2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
V této kapitole se dozvíte: •
jak je d efin ováno sčítání matic a jaké má zák ladní v lastno sti;
•
jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlas tno sti;
•
zda a p ro č se matice mo h ou chápat jako vekto ry;
•
definici matico vého násob ení včetně povolených typů činitelů a typu výsledné matice;
•
základní vlastn osti maticového násobení.
Klíčová slova této kapitoly: sčítání matic, násobení matic číslem, maticové násobení (součin matic).
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 0,5 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Součet matic. Definice. Matice C je součtem matic A , B právě tehdy, jsou-li všechny tři matice téhož typu a platí-li, že každý prvek matice C je součtem stejnolehlých prvků matic A , B . Matematický zápis: C = A + B ⇔ ∀i, k : cik = aik + bik . Věta Pro libovolné matice A , B , C stejného typu a nulovou matici 0 téhož typu platí: a) A + 0 = A (nulový prvek); b) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C = A + B + C (asociativnost); c) A + B = B + A (komutativnost); T d) ( A + B ) = A T + B T . Násobení matice číslem. Definice. Součinem matice A = ( aik ) a čísla α je matice B = ( bik ) stejného typu jako matice A , pro jejíž prvky platí bik = α ⋅ aik . Matematický zápis:
B = α A ⇔ ∀i, k : bik = α ⋅ aik .
Věta. Pro libovolné matice A , B stejného typu a libovolná čísla α , β platí: a) 1⋅ A = A (jednotkový prvek); b) (α + β ) A = α A + β A (distributivnost); c) α ( A + B ) = α A + α B (distributivnost); d) α ( β A ) = (αβ ) A = αβ A (asociativnost); e)
(α A )
T
= α AT .
Poznámka. Z definic sčítání matic a násobení matic číslem plyne, že množina všech matic daného typu s výše uvedenými operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem tvoří vektorový prostor. Platnost většiny axiomů vektorového prostoru byla ověřena v předchozích dvou větách. Na matice tedy můžeme, pokud je to výhodné, pohlížet jako na vektory a definovat i další vektorové operace, např. normu, skalární součin apod. Maticové násobení. Definice. Součinem matice A = ( aik ) typu ( m, p ) a matice B = ( bik ) typu ( p, n ) nazýváme matici C = ( cik ) typu ( m, n ) , pro jejíž prvky platí:
p
cik = ∑ aij b jk . j =1
Zapisujeme C = AB nebo i s tečkou C = A ⋅ B . Poznámka. a) Součin matic je definován pouze tehdy, je-li počet sloupců první (levé) matice roven počtu řádků druhé (pravé) matice. b) Prvek cik součinu C = AB je vlastně skalárním součinem i -tého řádku matice A a k tého sloupce matice B . c) Máme-li součin AB , říkáme, že matice A násobí matici B zleva nebo také, že matice B násobí matici A zprava. Toto rozlišení je nutné, neboť neplatí komutativní zákon, tzn. obecně AB ≠ BA . Věta Pro libovolné matice A , B , C takových typů, aby pro ně níže uvedené operace byly definovány, platí: a) AE = EA = A (jednotkovým prvkem je jednotková matice E ). b) ( A + B ) C = AC + BC , A ( B + C ) = AB + AC (distributivnost). c) A ( BC ) = ( AB ) C = ABC (asociativnost). d)
( AB )
T
= BT AT .
Důkaz. Důkazy všech čtyř tvrzení se dají provést snadno rutinním rozepsáním maticových součinů podle definice, což přenecháváme čtenáři. Poznámka. Při aplikacích pozor zejména na vlastnost d) týkající se transpozice součinu matic, která není intuitivně zřejmá.
Shrnutí kapitoly: Základními operacemi s maticemi jsou maticový součet a násobení matice číslem. Součet matic stejného typu provádíme tak, že sčítáme jednotlivé stejnolehlé prvky. Při součinu matice a čísla jednoduše násobíme tímto číslem všechny prvky matice. V obou případech je výsledná matic e téhož typu jako matice výchozí. Z definic uvedených operací plynou jejich vlastnosti. Ukazuje se, že množina matic stejného typu spolu s uvedenými operacemi vyhovuje axiomům vektorového prostoru. V tomto smyslu můžeme na matice pohlížet jako na vektory. Velmi důležitou a trochu komplikovanější operací je maticové násobení. Jeho přesnou definici je třeba znát. Maticové násobení je povoleno pouze pro takovou dvojici matic, kdy počet sloupců první matice je roven počtu řádků druhé matice. U výsledné matice je počet řádků dán počtem řádků první matice a počet sloupců počtem sloupců druhé matice. Maticový součin je asociativní a distributivní (vzhledem ke sčítání matic), není však komutativní, a to ani v případě, kdy je přehození pořadí matic typově dovoleno (např. u čtvercových matic). Maticový součin zapisujeme analogicky jako součin dvou čísel: C = AB nebo C = A ⋅ B . Otázky: •
Jak je defin ováno sčítání matic a jaké má základní vlastno sti?
•
Jak je defin ováno n áso bení matic číslem a jaké má základní vlas tno sti?
•
Dají se matice chápat jako vektor y? Za jaký ch pod mínek a proč?
•
Podejte přesnou definici maticového násobení. Formulujte jasně, jak éh o typu musí být jednotliví činitelé, jak ého typu je vý sledek a jak v ypad á fo rmu le p ro výp očet jed n otlivý ch p rvků v ýsled né matice.
•
Uvažte, zda platí následující tv rzen í: při vý počtu p rvk u, který je v i -tém řádku a k -tém sloupci výsledné součinové matice, h rají r oli pouze prv k y v i -tém řádku první matice a v k -tém slo upci d ruh é matice.
•
Které základní zákon y pl atí a k teré naop ak n ep latí p ro matico vý součin?
•
Jak vypadá vzo rec pro transp ozici součinu matic?
Příklad 1. Vypočtěte součin matic. 1 2 4 3 a) ⋅ ; 3 4 2 1 1 0 −1 2 b) ⋅ ; 2 −3 1 3 −1 2 7 c) ⋅ ; −4 7 4 2 d) −1 3 −12 e) 0 0
1 2 1 −3 4 0 −1 ⋅ 4 2 6 ; −5 3 −2 1 −3 −5 −26 1 −3 4 5 10 ⋅ 4 2 6 ; 5 14 −2 1 −3
6 5 1 2 3 f) ⋅ 4 3 . 4 5 6 2 1 Řešení příkladů: 8 5 1a) ; 1b) 20 13
−1 2 ; 1c) −5 − 5
1 ; 1d) 0
8 −2 2 1 2 −1 ; 1e) −23 −16 −27
20 0 0 0 20 0 ; 0 0 20
20 14 1f) . 56 41
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. Z vÁúlohách V Ě RI.:1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika 3. POLÁK, J. Středoškolská[ T matematika v úlohách a d y k l e p n ě t eII. 1. a vyd. p i šPraha: t e ] Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
