1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

Sbírka úloh z matematiky

1. Lineární algebra

1.

LINEÁRNÍ ALGEBRA ....................................................................................... 8

1.1.

Vektory............................................................................................................................ 8

1.1.1. Operace s vektory ...................................................................................................... 8 Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 8 1.1.2. Lineární závislost a nezávislost vektorů.................................................................... 8 Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 8 1.1.3. Báze vektorového prostoru........................................................................................ 9 Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 9 1.2.

Determinant .................................................................................................................... 9 Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 9

1.3.

Matice ............................................................................................................................ 10

1.3.1. Operace s maticemi ................................................................................................. 10 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 10 1.3.2. Hodnost matice ........................................................................................................ 12 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 12 1.3.3. Inverzní matice ........................................................................................................ 13 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 13 1.3.4. Maticové rovnice ..................................................................................................... 13 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 13 1.4.

Soustavy lineárních rovnic .......................................................................................... 15 Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 15 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 17

-7-



1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Vektory 1.1.1. Operace s vektory Úlohy k samostatnému řešení

G G G G G G 1. Vypočítejte součet a + b a rozdíl a − b a b − a vektorů: G G G G a) a = ( 2, 3, 5 ) , b = ( −8, 3, 9 ) , b) a = (1, 1, 0, − 5 ) , b = ( 3, − 6, 8, − 11) , G G G G c) a = ( 7, − 8, 0, 15 ) , b = ( −1, 4, 9, 9 ) , d) a = ( −4, 9, 2 ) , b = ( 3, 3, − 9, 7 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení G 2. Vypočítejte souřadnice vektoru x , pro který platí: G G G G G G a) x + 2a − 4b = o , a = ( 8, 7, 11) , b = ( 9, 3, − 5 ) , G G G G G G b) 4 x − 8a − 2b = o , a = ( −5, − 13, 8, 4 ) , b = ( 6, 8, − 14, 6 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.1.2. Lineární závislost a nezávislost vektorů Úlohy k samostatnému řešení

G G 3. Určete konstantu m tak, aby vektory a , b byly lineárně závislé, (kolineární): G G G G a) a = ( −4, m, 5 ) , b = ( −8, 6, 10 ) , b) a = (1, m, 0, m ) , b = ( 3, − 6, 0, − 6 ) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení G G 4. Určete konstanty m, r tak, aby vektory a , b byly lineárně závislé, (kolineární): G G G G b) a = ( 4, m, 8, 4 ) , b = ( 6, 9, r , 6 ) . a) a = (12, m, 16 ) , b = ( 9, 3, r ) ,

Výsledky úloh k samostatnému řešení G G G 5. Zjistěte, jak jsou vektory a , b , c závislé: G G G a) a = (1, 0, 1) , b = ( 2, 3, 5 ) , c = ( 0, 3, 3) , G G G b) a = ( −4, 3, 2, 5 ) , b = ( −1, 0, 1, 0 ) , c = ( 0, 3, − 2, 5 ) , G G G c) a = ( 2, 7, 4, 2 ) , b = ( −12, − 16, 12, − 8 ) , c = (1, − 3, − 7, 0 ) , G G G d) a = (1, 2,3) , b = (1, 0,1) , c = ( 3, 4, 7 ) , G G G e) a = ( 5,1,1) , b = ( 2,1, 0 ) , c = ( 3, 0, 4 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

-8-



G G G G 6. Zapište vektor d jako lineární kombinaci vektorů a , b , c : G G G G a) a = (1, 0, 1) , b = ( 2, 3, 5 ) , c = ( 0, 3, − 3) , d = ( 5, 12, 5 ) , G G G G b) a = ( −4, 3, 2, 5 ) , b = ( −1, 0, 1, 0 ) , c = ( 0, 3, − 3, 5 ) , d = ( 2, 6, − 9, 10 ) , G G G G c) a = (1, 7, 4, 2 ) , b = ( −3, 7, 4, − 8 ) , c = ( 3, − 8, − 1, 6 ) , d = ( 0, − 1, 3, − 2 ) , G G G G d) a = ( 2,1, 2 ) , b = ( −1, 0,3) , c = (1,1, 0 ) , d = ( 0,1,13) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.1.3. Báze vektorového prostoru Úlohy k samostatnému řešení

G G G 7. Dokažte,že vektory a , b , c tvoří bázi vektorového prostoru a zapište souřadnice vektoru G d v této bázi: G G G G a) a = (1, 0, 1) , b = ( 2, − 4, 7 ) , c = ( 0, 3, − 1) , d = (1, 19, − 9 ) , G G G G b) a = ( −4, 3, 2 ) , b = ( −1, 1, 0 ) , c = ( 0, 3, 4 ) , d = ( −12, 29, 36 ) , G G G G c) a = ( 6, 5, 4 ) , b = ( −5, 2, 4 ) , c = (1, 0, − 4 ) , d = ( −17, − 1, 8 ) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.2. Determinant Úlohy k samostatnému řešení

8. Vypočítejte determinant: 4 5 3 −1 a) , b) , 1 2 6 2 d)

2 5

e)

3 8

−4 3 1 2

c)

3 −6 4 −8

,

.

Výsledky úloh k samostatnému řešení 9. Vypočítejte determinant Sarrusovým pravidlem: 1 2 1 5 2 −4

a) −1 3 2 , 1 3 3

1 2

1

d) 3 0 −1 , 2 1 4

b)

3 3 −5 2

1, 7

2 1 2 e) −1 3 0 . 3 5 4

-9-

4

1 4

c) 2 −2 2 , 2 −5 2



Výsledky úloh k samostatnému řešení 10. Vypočítejte determinant, determinant upravte a použijte rozvoj podle některého řádku nebo sloupce: 2 1 −1 4 1 −1 2 1 4 5 6 7 −1 3 1 0 3 2 −2 5 −4 −5 5 −7 , b) , c) , a) 1 1 1 0 2 1 1 4 1 3 4 2 0 2 2 4 1 0 4 1 2 −1 −2 3 1 2 3 4

d)

1 0 2 1 , 3 3 1 0 2 1 1 1

6 2 3 0 1 1 3 1 . 0 3 1 1

e)

−1 0 2 2

Výsledky úloh k samostatnému řešení 11. Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar: 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 3 −1 1 2 1 , b) 1 1 0 1 0 , a) 2 4 3 1 −1 −2 2 1 −1 1 2 2 2 −1 0 0 1 0

1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 d) −2 1 0 1 1 . −1 2 1 1 1 3 1 3 0 1 Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.3. Matice 1.3.1. Operace s maticemi Úlohy k samostatnému řešení

12. Vypočítejte 2 ⋅ A + 3 ⋅ B − C , kde: ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 4 0⎞ ⎛ 7 5⎞ a) A = ⎜ ⎟, ⎟, B = ⎜ ⎟, C = ⎜ 3⎠ ⎝0 ⎝ −2 5 ⎠ ⎝ −6 10 ⎠

- 10 -

3 −1 5 4 6 −2 −10 c) , −6 11 13 8 2

6 21

2

14



1 −1 ⎞ ⎛5 ⎛ 6 9 11⎞ ⎛ 1 0 2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b) A = ⎜ 2 −3 0 ⎟ , B = ⎜ −5 −1 −3 ⎟ , C = ⎜ −2 1 0 ⎟ . ⎜ 0 −7 2 ⎟ ⎜ 4 −8 −4 ⎟ ⎜ −1 1 3 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Výsledky úloh k samostatnému řešení 13. Vypočítejte A + 2 ⋅ E − 2 ⋅ B , kde:

⎛ 5 3⎞ ⎛ 8 −2 ⎞ a) A = ⎜ ⎟, ⎟, B = ⎜ ⎝ 9 −4 ⎠ ⎝6 9⎠

⎛ 1 0 2⎞ ⎛9 8 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 3 4 0 ⎟ , B = ⎜ 4 −5 −6 ⎟ . ⎜ −2 8 −3 ⎟ ⎜3 2 1⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Výsledky úloh k samostatnému řešení 14. Vynásobte matice A a B :

⎛ 5 3⎞ ⎛ 8 −2 ⎞ a) A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎝ 9 −4 ⎠ ⎝6 9⎠

⎛ 1 0 2⎞ ⎛9 8 7⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b) A = ⎜ 3 4 0 ⎟ , B = ⎜ 4 −5 −6 ⎟ , ⎜ −2 8 − 3 ⎟ ⎜3 2 1⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ 2 4⎞ ⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ −3 1⎟ , ⎝ 3 1 1⎠ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ 5 e) A = (1 −2 0 3) , B = ⎜ ⎟ , ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 7 4 −3 ⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 1 2 5 ⎟ , B = ⎜ 0 1 ⎟ , ⎜ −1 2 3 ⎟ ⎜3 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 7 ⎜ ⎛ −2 −1 0 5 ⎞ ⎜ 5 B = f) A = ⎜ , ⎟ ⎜ −1 ⎝ 7 8 4 −9 ⎠ ⎜ ⎝ 3

⎛ 2 3⎞ ⎛ 2 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ g) A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ −2 1⎟ , 1 1⎠ ⎝6 ⎜ 2 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3 2⎞ ⎛ 2 3 4⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ h) A = ⎜ 1 4 ⎟ , B = ⎜ 3 1 3 ⎟ , ⎜ 9 −1⎟ ⎜ 2 −1 3 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ 1 i) A = ( 2 1 2 3) , B = ⎜ ⎟ , ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 1 1 0⎞ ⎜ −1 3 ⎟ , B = j) A = ⎜ , ⎟ ⎜ 6 0⎟ ⎝3 1 0 1 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 ⎠

2⎞ ⎟ 5⎟ , 0⎟ ⎟ 8⎠

⎛ 1 2⎞ ⎜ ⎟ −1 3 ⎟ ⎛ 2 1 1 0⎞ ⎛ 9 3⎞ ⎜ k) A = ⎜ ,C=⎜ ⎟ , matice lze násobit více způsoby. ⎟, B = ⎜ 6 0⎟ ⎝3 1 0 1 ⎠ ⎝ −1 4 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 ⎠


- 11 -



1.3.2. Hodnost matice Úlohy k samostatnému řešení

15. Vypočítejte hodnost matice:

⎛ 1 0 −3 ⎞ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 2 4 6 ⎟ , ⎜ 4 4 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 1 2⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 3 −1 3 ⎟ ⎜ 1 1 0⎟ ⎝ ⎠

3 −2 ⎛ 2 ⎜ 4 5 0 d) A = ⎜ ⎜ −2 −4 5 ⎜ 8 1 ⎝ 6

4⎞ ⎟ 3⎟ , 1⎟ ⎟ 1⎠

⎛ 1 −1 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 2 −2 1 1⎟ f) A = ⎜ 1 −2 3 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 2 −1 1⎟ ⎜ −1 1 2 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ ⎜ 1 ⎜ 2 ⎜ h) A = ⎜ 1 ⎜ 1 ⎜ ⎜ −1 ⎜ −1 ⎝

0 1 1 1 0

1

1 1 2 1 1 1 2 0 0 2 0

⎛ 1 ⎜ ⎜ −1 c) A = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 3 ⎜ 2 ⎝

1

1 1 1

0 1 1 3 4

1 2 3 2 4

0⎞ ⎟ 1⎟ 1⎟ , ⎟ 2⎟ 3 ⎟⎠

⎛ 1 3 5 7 −5 2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 −4 1 1 0 6⎟ e) A = ⎜ , ⎜ 3 −1 6 8 −5 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 5 16 22 −15 12 ⎠

⎛ 1 ⎜ ⎜ 1 ⎜ −1 g) A = ⎜ ⎜ 2 ⎜ −2 ⎜⎜ ⎝ −3

1 0 2 1 2 4

6 1 1 7 0 1

1⎞ ⎟ 1⎟ 4⎟ ⎟, 2⎟ 3⎟ ⎟ 7 ⎟⎠

1⎞ ⎟ 1⎟ 2⎟ ⎟ 0⎟ . 1⎟ ⎟ 0⎟ −1⎟⎠

Výsledky úloh k samostatnému řešení 16. Doplňte parametry a, b tak, aby matice měla danou hodnost: ⎛ 1 0 2⎞ ⎛ 5 7 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ a 4 2 ⎟ , h ( A ) = 2 , b) A = ⎜ a −7 2 ⎟ , h ( A ) = 2 . ⎜4 4 b⎟ ⎜ 4 b 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


- 12 -



1.3.3. Inverzní matice Úlohy k samostatnému řešení

17. Najděte inverzní matici: ⎛ −4 3 ⎞ a) A = ⎜ ⎟, ⎝ −2 1 ⎠

1⎞ ⎛ 2 d) A = ⎜ ⎟, ⎝ −1 −2 ⎠

⎛ 5 −2 ⎞ c) A = ⎜ ⎟, ⎝12 −7 ⎠

⎛2 1⎞ b) A = ⎜ ⎟, ⎝ 7 2⎠ ⎛ 2 4⎞ e) A = ⎜ ⎟. ⎝ −3 −8 ⎠

Výsledky úloh k samostatnému řešení 18. Najděte inverzní matici: ⎛ 1 2 1⎞ ⎟ ⎜ a) A = ⎜ 3 −2 4 ⎟ , ⎜ 1 7 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 4 1⎞ ⎟ ⎜ d) A = ⎜ 2 1 0 ⎟ , ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0 3 1⎞ ⎟ ⎜ b) A = ⎜ −5 2 1⎟ , ⎜ 2 0 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ 11 12 13 ⎟ , ⎜ −2 −3 −4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −2 5 −4 ⎞ ⎜ ⎟ e) A = ⎜ 0 −3 0 ⎟ . ⎜ 1 −2 1⎟⎠ ⎝

Výsledky úloh k samostatnému řešení 19. Najděte inverzní matici: ⎛ 1 −1 2 −3 ⎞ ⎜ ⎟ −1 1 0 1⎟ ⎜ a) A = , ⎜ 2 0 −1 2 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝ −3 1 2 5 6 7⎞ ⎛ 4 ⎜ ⎟ −1 −2 −3 −4 ⎟ ⎜ c) A = , ⎜ 0 1 1 0⎟ ⎜ ⎟ 1 2 −4 ⎠ ⎝ 2

⎛ 0 ⎜ −1 b) A = ⎜ ⎜ −3 ⎜ ⎝ 1

1 1⎞ ⎟ 2 1 0⎟ , 1 2 3⎟ ⎟ 5 4 1⎠ 2

⎛ 1 2 ⎜ −1 1 d) A = ⎜ ⎜ 0 1 ⎜ ⎝ 0 −2

0⎞ ⎟ 0 −2 ⎟ . 1 −1⎟ ⎟ 1 1⎠ 1


1.3.4. Maticové rovnice Úlohy k samostatnému řešení

20. Řešte rovnici s neznámou maticí X : ⎛ 2 −4 ⎞ ⎛ 6 0⎞ a) ⎜ ⎟⋅X = ⎜ ⎟, ⎝ 2 −7 ⎠ ⎝18 −6 ⎠

1⎞ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ −2 b) X ⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝ 3 −4 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ - 13 -



⎛ 2 3⎞ ⎛ 0 1 ⎞ c) X ⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝ 1 0⎠ ⎝1 2⎠

1⎞ ⎛4 1⎞ ⎛2 d) ⎜ ⎟⋅X = ⎜ ⎟, ⎝ 6 2⎠ ⎝ 4 −2 ⎠

⎛11 5 ⎞ ⎛12 −5 ⎞ ⎛ 9 5 ⎞ e) ⎜ ⎟⋅ X ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 2 1⎠ ⎝ 4 −2 ⎠ ⎝ 1 3 ⎠

⎛1 1⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 2 4 ⎞ f) ⎜ ⎟ ⋅ X ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ 2 0⎠ ⎝ 3 −2 ⎠ ⎝ 3 6 ⎠

Výsledky úloh k samostatnému řešení 21. Řešte rovnici s neznámou maticí X : ⎛ 1 0 2⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) ⎜ 4 1 5 ⎟ ⋅ X = ⎜ 3 4 ⎟ , ⎜ 5 3 −1 ⎟ ⎜2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2 −1⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) ⎜ 3 1 0 ⎟ ⋅ X = ⎜ 1 1⎟ , ⎜ 2 2 1⎟ ⎜ 2 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −5 −8 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎜ ⎟ b) X ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ 2 4⎟ , 3 1 − ⎝ ⎠ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 5 1⎞ ⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ d) X ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ 1 0⎟ , ⎝ 2 5 ⎠ ⎜ 2 3⎟ ⎝− ⎠

3 1⎞ ⎛ 5 1 3 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e) X ⋅ ⎜ 1 1 1⎟ = ⎜ −4 2 0 ⎟ . ⎜ −2 −2 1⎟ ⎜ 5 5 9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Výsledky úloh k samostatnému řešení 22. Řešte rovnici s neznámou maticí X : ⎛ 2 5 −9 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⋅ X = ⎜ 2 ⎟ , a) ⎜ 1 2 ⎜ 1 3 −4 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ b) X ⋅ ⎜ 0 2 3 ⎟ = ( 0 −13 −3) , ⎜1 3 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −13 10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ −5 4 ⎞ ⎜ −12 10 ⎟ c) X ⋅ ⎜ . ⎟= ⎝ −3 2 ⎠ ⎜ −6 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −25 18 ⎠

Výsledky úloh k samostatnému řešení 23. Řešte soustavu maticových rovnic s neznámými maticemi X, Y : ⎛ 1 −1⎞ ⎛18 8 ⎞ ⎛ 6 1⎞ ⎛ 3 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 −2 ⎞ a) ⎜ b) ⎜ ⎟⋅X = ⎜ ⎟, Y ⋅⎜ ⎟ = X, ⎟⋅ X = ⎜ ⎟, ⎜ ⎟⋅Y = X . ⎝ 2 3⎠ ⎝ 6 11⎠ ⎝ 0 5⎠ ⎝5 1⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 3 −4 ⎠


- 14 -



1.4. Soustavy lineárních rovnic Úlohy k samostatnému řešení

24. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM a Cramerovým pravidlem: x+ y+ z= 4 2 x + 3 y − 2 z = −4 −x + y + 2z =

a) 2 x − 3 y + z = −3 , −x + 2 y − 2z = 1

2x + 3y + 4z =

g)

x + y + z = 3, 2x − y − z = 6

c) 2 x − y − 4 z = −16 , 5 x + y + z = 12

6x + y − z = 7

9

d) 5 x − 3 y + 4 z = −6 , 4 x + 3 y − 4 z = −21

x + 2y − z =9

b) 4 x − 3 y + 3 z = 10 , 6 x − 4 y − 2 z = 14

e)

6

x+ y−z= 5

x − 6 y + z =17 , − x + y + 6 z = 14

f)

2x + y − 2z = 7

x − 2y + z = 0 , − x + y − z = −5 −2 x + 3 y − 4 z = 4

h) − x + 2 y + z = −1 , 2x + 3y + z = 0

i)

5x − 3 y + 7 z = 2 . −9 x + 4 y −12 z = 1

Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM: x+ y + z +u = 4 x + y − 4z = 9 x − 2 y + 3z − u = 2 a) x + y + 2 z = 3 , b) , c) 2x − y + 4z = 6 x+ y − z =6 3x + 5 z + u = 11

x1 + 2 x2 − x3 + 3x4 − 2 x5 = 4 2 x1 + 2 x2 − 3x3 + 3x4 − x5 = 5 d) − 2 x2 − x3 − 3x4 + 3x5 = −3 , − x1 + 2 x3 − 2 x4 + x5 = 3 x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 − x5 = 6

e)

3 x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 5 −3 x1 + x2 + 4 x3 + x4 = 4 , 2 x1 − x2 + 3 x3 − x4 = 3 −2 x1 + x2 + 5 x3 + x4 = 2

x1 + 2 x2 + 4 x3 − x5 = 1 x1 − x2 + 5 x3 − x4 − 2 x5 = 4 . 3 x2 − x3 + x4 + x5 = −6 x1 − 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 4 x5 = 8

Výsledky úloh k samostatnému řešení 26. Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic: x+ y + z + u =0 x + y − 4z = 0 3x − 2 y + z =0 a) x + y + 2 z = 0 , b) , 2 x + 2 y + z + 2u = 0 x+ y − z =0 6 x + y + 3 z − 3u = 0

2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 + x5 = 0 2 x1 + x2 − 3x3 + x4 + x5 = 0 d) x1 − x2 + 3x3 − x4 − x5 = 0 , 4 x1 − 2 x2 − 2 x3 + 2 x5 = 0 7 x1 − 2 x2 − 2 x3 + 2 x5 = 0

e)

2 x1 + x2

+ x4 = 0 −3 x1 − x2 + 2 x3 + 2 x4 = 0 c) , 4 x1 + x2 + 2 x3 + 5 x4 = 0 3 x3 + 5 x4 = 0

x1 + 2 x2 − x3 + 4 x4 − x5 = 0 2 x1 + 4 x2 − 4 x3 + 6 x4 − 3 x5 = 0 . x1 + 2 x2 − 3 x3 + 2 x4 − 2 x5 = 0 − x1 − 2 x2 + x3 − 4 x4 + x5 = 0

- 15 -




- 16 -




G G G G G G G G 1. a) a + b = ( −6, 6, 14 ) , a − b = (10, 0, − 4 ) , b − a = ( −10, 0, 4 ) ; b) a + b = ( 4, − 5, 8, − 16 ) , G G G G G G G G a − b = ( −2, 7, − 8, 6 ) , b − a = ( 2, − 7, 8, − 6 ) ; c) a + b = ( 6, − 4, 9, 24 ) , a − b = ( 8, − 12, − 9, 6 ) , G G G d) nelze sčítat ani odčítat. 2. a) x = ( 20, − 2, − 42 ) ; b − a = ( −8, 12, 9, − 6 ) ;

G b) x = ( −7, −22,9,11) . 3. a) m = 3 ; b) m = −2 . 4. a) m = 4, r = 12 ; b) m = 6, r = 12 . G G G G G G G G G G G G G G G G 5. a) 2a − b + c = o ; b) a − 4b − c = o ; c) 4a + b + 4c = o ; d) 2a + b − c = o ; G G G G G G G G G G G G G G G e) LNZ . 6. a) d = a + 2b + 2c ; b) d = −a + 2b + 3c ; c) d = b + c ; d) d = 2a + 3b − c . ⎡ 1 0 1⎤ G 7. a) det ⎢⎢ 2 −4 7 ⎥⎥ = −11 ≠ 0 ⇒ tvoří bázi, d ⎡aG ,bG ,cG ⎤ = ( 3, − 1, 5 ) ; ⎣ ⎦ ⎢⎣ 0 3 −1⎥⎦ ⎡ −4 3 2 ⎤ G b) det ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ = −10 ≠ 0 ⇒ tvoří bázi, d ⎡aG ,bG ,cG ⎤ = ( 4, − 4, 7 ) ; ⎣ ⎦ ⎢⎣ 0 3 4 ⎥⎦ ⎡ 6 5 4⎤ G c) det ⎢⎢ −5 2 4 ⎥⎥ = −136 ≠ 0 ⇒ tvoří bázi, d ⎡aG ,bG ,cG ⎤ = ( −1, 2, − 1) . ⎣ ⎦ ⎢⎣ 1 0 −4 ⎥⎦

8. a) 3 ; b) 12 ; c) 0 ; d) 1 ; e) −11 . 9. a) 7 ; b) −41 ; c) 0 , d) −24 ; e) 0 . 10. a) 20 ; b) 7 ; c) 0 , d) 20 ; e) −44 . 11. a) −3 ; b) 27 ; c) 800 , d) 8 . ⎛ −15 −16 −12 ⎞ ⎛ 27 29 29 ⎞ 7⎞ ⎛ 7 −9 ⎞ ⎛ −9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12. a) X = ⎜ ⎟ ; b) ⎜ −9 −10 −9 ⎟ . 13. a) ⎜ ⎟ ; b) ⎜ −5 16 12 ⎟ . ⎝ 0 11⎠ ⎝ −3 −20 ⎠ ⎜ 13 −39 −11⎟ ⎜ −8 4 −3 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 58 17 ⎞ ⎛ 22 32 ⎞ 14. a) A ⋅ B = ⎜ ⎟, B⋅ A = ⎜ ⎟; ⎝ 48 −54 ⎠ ⎝ 111 −18 ⎠

9⎞ ⎛ 15 12 ⎛ 19 88 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 −3 ⎟ , B ⋅ A = ⎜ 1 −68 26 ⎟ ; b) A ⋅ B = ⎜ 43 ⎜ 5 −62 −65 ⎟ ⎜ 7 16 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5 −5 ⎞ ⎜ ⎟ d) A ⋅ B = ⎜17 17 ⎟ , B ⋅ A nelze násobit ; ⎜ 7 11⎟ ⎝ ⎠

⎛14 4 0 ⎞ ⎛ 0 4⎞ ⎜ ⎟ c) A ⋅ B = ⎜ ⎟, B⋅ A = ⎜ 0 1 7⎟; ⎝ 4 13 ⎠ ⎜ 1 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠

- 17 -



6⎞ ⎛ 2 −4 0 ⎜ ⎟ 5 −10 0 15 ⎟ ⎜ e) A ⋅ B = (1) , B ⋅ A = ; ⎜ −4 8 0 −12 ⎟ ⎜ ⎟ 9⎠ ⎝ 3 −6 0 ⎛ 0 9 8 17 ⎞ ⎜ ⎟ 31⎞ 25 35 20 −20 ⎟ ⎛ −4 ⎜ f) A ⋅ B = ⎜ ; ⎟, B⋅ A = ⎜ 2 1 0 −5 ⎟ ⎝ 58 −18 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 50 61 32 −57 ⎠

⎛ 22 −5 7 ⎞ ⎛ 16 2 ⎞ ⎜ ⎟ g) A ⋅ B = ⎜ ⎟ , B ⋅ A = ⎜ 2 9 −3 ⎟ ; ⎝ 12 19 ⎠ ⎜ 4 −8 4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 45 12 ⎞ ⎜ ⎟ h) A ⋅ B nelze násobit, B ⋅ A = ⎜ 37 7 ⎟ ; ⎜ 32 −3 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 6 3 6 9⎞ ⎜ ⎟ 2 1 2 3⎟ ⎜ i) A ⋅ B = ( 7 ) , B ⋅ A = ; ⎜ −6 −3 −6 −9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 2 4 6⎠

⎛ 8 3 1 2⎞ ⎜ ⎟ 7 2 −1 3 ⎟ ⎛7 7⎞ ⎜ j) A ⋅ B = ⎜ ; ⎟, B⋅ A = ⎜ 12 6 6 0 ⎟ ⎝3 7⎠ ⎜ ⎟ ⎝ −4 −1 1 −2 ⎠

7 11 ⎞ ⎛ 47 18 ⎜ ⎟ 3 −3 −12 9 ⎟ ⎛ 56 49 ⎞ ⎛ 72 84 ⎞ ⎜ k) A ⋅ B ⋅ C = ⎜ . ⎟, C⋅ A ⋅B = ⎜ ⎟, B ⋅C⋅ A = ⎜ 162 72 54 18 ⎟ ⎝ 20 37 ⎠ ⎝ 5 21⎠ ⎜ ⎟ 6 11 −5 ⎠ ⎝ 7

15. a) h ( A ) = 2 ; b) h ( A) = 3 ; c) h ( A) = 3 ; d) h ( A ) = 4 ; e) h ( A ) = 2 .; f) h ( A) = 5 ;

g) h ( A) = 3 ;

1 2 ⎛ ⎞ h) h ( A) = 5 . 16. a) ( a = 4 ∧ b = 2 ) , ⎜ a = 4 − , b = 2 + , k ≠ 0 ⎟ ; k k ⎝ ⎠

b) a = −5, b ∈ R .

1 ⎛ 1 −3 ⎞ 17. a) A −1 = ⎜ ⎟; 2 ⎝ 2 −4 ⎠

1⎞ 1 ⎛ −2 b) A −1 = ⎜ ⎟; 3 ⎝ 7 −2 ⎠

c) A −1 =

1 ⎛ 7 −2 ⎞ ⎜ ⎟; 11 ⎝12 −5 ⎠

1⎞ ⎛ 2 1⎞ 1⎛ 2 −1 ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 1⎟. ⎟ ; e) A = ⎜ 3 3 ⎝ −1 − 2 ⎠ − − ⎝ 4 2⎠ −1

⎛ 30 −5 −10 ⎞ 1⎜ ⎟ 1⎟ ; 18. a) A = ⎜ −1 0 5⎜ 8 ⎟⎠ ⎝ −23 5 −1

1⎞ ⎛ 4 −6 1 ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 12 −2 −5 ⎟ ; 32 ⎜ ⎟ ⎝ −4 6 15 ⎠ −1

1⎞ ⎛ −2 7 ⎛ −3 3 −12 ⎞ 1⎜ 1⎜ ⎟ ⎟ −1 0⎟ . d) A = ⎜ 4 −6 −2 ⎟ ; e) A = − ⎜ 0 2 8⎜ 6 ⎜ 3 1 3 5 ⎟⎠ 6 ⎟⎠ ⎝ −2 ⎝ −1

- 18 -

c) A −1 neexistuje ;



⎛ 2 3 2 −1⎞ ⎛ 6 −12 −3 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8 −4 −4 ⎟ 1 ⎜ 3 12 0 −3 ⎟ 1 ⎜ 16 −1 −1 19. a) A = ; b) A = ; 5 11⎟ 6 ⎜ 2 0 2 2⎟ 24 ⎜ −26 −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 −3 ⎠ ⎝ −1 −3 2 2 ⎠ ⎝ 18 −12 11 −21 3 ⎞ ⎛ 8 ⎜ ⎟ 1 ⎜ 12 30 36 −9 ⎟ −1 c) A = ; 27 ⎜ −12 −30 −9 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −2 −6 −3 ⎠ 0⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ b) X = 31 14 ; ⎜⎜ − − ⎟⎟ 5⎠ ⎝ 5

⎛ −4 −5 7 −3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 −3 1⎟ ⎛ −5 4 ⎞ −1 ⎜ d) A = . 20. a) X = ⎜ ⎟; ⎜ 1 1 −1 1⎟ ⎝ −4 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 3 3 −5 2 ⎠

1 ⎛ 1 −2 ⎞ c) X = ⎜ ⎟; 3 ⎝ 2 −1 ⎠

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 5 15 ⎞ ⎛ 12 − ⎜ ⎟ ⎜ 17 2⎟ f) X = ⎜ ⎟ . 21. a) X = ⎜ −1 − ⎟ ; ⎜ 2⎟ ⎜ 4 −5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 2⎠ ⎜ 0 − ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 29 −34 ⎞ 1⎜ ⎟ b) X = ⎜ −14 16 ⎟ ; 3⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ −1

⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ T b) X = ⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟ . 24. a) (1, 2,1) , ⎝ −1⎠ ⎝ 1⎠

b) (1, −2, 0 ) , T

f) ( 5,5,5 ) ;

T

d) ( −3,1,3) , T

h) ( 0,1, −3) ; T

T

T

d) (17 − t − 4 s, s,9 − 2 s, t , 2 + t )

T

T

i) ( 27, −14, 25 ) . 25. a) ( 5 − t , t , −1) ; T

c) ( 2, −4, 6 ) ,

g) ( 3, 2, −2 ) ;

T

b) nemá

e) nemá

řešení;

⎛ 21 47 5 25 ⎞ c) ⎜ − , , , − ⎟ ; 3 ⎠ ⎝ 8 24 8

řešení. 26. a) ( −t , t , 0 ) ;

b) ( 0, 0, 0, 0 ) ;

T

T

c) ( t , t ,5t , −3t ) ; d) ( 0, t − s, s, 4 s − 2t , t ) e) ( −9t − 14 s − 2r , r , t , s, −2t − 2 s ) . T

5⎞ 9⎟ ⎟ 4⎟ − ; 9⎟ ⎟ 7 − ⎟⎟ 9⎠

⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟ 3 −1 ⎟ ⎛ 12 7 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎜ c) X = . 23. a) X = ⎜ ,Y=⎜ ⎟; ⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎝ −6 −1⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 2 5⎠

b) X = ( 3 −2 −3) ;

T

⎛1 ⎜9 ⎜ 2 c) X = ⎜ ⎜9 ⎜ ⎜4 ⎜ ⎝9

⎛ 70 ⎞ ⎜ 3 ⎟ 2⎞ ⎛ 12 −41 ⎜ ⎟ 31 ⎟ 1⎜ ⎟ ⎜ e) X = − ⎜ −18 24 −6 ⎟ . 22. a) X = − ; ⎜ 3⎟ 9⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −69 −12 ⎠ ⎜ −2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ 23 −9 ⎞ ⎜ ⎟ d) X = ⎜ 5 −2 ⎟ ; ⎜ −16 7 ⎟ ⎝ ⎠

e) ( 2, −2,3 ) ,

1⎞ ⎛ −8 ⎜ ⎟ e) X = 49 241 ⎟ ; ⎜ − 4 ⎠ ⎝ 2

2⎞ ⎛0 d) X = ⎜ ⎟; ⎝ 2 −7 ⎠

T

T

- 19 -

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

Recommend Documents