´ ı algebra Linearn´ Operace s vektory a maticemi Robert Maˇr´ık ´ r´ı 2008 26. zaˇ
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Obsah ´ Operace s ˇradkov´ ymi vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operace se sloupcov´ymi vektory . . . . . . . . . . . . . . . . Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transponovan´ ´ ı, odˇc´ıtan´ ´ ı, nasoben´ ´ Operace s maticemi — sˇc´ıtan´ ı cˇ´ıslem . . Operace s maticemi — maticov´y souˇcin . . . . . . . . . . . . ´ ı maticoveho ´ ´ ıch kombinac´ı vektor˚u. Srovnan´ souˇcinu a linearn´
//
/
.
..
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3 12 13 14 15 15 22
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Definice (algebraick´y vektorov´y prostor). Mnoˇzinu Rn uspoˇradan´ ych n´ ı a nasoben´ ´ ´ ym ´ ych cˇ´ısel (a1 , a2 , . . . , an ) s operacemi sˇc´ıtan´ ı realn´ tic realn´ cˇ´ıslem definovan´ymi (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) c · (a1 , a2 , . . . , an ) = (c · a1 , c · a2 , . . . , c · an ) ´ pro vˇsechna c ∈ R a (a1 , a2 , . . . , an ), (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn naz´yvame ´ ym algebraick´ym vektorov´ym prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. realn´ ˇ ısla ´ ych cˇ´ısel naz´yvame ´ ´ algebraick´ymi vektory. C´ uspoˇradan e´ n-tice realn´ ˇ ıslo n naz´yvame ´ ´ a1 , . . . , an naz´yvame sloˇzky vektoru (a1 , a2 , . . . , an ). C´ dimenze prostoru Rn . ´ ı kombinace). Necht’ u Definice (linearn´ ~1 , u ~2 , . . . u ~k je koneˇcna´ posloup´ prostoru Rn . Vektor u nost vektor˚u z vektoroveho ~, pro kter´y plat´ı u ~ = t1 u ~1 + t2 u ~2 + · · · + tk u ~k ,
(1)
ˇ a´ realn ´ a´ cˇ´ısla, se naz´yva´ linearn´ ´ ı kombinace kde t1 , t2 , . . . , tk jsou nejak ˇ ısla t1 , t2 , . . . , tk naz´yvame ´ ´ ı vektor˚u u ~1 , u ~2 , . . . , u ~k . C´ koeficienty linearn´ kombinace. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Definice (algebraick´y vektorov´y prostor). Mnoˇzinu Rn uspoˇradan´ ych n´ ı a nasoben´ ´ ´ ym ´ ych cˇ´ısel (a1 , a2 , . . . , an ) s operacemi sˇc´ıtan´ ı realn´ tic realn´ cˇ´ıslem definovan´ymi (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) c · (a1 , a2 , . . . , an ) = (c · a1 , c · a2 , . . . , c · an ) ´ pro vˇsechna c ∈ R a (a1 , a2 , . . . , an ), (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn naz´yvame ´ ym algebraick´ym vektorov´ym prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. realn´ ˇ ısla ´ ych cˇ´ısel naz´yvame ´ ´ algebraick´ymi vektory. C´ uspoˇradan e´ n-tice realn´ ˇ ıslo n naz´yvame ´ ´ a1 , . . . , an naz´yvame sloˇzky vektoru (a1 , a2 , . . . , an ). C´ dimenze prostoru Rn . ´ ı kombinace). Necht’ u Definice (linearn´ ~1 , u ~2 , . . . u ~k je koneˇcna´ posloup´ prostoru Rn . Vektor u nost vektor˚u z vektoroveho ~, pro kter´y plat´ı u ~ = t1 u ~1 + t2 u ~2 + · · · + tk u ~k ,
(1)
ˇ a´ realn ´ a´ cˇ´ısla, se naz´yva´ linearn´ ´ ı kombinace kde t1 , t2 , . . . , tk jsou nejak ˇ ısla t1 , t2 , . . . , tk naz´yvame ´ ´ ı vektor˚u u ~1 , u ~2 , . . . , u ~k . C´ koeficienty linearn´ kombinace. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + 2 · b~ − c ~ = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0, −1) − (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, −2) − (2, 1, 0) = (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0) = (5, 1, −1) a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0, 0, 0) //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + 2 · b~ − c ~ = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0, −1) − (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, −2) − (2, 1, 0) = (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0) = (5, 1, −1) a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0,a 0, 0)asob´ ´ ˇ ´ vyn ıme vektor b~ dvema Dosad´ıme za vektory (nasob´ ıme tedy ˇ kaˇzd´y prvek tohoto vektoru dvema). //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + 2 · b~ − c ~ = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0, −1) − (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, −2) − (2, 1, 0) = (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0) = (5, 1, −1) a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0, 0, 0) ˚ Seˇcteme (odeˇcteme) odpov´ıdaj´ıc´ı si komponenty vektoru. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + 2 · b~ − c ~ = (1, 2, 1) + 2 · (3, 0, −1) − (2, 1, 0) = (1, 2, 1) + (6, 0, −2) − (2, 1, 0) = (1 + 6 − 2, 2 + 0 − 1, 1 − 2 − 0) = (5, 1, −1) a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0, 0, 0) Uprav´ıme. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0, 0, 0)
´ ˇ ı ˚ vektoru nulov´y vektor, puvodn´ ı vektor se nemen´ Pˇriˇcteme-li k libovolnemu (protoˇze ke kaˇzde´ komponenteˇ pˇriˇcteme nulu). //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0, 0, 0)
´ ı linearn´ ´ ı kombinace je nulov´y vektor, protoˇze kaˇzd´y V´ysledkem trivialn´ ´ vektor po vynasoben´ ı nulou pˇrejde na nulov´y vektor a souˇcet nulov´ych ˇ nulov´y vektor. vektoru˚ je opet //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ adkov ´ R e´ algebraicke´ vektory. a~ = (1, 2, 1),
b~ = (3, 0, −1),
c~ = (2, 1, 0),
o~ = (0, 0, 0)
a~ + o~ = (1, 2, 1) + (0, 0, 0) = (1, 2, 1) = a~ 0 · a~ + 0 · b~ + 0 · c~ = (0, 0, 0)
a~ + b~ − 2 · c ~ = (1, 2, 1) + (3, 0, −1) − (4, 2, 0) = (0, 0, 0)
ˇ ´ ı linearn´ ´ ı kombinaci. V Nekdy nulov´y vektor dostaneme i jako netrivialn´ ´ ´ eˇ zavisl ´ ´ tomto pˇr´ıpadeˇ ˇr´ıkame, zˇ e vektory a~, b~ a c ~ jsou linearn e. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ ´ koneˇcna´ posloupnost vektoru˚ . Rekneme, Definice. Necht’ je dana zˇ e vek´ ˇ ´ ´ ˇ ´ ´ ı tory jsou linearne zavisle, jestliˇze alepon jedna jejich netrivialn´ı linearn´ ´ kombinace je rovna nulovemu vektoru. ´ ı linearn´ ´ ı kombinace nenulova, ´ ˇr´ıkame, ´ Naopak, je-li kaˇza´ netrivialn´ zˇ e ´ eˇ nezavisl ´ ´ vektory jsou linearn e. ´ ı linearn´ ´ ı (ne-)zavislosti ´ Testovan´ ˇ ´ ´ • Je-li v posloupnosti vektoru˚ nekter´ y vektor nasobkem jineho vektoru, ´ eˇ zavislou ´ ˚ jedna´ se o linearn posloupnost vektoru. ´ eˇ zavisl ´ ´ eˇ tehdy, kdyˇz jeden z vektoru˚ je • Dva vektory jsou linearn e´ prav ´ ´ nasobkem druheho. ˇ s´ı poˇcet, neˇz je dimenze prostoru, jsou tyto vektory • Je-li vektoru˚ vetˇ ´ eˇ zavisl ´ ´ linearn e. ´ ´ ı zavislosti ´ V ostatn´ıch pˇr´ıpadech nelze na otazku o pˇr´ıpadne´ linearn´ nebo ´ ´ okamˇzitou odpoved ˇ ’, ale je potˇreba odpov´ıdaj´ıc´ım nezavislosti vektoru˚ dat ˚ zpusobem rozhodnout, napˇr. pomoc´ı pojmu hodnost matice, kter´y uvedeme ˇ pozdeji. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ ´ koneˇcna´ posloupnost vektoru˚ . Rekneme, Definice. Necht’ je dana zˇ e vek´ ˇ ´ ´ ˇ ´ ´ ı tory jsou linearne zavisle, jestliˇze alepon jedna jejich netrivialn´ı linearn´ ´ kombinace je rovna nulovemu vektoru. ´ ı linearn´ ´ ı kombinace nenulova, ´ ˇr´ıkame, ´ Naopak, je-li kaˇza´ netrivialn´ zˇ e ´ eˇ nezavisl ´ ´ vektory jsou linearn e. ´ ı linearn´ ´ ı (ne-)zavislosti ´ Testovan´ ˇ ´ ´ • Je-li v posloupnosti vektoru˚ nekter´ y vektor nasobkem jineho vektoru, ´ eˇ zavislou ´ ˚ jedna´ se o linearn posloupnost vektoru. ´ eˇ zavisl ´ ´ eˇ tehdy, kdyˇz jeden z vektoru˚ je • Dva vektory jsou linearn e´ prav ´ ´ nasobkem druheho. ˇ s´ı poˇcet, neˇz je dimenze prostoru, jsou tyto vektory • Je-li vektoru˚ vetˇ ´ eˇ zavisl ´ ´ linearn e. ´ ´ ı zavislosti ´ V ostatn´ıch pˇr´ıpadech nelze na otazku o pˇr´ıpadne´ linearn´ nebo ´ ´ okamˇzitou odpoved ˇ ’, ale je potˇreba odpov´ıdaj´ıc´ım nezavislosti vektoru˚ dat ˚ zpusobem rozhodnout, napˇr. pomoc´ı pojmu hodnost matice, kter´y uvedeme ˇ pozdeji. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ ´ koneˇcna´ posloupnost vektoru˚ . Rekneme, Definice. Necht’ je dana zˇ e vek´ ˇ ´ ´ ˇ ´ ´ ı tory jsou linearne zavisle, jestliˇze alepon jedna jejich netrivialn´ı linearn´ ´ kombinace je rovna nulovemu vektoru. ´ ı linearn´ ´ ı kombinace nenulova, ´ ˇr´ıkame, ´ Naopak, je-li kaˇza´ netrivialn´ zˇ e ´ eˇ nezavisl ´ ´ vektory jsou linearn e. ´ ı linearn´ ´ ı (ne-)zavislosti ´ Testovan´ ˇ ´ ´ • Je-li v posloupnosti vektoru˚ nekter´ y vektor nasobkem jineho vektoru, ´ eˇ zavislou ´ ˚ jedna´ se o linearn posloupnost vektoru. ´ eˇ zavisl ´ ´ eˇ tehdy, kdyˇz jeden z vektoru˚ je • Dva vektory jsou linearn e´ prav ´ ´ nasobkem druheho. ˇ s´ı poˇcet, neˇz je dimenze prostoru, jsou tyto vektory • Je-li vektoru˚ vetˇ ´ eˇ zavisl ´ ´ linearn e. ´ ´ ı zavislosti ´ V ostatn´ıch pˇr´ıpadech nelze na otazku o pˇr´ıpadne´ linearn´ nebo ´ ´ okamˇzitou odpoved ˇ ’, ale je potˇreba odpov´ıdaj´ıc´ım nezavislosti vektoru˚ dat ˚ zpusobem rozhodnout, napˇr. pomoc´ı pojmu hodnost matice, kter´y uvedeme ˇ pozdeji. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Sloupcove´ algebraicke´ vektory −3 1 −1 1 5 −5 4 −3 +2 − 2 = 3 −4 1 0 −6 1 −3 2
´ ´ ı ponekud ˇ ˇ s´ı, protoˇze sloupcove´ vektory, je poˇc´ıtan´ pˇrehlednejˇ Pouˇz´ıvame-li ´ sˇc´ıtame prvky, ktere´ leˇz´ı ve “stejne´ v´ysˇ ce”. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Definice (matice). ´ m × n rozum´ıme schema Matic´ı ˇradu a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n A= .. .. .. . . . am1
am2
···
···
amn
´ a´ cˇ´ısla. Mnoˇzinu vˇsech makde ai j pro i = 1..m a j = 1..n jsou realn ´ ´z ˇ ´ tic radu m × n oznaˇcujeme symbolem Rm×n . Zkracen eˇ zapisujeme teˇ m n A = (ai j )i =1 j =1 nebo pouze A = (aij ). Je-li m = n naz´yva´ se matice ´ ıkova´ matice. Je-li A cˇ tvercova´ matice, A cˇ tvercova´ matice, jinak obdeln´ ´ ´ naz´yvame prvky tvaru ai i , tj. prvky, jejichˇz ˇradkov´ y a sloupcov´y index jsou ´ prvky hlavn´ı diagonaly. ´ stejne,
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Bud’ A = (ai j ) ∈ Rm×n . Matice Definice (matice transponovana). AT = (aj i ) ∈ Rn×m , se naz´yva´ matice transponovana´ k matici A.
2 −1 A = 3 1 2 0
//
/
.
..
2 −2 1
2 AT = −1 2
3 1 −2
2 0 1
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Definice (operace s maticemi). • Bud’te A = (ai j ), B = (bi j ) ∈ Rm×n . Souˇctem matic A a B rozum´ıme matici C = (ci j ) ∈ Rm×n , kde ci j = ai j + bi j . Zapisujeme C = A + B. • A = (ai j ) ∈ Rm×n a t ∈ R. Souˇcinem cˇ´ısla t a matice A rozum´ıme matici D = (di j ) ∈ Rm×n , kde di j = t.ai j . Zapisujeme D = tA.
2 −1 3 1 2 0
2 −1 3 3 1 2 0 //
/
.
..
1 −2 2 −2 + 0 1 1 2 4
2 6 −3 −2 = 9 3 1 6 0
1 3 −3 3 = 3 2 1 4 4
3 1 2
6 −6 3 c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Definice (maticov´y souˇcin). A = (ai j ) ∈ Rm×n a B = (bi j ) ∈ Rn×p . Souˇcinem matic A a B (v tomto poˇrad´ı) rozum´ıme matici G = (gi j ) ∈ Rm×p , kde gi j = ai 1 b1j + ai 2 b2j + · · · + ai n bnj pro vˇsechna i = 1..m, j = 1..p. Zapisujeme G = AB (v tomto poˇrad´ı).
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ ı souˇcin vektoru˚ Ze stˇredn´ı sˇ koly v´ıte, zˇ e skalarn´ ´ ım souˇcinem Skalarn´ vektoru˚ u ~ = (u1 , u2 , u3 ) a v~ = (v1 , v2 , v3 ) je cˇ´ıslo u ~ · v~ = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 =
3 X
ui v i .
i =1
Pˇr´ımo z definice souˇcinu plyne, zˇ e maticov´y souˇcin v1 u1 u2 u3 · v2 = (u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 ) v3 ´ ´ z. je jin´ym zapisem tehoˇ
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Vynasobte matice 2 −1 2 2 4 3 1 −2 · −1 2 2 0 1 3 1 2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 1 11 8 3 · 4 + 1 · 2−2 · 1 = −1 12 = 3 · 2 + 1 · (−1) − 2 · 3 2 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2·4+0·2+1·1 7 9
2 4 2 −1 −1 2 · 3 1 3 1 2 0
A · B = C, ci j =
X
2 ´ −2 = nen´ı definovano 1
ai k bkj
k
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Vynasobte matice
2 −1 2 2 4 3 1 −2 · −1 2 2 0 1 3 1 2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 1 11 8 3 · 4 + 1 · 2−2 · 1 = −1 12 = 3 · 2 + 1 · (−1) − 2 · 3 2 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2·4+0·2+1·1 7 9
2 4 2 −1 −1 2 · 3 1 3 1 2 0
2 ´ −2 = nen´ı definovano 1
´ ı souˇcin i-teho ´ ´ Na m´ısteˇ ij ve v´ysledne´ matici C je skalarn´ rˇadku matice A ´ sloupce matice B. Uveden´y maticov´y souˇcin je tedy moˇzno a j-teho ´ ´ ıch souˇcinu. ˚ chapat jako sˇ est skalarn´ //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Vynasobte matice 2 −1 2 2 4 3 1 −2 · −1 2 2 0 1 3 1 2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 1 11 8 3 · 4 + 1 · 2−2 · 1 = −1 12 = 3 · 2 + 1 · (−1) − 2 · 3 2 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2·4+0·2+1·1 7 9
2 4 2 −1 −1 2 · 3 1 3 1 2 0
//
/
.
..
2 ´ −2 = nen´ı definovano 1
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ Vynasobte matice 2 −1 2 2 4 3 1 −2 · −1 2 2 0 1 3 1 2 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 3 2 · 4 − 1 · 2 + 2 · 1 11 8 3 · 4 + 1 · 2−2 · 1 = −1 12 = 3 · 2 + 1 · (−1) − 2 · 3 2 · 2 + 0 · (−1) + 1 · 3 2·4+0·2+1·1 7 9
2 4 2 −1 −1 2 · 3 1 3 1 2 0
//
/
.
..
2 ´ −2 = nen´ı definovano 1
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ ´ ı kombinaci vektoru˚ . Porovnejte nasleduj´ ıc´ı maticov´y souˇcin a linearn´
1 2 −1 1 2 1
0 1 1 1 −3 1 · 0 −2 = 0 −1 3 1 2 5 6
1 2 0 −3 1 −1 −2 1 + 2 1 = −1 2 1 3 6
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ ´ ı kombinaci vektoru˚ . Porovnejte nasleduj´ ıc´ı maticov´y souˇcin a linearn´
1 2 −1 1 2 1
0 1 1 1 −3 1 · 0 −2 = 0 −1 3 1 2 5 6
1 2 0 −3 1 −1 −2 1 + 2 1 = −1 1 6 2 3
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ 1 (vlastnosti maticoveho ´ Veta souˇcinu). Souˇcin matic je asociativn´ı a distri´ ı, tj. plat´ı butivn´ı zprava i zleva vzhledem ke sˇc´ıtan´ A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA
(asociativita) ´ (lev´y distributivn´ı zakon) ´ (prav´y distributivn´ı zakon)
vˇzdy, kdyˇz tyto operace maj´ı smysl. ´ Definice (jednotkova´ matice). Jednotkovou matic´ı rˇadu n rozum´ıme ´ jedniˇcky a mimo cˇ tvercovou matici typu Rn×n , ktera´ ma´ v hlavn´ı diagonale ´ nuly. Oznaˇcujeme ji In . hlavn´ı diagonalu ´ 3 ma´ tvar Pˇr´ıklad 1. Jednotkova´ matice ˇradu 1 0 0 I3 = 0 1 0 . 0 0 1 ˇ 2 (vlastnost jednotkove´ matice). Bud’ A matice. Pak plat´ı IA = A a Veta AI = A, vˇzdy, kdyˇz je tento souˇcin definovan´y. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
ˇ 1 (vlastnosti maticoveho ´ Veta souˇcinu). Souˇcin matic je asociativn´ı a distri´ ı, tj. plat´ı butivn´ı zprava i zleva vzhledem ke sˇc´ıtan´ A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA
(asociativita) ´ (lev´y distributivn´ı zakon) ´ (prav´y distributivn´ı zakon)
vˇzdy, kdyˇz tyto operace maj´ı smysl. ´ Definice (jednotkova´ matice). Jednotkovou matic´ı rˇadu n rozum´ıme ´ jedniˇcky a mimo cˇ tvercovou matici typu Rn×n , ktera´ ma´ v hlavn´ı diagonale ´ nuly. Oznaˇcujeme ji In . hlavn´ı diagonalu ´ 3 ma´ tvar Pˇr´ıklad 1. Jednotkova´ matice ˇradu 1 0 0 I3 = 0 1 0 . 0 0 1 ˇ 2 (vlastnost jednotkove´ matice). Bud’ A matice. Pak plat´ı IA = A a Veta AI = A, vˇzdy, kdyˇz je tento souˇcin definovan´y. //
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
´ ı zde. Konec, pokraˇcovan´
//
/
.
..
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
