3 0

x1 + x2 −2x3 − x4 + x5 =−2 2x2 + x3 + x4 − x5 =−2 x3 +2x4 −2x5 = 2 − x4 +3x5 = 0 V poslednı´ rovnici mu˚zˇe by´t nezna´ma´ x 5 zvolena zcela libovolneˇ: x5 = t, t ∈ R. Pro x4 pak z te´to rovnice vycha´zı´ x4 = 3t. Dosadı´me x4 a x5 do prˇedposlednı´ rovnice a vypocˇteme x 3 : x3 = 2 − 4t. Z druhe´ rovnice pak dostaneme x2 = −2 + 4t a z prvnı´ x1 = 2 − 3t. Celkem tedy 

  x=  

2 − 3t −2 + t 2 − 4t 3t t



   t ∈ R.  

1.2. Soustavy linea´rnıćh rovnic

13

V dalsˇ´ım prˇ´ıkladu uvedeme vy´sledek pro homogennı´ soustavu rovnic, na neˇjzˇ se pozdeˇji budeme cˇasto odvola´vat. Prˇ´ıklad 1.8 Uvazˇujme soustavu a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, kde m < n. Po u´praveˇ do tvaru (1.6) bude mozˇne´ v poslednı´ rovnici zvolit nejmeńeˇ jednu nezna´mou zcela libovolneˇ. Soustava tak kromeˇ na prvnı´ pohled zrˇejme´ho nulove´ho ˇresˇenı´ ma´ jesˇteˇ nekonecˇneˇ mnoho ˇresˇenı´ nenulovyćh. Protozˇe jednotlive´ kroky Gaussovy eliminace pro ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic budeme vy´hradneˇ zapisovat pomocı´ rozsˇ´ıˇrene´ matice soustavy, bude ućˇelne´ zave´st pojem elementa´rnı´ operace i pro matice. Zı´ska´me tı´m i ućˇinny´ na´stroj pro zkoumańı´ dalsˇ´ıch vlastnostı´ matic. Definice. Elementa´rnı´ rˇa´dkovou operacı´ v matici A nazy´va´me kteroukoliv z na´sledujıćıćh operacı´: • K jednomu ˇra´dku matice A prˇicˇteme jaky´koliv na´sobek ˇra´dku jine´ho. • V matici A prohodı´me dva jejı´ ˇra´dky. • Jaky´koliv ˇra´dek matice A vyna´sobı´me nenulovy´m cˇ´ıslem. Analogicky definujeme i elementa´rnı´ sloupcove´ operace. Matici B nazveme rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´ s maticı´ A a znacˇ´ıme A ∼ B , jestlizˇe B vznikla z A pouzˇitı´m konecˇneˇ mnoha elementa´rnıćh ˇra´dkovyćh operacı´. Te´meˇˇr samozrˇejme´ je pak na´sledujıćı´ tvrzenı´. Veˇta 1.13 Je-li matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s maticı´ B, pak B je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s A. Du˚kaz. Veˇtu stacˇ´ı doka´zat pro kazˇdou ze trˇ´ı elementa´rnıćh operacı´ samostatneˇ. (a) Pokud matice B vznikla z A prˇicˇtenı´m α-na´sobku j -te´ho ˇra´dku k i-te´mu, A dostaneme z B odecˇtenı´m α-na´sobku j -te´ho ˇra´dku od ˇra´dku i-te´ho. (b) Pokud matice B vznikla z A vy´meˇnou j -te´ho ˇra´dku s i-ty´m, pak i B vznikne z A vy´meˇnou j -te´ho ˇra´dku s i-ty´m. (c) Pokud matice B vznikla z A vyna´sobenı´m j -te´ho ˇra´dku nenulovy´m cˇ´ıslem α, pak B vznikne z A vyna´sobenı´m j -te´ho ˇra´dku cˇ´ıslem 1/α. 4 Prˇ´ımy´m du˚sledkem pra´veˇ doka´zane´ veˇty je na´sledujıćı´ tvrzenı´, ktere´ zarucˇuje, zˇe pouzˇitı´m Gaussovy eliminacˇnı´ metody se ˇresˇenı´ soustavy nezmeˇnı´. Veˇta 1.14 Necht’ A a B jsou rozsˇ´ıˇrene´ matice dvou soustav linea´rnıćh rovnic a necht’ matice A a B jsou ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´. Pak obeˇ soustavy majı´ stejnou mnozˇinu ˇresˇenı´.

Kapitola 1

14

Du˚kaz. Z definice elementa´rnıćh operacı´ vyply´va´, zˇe kazˇde´ ˇresˇenı´ „pu˚vodnı´“ soustavy je i ˇresˇenı´m soustavy vznikle´ aplikacı´ ktere´koliv elementa´rnı´ operace. Prˇedcha´zejıćı´ veˇta pak zajisˇt’uje, zˇe take´ kazˇde´ ˇresˇenı´ „upravene´“ soustavy je ˇresˇenı´m soustavy pu˚vodnı´. Obeˇ soustavy tak majı´ stejnou mnozˇinu ˇresˇenı´. 4 Samostatnou zmıńku zasluhujı´ soustavy, jejichzˇ matice je cˇtvercova´. Podle nı´zˇe uvedene´ho sche´matu (v neˇm × znacˇ´ı libovolne´ cˇ´ıslo – mu˚zˇe by´t i 0 ) lze elementa´rnı´mi ˇra´dkovy´mi u´pravami kazˇdou cˇtvercovou matici prˇeve´st na matici hornı´ troju´helnı´kovou. × × × × .. . ×

× × × × .. . ×

× × × × .. . ×

× × × × .. . ×

··· ··· ··· ··· .. . ···

× × × × .. . ×

∼

× 0 0 0 .. . 0

× × × × .. . ×

× × × × .. . ×

× × × × .. . ×

··· ··· ··· ··· .. . ···

× × × × .. . ×

∼

× × × × ··· × 0 × × × ··· × 0 0 × × ··· × 0 0 × × ··· × .. .. .. .. . . . . .. . . . . 0 0 × × ··· ×

∼

× × × × ··· × × × × × ··· × 0 × × × ··· × 0 × × × ··· × 0 0 × × ··· × 0 0 × × ··· × ∼ 0 0 0 × ··· × ∼ ··· ∼ 0 0 0 × ··· × (1.7) .. .. .. .. . . . .. .. .. .. . . . . .. . .. . . . . . . . . 0 0 0 × ··· × 0 0 0 0 ··· × Budeme-li nynı´ navıć prˇedpokla´dat, zˇe v poslednı´ matici jsou vsˇechny diagona´lnı´ prvky nenulove´, mu˚zˇeme dalsˇ´ımi elementa´rnı´mi ˇra´dkovy´mi operacemi, tentokra´t prova´deˇny´mi od poslednı´ho ˇra´dku „smeˇrem nahoru“, matici prˇeve´st azˇ na jednotkovou. Sche´maticky lze postup zna´zornit takto: × × ··· × × 1 × ··· × × 1 × ··· × 0 1 × ··· 0 0 0 × ··· × × 0 1 ··· × × 0 1 ··· × 0 0 1 ··· 0 0 .. .. . . .. .. . . .. .. . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . ∼ . . . . . ∼ . . . . . ∼ .. .. . . . ∼ · · · ∼ E. . . 0 0 ··· × × 0 0 ··· 1 × 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· 0 × 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 1 Uvedeny´ postup se nazy´va´ Gaussova–Jordanova eliminace. Na´sledujıćı´ prˇ´ıklad ukazuje konkre´tnı´ vy´pocˇet. Prˇ´ıklad 1.9 Rˇesˇme soustavu Ax = b,  0 2 A =  3 −1 1 −1

kde  1 2 , 1



 2 b =  −3  a −3

 x1 x =  x2 . x3 

Rˇesˇenı´. Jednotlive´ kroky Gaussovy–Jordanovy eliminace jsou         2 1 −1 1 −3 1 −1 1 −3 1 −1 1 −3 0 2 1  3 −1 2 −3  ∼  0 2 1 2∼0 2 1 2∼0 2 1 2∼ 1 −1 1 −3 3 −1 2 −3 0 2 −1 6 0 0 −2 4 

1 −1 ∼0 2 0 0

  1 −3 1 −1 1 2∼0 2 1 −2 0 0

  0 −1 1 −1 0 4∼0 1 1 −2 0 0

   0 −1 1 0 0 1 0 2∼ 0 1 0 2 . 1 −2 0 0 1 −2

1.3. Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice Soustava ma´ tedy ˇresˇenı´

15



 1 x =  2 . −2

Ve veˇteˇ 1.20 na straneˇ 20 uka´zˇeme, zˇe Gaussova–Jordanova eliminace je mozˇna´ pra´veˇ tehdy, je-li vyćhozı´ matice regula´rnı´. Jizˇ nynı´ mu˚zˇeme doka´zat na´sledujıćı´ krite´rium o vlastnostech ˇresˇenı´ homogennı´ soustavy linea´rnıćh rovnic a pomocı´ neˇj pak du˚lezˇite´ krite´rium regula´rnosti matice. Veˇta 1.15 Soustava Ax = o se cˇtvercovou maticı´ A ma´ pouze nulove´ ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, je-li matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s troju´helnı´kovou maticı´ s nenulovy´mi diagona´lnı´mi prvky. Du˚kaz. Podle (1.7) je matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ jiste´ troju´helnı´kove´ matici T = (t ij ) n -te´ho ˇra´du. Jsou-li vsˇechny jejı´ diagona´lnı´ prvky nenulove´, pak Gaussova–Jordanova eliminace da´va´ jedine´ ˇresˇenı´, a to x = o. Pokud vsˇak pro neˇjake´ k je t kk = 0, pak v ekvivalentnı´ soustaveˇ Tx = o poslednıćh n − k rovnic splnı´me volbou xn−k = 0, . . . , xn = 0 a tyto hodnoty pak dosadı´me do prvnıćh k rovnic. Vznikne tak homogennı´ soustava s k − 1 nezna´my´mi, ktera´ ma´ podle prˇ´ıkladu 1.8 nenulove´ ˇresˇenı´. 4 Veˇta 1.16 Kazˇda´ regula´rnı´ matice je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Du˚kaz. Je-li A regula´rnı´ matice, pak po vyna´sobenı´ obou stran rovnice Ax = o maticı´ A −1 zleva dostaneme ekvivalentnı´ vztah x = o, tedy pro regula´rnı´ matice A ma´ soustava Ax = o pouze nulove´ ˇresˇenı´. Podle prˇedesˇle´ veˇty odtud plyne, zˇe A je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. 4

1.3 Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice Algoritmus Gaussovy eliminace je ve spojenı´ s veˇtami 1.1 a 1.2 rozsˇirˇitelny´ i na maticove´ rovnice typu AX = B, kde X je matice o vıće sloupcıćh. Jsou-li totizˇ X 1 , . . . Xn sloupce matice X a B1 , . . . , Bn sloupce matice B, pak podle uvedenyćh veˇt je rovnice AX = B ekvivalentnı´ n-tici rovnic AX1 = B1 , . . . , AXn = Bn . V kazˇde´ z teˇchto rovnic je nezna´mou vektor, jde tedy o soustavy tvaru (1.4), ktere´ mu˚zˇeme ˇresˇit Gaussovou eliminacˇnı´ metodou. Vzhledem k tomu, zˇe vsˇechny soustavy budou mı´t touzˇ matici soustavy A a jejich rozsˇ´ıˇrene´ matice se budou lisˇit pouze v poslednı´m sloupci, lze je upravovat spolecˇneˇ. Spolecˇnou matici vsˇech soustav A rozsˇ´ıˇr´ıme najednou o vsˇechny prave´ strany B1 , . . . , Bn , tedy o matici B a zjednodusˇ´ıme pomocı´ vhodnyćh elementa´rnıćh operacı´. Prˇ´ıklad 1.10 Rˇesˇte maticovou rovnici AX = B, kde    1 2 4 −1 0 A =  2 −1 3  a B =  −2 −5 −1 3 1 1 5

 4 3 . 1

Rˇesˇenı´. Matice X = (xij ) bude typu (3, 3); oznacˇ´ıme-li jejı´ sloupce X 1 , X2 , X3 , pak rovnice AX = B je ekvivalentnı´ trojici rovnic

AX1 = B1 ,

AX2 = B2 ,

AX3 = B3 ,

Kapitola 1

16

kde B1 , B2 , B3 jsou sloupce matice B. Gaussovu eliminacˇnı´ metodu pouzˇijeme na spolecˇnou rozsˇ´ırˇenou matici teˇchto trˇ´ı rovnic:       1 2 4 −1 0 4 1 2 4 −1 0 4 1 2 4 −1 0 4  2 −1 3 −2 −5 3  ∼  0 −5 −5 0 −5 −5  ∼  0 1 1 0 1 1  −1 3 1 1 5 1 0 5 5 0 5 5 0 0 0 0 0 0 Pro sloupec X1 = (x11 , x21 , x31 )T tedy platı´ x11 + 2x21 + 4x31 = −1 x21 + x31 = 0 Odtud vypocˇteme



 −1 − 2p , −p X1 =  p

p ∈ R.

Pro sloupec X2 = (x12 , x22 , x32 )T platı´

x12 + 2x22 + 4x32 = 0 x22 + x32 = 1, odkud



 −2 − 2q X2 =  1 − q , q

q ∈ R.

Pro sloupec X3 = (x13 , x23 , x33 )T platı´

x13 + 2x23 + 4x33 = 4 x23 + x33 = 1, odkud

Celkem





 2 − 2r X3 =  1 − r , r

r ∈ R.

 −1 − 2p −2 − 2q 2 − 2r −p 1−q 1 − r , X= p q r

p, q, r ∈ R.

Rˇesˇenı´ rovnice AX = B se vy´razneˇ zjednodusˇ´ı, je-li matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Pro rozsˇ´ıˇrenou matici (A | B) pak dostaneme (A | B) ∼ (E | C), cozˇ na za´kladeˇ veˇty 1.14 znamena´, zˇe pu˚vodnı´ rovnice AX = B je ekvivalentnı´ s rovnicı´ EX = C a tedy ma´ ˇresˇenı´ X = C. Vypocˇteme je Gaussovou–Jordanovou eliminacı´, anizˇ bychom museli oddeˇleneˇ ˇresˇit rovnice pro jednotlive´ sloupce matice X.

1.3. Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice

17

Prˇ´ıklad 1.11 Rˇesˇte maticovou rovnici AX = B, kde     −1 −6 4 2 −1 1 A =  1 2 −3  a B =  1 1 −2 . −2 −8 5 3 0 −2 Rˇesˇenı´. Jednotlive´ kroky Gaussovy–Jordanovy eliminace pro rozsˇ´ıˇrenou matici (A | B) ukazuje na´sledujıćı´ vy´pocˇet. 

   2 −1 1 −1 −6 4 1 1 −2 1 2 −3 (A | B) =  1 2 −3 1 1 −2  ∼  0 −5 7 −3 −8 8  ∼ 3 0 −2 −2 −8 5 0 −6 7 −5 −11 11   1 1 −2 1 2 −3 1 2 3 −3  ∼  0 ∼0 1 0 0 −5 7 −3 −8 8 0 



1 ∼0 0 Je tedy

2 1 0

2 −3 1 0 0 7

  1 −2 1 3 −3  ∼  0 7 −7 0

  4 −5 1 3 −3  ∼  0 1 −1 0

4 2 1

0 0 1

1 2 7

0 1 0

2 −3 1 0 0 1 0 0 1

1 2 1

 1 −2 3 −3  ∼ 1 −1

 0 −2 1 2 3 −3  = (E|X). 1 1 −1



 0 −2 1 X= 2 3 −3 . 1 1 −1

Podle veˇty 1.9 je inverznı´ matice k regula´rnı´ matici A ˇresˇenı´m rovnice AX = E. Ve spojenı´ s veˇtou 1.20, podle ktere´ kazˇda´ matice ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ je regula´rnı´, tak zı´ska´va´me ućˇinny´ zpu˚sob vy´pocˇtu inverznı´ matice: pomocı´ Gassovy–Jordanovy eliminace vyrˇesˇ´ıme maticovou rovnici AX = E. Prˇ´ıklad 1.12 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici 

2 A=1 6

 1 1 1 −1 . 4 1

Rˇesˇenı´. Rˇesˇme nejdrˇ´ıve rovnici AX = E : 

2 1 6

1 1 1 −1 4 1 

1 0 0

0 1 0

  0 1   0 ∼ 2 1 6

1 1 −1 0 1  0 −1 3 1 −2 0 0 1 −2 −2

1 −1 1 1 4 1

  0 1 1 0  ∼  0 −1 1 0 0

0 1 0

1 0 0

  0 1 1 −1   0 ∼ 0 −1 3 1 0 −2 7

  0 −2 −1 1 1 0 7 4 −3  ∼  0 1 −2 −2 1 0

0 1 1 −2 0 −6 0 1 0

 0 0∼ 1

 0 5 3 −2 0 −7 −4 3 . 1 −2 −2 1

Kapitola 1

18 Odtud



 5 3 −2 3 . X =  −7 −4 −2 −2 1

Protozˇe po vyna´sobenı´ vycha´zı´ XA = E, je

A−1



 5 3 −2 =  −7 −4 3 . −2 −2 1

Dodejme, zˇe podle veˇt 1.9 a 1.20, kterou doka´zˇeme na straneˇ 20, nenı´ kontrola soucˇinu XA trˇeba. Uvedena´ metoda ˇresˇenı´ maticovyćh rovnic tvaru AX = B se neda´ prˇ´ımo pouzˇ´ıt na rovnice, kde nezna´ma´ matice X je zna´mou maticı´ na´sobena z opacˇne´ strany, tedy na rovnice typu XA = B. Veˇty 1.1 a 1.2, na nichzˇ byl vy´pocˇet zalozˇen, totizˇ neumozˇnˇujı´ rozlozˇit soucˇin XA na jednotlive´ sloupce matice X a rozklad na sloupce matice A nema´ pro ˇresˇenı´ zˇa´dny´ vy´znam. Stacˇ´ı vsˇak prˇejı´t k rovnosti trasponovanyćh matic na obou stranaćh a pouzˇ´ıt veˇtu 1.7; rovnice pak prˇejde do tvaru A T XT = BT , na kterou jizˇ lze metodu zalozˇenou na ˇra´dkovyćh u´pravaćh rozsˇ´ıˇrene´ matice (A T | BT ) pouzˇ´ıt. Vypocˇteme tak matici X T , z nı´zˇ po transpozici zı´ska´me X. Prˇ´ıklad 1.13 Rˇesˇte rovnici XA = B, kde 3 −2 A= −1 2

a

B=

2 0 5 −2

.

Rˇesˇenı´. „Transponovana´“ rovnice A T XT = BT ma´ rozsˇ´ıˇrenou matici T

T

(A | B ) =

5 3 −1 2 −2 2 0 −2

,

pro nı´zˇ postupneˇ dosta´va´me

3 −1 2 5 −2 2 0 −2

∼

3 −1 2 5 0 4 4 4

Je tedy

X=

∼

1 1 2 1

3 0 3 6 0 1 1 1

∼

1 0 1 2 0 1 1 1

.

.

Na uvedene´ dva typy maticovyćh rovnic lze pak u´pravami, zalozˇeny´mi na vztazıćh z veˇt 1.3 a 1.4, prˇeve´st celou ˇradu dalsˇ´ıch maticovyćh rovnic. Postup ilustrujeme prˇ´ıkladem. Prˇ´ıklad 1.14 Rˇesˇte maticovou rovnici 2 AX − B = A + X, kde    2 −2 1 −5 A= 1 1 1  a B= 0 1 0 0 2

 4 −1 4 −6 . 4 2

1.4. Elementa´rnı´ matice

19

Rˇesˇenı´. Rovnici upravı´me na tvar 2 AX − X = A + B, odkud vytknutı´m dostaneme (2 A − E)X = A + B. Vzniklou rovnici lze po vy´pocˇtu matic 2 A − E a A + B ˇresˇit Gaussovou–Jordanovou eliminacı´:     3 −4 2 −3 2 0 2A − E =  2 1 2 , A+B=  1 5 −5 ; 2 0 −1 3 4 2       3 4 2 1 2 0 2 0 −1 1 0 0 3 −4 2 −3 2 0 2 1 2 1 5 −5  ∼  0 1 3 −2 1 −7  ∼  0 1 0 1 1 −1 . 2 0 −1 0 0 31 −31 0 −62 0 0 1 −1 0 −2 3 4 2

Je tedy



1 X= 1 −1

 2 0 1 −1 . 0 −2

1.4 Elementa´rnı´ matice Elementa´rnı´ operace byly pu˚vodneˇ zavedeny jako pocˇetnı´ prostrˇedek pro zjednodusˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic a pak rozsˇ´ıˇreny i na matice. Nynı´ uvidı´me, zˇe kazˇdou ze trˇ´ı elementa´rnıćh operacı´ bude mozˇne´ ekvivalentneˇ nahradit na´sobenı´m vhodneˇ zvolenou maticı´. Definice. Matici L nazy´va´me elementa´rnı´, jestlizˇe vznikla neˇjakou elementa´rnı´ operacı´ z jednotkove´ matice. Podobneˇ jako elementa´rnı´ operace je mozˇne´ i elementa´rnı´ matice rozdeˇlit na ˇra´dkove´ a sloupcove´. Prˇi ˇresˇenı´ maticovyćh rovnic obvykle vystacˇ´ıme s ˇra´dkovy´mi u´pravami a tedy i s ˇra´dkovy´mi elementa´rnı´mi maticemi. Prˇ´ıvlastek ˇra´dkova´ budeme proto v teˇchto situacıćh vynecha´vat. Veˇta 1.17 Necht’ L1 je elementa´rnı´ matice m-te´ho ˇra´du, ktera´ vznikla elementa´rnı´ ˇra´dkovou operacı´ O1 , necht’ L2 je elementa´rnı´ matice n-te´ho ˇra´du, ktera´ vznikla elementa´rnı´ sloupcovou operacı´ O 2 a necht’ A je matice typu (m, n). Pak L1 A je matice, ktera´ vznikne z matice A ˇra´dkovou operacı´ O 1 a AL2 je matice, ktera´ vznikne z matice A sloupcovou operacı´ O 2 . Kazˇdou elementa´rnı´ rˇa´dkovou operaci lze tedy ekvivalentneˇ nahradit vyna´sobenı´m odpovı´dajıćı´ elementa´rnı´ maticı´ zleva a kazˇdou elementa´rnı´ sloupcovou operaci lze ekvivalentneˇ nahradit vyna´sobenı´m odpovı´dajıćı´ elementa´rnı´ maticı´ zprava. Du˚kaz. Stacˇ´ı pouze vypocˇ´ıst soucˇiny L 1 A a AL2 pro jednotlive´ elementa´rnı´ matice. Tento snadny´ u´kon prˇenecha´va´me cˇtena´ˇri. 4 Prˇ´ıklad 1.15 

 1 0 0 L1 =  2 1 0  , 0 0 1



 0 1 0 L2 =  1 0 0 , 0 0 1



 1 0 0 L3 =  0 1 0  0 0 4

a



 1 0 0 L4 =  0 1 3  0 0 1

jsou prˇ´ıklady elementa´rnıćh matic trˇetı´ho ˇra´du. Matice L 1 reprezentuje prˇicˇtenı´ dvojna´sobku prvnı´ho ˇra´dku ke druhe´mu, matice L2 prohozenı´ prvnı´ho a druhe´ho ˇra´dku, matice L 3 vyna´sobenı´ trˇetı´ho ˇra´dku cˇtyrˇmi, matice L4 prˇicˇtenı´ trojna´sobku druhe´ho sloupce ke sloupci trˇetı´mu.

Kapitola 1

20

Z veˇty 1.17 bezprostrˇedneˇ plyne na´sledujıćı´ tvrzenı´. Pomocı´ neˇj budeme moci odvodit du˚lezˇitou a snadno oveˇˇritelnou podmıńku pro to, kdy je matice ˇra´dkoveˇ (prˇ´ıpadneˇ sloupcoveˇ) ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Veˇta 1.18 Matice A je ˇra´dkoveˇ (resp. sloupcoveˇ) ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ pra´veˇ tehdy, je-li soucˇinem ˇra´dkovyćh (resp. sloupcovyćh) elementa´rnıćh matic. Vzhledem k tomu, zˇe ke kazˇde´ elementa´rnı´ operaci existuje operace inverznı´, ktera´ je opeˇt elementa´rnı´ operacı´, neprˇekvapı´, zˇe kazˇda´ elementa´rnı´ matice je regula´rnı´. Veˇta 1.19 Kazˇda´ elementa´rnı´ matice je regula´rnı´ a matice k nı´ inverznı´ je opeˇt elementa´rnı´. Du˚kaz. Pro zjednodusˇenı´ za´pisu uvedeme pouze inverznı´ matice k teˇm elementa´rnı´m maticı´m, ktere´ reprezentujı´ operace s prvnı´m nebo druhy´m ˇra´dkem: 

  L1 =  



  L3 =  

1 α .. .

0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1 

  L2 =   α 0 .. .



  L−1 =  1 

  , 

0 1 .. .

1 ... 0 ... .. . . . . 0 0 ...

0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1





  , 

0 0 .. . 1



  , 

1 −α .. .

0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1

    

L−1 2 = L2 . 

  = L−1  3 

Analogicky vypocˇteme inverznı´ matice i pro ostatnı´ prˇ´ıpady.

1/α 0 .. . 0

0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 ... 1



  . 

4

Veˇta 1.20 Cˇtvercova´ matice A je regula´rnı´ pra´veˇ tehdy, je-li ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. Du˚kaz. Necht’ matice A je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ E. Pak je podle veˇty 1.18 soucˇinem ˇra´dkovyćh elementa´rnıćh matic, ktere´ jsou na za´kladeˇ veˇty 1.19 regula´rnı´. Protozˇe soucˇin regula´rnıćh matic je opeˇt regula´rnı´ matice (veˇta 1.12, strana 10), je i matice A regula´rnı´. Obraćeneˇ, je-li A regula´rnı´ matice, pak je podle veˇty 1.16 ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´. 4 Spojenı´m poslednı´ veˇty s veˇtou 1.18 pak dostaneme dalsˇ´ı charakterizaci regula´rnıćh matic. Veˇta 1.21 Kazˇda´ regula´rnı´ matice je soucˇinem konecˇneˇ mnoha elementa´rnıćh matic.

1.5. Cvicˇenı´

21

1.5 Cvicˇenı´ 1.1 Pro matici

R(α) =

cos α − sin α sin α cos α

vypocˇteˇte R2 (α) a inverznı´ matici R−1 (α) a ukazˇte, zˇe R2 (α) = R(2α) a R−1 (α) = R(−α). 1.2 Odu˚vodneˇte, zˇe soucˇinem diagona´lnıćh matic A = diag(a 1 , . . . , an ) a B = diag(b1 , . . . , bn ) je diagona´lnı´ matice C = diag(a1 b1 , . . . , an bn ). Da´le ukazˇte, zˇe Ak = diag(a1k , . . . , ank ). 1.3 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k diagona´lnı´ matici D = diag(d 1 , . . . , dn ), kde di 6 = 0, i = 1, . . . , n. 1.4 Odu˚vodneˇte, zˇe soucˇinem dvou hornıćh (resp. dolnıćh) troju´helnı´kovyćh matic stejne´ho ˇra´du je opeˇt matice hornı´ (resp. dolnı´) troju´helnı´kova´. 1.5 Ukazˇte, zˇe pro libovolnou matici A jsou matice A A T a AT A symetricke´. 1.6 Pro matici



   S=  

n-te´ho ˇra´du vypocˇteˇte S2 , S3 , . . . , Sn .

0 1 0 .. .

0 0 1 .. .

··· ··· ··· .. .

0 0 0 .. .

1 0 1 .. .

0 0 ··· 1 0

      

1.7 Necht’ A je libovolna´ cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du, jejı´zˇ ˇra´dky jsou a 1 , a2 , . . . , an a necht’   0 1 0 ... 0  0 0 1 ... 0    .   . . . . U =  .. .. .. . . ..     0 0 0 ... 1  0 0 0 ... 0 je rovneˇzˇ n-te´ho ˇra´du. Prˇesveˇdcˇte se, zˇe matice UA ma´ ˇra´dky a 2 , a3 , . . . , an , o. 1.8 Vypocˇteˇte vsˇechny matice B, pro ktere´ AB = B A, kde 1 1 A= . 0 2 1.9 Ukazˇte prˇ´ıklad cˇtvercovyćh matic A, B, pro ktere´ (A + B) 2 6 = A2 + 2AB + B2 . 1.10 Odu˚vodneˇte, zˇe pokud pro dveˇ symetricke´ matice A a B platı´ AB = B A, pak soucˇin AB bude opeˇt symetrickou maticı´. Da´le uved’te prˇ´ıklad takovyćh symetrickyćh matic, jejichzˇ soucˇin nebude symetrickou maticı´. 1.11 Ukazˇte, zˇe pokud jsou A a B regula´rnı´ komutujıćı´ matice, potom jsou i A −1 a B−1 komutujıćı´. 1.12 Ukazˇte, zˇe pro soucˇin matice A typu (m, n), jejı´zˇ sloupce jsou a 1 , a2 , . . . , an a sloupcove´ho vektoru b = (b1 , b2 , . . . , bn )T platı´

Ab = b1 a1 + b2 a2 + · · · + bn an .

Kapitola 1

22 1.13 Ukazˇte, zˇe pokud pro matici A platı´ A 2 − A + E = O, pak A je regula´rnı´. 1.14 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici A, je-li:   0 0 0 1 0 0 1 0   a) A =   0 1 0 0 , b) 1 0 0 0



 −1 1 1 1  1 −1 1 1   A=  1 1 −1 1 . 1 1 1 −1

1.15 Vypocˇteˇte inverznı´ matici k matici A sude´ho ˇra´du, je-li:

a)



  A=  

1 0 0 .. . 0

1 1 0 .. . 0

1 1 1 .. . 0

··· ··· ··· .. . ···

1 1 1 .. . 1



  ,  

b)



  A=  

1 0 0 .. . 0

1 1 0 .. . 0

0 1 1 .. . 0

··· ··· ··· .. . ···

0 0 0 .. .

0 0 0 .. .

0 0 0 .. . 1



  .  

ˇ esˇenı´ 1.6 R 1.3 D−1 = diag(1/d1 , . . . , 1/dn ). T 1.5 Podle veˇty 1.7 je AT A = AT A.   0 0 ··· 0 1 0  0 0 ··· 0 0 1     1 0 ··· 0 0 0    1.6 S2 =  0 1 · · · 0 0 0 , . . . ,    .. .. . . .. .. ..   . . . . . .  0 0 ··· 1 0 0 a b 1.8 , a, b ∈ R. 0 a+b



0 0 0 .. .

1 0 0 .. .

0 1 0 .. .

1.9 Libovolne´ dveˇ matice, pro neˇzˇ AB 6 = B A, naprˇ. A =

1 1 0 2

Sn−1

... ... ... .. .

    =    0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 0

,



    ,   

B=

Sn = S.

1 1 1 1

.

1.10 (AB)T = BT AT = BA = AB. 1.11 A−1 B−1 = (BA)−1 = (AB)−1 = B−1 A−1 . 1.13 Vypocˇteˇte A(E − A). 1.14 a) A−1 = A; 

1.15 a) A

−1

  =  

b) A−1 = 41 A. 1 −1 0 ··· 0 0 1 −1 · · · 0 0 0 1 ··· 0 .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0 ··· 1

     

b) A

−1



  =  

 1 −1 1 −1 · · · −1 0 1 −1 1 ··· 1   0 0 1 −1 · · · −1  . .. .. .. .. . . ..  . . . . . . 0 0 0 0 ··· 1

Kapitola 2

Vektory a vektorove´ prostory

Jednorˇa´dkove´ a jednosloupcove´ matice jsme v prˇedcha´zejıćı´ kapitole nazvali vektory. Rˇ a´dky a sloupce matic lze tedy rovneˇzˇ povazˇovat za vektory. Vlastnostmi vektoru˚ se nynı´ budeme zaby´vat a vyuzˇijeme jich pro doplneˇnı´ dalsˇ´ıch vlastnostı´ matic. Neomezı´me se vsˇak pouze na tento specia´lnı´ typ vektoru˚. Zavedeme pojem obecne´ho vektorove´ho prostoru tak, aby zahrnoval pro na´s nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı prˇ´ıpady ˇra´dkovyćh a sloupcovyćh cˇ´ıselnyćh vektoru˚ a zachoval prˇitom jejich hlavnı´ prˇednost, tedy mozˇnost popsat kazˇdy´ vektor pomocı´ „sourˇadnic“. Rea´lny´ vektorovy´ prostor V je nepra´zdna´ mnozˇina prvku˚, nazy´vanyćh vektory, ve ktere´ je definovańa operace scˇ´ıtańı´, ktera´ kazˇde´ dvojici vektoru˚ u ∈ V , v ∈ V prˇirˇazuje vektor u+v ∈ V a operace na´sobenı´ vektoru˚ rea´lny´m cˇ´ıslem, ktera´ kazˇde´ dvojici α ∈ R, u ∈ V prˇirˇazuje vektor α u ∈ V , prˇicˇemzˇ tyto operace majı´ na´sledujıćı´ vlastnosti. (1) u + v = v + u pro vsˇechna u, v ∈ V . (2) (u + v) + w = u + (v + w) pro vsˇechna u, v, w ∈ V . (3) Existuje vektor o ∈ V , zvany´ nulovy´ vektor, tak, zˇe v + o = v pro vsˇechna v ∈ V . (4) Ke kazˇde´mu vektoru v ∈ V existuje jednoznacˇneˇ urcˇeny´ vektor −v tak, zˇe v + (−v) = o. (5) (α β) v = α (β v) pro vsˇechna α, β ∈ R a vsˇechna v ∈ V . (6) 1 v = v pro vsˇechna v ∈ V . (7) (α + β) v = α v + β v pro vsˇechna α, β ∈ R a vsˇechna v ∈ V . (8) α (u + v) = α u + α v pro vsˇechna α ∈ R a vsˇechna u, v ∈ V . Analogicky se definuje komplexnı´ vektorovy´ prostor. Vlastnosti rea´lnyćh a komplexnıćh vektorovyćh prostoru˚ budeme vysˇetrˇovat najednou pod spolecˇny´m na´zvem vektorovy´ prostor. Termıń cˇ´ıslo pak bude v prˇ´ıpadeˇ rea´lne´ho vektorove´ho prostoru znamenat rea´lne´ cˇ´ıslo, v prˇ´ıpadeˇ komplexnı´ho vektorove´ho prostoru cˇ´ıslo komplexnı´. Cˇ´ısla budeme take´ nazy´vat skala´ry. Operace scˇ´ıtańı´ vektoru˚ a na´sobenı´ vektoru˚ cˇ´ısly umozˇnˇujı´ zave´st pojem linea´rnı´ kombinace vektoru˚. Jsou-li α1 , . . . , αn libovolna´ cˇ´ısla a v1 , . . . , vn libovolne´ vektory, pak vektor α1 v1 + · · · + α n vn nazy´va´me linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ v 1 , . . . , vn (s koeficienty α1 , . . . , αn ). 23

Kapitola 2

24

Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ımi prˇ´ıklady vektorovyćh prostoru˚ jsou prostory rea´lnyćh a komplexnıćh n-rozmeˇrnyćh aritmetickyćh vektoru˚. Jimi rozumı´me n-tice rea´lnyćh nebo komplexnıćh cˇ´ısel ve sloupcove´m usporˇa´dańı´, tedy matice typu (n, 1) se scˇ´ıtańı´m definovany´m stejneˇ jako pro matice typu (n, 1) a na´sobenı´m cˇ´ısly take´ definovany´m jako u matic typu (n, 1). Veˇty 1.3 a 1.4 zajisˇt’ujı´ splneˇnı´ vsˇech vlastnostı´ (1)–(8) z definice vektorove´ho prostoru. Prostor rea´lnyćh aritmetickyćh vektoru˚ znacˇ´ıme R n a prostor komplexnıćh aritmetickyćh vektoru˚ znacˇ´ıme C n . Prˇ´ıklad 2.1 Uved’me jesˇteˇ neˇkolik dalsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ vektorovyćh prostoru˚. U vsˇech jsou operace scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ cˇ´ıslem zavedeny jizˇ drˇ´ıve a splnˇujı´ vlastnosti (1)–(8) z definice vektorove´ho prostoru. a) Mnozˇina vsˇech rea´lnyćh matic typu (m, n) tvorˇ´ı rea´lny´ vektorovy´ prostor. b) Mnozˇina P vsˇech polynomu˚ s rea´lny´mi koeficienty tvorˇ´ı rea´lny´ vektorovy´ prostor, mnozˇina vsˇech polynomu˚ s komplexnı´mi koeficienty tvorˇ´ı komplexnı´ vektorovy´ prostor. c) Mnozˇina vsˇech rea´lnyćh (resp. komplexnıćh) funkcı´ se spolecˇny´m definicˇnı´m oborem tvorˇ´ı rea´lny´ (resp. komplexnı´) vektorovy´ prostor. Pokud je podmnozˇina W vektorove´ho prostoru V take´ vektorovy´m prostorem, budeme ji nazy´vat podprostorem vektorove´ho prostoru V . Ekvivalentneˇ to vyjadrˇuje na´sledujıćı´ definice. Definice. Podmnozˇinu W vektorove´ho prostoru V nazveme jeho podprostorem, pokud ma´ tyto vlastnosti: (a) o ∈ W, (b) pro vsˇechny vektory u, v ∈ W je u + v ∈ W, (c) pro kazˇdy´ skala´r α a kazˇdy´ vektor v ∈ W je α v ∈ W. Prˇ´ıklad 2.2 Snadno rozpoznatelne´ jsou na´sledujıćı´ prˇ´ıklady podprostoru˚. a) Mnozˇina Pn vsˇech polynomu˚ stupneˇ mensˇ´ıho nebo rovne´ho n je podprostorem vektorove´ho prosoru P vsˇech polynomu˚. b) Mnozˇina vsˇech symetrickyćh matic n-te´ho ˇra´du je podprostorem vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovyćh matic ˇra´du n. c) Mnozˇina vsˇech spojityćh funkcı´ na intervalu ha, bi je podprostorem vektorove´ho prostoru vsˇech funkcı´ definovanyćh na ha, bi. Prˇ´ıklad 2.3 Vy´znamny´m prˇ´ıkladem podprostoru je mnozˇina vsˇech ˇresˇenı´ libovolne´ homogennı´ soustavy linea´rnıćh rovnic. Pro matici A typu (m, n) a vektor b ∈ R m oznacˇme N(A) = {x ∈ Rn : Ax = o}. Pak (a) evidentneˇ o ∈ N(A); (b) jsou-li x, y ∈ N(A), pak Ax = o a Ay = o, odkud secˇtenı´m a vytknutı´m dosta´va´me A(x + y) = o, tedy x + y ∈ N(A); (c) je-li α ∈ R a x ∈ N(A), pak Ax = o, odkud α Ax = A(α x) = o, tedy α x ∈ N(A).

N(A) je tedy podprostorem Rn . Nazy´va´ se nulovy´m prostorem nebo ja´drem matice A.

2.1. Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚

25

2.1 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚ Klıćˇovy´m pojmem pro vysˇetrˇovańı´ vlastnostı´ vektoru˚ je jejich linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost. Definice. Vektory v1 , v2 , . . . , vn nazy´va´me linea´rneˇ za´visle´, pokud existujı´ cˇ´ısla α 1 , α2 , . . . , αn tak, zˇe asponˇ jedno z nich je ru˚zne´ od nuly a α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn = o.

(2.1)

V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ se vektory v1 , v2 , . . . , vn nazy´vajı´ linea´rneˇ neza´visle´. Vektory v1 , v2 , . . . , vn jsou tedy linea´rneˇ neza´visle´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ rovnost (2.1) platı´ pouze pro α1 = α2 = · · · = αn = 0. Prˇ´ıklad 2.4 Vektory



 2 v1 =  0  0



 1 v2 =  3  0

jsou linea´rneˇ neza´visle´, nebot’ rovnost



 2 v3 =  4  −2

α1 v1 + α 2 v2 + α 3 v3 = o vede na soustavu 2α1 + α2 + 2α3 = 0 3α2 + 4α3 = 0 − 2α3 = 0, jejı´mzˇ jediny´m ˇresˇenı´m je α1 = α2 = α3 = 0. Naopak, vektory

     −3 −1 1 v1 =  2  v2 =  2  v3 =  −2  1 3 1 

jsou linea´rneˇ za´visle´, nebot’ rovnost (2.2) vede na soustavu

α1 − α2 − 3α3 = 0 2α1 + 2α2 − 2α3 = 0 α1 + 3α2 + α3 = 0 s nenulovy´m ˇresˇenı´m α1 = 2t,

α2 = −t,

α3 = t,

t ∈ R.

(2.2)

Kapitola 2

26

x2 e2

3

6

x = x 1 e1 + x 2 e2

6

e2 -

-

e1

x1 e1

Obr. 2.1 Sourˇadna´ soustava a sourˇadnice v R 2

2.2 Sourˇadna´ soustava a ba´ze V kazˇde´m vektorove´m prostoru je mozˇne´ zave´st sourˇadnou soustavu a prvky vektorove´ho prostoru pak popisovat sourˇadnicemi. Jako motivace pro zavedenı´ sourˇadne´ soustavy v obecne´m vektorove´m prostoru na´m mu˚zˇe slouzˇit prostor R2 . Nejcˇasteˇji pouzˇ´ıvanou sourˇadnou soustavu tam reprezentujı´ dva vektory e1 a e2 a kazˇdy´ vektor x ∈ R2 je mozˇne´ vyja´drˇit jako jejich linea´rnı´ kombinaci:

x = x 1 e1 + x 2 e2 . Koeficienty x1 , x2 v te´to linea´rnı´ kombinaci jsou pak sourˇadnicemi vektoru x v sourˇadne´ soustaveˇ E = (e1 , e2 ) a vektor x jednoznacˇneˇ popisujı´ – viz obr. 2.1. Tata´zˇ mysˇlenka je pouzˇitelna´ v libovolne´m vektorove´m prostoru V . Sourˇadna´ soustava bude tvoˇrena takovy´mi vektory b1 , b2 , . . . , bn , ktere´ umozˇnı´ vyja´drˇit libovolny´ vektor x jako jejich linea´rnı´ kombinaci, a to jednoznacˇny´m zpu˚sobem:

x = x 1 b1 + x 2 b2 + · · · + x n bn .

(2.3)

To znamena´, zˇe mnozˇina vsˇech linea´rnıćh kombinacı´ vektoru˚ b 1 , b2 , . . . , bn musı´ sply´vat s V a navıć musı´ by´t pro kazˇdy´ vektor x ∈ V koeficienty x 1 , x2 , . . . , xn ve vyja´drˇenı´ (2.3) urcˇeny jednoznacˇneˇ. Prˇesveˇdcˇme se, zˇe tuto jednoznacˇnost zajistı´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ b 1 , b2 , . . . , bn . Prˇedpokla´dejme, zˇe pro linea´rneˇ neza´visle´ vektory b 1 , b2 , . . . , bn a vektor x ∈ V platı´

x = x 1 b1 + x 2 b2 + · · · + x n bn = y 1 b1 + y 2 b2 + · · · + y n bn . Pak (x1 − y1 )b1 + (x2 − y2 )b2 + · · · + (xn − yn )bn = o.

(2.4)

Odsud podle definice linea´rnı´ neza´vislosti (strana 25) plyne, zˇe vsˇechny koeficienty v linea´rnı´ kombinaci na leve´ straneˇ (2.4) musı´ by´t rovny nule: x1 − y1 = 0, x2 − y2 = 0, . . . , xn − yn = 0,

tedy

x1 = y 1 , x 2 = y 2 , . . . , x n = y n . Pro zjednodusˇenı´ formulace definice sourˇadne´ soustavy zaved’me nejdrˇ´ıve pojem linea´rnı´ho obalu.

2.2. Sourˇadna´ soustava a ba´ze

27

Definice. Jsou-li v1 , . . . , vn vektory z vektorove´ho prostoru V , pak jejich linea´rnı´m obalem nazy´va´me mnozˇinu vsˇech jejich linea´rnıćh kombinacı´, tedy mnozˇinu vsˇech vektoru˚ tvaru α 1 v1 + · · · + αn vn , kde α1 , . . . , αn jsou libovolna´ cˇ´ısla. Znacˇ´ıme jej hv1 , . . . , vn i. Veˇta 2.1 Jsou-li v1 , . . . , vn vektory z vektorove´ho prostoru V , pak linea´rnı´ obal W = hv 1 , . . . , vn i je podprostorem V . Du˚kaz. Oveˇˇr´ıme, zˇe W ma´ vsˇechny trˇi vlastnosti z definice podprostoru (strana 24). (a) o ∈ W, nebot’ o = 0 · v1 + · · · + 0 · vn . (b) Pokud u, v ∈ W, pak existujı´ cˇ´ısla α 1 , . . . αn , β1 , . . . , βn , tak, zˇe u = α1 v1 + · · · + αn vn a v = β1 v1 + · · · + βn vn , odkud u + v = (α1 + β1 )v1 + · · · + (αn + βn )vn , cozˇ znamena´, zˇe u + v ∈ W. (c) Je-li u ∈ W, pak u = α1 v1 + · · · + αn vn pro jista´ cˇ´ısla α1 , . . . αn , odkud pro libovolne´ cˇ´ıslo β plyne β u = βα1 v1 + · · · + βαn vn a tedy β u ∈ W. 4 Definice. Usporˇa´danou mnozˇinu vektoru˚ B = (b 1 , . . . , bn ) nazy´va´me sourˇadnou soustavou nebo ba´zı´ ve vektorove´m prostoru V , je-li B linea´rneˇ neza´visla´ a hBi = V . Na´zev sourˇadna´ soustava se pouzˇ´ıva´ te´meˇˇr vy´hradneˇ v geometrickyćh u´vahaćh, kdezˇto ba´ze se va´zˇe spı´sˇe k algebraicke´mu prostrˇedı´. Jde vsˇak o naprosto ekvivalentnı´ pojmy. Nasˇe definice je omezena pouze na prˇ´ıpad ba´zı´ o konecˇneˇ mnoha prvcıćh; vektorove´ prostory, v nichzˇ existuje konecˇna´ ba´ze, se nazy´vajı´ konecˇneˇ dimenziona´lnı´. Pokud nebude v dalsˇ´ım uvedeno jinak, budeme pod pojmem vektorovy´ prostor vzˇdy rozumeˇt konecˇneˇ dimenziona´lnı´ vektorovy´ prostor. Prˇ´ıklad 2.5 Ba´zi vektorove´ho prostoru R n tvorˇ´ı vektory     0 1 1  0        e1 =   0. , e2 =  0. , · · · ,  ..   ..  0 0



  en =   

0 0 0. .. 1



  .  

Jejich linea´rnı´ neza´vislost je patrna´ ihned a kazˇdy´ vektor x = (x 1 , . . . xn )T ∈ Rn mu˚zˇeme vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci x = x 1 e1 + · · · + x n en . Je tedy he1 , . . . en i = Rn a vektory e1 , . . . en tvorˇ´ı ba´zi Rn . Tuto ba´zi budeme nazy´vat standardnı´. Ota´zku existence ba´ze ve vektorove´m prostoru v podstateˇ ˇresˇ´ı tvrzenı´, zˇe kazˇdou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu lze doplnit na ba´zi. I kdyzˇ platı´ pro libovolny´ vektorovy´ prostor, na´sˇ du˚kaz bude omezen pouze na prostory konecˇne´ dimenze. Veˇta 2.2 Necht’ S je linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚ ve vektorove´m prostoru V . Pak existuje mnozˇina S1 ⊂ V tak, zˇe S ∪ S1 je ba´zı´ prostoru V .

Kapitola 2

28

Du˚kaz. Necht’ S ⊂ V je linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚. Pokud je S ba´zı´ V , vezmeme S 1 = ∅ a jsme hotovi. Nenı´-li S ba´zı´ V , pak hSi 6 = V a ve V tedy existuje asponˇ jeden nenulovy´ prvek u 1 , ktery´ nelezˇ´ı v hSi. Protozˇe u1 nenı´ linea´rnı´ kombinacı´ prvku˚ mnozˇiny S, je mnozˇina S 1 = S ∪ {u1 } linea´rneˇ neza´visla´. Pokud je hS 1 i = V , jsme hotovi. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ opakujeme prˇedchozı´ postup. Po konecˇneˇ mnoha krocıćh tak dospeˇjeme k ba´zi prostoru V . 4 Za´kladnı´ motivacı´ pro definici ba´ze vektorove´ho prostoru byl pozˇadavek popisovat vektory pomocı´ jejich sourˇadnic – viz vztah (2.3). Mu˚zˇeme tedy vyslovit forma´lnı´ definici sourˇadnic vektoru vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi (to je ba´zi s pevneˇ urcˇeny´m porˇadı´m jejıćh prvku˚). Definice. Necht’ B = (b1 , . . . , bn ) je usporˇa´dana´ ba´ze vektorove´ho prostoru V . Sourˇadnicemi vektoru x ∈ V v ba´zi B nazy´va´me usporˇa´danou n-tici cˇ´ısel (x 1 , . . . , xn ), pro ktera´ platı´

x = x 1 b1 + · · · + x n bn . Sourˇadnice jsou tedy aritmeticke´ vektory a na za´kladeˇ u´vahy prˇed definicı´ ba´ze (strana 26) jsou v dane´ ba´zi urcˇeny jednoznacˇneˇ. Je vsˇak zrˇejme´, prˇi zmeˇneˇ ba´ze dojde i ke zmeˇneˇ sourˇadnic. Pokud bude trˇeba zdu˚raznit k jake´ ba´zi jsou sourˇadnice vektoru x vztazˇeny, pouzˇijeme na´sledujıćı´ho oznacˇenı´:   x1 (2.5) [x]B =  ... . xn Vektor na prave´ straneˇ (2.5) budeme nazy´vat vektor sourˇadnic x a vzhledem k dalsˇ´ımu vyuzˇitı´ jej budeme vzˇdy zapisovat jako sloupec.

Prˇ´ıklad 2.6 Ze prˇ´ıkladu (2.5) vyply´va´, zˇe ve standardnı´ ba´zi E prostoru R n platı´ pro kazˇdy´ vektor x = (x1 , . . . , xn )T   x1 [x]E =  ... . xn Nynı´ uka´zˇeme, zˇe ve vektorove´m prostoru s n-prvkovou ba´zı´ nemu˚zˇe existovat vıće nezˇ n linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚. Na za´kladeˇ tohoto tvrzenı´ pak odvodı´me, zˇe vsˇechny ba´ze vektorove´ho prostoru majı´ stejny´ pocˇet prvku˚, cozˇ umozˇnı´ zave´st pojem dimenze vektorove´ho prostoru.

Veˇta 2.3 Necht’ V je vektorovy´ prostor s ba´zı´ b1 , . . . , bn a necht’ v1 , . . . , vm , kde m > n, jsou libovolne´ vektory z V . Pak v1 , . . . , vm jsou linea´rneˇ za´visle´. Du˚kaz. Z vlastnostı´ ba´ze vyply´va´, zˇe kazˇdy´ z vektoru˚ v 1 , . . . , vm lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci vektoru˚ b1 , . . . , bn . Bude tedy

v1 = a11 b1 + · · · + an1 bn

v2 = a12 b1 + · · · + an2 bn .. . vm = a1m b1 + · · · + anm bn . Uvazˇme nynı´, kdy bude α1 v1 + · · · + αm vm = o.

(2.6)

2.2. Sourˇadna´ soustava a ba´ze

29

Dosazenı´m do tohoto vztahu za v1 , . . . , vm z (2.6) dostaneme po u´praveˇ (a11 α1 + · · · + a1m αm ) b1 + · · · + (an1 α1 + · · · + anm αm ) bn = o. Protozˇe vektory b1 , . . . , bn jsou linea´rneˇ neza´visle´, musı´ by´t vsˇechny koeficienty v te´to linea´rnı´ kombinaci rovny nule: a11 α1 + · · · + a1m αm = 0 .. . an1 α1 + · · · + anm αm = 0. V te´to homogennı´ soustaveˇ n rovnic pro m nezna´myćh α 1 , . . . αm je m > n , takzˇe podle prˇ´ıkladu (1.8) ma´ tato soustava nenulove´ ˇresˇenı´. To vsˇak znamena´ zˇe vektory v 1 , . . . , vm jsou linea´rneˇ za´visle´. 4 Veˇta 2.4 Kazˇde´ dveˇ ba´ze vektorove´ho prostoru V majı´ ty´zˇ pocˇet prvku˚. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe b1 , . . . , bn a c1 , . . . , cm jsou libovolne´ dveˇ ba´ze prostoru V . Protozˇe vektory kazˇde´ z ba´zı´ jsou linea´rneˇ neza´visle´, dosta´va´me dvojna´sobny´m pouzˇitı´m prˇedcha´zejıćı´ veˇty m≤n a

n ≤ m.

Odtud plyne, zˇe m = n a obeˇ ba´ze majı´ stejny´ pocˇet prvku˚.

4

I kdyzˇ ba´ze vektorove´ho prostoru nenı´ nikdy urcˇena jednoznacˇneˇ, neza´visı´ pocˇet jejıćh prvku˚ na jejı´m vy´beˇru. Na´sledujıćı´ definice je tedy korektnı´. Definice. Pocˇet prvku˚ ba´ze vektorove´ho prostoru V nazy´va´me dimenzı´ V a znacˇ´ıme dim V . Prˇipomenˇme znovu, zˇe jsme se omezili pouze na ty vektorove´ prostory, v nichzˇ existujı´ ba´ze o konecˇneˇ mnoha prvcıćh. Z veˇty 2.3 vyply´va´, zˇe dimenze vektorove´ho prostoru V je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚ ve V . Prˇ´ıklad 2.7 Z prˇ´ıkladu 2.5 dosta´va´me te´meˇˇr samozrˇejmy´ vy´sledek: dim R n = n. Na za´veˇr tohoto odstavce jesˇteˇ doka´zˇeme, zˇe prˇi zna´me´ dimenzi vektorove´ho prostoru je nalezenı´ jeho ba´ze vy´razneˇ jednodusˇsˇ´ım proble´mem a da´le dveˇ veˇty o zachovańı´ linea´rnı´ za´vislosti, resp. neza´vislosti prˇi na´sobenı´ maticı´. Veˇta 2.5 Necht’ V je vektorovy´ prostor dimenze n a necht’ v1 , . . . , vn jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory z V . Pak vektory v1 , . . . , vn tvorˇ´ı ba´zi V . Du˚kaz. Vzhledem k linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ v 1 , . . . , vn stacˇ´ı uka´zat, zˇe jejich linea´rnı´ obal je roven V . Polozˇme W = hv1 , . . . , vn i a ukazˇme, zˇe W = V . Je zrˇejme´, zˇe W ⊂ V , takzˇe stacˇ´ı oveˇˇrit, zˇe V ⊂ W. Zvolme libovolneˇ u ∈ V . Protozˇe dim V = n, jsou podle veˇty 2.3 vektory u, v 1 , . . . , vn linea´rneˇ za´visle´, nebot’ jich je n + 1. Existujı´ tedy cˇ´ısla α 0 , α1 , . . . , αn tak, zˇe α0 u + α1 v1 + · · · + αn vn = o,

(2.7)

prˇicˇemzˇ asponˇ jedno z nich je nenulove´. Pokud by bylo α 0 = 0, pak by vektory v1 , . . . , vn byly linea´rneˇ za´visle´, cozˇ podle prˇedpokladu veˇty nenı´ mozˇne´. Je tedy α 0 6 = 0 a z (2.7) dosta´va´me 1 u=− α1 v1 + · · · + α n vn , α0 neboli vektor u jakozˇto linea´rnı´ kombinace vektoru˚ v 1 , . . . , vn patrˇ´ı do W. To znamena´, zˇe V ⊂ W a du˚kaz je hotov. 4

Kapitola 2

30

Veˇta 2.6 Necht’ A je matice typu (m, n) a necht’ x1 , . . . , xk jsou linea´rneˇ za´visle´ vektory z Cn . Pak vektory Ax1 , . . . Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ za´visle´. Du˚kaz. Z linea´rnı´ za´vislosti vektoru˚ x 1 , . . . , xk vyply´va´, zˇe existujı´ cˇ´ısla α 1 , . . . , αk , ne vsˇechna nulova´, tak, zˇe α1 x1 + · · · + αk xk = o. Odtud dosta´va´me po vyna´sobenı´ obou stran maticı´ A zleva:

o = Ao = A(α1 x1 + · · · + αk xk ) = α1 Ax1 + · · · + αk Axk , cozˇ znamena´, zˇe vektory Ax1 , . . . Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ za´visle´.

4

Veˇta 2.7 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho ˇra´du a necht’ x1 , . . . , xk jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory z Cn . Pak vektory Ax1 , . . . Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ neza´visle´. Du˚kaz. Vysˇetrˇeme, pro ktera´ α1 , . . . αk platı´ α1 Ax1 + · · · + αk Axk = o.

(2.8)

´ pravou podle vztahu˚ (d) z veˇt 1.3 a 1.4 dosta´va´me A(α 1 x1 + · · · + αk xk ) = o, odkud vyna´sobenı´m U obou stran maticı´ A−1 zleva plyne α1 x1 + · · · + αk xk = o. Vzhledem k prˇedpokladu linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ x 1 , . . . , xk je poslednı´ rovnost, a tedy i rovnost (2.8) splneˇna pouze pro α1 = · · · = αn = 0. To vsˇak znamena´, zˇe vektory Ax 1 , . . . , Axk jsou linea´rneˇ neza´visle´. 4

2.3 Skala´rnı´ soucˇin ´ vahy o skala´rnı´m soucˇinu omezı´me pouze na aritmeticke´ vektory. Narozdı´l od obecne´ho prˇ´ıstupu U tak budeme pracovat s konkre´tneˇ definovany´m vzorcem pro vy´pocˇet skala´rnı´ho soucˇinu, ktery´ bude navıć mozˇne´ prˇeve´st i do maticove´ podoby. Je vsˇak trˇeba zdu˚raznit, zˇe pu˚jde nejen o rea´lne´, ale i komplexnı´ aritmeticke´ vektory a definice skala´rnı´ho soucˇinu musı´ tento pozˇadavek zohlednit. Skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ x a y budeme v dalsˇ´ım znacˇit (x, y). Definice. Pro libovolne´ vektory x = (x 1 , . . . , xn )T , y = (y1 . . . , yn )T z Cn nebo Rn definujeme jejich skala´rnı´ soucˇin vztahem n X (2.9) (x, y) = xk y k . k=1

Veˇta 2.8 Skala´rnı´ soucˇin (2.9) ma´ v Cn i Rn na´sledujıćı´ vlastnosti: (1) (x, y) = (y, x) pro vsˇechny vektory x, y. (2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) pro vsˇechny vektory x, y, z. (3) (α x, y) = α(x, y) pro vsˇechny vektory x, y a vsˇechna cˇ´ısla α.

2.3. Skala´rnı´ soucˇin

31

(4) (x, x) ≥ 0 pro vsˇechny vektory x; rovnost platı´ jen pro x = o. Du˚kaz. Vlastnosti (1) – (3) vyply´vajı´ prˇ´ımo z (2.9) a vlastnost (4) ze vztahu (x, x) =

n X k=1

xk x k =

n X k=1

|xk |2 .

(2.10)

Du˚sledek 2.1 Pro libovolny´ vektor x a libovolne´ cˇ´ıslo α platı´ (x, α y) = α(x, y). 4

Du˚kaz. Je kombinacı´ vlastnostı´ (1) a (3).

Uvedene´ cˇtyrˇi vlastnosti lze take´ povazˇovat za za´klad axiomaticke´ definice skala´rnı´ho soucˇinu v libovolne´m linea´rnı´m prostoru (ne nutneˇ konecˇne´ dimenze). Jsou-li neˇktera´ tvrzenı´ v te´to kapitole vyslovena pro obecny´ linea´rnı´ nebo vektorovy´ prostor V mı´sto C n nebo Rn , pak skala´rnı´m soucˇinem ve V rozumı´me jake´koliv zobrazenı´ V × V → C, majıćı´ cˇtyrˇi vy´sˇe uvedene´ vlastnosti. Povsˇimneˇme si, zˇe skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ x a y v Cn i Rn lze vyja´drˇit te´zˇ pomocı´ maticove´ho na´sobenı´: (x, y) = xT y.

(2.11)

Zde y = (y 1 , . . . , y n )T . Du˚lezˇity´ je vztah skala´rnı´ho soucˇinu a na´sobenı´ rea´lnou maticı´. Veˇta 2.9 Necht’ A je rea´lna´ cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du a x, y ∈ C n . Pak (Ax, y) = (x, AT y). Du˚kaz. Na za´kladeˇ (2.11) je (Ax, y) = (Ax) T y = (xT AT )y = xT (AT y) = (x, AT y).

4

Du˚sledek 2.2 Pro libovolnou rea´lnou symetrickou matici A a libovolne´ vektory x, y ∈ C n platı´ (Ax, y) = (x, Ay).

(2.12)

Pomocı´ skala´rnı´ho soucˇinu zavedeme nynı´ pojem velikosti vektoru a ortogona´lnosti (kolmosti) vektoru˚. √ Definice. Cˇ´ıslo (x, x) nazy´va´me velikostı´ vektoru x a znacˇ´ıme ||x||. Vektory x, y se nazy´vajı´ ortogona´lnı´, jestlizˇe (x, y) = 0. Vektory x 1 , x2 , . . . , xk se nazy´vajı´ ortonorma´lnı´, jestlizˇe (xi , xj ) =

D 1 pro

0 pro

i=j i 6= j

.

Ba´zi tvorˇenou ortonorma´lnı´mi vektory nazy´va´me ortonorma´lnı´ ba´zı´. Prˇ´ıkladem ortonorma´lnı´ ba´ze v C n a Rn je standardnı´ ba´ze E. Nynı´ uka´zˇeme, zˇe ortonorma´lnı´ ba´ze existuje v kazˇde´m nenulove´m vektorove´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Nejdrˇ´ıve odvodı´me linea´rnı´ neza´vislost libovolne´ konecˇne´ ortonorma´lnı´ mnozˇiny. Veˇta 2.10 Kazˇda´ konecˇna´ ortonorma´lnı´ mnozˇina je linea´rneˇ neza´visla´.

Kapitola 2

32 Du˚kaz. Necht’ {x1 , . . . , xk } tvorˇ´ı ortonorma´lnı´ mnozˇinu a necht’ α1 x1 + · · · + αk xk = o.

(2.13)

Vyna´sobme obeˇ strany rovnice 2.13 skala´rneˇ vektorem x l , 1 ≤ l ≤ k. Protozˇe (xi , xl ) = 0 pro i 6 = l, dosta´va´me αl (xl , xl ) = 0. Odtud, vzhledem k tomu, zˇe (xl , xl ) = 1, plyne αl = 0 pro l = 1, . . . , k, cozˇ znamena´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ x 1 , . . . , xk . 4 Veˇta 2.11 Necht’ a1 , . . . , ak jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory v Cn . Pak existujı´ ortonorma´lnı´ vektory q1 , . . . , qk tak, zˇe ha1 , . . . , ak i = hq1 , . . . , qk i. Du˚kaz. Existenci uka´zˇeme matematickou indukcı´ podle k. Tvrzenı´ je zrˇejme´ pro k = 1 : stacˇ´ı polozˇit q1 = a1 /||a1 ||. Necht’ nynı´ tvrzenı´ platı´ pro k − 1 vektoru˚ a necht’ vektory a1 , . . . , ak jsou linea´rneˇ neza´visle´. Podle indukcˇnı´ho prˇedpokladu existujı´ ortonorma´lnı´ vektory q 1 , . . . , qk−1 tak, zˇe ha1 , . . . , ak−1 i = hq1 , . . . , qk−1 i. Oznacˇme rik = (qi , ak )

pro

i = 1, . . . , k − 1

(2.14)

a polozˇme

Pro l = 1, . . . , k − 1 pak je (ql ,e qk ) = (ql , ak ) −

e qk = a k −

k−1 X

rik qi .

(2.15)

i=1

k−1 X (qi , ak )(ql , qi ) = (ql , ak ) − (ql , ak ) = 0.

(2.16)

i=1

Kromeˇ toho e qk 6 = 0, nebo˛ jinak by na za´kladeˇ (2.15) byl vektor a k linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ q1 , . . . , qk a tedy take´ linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ a 1 , . . . , ak , cozˇ vzhledem k linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ a1 , . . . , ak nenı´ mozˇne´. Polozˇ´ıme-li nynı´ q k = e qk /||e qk ||, je na za´kladeˇ (2.15) hq1 , . . . , qk i = ha1 , . . . , ak i a z (2.16) vyply´va´ ortogona´lnost vektoru˚ q 1 , . . . , qk . 4 Postupu, ktery´ byl pouzˇit v tomto du˚kazu se ˇr´ıka´ Gramu˚v–Schmidtu˚v ortonormalizacˇnı´ proces. Umozˇnˇuje „ortonormalizovat“ libovolnou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu vektoru˚, t.j. nahradit libovolnou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu mnozˇinou ortonorma´lnı´, ktera´ ma´ stejny´ linea´rnı´ obal jako mnozˇina pu˚vodnı´, a to nejen v Cn , ale v jake´mkoli linea´rnı´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Du˚kaz veˇty 2.11 je soucˇasneˇ na´vodem, jak hledane´ ortonorma´lnı´ vektory vypocˇ´ıst. Klıćˇovou roli zde hraje vztah (2.15). Prˇ´ıklad 2.8 K vektoru˚m

a1 = (1, 1, 1, −1),

a2 = (0, 0, −1, 1),

a3 = (1, −2, 0, 3)

vypocˇteˇte ortonorma´lnı´ vektory q 1 , q2 , q3 tak, aby ha1 , a2 , a3 i = hq1 , q2 , q3 i.

2.3. Skala´rnı´ soucˇin

33

Rˇesˇenı´. Vy´pocˇet probı´ha´ podle pra´veˇ provedene´ho du˚kazu. Pro usnadneˇnı´ porovnańı´ pouzˇ´ıva´me stejne´ symboliky jako v du˚kazu. 1) Polozˇ´ıme q1 = a1 /||a1 || = 12 (1, 1, 1, −1). 2) Vektor e q2 hleda´me ve tvaru e q2 = a2 − r12 q1 , (2.17) kde koeficient r12 bude takovy´, aby (q1 ,e q2 ) = 0. Vyna´sobme obeˇ strany rovnosti (2.17) skala´rneˇ vektorem q1 . Pak bude 0 = (q1 , a2 ) − r12 (q1 , q1 ) = −1 − r12 .

q2 || = 1, bude q2 = e q2 . Odtud vycha´zı´ r12 = −1 a e q2 = a2 + q1 = 21 (1, 1, −1, 1). Protozˇe ||e 3) Vektor e q3 hleda´me ve tvaru e q3 = a3 − r13 q1 − r23 q2 , (2.18) kde koeficienty r13 a r23 budou takove´, aby (q1 ,e q3 ) = 0 a (q2 ,e q3 ) = 0. Vyna´sobme nejdrˇ´ıve obeˇ strany rovnosti (2.18) skala´rneˇ vektorem q 1 . Dostaneme 0 = (q1 , a3 ) − r13 (q1 , q1 ) − r23 (q1 , q2 ) = −2 − r13 , odkud r13 = −2. Vyna´sobme da´le obeˇ strany rovnosti (2.18) skala´rneˇ vektorem q 2 . Dostaneme 0 = (q2 , a3 ) − r13 (q2 , q1 ) − r23 (q2 , q2 ) = 1 − r23 , odkud vycha´zı´ r23 = 1. Pak e q3 = a3 + 2q1 − q2 = 21 (3, −3, 3, 3). Protozˇe ||e q3 || = 3, je

q3 =

1 2

q2 =

1 2

Celkem tedy je

q1 =

1 2

1, 1, 1, −1 ,

1, −1, 1, 1 .

1, 1, −1, 1 ,

q3 =

1 2

1, −1, 1, 1 .

Uplatnı´me-li Gramu˚v–Schmidtu˚v proces na ba´zi vektorove´ho prostoru, dosta´va´me:

Du˚sledek 2.3 V kazˇde´m nenulove´m vektorove´m prostoru, ve ktere´m je definovań skala´rnı´ soucˇin, existuje ortonorma´lnı´ ba´ze. Vsˇimneˇme si, zˇe vzorec (2.15) je velice podobny´ vzorci pro maticove´ na´sobenı´; po malyćh u´pravaćh jej opravdu lze do maticove´ho tvaru prˇeve´st. Prˇedpokla´dejme, zˇe linea´rneˇ neza´visle´ vektory a 1 , . . . , am postupneˇ nahrazujeme ortogona´lnı´mi vektory q 1 , . . . , qm tak, zˇe pro k = 1, . . . , m platı´ (2.15). Polozˇme jesˇteˇ rkk = ||e qk || pro k = 1, . . . , m a rik = 0 pro i = k + 1, . . . , m. (2.19) Pak z (2.15) dosta´va´me

ak = e qk +

k−1 X i=1

rik qi = rkk qk +

k−1 X i=1

rik qi =

m X i=1

rik qi .

Kapitola 2

34 Pro j -tou sourˇadnici aj k vektoru ak pak je aj k =

m X i=1

m X

rik qj i =

qj i rik .

i=1

To prˇesneˇ odpovı´da´ maticove´mu soucˇinu

A = QR, kde sloupce matice A tvorˇ´ı vektory a 1 , . . . , am , sloupce matice Q vektory q1 , . . . , qm a R je troju´helnı´kova´ matice ˇra´du m, jejı´zˇ prvky jsou (jednoznacˇneˇ) urcˇeny vztahy (2.14) a (2.19). Dosta´va´me tı´m veˇtu o QR rozkladu. Veˇta 2.12 Necht’ A je matice typu (n, m) s linea´rneˇ neza´visly´mi sloupci. Pak existuje matice Q typu (n, m) s ortonorma´lnı´mi sloupci a troju´helnı´kova´ matice R ˇra´du m tak, zˇe platı´

A = QR. Prˇ´ıklad 2.9 Vy´sledek prˇ´ıkladu 2.8 lze zapsat ve tvaru A = QR, kde       1 0 1 1 1 1 2 −1 −2  1    1 0 −2  1 1 −1  A= , Q=  , R= 0 1 1 .  1 −1   0 1 −1 1  2 0 0 3 −1 1 3 −1 1 1

2.4 Cvicˇenı´ 2.1 Vypocˇteˇte vsˇechna α ∈ R, pro neˇzˇ budou linea´rneˇ neza´visle´ vektory

u = (1, 3, 4),

v = (2, 8, −2),

w = (3, 11, α).

2.2 Vypocˇteˇte, pro ktera´ x, y, z ∈ R budou linea´rneˇ neza´visle´ vektory

u = (1, x, x 2 ),

v = (1, y, y 2 ),

w = (1, z, z2 ).

2.3 Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory u + v, v + w a w + u pokud vı´te, zˇe vektory u, v, w jsou linea´rneˇ neza´visle´. 2.4 Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ za´visle´ matice 1 2 −1 A1 = , A2 = 1 0 3

2 , 1

A3 =

−3 −2 . 1 1

2.5 Dokazˇte, zˇe vektory u1 , . . . un jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ tehdy, je-li jeden z nich linea´rnı´ kombinacı´ ostatnıćh. 2.6 Dokazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic te´hozˇ typu s operacemi maticove´ho scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ cˇ´ıslem tvorˇ´ı linea´rnı´ prostor dimenze mn. Nalezneˇte neˇjakou jeho ba´zi. 2.7 Dokazˇte, zˇe mnozˇina Tn vsˇech hornıćh troju´helnı´kovyćh matic ˇra´du n tvorˇ´ı podprostor vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovyćh matic ˇra´du n a urcˇete dimenzi T n .

2.5. Rˇesˇenı´

35

2.8 Ukazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic X, pro ktere´ platı´ AX = XA, kde 2 1 A= , 1 1 tvorˇ´ı podprostor vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovyćh matic druhe´ho ˇra´du. Urcˇete jeho dimenzi a neˇjakou ba´zi. 2.9 Dokazˇte, zˇe vektory x, y ∈ Rn jsou ortogona´lnı´ pra´veˇ tehdy, je-li ||x|| 2 + ||y||2 = ||x + y||2 . Da´le ukazˇte, zˇe v Cn toto tvrzenı´ neplatı´. 2.10 Dokazˇte, zˇe majı´-li vektory x, y ∈ R n stejnou velikost, pak x + y a x − y jsou ortogona´lnı´. Uved’te geometricky´ vy´znam tohoto tvrzenı´ v R 2 . 2.11 Ukazˇte, zˇe v ortonorma´lnı´ ba´zi (b 1 , . . . , bn ) platı´ pro sourˇadnice (x1 , . . . , xn )T vektoru x vztah xi = (x, bi ),

i = 1, . . . , n.

2.12 V prostoru R4 jsou dańy vektory a = (−1, 0, 1, 2), b = (0, 1, 0, −3) a linea´rnı´ podprostor V = x ∈ R4 ; (x, a) = 0, (x, b) = 0 . Urcˇete neˇjakou ortogona´lnı´ ba´zi V .

2.13 Urcˇete neˇjakou ortogona´lnı´ ba´zi podprostoru V = x ∈ R3 ; Ax ∈ N(A) , kde 

 1 1 0 A =  1 1 2 . 1 1 1

ˇ esˇenı´ 2.5 R 2.1 Pro vsˇechna α 6 = 2. 2.2 Musı´ soucˇasneˇ platit x 6 = y, y 6 = z, x 6 = z. 2.3 Vektory u + v, v + w a w + u jsou linea´rneˇ neza´visle´. 2.4 Jsou linea´rneˇ za´visle´, nebot’ 2A1 − A2 + A3 = O. 2.5 Je-li u1 = α2 u2 + · · · + αn un , pak (−1)u1 + α2 u2 + · · · + αn un = o a vektory u1 , . . . un jsou linea´rneˇ za´visle´. Je-li α1 u1 + · · · + αn un = o a α1 6 = 0, pak u1 = − α11 (α2 u2 + · · · + αn un ). Analogicky pro i = 2, . . . , n. 2.6 Ba´zi tvorˇ´ı naprˇ. mn matic (navza´jem ru˚znyćh), ktere´ majı´ na jedine´m mı´steˇ 1 a vsˇude jinde 0. 2.7 Soucˇtem dvou hornıćh troju´helnı´kovyćh matic je opeˇt hornı´ troju´helnı´kova´ matice a na´sobkem hornı´ n(n + 1) troju´helnı´kove´ matice je take´ matice hornı´ troju´helnı´kova´; dim T n = 1 + 2 + · · · + n = . 2 1 0 0 1 2.8 Dimenze je 2, ba´ze naprˇ. , . 0 1 1 −1

36

Kapitola 2

2.9 Pro x, y ∈ Rn je ||x + y||2 = (x + y), (x + y) = ||x||2 + 2 (x, y) + ||y||2 , kdezˇto pro x, y ∈ Cn platı´ pouze ||x + y||2 = ||x||2 + (x, y) + (y, x) + ||y||2 . 2.10 Geometricka´ interpretace: u´hloprˇ´ıcˇky v kosocˇtverci jsou na sebe kolme´. 2.11 Skala´rneˇ vyna´sobte vektor x = x 1 b1 + · · · + xn bn i-ty´m vektorem ba´ze bi . 2.12 {(1, 0, 1, 0, ), (1, 3, −1, 1)}. 2.13 {(1, −1, 0), (1, 1, 2)}.

Kapitola 3

Hodnost matice

ˇ a´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost 3.1 R Guassova eliminace nenı´ jen pocˇetnı´ prostrˇedek pro u´pravu a ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Jizˇ vztah (1.7) naznacˇuje jejı´ vy´znam i pro zkoumańı´ vlastnostı´ matic jako takovyćh. V te´to kapitole vyuzˇijeme Gaussovy eliminace pro vy´pocˇet hodnosti matic – pojmu, ktery´ v sobeˇ obsahuje pohled na ˇra´dky a sloupce z hlediska linea´rnı´ neza´vislosti. Znalost hodnosti matice na´m pak kromeˇ jine´ho umozˇnı´ elegantnı´ formulaci krite´ria ˇresˇitelnosti soustav linea´rnıćh rovnic a take´ charakterizaci mnozˇiny vsˇech jejich ˇresˇenı´. Definice. Rˇa´dkovy´m prostorem matice A nazy´va´me linea´rnı´ obal jejıćh ˇra´dku˚ a znacˇ´ıme R(A), sloupcovy´m prostorem linea´rnı´ obal jejıćh sloupcu˚; znacˇ´ıme jej S(A). Je-li tedy A rea´lna´ (resp. komplexnı´) matice typu (m, n), pak R(A) je podprostorem R n (resp. Cn ) a S(A) je podprostorem Rm (resp. Cm ). Je-li matice A symetricka´, pak jsou oba prostory totozˇne´, pro nesymetricke´ matice budou odlisˇne´. Vzhledem k vy´sledku cvicˇenı´ 1.12 platı´ pro sloupcovy´ prostor S(A) matice A typu (m, n) S(A) = {u ∈ Cm : u = Av

pro neˇjaky´ vektor v ∈ Cn }.

(3.1)

Definice. Hodnostı´ matice A nazy´va´me dimenzi jejı´ho sloupcove´ho prostoru; znacˇ´ıme ji h(A). Z definice dimenze (strana 29) a z veˇty 2.3 vyply´va´, zˇe hodnost matice A je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu linea´rneˇ neza´vislyćh sloupcu˚ matice A. V definici hodnosti matice byl preferovań „sloupcovy´“ pohled na matici prˇed „rˇa´dkovy´m“. Nenı´ prˇitom vu˚bec samozrˇejme´, zˇe dimenze ˇra´dkove´ho prostoru matice je stejna´ jako dimenze jejı´ho sloupcove´ho prostoru. Prˇes obecnou odlisˇnost ˇra´dkove´ho a sloupcove´ho prostoru matice nenı´ trˇeba definovat take´ „rˇa´dkovou“ hodnost matice. Vyply´va´ to z veˇty, kterou uvedeme bez du˚kazu. Lze jej nale´zt naprˇ´ıklad v [11, str. 27] nebo [15, str. 92]. Veˇta 3.1 Pro kazˇdou matici A je h(A) = h(A T ). Odvod’me nynı´, jaky´ je vztah hodnosti k dalsˇ´ım maticovy´m operacı´m – soucˇinu a ˇra´dkovy´m a sloupcovy´m elementa´rnı´m u´prava´m. Nejmeńeˇ lze ˇr´ıci o soucˇtu; zde odkazujeme na u´lohu 3.3. 37

Kapitola 3

38 Veˇta 3.2 Jsou-li A, B matice, pro neˇzˇ existuje soucˇin AB, pak h(AB) ≤ h(B) a

h(AB) ≤ h(A).

Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe matice AB nema´ veˇtsˇ´ı pocˇet linea´rneˇ neza´vislyćh sloupcu˚ nezˇ matice B. To na za´kladeˇ definice hodnosti a pozna´mky po nı´ na´sledujıćı´ zarucˇ´ı nerovnost h(AB) ≤ h(B). Jsou-li b1 , . . . , bk sloupce matice B, pak podle veˇty 1.1 jsou Ab 1 , . . . , Abk sloupce matice AB. Veˇta 2.7 (str. 30) pak zajisˇt’uje, zˇe mezi sloupci Ab1 , . . . , Abk nebude meńeˇ linea´rneˇ neza´vislyćh, nezˇ mezi b1 , . . . , bk . Druha´ nerovnost v tvrzenı´ veˇty pak plyne z prvnı´ a z veˇty 3.1: h(AB) = h(AB)T = h(BT AT ) ≤ h(AT ) = h(A). Veˇta 3.3 Je-li A regula´rnı´ matice a existuje soucˇin AB, pak h(AB) = h(B). Analogicky, je-li B regula´rnı´ matice a existuje soucˇin AB, pak h(AB) = h(A). Strucˇneˇ lze tedy ˇr´ıci, zˇe na´sobenı´ regula´rnı´ maticı´ nemeˇnı´ hodnost. Du˚kaz. Podle prˇedcha´zejıćı´ veˇty platı´ h(AB) ≤ h(A); z veˇty 2.6 vyply´va´, zˇe matice A nemu˚zˇe mı´t vıće linea´rneˇ neza´vislyćh sloupcu˚ nezˇ matice AB, cozˇ znamena´, zˇe h(AB) ≥ h(A). Celkem tedy je h(AB) = h(B). Druha´ cˇa´st tvrzenı´ veˇty vyply´va´ z rovnostı´ h(AB) = h(AB)T = h(BT AT ) = h(AT ) = h(A). 4

Zde jsme dvakra´t pouzˇili veˇtu 3.1 a pra´veˇ doka´zanou prvnı´ cˇa´st. Veˇta 3.4 Jsou-li A, B ˇra´dkoveˇ nebo sloupcoveˇ ekvivalentnı´ matice, pak h(A) = h(B).

Du˚kaz. Vzhledem k platnosti veˇty 3.1 stacˇ´ı tvrzenı´ oveˇˇrit pro matice ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´. Je-li A ∼ B, pak existujı´ elementa´rnı´ matice L 1 , . . . , Lk tak, zˇe B = L1 · · · Lk A. Kazˇda´ z elementa´rnıćh matice je regula´rnı´ (veˇta 1.19, str. 20), tedy podle veˇty 3.3 je h(A) = h(B). 4 Vy´znam poslednı´ veˇty spocˇ´ıva´ v mozˇnosti pouzˇ´ıt ˇra´dkove´ nebo sloupcove´ elementa´rnı´ operace prˇi vy´pocˇtu hodnosti matice. Vhodneˇ voleny´mi operacemi prˇevedeme danou matici do takove´ho tvaru, aby „vynikly“ vsˇechny linea´rneˇ neza´visle´ ˇra´dky, resp. sloupce. Postup uka´zˇeme pouze na prˇ´ıkladeˇ. Prˇ´ıklad 3.1 

4 8 A= 4 8

3 −5 6 −7 3 1 6 −1

  2 3 4   4 2 0 ∼ 2 −5   0 4 −6 0

3 −5 0 3 0 6 0 9

  2 3 4   0 −4   0 ∼ 0 −8   0 0 −12 0

Poslednı´ matice ma´ evidentneˇ hodnost rovnu 2, je tedy i h(A) = 2.

3 −5 0 3 0 0 0 0

 2 3 0 −4   0 0 0 0

Z prˇ´ıkladu 2.3 na straneˇ 24 jizˇ vı´me, zˇe ˇresˇenı´ homogennı´ soustavy rovnic tvorˇ´ı podprostor, ktery´ nazy´va´me nulovy´ prostor matice A. Nynı´ mu˚zˇeme urcˇit jeho dimenzi a zı´skat tak informaci o „pocˇtu ˇresˇenı´“ homogennı´ soustavy rovnic. Uvedeme ji pro rea´lne´ matice, v analogicke´m zneˇnı´ platı´ i pro matice komplexnı´. Jde o veˇtu za´sadnı´ho vy´znamu a budeme se ni v dalsˇ´ıch kapitolaćh cˇasto odvola´vat. Elegantnı´ mysˇlenka du˚kazu pocha´zı´ z [6]; jejı´ prˇednostı´ je, zˇe nevyzˇaduje komplikovanou analy´zu procesu Gaussovy eliminace.

3.1. Rˇa´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost

39

Veˇta 3.5 Necht’ A je matice typu (m, n) s hodnostı´ h. Pak pro dimenzi jejı´ho nulove´ho prostoru N(A) = {x ∈ Rn : Ax = o}

platı´ dim N(A) = n − h. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe dim N(A) = r a zvolme v N(A) ba´zi tvorˇenou vektory u 1 , . . . ur . Podle veˇty 2.2 lze vektory u1 , . . . ur doplnit n−r vektory ur+1 , . . . , un na ba´zi prostoru Rn . Uka´zˇeme, zˇe vektory Aur+1 , . . . , Aun tvorˇ´ı ba´zi prostoru S(A), odkud jizˇ vyplyne, zˇe h = dim S(A) = n − r. Prˇesveˇdcˇme se nejdrˇ´ıve, zˇe vektory Au r+1 , . . . , Aun jsou linea´rneˇ neza´visle´. Necht’ αr+1 Aur+1 + · · · + αn Aun = o. Pak take´

A(αr+1 ur+1 + · · · + αn un ) = o, takzˇe αr+1 ur+1 + · · · + αn un ∈ N(A). Existujı´ tedy cˇ´ısla α1 , . . . , αr tak, zˇe αr+1 ur+1 + · · · + αn un = α1 u1 + · · · + αr ur , nebot’ vektory u1 , . . . , ur tvorˇ´ı ba´zi N(A). Z poslednı´ rovnosti plyne α1 u1 + · · · + αr ur − αr+1 ur+1 − · · · − αn un = o, odkud z linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ u 1 , . . . , un vyply´va´ α1 = · · · = αn = 0, cozˇ znamena´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ Aur+1 , . . . , Aun . Da´le ukazˇme, zˇe hAur+1 , . . . , Aun i = S(A). Podle (3.1) je S(A) mnozˇinou vsˇech vektoru˚ Av, v ∈ Rn . Protozˇe kazˇdy´ vektor v ∈ Rn je neˇjakou linea´rnı´ kombinacı´ ba´zovyćh vektoru˚ u1 , . . . , un , je S(A) = hAu1 , . . . , Aun i = hAur+1 , . . . , Aun i, nebot’ Au1 = · · · = Aun = o. Vektory Aur+1 , . . . , Aun tedy majı´ obeˇ vlastnosti pozˇadovane´ definicı´ (strana 27) a jsou ba´zı´ prostoru S(A). Odtud plyne, zˇe h = dim S(A) = n − r = n − dim N(A) a tedy dim N(A) = n − h. 4 Pra´veˇ doka´zanou veˇtu vyuzˇijeme prˇi odvozenı´ tvrzenı´, ktere´ mu˚zˇe vzhledem k veˇteˇ 3.2 vypadat prˇekvapiveˇ. Jeho vy´znam se projevı´ v na´sledujıćıćh kapitolaćh. Veˇta 3.6 Pro libovolnou cˇtvercovou matici A platı´ h(A) = h(AT A) = h(AAT ).

(3.2)

Kapitola 3

40

Du˚kaz. Stacˇ´ı doka´zat prvnı´ z rovnostı´; druha´ vyplyne ze vztahu h(A) = h(A T ) (veˇta 3.1). Prˇedpokla´dejme, zˇe matice A je n-te´ho ˇra´du. Pak i A T A je n-te´ho ˇra´du a rovnost (3.2) bude na za´kladeˇ veˇty 3.5 ekvivalentnı´ rovnosti dimenzı´ nulovyćh prostoru˚ obou matic: dim N(A) = dim N(AT A). Uka´zˇeme, zˇe dokonce platı´ N(A) = N(A T A). Prˇipomenˇme, zˇe N(A) = {x ∈ Rn : Ax = o.} Je-li tedy x ∈ N(A), pak Ax = o a vyna´sobenı´m obou stran te´to rovnosti maticı´ A T zleva dostaneme AT Ax = o, cozˇ znamena´, zˇe x ∈ N(AT A). Naopak, je-li x ∈ N(AT A), pak AT Ax = o, odkud plyne (AT Ax, x) = 0. Pouzˇitı´m veˇty 2.9 odtud dostaneme (Ax, Ax) = 0, tedy ||Ax||2 = 0. To podle veˇty 2.8, tvrzenı´ (4) znamena´, zˇe Ax = o, takzˇe x ∈ N(A). Celkem jsme doka´zali, zˇe N(A) ⊂ N(AT A)

a

N(A) ⊃ N(AT A),

z cˇehozˇ plyne N(A) = N(AT A).

4

Hodnost matice je rovneˇzˇ uzˇitecˇny´m na´strojem pro zjisˇteˇnı´ ˇresˇitelnosti soustavy linea´rnıćh rovnic tvaru Ax = b. V cˇeske´ literaturˇe se uva´dı´ pod na´zvem Frobeniova veˇta. Vyuzˇ´ıva´ porovnańı´ hodnosti matice soustavy A a hodnosti rozsˇ´ıˇrene´ matice A (viz strana 11). Veˇta 3.7 Necht’ A je libovolna´ matice typu (m, n), b sloupcovy´ vektor z C n a necht’ A znacˇ´ı rozsˇ´ıˇrenou matici soustavy Ax = b. Pak soustava Ax = b ma´ ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, je-li h(A) = h(A). Du˚kaz. Z (3.1) vyply´va´, zˇe soustava Ax = b ma´ ˇresˇenı´ pra´veˇ tehdy, patrˇ´ı-li vektor b do sloupcove´ho prostoru matice A, cozˇ znamena´, zˇe b je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A. Je-li vsˇak vektor b je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A, pak jeho prˇidańı´ jako dalsˇ´ıho sloupce k matici A nezmeˇnı´ jejı´ hodnost. Obraćeneˇ, pokud majı´ matice A a A stejnou hodnost, pak prˇidany´ sloupec b musı´ by´t linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A. 4

3.2 Cvicˇenı´ 3.1 Rozhodneˇte, ktere´ z vektoru˚ b 1 , b2 , b3 patrˇ´ı do sloupcove´ho prostoru matice         2 −1 3 9 −4 1        A = 3 −5 1 ; b1 = −4 , b2 = 1 , b 3 = 1 . 4 −7 1 5 2 1

3.2 Vypocˇteˇte neˇjakou ba´zi sloupcove´ho prostoru matice   1 1 2 0 A =  2 −1 −1 −1 . 1 −2 −3 −1

3.3. Rˇesˇenı´

41

3.3 Ukazˇte prˇ´ıklad nenulovyćh matic A, B, pro ktere´ a) h(A + B) = 0; b) h(A + B) = h(A) + h(B). 3.4 Vypocˇteˇte hodosti na´sledujıćıćh matic   1 3 5 −1  2 −1 −3 4   a) A =   5 1 −1 7  7 7 9 1

b)



3 5 A= 1 7

3.5 Vypocˇteˇte, pro ktera´ α, β ∈ R bude hodnost matice  0 1 2 3 1 2 1 2 A= 2 α 0 1 1 0 β −4 minima´lnı´ a tuto hodnost stanovte.

−1 3 −3 2 −3 −5 −5 1

 2 5 3 4 . 0 −7  4 1

   

3.6 Vypocˇteˇte dimenzi a neˇjakou ba´zi nulove´ho prostoru matice   2 −1 1 −1 2  3 −3 5 0 5  .  1 1 −3 −2 −1  3 0 −2 −3 1

3.7 Vypocˇteˇte vsˇechna α ∈ R, pro neˇzˇ ma´ soustava Ax = o s maticı´   1 2 1 2  2 −3 0 2   A= 3 5 −1 1  4 2 6 α asponˇ jedno nenulove´ ˇresˇenı´.

3.8 Urcˇete vsˇechna α, β ∈ R, pro neˇzˇ nema´ ˇresˇenı´ soustava s rozsˇ´ıˇrenou maticı´   α 1 1 1  1 α 1 1 . 1 1 1 β

ˇ esˇenı´ 3.3 R 3.1 Pouze b2 ; bi patrˇ´ı do S(A) pra´veˇ tehdy, existuje-li ˇresˇenı´ rovnice Ax = b i . 3.2 Naprˇ´ıklad B = {(1, 2, 1)T , (1, −1, −2)T }. 3.3 Rˇesˇenı´ nenı´ jednoznacˇne´, naprˇ´ıklad a) A = E, B = −E.

Kapitola 3

42

b) A =

1 0 0 0

3.4 a) h(A) = 3,

a

B=

0 0 0 1

.

b) h(A) = 3.

3.5 Pro α = 3 a β = −3 je h(A) = 2.

3.6 dim N(A) = 3, ba´ze N(A) je naprˇ. B = (2, 7, 3, 0, 0, )T , (−1, 4, 0, 0, 3)T , (1, 1, 0, 0, 1, 0)T . 3.7 α = 11.

3.8 α = 2, β 6 = 23 , nebo α = 1, β 6 = 1.

Kapitola 4

Determinanty

Pojem determinantu matice se historicky vyvinul jako na´stroj pro ˇresˇenı´ soustavy rovnic Ax = b s regula´rnı´ maticı´ A. Je-li

A=

a11 a12 a21 a22

x=

,

x1 x2

b=

a

b1 b2

,

pak snadno oveˇˇr´ıme, zˇe x1 =

b1 a22 − b2 a12 a11 a22 − a12 a21

a

x2 =

b2 a11 − b1 a21 . a11 a22 − a12 a21

Definujeme-li det A = a11 a22 − a12 a21 a oznacˇ´ıme

A1 =

a

A2 =

det A1 det A

a

x2 =

det A2 . det A

b1 a12 b2 a22

a11 b1 a21 b2

(4.1)

,

pak mu˚zˇeme pro ˇresˇenı´ psa´t x1 =

Analogicke´ vztahy bychom dostali (byt’se znacˇneˇ veˇtsˇ´ı pocˇetnı´ na´mahou) pro soustavu s regula´rnı´ maticı´ trˇetı´ho ˇra´du, pokud bychom pro matici 

 a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 definovali det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . 43

(4.2)

Kapitola 4

44

4.1 Definice a vlastnosti Pokus o zobecneˇnı´ vztahu˚ (4.1) a (4.2) na matice cˇtvrte´ho a vysˇsˇ´ıch ˇra´du˚ metodou popisu ˇresˇenı´ prˇ´ıslusˇnyćh soustav rovnic nara´zˇ´ı na znacˇnou zdlouhavost a komplikovanost vy´pocˇtu˚. Obecna´ definice determinantu bude zalozˇena na vlastnostech, ktere´ jsou spolecˇne´ pro vy´sˇe uvedene´ determinanty matic druhe´ho a trˇetı´ho ˇra´du. Vsˇimneˇme si, zˇe v obou prˇ´ıpadech je determinant soucˇtem soucˇinu˚ prvku˚ matice, vybranyćh tak, aby z kazˇde´ho sloupce i ˇra´dku byl zvolen pra´veˇ jeden prvek. Byly utvorˇeny vsˇechny takove´ vy´beˇry, odpovı´dajıćı´ soucˇiny byly opatrˇeny znameńky podle za´konitosti, kterou da´le objasnı´me a vsˇechny soucˇiny byly secˇteny. Pro matici n-te´ho ˇra´du tedy vybereme: v prvnı´m ˇra´dku prvek ve sloupci j 1 ve druhe´m ˇra´dku prvek ve sloupci j 2 ... v n-te´m ˇra´dku prvek ve sloupci jn tak, zˇe kazˇde´ z cˇ´ısel j1 , j2 , . . . , jn je rovno neˇktere´mu z cˇ´ısel 1, 2, . . . , n a vsˇechna jsou navza´jem ru˚zna´. To znamena´, zˇe cˇ´ısla j 1 , j2 , . . . , jn jsou permutacı´1 cˇ´ısel 1, 2, . . . , n. Je zna´mo, zˇe takovyćh permutacı´ existuje celkem n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1. Dvojici (ji , jk ) nazveme inverzı´ v permutaci π = (j 1 , j2 , . . . , jn ), jestlizˇe ji > jk a i < k. Je-li p celkovy´ pocˇet inverzı´ v permutaci π = (j 1 , j2 , . . . , jn ), pak cˇ´ıslo (−1)p nazy´va´me znameńkem permutace π a znacˇ´ıme sig π. Prˇ´ıklad 4.1 V permutaci (3, 1, 2, 5, 4) cˇ´ısel (1, 2, 3, 4, 5) jsou trˇi inverze: (3, 1), (3, 2), a (5, 4). Jejı´ znamenko tedy je −1. Veˇta 4.1 Vznikne-li permutace π2 prˇehozenı´m dvou prvku˚ permutace π1 , pak sig π2 = − sig π1 . Du˚kaz. Spocˇ´ıva´ v porovnańı´ pocˇtu inverzı´ obou permutacı´. Viz naprˇ. [15, str. 123]. Definice. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du. Determinantem matice A nazy´va´me cˇ´ıslo X (4.3) det A = sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · anjn . (j1 ,...,jn )

Determinant matice A znacˇ´ıme te´zˇ |A|. Prˇesveˇdcˇme se nejdrˇ´ıve, zˇe pro matice druhe´ho a trˇetı´ho ˇra´du da´va´ uvedena´ definice stejny´ vy´sledek jako jizˇ uvedene´ vztahy (4.1) a (4.2). Prˇ´ıklad 4.2 Necht’

A=

a11 a12 a21 a22

.

Mnozˇina (1, 2) ma´ 2 permutace: (1, 2) a (2, 1). Je tedy det A = sig(1, 2) a11 a22 + sig(2, 1) a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 . 1 Permutacı´ mnozˇiny (1, 2, . . . , n) rozumı´me libovolnou usporˇa´danou

j1 , j2 , . . . jn jsou prˇitom navza´jem ru˚zne´.

n-tici jejıćh prvku˚ (j1 , j2 , . . . jn ). Prvky

4.1. Definice a vlastnosti Prˇ´ıklad 4.3 Necht’

45 

 a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23 . a31 a32 a33

Je celkem 3 ! = 6 permutacı´ mnozˇiny (1, 2, 3). Jsou zna´zorneˇny v na´sledujıćı´ tabulce, vcˇetneˇ jim prˇ´ıslusˇnyćh soucˇinu˚, pocˇtu inverzı´ p a znameńek sig π. π

soucˇin

p sig π

(1, 2, 3) a11 a22 a33

0

1

(1, 3, 2) a11 a23 a32

1

−1

(2, 1, 3) a12 a21 a33

1

−1

(2, 3, 1) a12 a23 a31

2

1

(3, 1, 2) a13 a21 a32

2

1

(3, 2, 1) a13 a22 a31

3

−1

Opravdu tedy po prˇeusporˇa´dańı´ scˇ´ıtancu˚ vycha´zı´ det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . Pro snadneˇjsˇ´ı zapamatovańı´ vztahu˚ pro vy´pocˇet determinantu˚ matic druhe´ho a trˇetı´ho ˇra´du lze pouzˇ´ıt na´sledujıćıćh obra´zku˚. V nich jsou spojeny prvky, jejichzˇ soucˇin se objevuje v determinantu; spojenı´ plnou cˇarou znamena´, zˇe znameńko odpovı´dajıćı´ permutace je 1, prˇerusˇovana´ spojovacı´ cˇa´ra odpovı´da´ permutaci se znameńkem −1.

a11

a12

a21

a22

a11

a12

a13

a11

a12

a21

a22

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a31

a32

Uvedeny´ zpu˚sob vy´pocˇtu determinantu matice trˇetı´ho ˇra´du se nazy´va´ Sarrusovo pravidlo. Na vy´pocˇet determinantu˚ matic vysˇsˇ´ıch ˇra´du˚ vsˇak analogii tohoto pravidla nelze pouzˇ´ıt. V na´sledujıćıćh veˇtaćh uka´zˇeme, zˇe vy´pocˇet determinantu matice libovolne´ho ˇra´du lze zalozˇit na prˇevodu matice do troju´helnı´kove´ho tvaru pomocı´ elementa´rnıćh operacı´. Nejdrˇ´ıve uved’me, jak se vypocˇte determinant troju´helnı´kove´ matice. Veˇta 4.2 Je-li A = (aij ) troju´helnı´kova´ matice n-te´ho ˇra´du, pak det A = a11 a22 · · · ann . Du˚kaz. Pro hornı´ i dolnı´ troju´helnı´kovou matici je jediny´m nenulovy´m cˇlenem v (4.3) soucˇin a11 a22 · · · ann . Protozˇe znameńko odpovı´dajıćı´ permutace je (−1) 0 = 1, je det A = a11 a22 · · · ann . 4

Kapitola 4

46 Prˇ´ıklad 4.4



 3 7 4 det  0 2 5  = 3 · 2 · 1 = 6. 0 0 1

Drˇ´ıve, nezˇ odvodı´me pravidla pro vy´pocˇet determinantu obecne´ cˇtvercove´ matice, uka´zˇeme, zˇe transpozice matice nemeˇnı´ hodnotu determinantu. Tı´m bude u determinantu˚ „zrovnopra´vneˇn“ pohled na ˇra´dky a sloupce matice a vsˇechna tvrzenı´ o determinantech doka´zana´ pro ˇra´dky budou platit i pro sloupce. Veˇta 4.3 Pro kazˇdou cˇtvercovou matici platı´ det AT = det A. Du˚kaz. Uvazˇujme cˇtvercovou matici A = (a ij ) n-te´ho ˇra´du. V transponovane´ matici A T bude na pozici (i, j ) prvek aj i , takzˇe pro jejı´ determinant bude podle definice platit: X det AT = sig(j1 , . . . , jn ) aj1 1 aj2 2 · · · ajn n . (j1 ,...,jn )

Prˇevedeme-li vhodny´mi za´meˇnami permutaci π = (j 1 , j2 . . . , jn ) na (1, 2, . . . , n), pak tyte´zˇ za´meˇny prˇevedou za´kladnı´ permutaci (1, 2, . . . , n), na jistou permutaci π 0 = (k1 , k2 , . . . , kn ). Protozˇe obeˇ permutace π a π 0 vznikly stejny´m pocˇtem za´meˇn z (1, 2, . . . , n), majı´ stejnou signaturu. Je tedy X X det AT = sig(j1 , . . . , jn ) aj1 1 aj2 2 · · · ajn n = sig(k1 , . . . , kn ) a1k1 a2k2 · · · ankn = det A. (j1 ,...,jn )

(k1 ,...,kn )

Nynı´ postupneˇ oveˇˇr´ıme, jaky´ vliv majı´ na hodnotu determinantu elementa´rnı´ ˇra´dkove´ operace. Veˇta 4.4 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du a necht’matice A0 vznikne z A vy´meˇnou i -te´ho a j -te´ho ˇra´dku (i 6 = j ) . Pak det A0 = − det A. Du˚kaz. Vsˇechny soucˇiny a1j1 a2j2 · · · anjn z determinantu matice A se objevı´ i v determinantu matice A , podle veˇty 4.1 vsˇak vy´meˇnou dvou ˇra´dku˚ zmeˇnı´ vsˇechny permutace sva´ znameńka. Odtud vy´sledek plyne. 4 0

Veˇta 4.5 Ma´-li cˇtvercova´ matice A dva stejne´ ˇra´dky, je det A = 0. Du˚kaz. Po vy´meˇneˇ stejnyćh ˇra´dku˚ v matici A dosta´va´me z prˇedcha´zejıćı´ veˇty det A = − det A, odkud plyne det A = 0. 4 Veˇta 4.6 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du a necht’matice A0 vznikne z A vyna´sobenı´m i -te´ho ˇra´dku cˇ´ıslem α. Pak det A0 = α det A. Du˚kaz. Podle definice determinantu je X det A0 = sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · αaiji · · · anjn = (j1 ,...,jn )

= α

X

sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · aiji · · · anjn = α det A.

(j1 ,...,jn )

4.1. Definice a vlastnosti

47

Veˇta 4.7 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du a kazˇde´ i, 1 ≤ i ≤ n, platı´ a11 a12 · · · a12 ··· a1n a11 .. .. .. . . . ai−1,2 · · · ai−1,n ai−1,1 ai−1,2 · · · ai−1,1 ai1 + b1 ai2 + b2 · · · ain + bn = ai1 ai2 · · · ai+1,1 ai+1,2 · · · ai+1,n ai+1,1 ai+1,2 · · · .. .. .. . . . an1 an2 · · · an2 ··· ann an1

b = (b1 , . . . , bn ) ˇra´dkovy´ vektor. Pak pro a1n .. .

ai−1,n ain ai+1,n .. . ann

a11 a12 . .. ai−1,1 ai−1,2 + b1 b2 ai+1,1 ai+1,2 .. . an1 an2

···

a1n .. .

· · · ai−1,n · · · bn · · · ai+1,n .. . · · · ann

.

Du˚kaz. Oznacˇme B matici, ktera´ vznikne z matice A nahrazenı´m jejı´ho i-te´ho ˇra´dku vektorem b a C matici, ktera´ vznikne prˇicˇtenı´m vektoru b k i-te´mu ˇra´dku matice A. Ma´me doka´zat, zˇe det C = det A + det B.

Podle definice determinantu je det C = =

X

sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · (aiji + bji ) · · · anjn =

(j1 ,...,jn )

X

sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · aiji · · · anjn +

(j1 ,...,jn )

+

X

sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · bji · · · anjn =

(j1 ,...,jn )

= det A + det B. Veˇta 4.8 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du a necht’matice A0 vznikne z A prˇicˇtenı´m α -na´sobku jejı´ho k -te´ho ˇra´dku k ˇra´dku i -te´mu (k 6 = i). Pak det A 0 = det A. Du˚kaz. Prˇi vy´pocˇtu det A0 postupneˇ pouzˇijeme trˇ´ı prˇedcha´zejıćıćh veˇt. Dostaneme a11 a12 ··· a1n .. .. . . ai1 + α ak1 ai2 + α ak2 · · · ain + α akn . . 0 .. .. det A = = ak,1 ak,2 ··· ak,n .. .. . . an1 an2 ··· ann a11 . .. ai1 = ... ak1 .. . an1

a12 · · · a1n .. . ai2 · · · ain .. . ak2 · · · akn .. . an2 · · · ann

a11 . .. ak1 + α ... ak1 .. . an1

= det A + α · 0 = det A.

a12 · · · a1n .. . ak2 · · · akn .. . ak2 · · · akn .. . an2 · · · ann

=

Kapitola 4

48

I kdyzˇ tedy ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ matice nemusejı´ mı´t stejne´ determinanty, lze prˇevodu matice do troju´helnı´kove´ho tvaru pomocı´ elementa´rnıćh operacı´ pouzˇ´ıt k vy´pocˇtu determintu libovolne´ cˇtvercove´ matice. Prˇ´ıklad 4.5 2 −3 1 1 4 −2 3 −1

4 1 3 4

1 1 2 3

r1 r2 r3 r4

1 1 := r2 2 −3 := r1 = − := r3 4 −2 3 −1 := r4

1 4 3 4

1 1 2 3

r1 := r1 r2 := r2 − 2r1 r3 := r3 − 4r1 = r4 := r4 − 3r1

1 1 1 1 r1 := r1 1 1 1 1 r1 := r1 0 −5 2 −1 r2 := r2 1 1 0 −5 2 −1 r2 := r2 = − = − · · = 5 5 0 0 −17 −4 r3 := r3 0 −6 −1 −2 r3 := 5r3 − 6r2 0 −4 1 0 r4 := 5r4 − 4r2 0 0 −3 4 r4 := 17r4 − 3r3 1 1 1 1 1 1 0 −5 2 −1 =− · · 25 17 0 0 −17 −4 0 0 0 80

= − 1 · (−5) · (−17) · 80 = −16 25 · 17

Jinou mozˇnostı´ vy´pocˇtu determinantu libovolne´ cˇtvercove´ matice je rozvoj podle neˇktere´ho ˇra´dku, prˇ´ıpadneˇ sloupce. Prˇed formulacı´ a du˚kazem veˇty o vy´pocˇtu determinantu rozvojem podle ˇra´dku zaved’me pojmy subdeterminantu a doplnˇku. Definice. Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du, n ≥ 2. Subdeterminantem A ij matice A prˇ´ıslusˇny´m pozici (i, j ) nazy´va´me determinant matice, ktera´ vznikne z matice A vynechańı´m i-te´ho ˇra´dku a j -te´ho sloupce. Doplnˇkem D ij matice A prˇ´ıslusˇny´m pozici (i, j ) nazy´va´me cˇ´ıslo Dij = (−1)i+j Aij . Veˇta 4.9 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du n ≥ 2. Pak pro kazˇde´ i = 1, . . . , n platı´ det A = ai1 Di1 + · · · + ain Din =

n X

aik Dik .

(4.4)

k=1

Du˚kaz. Uvazˇujme nejdrˇ´ıve matici A, jejı´zˇ prvnı´ ˇra´dek je (a 11 , 0, . . . , 0). Z definice determinantu pak podle (4.3) dosta´va´me X X sig(j2 , . . . , jn ) a2j2 a3j3 · · · anjn = det A = sig(j1 , . . . , jn ) a1j1 a2j2 · · · anjn = a11 (j2 ,...,jn )

(j1 ,...,jn )

= a11 A11 = a11 D11 .

Da´le uvazˇme matici A, jejı´zˇ i-ty´ ˇra´dek je (0, . . . , 0, aij , 0, . . . , 0).

(4.5)

4.1. Definice a vlastnosti

49

Pak pomocı´ j − 1 sloupcovyćh za´meˇn a i − 1 ˇra´dkovyćh za´meˇn prˇevedeme prvek a ij na pozici (1, 1) a protozˇe pro vzniklou matici A0 je det A0 = (−1)i−1+j −1 det A = (−1)i+j det A, je na za´kladeˇ prˇedchozı´ho vy´pocˇtu det A = (−1)−i−j aij Aij = (−1)i+j aij Aij = aij Dij . Libovolny´ ˇra´dkovy´ vektor ai1 , . . . , ain je pak soucˇtem celkem n ˇra´dku˚ tvaru (4.5), takzˇe n-na´sobny´m pouzˇitı´m veˇty 4.7 dostaneme (4.4). 4 Prˇ´ıklad 4.6 Pouzˇijme veˇtu o rozvoji determinantu podle ˇra´dku na vy´pocˇet determinantu matice   2 −1 3 −2 0 0 4 0  . A= 3 0 −1 0  1 −3 5 2 Pro rozvoj je vhodne´ zvolit ˇra´dek s maxima´lnı´m pocˇtem nulovyćh prvku˚, tedy druhy´. Pak bude 2 3 −2 −1 3 −2 det A = 0 · (−1)2+1 0 −1 0 + 0 · (−1)2+2 3 0 0 + 1 5 2 −3 5 2 2 −1 3 2 −1 −2 + 4 · (−1)2+3 3 0 0 + 0 · (−1)2+4 3 0 −1 = 1 −3 5 1 −3 2

2 −1 −2 2+1 −1 −2 = 12 (−2 − 6) = −96. = −4 3 0 0 = −4 · 3 · (−1) −3 2 1 −3 2

Pouze pomocny´ charakter ma´ tvrzenı´, ktere´ se vzorci pro rozvoj determinantu opticky podoba´. Vyuzˇijeme je prˇi du˚kazu veˇty 4.13 ty´kajıćı´ se vy´pocˇtu inverznı´ matice vyuzˇitı´m determinantu˚. Veˇta 4.10 Necht’ A = (aij ) je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du n ≥ 2. Pak pro kazˇde´ i, j = 1, . . . , n, i 6 = j, platı´ n X aik Dj k = 0. ai1 Dj 1 + · · · + ain Dj n = k=1

Du˚kaz. Uvazˇujme matici B, ktera´ ma´ stejne´ prvky jako matice A, kromeˇ j -te´ho ˇra´dku; ten je stejny´ jako ˇra´dek i-ty´ (j 6 = i). Podle veˇty 4.5 je det B = 0. Kromeˇ toho podle veˇty 4.9, kde rozvı´jı´me podle j -te´ho ˇra´dku, je n X det B = ai1 Dj 1 + · · · + ain Dj n = aik Dj k . k=1

Porovnańı´m obou vy´sleku˚ dosta´va´me tvrzenı´ veˇty.

4

Kapitola 4

50

Na za´veˇr tohoto oddı´lu uvedeme du˚lezˇitou veˇtu o determinantu soucˇinu dvou matic. V literaturˇe existuje neˇkolik prˇ´ıstupu˚ k jejı´mu du˚kazu, ani jeden vsˇak nelze povazˇovat za jednoduchy´. Nejprˇ´ıstupneˇjsˇ´ı du˚kaz lze nale´zt v [13, strana 49]. Veˇta 4.11 Jsou-li A a B cˇtvercove´ matice te´hozˇ ˇra´du, pak det(AB) = det A · det B.

4.2 Soustavy linea´rnıćh rovnic s regula´rnı´ maticı´ Determinanty umozˇnˇujı´ nahle´dnout hloubeˇji do vlastnostı´ regula´rnıćh matic, hrajı´ vy´znamnou roli prˇi rozpoznańı´ regula´rnıćh matic a vy´pocˇtu matic inverznıćh. Lze jimi explicitneˇ popsat ˇresˇenı´ libovolne´ soustavy rovnic s regula´rnı´ maticı´. Veˇta 4.12 Je-li A regula´rnı´ matice, pak det A 6 = 0 a det A−1 =

1 . det A

(4.6)

Du˚kaz. K regula´rnı´ matici A existuje inverznı´ matice A −1 a platı´ AA−1 = E. Odtud je s vyuzˇitı´m veˇty 4.11 1 = det E = det AA−1 = det A det A−1 . To znamena´, zˇe jak det A tak i det A−1 jsou nenulove´ a platı´ (4.6).

4

Veˇta 4.13 Ma´-li matice A nenulovy´ determinant, je regula´rnı´ a platı´

A−1 =

1 T Dij . det A

(4.7)

Du˚kaz. Oznacˇme B = (Dij )T , kde Dij je doplneˇk k pozici (i, j ) v matici A a vypocˇteˇme AB = C = (cij ). Je cij = a1,i D1,j + · · · + an,i Dn,j . Pro i = j je podle veˇty o rozvoji determinantu (4.9) c ij = det A, kdezˇto pro i 6 = j je podle veˇty 4.10 cij = 0. Tedy C = (det A) E. Stejneˇ se spocˇ´ıta´, zˇe BA = (det A) E, odkud plyne (4.7). 4 Nynı´ jizˇ snadno odvodı´me, zˇe pro existenci a vy´pocˇet inverznı´ matice k libovolne´ cˇtvercove´ matici A stacˇ´ı vyrˇesˇit jedinou rovnici: AX = E. Veˇta 4.14 Necht’ A je cˇtvercova´ matice, k nı´zˇ existuje matice X tak, zˇe platı´ bud’ AX = E nebo XA = E. Pak matice A je regula´rnı´ a X = A−1 . Du˚kaz. Ze vztahu AX = E i XA = E plyne stejny´m zpu˚sobem jako ve veˇteˇ 4.12, zˇe det A 6 = 0. Podle prˇedcha´zejıćı´ veˇty je tedy matice A regula´rnı´, cozˇ umozˇnˇuje pouzˇ´ıt veˇtu 1.9 na straneˇ 10. Z nı´ plyne X = A−1 . 4

4.2. Soustavy linea´rnıćh rovnic s regula´rnı´ maticı´

51

Gaussova eliminacˇnı´ metoda je sice univerza´lnı´m prostrˇedkem k vy´pocˇtu ˇresˇenı´ soustavy linea´rnıćh rovnic, neumozˇnˇuje vsˇak ˇresˇenı´ popsat explicitnı´m vzorcem ani udat jeho vlastnosti. Je tudı´zˇ ućˇelne´ se zaby´vat i jiny´mi mozˇnostmi pro vy´pocˇet ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Je-li matice soustavy regula´rnı´, mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt matice k nı´ inverznı´. Obeˇ strany rovnice Ax = b vyna´sobı´me zleva maticı´ A −1 , cozˇ da´va´ ekvivalentnı´ rovnost x = A−1 b. (4.8) A protozˇe inverznı´ matice k regula´rnı´ matice je urcˇena jednoznacˇneˇ (veˇta 1.10), platı´ Veˇta 4.15 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho ˇra´du. Pak soustava Ax = b ma´ pro kazˇdy´ vektor b ∈ C n jedine´ ˇresˇenı´ dane´ vztahem x = A−1 b. Pro homogennı´ soustavu (b = o) s regula´rnı´ maticı´ tak dosta´va´me jedine´ ˇresˇenı´ x = o. Je trˇeba si vsˇak uveˇdomit, zˇe vzorec (4.8) neprˇina´sˇ´ı zˇa´dne´ zjednodusˇenı´ vy´pocˇtu ˇresˇenı´ soustavy. Pro vy´pocˇet matice A−1 pouzˇijeme u´plneˇ stejne´ho postupu, jaky´m bychom ˇresˇenı´ x dostali prˇ´ımo: Gaussovy–Jordanovy eliminace. V (4.8) vsˇak musı´me jesˇteˇ navıć vektor b vyna´sobit maticı´ A −1 . Znalost determinantu a jeho souvislost s inverznı´ maticı´ na´m dovoluje se navra´tit k mozˇnosti vyja´drˇit ˇresˇenı´ soustavy rovnic s regula´rnı´ maticı´ pomocı´ determinantu˚. Vzorec, ktery´ v na´sledujıćı´ veˇteˇ odvodı´me, se nazy´va´ Cramerovo pravidlo. Protozˇe bylo zna´mo drˇ´ıve nezˇ Gaussova eliminace, stalo se hned po sve´m objevenı´ velice popula´rnı´. Dnes je jeho vy´znam hlavneˇ teoreticky´. Veˇta 4.16 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho ˇra´du a b libovolny´ sloupcovy´ vektor z C n . Oznacˇme Ai matici, ktera´ vznikne z matice A na´hradou jejı´ho i -te´ho sloupce vektorem b, i = 1, . . . , n. Pak ˇresˇenı´m soustavy Ax = b je vektor x = (x1 , . . . , xn )T , kde xi =

det Ai , det A

i = 1, . . . , n.

Du˚kaz. Pro regula´rnı´ matici A ma´ rovnice Ax = b dostaneme    A11 A21 x1   x2  1  A12 A22    .  ..  =  .  det A  .. xn A1n A2n Odtud pak

ˇresˇenı´ x = A −1 b. Dosadı´me-li za A−1 z (4.9), . . . An1 . . . An2 . .. . .. . . . Ann

    

b1 b2 .. . bn



  . 

A1i b1 + A2i b2 + · · · + Ani bn det Ai = , det A det A nebot’ v cˇitateli je rozvoj determinantu matice A i podle i-te´ho ˇra´dku. xi =

4

Celkoveˇ lze vlastnosti regula´rnıćh a singula´rnıćh matic shrnout do na´sledujıćıćh dvou prˇehlednyćh veˇt. Veˇta 4.17 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du. Pak na´sledujıćı´ vlastnosti jsou ekvivalentnı´: (a) A je regula´rnı´; (b) det A 6 = 0; (c) A je ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´;

Kapitola 4

52 (d) h(A) = n;

(e) ˇra´dky matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´; (f) sloupce matice A jsou linea´rneˇ neza´visle´;

(g) soustava Ax = o ma´ jedine´ ˇresˇenı´ x = o;

(h) soustava Ax = b ma´ jedine´ ˇresˇenı´ pro kazˇdy´ vektor b ∈ C n . Du˚kaz. Postup du˚kazu bude na´sledujıćı´: (a) ⇔ (b), (a) ⇔ (c), (c) ⇒ (d), (d) ⇒ (e),

(e) ⇒ (f),

(f) ⇒ (g),

1) [(a) ⇔ (b)] Ekvivalence tvrzenı´ (a), (b) je obsahem veˇt 4.12 a 4.13.

(g) ⇒ (h),

(h) ⇒ (a).

2) [(a) ⇔ (c)] Ekvivalence tvrzenı´ (a), (c) je obsahem veˇty 1.20.

3) [(c) ⇒ (d)] Je-li A ∼ E, pak obeˇ matice majı´ podle veˇty 3.4 stejnou hodnost. Protozˇe matice E ma´ linea´rneˇ neza´visle´ ˇra´dky, je jejı´ hodnost rovna n (viz pozna´mku ze definicı´ hodnosti matice). Hodnost matice A je tedy rovneˇzˇ rovna n. 4) [(d) ⇒ (e)] Plyne z definice hodnosti matice (strana 37) a po nı´ na´sledujıćı´ pozna´mky.

5) [(e) ⇒ (f)] Plyne z rovnosti h(A) = h(A T ) (veˇta 3.1).

6) [(f) ⇒ (g)] Necht’ a1 , . . . , an jsou sloupce matice A. Pro x = (x1 , . . . , xn )T je pak

Ax = x1 a1 + · · · + xn an . Z linea´rnı´ neza´vislosti sloupcu˚ a 1 , . . . , an plyne, zˇe x1 a1 + · · · + xn an = o jedineˇ pokud platı´ x1 = x2 = · · · = xn = 0, tedy x = o.

7) [(g) ⇒ (h)] Platı´-li (g), pak podle veˇty 1.15 je matice A ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ s jednotkovou maticı´ a podle jizˇ doka´zane´ ekvivalence (a) ⇔ (c) je matice A regula´rnı´; vektor x = A −1 b je pak ˇresˇenı´m rovnice Ax = b. Necht’ vektory u a v jsou ˇresˇenı´mi soustavy Ax = b. Je tedy

Au = b a

Av = b.

Odecˇtenı´m dosta´va´me po u´praveˇ A(u − v) = o, odkud z prˇedpokladu (g) plyne u − v = o a tedy u = v. To znamena´, zˇe ˇresˇenı´ soustavy Ax = b je urcˇeno jednoznacˇneˇ.

8) [(h) ⇒ (a)] Ma´-li soustava Ax = b ˇresˇenı´ pro libovolny´ sloupcovy´ vektor b, pak existujı´ vektory vektory x1 , . . . , xn , pro neˇzˇ Axi = ei , i = 1, . . . , n, kde e1 , . . . , en jsou sloupce jednotkove´ matice E. Podle veˇty 1.2 tedy platı´ AX = E, kde X je matice se sloupci x 1 , . . . , xn , z cˇehozˇ podle veˇty 4.14 plyne, zˇe matice A je regula´rnı´. 4 Analogicke´ vlastnosti singula´rnıćh matic pak dostaneme negacı´ odpovı´dajıćıćh vlastnostı´ matic regula´rnıćh. Veˇta 4.18 Necht’ A je cˇtvercova´ matice n-te´ho ˇra´du. Pak na´sledujıćı´ vlastnosti jsou ekvivalentnı´: (a) A je singula´rnı´; (b) det A = 0; (c) h(A) < n;

(d) ˇra´dky matice A jsou linea´rneˇ za´visle´; (e) sloupce matice A jsou linea´rneˇ za´visle´; (f) soustava Ax = o ma´ asponˇ jedno nenulove´ ˇresˇenı´.

4.3. Cvicˇenı´

53

4.3 Cvicˇenı´ 4.1 Rozhodneˇte, ktera´ z na´sledujıćıćh tvrzenı´ o determinantech jsou pravdiva´. a) Pro kazˇde´ dveˇ cˇtvercove´ matice A, B stejne´ho ˇra´du platı´ det (A + B) = det A + det B. b) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A a kazˇde´ cˇ´ıslo α platı´ det (α A) = α det A. c) Pro kazˇde´ dveˇ cˇtvercove´ matice A, B stejne´ho ˇra´du platı´ det (AB) = det A · det B.

d) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A platı´ det A T = det A.

e) Pro kazˇdou regula´rnı´ matici A platı´ det A −1 = 1/ det A. f) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A liche´ho ˇra´du platı´ det (−A) = − det A.

g) Pro kazˇdou cˇtvercovou matici A a kazˇde´ prˇirozene´ n platı´ det A n = (det A)n . h) Elementa´rnı´ operace nemeˇnı´ hodnotu determinantu. i) Determinant regula´rnı´ matice je nenulovy´. j) Determinant singula´rnı´ matice je roven nule. k) Ma´-li matice nenulovy´ determinant, jsou jejı´ ˇra´dky i sloupce linea´rneˇ neza´visle´. l) Ma´-li matice nulovy´ determinant, jsou jejı´ ˇra´dky i sloupce linea´rneˇ za´visle´. 4.2 Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ determinanty: 1 1 1 1 1 −1 1 1 , a) 1 1 −1 1 1 1 1 −1

b)

4.4 Vypocˇteˇte determinanty na´sledujıćıćh    0 0 1 n n ··· n 0 0  n 2 n ··· n        a)  n n 3 · · · n , b)  ... ...   .. .. .. . . ..  0 1  . . . . .  n n n ··· n 1 0

matic n-te´ho ˇra´du  ··· 0 1 ··· 1 0   . .. .. , c) . . . .   ··· 0 0  ··· 0 0

3 −3 −2 −5 2 5 4 6 5 5 8 7 , 4 4 5 6

c)

0 8 7 0

4.3 Vypocˇteˇte determinant (nazy´va´ se Jacobiań) cos ϕ sin ψ −r sin ϕ sin ψ r cos ϕ cos ψ r cos ϕ sin ψ r sin ϕ cos ψ J (r, ϕ, ψ) = sin ϕ sin ψ cos ψ 0 −r sin ψ

4.5 Vypocˇteˇte determinant

a0 −1 0 . .. 0 0

a1 λ −1 .. . 0 0

· · · an−1 ··· 0 ··· 0 . .. . .. . 0 .. λ 0 · · · −1

a2 0 λ .. .

      

2 5 4 1

0 4 1 0

.

1−n 1 1 1 1−n 1 1 1 1−n .. .. .. . . . 1 1 1

. 0 λ

an 0 0 .. .

5 3 2 4

.

··· ··· ··· .. .

1 1 1 .. .

··· 1 − n

      

Kapitola 4

54

ˇ esˇenı´ 4.4 R 4.1 Vsˇechna kromeˇ a), b), h). 4.2 a) −8,

b) 90,

c) 60.

4.3 J (r, ϕ, ψ) = r 2 sin ψ. 4.4 a) (−1)n−1 n!

n

b) (−1) 2 pro sude´ n, (−1)

n−1 2

pro liche´ n,

c) 0.

4.5 a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an . Na´vod: Prvnı´ sloupec vyna´sobte λ a prˇicˇteˇte ke druhe´mu. Vznikly´ sloupec vyna´sobte λ a prˇicˇteˇte ke trˇetı´mu, atd. Nakonec determinant rozvinˇte podle poslednı´ho sloupce.

Kapitola 5

Linea´rnı´ zobrazenı´

Matice jsou nejen ućˇinny´m na´strojem pro popis a ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic, ale umozˇnˇujı´ i popis jakyćhkoliv linea´rnıćh za´vislostı´ mezi vektorovy´mi prostory. Dosta´va´me se tak k pojmu, v neˇmzˇ spojı´me vyuzˇitı´ matic a vektorovyćh prostoru˚: linea´rnı´ zobrazenı´. Definice. Necht’ V a W jsou vektorove´ prostory, bud’ oba rea´lne´ nebo oba komplexnı´. Zobrazenı´ A : V → W nazy´va´me linea´rnı´m zobrazenı´m, jestlizˇe pro vsˇechny vektory x, y ∈ V a vsˇechna cˇ´ısla α platı´ (a) A(x + y) = A(x) + A(y) (b) A(α x) = αA(x).

V technickyćh aplikacıćh se mı´sto na´zvu linea´rnı´ zobrazenı´ pouzˇ´ıva´ take´ linea´rnı´ syste´m. Podmıńky (a), (b) z definice linea´rnı´ho zobrazenı´ se dajı´ nahradit jedinou podmıńkou pro vsˇechny vektory x, y ∈ V a vsˇechna cˇ´ısla α, β : A(α x + β y) = αA(x) + βA(y)

(5.1)

nebo podmıńkou pro obraz jake´koliv linea´rnı´ kombinace A(α1 x1 + · · · + αk xk ) = α1 A(x1 ) + · · · + αk A(xk ).

(5.2)

Vztah (5.2) se take´ nazy´va´ princip superpozice. Z geometrickyćh zobrazenı´ patrˇ´ı mezi linea´rnı´ zobrazenı´ naprˇ´ıklad rotace kolem pocˇa´tku v R 2 nebo R3 , kolma´ projekce do roviny procha´zejıćı´ pocˇa´tkem v R 3 , cˇi symetrie kolem prˇ´ımky nebo roviny procha´zejıćı´ pocˇa´tkem v R3 .

5.1 Matice linea´rnı´ho zobrazenı´ Vztah mezi linea´rnı´mi zobrazenı´mi a maticemi popisujı´ na´sledujıćı´ dveˇ veˇty. Strucˇny´m zpu˚sobem lze jejich obsah charakterizovat takto: Kazˇda´ matice typu (m, n) urcˇuje linea´rnı´ zobrazenı´ mezi prostory n-rozmeˇrnyćh a m-rozmeˇrnyćh aritmetickyćh vektoru˚ a kazˇde´ linea´rnı´ zobrazenı´ mezi dveˇma konecˇneˇ dimenziona´lnı´mi vektorovy´mi prostory lze charakterizovat maticı´. Veˇta 5.1 Necht’ A je rea´lna´ matice typu (m, n). Pak zobrazenı´ A definovane´ vztahem A(x) = A x,

je linea´rnı´m zobrazenı´m z Rn do Rm . 55

x ∈ Rn

(5.3)

Kapitola 5

56

Du˚kaz. Vlastnosti (a), (b) z definice linea´rnı´ho zobrazenı´ jsou pro uvedene´ zobrazenı´ ekvivalentnı´ tvrzenı´ (d) ve veˇtaćh 1.3 a 1.4. 4 Vztah (5.3) definuje rovneˇzˇ linea´rnı´ zobrazenı´ z C n do Cm . Stejneˇ tak pro kazˇdou komplexnı´ matici A typu (m, n) urcˇuje (5.3) linea´rnı´ zobrazenı´ z C n do Cm . Na´sledujıćı´ veˇta ukazuje obraćeny´ pohled: k dane´mu linea´rnı´mu zobrazenı´ A sestrojı´me matici A, ktera´ bude A popisovat vztahem analogicky´m k (5.3). Prˇipomenˇme, zˇe symbolem [x] B oznacˇujeme sloupcovy´ vektor sourˇadnic x v ba´zi B. Veˇta 5.2 Necht’ V je vektorovy´ prostor s ba´zı´ B = (b1 , . . . , bn ) a W vektorovy´ prostor s ba´zı´ C = (c1 , . . . , cm ). Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ V do W a necht’ A je matice, jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı vektory [A(b1 )]C , . . . , [A(bn )]C . Pak pro kazˇdy´ vektor x ∈ V platı´ [A(x)]C = A[x]B . Podle te´to veˇty je zobrazenı´ A charakterizovańo maticı´ typu (m, n), jejı´zˇ sloupce tvorˇ´ı sourˇadnice obrazu˚ ba´zovyćh vektoru˚. Tuto matici nazy´va´me maticı´ zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m B a C. Slovy pak mu˚zˇeme obsah te´to du˚lezˇite´ veˇty vyja´drˇit takto: Sourˇadnice (v ba´zi C ) obrazu libovolne´ho vektoru x ∈ V dostaneme jako soucˇin matice zobrazenı´ a vektoru sourˇadnic x (v ba´zi B ). Du˚kaz. Zvolme x ∈ V a popisˇme jej sourˇadnicemi v ba´zi B :

x = x 1 b1 + · · · + x n bn . Je tedy [x]B = (x1 , . . . , xn )T . Ze vztahu (5.2) pak vyply´va´ A(x) = x1 A(b1 ) + · · · + xn A(bn ) a pro sourˇadnice tedy platı´

A(x)

C

= x1 A(b1 ) C + · · · + xn A(bn ) C .

Na za´kladeˇ veˇty 1.2 lze poslednı´ rovnost prˇepsat do tvaru [A(x)] C = A[x]B , cˇ´ımzˇ je veˇta doka´zańa. 4 Z tvrzenı´ veˇty 5.2 vyply´va´, zˇe v pevneˇ zvolenyćh ba´zıćh prostoru˚ V a W je matice linea´rnı´ho zobrazenı´ A : V → W urcˇena jednoznacˇneˇ, avsˇak prˇi zmeˇneˇ ba´ze v prostoru V nebo W se matice zobrazenı´ A zmeˇnı´. V na´sledujıćı´m oddı´lu uka´zˇeme, jake´ za´konitosti tato zmeˇna podle´ha´. Prˇ´ıklad 5.1 Ukazˇme, jak vypadajı´ matice dvou nejjednodusˇsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ linea´rnı´ho zobrazenı´, zobrazenı´ nulove´ho a zobrazenı´ identicke´ho. Nulove´ zobrazenı´ prˇirˇazuje vsˇem vektoru˚m sve´ho definicˇnı´ho oboru vektor nulovy´. Protozˇe nulovy´ vektor ma´ v libovolne´ ba´zi nulove´ sourˇadnice, je maticı´ nulove´ho zobrazenı´ pro jakoukoliv volbu ba´zı´ v prostoru V nulova´ matice O. Identicke´ zobrazenı´ I : V → V je bez ohledu na volbu ba´ze definovańo vztahem I (x) = x pro kazˇdy´ vektor x ∈ V .

5.1. Matice linea´rnı´ho zobrazenı´

57

Zvolı´me-li v prostoru V libovolneˇ ba´zi B a na identicke´ zobrazenı´ pohlı´zˇ´ıme jako na zobrazenı´ z prostoru V s ba´zı´ B do prostoru V s touzˇ ba´zı´ B, pak je snadne´ si uveˇdomit, zˇe jeho maticı´ je jednotkova´ matice E. Jinak bude vypadat matice identicke´ho zobrazenı´ I, pokud je uvazˇujeme jako zobrazenı´ z prostoru V s jednou ba´zı´ do prostoru V s ba´zı´ jinou. Zvolme tedy v prostoru V dveˇ ru˚zne´ ba´ze B = (b1 , . . . , bn ) a B 0 = (b01 , . . . , b0n ) a spocˇ´ıtejme, jakou matici bude mı´t identicke´ zobrazenı´ I z prostoru V s ba´zı´ B 0 do prostoru V s ba´zı´ B. Podle veˇty 5.2 budou sloupce te´to matice tvorˇit sourˇadnice vektoru˚ I (b01 ), . . . , I (b0n ) vzhledem k ba´zi B. Protozˇe I (b0i ) = b0i pro kazˇde´ i = 1, . . . , n, bude kazˇdy´ ze sloupcu˚ matice identicke´ho zobrazenı´ tvorˇen sourˇadnicemi vektoru˚ b 01 , . . . , b0n vzhledem k ba´zi B. Dostaneme je z na´sledujıćıćh rovnic:

b01 = p11 b1 + p21 b2 + · · · + pn1 bn

b02 = p12 b1 + p22 b2 + · · · + pn2 bn .. .

b0n = p1n b1 + p2n b2 + · · · + pnn bn Maticı´ zobrazenı´ I pak bude P = (pij ). V dalsˇ´ım prˇ´ıkladu vypocˇteme matici zobrazenı´, ktere´ se velmi cˇasto vyskytuje ve fyzika´lnıćh i geometrickyćh aplikacıćh. Prˇ´ıklad 5.2 Definujme zobrazenı´ A : R 2 → R2 jako „otocˇenı´ kolem pocˇa´tku o u´hel α v kladne´m smyslu“ a vypocˇteˇme jeho matici vzhledem ke standardnı´ ba´zi R 2 . +

A(x) sin α

+

A(e1 )

x

α

α cos α

Obr. 5.1 Otocˇenı´ o u´hel α v R2 .

e1

Obr. 5.2 Otocˇenı´ vektoru e1 .

Rˇesˇenı´. Podle veˇty 5.2 budou sloupce hledane´ matice A tvorˇit sourˇadnice obrazu˚ vektoru˚ standardnı´ ba´ze, tedy vektoru˚ A(e1 ) a A(e2 ). Prˇitom A(e1 ) vznikne otocˇenı´m vektoru e1 o u´hel α (viz obr. 5.2) a A(e2 ) je vektor e2 otocˇeny´ o u´hel α. Vy´pocˇet sourˇadnic je jednoduchy´m trigonometricky´m proble´mem a pro vektor A(e1 ) jej zna´zornˇuje jej obr. 5.2. Vyply´va´ z neˇj, zˇe A(e1 ) = cos α e1 + sin α e2

a podobneˇ vyjde

Pro vy´slednou matici A tedy dosta´va´me

A=

A(e2 ) = − sin α e1 + cos α e2 .

cos α − sin α sin α cos α

.

Pomocı´ matice A vypocˇteme sourˇadnice libovolne´ho otocˇene´ho vektoru x = (x 1 , x2 )T : x1 cos α − x2 sin α cos α − sin α x1 = . A(x) = x1 sin α + x2 cos α sin α cos α x2

Kapitola 5

58

5.2 Transformace sourˇadnic Uvazˇujme ve vektorove´m prostoru V dveˇ ru˚zne´ ba´ze B = (b 1 , . . . , bn ) a B 0 = (b01 , . . . , b0n ) a vyja´drˇeme pro kazˇdy´ vektor x ∈ V jeho sourˇadnice v obou ba´zıćh:

x = x 1 b1 + · · · + x n bn Oznacˇme X= x B=

x.1 .. xn

!

a

x0 = x10 b01 + · · · + xn0 b0n .

a

 X0 = x B 0 = 

 x.10 .. . xn0

(5.4)

Vysˇetrˇujme nynı´, jak lze popsat zmeˇnu sourˇadnic vektoru x prˇi prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B 0 . Vyja´drˇ´ıme-li vsˇechny vektory ba´ze B 0 jako linea´rnı´ kombinace vektoru˚ ba´ze B :

b01 = p11 b1 + p21 b2 + · · · + pn1 bn

b02 = p12 b1 + p22 b2 + · · · + pn2 bn .. .

(5.5)

b0n = p1n b1 + p2n b2 + · · · + pnn bn a oznacˇ´ıme-li P = (pij ), pak sloupce matice P tvorˇ´ı sourˇadnice vektoru˚ b 01 , . . . , b0n vzhledem k ba´zi B. To znamena´, zˇe P je maticı´ identicke´ho zobrazenı´ prostoru V s ba´zı´ B 0 do prostoru V s ba´zı´ B (viz prˇ´ıklad 5.1) a tudı´zˇ pro kazˇdy´ vektor x ∈ V platı´ X = x B = I (x) B = P x B 0 = PX0 . (5.6) Matice P nazy´va´me maticı´ prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B 0 . Na´zev je motivovań vztahy 5.5, nikoliv rovnicı´ 5.6. Protozˇe sloupce matice P tvorˇ´ı sourˇadnice vektoru˚ ba´ze, jsou linea´rneˇ neza´visle´. To podle veˇty 4.17 (a), (g) na straneˇ 51 znamena´, zˇe P je regula´rnı´ a existuje k nı´ matice inverznı´. Ze vztahu 5.6 tak dosta´va´me rovnost, umozˇnˇujıćı´ vypocˇ´ıst „nove´“ sourˇadnice X 0 z „pu˚vodnıćh“ sourˇadnic X :

X0 = P−1 X.

(5.7)

Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme odvodit vztah, ktery´ popı´sˇe jak se zmeˇnı´ matice linea´rnı´ho zobrazenı´ A : V → W prˇi zmeˇneˇ ba´zı´ v prostorech V a W. Pro zjednodusˇenı´ za´pisu budeme uvazˇovat pouze nejcˇasteˇji se vyskytujıćı´ prˇ´ıpad V = W. Prˇedpokla´dejme tedy, zˇe V je vektorovy´ prostor s ba´zı´ B = (b 1 , . . . , bn ) a uvazˇujme linea´rnı´ zobrazenı´ A : V → V . Oznacˇme matici tohoto zobrazenı´ (vzhledem k ba´zi B) jako A. Zvolme da´le v prostoru V jinou ba´zi B 0 = (b01 , . . . , b0n ) a oznacˇme matici prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B 0 jako P. Pro popis sourˇadnic vektoru˚ x, y v obou ba´zıćh pouzˇijme oznacˇenı´ podle (5.4). Je-li nynı´ y = A(x), pak Y = AX. Dosazenı´m z (5.6) dostaneme

PY0 = APX0 , odkud vyna´sobenı´m obou stran maticı´ P −1 zleva plyne

Y0 = P−1 APX0 = A0 X0 , kde jsme oznacˇili

A0 = P−1 AP.

(5.8)

Vidı´me tedy, zˇe prˇi zmeˇneˇ ba´ze z B na B 0 se pu˚vodnı´ matice A zmeˇnı´ na matici A 0 = P−1 AP, kde P je matice prˇechodu od ba´ze B k ba´zi B 0 .

5.3. Cvicˇenı´

59

5.3 Cvicˇenı´ 5.1 Linea´rnı´ zobrazenı´ A : R2 → R2 je dańo vztahy A(1, 2) = (3, 1), A(2, 3) = (6, 2).

Vypocˇteˇte matici tohoto zobrazenı´ v ba´zi B = {(1, 2), (2, 3)}. 5.2 Necht’ A je linea´rnı´ zobrazenı´ z R3 do R3 , jehozˇ matice v ba´zi B = {b1 , b2 , b3 } je   5 0 2 A =  2 1 3 . 4 3 0 Urcˇete matici zobrazenı´ A v ba´zi B 0 = {b2 , b1 , b3 }.

5.3 Oznacˇme M2 linea´rnı´ prostor vsˇech cˇtvercovyćh matic druhe´ho ˇra´du a zvolme v neˇm ba´zi 1 0 0 1 0 0 0 0 B= , , , . 0 0 0 0 1 0 0 1 Necht’ T je zobrazenı´, ktere´ kazˇde´ matici A z M 2 prˇirˇadı´ transponovanou matici A T : T (A) = AT . Ukazˇte, zˇe T je linea´rnı´ a vypocˇteˇte matici zobrazenı´ T vzhledem k ba´zi B. 5.4 Zobrazenı´ Z : R2 → R2 je definovańo jako symetrie kolem prˇ´ımky p procha´zejıćı´ pocˇa´tkem a svı´rajıćı´ s „kladnou osou x1 “ u´hel α (t.j. Z je zrcadlenı´ podle prˇ´ımky p ). Nalezneˇte jeho matici Z ve standardnı´ ba´zi R2 . 5.5 Zobrazenı´ P : R3 → R3 je definovańo jako ortogona´lnı´ projekce na rovinu π procha´zejıćı´ osou x 3 a svı´rajıćı´ s osou x1 u´hel α. Vypocˇteˇte jeho matici P ve standardnı´ ba´zi R 3 . 5.6 Linea´rnı´ zobrazenı´ A : R2 → R2 ma´ ve standardnı´ ba´zi R2 matici 1 1 A= . 1 −1 Vypocˇteˇte jeho matici v ba´zi tvorˇene´ vektory b 1 = (3, 1)T a b2 = (2, 1)T . 5.7 Dokazˇte, zˇe linea´rnı´ zobrazenı´ A : V → V je proste´ pra´veˇ tehdy, ma´-li v neˇjake´ ba´zi prostoru V regula´rnı´ matici. 5.8 Ukazˇte, zˇe matice slozˇene´ho zobrazenı´ je soucˇinem matic jednotlivyćh zobrazenı´, t.j. zˇe platı´: Jsou-li B1 , B2 , B3 ba´ze vektorovyćh prostoru˚ V1 , V2 , V3 , A linea´rnı´ zobrazenı´ V1 do V2 , jehozˇ matice vzhledem k ba´zı´m B1 a B2 je A a B je linea´rnı´ zobrazenı´ V2 do V3 , jehozˇ matice vzhledem k ba´zı´m B2 a B3 je B, pak slozˇene´ zobrazenı´ BA : BA(x) = B A(x) , x ∈ V1 ma´ vzhledem k ba´zı´m B1 a B3 matici BA.

5.9 Ukazˇte, zˇe matice inverznı´ho zobrazenı´ je inverznı´ matice k matici zobrazenı´ pu˚vodnı´ho.

Kapitola 5

60

ˇ esˇenı´ 5.4 R 5.1 A = 5.2

5.3

5.4

5.5

5.6



−7 −14 5 10

.

 1 2 3 A0 =  0 5 2  . 3 4 0   1 0 0 0  0 0 1 0   T=  0 1 0 0 . 0 0 0 1 cos 2α sin 2α . Z= sin 2α − cos 2α   cos2 α cos α sin α 0 sin2 α 0 . P =  cos α sin α 0 0 1 0 1 0 A = . 2 0

5.7 A je proste´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro libovolne´ vektory x 6 = y platı´ A(x) 6 = A(y), takzˇe v ba´zi B prostoru V bude platit x 6 = y ⇐⇒ A(x) 6 = A(y) ⇐⇒ A(x − y) 6 = o ⇐⇒ A[x − y] B 6 = o ⇐⇒ Au 6 = o pro u 6 = o. To je podle veˇty 4.14 (g) ekvivalentnı´ regula´rnosti matice A. 5.8 B A(x) B3 = B A(x) B2 = BA x B1 . 5.9 Je-li y = A−1 (x), pak x = A(y) a tedy [x] = A [y], odkud plyne [y] = A −1 [x].

Literatura [1] J. Brabec, Vybrane´ kapitoly z teorie matic. Vydavatelstvı´ Cˇ VUT, Praha, 1975. [2] J. Brabec, F. Martan, Z. Rozensky´, Matematicka´ analy´za I. SNTL, Praha, 1985. [3] J. Brabec, B. Hru˚za, Matematicka´ analy´za II. SNTL, Praha, 1986. [4] M. Demlova´, B. Pondeˇlıćˇek, U´ vod do algebry. Vydavatelstvı´ CˇVUT, Praha, 1996. [5] M. Fiedler, Specia´lnı´ matice a jejich pouzˇitı´ v numericke´ matematice. SNTL, Praha, 1981. [6] S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, Linear Algebra. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989. [7] G. H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix Computations. The John Hopkins University Press, Baltimore, 1983. [8] P. R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer, New York, 1987. [9] V. Havel, J. Holenda, Linea´rnı´ algebra. SNTL Praha, 1984. [10] E. Krajnı´k, Maticovy´ pocˇet. Vydavatelstvı´ Cˇ VUT, Praha, 2000. [11] P. Olsˇa´k, Linea´rnı´ algebra. Online http://math.feld.cvut.cz/olsak/linal.html [12] M. O’Nan, Linear Algebra. Harcourt Brace Jovanovich, Inc., New York, 1976. [13] P. Pta´k, Introduction to Linear Algebra. Vydavatelstvı´ Cˇ VUT, Praha, 1997. [14] M. Ra´b, Metody rˇesˇenı´ diferencia´lnıćh rovnic, 2.dı´l. Vydavatelstvı´ VUT, Brno, 1989. [15] J. Rohn, Linea´rnı´ algebra a optimalizace. Karolinum, Praha 2004.

61

Rejstrˇ´ık aritmeticke´ vektory, 23

matice, 3 blokoveˇ diagona´lnı´, 4

ba´ze, 27

cˇtvercova´, 3 Cramerovo pravidlo, 51

diagona´lnı´, 3 elementa´rnı´, 19

determinant matice, 44

hodnost, 37

dimenze vektorove´ho prostoru, 29

inverznı´, 9, 17

doplneˇk, 48

jednotkova´, 3 elementa´rnı´ ˇra´dkove´ operace, 13

komutujıćı´, 7

elementa´rnı´ sloupcove´ operace, 13

linea´rnı´ho zobrazenı´, 56

Frobeniova veˇta, 40

nulova´, 3 prˇechodu, 58

Gaussova eliminacˇnı´ metoda, 11

regula´rnı´, 9, 51

Gaussova–Jordanova eliminace, 14

singula´rnı´, 9, 52

Gramu˚v–Schmidtu˚v proces, 32

soustavy, 11 rozsˇ´ıˇrena´, 11

hodnost matice, 37

symetricka´, 8

homogennı´ soustava rovnic, 11, 13, 14, 24, 51

transponovana´, 8 identicke´ zobrazenı´, 56

troju´helnı´kova´, 3, 45

inverze v permutaci, 44 dolnı´, 3 ja´dro, 24

hornı´, 3 za´meˇnna´, 7

linea´rnı´ kombinace vektoru˚, 23

mocnina matice, 8

linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚, 25 linea´rnı´ obal, 26

nulovy´ prostor, 24

linea´rnı´ za´vislost vektoru˚, 25 linea´rnı´ zobrazenı´, 55

ortogona´lnı´ vektory, 31 62

RejstrˇI´k ortonorma´lnı´ ba´ze, 31 ortonorma´lnı´ vektory, 31 permutace, 44 podprostor, 24 princip superpozice, 55 QR rozklad, 34 rozvoj determinantu, 48 ˇra´dkoveˇ ekvivalentnı´ matice, 13 ˇra´dkovy´ prostor matice, 37 Sarrusovo pravidlo, 45 skala´rnı´ soucˇin, 30 sloupcovy´ prostor matice, 37 sourˇadna´ soustava, 26, 27 sourˇadnice, 28 standardnı´ ba´ze, 27, 28 subdeterminant, 48 vektor, 3, 23 vektorovy´ prostor, 23 konecˇneˇ dimenziona´lnı´, 27 velikost vektoru, 31 znameńko permutace, 44

63

2 Vektory a vektorové prostory Lineární závislost a nezávislost vektorů Souřadná soustava a báze... 26

Recommend Documents